第五章二次函数课件
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y
x
O
第五章 二次函数
一、要点透析
1. 二次函数2
()y a x h k =-+的图像和性质
a >0
a <0
图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标
最 值 当x = 时,y 有最 值 当x = 时,y 有最 值 增减性
在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧
y 随x 的增大而
y 随x 的增大而
2. 二次函数c bx ax y ++=2
用配方法可化成()k h x a y +-=2
的形式,其中 h = , k = .
3. 二次函数2
()y a x h k =-+的图像和2
ax y =图像的关系.
4. 二次函数c bx ax y ++=2
中c b a ,,的符号的确定.
5. 二次函数的解析式:(1)一般式: ;(2)顶点式: ; (3)交点式: . 6. 顶点式的几种特殊形式.
(1) ; (2) ;(3) ;(4)
7.二次函数c bx ax y ++=2
通过配方可得2
24()24b ac b y a x a a
-=++,其抛物线关于直线x = 对称,顶点坐标为( , ).
(1) 当0a >时,抛物线开口向 ,有最 (填“高”或“低”)点, 当
x = 时,y 有最 (“大”或“小”)值是 ;
(2)当0a <时,抛物线开口向 ,有最 (填“高”或“低”)点, 当
x = 时,y 有最 (“大”或“小”)值是 .
二、题型分类
(一)二次函数
二次函数的定义(考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式) 1.下列函数中,是二次函数的是 . ①142
+-=x x y ;
②2
2x y =;
③x x y 422
+=;
④
x y 3-=;
⑤12--=x y ;
⑥p nx mx y ++=2
;
⑦x
y 4
=
; ⑧x y 5-=。
2.在一定条件下,若物体运动的路程s (米)与时间t (秒)的关系式为t t s 252+=,则t =4秒时,该物体所经过的路程为 。
3.若函数54)82(2
2++-+=x x m m y 是关于x 的二次函数,则m 的取值范围
为 。 4.若函数15)2(2
2++-=-x x
m y m 是关于x 的二次函数,
则m 的值为 。 列二次函数的解析式(一定要写出自变量的取值范围)
1.某广告公司设计一幅周长为20米的矩形广告牌,设矩形的一边长为x 米,广告牌的面积为S 平方米。广告牌的面积S 与x 的函数关系式为 。
2.如图(1),正方形ABCD 的边长为16㎝,P 是AB 上任意一点(不与A 、B 重合),QP ⊥DP ,,设AP =x ㎝,BQ =y ㎝,y 与x 的函数关系式为 。
3.如图(2),正方形ABCD 的边长为4,P 是BC 上的一动点,若QP ⊥AP ,交DC 于Q ,设PB =x ,
△ADQ 的面积为y , y 与x 的函数关系式为 .
4.如图(3),△ABC 是等腰三角形铁板余料,其中AB =AC =20㎝,BC =24㎝,若△ABC 上截出一矩形零件DEFG ,使EF 在边BC 上,点D 、G 分别在AB 、AC 上,(1)设EF =x ㎝,S 矩
形DEFG =y ㎝2
,试写出y 与x 的函数关系式;(2)问截得的矩形DEFG 的长、宽为何值时,该矩形的面积等于三角形铁板余料面积的一半?
图1 图2
图3
(二)二次函数)0(2
≠=a ax y 的图象与性质
1.二次函数2
21x y =
的顶点坐标是 ,对称轴是直线 。 2.二次函数24
1
x y =的图象开口 ,当x > 0时,y 随x 的增大而 ;当x
< 0时,y 随x 的增大而 ;当x = 0时,函数y 有最 值是 。
3.二次函数2
3x y -=的图象开口 ,当x > 0时,y 随x 的增大而 ;当
x < 0时,y 随x 的增大而 ;当x = 0时,函数y 有最 值是 。
4.已知点A (2,1y ),B (4,2y )在二次函数2
3x y -=的图象上,则1y 2y . 5.已知点A (-2,1y ),B (4,2y )在二次函数)0(2
>=a ax y 的图象上,则1y 2y . 6.在函数222)1(,32
1
,,4,-=+=-===x y x y x y x y x y 中,其图象的对称轴是y 轴的有( )
A . 1个
B .2个
C .3个
D .4个
7.抛物线2
2
1x y -=不具有的性质是( ) A .开口向下; B .对称轴是y 轴;
C .当x > 0时,y 随x 的增大而减小;
D .函数有最小值
8.抛物线222
8,5,4
1x y x y x y =-==共有的性质是( )
A .开口方向相同
B .开口大小相同
C .当x > 0时,y 随x 的增大而增大
D .对称轴相同
9.已知抛物线2
ax y =经过点A (1,-4),求(1)x =4时的函数值;(2)y =-8时的x 的值。
(三)函数c ax y +=2
的图象与性质
1.抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小. 2.将抛物线2
3
1x y =
向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 。
3.二次函数c ax y +=2
()0≠a 中,若当x 取x 1、x 2(x 1≠x 2)时,函数值相等,则当x 取
x 1+x 2时,函数值等于 。