2、双曲线的参数方程
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由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。
练习: 练习
1.已知参数方程
1 x = t + t 1 (t 是参数 t >0) 是参数, y = t − t
化为普通方程,画出方程的曲线 化为普通方程 画出方程的曲线. 画出方程的曲线
x = a sec α
2.参数方程
y = b t a n α (α 是 参 数 , − 2 < α < 2 )
二、圆锥曲线的参数方程
1、椭圆的参数方程 2、双曲线的参数方程 3、抛物线的参数方程
双曲线的参数方程
设M ( x , y )
a
y A o B
ϕ
B'
•M
A' x
在∆OAA '中，x =
| OA | b | OA ' |= = = cos ϕ cos ϕ
பைடு நூலகம்
b • sec ϕ ,
b
在∆OBB '中，y = | BB ' |=| OB | • tan ϕ = b • tan ϕ .
x2 y2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 − 2 = 1与三角恒等式 2 a b 2 2
的实质是三角代换. 的实质是三角代换
sec ϕ = 1 + tan ϕ 相比较而得到，所以双曲线的参数方程 相比较而得到，
x2 y2 如 例2、图 ， 设 M 为 双 曲 线 a 2 − b 2 = 1( a > 0 , b > 0 )任 意 一 点 ， O为 原 点 ， 、 过 点 M 作 双 曲 线 两 渐 近 线 的 平 行 线 ， 分 别 与 两 渐 近 线 交 于 A， B 两 点 。 探 求 平 行 四 边 形 MAOB的 面 积 ， 由 此 可 以 发 现 什 么 结 论 ？ 解：双曲线的渐近线方程为：y = ± b x. a y 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asecϕ ,btanϕ）,
2 2
y a A B' o B
ϕ
•M
A' x
说明： 说明：
3π 通 规 ϕ ∈[o,2π)且ϕ ≠ ， ≠ 。 常 定 ϕ 2 2
x = a sec ϕ (ϕ为参数) y = b tan ϕ
π
b
⑴ 这里参数
ϕ 叫做双曲线的离心角与直线 的倾斜角不同 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同 的倾斜角不同.
π
π
表示什么曲线?画出图形 表示什么曲线 画出图形. 画出图形
x2 y 2 3.若双曲线 2 − 2 = 1(b > a > 0)上有两点A, B与它的 a b 中心的连线互相垂直. 1 1 求证: 为定值. + 2 2 |OA| |OB|
x = a sec ϕ (ϕ为参数) 所以M 的轨迹方程是 y = b tan ϕ
x2 y2 消去参数后， =1 消去参数后，得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
x y - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： 2 a b
b A 则直线MA的方程为：y − b tan ϕ = − ( x − a sec ϕ ). ① M x a b 将y= x代入①，解得点A的横坐标为 O a a B xA = （secϕ + tanϕ）. 2 a 同理可得，点B的横坐标为xB = （secϕ − tanϕ）. 2 b 设∠AOx=α ,则tanα = . a xA x • B sin2α • 所以MAOB的面积为 S MAOB =|OA||OB|sin2α = cosα cosα a 2(sec2ϕ -tan 2ϕ ) a2 a 2 b ab = • sin2α = • tan α = • = . 4cos2α 2 2 a 2
练习: 练习
1.已知参数方程
1 x = t + t 1 (t 是参数 t >0) 是参数, y = t − t
化为普通方程,画出方程的曲线 化为普通方程 画出方程的曲线. 画出方程的曲线
x = a sec α
2.参数方程
y = b t a n α (α 是 参 数 , − 2 < α < 2 )
二、圆锥曲线的参数方程
1、椭圆的参数方程 2、双曲线的参数方程 3、抛物线的参数方程
双曲线的参数方程
设M ( x , y )
a
y A o B
ϕ
B'
•M
A' x
在∆OAA '中，x =
| OA | b | OA ' |= = = cos ϕ cos ϕ
பைடு நூலகம்
b • sec ϕ ,
b
在∆OBB '中，y = | BB ' |=| OB | • tan ϕ = b • tan ϕ .
x2 y2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 − 2 = 1与三角恒等式 2 a b 2 2
的实质是三角代换. 的实质是三角代换
sec ϕ = 1 + tan ϕ 相比较而得到，所以双曲线的参数方程 相比较而得到，
x2 y2 如 例2、图 ， 设 M 为 双 曲 线 a 2 − b 2 = 1( a > 0 , b > 0 )任 意 一 点 ， O为 原 点 ， 、 过 点 M 作 双 曲 线 两 渐 近 线 的 平 行 线 ， 分 别 与 两 渐 近 线 交 于 A， B 两 点 。 探 求 平 行 四 边 形 MAOB的 面 积 ， 由 此 可 以 发 现 什 么 结 论 ？ 解：双曲线的渐近线方程为：y = ± b x. a y 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asecϕ ,btanϕ）,
2 2
y a A B' o B
ϕ
•M
A' x
说明： 说明：
3π 通 规 ϕ ∈[o,2π)且ϕ ≠ ， ≠ 。 常 定 ϕ 2 2
x = a sec ϕ (ϕ为参数) y = b tan ϕ
π
b
⑴ 这里参数
ϕ 叫做双曲线的离心角与直线 的倾斜角不同 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同 的倾斜角不同.
π
π
表示什么曲线?画出图形 表示什么曲线 画出图形. 画出图形
x2 y 2 3.若双曲线 2 − 2 = 1(b > a > 0)上有两点A, B与它的 a b 中心的连线互相垂直. 1 1 求证: 为定值. + 2 2 |OA| |OB|
x = a sec ϕ (ϕ为参数) 所以M 的轨迹方程是 y = b tan ϕ
x2 y2 消去参数后， =1 消去参数后，得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
x y - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： 2 a b
b A 则直线MA的方程为：y − b tan ϕ = − ( x − a sec ϕ ). ① M x a b 将y= x代入①，解得点A的横坐标为 O a a B xA = （secϕ + tanϕ）. 2 a 同理可得，点B的横坐标为xB = （secϕ − tanϕ）. 2 b 设∠AOx=α ,则tanα = . a xA x • B sin2α • 所以MAOB的面积为 S MAOB =|OA||OB|sin2α = cosα cosα a 2(sec2ϕ -tan 2ϕ ) a2 a 2 b ab = • sin2α = • tan α = • = . 4cos2α 2 2 a 2