一、λ-矩阵的初等变换

A( ), B1 ( ), B2 ( ), .
它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低. 但次数是非负整数，不可能无止境地降低. 因此在有限步以后，将终止于一个λ－矩阵 Bs ( ) 它的左上角元素 bs ( ) 0 ，而且可以除尽 Bs ( ) 的全部元素 bij ( ), 即
其中余式 r ( ) 0 ，且 r ( x ) a11 ( )
对 A( ) 作下列初等行变换:
a11 ( ) A( ) ai 1 ( ) a11 ( ) [i 1(q )] r ( )
§8.2 λ─矩阵的标准形
1 1 p( i (c )) c 1 1
i行
1 1 ( ) i行 p( i , j ( ( ))) j行 1 1
除尽，这种情况的证明i)与类似.
iii) A( )的第一行与第一列中的元素都可以被 a11 ( )
除尽，但 A( ) 中有另一个元素 aij ( ) ( i 1, j 1)
§8.2 λ─矩阵的标准形
被 a11 ( ) 除尽. 我们设 ai 1 ( ) a11 ( ) ( ).
§8.2 λ─矩阵的标准形
证：根据 A( ) 中不能被 a11 ( ) 除尽的元素所在的 位置，分三种情形来讨论: i) 若在 A( ) 的第一列中有一个元素 ai 1 ( ) 不能被
a11 ( ) 除尽， 则有 ai 1 ( ) a11 ( )q( ) r ( ),
d1 ( ) d 2 ( ) d r ( ) 0 0
称之 A ( ) 为 的 标准 形.
其中 r 1, d i ( ) ( i 1,2,, r ) 是首项系数为1的
多项式，且
d i ( ) d i 1 ( ) ( i 1,2,, r 1).
其中 d1 ( ) 与 d 2 ( ) 都是首1多项式( d1 ( ) 与 bs ( ) 只差一个常数倍数），而且 能除尽 A2 ( ) 的全部元素. 如此下去， A( ) 最后就化成了标准形.
§8.2 λ─矩阵的标准形
d1 ( ) | d 2 ( ),
d 2 ( )
例
用初等变换化λ―矩阵为标准形.
传递性: A( ) 与 B ( ) 等价, B ( ) 与 C ( ) 等价
A( ) 与C ( ) 等价.
§8.2 λ─矩阵的标准形
2) A( )与 B ( ) 等价 存在一系列初等矩阵
P1 PS , Q1 Qt 使 A( ) P1 PS B( )Q1 Qt .
i 1( )
a11 ( ) 0
§8.2 λ─矩阵的标准形
1 i
a11 ( ) 0
A1 ( )
aij ( ) (1 ( ))a1 j ( ) aij ( ) a1 j ( ) ( )
若 b1 ( )还不能除尽 B1 ( ) 的全部元素， 由引理，又可以找到与 B1 ( ) 等价的 B2 ( ) ，且
B2 ( ) 左上角元素 b2 ( ) 0， b2 ( ) b1 ( ) .
如此下去，将得到一系列彼此等价的λ－ 矩阵：
§8.2 λ─矩阵的标准形
§8.2 λ─矩阵的标准形
0 0 1 2 0 [2,3] 0 2 3
1 0 0 0 0 [3 2( )] 2 2 0 1 0 0 [3 2( 1)] 0 0 B( ) [3( 1)] 2 0 0

矩阵 A1 ( ) 的第一行中，有一个元素：
aij ( ) (1 ( ))a1 j ( )
不能被左上角元素 a11 ( ) 除尽，转为情形 ii) . 证毕.
§8.2 λ─矩阵的标准形
2.（定理2）任意一个非零的 s n的 一矩阵 A( ) 都等价于下列形式的矩阵
( ) 是一个多项式.
§8.2 λ─矩阵的标准形
注：
为了书写的方便，我们采用以下记号
[ i , j Leabharlann Baidu代表 i , j 两行(列)互换； [ i ( c )]代表第 i 行乘以非零数 c ； [i j ( ( ))] 代表把第 j 行(列)的 ( )倍加到第 i
行(列).
§8.2 λ─矩阵的标准形
§8.2 λ─矩阵的标准形
一、λ－矩阵的初等变换 二、λ－矩阵的初等矩阵 三、等价λ－矩阵 四、λ－矩阵的对角化
§8.2 λ─矩阵的标准形
一、λ－矩阵的初等变换
定义：
λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换: ① 矩阵两行（列）互换位置； ② 矩阵的某一行（列）乘以非零常数 c ； ③ 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的 ( ) 倍，
§8.2 λ─矩阵的标准形
② 初等矩阵皆可逆.
p(i , j )1 p(i , j )
p( i (c ))1 p( i ( 1 c ))
p(i , j( ( ))) p(i , j( ( )))
1
③ 对一个 s n 的 ―矩阵 A( )作一次初等行变换 就相当于在 A( ) 在的左边乘上相应的 s s 的初等矩 阵；对 A( ) 作一次初等列变换就相当于在 A( )的右 边乘上相应的 n n的初等矩阵.
四、λ－矩阵的对角化
1.（引理）设 ―矩阵 A( )的左上角元素 a11 ( ) 0, 且 A( )中至少有一个元素不能被它整除，那么一定 可以找到一个与 A( ) 等价的矩阵 B ( ) ，它的左上 角元素 b11 ( ) 0 ，且 (b11 ( )) (a11 ( )) .
二、λ－矩阵的初等矩阵
定义：
将单位矩阵进行一次 ―矩阵的初等变换所得的 矩阵称为 ―矩阵的初等矩阵.
注： ① 全部初等矩阵有三类：
1 1 i行 0 1 j行 1 0 1 1
P (i , j )
§8.2 λ─矩阵的标准形
r ( ) [1,i ] a ( ) B( ). 11 B ( ) 的左上角元素 r ( ) 符合引理的要求，
故 B ( ) 为所求的矩阵. ii) 在 A( ) 的第一行中有一个元素 a1i ( )不能被 a11 ( )
2 1 1 A( ) 2 1 2 3 1 2
解：
2 1 1 1 2 A( ) 0 [31] 1 2 3 1 1
§8.2 λ─矩阵的标准形
对 A( ) 作下述初等行变换:
a11 ( ) A( ) ai 1 ( )
a1 j ( ) aij ( ) a1 j ( ) ... aij ( ) a1 j ( ) ( ) ...
§8.2 λ─矩阵的标准形
证: 经行列调动之后，可使 A( ) 的左上角元素
a11 ( ) 0 , 若 a11 ( ) 不能除尽 A( ) 的全部元素，
由引理，可以找到与 A( ) 等价的 B1 ( ) ，且
B1 ( ) 左上角元素 b1 ( ) 0， b1 ( ) a11 ( ) .
1 2 1 1 2 0 [1,3] 1 3 1 1 2 1 2 1 1 3 1 0 2 1 3 2 0 0 1 2 0 [21(2 1),[31( 1)]] 0 3 2
bij ( ) bs ( )qij ( j ),
对 Bs ( ) 作初等变换:
§8.2 λ─矩阵的标准形
i 1,2,, s; j 1,2,, n.
bs ( ) 0 0 0 [21( q21 )],[31( q31 )], B( ) [21( q21 )],[31( q13 )], A1 ( ) 0
§8.2 λ─矩阵的标准形
三、等价λ－矩阵
定义： ―矩阵 A( )若能经过一系列初等变换化
为 －矩阵 B ( ) ，则称 A( ) 与 B ( ) 等价.
性质：
1) ―矩阵的等价关系具有: 反身性: A( ) 与自身等价. 对称性: A( ) 与 B ( ) 等价 B ( ) 与 A( ) 等价.
B ( ) 即为 A( ) 的标准形.
§8.2 λ─矩阵的标准形
A1 ( ) 中的全部元素都是可以被 bs ( ) 除尽的，
因为它们都是 Bs ( ) 中元素的组合. 如果 A1 ( ) 0 ，则对于 A1 ( ) 可以重复上述过程，
进而把矩阵化成
§8.2 λ─矩阵的标准形
0 d1 ( ) 0 0 d 2 ( ) 0 , 0 A2 ( ) 0 0