数学与艺术

2020年4月3日星期五
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Zha zhong wei
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薛定谔可算是20世纪的一位代表。他是奥地利的国际知 名科学家，是一位多才多艺、兴趣广泛的科学家，他特别 倾心于数学和物理，却也十分喜爱诗歌、戏剧和语言。
强调另一件事实。薛定谔从古代数学家毕达哥拉斯的科 学美学思想那里得到启示。毕达哥拉斯发现音乐与数之间 的一种奇特的关系，一根振动的弦，实际上包含着薛定谔 所寻求的那种正整数序列。薛定谔的思路则是音乐式的。 琴弦、风琴管的振动符合类似形式的波动方程。而一个波 动方程，只要附加一定的数学条件，便会产生一些数列。 薛定谔根据这种见解，创立一种原子理论，而他终于得到 了电子的波动方程
古希腊建筑也是标准化的。在简单质朴的建筑中，长、宽、 高都遵循一定的比例。他们把坚持理想的比例与坚持抽象的形 式紧密结合起来。艺术是理想与抽象的统一，数学更是理想与 抽象的统一。
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数学因果关系上的严密性特征，在希腊戏剧中也得 到深刻的体现。希腊悲剧强调命运与必然性作用的一 致性。命运的作用和演绎推理应用的合理性在本质上、 先天上是一致的。十分理性地对待悲剧。
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然而，这里有两个基本的问题：上面那个隶属函数确定得是 否合理?那个阈值 取0得.85又是否合理?
在“发从今日白，花是去年红”的诗句中，“白发”与“红 花”所描述的集合也是模糊集合。
“红色的”对象构成一模糊集，现代科学已为“红色的”确 定了一个合理的隶属度和阈值。现代物理学把颜色定义为视觉 的基本特征，是不同波长的可见光引起的视觉器官的不同感觉， 并且根据可见光的不同波长明确地划分了红、橙、黄、绿、青、 蓝、紫的界限。红色的波长范围是0.77微米至0.622微米之间。 光的波长在这个范围内就属红色，否则就不属红色。
欧几里得也写过音乐方面的著作，研究过谐音的配合，制 定过音阶。
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音乐成为古希腊灿烂文化的重要组成部分是与数学紧密联系在一起的。 经过中世纪，到文艺复兴时期，希腊文化的这种精神在欧洲传播。欧洲 近代以来的众多科学家、数学家而不只是艺术家关心着音乐。
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分别取自杜甫的《月夜忆舍弟》和殷益的《看牡 丹》：
露从今夜白，月是故乡明。 发从今日白，花是去年红。 杜甫也有关于白发的诗句： 白头搔更短，浑欲不胜簪。(《春望》) “发从今日白”所表达的是诗人的一种感情、感 受，它把本无那样确切的事实加以明确。在这一点上， 恰有数学的一个分支——模糊数学也是这样做的：它 试图努力把一些模糊的对象加以数学的描述。
f。A (这x )是什0.8么
意思呢?这表示 的可能x性为A 80％。这样的集合称为模糊集合，这样的
函数称为描述模糊集合的函数。并且，普通集合成了模糊集合的特例(正
如常量成了变量的特例，直线成了曲线的特例)。
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试讨论“老年人”集合。70岁算不算老年人?60岁算不算老年人?
在绘画和雕刻、建筑艺术中，我们也看到数学。
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在古希腊优美的文学、理性化的哲学直到理想化的建筑 与雕刻中，处处体现着数学的影响。欧几里得几何所表现 的清晰、简洁，在文化现象中随处可见。古希腊的建筑设 计异常简明，与中世纪哥特式建筑的烦琐形成鲜明对照。 古希腊的服装没有多余繁杂的装饰，文学创作也具有明显 的简练、清晰、求实的风格，比喻的使用、形容词的选取 恰如其分。所有的艺术，包括建筑、雕刻、文学都具有一 种简洁质朴的美。
数学与艺术
重庆三峡学院
查中伟
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文学与艺术在有些地方很难划分。诗歌算文学， 可不可以算艺术?文学作品改编为剧本可以搬上舞 台，搬上银幕，诗可以成为歌词，诗配画，画配诗。 文学与艺术的界限是模糊的。文学与艺术中的语言 有时也是模糊的，它不仅是必要的，而且还要利用 这种模糊性。
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在18世纪的数学家中，除了丹尼尔·伯努利、欧拉外， 还有泰勒、拉格朗日、约翰·伯努利等都研究过音乐，长 笛，风琴，各种形式的管乐器，小号，军号，铃以及许 多的弦乐器也被研究。至19世纪仍不乏其人，著名的数 学家、物理学家亥姆霍兹乃其一。傅里叶是19世纪初的 一位法国数学家，他的研究虽从热的传导开始，可是， 对乐谱的分析却也与三角级数联系起来，经过他而逐步 创立起来的调和分析。
音乐与数学相联系的历史更悠久。在毕达哥拉斯时代， 音乐是数学的一部分，毕达哥拉斯把音乐解释为宇宙的 普遍和谐，并且这也同样适用于数学。毕达哥拉斯可以 说是音乐理论的一位始祖，他阐明了单弦的调和乐音与 单弦弦长之间的关系。
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希腊数学的演绎法使古希腊人对理性的推崇达到了无以复 加的地步，他们在其情感体验中都极力寻找理性，他们对英雄 的歌颂，不仅仅是由于英雄的勇敢，更认为英雄的行为合乎理 性。在希腊人心目中，演绎推理富有条理性，一致性，完整性， 因而也无可争辩地是一种艺术。
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d (x dy ) y 0,
dx dx
它的解乃是一个零阶贝塞尔函数。
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伯努利和欧拉还对各种管乐器作过研究，然而却碰到了 二阶偏微分方程，甚至是涉及3个、4个变量的偏微分方程。
铃是一种敲击乐器。欧拉对铃的声音的研究还导致出了 复杂的四阶偏微分方程。欧拉作为有史以来最杰出的数学 家之一，在18世纪30年代创立了一种新的音乐理论。他 有一部著作叫做《建立在确切的谐振原理基础上的音乐理 论的新颖研究》。在欧拉的一生中，对音乐有过许多的深 入研究。
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2
x 2
2
y 2
2
z 2
8 2m
h2
(
E
V
)
0.
这是一个很美妙的方程，它是关于 、x 、y 的z二阶偏微分方
程，其解即 、 、x 的y函数z ，称之为波函数。式中 表示
电子m的质量， 是总能量，E 是势能， 是V 普朗克常数h。式
中 、 、 体现m着电E子的V微粒性，而 则体现着电子的波动
f A.(65) 0.9
这表明，采用这一隶属函数，55岁的人属于“老年人”范畴的可能性 大小(或程度)为0.5，60岁则为0.8，65岁则近0.9，70岁则达0．97 以上了。
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模糊数学研究的目标是尽可能使模糊的对象变得比较明 确起来，或者说使模糊向精确转化。一个常用的方法是运 用“截割思想”，即给定了一个模糊集合A，按隶属度的 大小(即隶属函数值的大小)，选定一个确定的数作为阈值
数学知识是永恒的，关于宇宙的数学知识永远有效， 受这种思想支配，希腊艺术努力反映、描绘的不是个 别人，而是整个人类广泛的、基本的特征。
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希腊哲学家就提出过以下著名的“连锁推理”悖论：“一粒麦子肯定 不能成为一堆。对于任何一个正整数来n 说，如果n 粒麦子不成堆的话，
即使再加一粒麦子n，1 粒麦子也不构成一堆。因此，根据数学归纳原理，
任意多的麦粒也不构成堆。” 扎德引进了隶属变的概念。首先建立集合 A的特X 征函数概念： 1 当x A, f A (x ) 0, 当x A,
笛卡儿作为卓越的哲学家、数学家，他竟有一部著作名为《音乐概 论》。开普勒从音乐与行星运动之间寻找对应关系。莱布尼茨首先从心 理学分析音乐，却与数学有联系，他认为音乐是一种无意识的数学运算， 这是更直接地把音乐与数学联系起来，这是后来出现的用数学结构分析 音乐的思想先驱。
1732年，丹尼尔·伯努利在对弦乐器的研究中得到一个二阶常微分方 程：
进行截割，例如，确定阈值为，当 f A (x 时) ， 就认为 ；
当 x A 时，就f A认(x为) 。这样，就通x 过A阈值使元素是否属 于集合变得明确起来，使模糊集合不太模糊了。
还是以“老年人”集合及上述描述这一集合的隶属函数 为例，若取阈值 ，那么，55岁、60岁的人肯定不属 “老年人”集合，而 07.805岁的人则肯定算老年人了。
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希腊数学表现出一种静态特征，这与常量数学相应。希腊 庙宇给人的印象即是宁静——思想和精神似处在安宁状态；雕 刻中的图像也是静态的，也给人以宁静之感；希腊戏剧的静态 特征也很明显，很少有剧烈的动作而更关注心灵上的起伏，正 如精练的数学形式下蕴涵着丰富的思想。
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人的头发不超过20万根(或2×105根)。一个可行的简单方 法是，定义“白发”的隶属函数为
0
,当n 2 10 4 ,
f
A
(n
)
2
n 105
1
,当2 10 4 n 10 5 , ,当n 10 5 ,
其中表示一个人白发的根数。给规定一个阈值，例如，规定，
即当时，就认为这个人是“白发”翁；当时，就不叫“白发”
翁。这样，就的确有可能出现那么一天，由于那天的某一根头
发变白而使得，从而他就成了“白发”翁。“发从今日白”这
个诗句有了更确切的含义。
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中国学者还研究过数文化(例如，吴慧颖先生著有《中 国数文化》一书)，其中包括诗歌中的数现象。
f A (是x )定义在 上X的函数，当 x时取A值1，当 时x ，X取 A值0。对于普通集
合来说，这种函数刻画了集合A本身，所以它叫做集A的特征函数。
扎德推广了以上的特征函数概念，使函数可取从0到1的一切实数值，
推广的函数叫隶属函数。在普通集合论中，当x 时A fA，(x)而 1
f A (x ) 时 1也表示 。x 那A么，在隶属函数意义下，可以有
性，可见，此式是把电子的波粒完美地统一起来了。
这个方程有着巨大的威力，它完满地解释了微观粒子的运
动，就像牛顿方程完满地解释宏观运动那样。
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在数学与艺术的联系中，不只是数学注意艺术，艺 术也注意数学，它们是相互关联的。几何上的对线段 所作的0．618分割，被天文学家开普勒称之为“神 圣分割”，被艺术家达·芬奇称之为“黄金分割”。
希腊数学中出现的点、线、面、数，都已表现出相当程度 的抽象，是对现实的理想化。这种对抽象和理想化的偏爱，在 其文化中也留下了深深的烙印。他们的雕塑并不注重个别的男 人或女人，而是注重理想模式的人。这种对理想化和抽象的追 求，导致了对雕塑各部位(包括人体各部位)比例的标准化追求。 希腊人不仅给出了标准的黄金分割0．618，而且对脚趾、手 指的比例也没有忽视。
两根绷得一样紧的弦，若一根长是另一根长的两倍，就产 生谐音，而且两个音正好相差八度。若两弦长之比为3：2， 则产生另一种谐音，此时短弦发出的音比长弦发出的音高五 度。事实上，产生每一种谐音的各种弦的长度都成正整数比。 这被认为是美丽旋律中的数学。然而，古希腊的哲学家们是 倒过来看的，他们认为这种美丽旋律不过是数学美的一种体 现。
一般来说，人的年龄不超过150岁，因此定义域Ⅹ可取为 {0，1，2，
…，150}。有人作了如下描述：
1
f
A
(
x)
1
(
x
50 5
)
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
,当x ,当x
50时, 50时,
其中A代表“老年人”集合。现在把55岁、60岁、65岁分别代入上述
公式，即得
f
A
(55)
1
；55
5
50
2 1
0.5
f A；(60) 0.8