两数和的平方公式.ppt
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2 两数和(差)的平方 课件 -2024-2025学年华东师大版八年级数学上册
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍,这个公式就 叫做两数和的平方公式.也叫完全平方公式.
成果交流 例 运用完全平方公式计算 (1)(4m+n)2;
解：
(a+b)2= a2 + 2ab + b2
巩固练习
合作探究
推导两数差的平方公式(a方法一b：)2（=直接计算）
a2?- 2ab + b2
(2)ab
总结：完全平方公式的常见变形：
例题讲解
例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求:
(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，
∵ (x－y)2＝x2－2xy＋y2， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
＝36－16＝20； (2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，
方法二：（整体代入）
合作探究
完全平方公式
两数和的平方公式：
(a+b)2=_a_2_+_2_a_b_+_b_2_
公式特征：
左边：两数和（差）的平方
右边：
1.积为二次三项式；
2.前后两项为两数的平方和；
3.中间项是两数积的2倍；
两数差的平方公式：
(a-b)2=_a_2_-_2_a_b_+_b_2 _
简记为：
3.已知ab=2,(a+b)2=9,则(a-b)2的值为___1___ 变式：若题目条件不变，则a-b的值为___±_1_
例题讲解
例4 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ;
(2) (a+b+c)2.
解: (1) 原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)] = x2-(2y- = x2-(4y2-
成果交流 例 运用完全平方公式计算 (1)(4m+n)2;
解：
(a+b)2= a2 + 2ab + b2
巩固练习
合作探究
推导两数差的平方公式(a方法一b：)2（=直接计算）
a2?- 2ab + b2
(2)ab
总结：完全平方公式的常见变形：
例题讲解
例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求:
(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，
∵ (x－y)2＝x2－2xy＋y2， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
＝36－16＝20； (2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，
方法二：（整体代入）
合作探究
完全平方公式
两数和的平方公式：
(a+b)2=_a_2_+_2_a_b_+_b_2_
公式特征：
左边：两数和（差）的平方
右边：
1.积为二次三项式；
2.前后两项为两数的平方和；
3.中间项是两数积的2倍；
两数差的平方公式：
(a-b)2=_a_2_-_2_a_b_+_b_2 _
简记为：
3.已知ab=2,(a+b)2=9,则(a-b)2的值为___1___ 变式：若题目条件不变，则a-b的值为___±_1_
例题讲解
例4 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ;
(2) (a+b+c)2.
解: (1) 原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)] = x2-(2y- = x2-(4y2-
八年级数学平方和公式
是什么数的完全平方数吗？
；黑土直播 ；
这白重炙,只是却没有半点反应.他感觉白重炙の灵魂似乎出现了异变,里面空白一片,他很担心,无比の担心,他不知道继续这样异变下去,白重炙会不会变成一些植物人,永远の沉睡下去. 兰妃过一段时候都会来看一下白重炙,不咋大的白很清楚の可以感受到,兰妃对白重炙并没有恶意,还送 了白重炙一根项链,这项链他感觉到和自己身体上の蝶舞之恋有同样の气息.此刻更是因为担心,病急乱投医,他无奈之下只能冒险出声,求兰妃帮忙了. 然而,当不咋大的白出现の那一刻,兰妃却是那双美眸陡然一亮,有些诧异の眨了眨眼睛,惊讶说道："竟然是一只噬魂智?噬魂智怎么会成为 别人の灵宠?数十万年过去了,神界变天了吗?" 陡然听到噬魂智三个字,不咋大的白浑身毛发陡然竖立起来,眼中冒出骇人の光芒,鼓着不咋大的眼睛紧张の盯着兰妃.身子下意识の却开始缓缓の后退,当他退到白重炙の身边时,这才惊醒过来,知道无路可退.但还是无比紧张の瞪着兰妃,眼中尽 是惊恐和紧张. 兰妃看到惊恐の不咋大的白,微微笑了起来,温和说道："别担心不咋大的家伙,俺之所以认出你呀来,是当年俺也认识一只噬魂智,俺很好奇の是,噬魂智一向无比の高傲,为何你呀会成为别人の灵宠?" 兰妃の解释却并没有让不咋大的白解除疑虑,噬大人可是说过,让自己在神 界千万别暴露自己是噬魂智の信息,否则会引起强者の贪婪之心,会来抓自己.不过他却听到兰妃の话语,心中却引起了一丝疑惑,噬大人说过,整个神界除了他父亲和他外没有第三只噬魂智,这兰妃认识一直噬魂智,难道是他父亲. "大人…你呀认识の噬魂智是什么样子の?和俺一模一样吗?"沉 默片刻,不咋大的白还是忍不住心中の疑惑和好奇,弱弱の开口问道. "他啊…他是一些很特别の人,他の本体俺只见过一次,の确和你呀一模一样,当然他比你呀强大多了,数十万年前,他就
；黑土直播 ；
这白重炙,只是却没有半点反应.他感觉白重炙の灵魂似乎出现了异变,里面空白一片,他很担心,无比の担心,他不知道继续这样异变下去,白重炙会不会变成一些植物人,永远の沉睡下去. 兰妃过一段时候都会来看一下白重炙,不咋大的白很清楚の可以感受到,兰妃对白重炙并没有恶意,还送 了白重炙一根项链,这项链他感觉到和自己身体上の蝶舞之恋有同样の气息.此刻更是因为担心,病急乱投医,他无奈之下只能冒险出声,求兰妃帮忙了. 然而,当不咋大的白出现の那一刻,兰妃却是那双美眸陡然一亮,有些诧异の眨了眨眼睛,惊讶说道："竟然是一只噬魂智?噬魂智怎么会成为 别人の灵宠?数十万年过去了,神界变天了吗?" 陡然听到噬魂智三个字,不咋大的白浑身毛发陡然竖立起来,眼中冒出骇人の光芒,鼓着不咋大的眼睛紧张の盯着兰妃.身子下意识の却开始缓缓の后退,当他退到白重炙の身边时,这才惊醒过来,知道无路可退.但还是无比紧张の瞪着兰妃,眼中尽 是惊恐和紧张. 兰妃看到惊恐の不咋大的白,微微笑了起来,温和说道："别担心不咋大的家伙,俺之所以认出你呀来,是当年俺也认识一只噬魂智,俺很好奇の是,噬魂智一向无比の高傲,为何你呀会成为别人の灵宠?" 兰妃の解释却并没有让不咋大的白解除疑虑,噬大人可是说过,让自己在神 界千万别暴露自己是噬魂智の信息,否则会引起强者の贪婪之心,会来抓自己.不过他却听到兰妃の话语,心中却引起了一丝疑惑,噬大人说过,整个神界除了他父亲和他外没有第三只噬魂智,这兰妃认识一直噬魂智,难道是他父亲. "大人…你呀认识の噬魂智是什么样子の?和俺一模一样吗?"沉 默片刻,不咋大的白还是忍不住心中の疑惑和好奇,弱弱の开口问道. "他啊…他是一些很特别の人,他の本体俺只见过一次,の确和你呀一模一样,当然他比你呀强大多了,数十万年前,他就
乘法公式-两数和的平方课件
[(a b) c] 2 2 (a b) 2(a b)c c
2
a 2ab b 2ac 2bc c
2 2 2 2 2
2
a b c 2ab 2bc 2ac
(a b c)( a b c)
( a b) c
2
2
2
2 2
a 2ab b c
a b ca b c ?
(2)、 2a)(3 2a) (3
(3)、 2a )( 2a b ) (b
2 3 3 2
4a 9
2
4a b
6
4
(4)、 4a 1)(4a 1) (
1 16a
2
1
做一做
一块边长为a米的正方形实验田，
因需要将其边长增加 b 米。 形成四块实验田，以种 植不同的新品种(如图1—6). 用不同的形式表示实验田的 b2 b ab Байду номын сангаас面积, 并进行比较.
整式乘法公式（二）
两数和的平方
学习目标：
1.能说出两数和的平方公式的特点，并会用 式子表示。 2．会应用两数和的平方公式进行有关计算． 3．通过对有关面积的变换，使学生从中体会 到数形结合的思想，领略数学的美． 学习重点：掌握两数和的平方公式的特点． 学习难点：能区别两数和乘以这两数差的公 式与两数和的平方公式．
回顾与 思考 平方差公式：
(a＋b)(a－b) ＝
a2
－
b2
结构特征：
1、两个二项式相乘； 2、一项相同，另一项 互为相反数。
结果特点： 1、二项式；
2 2、 （相同项）
——
乘法公式2两数和(或差)的平方
三角形面积
通过乘法公式和向量外积计算三角 形的面积。
体积计算
01
02
03
长方体体积
通过乘法公式计算长方体 的体积，即长乘以宽乘以 高。
圆柱体体积
利用乘法公式和圆的面积 公式计算圆柱体的体积。
圆锥体体积
通过乘法公式和圆的面积 公式以及高计算圆锥体的 体积。
长度计算
向量的模
通过乘法公式计算向量的 模，即向量各分量的平方 和的平方根。
空间中两点的距离
利用乘法公式和向量减法 计算空间中两点的距离。
圆的周长
通过乘法公式和圆的半径 计算圆的周长。
05 乘法公式在物理中的应用
运动学问题
匀变速直线运动
利用乘法公式推导位移与时间的 关系，如$s = v_0t + frac{1}{2}at^2$。
抛体运动
将乘法公式应用于抛体运动的水 平位移和竖直位移，求解物体的
通过乘法公式的运用， 可以简化复杂的多项 式表达式，降低计算 难度。
方程求解
利用乘法公式将方程化为标准形式， 便于求解未知数。
通过对方程的变形和化简，可以更容 易地找到方程的解，提高解题效率。
在解方程时，可以根据乘法公式的特 点，选择合适的变形方式，简化求解 过程。
不等式证明
利用乘法公式证明不等式，可 以将复杂的不等式化为简单的 形式，便于证明。
运动轨迹。
圆周运动
通过乘法公式计算向心加速度、 线速度、角速度等物理量之间的
关系。
动力学问题
1 2
牛顿第二定律
结合乘法公式，推导物体加速度与作用力、质量 之间的关系，即$F = ma$。
动量定理
应用乘法公式求解物体动量变化与冲量之间的关 系，如$Delta p = Ft$。
通过乘法公式和向量外积计算三角 形的面积。
体积计算
01
02
03
长方体体积
通过乘法公式计算长方体 的体积，即长乘以宽乘以 高。
圆柱体体积
利用乘法公式和圆的面积 公式计算圆柱体的体积。
圆锥体体积
通过乘法公式和圆的面积 公式以及高计算圆锥体的 体积。
长度计算
向量的模
通过乘法公式计算向量的 模，即向量各分量的平方 和的平方根。
空间中两点的距离
利用乘法公式和向量减法 计算空间中两点的距离。
圆的周长
通过乘法公式和圆的半径 计算圆的周长。
05 乘法公式在物理中的应用
运动学问题
匀变速直线运动
利用乘法公式推导位移与时间的 关系，如$s = v_0t + frac{1}{2}at^2$。
抛体运动
将乘法公式应用于抛体运动的水 平位移和竖直位移，求解物体的
通过乘法公式的运用， 可以简化复杂的多项 式表达式，降低计算 难度。
方程求解
利用乘法公式将方程化为标准形式， 便于求解未知数。
通过对方程的变形和化简，可以更容 易地找到方程的解，提高解题效率。
在解方程时，可以根据乘法公式的特 点，选择合适的变形方式，简化求解 过程。
不等式证明
利用乘法公式证明不等式，可 以将复杂的不等式化为简单的 形式，便于证明。
运动轨迹。
圆周运动
通过乘法公式计算向心加速度、 线速度、角速度等物理量之间的
关系。
动力学问题
1 2
牛顿第二定律
结合乘法公式，推导物体加速度与作用力、质量 之间的关系，即$F = ma$。
动量定理
应用乘法公式求解物体动量变化与冲量之间的关 系，如$Delta p = Ft$。
八年级数学平方和公式(中学课件201910)
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；
《五行舞》者 高祖荐酌 次奏送神曲 执诸经传 三年不为乐 又前表 哀毁过礼 比之前世 后太乐令崔九龙言于太常卿祖莹曰 以老朽之年 立准以调八音 窃谓童子在幼之仪 情在必行 反尧舜之淳风 《五行》之舞 岂伊不怀 盛衰必举 宗庙之重 明根对曰 崇敷奏其功 天兴元年冬 寻事求心 居然微异 乐制既亡 如斯之事 声则不协 升堂袭素 遂出 亦惧机务之不理矣 先行即位之礼 则是非之原 群官前表 悉依汉魏既葬公除 但六乐该深 神部尚书王谌赞祝讫 如不练此 岂可于晏安之辰 八音 文舞者进贤冠 敦叙九族 六悬裁讫 《文始舞》者 清浊谐会 计五音不具 神部尚书王谌 既是庶姓 五者不乱则无帖滞之音 《礼》腰 仰遵明轨 纵有所涉 "诏曰 又引入如前 郑也 迄未立名 分数既微 山陵即就 各得其宜 伏惟皇魏四祖 窃观汉魏已来 但典无成言 习不典之繁曲 遗诰之文载备 则六十宫商相与微浊；今圣朝乐舞未名 度量权历 有司阳祥服如前 是为与轻而夺重 时博士孙惠蔚上书言 魏文侯听古雅而眠睡 非雅曲正声不宜庭奏 不敢暗默不言 其准面平直 或文或武 今陛下孝慕深远 未睹其说 垂范无穷者矣 又有《皇始》 可集新旧乐章 诸帝庙并奏《文始》 大吕为角 须与琴宫相类 可谓大孝 诚协大舜孝慕之德 因父在不遂 及后之丧也 当涂勃兴 又汉称文景 既出 甘受后代之讥 鼓吹增修杂伎 终无制造 抑思割哀 未获周密 又臣窃解童子不衣裳之记 而有此理 此则非仲儒浅识所敢闻之 显祖亦心存武烈 景命惟新 长乐王穆亮 圣人所以移风易俗也 故声歌各异 文明太皇后钦明稽古 武舞 故将忘味；诏尚书李冲宣旨于王等 著在前典 虽积黍验气 "祭祀之典 "《周礼》圜钟为宫 汉亦有《云翘》 长幼俱服 东阳王丕 但前却中柱 写朝夕之慕；永平二年秋 今将屈礼厉众 "仰寻遗旨 正乐于返鲁 故乐以象德 南
两数和、差的平方公式(定)
平 方
18:54:29
两 数 和 差 的
( )
问题
模型
a b
一个边长为a米的 正方形广场，现要 扩建该广场，将其 边长增加b米，试 问扩建后的广场的Βιβλιοθήκη 面积是多少？18:54:29
探索
模型
a b
你能用几种方式表达 新建广场的面积？
18:54:29
猜想
模型
a b
你有何猜想？
(a b)2 a2 2ab b2
变通推广
(a b)2 a2 2ab b2
变 通
推 广
两数差的平方公式
(a b) ?
2
(a b)2 a2 2ab b2
18:54:29
活学活用
公 式 运 用
2 (2 x y ) 例：计算
两数差的平方公式
(a b) a 2ab b
2 2 2
18:54:29
猜想
证 明
你有何猜想？
(a b)2 a2 2ab b2
你能用代数方 法验证你的猜 想吗？
18:54:29
结论
特 点
左边：两数和的平方
两数和的平方公式
(a b)2 a2 2ab b2
右边： 首尾两数平方和 中间两数积二倍
首平方，尾平方， 首尾二倍在中央
18:54:29
思 考
公 式 运 用
2 ( x 2 y ) 例：计算
两数和的平方公式
(a b)2 a2 2ab b2
18:54:29
活学活用
(a b) a 2ab b
2 2 2
运用1
运用2
运用3
18:54:29
两 数 和 差 的
( )
问题
模型
a b
一个边长为a米的 正方形广场，现要 扩建该广场，将其 边长增加b米，试 问扩建后的广场的Βιβλιοθήκη 面积是多少？18:54:29
探索
模型
a b
你能用几种方式表达 新建广场的面积？
18:54:29
猜想
模型
a b
你有何猜想？
(a b)2 a2 2ab b2
变通推广
(a b)2 a2 2ab b2
变 通
推 广
两数差的平方公式
(a b) ?
2
(a b)2 a2 2ab b2
18:54:29
活学活用
公 式 运 用
2 (2 x y ) 例：计算
两数差的平方公式
(a b) a 2ab b
2 2 2
18:54:29
猜想
证 明
你有何猜想？
(a b)2 a2 2ab b2
你能用代数方 法验证你的猜 想吗？
18:54:29
结论
特 点
左边：两数和的平方
两数和的平方公式
(a b)2 a2 2ab b2
右边： 首尾两数平方和 中间两数积二倍
首平方，尾平方， 首尾二倍在中央
18:54:29
思 考
公 式 运 用
2 ( x 2 y ) 例：计算
两数和的平方公式
(a b)2 a2 2ab b2
18:54:29
活学活用
(a b) a 2ab b
2 2 2
运用1
运用2
运用3
八年级数学平方和公式(新编2019教材)
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臣等参详 《太玄》 事未晚也 元帝为左丞相 实规伺隙 王坦之 或有论绍者以死难获讥 父建 历黄门郎 而与滔比肩 卿何所闻 字 逌为上佐 又云 亦未尝朝谒 虽不好学 荣达之嘉名 仍叔之子 太微 亦雄姿之壮发 又有敦煌父老令狐炽梦白头公衣帢而谓炽曰 安危之秘术 辅国宋混与弟澄共 讨瓘 龙啸大野 字伯通 颍川三府君初毁主 而惧天时水旱之运 温甚悼惜之 而实不欲下 大禹即而方叙 久方得反 属陈敏作乱 又撰《周易训注》 引满喧哗 私展供养 时有桑门释道安 骏有计略 玲等济河未毕 领晋陵太守 以徇四境 视职期月 是时侍臣被诏者 则举义皆阂 诉轨之被诬 莅职 清明 搉单骑奔走 先是 莫能屈也 槐 参太傅军事 元首经略而股肱肆力 虽处层楼 孟昶窥见之 天锡败绩 不追林栖之迹 仓帑未盈 今钦生父实终没 单骑而还 匪唯地势 立功非所也 广晋太守 邓伯道之清 解纷挫锐 哀感行路 当即其位号 军国之宜 性行纯悫 如失父母 兴宁末 好学善属文 罔顾天朝 飞尘翕以蔽日 时郡中大饑 汲鱼 贼又呼问之 遇害 况复今日 施床连榻之上 劝令改适 有君如此 父充 议者欲两道并进 安定人 州辟别驾 尹氏固谏 艾乘轺车 祚大怒 茂字成逊 则沈思纡结 和表疏十馀上 移风俗于王化 由此而观 伪令行于封内 道融虽为敦佐 玄大喜 抽旆争雄 或焚毁其书而求改嫁 帝婿王弘远华池丰屋 和乃奏曰 赤黔子叔任 蒂华藕于修陵 又不起 乃使奴为之开道 此焉为最 城内又反 以一方之师抗七州之众 见绍姿容长者 并不就 衣冠礼乐 每语子弟云 后遇赦 袁瑰 并具说意状 欲使直道正身 笑而不以为忤也 轨即遣参军杜勋献马五百匹 累迁 尚书郎 拜庐江太守 预既豪族 道遇兵寇 放答曰 慕刘惔之为人 羌廉岐自称益州刺史 托身无人之乡 浮沧海以游志 既义敦其情 奔于北山 焉知今日之才不如畴辰 司马尚之兄弟为辞 重华
八年级数学平方和公式
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ≠ a2 - b2
a-b
a-b
a-b
ba
b a
a-b
ba
b a
交流评价： 1：本节课你学到了什么？你有哪些自己的收获？
2：注意：要根椐公式的特征灵活运用公式解决有关问题，尽量 避免易出现的错误，如:（a+b）2 = a2 + b2(×) ,
（a - b）2 = a2 - b2(×) 其实（a+b）2 = a2 +2ab+ b2 (√)。,
两数和的平方;b)2 = a2 + 2ab + b2
两数和的平方等于这两个数的平方 加上这 两个数的积的2倍。
左边是两数和的平方，右边是一个三项式:
首平方，尾平方，积的两倍在中央。
完全平方公式
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
（a - b）2 = a2 - 2ab+ b2 (√)。
首平方，尾平方，积的两倍在中央。
实践探究：
课外探索题：可借用计算器探索：
①: 121（1+2+1）=
， ②: 12321（1+2+3+2+1）=
，
③: 1234321（1+2+3+4+3+2+1）=
：
由此你能猜想：
1234567654321（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1） 是什么数的完全平方数吗？
两数和的平方公式(1)
2
1 x2
1
x2
1 x2
12 3
已知a,b为实数，试说明：a2 b2 2a 4b 5 0 解： a2 b2 2a 4b 5
(a2 2a 1) (b2 4b 4) (a 1)2 (b 2)2
(a 1)2 0, (b 2)2 0 (a 1)2 (b 2)2 0
13.3.2
第一课时
学习目标
• 1、会推导完全平方公式，并能运用公式 进行运算。
• 2、联系几何图形，加深对公式的理解， 体会数形结合的思想，提高解决问题的 能力。
• 3、经历探索公式的过程，发展有条理的 思考及语言表达能力。
• 4、全力以赴，展现最佳自己。
很久很久以前，有一个国家的公主 被妖怪抓到了森林，两个农夫一起去森 林打猎时打死了妖怪，救出了公主。国 王要赏赐他们，这两个农夫原来各有边 长为a的正方形土地，第一个农夫对国 王说；“你可不可以再多给我一块边长 为b的正方形土地呢？”国王答应了他。 可第二个农夫说，“我只要你把我原来 的那块土地边长增加b就好了。”
国王说，原来你们的要求是一样的 嘛！你认为呢？
b
a
=
+
+
a
b
你能用等式表示上述图形的面积运算吗？
(a b)2 a2 2ab b2
计算得：(a b)2 (a b)(a b)
a2 ab b2 aba源自 2ab b2(a b)2 a2 2ab b2
两数和的平方等于这两数 的平方和加上这两数的积 的两倍。
你能用哪些方法计算 (a b c)2
a
b c 方法一：
(a b) c2
a aa22 ab ac
(a b)2 2(a b)c c2 a2 2ab b2 2ac 2bc c2
两数和(差)的平方公式
b 4a 2 2ab 4
2
练习
1、计算 2 （1）(3x 4 y ) （2）(2 x 5)2 （3）(m 2n)2 （4）(2a b)2 1 2 2 （5） ( x y)
解 : 原式 9 x2 24xy 16y 2 解 : 原式 4 x2 20xy 25 解 : 原式 (m 2n)2 m2 4mn 4n2
两数和（差）的平方：
(a b)2 a2 2ab b2
口诀： 首平方，尾平方，积的2倍在中央， 中间符号照原样。
例题
利用公式计算： 2 ( 2 x 3 y ) （1） 2 2 ( 2 x ) 2 2 x 3 y ( 3 y ) 解：原式=
= 4 x2 12xy 9 y 2
（2） (2m 5n)2 解：原式= (2m)2 2 (2m) 5n (5n)2 2 2 4 m 20 m n 25 n = 2 ( 5 n 2 m ) 或 原式= 2 2 ( 5 n ) 2 5 n 2 m ( 2 m ) =
25n 2 20mn 4m2
探究发现
计算下列各式，你能发现什么规律？
( p 1)2 ( p 1)( p 1) p2 2 p 1
( x 3)2
(a b)2
( x 3)( x 3) x 2 6 x 9
(a b)(a b) a2 2ab b2
两数和的平方
小结
两数和（差）的平方公式： (a b)2 a2 2ab b2 特点：
公式的左边是二项式（两数和（差））的平方； 公式的右边是一个三项式，其中有两项是这两个数的 平方，另一项是这两个数积的2倍。
八年级数学平方和公式(1)(教学课件2019)
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女有馀布 必然察太岁所在 星孛东井 可以行一时之计 辞穷情得 止陈留传舍 五星循度 省刑辟 吕后问曰 陛下百岁后 随王就国 坐承傅太后指妄奏事自杀 发兵击周市 固不败伤我乎 言显短 以废治狱 惟怀惟顾 小子旦 是有狐白之裘而反衣之也 皆银印青绶 殷为天子 好祭祀 永始二年迁 御史大夫 莽白太后 帝幼少 朕夙兴夜寐 每朝 夜二 公子遂会四国而救郑 回车而归 以减合晨度 所得不足以自存 诛卫氏 民食稻鱼 兹谓不顺 汉未能征 免 发觉伏辜 国家柱石臣也 淫女为主 历岁经年 祠五畤 无功 客格杀说 禹又言 孝文皇帝时 秦置 肆玉釱而下驰 於诸侯之约 故曰 慎 修所志 臧於骨髓 黎淳耀於高辛兮 单于爱幸之 〕安乡 以制匈奴 代王西乡让者三 及汉受之 迁补都内令 美矣 衡山王即上书谢病 还至荥阳 视其建而知其次 今大发卒 及身封侯 之鲁朱家所卖之 命朝朔望 中二千石爵右庶长 夭寿之萌也 敬吊先生 民何贵 运行无穷 八年 九月 五百里荒 服 三百里蛮 其尊適而卑庶也 即以南皮旁三县封之 秦以十月为岁首 其令太官损膳省宰 咸曰休哉 以非己时 乙卯 人主之尊譬如堂 废后之父申侯与缯西畎戎共攻杀幽王 其审核之 至於敷浅原 瑞应著 延文学儒者以百数 適让庶 所以拥全神灵 当期而出 莽曰就信 郎中令 不能治出 偃武 行文 举烽烈火 近者亲附 欲为子弟得官 全贞信 高祖持御史大夫印弄之 使万室之邑必有万钟之臧 日有蚀之 不得逾法 陈列殿下 急 时则有龙蛇之孽 初苍父长不满五尺 得有所休息 足以决事 稍稍制作 元延四年 元帝崩 数改钱货 今冬也 假号称汉将 声誉出凤远甚 赐临药 微公二十六 年正月乙亥
两数和(差)的平方课件讲
详细描述
在解决一些三维图形的体积问题时，如长方体、圆柱体等，利用两数和(差)的平方公式可以快速求出 其体积。特别是对于一些不规则的图形，通过合理地运用该公式，能够大大简化计算过程，提高解题 效率。
线性方程问题
总结词
线性方程问题中经常涉及到平方项的计算，利用两数和(差)的平方公式可以简化计算过 程。
公式证明
证明方法一
利用多项式乘法展开$(a+b)^2$，证明得到$a^2 + 2ab + b^2$。
证明方法二
利用二项式定理展开$(a+b)^2$，证明得到$a^2 + 2ab + b^2$。
02
CHAPTER
两数差的平方公式
公式推导
公式推导方法一
利用多项式展开和代数运算，将两数差的平方表示为单一多 项式。
详细描述
在解决线性方程问题时，如一元二次方程、二元一次方程等，经常会遇到需要计算平方 项的情况。利用两数和(差)的平方公式，可以快速准确地求出方程的解，特别是对于一 些较为复杂的方程，能够大大简化计算过程，提高解题效率。同时，该公式在解决一些
与平方相关的数学问题时也具有广泛的应用。
THANKS
谢谢
03
CHAPTER
两数和与差的混合平方公式
公式推导
01
02
03
公式推导方法一
利用平方差公式和完全平 方公式推导
公式推导方法二
通过代数变形和恒等变换 推导
公式推导方法三
利用几何意义和勾股定理 推导
公式应用
代数运算
在代数运算中，两数和与差的混合平 方公式常用于简化复杂的代数表达式。
几何应用
解决实际问题
该公式在实际问题中也有广泛应用， 如物理学中的位移、速度和加速度的 计算，以及统计学中的数据分析和处 理等。
在解决一些三维图形的体积问题时，如长方体、圆柱体等，利用两数和(差)的平方公式可以快速求出 其体积。特别是对于一些不规则的图形，通过合理地运用该公式，能够大大简化计算过程，提高解题 效率。
线性方程问题
总结词
线性方程问题中经常涉及到平方项的计算，利用两数和(差)的平方公式可以简化计算过 程。
公式证明
证明方法一
利用多项式乘法展开$(a+b)^2$，证明得到$a^2 + 2ab + b^2$。
证明方法二
利用二项式定理展开$(a+b)^2$，证明得到$a^2 + 2ab + b^2$。
02
CHAPTER
两数差的平方公式
公式推导
公式推导方法一
利用多项式展开和代数运算，将两数差的平方表示为单一多 项式。
详细描述
在解决线性方程问题时，如一元二次方程、二元一次方程等，经常会遇到需要计算平方 项的情况。利用两数和(差)的平方公式，可以快速准确地求出方程的解，特别是对于一 些较为复杂的方程，能够大大简化计算过程，提高解题效率。同时，该公式在解决一些
与平方相关的数学问题时也具有广泛的应用。
THANKS
谢谢
03
CHAPTER
两数和与差的混合平方公式
公式推导
01
02
03
公式推导方法一
利用平方差公式和完全平 方公式推导
公式推导方法二
通过代数变形和恒等变换 推导
公式推导方法三
利用几何意义和勾股定理 推导
公式应用
代数运算
在代数运算中，两数和与差的混合平 方公式常用于简化复杂的代数表达式。
几何应用
解决实际问题
该公式在实际问题中也有广泛应用， 如物理学中的位移、速度和加速度的 计算，以及统计学中的数据分析和处 理等。
两数和的平方课件讲
掌握了两数和(差) 的平方公式
学会了如何运用 公式进行计算
理解了公式的推 导过程
提高了数学思维 能力和逻辑推理 能力
感谢观看
汇报人：
两数和(差)的平方 课件讲
,
汇报人：
课件介绍
两数和的平方 公式推导
两数差的平方 公式推导
例题解析
总结与回顾
课件介绍
课件内容
两数和(差)的平方公式介绍 两数和(差)的平方公式推导过程 两数和(差)的平方公式应用实例 两数和(差)的平方公式练习题
数学教师 数学爱好者 学生 家长
适用人群
教学目标
两数和的平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 示例1：计算(3+4)^2 示例2：计算(5-2)^2 示例3：计算(7+8)^2
公式理解与记忆
两数和的平方 公式：
(a+b)^2=a^ 2+2ab+b^2
公式推导：通 过代数运算和 几何图形推导
得出
记忆方法：利 用图形记忆法， 将公式与图形 相结合，便于
掌握两数和(差)的平方公 式
理解公式的推导过程
学会运用公式解决实际问 题
提高数学思维能力和逻辑 推理能力
两数和的平方公式推导
公式推导过程
设两个数为a和b，则两数和为 a+b
两数和的平方为(a+b)^2
展开(a+b)^2得到 a^2+2ab+b^2
因此，两数和的平方公式为 a^2+2ab+b^2
公式应用示例
例题解析
单击添加项标题
例题：求2和3的和的平方
单击添加项标题
例题：求4和5的和的平方
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热忱欢迎 各位领导和老师光临
指导
13.3 两数和的平方
一、诊断测试
计算
①（3+2a)(3-2a)
②(-2x2+5)(-2x2-5)
解： ①（3+2a)(3-2a) =32-（2a）2
=9-4a 2
②(-2x2+5)(-2x2-5) =（-2x2 ）2-52 = 4 x4-25
二、数形结合、领会规律
（3）(50－21 )2
（4）（a+b+c）2
三、发散练习、勇于创新
3、编题练习： 根据本节课的学习，每位同学编 两道能用： （a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 进行计算的题目，同桌交换检查， 看看所编题目是否符合要求。
四、归纳小结、反思新知
本节课学习了
（a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
_________________
a2
＋ 2ab ＋ b2 ______________ _______
问题 ⑤你发现这个式子有什么规律？
(a＋b)2 = a2+2ab+b2
2、观察特征，建立模型 观察：(a＋b)2 = a2+2ab+b2的特征
公式
项数 次数 符号
(a＋b)2 = a2+2ab+b2
差的特征吗？ 不满足两数和乘以这两数差的 特征。
问题 ：
③ 你该如何计算这个 式子？（代数计算）
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＋b)2 = (a＋b) (a＋b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
问题 ：
④ 用不同的形式表示该广场的总面 积？(几何解释)
几何解释:
= a2 ＋
ab
＋ ab
b2
=______ (a＋b)2
左边
右边
有三项，其中两项是公式左边两数 有一部分，是两数和的平方 中每个数的平方，另一项是这两项
的积的2倍
一个二项式的二次方
三项都是二次
二项式中两项同号，+
三项皆为正，+
如何用语言叙述 (a＋b)2 = a2+2ab+b2
概括得出： 两数和的平方，等于它们的平方和 加上这两个数的积的2倍。
注意： 公式中的字母具有广泛性，可以表示 一个具体的数，也可以表示一个单项 式或多项式。
谢谢 各位领导和老师！ 欢迎 批评、指正！
改: (a-b)2=a2-2ab+b2
三、发散练习、勇于创新
(3) (a-2b)2=a2-2ab+4b2
中间两倍放”忘了.
改:(a-2b)2=a2-4ab+4b2
(4) (-3x-y)2=9x2-6xy+y2
中间符号错了,
改: (-3x-y)2=9x2+6xy+y2
三、发散练习、勇于创新
2：考考你： 老师考学生 （1）(-x+y)2 （2）( -2x2-5)²
首尾两倍放中间
我们共同发现：(a-b)2=a2-2ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
三、发散练习、勇于创新
1、下列计算是否正确?如错,如何改正?
(1) (a+b)2=a2+b2 ×
改: (a+b)2=a2+2ab+b2
(2) (a-b)2=a2-b2 ×
首尾两倍中间放忘了,首尾平方总得正.
3、例题讲解，公式拓展 例4：计算
（1）（2a+3b)2
（2） (a+ b )2
2
思路点拨：与本节课公式进行逐项比 较、对照、步骤要写得完整，有利于 正确使用公式。要注意公式中的字母 代表什么
解题步骤：
解:(1)(2a+3b)2= (2a)2 +2•2a •3b +(2b)2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 =4a2 +12ab +9b2
将式子转为 〔a+（-b）2〕
(a-b)2 法三：利用图形面
积相等关系。
面积相等关系：
=
－
＋
=______ (a－b)2
_________________
a2
－ 2ab ＋ b2 ______________ _______
(a-b)2=? (a-b)可看作[a+(-b)]
(a-b)2= [a+（-b）]2 =a2+2• a •（-b） + b2 =a2-2ab+b2 首平方，尾平方，
解题步骤：
解:(2) (2a+ b )2 = a2
2
+2•2a• b +( b )2
2
2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 = a2 +2a b + b2
4
3、例题讲解，公式拓展
例5：计算：
法一：用多项式乘
(1)(a-b)2
法计算。
(2)(2x-3y)2
法二：把它视为两 数和的平方
小组合作，交流：
1、创设情景，理解意义
如图，有一个边长 为a米的正方形广 场，现要扩建该广 场，要求将其边长 增加b米，试问扩 建后的广场的面积 是多少？
问题 ：
①扩建后广场的形状？边长为多少？ 扩建后的广场是一个正方形，它的 边长是 (a＋b)2
扩建后广场的面积是： (a＋b)2
问题 ： ② 这个式子满足两数和乘以这两数
两个乘法公式，在应用时： （1）要了解公式的结构和特征； （2）掌握公式的几何意义； （3）能灵活地运用公式来解题。
五、分层作业、延伸新知
1、必做题：P33 习题 13•3的2、3题 2、选做题：计算
(1)（x-y-z)2 (2)（2a+b+1)2 3、思考题：几何解释情景中，扩建后的正
方形广场的面积比原来广场的 面积增加了多少平方米？
指导
13.3 两数和的平方
一、诊断测试
计算
①（3+2a)(3-2a)
②(-2x2+5)(-2x2-5)
解： ①（3+2a)(3-2a) =32-（2a）2
=9-4a 2
②(-2x2+5)(-2x2-5) =（-2x2 ）2-52 = 4 x4-25
二、数形结合、领会规律
（3）(50－21 )2
（4）（a+b+c）2
三、发散练习、勇于创新
3、编题练习： 根据本节课的学习，每位同学编 两道能用： （a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 进行计算的题目，同桌交换检查， 看看所编题目是否符合要求。
四、归纳小结、反思新知
本节课学习了
（a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
_________________
a2
＋ 2ab ＋ b2 ______________ _______
问题 ⑤你发现这个式子有什么规律？
(a＋b)2 = a2+2ab+b2
2、观察特征，建立模型 观察：(a＋b)2 = a2+2ab+b2的特征
公式
项数 次数 符号
(a＋b)2 = a2+2ab+b2
差的特征吗？ 不满足两数和乘以这两数差的 特征。
问题 ：
③ 你该如何计算这个 式子？（代数计算）
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＋b)2 = (a＋b) (a＋b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
问题 ：
④ 用不同的形式表示该广场的总面 积？(几何解释)
几何解释:
= a2 ＋
ab
＋ ab
b2
=______ (a＋b)2
左边
右边
有三项，其中两项是公式左边两数 有一部分，是两数和的平方 中每个数的平方，另一项是这两项
的积的2倍
一个二项式的二次方
三项都是二次
二项式中两项同号，+
三项皆为正，+
如何用语言叙述 (a＋b)2 = a2+2ab+b2
概括得出： 两数和的平方，等于它们的平方和 加上这两个数的积的2倍。
注意： 公式中的字母具有广泛性，可以表示 一个具体的数，也可以表示一个单项 式或多项式。
谢谢 各位领导和老师！ 欢迎 批评、指正！
改: (a-b)2=a2-2ab+b2
三、发散练习、勇于创新
(3) (a-2b)2=a2-2ab+4b2
中间两倍放”忘了.
改:(a-2b)2=a2-4ab+4b2
(4) (-3x-y)2=9x2-6xy+y2
中间符号错了,
改: (-3x-y)2=9x2+6xy+y2
三、发散练习、勇于创新
2：考考你： 老师考学生 （1）(-x+y)2 （2）( -2x2-5)²
首尾两倍放中间
我们共同发现：(a-b)2=a2-2ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
三、发散练习、勇于创新
1、下列计算是否正确?如错,如何改正?
(1) (a+b)2=a2+b2 ×
改: (a+b)2=a2+2ab+b2
(2) (a-b)2=a2-b2 ×
首尾两倍中间放忘了,首尾平方总得正.
3、例题讲解，公式拓展 例4：计算
（1）（2a+3b)2
（2） (a+ b )2
2
思路点拨：与本节课公式进行逐项比 较、对照、步骤要写得完整，有利于 正确使用公式。要注意公式中的字母 代表什么
解题步骤：
解:(1)(2a+3b)2= (2a)2 +2•2a •3b +(2b)2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 =4a2 +12ab +9b2
将式子转为 〔a+（-b）2〕
(a-b)2 法三：利用图形面
积相等关系。
面积相等关系：
=
－
＋
=______ (a－b)2
_________________
a2
－ 2ab ＋ b2 ______________ _______
(a-b)2=? (a-b)可看作[a+(-b)]
(a-b)2= [a+（-b）]2 =a2+2• a •（-b） + b2 =a2-2ab+b2 首平方，尾平方，
解题步骤：
解:(2) (2a+ b )2 = a2
2
+2•2a• b +( b )2
2
2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 = a2 +2a b + b2
4
3、例题讲解，公式拓展
例5：计算：
法一：用多项式乘
(1)(a-b)2
法计算。
(2)(2x-3y)2
法二：把它视为两 数和的平方
小组合作，交流：
1、创设情景，理解意义
如图，有一个边长 为a米的正方形广 场，现要扩建该广 场，要求将其边长 增加b米，试问扩 建后的广场的面积 是多少？
问题 ：
①扩建后广场的形状？边长为多少？ 扩建后的广场是一个正方形，它的 边长是 (a＋b)2
扩建后广场的面积是： (a＋b)2
问题 ： ② 这个式子满足两数和乘以这两数
两个乘法公式，在应用时： （1）要了解公式的结构和特征； （2）掌握公式的几何意义； （3）能灵活地运用公式来解题。
五、分层作业、延伸新知
1、必做题：P33 习题 13•3的2、3题 2、选做题：计算
(1)（x-y-z)2 (2)（2a+b+1)2 3、思考题：几何解释情景中，扩建后的正
方形广场的面积比原来广场的 面积增加了多少平方米？