第五章二次函数课件

y

x

O

第五章 二次函数

一、要点透析

1． 二次函数2

()y a x h k =-+的图像和性质

a ＞0

a ＜0

图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标

最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 增减性

在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧

y 随x 的增大而

y 随x 的增大而

2． 二次函数c bx ax y ++=2

用配方法可化成()k h x a y +-=2

的形式，其中 h ＝ ， k ＝ ．

3． 二次函数2

()y a x h k =-+的图像和2

ax y =图像的关系．

4． 二次函数c bx ax y ++=2

中c b a ,,的符号的确定．

5． 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式： ； （3）交点式： ． 6． 顶点式的几种特殊形式．

（1） ； （2） ；（3） ；（4）

7．二次函数c bx ax y ++=2

通过配方可得2

24()24b ac b y a x a a

-=++，其抛物线关于直线x = 对称，顶点坐标为（ ， ）．

（1） 当0a >时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当

x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ；

（2）当0a <时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当

x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ．

二、题型分类

（一）二次函数

二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1．下列函数中，是二次函数的是 ． ①142

+-=x x y ；

②2

2x y =；

③x x y 422

+=；

④

x y 3-=；

⑤12--=x y ；

⑥p nx mx y ++=2

；

⑦x

y 4

=

； ⑧x y 5-=。

2．在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为t t s 252+=，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。

3．若函数54)82(2

2++-+=x x m m y 是关于x 的二次函数，则m 的取值范围

为 。 4．若函数15)2(2

2++-=-x x

m y m 是关于x 的二次函数，

则m 的值为 。 列二次函数的解析式（一定要写出自变量的取值范围）

1．某广告公司设计一幅周长为20米的矩形广告牌，设矩形的一边长为x 米，广告牌的面积为S 平方米。广告牌的面积S 与x 的函数关系式为 。

2．如图（1），正方形ABCD 的边长为16㎝，P 是AB 上任意一点（不与A 、B 重合），QP ⊥DP ，，设AP ＝x ㎝，BQ ＝y ㎝，y 与x 的函数关系式为 。

3．如图（2），正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 上的一动点，若QP ⊥AP ，交DC 于Q ，设PB ＝x ，

△ADQ 的面积为y ， y 与x 的函数关系式为 ．

4．如图（3），△ABC 是等腰三角形铁板余料，其中AB ＝AC ＝20㎝，BC ＝24㎝，若△ABC 上截出一矩形零件DEFG ，使EF 在边BC 上，点D 、G 分别在AB 、AC 上，（1）设EF ＝x ㎝，S 矩

形DEFG ＝y ㎝2

，试写出y 与x 的函数关系式；（2）问截得的矩形DEFG 的长、宽为何值时，该矩形的面积等于三角形铁板余料面积的一半？

图1 图2

图3

（二）二次函数)0(2

≠=a ax y 的图象与性质

1．二次函数2

21x y =

的顶点坐标是 ，对称轴是直线 。 2．二次函数24

1

x y =的图象开口 ，当x ＞ 0时，y 随x 的增大而 ；当x

＜ 0时，y 随x 的增大而 ；当x ＝ 0时，函数y 有最 值是 。

3．二次函数2

3x y -=的图象开口 ，当x ＞ 0时，y 随x 的增大而 ；当

x ＜ 0时，y 随x 的增大而 ；当x ＝ 0时，函数y 有最 值是 。

4．已知点A （2，1y ），B （4，2y ）在二次函数2

3x y -=的图象上，则1y 2y ． 5．已知点A （－2，1y ），B （4，2y ）在二次函数)0(2

>=a ax y 的图象上，则1y 2y ． 6．在函数222)1(,32

1

,,4,-=+=-===x y x y x y x y x y 中，其图象的对称轴是y 轴的有（ ）

A ． 1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

7．抛物线2

2

1x y -=不具有的性质是（ ） A ．开口向下； B ．对称轴是y 轴；

C ．当x ＞ 0时，y 随x 的增大而减小；

D ．函数有最小值

8．抛物线222

8,5,4

1x y x y x y =-==共有的性质是（ ）

A ．开口方向相同

B ．开口大小相同

C ．当x ＞ 0时，y 随x 的增大而增大

D ．对称轴相同

9．已知抛物线2

ax y =经过点A （1，－4），求（1）x ＝4时的函数值；（2）y ＝－8时的x 的值。

（三）函数c ax y +=2

的图象与性质

1．抛物线322--=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时， y 随x 的增大而增大， 当x 时， y 随x 的增大而减小． 2．将抛物线2

3

1x y =

向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ，并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 。

3．二次函数c ax y +=2

()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取

x 1＋x 2时，函数值等于 。