电磁感应中的力学问题

图4-3-2
【解析】(1)以导体棒为研究对象，棒在磁场Ⅰ中 切割磁感线，棒中产生感应电动势，导体棒ab从A 下落r/2时，导体棒在重力与安培力作用下做加速 运动，由牛顿第二定律，得
mg BIl ma，式中l 3r
I Blv1 R总
式中R总

8R 8R
（4R （4R

44RR））
E=Blv
⑧
由闭合电路欧姆定律知
I E
⑨
2R
由运动学公式知在时间t内，棒ab沿导轨的位移
x vt
⑩
力F 做的功
W Fx ⑪
综合上述各式，代入数据解得
W 0.4J ⑫
【变式题】如图4-3-2所示，竖直平面内有一半径为r、 内阻为R1、粗细均匀的光滑半圆形金属环，在M、N 处与相距为2r、电阻不计的平行光滑金属轨道ME、 NF相接，EF之间接有电阻R2，已知R1=12R，R2=4R. 在MN上方及CD下方有水平方向的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ， 磁感应强度大小均为B.现有质量为m、电阻不计的导 体棒ab，从半圆环的最高点A处由静止下落，在下落 过程中导体棒始终保持水平，与半圆形金属环及轨道
图4-3-1
(1)通过棒cd的电流I是多少，方向如何？ (2)棒ab受到的力F多大？ (3)棒cd每产生Q=0.1J的热量，力F做的功W是多少？
【命题立意】本题考查电磁感应、平衡及能量守 恒问题．
【解析】(1)棒cd受到的安培力
Fcd=IlB
①
棒cd在共点力作用下平衡，则
Fcd=mgsin30° ② 由①②式，代入数据得
I=1A
③
根据楞次定律可知，棒cd中的电流方向由d至c ④
(2)棒ab与棒cd受到的安培力大小相等
Fab=Fcd 对棒ab，由共点力平衡知
F=mgsin30°+IlB ⑤ 代入数据解得
F=0.2N
⑥
(3)设在时间t内棒cd产生Q=0.1J热量，由焦耳定律知
Q=I2Rt
⑦
设棒ab匀速运动的速度大小为v，其产生的感应电动势

mgR并 4B2r2

3mgR 4B2r2
导体棒从MN到CD做加速度为g的匀加速直线运动，有
vt2 v22 2gh
得h

9m2 gR2 32B4r 4
Baidu Nhomakorabea

v22 2g
此时导体棒重力的功率为
PG

mgvt

3m2 g 2R 4B2r2
根据能量守恒定律，此时导体棒重力的功率全部
转化为电路中的电功率，即
P

P1

P2

PG

3m2 g 2R 4B2r2
所以，P2

3 4
PG

9m2 g 2 R 16 B 2 r 2
3 设导体棒ab进入磁场Ⅱ后经过时间t的速度大小
为vt ，此时安培力大小为F

4B2r 2vt 3R
由于导体棒ab做匀加速直线运动，有vt v3 at
根据牛顿第二定律，有F mg F ma
培力的大小为F BLI.在时间t内安培力的冲量
Ft BLIt BLq BL ，式中q是通过导体 R
截面的电荷量．利用该公式解答问题十分简便．
类型一：电磁感应中的动态分析 【例1】(2011·天津)如图4-3-1所示，两根足够长 的光滑平行金属导轨MN、PQ间距为l=0.5m，其电 阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成 30°角．完全相同的两金属棒ab、cd分别垂直导轨 放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知 两棒质量均为m=0.02kg，电阻均为R=0.1Ω，整个 装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁 感应强度B=0.2T，棒ab在平行于导轨向上的力F作 用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd恰好能够保持 静止．取g=10m/s2，问：
2．电磁感应中的能量、动量问题 无论是使闭合回路的磁通量发生变化，还是 使闭合回路的部分导体切割磁感线，都要消耗其 他形式的能量，转化为回路中的电能．这个过程 不仅体现了能量的转化，而且体现了能的守恒， 使我们进一步认识包含电和磁在内的能量的转化 和守恒定律的普遍性．
分析问题时，应当牢牢抓住能量守恒这一基 本规律，分析清楚有哪些力做功，就可知道有哪 些形式的能量参与了相互转化，如有摩擦力做功， 必然有内能出现；重力做功，就可能有机械能参 与转化；安培力做负功就将其他形式能转化为电 能，做正功将电能转化为其他形式的能；然后利 用能量守恒列出方程求解．
3．“双杆”类问题 当“双杆”向相反方向做匀速运动时，相当 于两个电池正向串联；当两杆分别沿相同方向运 动时，相当于两个电池反向串联；“双杆”在不 等宽导轨上同向运动时，两杆所受的安培力不等 大反向，所以不能利用动量守恒定律解题．
4．电磁感应中的一个重要推论——安培力 的冲量公式
感应电流通过直导线时，直导线在磁场中要 受到的安培力的作用，当导线与磁场垂直时，安
1．电磁感应中的动力学问题
解决这类问题的关键在于通过运动状态的分
析来寻找过程中的临界状态，如速度、加速度取
最大值或最小值的条件等，基本思路是：
确定电源(E，r
)
I E
Rr
感应电流
FBIL
运动
导体所受的安培力 合外力 Fma a变化情况
v与a方向关系 运动状态的分析 临界状态
4R
由以上各式可得到a g 3B2r2v1 4mR
2 当导体棒ab通过磁场Ⅱ时，若安培力恰好等于重
力，棒中电流大小始终不变，即
mg BI 2r B B 2r vt 2r 4B2r 2vt
R并
R并
式中R并

12R 4R 12R 4R

3R
解得vt
接触良好，平行轨道够长．已知导体棒ab下落r/2时的 速度大小为v1，下落到MN处的速度大小为v2.
(1)求导体棒ab从A下落r/2时的加 速度大小．
(2)若导体棒ab进入磁场Ⅱ后棒中 电流大小始终不变，求磁场Ⅰ和
Ⅱ之间的距离h和R2上的电功率P2. (3)若将磁场Ⅱ的CD边界略微下移， 导体棒ab刚进入磁场Ⅱ时速度大 小为v3，要使其在外力F作用下做 匀加速直线运动，加速度大小为a， 求所加外力F随时间变化的关系 式．
即F mg 4B2r2 (v3 at) ma 3R
由以上各式解得
F

4B2r2 3R
(at

v3 )

mg

a