2012年陕西专升本高数真题+解答

2012年陕西省普通高等教育专升本招生考试（样题）

高等数学

注意事项：

全卷共10页，满分150分。考试时间150分钟。其中试题3页，用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上，答在试卷上的答案无效。

一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选好的答案填在答题纸上题号所在的位置上。

1. 0x =是函数11()12

x

f x =

+的 【 B 】

A. 可去间断点

B. 跳跃间断点

C. 振荡间断点

D. 连续点 2．设函数0()(1)x

f x t dt =-⎰, 则()f x 有 【 D 】

A. 极大值

12 B. 极大值12- C. 极小值12 D. 极小值12

- 3. 设函数)(x f 的导函数为sin x , 则)(x f 有一个原函数为 【 A 】 A. 1sin x - B. 1sin x + C. 1cos x - D. 1cos x +

4. 不定积分2(1)x

xe dx x =+⎰

【 A 】 A. 1x e C x ++ B. 1x

e C x -++ C. 2(1)x e C x ++ D. 2

(1)x e C x -++ 5. 无穷级数1

51

(1)n p n n +∞

=-∑ 【 B 】

A. 当15p >时, 为条件收敛

B. 当1

5p >时, 为绝对收敛 C. 当105p <≤时, 为绝对收敛 D. 当1

05p <≤时, 为发散的

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。将答案填在答题 纸上题号所在的位置。

6. 设函数22,3

()1,

3x x x f x x x ⎧++<=⎨-≥⎩, 则((1))f f =

3-.

7. 极限520

1

sin

lim

sin x x x x

→=0.

8. 已知0a >，当0x →时, 1ax e ax --与1cos x -是等价无穷小, 则常数

a =

1.

9. 321()x d f t dt dx

-=⎰233(2)x f x -.

10. 微分方程0y y ''+=的通解为y =12cos sin y C x C x

=+.

三、计算题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分. 计算题要有计算 过程.

11．求极限2

20

ln(1sin )lim

1

x x x e →+-.

解：2

2220

0ln(1sin )sin lim

lim 11

x x x x x

x

e →→+==- 12．设参数方程(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩

确定了函数()y y x =，求22d y

dx .

解：因为sin sin (1cos )1cos dy

dy a t t

dt dx dx a t t dt

===

-- (4分) 所以 22222

1cos (1cos )sin 11

()(1cos )(1cos )(1cos )d y d dy t t t dx dx dt dx t a t a t dt

---=⋅=⋅=--- (8分) 13.

求函数()(f x x =+.

解：132()(10)(5)3f x x x -'=+⋅-= (3分)

当1x <-时，()0f x '>; 当15x -<<时，()0f x '<;当5x >时, ()0f x '>. 所以

()f x 的单调增区间为(,1],[5,)-∞-+∞;单调减区间为[1,5]-; (6分)

()f x 在1x =-处取得极大值23

(1)96f -=⨯, 在5x =处取得极小值(5)0f = (8分)

14. 求不定积分2

3

2

(ln )1x x x dx x +

+⎰. 解：2

3

2

(ln )1x x x dx x

++⎰ 4

211ln (1)41xdx dx x =

+-+⎰⎰ (2分) 4311

ln arctan 44x x x dx x x =-+-⎰ (6分)

4411

ln arctan 416x x x x x C =-+-+ (8分)

15. 设函数((),)z f xy xy ϕ=, 其中f 具有二阶连续偏导数, ϕ二阶可导, 求

z

x

∂∂和2z x y ∂∂∂. 解：

12()z

f xy y f y x

ϕ∂'=⋅⋅+⋅∂ (4分) 211121(())()(()()z

f xy x f x xy y f xy xy xy x y

ϕϕϕϕ∂'''''=⋅+⋅+⋅+∂∂

21222(())f xy x f x y f ϕ'+⋅+⋅+ (8分)

16. 求空间曲线2

1z x xyz ⎧=⎨=⎩

在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程.

解：曲线方程x t =，3

1y t

=

，2

z t =，1t =对应点为(1,1,1) (2分) 因为 1dx dt =；43dy dt t -=；2dz

t dt

=

所以 1|1t dx dt ==；1|3t dy dt ==-；1|2

t dz

dt == (4分)

所求切线方程为

111

132

x y z ---==- (6分) 法平面方程为 (1)3(1)2(1)0x y z ---+-=

即 320x y z -+= (8分)

17. 计算二重积分D

I =, 其中积分区域22:9D x y +≤.