九年级数学旋转10道解答题题专题训练
北师版九年级数学上册 第1章 特殊平行四边形中的旋转、最值、动点问题 专题训练 (含答案)
6.解：(1)根据图形的对称性，本来DF和BF相等，但是“在正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段DF与BF始终相等”不正确．例如，当点F旋转到AB上时，BF最短(小于AB)，而这时DF大于AD，即DF大于BF
(2)如图②，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段与DG始终相等，并以图为例说明理由．
二、最值问题
7．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为( )
A．2 B．4
∴BD，EG互相平分，∴BO＝OD，
∴点O为正方形的角平分线的交点，
∴直线EG必过正方形角平分线的交点
20.解：(1)BG＝DE，BG⊥DE，证明如下：
延长BG交DE于点H，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴△BCG≌△DCE(SAS)，
(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？
24.已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A，B重合)，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为点E，F，点Q为斜边AB的中点．
(1)如图①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式是；
(2)如图②，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
九年级数学上册第二十三章旋转必须掌握的典型题(带答案)
九年级数学上册第二十三章旋转必须掌握的典型题单选题1、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，AD与BC相交于点F，若∠E=80°且△AFC是以线段FC 为底边的等腰三角形，则∠BAC的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°答案：B分析：由旋转的性质得出∠E=∠C=80°，∠BAD=40°，由等腰三角形的性质得出∠C=∠AFC=80°，求出∠CAF=20°，根据∠BAC=∠BAD+∠CAF即可得出答案．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，且∠E=80°，∴∠E=∠C=80°，∠BAD=40°，又∵△AFC是以线段FC为底边的等腰三角形，∴AC=AF，∴∠C=∠AFC=80°，∴∠CAF=180°−∠C−∠AFC=180°−80°−80°=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠CAF=40°+20°=60°，故选：B．小提示：本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（）A．90°+12αB．90°−12αC．180°−32αD．32α答案：C分析：根据旋转的性质可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，则∠B=∠BDC，利用三角形内角和可求得∠B，进而可求得∠E，则可求得答案．解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，且∠BCD=α∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，∴∠B=∠BDC，∴∠B=∠BDC=180°−α2=90°−α2，∴∠A=∠E=90°−∠B=90°−90°+α2=α2，∴∠A=∠E=α2，∴∠EFC=180°−∠ACE−∠E=180°−α−α2=180°−32α，故选：C．小提示：本题考查了旋转变换、三角形内角和、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．3、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E=70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（）A．65°B．70°C．75°D．80°答案：C分析：由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，∵AD⊥BC，∴∠DAC=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．故选C．小提示：本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．4、下列四个银行标志中，是中心对称图形的标志是（）A．B．C．D．答案：A分析：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此即可判断．解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．小提示：本题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．5、如图，在ΔABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60∘，将ΔABC绕点A顺时针旋转度得到ΔADE，当点B的对应点D 恰好落在BC边上时，则CD的长为（）A．1.6B．1.8C．2D．2.6答案：A分析：由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．由旋转的性质可知，AD=AB，∵∠B=60∘，AD=AB，∴ΔADB为等边三角形，∴BD=AB=2，∴CD=CB−BD=1.6，故选A．小提示：此题考查旋转的性质，解题关键在于利用旋转的性质得出AD=AB6、如图，将ΔABC绕点C顺时针旋转得到ΔDEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE．下列结论一定正确的是（）A．AC=AD B．AB⊥EB C．BC=DE D．∠A=∠EBC答案：D分析：利用旋转的性质得AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以选项A、C不一定正确再根据等腰三角形的性质即可得出∠A=∠EBC，所以选项D正确；再根据∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=1800-∠ACB判断选项B不一定正确即可．解：∵ΔABC 绕点C 顺时针旋转得到ΔDEC ，∴AC=CD ，BC=EC ，∠ACD=∠BCE ，∴∠A=∠CDA=180°−∠ACD 2；∠EBC=∠BEC=180°−∠BCE 2，∴选项A 、C 不一定正确，∴∠A =∠EBC ，∴选项D 正确．∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=1800-∠ACB 不一定等于900，∴选项B 不一定正确；故选D ．小提示：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．7、如图，四边形ABCD 与四边形FGHE 关于点O 成中心对称，下列说法中错误的是（ ）A ．AD//EF,AB//GFB ．BO =GOC ．CD =HE,BC =GH D ．DO =HO答案：D分析：中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．A ．∵AD 与EF 关于点O 成中心对称，∴AD //EF ，同理可得AB //GF ，正确；B ．∵点B 与点G 关于点O 成中心对称，∴BO =GO ，正确；C ．∵CD 与HE 关于点O 成中心对称，∴CD=HE，同理可得BC=GH，正确；D．∵点D与点E关于点O成中心对称，∴DO=EO，∴DO=HO错误，故选：D．小提示：本题考查中心对称图形的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．8、某校举办了“送福迎新春，剪纸庆佳节”比赛．以下参赛作品中，是中心对称图形的是（）．A．B．C．D．答案：D解：选项A，B，C中的图形不是中心对称图形，选项D中的图形是中心对称图形，故选D小提示：本题考查的是中心对称图形的识别，中心对称图形的定义：把一个图形绕某点旋转180°后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形，掌握“中心对称图形的定义”是解本题的关键.9、下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可．A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意，故选：C．小提示：本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键．10、把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30°B．90°C．120°D．180°答案：C分析：根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．解：∵360°÷3=120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选C．小提示：本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．填空题11、在平面直角坐标系中，点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，则ab=________．答案：12分析：根据关于原点对称的两点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数，即可求出a和b的值，从而求出结论．解：∵点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，∴a=-6，b=-2∴ab=12所以答案是：12．小提示：此题考查的是根据两点关于原点对称，求参数的值，掌握关于原点对称的两点坐标关系是解题关键．12、镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是．答案：6秒或19.5秒分析：设A灯旋转t秒，两灯光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），推出t≤45−12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构建方程即可解答．解：设A灯旋转t秒，两灯的光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），∴t≤45﹣12，即t≤33．由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：①如图，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；②如图，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；综上所述，满足条件的t的值为6秒或19.5秒．所以答案是：6秒或19.5秒．小提示：本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD的交点为O，矩形的长、宽分别为7cm、4cm，EF过点O分别交AB、CD于E、F，那么图中阴影部分面积为___cm2．答案：7分析：先根据矩形的性质可得OA=OC,AB∥CD，S▭ABCD=28cm2，再根据平行线的性质可得∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC，然后根据三角形全等的判定定理证出△AOE≅△COF，根据全等三角形的性质可得S△AOE=S△COF，由此即可得．解：∵四边形ABCD是矩形，且长、宽分别为7cm、4cm，∴OA=OC,AB∥CD，S▭ABCD=7×4=28(cm2)，∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC，在△AOE和△COF中，{∠OAE=∠OCF∠OEA=∠OFCOA=OC，∴△AOE≅△COF(AAS)，∴S△AOE=S△COF，则图中阴影部分面积为S△AOE+S△DOF=S△COF+S△DOF=S△COD=14S▭ABCD=7cm2，所以答案是：7．小提示：本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．14、如图，△ABC与△DEF关于O点成中心对称．则AB________DE，BC//________，AC=________．答案： = EF DF分析：利用关于某点对称的图形全等，这样可以得出对应边与对应角之间的关系，进而解决．∵△ABC与△DEF关于O点成中心对称，∴△ABC≌△DEF，∴AB=DE,AC=DF，∠ABC=∠DEF∴∠CBO=∠FEO，∴BC//EF．所以答案是：=，EF，DF．小提示：此题主要考查了关于某点对称的图形之间的关系，涉及全等三角形，难度不大，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．15、以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____．答案：（2，﹣1）分析：根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），∴点C的坐标为（2，﹣1），所以答案是：（2，﹣1）．小提示：此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．解答题16、如图1，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．(1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______；(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，求△PMN面积的最大值．答案：(1)PM=PN，PM⊥PN(2)△PMN是等腰直角三角形，理由见解析(3)492分析：（1）利用三角形的中位线定理得出PM=12CE，PN=12BD，进而得出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线定理得出PM∥CE，再得出∠DPM=∠DCA，最后利用互余得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE(SAS)，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=12CE，PN=12BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）由等腰直角三角形可知，当PM最大时，△PMN面积最大，而BD的最大值是AB+AD=14，即可得出结论．（1）解：∵P、N分别为DC、BC的中点，∴PN∥BD，PN=12BD，∵点M、P分别为DE、DC的中点，∴PM∥CE，PM=12CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，PM∥CE，∴∠DPN=∠ADC，∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN．所以答案是：PM=PN，PM⊥PN．（2）解：△PMN是等腰直角三角形，理由如下．由旋转可知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，由三角形的中位线定理得，PN=12BD，PM=12CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法可得，PM∥CE，PN∥BD，∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC，=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC =∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形．（3）解：由（2）可知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=12BD，∴当PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，∴BD=AB+AD=14，∴PM=7，∴S△PMN最大=12PM2=12×72=492．小提示：本题综合考查了三角形全等的判定与性质、旋转的性质及三角形的中位线定理，熟练应用相关知识是解决本题的关键．17、如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，连接AD，将△ACD沿AD翻折得到△AED，连接BE并延长交AD的延长线于点F，连接CF．（1）若∠CAD=20°，求∠CBF的度数；（2）若∠CAD=a，求∠CBF的大小；（3）猜想CF，BF，AF之间的数量关系，并证明．答案：（1）20°；（2）∠CBF=α；（3）AF=CF+BF，理由见解析分析：（1）由△ABC是等边三角形，得到AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由折叠的性质可知，∠EAD=∠CAD=20°，AC=AE，则∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°，AB=AE，∠ABE=∠AEB=1(180°−∠BAE)=80°，∠CBF=∠ABE-2∠ABC=20°；（2）同（1）求解即可；（3）如图所示，将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG，先证明△AEF≌△ACF得到∠AFE=∠AFC，然后证明∠AFE=∠AFC=60°，得到∠BFC=120°，即可证明F、C、G三点共线，得到△AFG是等边三角形，则AF=GF=CF+CG=CF+BF．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由折叠的性质可知，∠EAD=∠CAD=20°，AC=AE，∴∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°，AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=1(180°−∠BAE)=80°，2∴∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°，由折叠的性质可知，∠EAD=∠CAD=α，AC=AE，∴∠BAE=∠BAC−∠EAD−∠CAD=60°−2α，AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=12(180°−∠BAE)=60°+α，∴∠CBF=∠ABE−∠ABC=α；（3）AF=CF+BF，理由如下：如图所示，将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG，∴AF=AG，∠FAG=60°，∠ACG=∠ABF，BF=CG在△AEF和△ACF中，{AE=AC∠EAF=∠CAF AF=AF，∴△AEF≌△ACF（SAS），∴∠AFE=∠AFC，∵∠CBF+∠BCF+∠BFD+∠CFD=180°，∠CAF+∠CFA+∠ACD+∠CFD=180°，∴∠BFD=∠ACD=60°，∴∠AFE=∠AFC=60°，∴∠BFC=120°，∴∠BAC+∠BFC=180°，∴∠ABF+∠ACF=180°，∴∠ACG+∠ACF=180°，∴F、C、G三点共线，∴△AFG是等边三角形，∴AF=GF=CF+CG=CF+BF．小提示：本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．18、马老师在带领学生学习《正方形的性质与判定》这一课时，给出如下问题：如图①，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等．在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，OA′与AB相交于点M，OC′与BC相交于点N，探究两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系．(1)小亮第一个举手回答“两个正方形重叠部分的面积是正方形ABCD面积的______”；请说明理由．(2)马老师鼓励同学们编道拓展题，小颖编了这样一道题：如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，求四边形ABCD的面积．请你帮小颖解答这道题．答案：(1)14，见解析(2)18，见解析分析：（1）只需要证明△MOB≌△NOC得到S△MOB=S△NOC，即可求解．（2）过A作AE⊥AC，交CD的延长线于E，证明△EAD≌△CAB得到S△ABC=S△ADE，AE=AC=6，则S△AEC=12×6×6=18S四边形ABCD =S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△ADE=S△EAC=12AE⋅AC=18．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，四边形OA′B′C′是正方形，∴AC⊥BD，OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，∠A′OC′=90°，∴∠BOC=∠A′OC′=90°，∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON(ASA)，∴S△BOM=S△CON，∴S四边形OMBN =S△OBC=14S正方形ABCD．答案为：14；（2）过A作AE⊥AC，交CD的延长线于E，∵AE⊥AC，∴∠EAC=90°，∵∠DAB=90°，∴∠DAE=∠BAC，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴∠ADC+∠B=180°，∵∠EDA+∠ADC=180°，∴∠EDA=∠B，∵AD=AB，在△ABC与△ADE中，{∠EAD=∠CABAD=AB∠EDA=∠B，∴△ABC≌△ADE(ASA)，∴AC=AE，∵AC=6，∴AE=6，∴S△AEC=12×6×6=18，∴S四边形ABCD=18．小提示：本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，四边形内角和，熟知全等三角形的性质与判定是解题的关键．。
人教版九年级上册数学第二十三章《旋转》练习题(附答案)
人教版九年级上册数学第二十三章《旋转》练习题一、单选题1.在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.4.下列图形中，只是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.5.如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.6.如图，在4×4正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是（）A. ①B. ②C. ③D. ④7.下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.8.下列图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转46°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C 上，则∠ACB的大小为（）A. 23°B. 44°C. 46°D. 54°10.下列图形，是中心对称图形的是( )A. B. C. D.11.将△ABC绕原点旋转180°得到△A′B′C′，设点A的坐标为(a,b)，则点A′的坐标为（）A. (−a,−b)B. (a,−b)C. (−a,b)D. (a,b)12.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A. 平行四边形B. 线段C. 等边三角形D. 抛物线13.下列图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.14.道路千万条，安全第一条，下列交通标志是中心对称图形的为（）A. B. C. D.15.下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.二、填空题16.如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝6，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为________.17.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2．将△ABC绕点B逆时针旋转60°，得到△A1BC1，则AC边的中点D与其对应点D1的距离是________．18.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，若BD＝3，CD＝2．则△ABC的面积为________．19.已知点A（﹣2，3）与A1关于点P（0，2）成中心对称，A1的坐标是________ ．20.如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为________度．21.一个长方形绕它的一条边旋转一周形成的几何体为________，将一个直角三角形绕着一条直角边旋转一周得到的几何体为________．22.如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中̂，则图中阴影部分的面积为________．点C的运动路径为CC′23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，将△ABC绕着点C逆时针旋转后得到的△A′B′C的斜边A′B′经过点A，那么∠ACA'的度数是________ 度．24.如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为________．25.如图，已知半⊙O的直径AB＝8，将半⊙O绕A点逆时针旋转，使点B落在点B'处，AB'与半⊙O交于点C，若图中阴影部分的面积是8π，则弧BC的长为________．26.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC.点D是△ABC内的一点，将△ACD以点C为中心顺时针旋转90°得到△BCE，若点A、D、E共线，则∠AEB的度数为________.27.如图，如果边长为1的等边△PQR沿着边长为1的正方形ABCD的外部的边如图位置开始顺时针连续滚动，当它滚动4次时，点P所经过的路程是________．28.如图，在△ACB中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，现将△ACB绕点A逆时针旋转50°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为________．29.点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标为________．30.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45后，得到△COD，如果∠AOB=15，则∠AOD的度数是________.三、解答题31.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O、B的对应点分别是点E、F．（1）若点B的坐标是（﹣4，0），请在图中画出△AEF，并写出点E、F的坐标．（2）当点F落在x轴的上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．∠ABC(0°＜∠CBE＜32.(1)如图1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝121∠ABC)，以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转，得到△BE′A(点C与点A重合，点E到点E′处)连接2DE′.求证：DE′＝DE.∠ABC(0°＜∠CBE (2)如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝12＜∠45°)．求证：DE2＝AD2＋EC2.33.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．①若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；②若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；③将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．34.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（﹣3，5），C（﹣4，1）．①把△ABC向右平移2个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标；②把△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．35.如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．36.如图，按要求涂阴影：（1）将图形①平移到图形②；（2）将图形②沿图中虚线翻折到图形③；（3）将图形③绕其右下方的顶点旋转180°得到图形④．37.以给出的图形“○,○,△,△, =”(两个相同的圆、两个相同的等边三角形、两条线段)为构件,各设计一个构思独特且有意义的轴对称图形或中心对称图形.举例:如图,左框中是符合要求的一个图形.你还能构思出其他的图形吗?请在右框中画出与之不同的图形.38.在平面直角坐标系中，∆ABC的顶点坐标是A（-7,1）、B（1,1）、C（1,7），线段DE的端点坐标是D（7，-1）、E（-1，-7）（1）试说明如何平移线段AC，使其与线段ED重合将线段AC先向______（上，下）平移_______个单位，再向_______（左，右）平移_______个单位；（2）将∆ABC绕坐标原点逆时针旋转，使AC的对应边为DE，请直接写出点B的对应点F的坐标；（3）画出（2）中的∆DEF，并和∆ABC 同时绕坐标原点O逆时针旋转90o，画出旋转后的图形.39.如图，已知反比例函数y=m（m是常数，m≠0），一次函数y＝ax＋b（a、b为常数，a≠0），其中一x次函数与x轴，y轴的交点分别是A（－4，0），B（0，2）．（1）求一次函数的关系式；（2）反比例函数图象上有一点P满足：①PA⊥x轴；②PO＝√17（O为坐标原点），求反比例函数的关系式；（3）求点P关于原点的对称点Q的坐标，判断点Q是否在该反比例函数的图象上．40.已知|2﹣m|+（n+3）2=0，点P1、P2分别是点P（m，n）关于y轴和原点的对称点，求点P1、P2的坐标．四、综合题41.在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．（1）试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标；（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并标出B2、C2两点的坐标．42.将□OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点C（-6，0），点A在第一象限，OA=2，∠A=60°，AB 与y轴交于点N.（1）如图①，求点A的坐标：（2）如图②，将平行四边形OABC绕点O逆时针旋转得到平行四边形OA'B'C'，当点A的对应点A'落在y 轴正半轴上时，求旋转角及点B的对应点B'的坐标：（3）将平行四边形OABC绕点A旋转得到平行四边形DAEF，使点B的对应点E落在直线OA上，请在图③中画出旋转后的图形，并直接写出OE、AB、BC之间的关系.43.在数学课上，老师要求学生探究如下问题：（1）如图1，在等边三角形ABC内有一点P，PA＝2，PB＝√3，PC＝1，试求∠BPC的度数．李明同学一时没有思路，当他认真分析题目信息后，发现以PA、PB、PC的长为边的三角形是直角三角形，他突然有了正确的思路：如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A．连接PP'，易得△P′PB 是正三角形，△P′PA是直角三角形，则得∠BPC＝________；（2）如图3，在正方形ABCD内有一点P，PA＝√5，PB＝√2，PC＝1，试求∠BPC的度数．（3）在图3中，若在正方形ABCD内有另一点Q，QA＝a，QB＝b，QC＝c（a＞b，a＞c），试猜想当a，b，c满足什么条件时，∠BQC的度数与第（2）问中∠BPC的度数相等，请直接写出结论．44.如图1，四边形ABCD是边长为3√2的正方形，矩形AEFG中AE=4，∠AFE=30°。
九年级数学上册第二十三章旋转经典大题例题(带答案)
九年级数学上册第二十三章旋转经典大题例题单选题1、如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC=4√2，DE=4，则BC的长是（）A．1B．√2C．2D．4答案：C分析：根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点，AC=4√2∴AD=DC=1AC=2√22∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵OA2=OD2+AD2∴(4−x)2=x2+(2√2)2，解得x=1∴BC=2OD=2x=2故选：C小提示：本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．2、如图，有①～⑤5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有（）A．②③④B．③④⑤C．②④⑤D．②③⑤答案：C分析：根据旋转变换及全等图形的定义对应边相等，对应角相等的图形是全等图形对个图进行一一分析判断即可解：②以右下角顶点为定点顺时针旋转90°后，两个实线图形刚好重合，③中为平行四边形，而①中为梯形，所以不能和①中图形完全重合，④可上下反转成②的情况，然后旋转可和①中图形完全重合，⑤可旋转180°后可和①中图形完全重合，∴与①中由实线围成的图形全等的有②④⑤．故选择C．小提示：本题考查多边形全等的判定，掌握全等图形的定义，关键是会通过图形的旋转使它们全等．3、在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（）A．﹣4B．4C．12D．﹣12答案：D分析：首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得a+2+4=0,2−b=0，可得a，b的值，再代入求解即可得到答案．解：∵点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），∴a+2+4=0,2−b=0，解得：a=−6,b=2,∴ab=−12,故选D小提示：本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标都互为相反数．4、如图，△OAB中，∠AOB=60°，OA=4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（）A．（7，3√3）B．（7，5）C．（5√3，5）D．（5√3，3√3）答案：A分析：如图，过点D作DE⊥x轴于点E．证明△AOC是等边三角形，解直角三角形求出DE，CE，可得结论．解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E．∵B（6，0），∴OB=6，由旋转的性质可知AO=AC=4，OB=CD=6，∠ACD=∠AOB=60°，∵∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴OC=OA=4，∠ACO=60°，∴∠DCE=60°，∴CE=1CD=3，DE=√CD2−CE2=3√3，2∴OE=OC+CE=4+3=7，∴D（7，3√3），故选：A．小提示：本题考查了旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质．5、如图，在由小正方形组成的网格图中再涂黑一个小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案为轴对称图形，则涂法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种答案：C分析：根据轴对称图形的概念，找到对称轴即可得答案．解：如下图，∵图形是轴对称图形，对称轴是直线AB，∴把1、2、3三个正方形涂黑，与原来涂黑的小正方形组成的新图案仍然是轴对称图形，故选：C．小提示：本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是找到对称轴．6、连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法不正确的是（）A．四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等B．连接HD，则HD平分∠CHEC．整个图形不是中心对称图形D．△CEH是等边三角形答案：D分析：根据正八边形和圆的性质进行解答即可．解：A．∵根据正八边形的性质，四边形ABCH与四边形EFGH能够完全重合，即四边形ABCH与四边形EFGH 全等∴四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等，故选项正确，不符合题意；B．连接DH，如图1，∵正八边形是轴对称图形，直线HD是对称轴，∴HD平分∠CHE故选项正确，不符合题意；C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项正确，不符合题意；D．∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴B＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，CH＝EH，设正八边形的中心是O，连接EO、DH，如图2，∠DOE＝360°=45°8∵OE＝OH∠DOE＝22.5°∴∠OEH＝∠OHE＝12∴∠CHE＝2∠OHE＝45°∴∠HCE＝∠HEC＝1（180°－∠CHE）＝67.5°2∴△CEH不是等边三角形，故选项错误，符合题意．故选：D．小提示：本题考查了正多边形和圆，熟记正八边形与等腰三角形的性质是解题的关键．7、平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(−5,1)，将OA绕原点按逆时针方向旋转90°得OB，则点B 的坐标为（）A．(−5,1)B．(−1,−5)C．(−5,−1)D．(−1,5)答案：B分析：根据题意证得△AOC≌△OBD，可得结论．解：如图，根据题意得∶∠AOB=90°，∠ACO=∠BDO=90°，OA=OB，∴∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠OAC=90°，∴∠BOD=∠OAC，∴△AOC≌△OBD，∴BD=OC，OD=AC，∵点A的坐标为(−5,1)，∴BD=OC=1，OD=AC=5，∴B(−1,−5)．故选：B．小提示：本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，属于中考常考题型．8、如图，正方形OABC的边长为√2，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（）A．(−√2,0)B．(−√2,0)C．(0,√2)D．(0,2)答案：D分析：连接OB，由正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，推出∠A1OB1=45°，得到△A1OB1为等腰直角三角形，点B1在y轴上，利用勾股定理求出O B1即可．解：连接OB，∵正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，∴∠AOA1=45°，∠AOB=45°，∴∠A1OB1=45°，∴△A1OB1为等腰直角三角形，点B1在y轴上，∵∠B1A1O=90°,A1B1=OA1=√2，∴OB1=√A1B12+OA12=√2+2=2，∴B1（0，2），故选：D．小提示：本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形的性质．关键是根据旋转角证明点B1在y轴上．9、在平面直角坐标系中，点(3,2)关于原点对称的点的坐标是（）A．(2,3)B．(−3,2)C．(−3,−2)D．(−2,−3)答案：C分析：根据坐标系中对称点与原点的关系判断即可．关于原点对称的一组坐标横纵坐标互为相反数,所以(3,2)关于原点对称的点是(-3,-2),故选C．小提示：本题考查原点对称的性质,关键在于牢记基础知识．10、已知两点M1(x1,y1),M2(x2,y2)，若x1+x2=0,y1+y2=0，则点M1与M2（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．以上均不对答案：C分析：首先利用等式求出x1=−x2,y1=−y2,然后可以根据横纵坐标的关系得出结果．∵x1+x2=0,y1+y2=0，∴x1=−x2,y1=−y2,∵两点M1(x1,y1),M2(x2,y2)，∴点M1与M2关于原点对称，故选：C．小提示：本题主要考查平面直角坐标系中关于原点对称的点，属于基础题，利用等式找到点M1与M2横纵坐标的关系是解题关键．填空题11、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，AB=5，BC=9，则BD=______．答案：√106分析：连接BE，如图，根据旋转的性质得∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，再判断△BCE为等边三角形得到BE=BC=9，∠CBE=60°，从而有∠ABE=90°，然后利用勾股定理计算出AE即可．解：连接BE，如图，∵△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，∴∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，∴△BCE为等边三角形，∴BE=BC=9，∠CBE=60°，∵∠ABC=30°，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，AE=√52+92=√106．所以答案是：√106．小提示：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．12、以原点为中心，把M(3,4)逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为______．答案：(−4,3)分析：建立平面直角坐标系，根据旋转的性质得出N点坐标，由此即可得出答案．解：如图：由旋转的性质可得：M点横坐标等于N点纵坐标的值，M点纵坐标的值等于N点横坐标的绝对值，又∵M（3，4），∴N（-4，3），所以答案是：（-4，3）．小提示：此题考查有关点的坐标旋转的性质，结合坐标轴和旋转的特点确定坐标即可．13、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是__________．答案：2分析：点F 运动所形成的图象是一条直线，当OF ⊥F 1F 2时，垂线段OF 最短，当点F 1在x 轴上时，由勾股定理得：P 1O =F 1O =4√33，进而得P 1A =P 1F 1=AF 1=8√33，求得点F 1的坐标为(4√33,0)，当点F 2在y 轴上时，求得点F 2的坐标为（0，-4），最后根据待定系数法，求得直线F 1F 2的解析式为y =√3x -4，再由线段中垂线性质得出F 1F 2=AF 1=8√33，在Rt △OF 1F 2中，设点O 到F 1F 2的距离为h ，则根据面积法得12×OF 1×OF 2=12×F 1F 2×ℎ，即12×4√33×4=12×8√33×ℎ，解得h =2，根据垂线段最短，即可得到线段OF 的最小值为2．解：∵将线段PA 绕点P 顺时针旋转60°得到线段PF ，∴∠APF =60°，PF =PA ，∴△APF 是等边三角形，∴AP =AF ，如图，当点F 1在x 轴上时，△P 1AF 1为等边三角形，则P 1A =P 1F 1=AF 1，∠AP 1F 1=60°，∵AO ⊥P 1F 1，∴P 1O =F 1O ，∠AOP 1=90°，∴∠P 1AO =30°，且AO =4，由勾股定理得：P 1O =F 1O =4√33， ∴P 1A =P 1F 1=AF 1=8√33， ∴点F 1的坐标为(4√33,0)， 如图，当点F 2在y 轴上时，∵△P 2AF 2为等边三角形，AO ⊥P 2O ，∴AO =F 2O =4，∴点F 2的坐标为（0，-4），∵tan∠OF 1F 2=OF 2OF 1=4√33=√3，∴∠OF 1F 2=60°，∴点F 运动所形成的图象是一条直线，∴当OF ⊥F 1F 2时，线段OF 最短，设直线F 1F 2的解析式为y =kx +b ， 则{4√33k +b =0b =−4，解得{k =√3b =−4， ∴直线F 1F 2的解析式为y =√3x -4，∵AO =F 2O =4，AO ⊥P 1F 1，∴F 1F 2=AF 1=8√33， 在Rt △OF 1F 2中，OF ⊥F 1F 2，设点O 到F 1F 2的距离为h ，则12×OF 1×OF 2=12×F 1F 2×ℎ，∴12×4√33×4=12×8√33×ℎ，解得h =2，即线段OF的最小值为2，故答案为2．小提示：本题属于三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质以及待定系数法的运用等，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及面积法求最短距离，解题时注意勾股定理、等边三角形三线合一以及方程思想的灵活运用．14、已知点P(m−2,m)关于原点对称的点在第三象限，则m的取值范围是_______．答案：m>2分析：根据关于原点对称的点的性质可得点P在第一象限，进而得出不等式组，再解不等式组即可．解：∵点P（m−2，m）关于原点对称的点在第三象限，∴点P（m−2，m）在第一象限，∴{m−2>0，m>0解得：m＞2，所以答案是：m＞2．小提示：此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解一元一次不等式组，关键是掌握各象限内点的坐标符号．15、如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△AB，则线段B1D的长度为______．A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，OD=12答案：1.5cm##3cm2分析：先在直角△AOB中利用勾股定理求出AB＝5cm，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出ODAB＝2.5cm．然后根据旋转的性质得到OB1＝OB＝4cm，则问题得解．＝12∵在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm，∴AB＝√OA2+OB2＝5cm，∴OD＝1AB＝2.5cm，2∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，∴OB1＝OB＝4cm，∴B1D＝OB1-OD＝1.5cm．所以答案是：1.5cm．小提示：本题主要考查勾股定理和直角三角形的性质以及图形旋转的性质，掌握勾股定理是解题的关键．解答题16、如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）．（1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1；（2）画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2．答案：（1）画图见解析，（2）画图见解析分析：（1）分别确定A,B向右平移4个单位后的对应点A1,B1，再连接A1B1即可；（2）分别确定A,B绕原点O旋转180°后的对应点A2,B2，再连接A2B2即可.解：（1）如图，线段A1B1即为所求作的线段，（2）如图，线段A2B2即为所求作的线段，小提示：本题考查的是平移的作图，中心对称的作图，掌握平移的性质与中心对称的性质是解题的关键. 17、如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为2的等边三角形．(1)写出△OAB各顶点的坐标；(2)以点O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，写出A′，B′的坐标．答案：(1)A（-2，0），B（-1，√3），C（0，0）(2)A′（−1,√3），B′（1,√3）分析：（1）作高线BC，根据等边三角形的性质和勾股定理求OC和BC的长，写出三点的坐标，注意象限的符号问题；（2）如图2，由旋转可知：A′与B重合，B与B′关于y轴对称，可得：A′，B′的坐标．（1）解：如图1，过B作BC⊥OA于C，∵△AOB是等边三角形，且OA=2，OA=1，∴OC=12由勾股定理得：BC=√22−12=√3，∴A(−2，0)，B(−1，√3)，O(0，0)；（2）解：如图2，∵∠AOB=60°，OA=OB，∴A′与B重合，∴A′(−1，√3)，由旋转得：∠BOB′=60°，OB=OB′，∵∠AOD=90°，∴∠BOD=30°，∴∠DOB′=30°，∴BB′⊥OD，DB=DB′，∴B′(1，√3)．小提示：本题考查了坐标与图形变换、等边三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转和等边三角形的性质是关键，并注意点所在象限的符号问题．18、如图，一伞状图形，已知∠AOB=120°，点P是∠AOB角平分线上一点，且OP=2，∠MPN=60°，PM与OB交于点F，PN与OA交于点E．(1)如图一，当PN与PO重合时，探索PE，PF的数量关系(2)如图二，将∠MPN在(1)的情形下绕点P逆时针旋转α度(0<α<60°)，继续探索PE，PF的数量关系，并求四边形OEPF的面积．答案：（1）PE＝PF，证明详见解析；（2）PE＝PF，√3分析：（1）根据角平分线定义得到∠POF=60°，推出△PEF是等边三角形，得到PE=PF；（2）过点P作PQ⊥OA，PH⊥OB，根据角平分线的性质得到PQ=PH，∠PQO=∠PHO=90°，根据全等三角形的性质得到PE=PF，S四边形OEPF=S四边形OQPH，求得OQ=1，QP=√3，根据三角形的面积公式即可得到结论．解：（1）∵∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，∴∠POF＝60°，∵∠MPN＝60°，∴∠MPN＝∠FOP＝60°，∴ΔPEF是等边三角形，∴PE＝PF；（2）过点P作PQ⊥OA，PH⊥OB，∵OP平分∠AOB，∴PQ＝PH，∠PQO＝∠PHO＝90°，∵∠AOB＝120°，∴∠QPH＝60°，∴∠QPE+∠FPH+∠EPH，∴∠QPE＝∠EPF，在ΔQPE与ΔHPF中{∠EQP=∠FHP ∠QPE=∠HPFPQ=PH，∴ΔQPE≌ΔHPF（AAS），∴PE＝PF，S四边形OEPF ＝S四边形OQPH，∵PQ⊥OA，PH⊥OB，OP平分∠AOB，∴∠QPO＝30°，∴OQ＝1，QP＝√22−12＝√3，∴SΔOPQ＝12×1×√3＝√32，∴四边形OEPF的面积＝2SΔOPQ＝√3小提示：本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．。
旋转(压轴精选30题)(解析版)-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型-高分突破》
第3单元旋转压轴精选30题一．选择题（共8小题）1．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝15°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（）A．75°B．60°C．45°D．15°【答案】B【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△ABD经旋转后到达△ACE的位置，∴∠BAC等于旋转角，即旋转角等于60°．故选：B．2．如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰CD以D 为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（）A．1B．2C．3D．不能确定【答案】A【解答】解：如图所示，作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC，∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，∴∠EDF+∠CDF＝90°，DE＝CD，又∵∠CDF+∠CDG＝90°，∴∠CDG＝∠EDF，在△DCG与△DEF中，，∴△DCG≌△DEF（AAS），∴EF＝CG，∵AD＝2，BC＝3，∴CG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，∴EF＝1，∴△ADE的面积是：×AD×EF＝×2×1＝1．故选：A．3．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（）A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm2【答案】B【解答】解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点．则AP＝AN，∠APF＝∠ANE＝45°，∵∠P AF+∠FAN＝∠FAN+∠NAE＝90°，∴∠P AF＝∠NAE，∴△P AF≌△NAE，∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．故选：B．4．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（）A．B．C．D．﹣1【答案】D【解答】方法一：解：连接AC1，∵四边形AB1C1D1是正方形，∴∠C1AB1＝×90°＝45°＝∠AC1B1，∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，∴∠B1AB＝45°，∴∠DAB1＝90°﹣45°＝45°，∴AC1过D点，即A、D、C1三点共线，∵正方形ABCD的边长是1，∴四边形AB1C1D1的边长是1，在Rt△C1D1A中，由勾股定理得：AC1＝＝，则DC1＝﹣1，∵∠AC1B1＝45°，∠C1DO＝90°，∴∠C1OD＝45°＝∠DC1O，∴DC1＝OD＝﹣1，＝×OD•AD＝，∴S△ADO∴四边形AB1OD的面积是＝2×＝﹣1，方法二：解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝，∠OCB1＝45°，∴CB1＝OB1∵AB1＝1，∴CB1＝OB1＝AC﹣AB1＝﹣1，＝•OB1•CB1＝（﹣1）2，∴S△OB1C＝AD•AC＝×1×1＝，∵S△ADC＝S△ADC﹣S△OB1C＝﹣（﹣1）2＝﹣1；∴S四边形AB1OD故选：D．5．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A．2015πB．3019.5πC．3018πD．3024π【答案】D【解答】解：转动一次A的路线长是：，转动第二次的路线长是：，转动第三次的路线长是：，转动第四次的路线长是：0，转动五次A的路线长是：，以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：+2π＝6π，2015÷4＝503余3顶点A转动2015次经过的路线长为：6π×504＝3024π．故选：D．6．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A：P′C＝1：3，则P′A：PB＝（）A．1：B．1：2C．：2D．1：【答案】B【解答】解：如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP＝BP′，∠ABP+∠ABP′＝90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠CBP′+∠ABP′＝90°，∴∠ABP＝∠CBP′，在△ABP和△CBP′中，∵，∴△ABP≌△CBP′（SAS），∴AP＝P′C，∵P′A：P′C＝1：3，∴AP＝3P′A，连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB，∵∠AP′B＝135°，∴∠AP′P＝135°﹣45°＝90°，∴△APP′是直角三角形，设P′A＝x，则AP＝3x，根据勾股定理，PP′＝＝＝2x，∴PP′＝PB＝2x，解得PB＝2x，∴P′A：PB＝x：2x＝1：2．故选：B．7．如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）A．72°B．108°C．144°D．216°【答案】B【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D都正确，不能与其自身重合的是B．故选：B．8．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+3；⑤S△AOC+S△AOB＝6+．其中正确的结论是（）A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．①②③【答案】A【解答】解：由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，又∵OB＝O′B，AB＝BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′＝60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO′，∵OB＝O′B，且∠OBO′＝60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′＝OB＝4．故结论②正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A＝5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，故结论③正确；S 四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′＝×3×4+×42＝6+4，故结论④错误；如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O 旋转至O″点．易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，+S△AOB＝S四边形AOCO″＝S△COO″+S△AOO″＝×3×4+×32＝6+，则S△AOC故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③⑤．故选：A．二．填空题（共16小题）9．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝30°，点D在边AB上，，把△ADC绕点D逆时针旋转m（0°＜m＜180°）度后，如果点A恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝60°或120°．【答案】60°或120°．【解答】解：如图，D以为圆心，以AD为半径画圆，分别交AC于A1，交BC于A2、交DB于A3．∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠A＝60°且AD＝A1D，∴△AA1D是等边三角形，∴①旋转角m＝∠ADA1＝60°．②在Rt△BDA2中，∵BD＝AD，且∠B＝30°，∴BC与圆相切于A点，∴∠BDA2＝60°，旋转角m＝∠ADA2＝180°﹣∠BDA2＝120°．③当旋转到A3时，刚好旋转了180°，不符合题意，．故答案为：60°或120°．10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC绕点C顺时针旋转到△A1B1C的位置，A1B1交直线CA于点D．若AC＝6，BC＝8，当线段CD的长为6或5或时，△A1CD是等腰三角形．【答案】见试题解答内容【解答】解：三角形是等腰三角形，有如下三种情况：①当CD＝A1C＝AC＝6时，三角形是等腰三角形；②当CD＝A1D时，∵∠B＝90°﹣∠BCB1＝∠ACB1，∠B＝∠B1，∴∠B1＝∠B1CD，∴B1D＝CD．∵CD＝A1D，∴CD＝A1B1＝5时，三角形是等腰三角形；③当A1C＝A1D时，如图．过点C作CE⊥A1B1于E．∵△A1B1C的面积＝×6×8＝×10×CE，∴CE＝4.8．在△A1CE中，∠A1EC＝90°，由勾股定理知A1E＝＝3.6，∴DE＝6﹣3.6＝2.4．在△CDE中，∠CED＝90°，由勾股定理知CD＝＝．故当线段CD的长为6或5或时，△A1CD是等腰三角形．11．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△P AC 绕点A逆时针旋转60°后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离为6，∠APB＝150°．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接PP′，如图，∵△P AC绕点A逆时针旋转60°后，得到△P′AB，∴∠P AP′＝60°，P A＝P′A＝6，P′B＝PC＝10，∴△P AP′为等边三角形，∴PP′＝PA＝6，∠P′PA＝60°，在△BPP′中，P′B＝10，PB＝8，PP′＝6，∵62+82＝102，∴PP′2+PB2＝P′B2，∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝∠P′PB+∠BPP′＝60°+90°＝150°．故答案为6，150°．12．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为．【答案】见试题解答内容【解答】解：设B′C′与CD交于点E，连接AE．在△AB′E与△ADE中，∠AB′E＝∠ADE＝90°，∵，∴△AB′E≌△ADE（HL），∴∠B′AE＝∠DAE．∵∠BAB′＝30°，∠BAD＝90°，∴∠B′AE＝∠DAE＝30°，∴DE＝AD•tan∠DAE＝．＝2S△ADE＝2××＝．∴S四边形AB′ED﹣S四边形AB′ED＝1﹣＝．∴阴影部分的面积＝S正方形ABCD13．如图，在Rt△ABC中，已知：∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3cm，以斜边AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2．【答案】见试题解答内容【解答】解：设A′B′交BC于D，在直角△DPB中，BP＝AP＝AC＝3，∵∠A＝60°设PD＝x，则BD＝2x，∵DP2+BP2＝BD2，∴x2+32＝（2x）2，∴DP＝x＝，∵B′P＝BP，∠B＝∠B′，∠B′PH＝∠BPD＝90°，∴△B′PH≌△BPD，∴PH＝PD＝，∵在直角△BGH中，BH＝3+，∴GH＝，BG＝，＝××＝，S△BDP＝×3×＝，∴S△BGH∴S DGHP＝＝cm2．14．如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠BDC的度数为15度．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC＝BD，则△CBD是等腰三角形，∠BDC＝∠BCD，∠CBD＝180°﹣∠DBE＝180°﹣30°＝150°，∠BDC＝（180°﹣∠CBD）＝15°．故答案为15°．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为42cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD＝60°，∴BD＝BC＝12cm，∴△BCD为等边三角形，∴CD＝BC＝CD＝12cm，在Rt△ACB中，AB＝＝13，△ACF与△BDF的周长之和＝AC+AF+CF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42（cm），故答案为：42．16．如图，在△ABC中，∠A＝70°，AC＝BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′BC′，点A′恰好落在AC上，连接CC′，则∠ACC′＝110°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠A＝70°，AC＝BC，∴∠BCA＝40°，根据旋转的性质，AB＝BA′，BC＝BC′，∴∠α＝180°﹣2×70°＝40°，∵∠CBC′＝∠α＝40°，∴∠BCC′＝70°，∴∠ACC′＝∠ACB+∠BCC′＝110°；故答案为：110°．17．如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是 1.5．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EG，∵旋转角为60°，∴∠ECD+∠DCF＝60°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，∴∠DCF＝∠GCE，∵AD是等边△ABC的对称轴，∴CD＝BC，∴CD＝CG，又∵CE旋转到CF，∴CE＝CF，在△DCF和△GCE中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，此时∵∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×6＝3，∴EG＝AG＝×3＝1.5，∴DF＝1.5．故答案为：1.5．18．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 1.6．【答案】见试题解答内容【解答】解：由旋转的性质可得：AD＝AB，∵∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB，∵AB＝2，BC＝3.6，∴CD＝BC﹣BD＝3.6﹣2＝1.6．故答案为：1.6．19．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△AOB 连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，…，那么第⑤个三角形离原点O最远距离的坐标是（21，0），第2012个三角形离原点O最远距离的坐标是（8049，0）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵点A（﹣3，0），B（0，4），∴OB＝4，OA＝3，∴AB＝5，∵对△OAB连续作如图所示的旋转变换，∴△OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了3+4+5＝12个单位，而2012＝3×670+2，∴第⑤个三角形和第2012个三角形都和三角形②的状态一样，∴2012个三角形离原点O最远距离的点的横坐标为670×12+9＝8049，纵坐标为0．第⑤三角形离原点O最远距离的点的横坐标为12+9＝21，纵坐标为0．故答案为（21，0），（8049，0）．20．已知△ABC是边长为1cm的等边三角形，以BC为边作等腰三角形BCD，使得DB＝DC，且∠BDC＝120°，点M是AB边上的一个动点，作∠MDN 交AC边于点N，且满足∠MDN＝60°，则△AMN的周长为2．【答案】见试题解答内容【解答】证明：如图，在AC延长线上截取CM1＝BM，∵△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠DCM1＝90°，∵BD＝CD，∵在Rt△BDM≌Rt△CDM1中，BD ＝CD ∠ABD ＝∠DCM 1＝90°CM 1＝BM ，∴Rt △BDM ≌Rt △CDM 1（SAS ），得MD ＝M 1D ，∠MDB ＝∠M 1DC ，∴∠MDM 1＝120°﹣∠MDB +∠M 1DC ＝120°，∴∠NDM 1＝60°，∵MD ＝M 1D ，∠MDN ＝∠NDM 1＝60°，DN ＝DN ，∴△MDN ≌△M 1DN ，∴MN ＝NM 1，故△AMN 的周长＝AM +MN +AN ＝AM +AN +NM 1＝AM +AM 1＝AB +AC ＝2．故答案为：2．21．如图，△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△AB ′C ′，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝，则图中阴影部分的面积等于﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△AB ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝，∴BC ＝2，∠C ＝∠B ＝∠CAC ′＝∠C ′＝45°，∴AD ⊥BC ，B ′C ′⊥AB ，∴AD ＝BC ＝1，AF ＝FC ′＝sin45°AC ′＝AC ′＝1，∴图中阴影部分的面积等于：S △AFC ′﹣S △DEC ′＝×1×1﹣×（﹣1）2＝﹣1．故答案为：﹣1．22．已知：在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内将△ABC绕A点旋转到△AB′C′位置，且CC′∥AB，则∠BAB′的度数是40°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°．故填：40°．23．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是19．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC＝10，∵△BAE由△BCD逆时针旋旋转60°得出，∴AE＝CD，BD＝BE，∠EBD＝60°，∴AE+AD＝AD+CD＝AC＝10，∵∠EBD＝60°，BE＝BD，∴△BDE是等边三角形，∴DE＝BD＝9，∴△AED的周长＝AE+AD+DE＝AC+BD＝19．故答案为：19．24．如图：已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC 中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF＝AP；⑤S四边形AEPF＝S△ABC．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的序号有①②③⑤．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是BC的中点，∴∠EAP＝∠BAC＝45°，AP＝BC＝CP．①在△AEP与△CFP中，∵∠EAP＝∠C＝45°，AP＝CP，∠APE＝∠CPF＝90°﹣∠APF，∴△AEP≌△CFP，∴AE＝CF．正确；②由①知，△AEP≌△CFP，∴∠APE＝∠CPF．正确；③由①知，△AEP≌△CFP，∴PE＝PF．又∵∠EPF＝90°，∴△EPF是等腰直角三角形．正确；④只有当F在AC中点时EF＝AP，故不能得出EF＝AP，错误；⑤∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE．＝S△AEP+S△APF＝S△CPF+S△BPE＝S△ABC．正确．∴S四边形AEPF故正确的序号有①②③⑤．三．解答题（共6小题）25．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．（1）思路梳理∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．根据SAS，易证△AFG≌△AFE，得EF＝BE+DF．（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°点E、F分别在边BC、CD 上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系∠B+∠D＝180°时，仍有EF＝BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∴∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠F AG，∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，即：EF＝BE+DF．（2）∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF；∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∴∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠F AG，∵∠ADC+∠B＝180°，∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，即：EF＝BE+DF．（3）猜想：DE2＝BD2+EC2，证明：把△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，连接DE′，∴△AEC≌△ABE′，∴BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B2+BD2＝E′D2，又∵∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠EAC＝45°，∴∠E′AB+∠BAD＝45°，即∠E′AD＝45°，在△AE′D和△AED中，∴△AE′D≌△AED（SAS），∴DE＝DE′，∴DE2＝BD2+EC2．26．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM+DN＝MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）BM+DN＝MN成立．证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．∴∠EAM＝90°﹣∠NAM＝90°﹣45°＝45°，又∵∠NAM＝45°，∴在△AEM与△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，∵ME＝BE+BM＝DN+BM，∴DN+BM＝MN；（2）DN﹣BM＝MN．在线段DN上截取DQ＝BM，在△ADQ与△ABM中，∵，∴△ADQ≌△ABM（SAS），∴∠DAQ＝∠BAM，∴∠QAN＝∠MAN．在△AMN和△AQN中，∴△AMN≌△AQN（SAS），∴MN＝QN，∴DN﹣BM＝MN．27．阅读与理解：图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（C与C′重合）的图形．操作与证明：（1）操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；（2）操作：若将图1中的△C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α（0°≤α≤360°），连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；猜想与发现：根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：操作与证明：（1）BE＝AD．∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，∴∠BCE＝∠ACD＝30°，∵△ABC与△C′DE是等边三角形，∴CA＝CB，CE＝CD，∴△BCE≌△ACD，∴BE＝AD．（2）BE＝AD．∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转的角度为α，∴∠BCE＝∠ACD＝α，∵△ABC与△C′DE是等边三角形，∴CA＝CB，CE＝CD，∴△BCE≌△ACD，∴BE＝AD．猜想与发现：当α为180°时，线段AD的长度最大，等于a+b；当α为0°（或360°）时，线段AD的长度最小，等于a﹣b．28．（1）如图1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC（0°＜∠CBE＜∠ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC 按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′，求证：DE′＝DE．（2）如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．求证：DE2＝AD2+EC2．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠DBE＝∠ABC，∴∠ABD+∠CBE＝∠DBE＝∠ABC，∵△ABE′由△CBE旋转而成，∴BE＝BE′，∠ABE′＝∠CBE，∴∠DBE′＝∠DBE，在△DBE与△DBE′中，∵，∴△DBE≌△DBE′（SAS），∴DE′＝DE；（2）证明：如图所示：把△CBE逆时针旋转90°，连接DE′，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCE＝45°，∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AE′重合，∴AE′＝EC，∴∠E′AB＝∠BCE＝45°，∴∠DAE′＝90°，在Rt△ADE′中，DE′2＝AE′2+AD2，∵AE′＝EC，∴DE′2＝EC2+AD2，同（1）可得DE＝DE′，∴DE2＝AD2+EC2．29．图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A＝30°，∠E＝45°，∠EDF＝∠ACB ＝90°，DE交AC于点G，GM⊥AB于M．（1）如图①，当DF经过点C时，作CN⊥AB于N，求证：AM＝DN；（2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点．∴CD＝AD＝BD，又∵∠B＝90°﹣∠A＝60°，∴△BCD是等边三角形．又∵CN⊥DB，∴DN＝DB．∵∠EDF＝90°，△BCD是等边三角形，∴∠ADG＝30°，而∠A＝30°．∴GA＝GD．∵GM⊥AB，∴AM＝AD．又∵AD＝DB，∴AM＝DN．（2）解：（1）的结论依然成立．理由如下：∵DF∥AC，∴∠1＝∠A＝30°，∠AGD＝∠GDH＝90°，∴∠ADG＝60°．∵∠B＝60°，AD＝DB，∴△ADG≌△DBH，∴AG＝DH．又∵GM⊥AB，HN⊥AB，∴∠GMA＝∠HND＝90°，∵∠1＝∠A，∴Rt△AMG≌Rt△DNH，∴AM＝DN．30．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．（1）求∠PCQ的度数；（2）当AB＝4，AP：PC＝1：3时，求PQ的大小；（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A重合），请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意知，△ABP≌△CQB，∴∠A＝∠ACB＝∠BCQ＝45°，∠ABP＝∠CBQ，AP＝CQ，PB＝BQ，∴∠PCQ＝∠ACB+∠BCQ＝90°，∠ABP+∠PBC＝∠CPQ+∠PBC＝90°，∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形．（2）当AB＝4，AP：PC＝1：3时，有AC＝4，AP＝，PC＝3，∴PQ＝＝2．（3）存在2PB2＝PA2+PC2，由于△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ＝PB，∵AP＝CQ，∴PQ2＝PC2+CQ2＝P A2+PC2，故有2PB2＝PA2+PC2．。
中考数学专题练习 旋转(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
旋转一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°C．45°、90°、135°、180°、225°D．45°、180°、225°3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A．2：3：4 B．3：4：5C．4：5：6 D．以上结果都不对5．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．菱形 B．等腰梯形C．等边三角形D．等腰直角三角形6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3） B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，2）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是．8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点、旋转角是．9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PAPB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF=EF，则∠EAF=度．11．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为度，图中除△ABC外，还有等边三形是△．12．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有．三、解答题13．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．14．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．15．有两X完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一X绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．旋转参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的只有A．故选A．【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象沿对称轴折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°C．45°、90°、135°、180°、225°D．45°、180°、225°【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】根据旋转的性质，把旋转后的图形看作为正八边形，依次得到旋转的角度．【解答】解：把△ABC绕点O顺时针旋转45°，得到△HEF；顺时针旋转180°，得到△ADC；顺时针旋转225°，得到△HGF；故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），∴∠DAE=∠B′AE，∵旋转角为30°，∴∠DAB′=60°，∴∠DAE=×60°=30°，∴DE=1×=，∴阴影部分的面积=1×1﹣2×（×1×）=1﹣．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，从而求出∠DAE=30°是解题的关键，也是本题的难点．4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A．2：3：4 B．3：4：5C．4：5：6 D．以上结果都不对【考点】旋转的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质．【专题】计算题．【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，则AP′=AP，∠P′AP=60°，得到△AP′P是等边三角形，PP′=AP，所以△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，得到∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，这样可分别求出∠PP′C=∠AP′C﹣∠AP′P=∠APB﹣∠AP′P=100°﹣60°=40°，∠P′PC=∠APC﹣∠APP′=140°﹣60°=80°，∠PCP′=180°﹣（40°+80°）=60°，即可得到答案．【解答】解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，∵AP′=AP，∠P′AP=60°，∴△AP′P是等边三角形，∴PP′=AP，∵P′C=PB，∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠PP′C=∠AP′C﹣∠AP′P=∠APB﹣∠AP′P=100°﹣60°=40°，∠P′PC=∠APC﹣∠APP′=140°﹣60°=80°，∠PCP′=180°﹣（40°+80°）=60°，∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=2：3：4．故选A．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．5．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．菱形 B．等腰梯形C．等边三角形D．等腰直角三角形【考点】中心对称图形．【分析】旋转180°后与原图重合的图形是中心对称图形．【解答】解：菱形，等腰梯形，等边三角形，等腰直角三角形都是轴对称图形；菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选A．【点评】运用轴对称和中心对称图形概念，找出符合条件的图形．【】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3） B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，2）【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）”解答．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）．故选B．【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是（﹣1，）．【考点】坐标与图形变化﹣旋转．【专题】压轴题．【分析】已知将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，则OP1=1，P1点的坐标是（．则P2的坐标是；再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3与P2关于y轴对称，因而点P3的坐标就很容易求出．【解答】解：∵点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，∴P1点的坐标是（，∴P2的坐标是，又∵点P3与P2关于y轴对称，∴点P3的坐标是（﹣1，）．【点评】解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点 A 、旋转角是∠CAD，是90°．【考点】旋转的性质．【分析】确定图形的旋转时首先要确定旋转前后的对应点，即可确定旋转中心．【解答】解：旋转中心是点A、旋转角是∠CAD，是90°．【点评】本题主要考查了旋转的定义，正确确定旋转中的对应点，是确定旋转中心，旋转角的前提．9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PA＜PB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）【考点】旋转的性质；三角形三边关系；等边三角形的判定．【分析】此题只需根据三角形的任意两边之和大于第三边和等边三角形的性质，进行分析即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：BC＜PB+PC．又AB=BC＞PA，∴PA＜PB+PC．【点评】本题结合旋转主要考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF=EF，则∠EAF= 45 度．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】根据BE+DF=EF，则延长FD到G，使DG=BE，则FG=EF，可以认为是把△ABE绕点A逆时针旋转90度，得到△ADG，根据旋转的定义即可求解．【解答】解：如图：延长FD到G，使DG=BE，则FG=EF，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG又∴AF=AF，GF=EF∴△AGF≌△AEF∴∠EAF=∠GAF=×90°=45°．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．11．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为60 度，图中除△ABC外，还有等边三形是△AOD ．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定．【分析】根据旋转的性质及全等三角形的性质作答．【解答】解：∵将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，∴△AOB≌△ADC，∴OA=AD，∠BAO=∠DAC，∴∠BAO+∠OAC=∠DAC+∠OAC=∠BAC=60°，即∠OAD=60°，所以旋转角为60°．∵OA=AD，∠OAD=60°，∴△AOD为等边三角形．【点评】此题主要考查了图形旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．12．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有△EPQ ．【考点】旋转的性质．【分析】旋转中心是P，旋转方向为逆时针，旋转角是90度，已确定，再通过观察发现全等三角形，判断是否符合本题的旋转规律．【解答】解：根据旋转的性质可知，旋转中心是P，旋转角是90度，图中通过旋转得到的三角形还有△EPQ．【点评】本题考查旋转两相等的性质，即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．三、解答题13．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN．（2）DN﹣BM=MN．证明方法与（1）类似．【解答】解：（1）BM+DN=MN成立．证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，又∵∠NAM=45°，∴在△AEM与△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；（2）DN﹣BM=MN．在线段DN上截取DQ=BM，在△ADQ与△ABM中，∵，∴△ADQ≌△ABM（SAS），∴∠DAQ=∠BAM，∴∠QAN=∠MAN．在△AMN和△AQN中，∴△AMN≌△AQN（SAS），∴MN=QN，∴DN﹣BM=MN．【点评】本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．14．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】简单的求正方形内一个角的大小，首先从△APQ的周长入手求出PQ=DQ+BP，然后将△CDQ 逆时针旋转90°，使得CD、CB重合，然后利用全等来解．【解答】解：如图所示，△APQ的周长为2，即AP+AQ+PQ=2①，正方形ABCD的边长是1，即AQ+QD=1，AP+PB=1，∴AP+AQ+QD+PB=2②，①﹣②得，PQ﹣QD﹣PB=0，∴PQ=PB+QD．延长AB至M，使BM=DQ．连接CM，△CBM≌△CDQ（SAS），∴∠BCM=∠DCQ，CM=CQ，∵∠DCQ+∠QCB=90°，∴∠BCM+∠QCB=90°，即∠QCM=90°，PM=PB+BM=PB+DQ=PQ．在△CPQ与△CPM中，CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，∴△CPQ≌△CPM（SSS），∴∠PCQ=∠PCM=∠QCM=45°．【点评】熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的运算．15．有两X完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一X绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．【考点】锐角三角函数的定义；旋转的性质．【专题】操作型．【分析】（1）根据旋转的性质可知△AFM≌△ADB，则AF=AD=BD•cos∠ADB=8×=4cm；（2）当△AFK为等腰三角形时，由于AM＜AF，那么A不能是等腰△AFK的顶点，则分两种情况：①K为顶点，即AK=FK时；②F为顶点，即AF=FK．针对每一种情况，利用三角形的面积公式，可分别求出△AFK的面积．【解答】解：（1）AF=；（2）△AFK为等腰三角形时，分两种情况：①当AK=FK时，如图．过点K作KN⊥AF于N，则KN⊥AF，AN=NF=AF=2cm．在直角△NFK中，∠KNF=90°，∠F=30°，∴KN=NF•tan∠F=2cm．∴△AFK的面积=×AF×KN=；②当AF=FK时，如图．过点K作KP⊥AF于P．在直角△PFK中，∠KPF=90°，∠F=30°，∴KP=KF=2cm．∴△AFK的面积=×AF×KP=12cm2．【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．注意（2）中需分情况讨论△AFK为等腰三角形时的不同分类，不要漏解．。
沪科版九年级数学下24.1.1旋转课后练习(含答案)
24.1.1旋转课后练习（含答案）一、选择题1.下列运动属于旋转的是()A.运动员掷出标枪B.钟表上钟摆的摆动C.气球升空的运动D.一个图形沿某直线对折的过程2.某校在暑假放假之前举办了交通安全教育图片展活动.下列四个交通标志图中,是旋转对称图形的是()图13.如图2,小聪坐在秋千上,秋千旋转了80°,小聪的位置也从点P运动到了点P'处,则∠P'OP的度数为()图2A.40°B.50°C.70°D.80°4.如图3所示,在△ABC中,∠BAC=32°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转55°,得到△AB'C',则∠B'AC的度数为()图3A.22°B.23°C.24°D.25°5.如图4,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置,旋转角为α,若∠DAB'=5α,则旋转角α的度数为()图4A.25°B.22.5°C.20°D.30°6.如图5,在正方形ABCD中,△ABE经旋转可与△CBF重合,AE的延长线交FC于点M,以下结论正确的是()图5A.BE=CEB.FM=MCC.AM⊥FCD.BF⊥CF7.如图6,在正方形网格中,△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M'P'N',则旋转中心可能是 ()图6A.点AB.点BC.点CD.点D8.如图7,E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置,若四边形AECF的面积为25,DE=2,则AE的长为()图7A.5B.C.7D.二、填空题9.图8可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的,则每次旋转的度数是.图810.如图9,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A'B'C的位置,使点A'落在BC的延长线上.已知∠A=27°,∠B=40°,则∠ACB'=度.图911.如图10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为.图1012.如图11,正方形ABCD的边长为4,E是CD的中点,AF平分∠BAE交BC于点F,将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,则CF的长为.图11三、解答题13.在如图12所示的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点).(1)画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1;(2)求△OAA1的面积.图1214.如图13,点A,B的坐标分别为(4,0),(0,3),将线段BA绕点A顺时针旋转90°,设点B旋转后的对应点是点B1,求点B1的坐标.图13附加题如图14,点O在直线AB上,OC⊥AB.在Rt△ODE中,∠ODE=90°,∠DOE=30°,先将△ODE的一边OE与OC重合(如图①),然后将△ODE绕点O按顺时针方向旋转(如图②),当OE与OB重合时停止旋转.图14(1)当∠AOD=80°时,旋转角∠COE的大小为;(2)当OD在OC与OB之间时,求∠AOD-∠COE;(3)在△ODE的旋转过程中,当∠AOE=4∠COD时,求旋转角∠COE的大小.参考答案1.[解析] B A项,掷出的标枪不是绕着某一个固定的点转动,故不属于旋转;B项,钟表的钟摆的摆动,符合旋转变换的定义,属于旋转;C项,气球升空的运动不是绕着某一个固定的点转动,故不属于旋转;D项,一个图形沿某直线对折的过程是轴对称,不属于旋转.故选B.2.[答案] D3.[解析] D∵小聪的位置从点P运动到了点P'处,∴点P和点P'是对应点,∴∠P'OP=80°.故选D.4.[解析] B根据旋转的性质可知∠B'AB=55°,则∠B'AC=∠B'AB-∠BAC=55°-32°=23°.5.[解析] B∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置,∴∠B'AD'=∠BAD=90°,∠DAD'=α.∵∠DAB'=5α,∴5α=90°+α,解得α=22.5°.故选B.6.[答案] C7.[解析] B连接PP',NN',MM',分别作PP',NN',MM'的垂直平分线,因为三条线段的垂直平分线正好都过点B,所以旋转中心是点B.故选B.8.[解析] D∵把△ADE顺时针旋转90°到△ABF的位置,∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积,等于25,∴AD=5.又∵DE=2,∴在Rt△ADE中,AE==.故选D.9.[答案] 45°[解析] 旋转对称图形中有8块完全相同的部分,故该旋转对称图形的最小旋转角度数为×360°=45°.10.[答案] 46[解析] ∵∠A=27°,∠B=40°,∴∠ACA'=∠A+∠B=27°+40°=67°.∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A'B'C的位置,∴△ABC≌△A'B'C,∴∠ACB=∠A'CB',∴∠ACB-∠ACB'=∠A'CB'-∠ACB',即∠BCB'=∠ACA',∴∠BCB'=67°,∴∠ACB'=180°-∠ACA'-∠BCB'=180°-67°-67°=46°.故答案为46.11.[答案] 612.[答案] 6-2[解析] 作FM⊥AD于点M,FN⊥AG于点N,如图所示,易得四边形CFMD为矩形,则FM=4.∵正方形ABCD的边长为4,E是CD的中点,∴DE=2,∴AE==2.∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,∴AG=AE=2,BG=DE=2,∠3=∠4,∠GAE=90°,∠ABG=∠D=90°.而∠ABC=90°,∴点G在CB的延长线上.∵AF平分∠BAE交BC于点F,∴∠1=∠2,∴∠2+∠4=∠1+∠3,即AF平分∠GAD,∴FN=FM=4.∵AB·GF=FN·AG,∴GF==2,∴CF=CG-GF=4+2-2=6-2.故答案为6-2.13.解:(1)如图,△A1B1C1即为所画图形.(2)如图,连接AA1.∵△ABC绕点O顺时针旋转90°后得△A1B1C1,∴OA=OA1,∠AOA1=90°,∴△OAA1为等腰直角三角形.又∵OA==,∴=××=6.5.14.解:如图,作B1C⊥x轴于点C.∵A(4,0),B(0,3),∴OA=4,OB=3.∵线段BA绕点A顺时针旋转90°得线段AB1,∴BA=AB1,且∠BAB1=90°,∴∠BAO+∠B1AC=90°.而∠BAO+∠ABO=90°,∴∠ABO=∠B1AC.又∵∠AOB=∠B1CA=90°,∴△ABO≌△B1AC,∴AC=OB=3,B1C=OA=4,∴OC=OA+AC=7,∴点B1的坐标为(7,4).附加题解:(1)∵∠AOE=∠AOD+∠DOE=80°+30°=110°,∴∠COE=∠AOE-∠AOC=110°-90°=20°.故答案为:20°.(2)∠AOD-∠COE=(∠AOC+∠COD)-(∠COD+∠DOE)=∠AOC+∠COD-∠COD-∠DOE=∠AOC-∠DOE=90°-30°=60°.(3)设∠COE=x.当OD在OA与OC之间时,∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+x,∠COD=∠DOE-∠COE=30°-x.由题意,得90°+x=4(30°-x),解得x=6°.当OD在OC与OB之间时,∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+x,∠COD=∠COE-∠DOE=x-30°.由题意,得90°+x=4(x-30°),解得x=70°.综上所述,当∠AOE=4∠COD时,旋转角∠COE的大小为6°或70°.。
人教版九年级数学第二十三章第1节《图形的旋转》解答题提高训练 (40)(含答案)
第二十三章第1节《图形的旋转》解答题提高训练 (40)一、解答题1．将ABC ∆的边AB 绕点A 顺时针旋转α得到AB '，边AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '，180αβ+=︒，连接B C ''，作AB C ''∆的中线AD ．图① 图② 图③（初步感知）(1)如图①，当90BAC ∠=︒，4BC =时，AD 的长为 ；（探究运用）(2)如图②，ABC ∆为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并证明． （应用延伸）(3)如图③，已知等腰ACB ∆，AC BC m ==，延长AC 到D ，延长CB 到E ，使CD CE n ==，将CED ∆绕点C 顺时针旋转一周得到CE D ''∆，连接BE '、AD '，若90CBE '∠=︒，求AD '的长度(用含m 、n 的代数式表示)．2．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （1，1），B （4，2），C （3，4）， （1）将△ABC 各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别减5后得到△111A B C ，请在图中画出△111A B C ；（2）将△ABC 绕点（1，0）按逆时针方向旋转90°后得到的△222A B C ，请在图中画出△222A B C ，并分别写出△222A B C 的顶点坐标．3．定义：如图，,A B 为直线l 同侧的两点，过点A 作直线l 的对称点'A ，连接'A B 交直线l 于点P ，连接AP ，则称点P 为点,A B 关于直线l 的“等角点”．如图①，在ABC 中，,D E 分别是AB AC 、上的点，,AB AC AD AE ==，然后将ADE 绕点A 顺时针旋转一定角度，连接,BD CE ，得到图②，延长CE 交BA 的延长线于点N ，延长BD 至点M ，使DM EN =，连接AM ，得到图③，请解答下列问题： （1）在图②中，BD 与CE 的数量关系是 ；（2）在图③中，求证：点A 为点C ，M 关于直线BN 的“等角点”．4．如图，Rt △ABC 的三个顶点的坐标分别为A (-3，2)、B (0，4)、C (0，2).⑴将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C ．平移△ABC ，若A 对应点A 2的坐标为(0，-4)，画出平移后对应的△A 2B 2C 2；⑵若将△A 1B 1C 绕某一点旋转得到△A 2B 2C 2，请直接写出旋转中心的坐标为 ．⑶在x 轴上找一点P ，使得直线CP 将△ABC 的面积分为1：2，直接写出P 点的坐标为 .5．如图，在边长为6的正方形ABCD 内部有两个大小相同的长方形AEFG 、HMCN ，HM 与EF 相交于点P ，HN 与GF 相交于点Q ，AG=CM=x ，AE=CN=y ．（1）用含有x 、y 的代数式表示长方形AEFG 与长方形HMCN 重叠部分的面积S 四边形HPFQ ，并求出x应满足的条件；（2）当AG=AE，EF=2PE时，①AG的长为_______；②四边形AEFG旋转后能与四边形HMCN重合，请指出该图形所在平面内能够作为旋转中心的所有点，并分别说明如何旋转的．6．如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，∠DCE＝120°，当∠DCE 的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）由（图1）的位置将∠DCE绕点C逆时针旋转θ角（0＜θ＜90°），线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．△的三个顶点都在格点上，7．在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标xoy,ABC4,4，请解答下列问题:点A的坐标()（1）画出ABC △关于y 轴对称的111A B C △,并写出点11,A B 的坐标;（2）将ABC △绕点C 逆时针旋转90，画出旋转后的222A B C △, 并写出点22,A B 的坐标. 8．(1)如图:已知D 为等腰直角△ABC 斜边BC 上的一个动点(D 与B 、C 均不重合),连结AD,△ADE 是等腰直角三角形,DE 为斜边,连结CE,求∠ECD 的度数.(2)当(1)中△ABC 、△ADE 都改为等边三角形,D 点为△ABC 中BC 边上的一个动点(D 与B 、C 均不重合),当点D 运动到什么位置时,△DCE 的周长最小?请探求点D 的位置,试说明理由,并求出此时∠EDC 的度数.(3)在(2)的条件下,当点D 运动到使△DCE 的周长最小时,点M 是此时射线AD 上的一个动点,以CM 为边,在直线CM 的下方画等边三角形CMN,若△ABC 的边长为4，请直接写出DN 长度的最小值.9．在平面直角坐标系xOy 中，旋转角α满足0180α︒≤≤︒，对图形M 与图形N 给出如下定义：将图形M 绕原点逆时针旋转α得到图形'M ．P 为图形'M 上任意一点，Q 为图形N 上的任意一点，称PQ 长度的最小值为图形M 与图形N 的“转后距”．已知点()1,3A ，点()4,0B ，点()2,0C ．（1）当90α=︒时，记线段OA 为图形M ．①画出图形'M ；②若点C 为图形N ，则“转后距”为_________；③若线段AC 为图形N ，求“转后距”；（2）已知点(),0P m 在点B 的左侧，点13,2Q m ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，记线段AB 为图形M ，线段PQ 为图形N ，对任意旋转角α，“转后距”大于1，直接写出m 的取值范围． 10．四边形ABCD 的位置如图所示，解答下列问题：(1)将四边形ABCD 先向左平移4格，再向下平移6格，得到四边形A 1B 1C 1D 1，画出平移后的四边形A 1B 1C 1D 1；(2)将四边形A 1B 1C 1D 1绕点A 1逆时针旋转90°得到四边形A 1B 2C 2D 2，画出旋转后的四边形A 1B 2C 2D 2.11．如图（a ），两个不全等的等腰直角三角形OAB 和OCD 叠放在一起，并且有公共的直角顶点O ．（1）将图（a ）中的OAB 绕点O 顺时针旋转90角，在图（b ）中作出旋转后的OAB （保留作图痕迹，不写作法，不证明）．（2）在图（a ）中，你发现线段AC ，BD 的数量关系是 ，直线AC ，BD 相交成 度角．（3）将图（a ）中的OAB 绕点O 顺时针旋转一个锐角，得到图（c ），这时（2）中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由．若OAB 绕点O 继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．12．如图，已知四边形ABCD为正方形，点E是边AD上任意一点，△ABE接逆时针方向旋转一定角度后得到△ADF，延长BE交DF于点G，且AF＝4，AB＝7．（1）请指出旋转中心和旋转角度；（2）求BE的长；（3）试猜测BG与DF的位置关系，并说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（0，1）．（1）画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）画出以C1为旋转中心，将△A1B1C1逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）尺规作图：连接A1A2，在C1A2边上求作一点P，使得点P到A1A2的距离等于PC1的长（保留作图痕迹，不写作法）；（4）请直接写出∠C1A1P的度数．14．如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3．（1）观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是__，B4的坐标是__；（2）若按第（1）题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OA n B n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测A n的坐标是__，B n的坐标是__．15．如图，在已知的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若A，B 两点的坐标分别是A（-1，0），B（0，3）．（1）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，与△ABC位似的△A2B2C2满足A2B2：AB=2：1，请在网格内画出△A2B2C2，并直接填写△A2B2C2的面积为______．16．（1）探究证明：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）发现探究：当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立，如果不成立，DE、A D、BE应满足的关系是_____．（3）解决问题：当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，若BE=8，AD=2，请直接写出DE的长为_____．17．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上，点A 、B 、C 的坐标分别是A （﹣2，3）、B （﹣1，2）、C （﹣3，1），△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到△A 1B 1C 1．（1）在正方形网格中作出△A 1B 1C 1；（2）在旋转过程中，点A 经过的路径弧A A 1的长度为 ；（结果保留π）（3）在y 轴上找一点D ，使DB+DB 1的值最小，并求出D 点坐标．18．阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB 的中点O 旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG. 请你参考小明的做法解决下列问题：⑴ 现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形．在图3中画出示意图，标注字母，指明拼接而成的平行四边形；⑵ 如图4，在面积为2的平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，分别连结AF 、BG 、CH 、DE 得到一个新的平行四边形MNPQ ，请在图4中探究平行四边形MNPQ 面积的大小（画图并直接写出结果）.19．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB 的顶点均在格点上，点A ，B 的坐标分别是A （3，3）、B （1，2），△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到△11OB A .（1）画出△11OB A ，直接写出点1A ，1B 的坐标；（2）在旋转过程中，点B 经过的路径的长；（3）求在旋转过程中，线段AB 所扫过的面积. OBA20．如图，在正方形ABCD 中，点M 、N 是BC 、CD 边上的点，连接AM 、BN ，若BM=CN（1）求证：AM ⊥BN（2）将线段AM 绕M 顺时针旋转90°得到线段ME ，连接NE ，试说明：四边形BMEN 是平行四边形；（3）将△ABM 绕A 逆时针旋转90°得到△ADF ，连接EF ，当1 BM BC n 时，请求出四边形四边形ABCDAMEFS S 的值【答案与解析】一、解答题1．(1)2；(2)12AD BC =，证明见解析；(3)223AD m n '=+. （1）只要证明BC=B′C′=4，再利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题；（2）如图①中，延长AD 到E ，使得DE=AD ．连接EB′，EC′．只要证明△AB ′E ≌△BAC ，即可解决问题；（3）分两种情形，利用（2）中结论以及勾股定理计算即可；(1)90αβ+=︒，180BAB CAC ''∴∠+∠=︒，90BAC ∠=︒，90B AC ''∴∠=︒，AB AB AC AC ''∴==，BAC B AC ''∠=∠，ABC AB C ''∴∆≅∆，4BC B C ''∴==，AD是直角三角形AB C ''∆斜边的中线，122AD B C ''∴==． 故答案为2．(2)证明：如图中，延长AD 到E ，使得DE AD =．连接EB '，EC '．B D DC ''=，AD DE =，。
人教版初中九年级数学上册第二十三章《旋转》经典测试题(含答案解析)
一、选择题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．等边三角形B ．平行四边形C ．圆D ．五角星2．以原点为中心，将点P （3，4）旋转90°，得到的点Q 所在的象限为（ ） A ．第二象限 B ．第三象限 C ．第四象限 D ．第二或第四象限 3．如图所示，把ABC 绕C 点旋转35︒，得到A B C '''，A B ''交AC 于点D ，若90A DC '∠=︒，则A ∠等于（ ）A ．35︒B ．65︒C ．55︒D ．45︒4．如图，正方形ABCD 内一点P ，5AB =，2BP =，把ABP △绕点B 顺时针旋转90°得到CBP '，则PP '的长为（ ）A ．22B ．23C ．3D ．32 5．如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 旋转，得到正方形CEFG ，在旋转过程中，则线段AE 的最小值为（ ）A 32B 2-1C ．0．5D 51-6．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到A B C ∆''，M 是BC 的中点，P 是A B ''的中点，连接PM ．若2BC =，30A ∠=︒，则线段PM 长的最大值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 7．若点P(－m ，m －3)关于原点对称的点是第二象限内的点，则m 满足( ) A ．m ＞3 B ．0＜m≤3 C ．m ＜0 D ．m ＜0或m ＞3 8．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．等边三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．菱形10．如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD 的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有（ ）A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种 11．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．矩形或菱形 12．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．13．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 14．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 15．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题16．如图所示，在直角坐标系中，点()0,6A ，点()3,4P 将AOP 绕点O 顺时针方向旋转，使OA 边落在x 轴上，则PP '=_______________．17．已知点(,2)A m m 在直线3y x 上，则点A 关于原点对称点B 的坐标为______． 18．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点E 在CD 边上，1DE =，把ADE 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABE '△，连接EE '，则线段EE '的长为______．19．如图，在平面直角坐标系中有一个等边OBA △，其中A 点坐标为()1,0，将OBA △绕顶点A 顺时针旋转120︒，得到11AO B ；将得到的11AO B 绕顶点B 顺时针旋转120︒，得到112B AO ；然后再将得到的112B AO 绕顶点2O 顺时针旋转120︒，得到222O B A …按照此规律，继续旋转下去，则2014A 点的坐标为________．20．如图，点E 在正方形ABCD 的边CB 上，将DCE 绕点D 顺时针旋转90˚到ADF 的位置，连接EF ，过点D 作EF 的垂线，垂足为点H ，于AB 交于点G ，若4AG =，3BG =，则BE 的长为___________．21．如图，把△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A 'B 'C '，此时A ′B ′⊥AC 于D ，已知∠A ＝50°，则∠B ′CB 的度数是_____°．22．如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，若菱形的面积为20cm 2，则阴影部分的面积为_____cm 2．23．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是_____．24．如图，在△ABC 中，AB ＝6，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A 1BC 1，则阴影部分的面积为________．25．如图，正方形ABCD 的边长为2，BE 平分∠DBC 交CD 于点E ，将△BCE 绕点C 顺时针旋转90°得到△DCF ，延长BE 交DF 于G ，则BF 的长为_____．26．若点()3,5B n +与点()4,A m 关于原点O 中心对称，则m n +=______________．三、解答题27．如图，四边形ABCD 是正方形，△ADF 旋转一定角度后得到△ABE ，如图所示，如果AF=4，AB=7，求：（1）指出旋转中心和旋转角度；（2）求DE 的长度；（3）BE 与DF 的位置关系如何？28．如图1，等腰Rt ABC 中，90A ∠=︒，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______． （2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若8AD =，20AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．29．如图，在一个1010⨯的正方形网格中有一个,ABC ABC ∆∆的顶点都在格点上．（1）在网格中画出ABC ∆向下平移4个单位，再向右平移6个单位得到的111A B C ∆． （2）在网格中画出ABC ∆关于点P 成中心对称得到的222A B C ∆．（3）若可将111A B C ∆绕点О旋转得到222A B C ∆，请在正方形网格中标出点O ，连接12A A 和12B B ，请直接写出四边形2211A B A B 的面积．30．如图，已知ABC 和A B C ''''''△及点O ．（1）画出ABC 关于点O 对称的A B C '''；（2）若A B C ''''''△与A B C '''关于点O '对称，请确定点O '的位置．。
《常考题》初中九年级数学上册第二十三章《旋转》习题(含答案解析)
一、选择题1．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,1)-，将OA 绕原点O 按顺时针方向旋转90︒得到OA '，则点A '的坐标为（ ）A ．(3,1)B ．(3,1)-C ．(1,3)--D ．(1,3) 2．如图，△ABC 中，AB =6，AC =4，以BC 为对角线作正方形BDCF ，连接AD ，则AD 长不可能是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．83．如图，已知平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于点,E 以点B 为中心，取旋转角等于,ABC ∠把BAE △顺时针旋转，得到BA E ''，连接DA '．若60,50ADC ADA '∠=︒∠=︒，则DA E ''∠的大小为（ ）A ．130︒B ．150︒C ．160︒D ．170︒ 4．已知点(2,3)A ，O 是坐标原点，将线段OA 绕点O 逆时针旋转90︒，点A 旋转后的对应点1A ，则点1A 的坐标是（ ）A ．(2,3)--B ．(2,3)-C ．(3,2)-D ．(3,2)- 5．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到A B C ∆''，M 是BC 的中点，P 是A B ''的中点，连接PM ．若2BC =，30A ∠=︒，则线段PM 长的最大值是（ ）A．4 B．3 C．2 D．16．如图，在△ABC中，以C为中心，将△ABC顺时针旋转34°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（）A．60°B．64°C．66°D．68°7．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．8．下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、直角梯形，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．39．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )A．B．C．D．10．如图，将△ABC绕点C（0，－1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（－3，－4）则点A′的坐标为A．（3，2）B．（3，3）C．（3，4）D．（3，1）11．如图，在平面直角坐标系中Rt△ABC的斜边BC在x轴上，点B坐标为（1，0），AC=2，∠ABC=30°，把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A点的对应点A′的坐标为（）A．（﹣4，﹣2﹣3）B．（﹣4，﹣2+3） C．（﹣2，﹣2+3）D．（﹣2，﹣2﹣3）12．如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有（）A．4种B．5种C．6种D．7种13．如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ΔABF，连接EF，则线段EF的长为（）A．3 B．23C．13D．1514．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点E在AB边上，连接CE．若点B与点O关于CE对称，则CB：AB为（）A ．12B ．512-C ．33D ．3215．下列图形是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题16．如图，在AOB 中，90AOB ∠=︒，30B ∠=︒，A OB ''△是由AOB 绕点O 顺时针旋转1(8)0αα<︒角度得到的，若点A '在AB 上，则旋转角α=___︒．17．如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△．若B '落到BC 边上，50B ∠=︒，则CB C ''∠的度数为______．18．如图，如果正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，连接DG ，那么∠DGE ＝________．19．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，如果点A 的坐标为（1，0），那么点2019B 的坐标为________．20．如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转_____次，每次旋转_____度形成的．21．在平面直角坐标系中，点A （-5，b)关于原点对称的点为B （a ，6），则(a+b)2019=____．22．如图，△ABC 中，∠A ＝60°，∠ABC ＝80°，将△ABC 绕点B 逆时针旋转，得到△DBE ，若DE ∥BC ，则旋转的最小度数为_____．23．如图，小正方形方格的边长都是1，点A 、B 、C 、D 、O 都是小正方形的顶点．若COD 是由AOB 绕点O 按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转______°．24．直角坐标系中，已知A （3，2），作点A 关于y 轴对称点A 1，点A 1关于原点对称点A 2，点A 2关于x 轴对称点A 3，A 3关于y 轴对称点A 4，……，按此规律，则点A 2019的坐标为_____．25．如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，∠C=30°，AB=2，将ABC 绕着点A 顺时针旋转，得到AMN ，使得点B 落在BC 边上的点M 处，MN 与AC 交于点D ，则ADM △的面积为____．26．如图，在Rt ABC 中，5AB =，4BC =，如果ABC 绕点B 旋转，使点C 落在AB 边上的点D 处得到EBD △，则点A 到BE 的距离是__________．三、解答题27．综合与实践问题情境从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图形具有的普遍规律．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 上一点，将AEC 以点C 为旋转中心，逆时针旋转90°得到BFC △，AD 的延长线交线段BF 于点P ．探究线段EP ，FP ，BP 之间的数量关系．数学思考（1）请你在图1中证明AP BF ⊥；特例探究（2）如图2，当CE 垂直于AD 时，求证：2EP FP BP +=；类比再探（3）请判断（2）的结论在图1中是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．28．在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题：（1）如图1，点Р是正方形ABCD 内一点，1,2,3PA PB PC ===，你能求出APB ∠的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将PBC ∆绕点B 逆时针旋转90，得到'P BA ∆，连接'PP ，可求出APB ∠的度数；思路二：将PAB ∆绕点B 顺时针旋转90，得到'P CB ∆，连接'PP ，可求出APB ∠的度数．请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．（2）如图2，若点P 是正方形ABCD 外一点，要使45APB ∠=，线段PA ，PB ，PC 应满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段PA ，PB ，PC 满足的等量关系．29．如图，等边△ABC 中，P 是BC 边上任意一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转60°．（1）请用圆规和无刻度的直尺作出旋转后的三角形（保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）记点P 的对应点为P ʹ，试说明△APP ʹ的形状，并说明理由30．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，平行四边形ABCD 的顶点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）将线段AD绕点A逆时针旋转90°，画出对应线段AE；（2）过点E画一条直线把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分；（3）过点D画格点线段DP，使得DP⊥BC于点M，垂足为M；（4）过点M画线段MN，使得MN//AB，MN=AB．。
人教版 九年级数学 第23章 旋转 复习题(含答案)
人教版九年级数学第23章旋转复习题一、选择题（本大题共10道小题）1. 在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是()2. 若点A(－3，2)关于原点的对称点是点B，点B关于x轴的对称点是点C，则点C的坐标是()A．(3，2) B．(－3，2)C．(3，－2) D．(－2，3)3. 如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点中心对称，则这个点是()A．O1B．O2C．O3D．O44. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为()A.10 B．2 2C．3 D．2 55. 如图，两个半圆分别以P，O为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，O，A2在同一条直线上，则对称中心为()A．A2P的中点B．A1B2的中点C．A1O的中点D．PO的中点6. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，3)，以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A′，则点A′的坐标为()A．(3，1) B．(3，－1) C．(2，1) D．(0，2)7. 如图，已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上的某个点中心对称，则点B的对称点是()A．点E B．点FC．点G D．点H8. 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2对称……如此作下去，则△B2n A2n＋1B2n＋1(n是正整数)的顶点A2n＋1的坐标是()A．(4n－1，3) B．(2n－1，3)C．(4n＋1，3) D．(2n＋1，3)9. 如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为()A．90°－αB．αC．180°－αD．2α10. 2018·桂林如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点M在边CD上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为()A．3 B．2 3 C.13 D.15二、填空题（本大题共8道小题）11. 若将等腰直角三角形AOB按图所示的方式放置，OB＝2，则点A关于原点对称的点的坐标为________．12. 如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0＜α＜180°)得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝________°.13. 如图，点A，B，C的坐标分别为(2，4)，(5，2)，(3，－1)．若以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则点D的坐标为________．14. 已知▱ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标原点，一边AB 与x轴平行且AB＝2.若点A的坐标为(a，b)，则点D的坐标为________________．15. 把二次函数y＝(x－1)2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为_______．16. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．17. 如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP＝6，B P＝8，CP＝10，则S△ABP＋S△BPC＝________．18. 如图，在平面直角坐标系中，对点P(1，0)作如下变换：先向上平移(后一次平移比前一次多1个单位长度)，再作关于原点的对称点，即向上平移1个单位长度得到点P1，作点P1关于原点的对称点P2，向上平移2个单位长度得到点P3，作点P3关于原点的对称点P4……那么点P2020的坐标为____________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D 分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转角α(0°＜α＜90°)，连接AF，DE(如图②)．(1)在图②中，∠AOF＝________；(用含α的式子表示)(2)猜想图②中AF与DE的数量关系，并证明你的结论．20. 如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD ＝30，DM＝10.(1)在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外部的点D1处转到其内部的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．21. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝60°，∠ABC＝30°，AD＝CD. 求证：BD2＝AB2＋BC2.22. 2019·福建如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E.(1)当点E恰好在AC上时，如图①，求∠ADE的度数；(2)若α＝60°，F是边AC的中点，如图②，求证：四边形BEDF是平行四边形．人教版九年级数学第23章旋转复习题-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】A3. 【答案】A[解析] 如图，连接HC和DE交于点O1.4. 【答案】A[解析] ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5. ∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE＝4，DE＝3，∴BE＝1.在Rt△BED中，BD＝BE2＋DE2＝10.故选A.5. 【答案】D[解析] 因为P，O是对称点，所以PO的中点是对称中心．6. 【答案】A[解析] 如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴于点F，∴∠AEO ＝∠A′FO ＝90°.∵点A 的坐标为(1，3)，∴AE ＝1，OE ＝3，∴OA ＝2，∠AOE ＝30°，由旋转可知∠AOA′＝30°，OA′＝OA ＝2，∴∠A′OF ＝90°－30°－30°＝30°，∴A′F ＝12OA′＝1，OF ＝3，∴A′(3，1)． 故选A.7. 【答案】D[解析] 由于点B ，D ，F ，H 在同一条直线上，根据中心对称的定义可知，只能是点B 和点H 是对称点，点F 和点D 是对称点．故选D.8. 【答案】C[解析] A 1(1，3)，A 2(3，－3)，A 3(5，3)，A 4(7，－3)，…，∴点A n 的坐标为⎩⎨⎧（2n －1，3）（n 为奇数），（2n －1，－3）（n 为偶数）.∵2n ＋1是奇数，∴点A 2n ＋1的坐标是(4n ＋1，3)．故选C.9. 【答案】C[解析] 由题意可得∠CBD ＝α，∠C ＝∠EDB.∵∠EDB ＋∠ADB ＝180°， ∴∠C ＋∠ADB ＝180°.由四边形的内角和定理，得∠CAD ＋∠CBD ＝180°. ∴∠CAD ＝180°－∠CBD ＝180°－α.故选C.10. 【答案】C[解析] 如图，连接BM .∵△AEM 与△ADM 关于AM 所在的直线对称， ∴AE ＝AD ，∠MAD ＝∠MAE .∵△ADM绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF，∴AF＝AM，∠F AB＝∠MAD，∴∠F AB＝∠MAE，∴∠F AB＋∠BAE＝∠BAE＋∠MAE，即∠F AE＝∠MAB，∴△F AE≌△MAB(SAS)，∴EF＝BM.∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AB＝3.∵DM＝1，∴CM＝2.∵在Rt△BCM中，BM＝22＋32＝13，∴EF＝13.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】(－1，－1)[解析] 如图，过点A作AD⊥OB于点D.∵△AOB是等腰直角三角形，OB＝2，∴OD＝AD＝1，∴A(1，1)，∴点A关于原点对称的点的坐标为(－1，－1)．12. 【答案】90[解析] 连接AA1，CC1，分别作AA1和CC1的垂直平分线，两直线相交于点D，则点D即为旋转中心，连接AD，A1D，则∠ADA1＝α＝90°.13. 【答案】(0，1)14. 【答案】(－2－a，－b)或(2－a，－b)[解析] 如图①，∵点A的坐标为(a，b)，AB与x轴平行，∴B(2＋a，b)．∵点D与点B关于原点对称，∴D(－2－a，－b)．如图②，∵B(a－2，b)，且点D与点B关于原点对称，∴D(2－a，－b)．15. 【答案】y ＝－x 2－2x －3[解析] 旋转前二次项的系数a ＝1，抛物线的顶点坐标是(1，2)，旋转后二次项的系数a ＝－1，抛物线的顶点坐标是(－1，－2)，∴新抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)2－2，即y ＝－x 2－2x －3.16. 【答案】18[解析] 如图．∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∴∠B ＋∠ADC ＝180°.又∵AB ＝AD ，∴将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后点B 与点D 重合，点C 的对应点E 落在CD 的延长线上，∴AE ＝AC ＝6，∠CAE ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ACE ＝12AC·AE ＝12×6×6＝18.17. 【答案】24＋163 [解析] 如图，将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°后得到△BP ′A ，连接PP ′.根据旋转的性质可知，旋转角∠PBP ′＝∠CBA ＝60°，BP ＝BP ′， ∴△BPP ′为等边三角形， ∴BP ′＝BP ＝8＝PP ′.由旋转的性质可知，AP ′＝PC ＝10， 在△APP ′中，PP ′＝8，AP ＝6，AP ′＝10， 由勾股定理的逆定理，得△APP ′是直角三角形，∴S△ABP＋S△BPC＝S四边形AP′BP＝S△BPP′＋S△AP′P＝34BP2＋12PP′·AP＝24＋16 3.故答案为24＋16 3.18. 【答案】(1，－505)[解析] 根据题意可列出下面的表格：观察表格可知：这些点平均分布在四个象限中，序号除以4余1的点在第一象限，横坐标都是1，纵坐标为序号减1除以4的商加1；序号除以4余2的点是序号除以4余1的点关于原点的对称点；序号能被4整除的点在第四象限，横坐标为1，纵坐标为序号除以4的商的相反数；序号除以4余3的点在第二象限，是序号能被4整除的点关于原点的对称点．因为2020÷4＝505，所以点P2020在第四象限，坐标为(1，－505)．三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)∵△OEF绕点O逆时针旋转角α，∴∠DOF＝∠COE＝α.∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOD＝90°，∴∠AOF＝90°－α.故答案为90°－α.(2)猜想：AF＝DE.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOD＝∠COD＝90°，OA＝OD.∵∠DOF＝∠COE＝α，∴∠AOF＝∠DOE.∵△OEF 为等腰直角三角形，∴OF ＝OE.在△AOF 和△DOE 中，⎩⎨⎧OA ＝OD ，∠AOF ＝∠DOE ，OF ＝OE ，∴△AOF ≌△DOE(SAS)，∴AF ＝DE.20. 【答案】解：(1)①当A ，D ，M 三点在同一直线上时，AM ＝AD ＋DM ＝40或AM ＝AD －DM ＝20.②当A ，D ，M 三点为同一直角三角形的顶点时，显然∠MAD 不能为直角． 当∠AMD 为直角时，AM 2＝AD 2－DM 2＝302－102＝800，∵AM>0， ∴AM ＝20 2.当∠ADM ＝90°时，AM 2＝AD 2＋DM 2＝302＋102＝1000，∵AM>0， ∴AM ＝10 10.综上所述，满足条件的AM 的长为20 2或10 10.(2)如图，连接CD 1，由题意得，∠D 1AD 2＝90°，AD 1＝AD 2＝30，∴∠AD 2D 1＝45°，D 1D 2＝30 2.∵∠AD 2C ＝135°，∴∠CD 2D 1＝∠AD 2C －∠AD 2D 1＝90°，∴CD 1＝（30 2）2＋602＝30 6.∵∠BAC ＝∠D 1AD 2＝90°，∴∠BAC －∠CAD 2＝∠D 1AD 2－∠CAD 2，∴∠BAD 2＝∠CAD 1.又∵AB ＝AC ，AD 2＝AD 1，∴△BAD2≌△CAD1(SAS)，∴BD2＝CD1＝30 6.21. 【答案】证明：如图，将△ADB绕点D顺时针旋转60°，得到△CDE，连接BE，则∠ADB＝∠CDE，∠A＝∠DCE，AB＝CE，BD＝DE.又∵∠ADC＝60°，∴∠BDE＝60°，∴△DBE是等边三角形，∴BD＝BE.又∵∠ECB＝360°－∠BCD－∠DCE＝360°－∠BCD－∠A＝360°－(360°－∠ADC－∠ABC)＝90°，∴△ECB是直角三角形，∴BE2＝CE2＋BC2，即BD2＝AB2＋BC2.22. 【答案】解：(1)∵△ABC绕点C顺时针旋转角α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°.∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝12(180°－30°)＝75°，∴∠ADE＝90°－75°＝15°.(2)证明：连接AD.∵F是边AC的中点，∠ABC＝90°，∴BF＝12AC.∵∠ACB＝30°，∴AB＝12AC，∴BF＝AB.∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，BC＝CE，CD＝CA，DE＝AB，∴DE＝BF，△ACD和△BCE均为等边三角形，∴BE＝CB.∵F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF＝BC，∴DF＝BE.又∵BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．。
人教版初中九年级数学上册第二十三章《旋转》习题(含答案解析)
一、选择题1．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．如图，OAB 绕点O 逆时针旋转80°到OCD 的位置，已知45AOB ∠=︒，则AOD ∠等于（ ）A ．45°B ．35°C ．25°D ．15°3．如图，在ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒，直角EPF ∠的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，当EPF ∠在ABC 内绕点P 旋转时，下列结论错误的是（ ）A ．AE CF =B ．EPF 为等腰直角三角形C ．EP AP =D ．2ABC AEPF S S =四边形4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．如图所示，ABC 中，65C =︒∠，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转后，得到AB C ''∆，且C '在边BC 上，则B C B ''∠的度数是（ ）A ．46°B ．48°C ．50°D ．52°6．已知Rt ABC ∆中，两条直角边4AC =，3BC =，将ABC ∆绕斜边中点O 旋转，使直角顶点与点B 重合，得到与ABC ∆全等的EDB ∆，BE 边和AC 相交于点F ，则EF 的值是（ ）A ．78B ．1C ．45D ．237．如图，在△ABC 中，以C 为中心，将△ABC 顺时针旋转34°得到△DEC ，边ED ，AC 相交于点F ，若∠A ＝30°，则∠EFC 的度数为（ ）A ．60°B ．64°C ．66°D ．68°8．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、直角梯形，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．310．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB 绕点B 逆时针旋转45°得到△D′E′B ，则点A 在△D′E′B 的（ ）A．内部B．外部C．边上D．以上都有可能11．已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是( )A．22B．4 C．23D．不能确定12．下列四个图案中，不是中心对称图案的是（）A．B．C．D．13．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．14．如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（）A．顺时针B．逆时针C．顺时针或逆时针D．不能确定15．如图,已知△ABC与△CDA关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,F,则下则结论:①点E和点F,点B和点D是关于中心O的对称点;②直线BD必经过点O;③四边形ABCD是中心对称图形;④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;⑤△AOE 与△COF成中心对称.其中正确的个数为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题16．有两个直角三角板，其中45E ∠=︒，30C ∠=︒，按图①的方式叠放，先将ABC 固定，再将AED 绕顶点A 顺时针旋转，使//BC DE （如图②所示），则旋转角BAD ∠的度数为______．17．若点M （3，a ﹣2），N （b ，a ）关于原点对称，则ab ＝_____．18．如图所示，在直角坐标系中，点()0,6A ，点()3,4P 将AOP 绕点O 顺时针方向旋转，使OA 边落在x 轴上，则PP '=_______________．19．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 在边CD 上．以点A 为中心，把ADE 顺时针旋转90︒至ABF 的位置，若2DE =，则FC =________．20．如图，在ABC 中，4AB =， 5.8BC =，60B ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为________．21．在平面直角坐标系中，点()4,6P -与点()4,1Q m -+关于原点对称，那么m =______．22．如图，在等边△ABC 中，AC=10，点O 在AC 上，且AO=4，点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋 转60º得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是________．23．如图所示，把一个直角三角尺ACB 绕30角的顶点B 顺时计旋转，使得点A 落在CB 的延长线上的点E 处，则BCD ∠的度数为______．24．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA 与边FE 叠合，顶点B 、C 、D 在一条直线上）．将三角尺DEF 绕着点F 按顺时针方向旋转n°后（0＜n ＜180），如果EF ⊥AB ，那么n 的值是_______．25．一副三角板如图放置，将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转(090)αα<<，使得三角板ADE 的一边所在的直线与BC 垂直，则α的度数为______.26．如图，在边长为1的正方形网格中，()1,7A ，()5,5B ，()7,5C ，()5,1D .线段AB 与线段CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为______.三、解答题27．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC 的顶点均在格点上，点C 的坐标为(2,4) ．（1）以原点O 为旋转中心，画出把ABC 逆时针旋转90°的图形111A B C △； （2）在（1）的条件下，求出经过111A B C 、、三点的抛物线的解析式．28．（1）（操作发现）如图1，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°，得°到△ADE ，连接BD ，则∠ABD=_______度． （2）（类比探究）如图27的等边三角形ABC 内有一点P ，∠APC=90°°，∠BPC=120°，求△APC的面积．29．点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使65BOC ∠=︒，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处．（1）如图1，将三角板MON 的一边ON 与射线OB 重合时，求MOC ∠的度数；（2）如图2，将三角板MON 绕点O 逆时针旋转一定角度，此时OC 是MOB ∠的角平分线，求旋转角BON ∠的度数，CON ∠的度数；（3）将三角板MON 绕点O 逆时针旋转至图3时，5NOC ∠=︒，求AOM ∠．30．如图，△ABC 中A （2-，3），B （3-，1），C （1-，2）．（1）将△ABC 绕原点O 顺时针旋转180°，在坐标系中画出旋转后的△A 1B 1C 1； （2）写出的△A 1B 1C 1的顶点B 1的坐标 ．。
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【详解】
解：（1）△A1B1C1如图所示．
（2）△AB2C2如图所示，点 ．
（3）△A3B3C3如图所示， ．
．
【点睛】
本题考查作图 旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（1）详见解析；（2）先将三角形 向上平4个单位，再绕点 逆时针旋转90°可得到三角形 或先将三角形 绕点 逆时针旋转90°，再向上平移4个单位，可得到三角形
【解析】
【分析】
（1）根据题意首先确定A、B、C三点关于直线MN对称的对称点位置，再进行连接即可；
（2）由题意结合图形平移和旋转的性质根据图形位置进行分析解答即可．
【详解】
解：（1）如图；
（2）先将三角形 向上平4个单位，再绕点 逆时针旋转 可得到三角形 ；
或先将三角形 绕点 逆时针旋转 ，再向上平移4个单位，可得到三角形 ．
【点睛】
本题主要考查图形平移和旋转，解题的关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置．
6．（1）见解析；（2）见解析，
【解析】
【分析】
（1）关于中心对称图形的做法计算即可；
（2）根据扇形面积计算即可；
【详解】
解：（1）△A1B1C1即为所求；
（2）△A2B2C2即为所求；
线段BC扫过的面积= ．
【点睛】
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；直接写出点B2的坐标；
（3）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并直接写出B3的坐标．
5．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点 、 都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．
（1）作出三角形 关于直线 对称的三角形 ．
(3)若 ， ，试求出四边形 的对角线 的长.
10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），等腰 的边 在x轴的正半轴上， ，点B在点A的右侧，点C在第一象限，若将 绕点A逆时针旋转75°，点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上．
（1）求AE的长．
（2）求点C的坐标．
参考答案
1．（1）△ 见解析；（2）△ 见解析； .
九年级数学旋转10道解答题题专题训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）将△ABC以x轴为对称轴，画出对称后的△A1B1C1；
【详解】
（1）如图①；
（2）如图②；
（3）如图③．
【点睛】
本题主要考查图形的平移，旋转，轴对称变化，熟练掌握平移，旋转，轴对称变化的概念是解题的关键．
4．（1）详见解析；（2）图见解析， ；（3）图见解析， ．
【解析】
【分析】
（1）将△ABC的每个顶点都向左平移6个单位，即可求解；
（2）分别作出 ， ， 的对应点 ， ， 即可．
（3）AA1= ．
【点睛】
本题考查了平移变换、旋转变换、两点之间的距离公式等知识，解题的关键是正确作出对应点解决问题，属于中考常考题型．
3．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用网格特点和平移的性质画图；
（2）利用网格特点和中心对称的性质画图；
（3）利用网格特点和轴对称的性质画图．
7．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：△ADC≌△CEB；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE的等量关系?并说明理由．
8．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点 （顶点是网格线的交点）和直线l及点O.
（2）说明三角形 可以由三角形 经过怎样的变换而得到？（要说明变换过程）
6．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
（1）画出△ABC关于点O中心对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2，并求线段BC扫过的面积．
（1）画出 关于直线l对称的 ；
（2）连接OA，将OA绕点O顺时针旋转 ，画出旋转后的线段；
（3）在旋转过程中，当OA与 有交点时，旋转角 的取值范围为________.
9．如图，四边形 中， ，将 绕点 顺时针旋转一定角度后，点 的对应点恰好与点 重合，得到 .
(1)请求出旋转角的度数；
(2)请判断 与 的位置关系，并说明理由；
本题主要考查了旋转图形的作图即扇形的面积计算公式，准确计算是解题的关键．
【解析】
【分析】
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（1）作出A、C的对应点A1、C1即可解决问题；
（2）根据中心对称的性质，作出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
（3）利用两点之间的距离公式计算即可．
【详解】
（1）平移后的△A1B1C1如图所示，点A1（4，2），C1（3，-1）．
（2）△ABC关于原点O对称的△A2B2C2如图所示．
（1）将图①中的图形先向右平移3格，再向上平移2格，画出两次平移后的图形；
（2）将图②中的图形绕点O旋转180°，画出旋转后的图形；
（3）将图③中的图形沿线段AB翻折，画出翻折后的图形．
4．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△ ，并请你直接写出 的长度_______．
2．如图， 在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
（1）平移 ，使点 移动到点 ，画出平移后的 ，并写出点 ， 的坐标；
（2）画出 关于原点 对称的 ；
（3）线段 的长度为______．
3．按下列要求在网格中作图：
【解析】
【分析】
（1）找出各点关于x轴对称的点，连接即可；
（2）根据旋转角度、旋转方向、旋转点找出各点的对应点，顺次连接即可得出．
【详解】
解：（1）△ 为所求的三角形；
（2）△ 为所求的三角形
的长度 ．
【点睛】
本题主要考察了轴对称与图形的旋转，正确得出对应点位置是解题关键.
2．（1）如图见解析， ， ；（2）如图见解析；（3） ．