二次函数的应用-——最大面积问题教学设计

二次函数的应用-——最大面积问题教学设计

《二次函数的应用——面积最大问题》教学设计

二次函数的应用——面积最大问题。所用教材是山东教育出版社材九年级上册第三章第六节二次函数的应用，本节共需四课时，面积最大是第一节。

下面我将从教材内容的分析、教学目标、重点、难点的确定、教学方法的选择、教学过程的设计和教学效果预测几方面对本节课进行说明。

一、教学内容的分析

1、地位与作用：

二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用

建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

2、课时安排

教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。

3.学情及学法分析

学生由简单的二次函数y＝x2学习开始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y ＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和图像的性质。

对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

二、教学目标、重点、难点的确定

教学目标：

1、知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=2ax bx c

++（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。

2．过程与方法：经历“实际问题转化成数学问题——利用二次函数知识解决问题——利用求解的结果解释问题”的过程体会数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务于生活。

3.情感态度、价值观：培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在动手、交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成。

教学重点：利用二次函数y=2ax bx c

++（a≠0）的图象与性质，求面积最值问题

教学难点：1、正确构建数学模型

2、对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用

三、教学方法与手段的选择

由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑

提问学生上面练习中第三题矩形EFGH的最大面积是多少？学生在操作中发现矩形长、宽、面积不确定，从而回想起常量与变量的概念，最值又与二次函数有关，进而自己联想到用二次函数知识去解决，而不是老师告诉他用函数。求一个面积最大的矩形，这个问题本身对学生来说具有很大的趣味性和挑战性，学生既感到好奇，又乐于探究它的结论，从而很自然地从复习旧知识过渡到新知识的学习。

2、在解决问题中找出方法

这一环节我设计了探究活动一：

在上面练习题3中，若要使矩形EFGH获得最大面积，那么它的长和宽各是多少？最大面积是多少？把矩形变成一个实际问题，目的在于让学生体会其应用价值——我们要学有用的数学知识。学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为x，把另一个设为y，其它变量用含x的代数式表示，找

出等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑自变量的取值范围，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础。

想一想的设计让学生体会到不同的解设方法所得的最大面积是一样的，图形的最大值只有一个。

解决完想一想之后及时让学生总结方法，为变式训练打下思想方法基础。

3、在巩固与应用中提高技能

有一块三角形余料如图所示，∠C=90°，AM=30cm，AN=40cm，要利用这块余料如图截出一个矩形ABCD，问矩形的边长分别

是多少时，矩形的面积最大？

我设计了两个问题：(1)设长方形的一边

AB＝x m，那么AD边的长度如何表

示？

(2)设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y 的值最大？最大值是多少？

问题一的设计目的：

这个问题，学生在学习相似时见过同种类型，所以在课堂上要给学生留出一些思考和交流的时间，让学生充分发挥课堂的主体地位。在学生充分发挥自主探索的能力后，教师要与学生共同协作完成题目的解答。这样做的目的是为学生在后面的学习起示范作用，帮助学生在脑海中形成完整的解答过程。具体的过程如下：

分析：(1)要求A D边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC 。由△EBC∽△EAF，得即，所以AD＝BC＝(40－x)。

(2)要求面积y的最大值，即求函数y＝AB·AD ＝x·(40－x)的最大值，就转化为数学问题了。

下面由学生完成解答过程。

我设计了一个问题：用什么方法求出AD的长？学生容易想到三角形相似，而忽略了相等的角的三角函数值也相等，借助∠M或者∠MCD 的正切值也可以求出AD的长，然后让学生比较最优解题方法。

提出问题：解决这类问题你有什么心得？（首先对题意进行分析，找到变量间的关系，发现求面积就是求矩形的两条边，其次把两条边