第八章-扭转
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d
T dx GI p l
CL5TU5
Tl 若T const，则 GIp
比较：
Nl l EA
圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
强度条件： max
刚度条件：
T [ ] Wt
rad / m
d T [ ] d x GI p T 180 [ ] GI p
例：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆 0.8 轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?
解：设实心轴的直径为 d1 ，由
T
d1
16
3
T
D
16
3
0.8 (1 0 .5 )
2
4
D 得： 1.022 d 1 1.192
2
A空 A实
D
4
(1 0 .5 ) 0.8
2
d1
G
G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切 胡克定律
剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E 泊松比μ
对于各向同性材料,可以证明:E、G、μ 三个弹 性常数之间存在着如下关系
E G 2(1 )
§8-4 圆轴扭转时的应力和变形
一、圆轴扭转时横截面上的应力
变形几何关系 从三方面考虑：物理关系 静力学关系
纯剪切状态,现改其为平面图表示：
y d
n a
n
d x
x
c
e (a)
b
c
e (b)
t
第八章 扭 转
y d
n a n
d
x
x
e c (a) b
c
e (b)
t
研究垂直于前后两个面的任意斜截面de上的应力,如 图a、b。de 斜面作着未知的正应力 和剪应力 。 设de的面积为dA，则
令 I p dA
2 A 2
I p dA 极惯性矩
d T 则 dx G I p
A
d T dx G I p
d G T T G GIp Ip dx
max
T max T Ip Wt
Wt
Ip
max
抗扭截面模量
T Ip
dAdc dA cos , dAce dA sin .
第八章 扭 转
F
n
0,
n
d
( dA cos ) sin ( dA sin ) cos dA 0
简化后：
Fra Baidu bibliotek
x
sin 2
同理 得：
F 0
cos 2
(1 )
4
极惯性矩： 实心圆： I p
d
4
32 4 4 4 (D d ) D 4 (1 ) 空心圆： I p 32 32
抗扭截面模量： 实心圆： Wt
d
3
16 3 D 4 (1 ) 空心圆： Wt 16
二、圆轴扭转时的变形
d T d x GI p T d dx GI p
4
Wt
Ip
max
3 Ip d d 16 2
o
d
CL5TU5
对于空心圆，外径为D，内径为d
I p dA
2 A
D/2 d /2 4
2
2 d
d D
(D d )
4 4
32
D (1 )
4
32
Wt
Ip
max
D
16
3
Ip D 2
取出的分离体（半个圆柱体）。试绘出
（1）横截面AGB上应力沿直径AB的分布； （2）径截面ABEF上应力分别沿直径AB、CD、EF的
分布。
F
MT
D
B
MT
E
C
A
G
第八章 扭 转
答案:
F
MT
D
B
MT
E
C
A G
第八章 扭 转
T
x x
(a) d c (b) a
x
A
d
现从受扭圆杆件的表面A取出一单元体（图(b)）,图b处于
max
max
max
T Wt
CL5TU9
第八章 扭 转
思考题8-2： 下图所示为一由均质材料制成的空心圆轴之横截面，
该截面上的扭矩MT 亦如图所示，试绘出水平直经AB上各
点处剪应力的变化图。
MT A
.
O
B
第八章 扭 转
思考题8-2参考答案:
MT
A
O
B
第八章 扭 转
思考题8-3： 一受扭圆轴,由实心杆1和空心杆2紧配合而成。整个 杆受扭时两部分无相对滑动,试绘出剪应力沿水平直经的 变化图，若（1）两杆材料相同，即G1=G2=G；（2）两 材料不同，G1=2G2。
点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。
CL5TU11
解：
A
TA 1000 0.015 63 . 66 MPa 4 Ip 0.04 4 (1 0.5 ) 32
max
1000 T 84 . 88 MPa Wt 0.04 3 (1 0.54 ) 16
M A 1170 Nm M B M C 351 Nm M D 468N m
T1 M B 351 Nm
T2 702 N m
T3 M D 468N m
T (N m)
T1 351 N m T2 702 N m T3 468 N m
dy dx
t
微元体 单元体
( t d y)dx ( t dx)dy
CL5TU7
剪应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上,
剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同
时指向或背离两平面的交线。
三、剪切胡克定律
CL5TU8
薄壁圆筒的实验, 证实了剪应力与剪应变之间 存在着象拉压胡克定律类似的关系, 即当剪应力 不超过材料的剪切比例极限τp时,剪应力与剪应 变成正比
于半径。
剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径
m
m
T
T
dA
r
dA
r d A T r dA T
A A
r 2 rt T
T 2 2 r t
根据精确的理论分析,当t≤r/10时,上式的
误差不超过4.52%,是足够精确的。
二、剪应力互等定理
4
0.783
0.512
例：一厚度为30mm、内直径为230mm 的空
心圆管，承受扭矩T=180 kN· m 。试求管中的
最大剪应力，使用：
(1)薄壁管的近似理论；
(2)精确的扭转理论。
解：(1) 利用薄壁管的近似理论可求得
max
T 180 10 56.5 MPa 2 2 2 r t 2 0.13 0.03
c
e (b)
t
第八章 扭 转
当 0 与 90 时 :
n d
有最大值,即为
45 的情况下: 有极值, 即为 .
x
145 , min
c
3
e (b)
t
45 , max
的抗扭强度的计算中也就以横截面上的 作为依据。如下
图所示。
T T
σmin
max
断裂线
45 螺旋 面上 例：图示铸铁圆轴受扭时，在＿＿＿＿
发生断裂，其破坏是由 最大拉 应力引起的。
在图上画出破坏的截面。
CL5TU10
例：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截
面轴，受扭矩T=1kN· m作用，计算横截面上A
CL5TU5
1.变形几何关系
观察到下列现象:
(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离
没有变化
(2)纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度γ
平面假设：
变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它
像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。
CL5TU5
d
CL5TU5
dx d
若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍
保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？
3
(2) 利用精确的扭转理论可求得
max
180 10 3 4 3 D 4 0 . 29 230 (1 ) 1 16 290 16 62.2 MPa
T
3
例：一空心圆轴，内外径之比为α=0.5，
两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，
T M
扭矩
T M
CL5TU6
例： 图示传动轴，主动轮A输入功率 NA=50 马力，从动轮B、C、D输出功率分 别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马力，轴的 转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
CL5TU3
解：
{P}A 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 {P}B 15 M B M C 7024 7024 351 Nm n 300 {P}C 20 M D 7024 7024 468N m n 300
考虑斜截面上的应力。
第八章 扭 转
方法：扭杆假想切开斜截面 扭杆，应力分布不均匀，不能切开斜截面
点上切一个单元体
T x
(a)
A
第八章 扭 转
x
x
(1) 左、右横截面
d a
(2) 顶、底面，径向截面
(3) 前、后面，切向截面
c (b) d
第八章 扭 转
思考题8-6 如图所示为从受扭实心圆截面杆中，以径向截面ABEF
min max
10 20
42.44 MPa
例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之 比α＝d2／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上
的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直
径之比D2/D1。
解：由
T
D1
16
3
T
D2
16
3
(1 0.8 )
4
得：
D2 1 3 1192 . 4 D1 1 0.8
MT 1 2
第八章 扭 转
思考题8-3（1）答案：
MT
2 1 G1=G2=G
第八章 扭 转
思考题8-3（2）答案：
MT
2 1 G1=2G2
下面求极惯性矩I p 和抗扭截面模量Wt
I p dA
2 A
d /2 0
2
2 d 2
d /2 0
3
d
d 4 2 d 2 4 32
第八章 扭 转
§8-1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
汽车的转向操纵杆
CL5TU1
CL5TU2
二、外力偶矩的计算
设某轮所传递的功率是{P} kW，轴的转 速是 n r/min
CL5TU18
{P}kW的功率相当于每分钟作 功：
W = {P}kW ×1000 ×60 (1)
外力偶矩M所作的功：
W = M 2 n
/m
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半
时，横截面的最大剪应力是原来的 8 倍？
圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
T T max Wt d 3 16 Tl Tl 4 GIp d G 32
第八章 扭 转
8.2.4 斜截面上的应力 通过扭转实验发现： (1) 低碳钢试件系横截面剪断； (2) 铸铁试件则沿着与轴线成45º 的螺旋线剪断； (3) 木材试件沿与轴线平行的方向劈裂。 研究类似铸铁试件破坏原因
(2)
(1) = (2) 得 {P}kW ×1000 ×60 = M 2 n
{P}─ kW {P} M 9549 n─ r/min n M─ N m
{P}─ P S(马力) {P} M 7024 n─ r/min n m─ N m
§8-2 扭矩和扭矩图
§8-3 薄壁圆筒的扭转
一、薄壁圆筒的扭转应力分析
等厚度的薄壁圆筒,平均半径为 r,壁厚为 t
CL5TU4
受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成
方格,然后加载。
m
m
观察到如下现象：
(1) 纵向线倾斜了同一微小角度γ
(2) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距
离没有改变 根据以上实验现象,可得结论： 圆筒横截面上没有正应力，只有剪应 力。剪应力在截面上均匀分布，方向垂直
在外表面上
d dx
d r dx
2. 物理关系 根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料 的剪切比例极限时
G
剪应力方向垂直于半径
d G dx
3.静力学关系
dA
o
dA
dA T
A
d G dx dA T A d 2 G d A T dx A
145 , min 45 , max
2
4
1
45
45
第八章 扭 转
由此看来，铸铁圆柱的所谓扭转破坏，其实质上是沿45º 方
向拉伸引起的断裂。
也因此，在纯剪切应力状态下直接引起断裂的最大拉 应力 max 总是等于横截面上相应的应力，所以在铸铁圆杆
T dx GI p l
CL5TU5
Tl 若T const，则 GIp
比较：
Nl l EA
圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
强度条件： max
刚度条件：
T [ ] Wt
rad / m
d T [ ] d x GI p T 180 [ ] GI p
例：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆 0.8 轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?
解：设实心轴的直径为 d1 ，由
T
d1
16
3
T
D
16
3
0.8 (1 0 .5 )
2
4
D 得： 1.022 d 1 1.192
2
A空 A实
D
4
(1 0 .5 ) 0.8
2
d1
G
G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切 胡克定律
剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E 泊松比μ
对于各向同性材料,可以证明:E、G、μ 三个弹 性常数之间存在着如下关系
E G 2(1 )
§8-4 圆轴扭转时的应力和变形
一、圆轴扭转时横截面上的应力
变形几何关系 从三方面考虑：物理关系 静力学关系
纯剪切状态,现改其为平面图表示：
y d
n a
n
d x
x
c
e (a)
b
c
e (b)
t
第八章 扭 转
y d
n a n
d
x
x
e c (a) b
c
e (b)
t
研究垂直于前后两个面的任意斜截面de上的应力,如 图a、b。de 斜面作着未知的正应力 和剪应力 。 设de的面积为dA，则
令 I p dA
2 A 2
I p dA 极惯性矩
d T 则 dx G I p
A
d T dx G I p
d G T T G GIp Ip dx
max
T max T Ip Wt
Wt
Ip
max
抗扭截面模量
T Ip
dAdc dA cos , dAce dA sin .
第八章 扭 转
F
n
0,
n
d
( dA cos ) sin ( dA sin ) cos dA 0
简化后：
Fra Baidu bibliotek
x
sin 2
同理 得：
F 0
cos 2
(1 )
4
极惯性矩： 实心圆： I p
d
4
32 4 4 4 (D d ) D 4 (1 ) 空心圆： I p 32 32
抗扭截面模量： 实心圆： Wt
d
3
16 3 D 4 (1 ) 空心圆： Wt 16
二、圆轴扭转时的变形
d T d x GI p T d dx GI p
4
Wt
Ip
max
3 Ip d d 16 2
o
d
CL5TU5
对于空心圆，外径为D，内径为d
I p dA
2 A
D/2 d /2 4
2
2 d
d D
(D d )
4 4
32
D (1 )
4
32
Wt
Ip
max
D
16
3
Ip D 2
取出的分离体（半个圆柱体）。试绘出
（1）横截面AGB上应力沿直径AB的分布； （2）径截面ABEF上应力分别沿直径AB、CD、EF的
分布。
F
MT
D
B
MT
E
C
A
G
第八章 扭 转
答案:
F
MT
D
B
MT
E
C
A G
第八章 扭 转
T
x x
(a) d c (b) a
x
A
d
现从受扭圆杆件的表面A取出一单元体（图(b)）,图b处于
max
max
max
T Wt
CL5TU9
第八章 扭 转
思考题8-2： 下图所示为一由均质材料制成的空心圆轴之横截面，
该截面上的扭矩MT 亦如图所示，试绘出水平直经AB上各
点处剪应力的变化图。
MT A
.
O
B
第八章 扭 转
思考题8-2参考答案:
MT
A
O
B
第八章 扭 转
思考题8-3： 一受扭圆轴,由实心杆1和空心杆2紧配合而成。整个 杆受扭时两部分无相对滑动,试绘出剪应力沿水平直经的 变化图，若（1）两杆材料相同，即G1=G2=G；（2）两 材料不同，G1=2G2。
点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。
CL5TU11
解：
A
TA 1000 0.015 63 . 66 MPa 4 Ip 0.04 4 (1 0.5 ) 32
max
1000 T 84 . 88 MPa Wt 0.04 3 (1 0.54 ) 16
M A 1170 Nm M B M C 351 Nm M D 468N m
T1 M B 351 Nm
T2 702 N m
T3 M D 468N m
T (N m)
T1 351 N m T2 702 N m T3 468 N m
dy dx
t
微元体 单元体
( t d y)dx ( t dx)dy
CL5TU7
剪应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上,
剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同
时指向或背离两平面的交线。
三、剪切胡克定律
CL5TU8
薄壁圆筒的实验, 证实了剪应力与剪应变之间 存在着象拉压胡克定律类似的关系, 即当剪应力 不超过材料的剪切比例极限τp时,剪应力与剪应 变成正比
于半径。
剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径
m
m
T
T
dA
r
dA
r d A T r dA T
A A
r 2 rt T
T 2 2 r t
根据精确的理论分析,当t≤r/10时,上式的
误差不超过4.52%,是足够精确的。
二、剪应力互等定理
4
0.783
0.512
例：一厚度为30mm、内直径为230mm 的空
心圆管，承受扭矩T=180 kN· m 。试求管中的
最大剪应力，使用：
(1)薄壁管的近似理论；
(2)精确的扭转理论。
解：(1) 利用薄壁管的近似理论可求得
max
T 180 10 56.5 MPa 2 2 2 r t 2 0.13 0.03
c
e (b)
t
第八章 扭 转
当 0 与 90 时 :
n d
有最大值,即为
45 的情况下: 有极值, 即为 .
x
145 , min
c
3
e (b)
t
45 , max
的抗扭强度的计算中也就以横截面上的 作为依据。如下
图所示。
T T
σmin
max
断裂线
45 螺旋 面上 例：图示铸铁圆轴受扭时，在＿＿＿＿
发生断裂，其破坏是由 最大拉 应力引起的。
在图上画出破坏的截面。
CL5TU10
例：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截
面轴，受扭矩T=1kN· m作用，计算横截面上A
CL5TU5
1.变形几何关系
观察到下列现象:
(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离
没有变化
(2)纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度γ
平面假设：
变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它
像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。
CL5TU5
d
CL5TU5
dx d
若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍
保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？
3
(2) 利用精确的扭转理论可求得
max
180 10 3 4 3 D 4 0 . 29 230 (1 ) 1 16 290 16 62.2 MPa
T
3
例：一空心圆轴，内外径之比为α=0.5，
两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，
T M
扭矩
T M
CL5TU6
例： 图示传动轴，主动轮A输入功率 NA=50 马力，从动轮B、C、D输出功率分 别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马力，轴的 转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
CL5TU3
解：
{P}A 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 {P}B 15 M B M C 7024 7024 351 Nm n 300 {P}C 20 M D 7024 7024 468N m n 300
考虑斜截面上的应力。
第八章 扭 转
方法：扭杆假想切开斜截面 扭杆，应力分布不均匀，不能切开斜截面
点上切一个单元体
T x
(a)
A
第八章 扭 转
x
x
(1) 左、右横截面
d a
(2) 顶、底面，径向截面
(3) 前、后面，切向截面
c (b) d
第八章 扭 转
思考题8-6 如图所示为从受扭实心圆截面杆中，以径向截面ABEF
min max
10 20
42.44 MPa
例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之 比α＝d2／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上
的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直
径之比D2/D1。
解：由
T
D1
16
3
T
D2
16
3
(1 0.8 )
4
得：
D2 1 3 1192 . 4 D1 1 0.8
MT 1 2
第八章 扭 转
思考题8-3（1）答案：
MT
2 1 G1=G2=G
第八章 扭 转
思考题8-3（2）答案：
MT
2 1 G1=2G2
下面求极惯性矩I p 和抗扭截面模量Wt
I p dA
2 A
d /2 0
2
2 d 2
d /2 0
3
d
d 4 2 d 2 4 32
第八章 扭 转
§8-1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
汽车的转向操纵杆
CL5TU1
CL5TU2
二、外力偶矩的计算
设某轮所传递的功率是{P} kW，轴的转 速是 n r/min
CL5TU18
{P}kW的功率相当于每分钟作 功：
W = {P}kW ×1000 ×60 (1)
外力偶矩M所作的功：
W = M 2 n
/m
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半
时，横截面的最大剪应力是原来的 8 倍？
圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
T T max Wt d 3 16 Tl Tl 4 GIp d G 32
第八章 扭 转
8.2.4 斜截面上的应力 通过扭转实验发现： (1) 低碳钢试件系横截面剪断； (2) 铸铁试件则沿着与轴线成45º 的螺旋线剪断； (3) 木材试件沿与轴线平行的方向劈裂。 研究类似铸铁试件破坏原因
(2)
(1) = (2) 得 {P}kW ×1000 ×60 = M 2 n
{P}─ kW {P} M 9549 n─ r/min n M─ N m
{P}─ P S(马力) {P} M 7024 n─ r/min n m─ N m
§8-2 扭矩和扭矩图
§8-3 薄壁圆筒的扭转
一、薄壁圆筒的扭转应力分析
等厚度的薄壁圆筒,平均半径为 r,壁厚为 t
CL5TU4
受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成
方格,然后加载。
m
m
观察到如下现象：
(1) 纵向线倾斜了同一微小角度γ
(2) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距
离没有改变 根据以上实验现象,可得结论： 圆筒横截面上没有正应力，只有剪应 力。剪应力在截面上均匀分布，方向垂直
在外表面上
d dx
d r dx
2. 物理关系 根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料 的剪切比例极限时
G
剪应力方向垂直于半径
d G dx
3.静力学关系
dA
o
dA
dA T
A
d G dx dA T A d 2 G d A T dx A
145 , min 45 , max
2
4
1
45
45
第八章 扭 转
由此看来，铸铁圆柱的所谓扭转破坏，其实质上是沿45º 方
向拉伸引起的断裂。
也因此，在纯剪切应力状态下直接引起断裂的最大拉 应力 max 总是等于横截面上相应的应力，所以在铸铁圆杆