线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质
空间中的垂直关系
1．线面垂直
直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式：
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。
2．面面垂直
两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。
−→−
判定
性质线面垂直（2
2、如图，棱柱
111
ABC A B C -的侧面
11
BCC B 是菱形，11B C A B ⊥
证明：平面1AB C ⊥平面11A BC
4是PB
5、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论
7
8、如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位
置，使平面EDB ⊥平面ABD .
求证：AB DE ⊥
B
9、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、
AD 的中点
求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD
10SB ⊥，垂足为求证：（（2）
11、如图，在三棱锥ABC P -中，F E D ,,分别是棱AB AC PC ,,的中点，已知
5,8,6,===⊥DF BC PA AC PA .
求证：（1）直线//PA 平面DEF ; （2）平面⊥BDE 平面ABC
12AE 将
ADE ∆（1（2
13、如图，在四棱锥ABCD P -中，CD AB PA AB AC AB //,,⊥⊥,CD AB 2=,
N M G F E ,,,,分别是PC PD BC AB PB ,,,,的中点。
（1）求证：//CE 平面PAD ； （2）求证：平面EFG ⊥平面EMN
（1
（2
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系 1.线面垂直 直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。 推理模式: 直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。 2.面面垂直 两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理:(线面垂直?面面垂直) 如果 ,那么这两个平面互相垂直。 推理模式: 两平面垂直的性质定理:(面面垂直?线面垂直) 若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。 一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系 为:线线垂直???→←???判定性质线面垂直???→←???判定性质 面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明. 例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC. (1)求证:平面PAC ⊥平面PBC; (2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.
2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥ 证明:平面1AB C ⊥平面11A BC 3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 4、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .
高中数学线面、面面垂直的判定与性质
线面、面面垂直的判定与性质 知识回顾 1．直线与平面垂直的判定 （1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α垂直，记作l ⊥α． （2）判定定理 文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 符号表述： ⎭ ⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b ⇒l ⊥α． 2．直线与平面垂直的性质 文字表述：垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号表述： ⎭⎪⎬⎪ ⎫a ⊥αb ⊥α⇒ a ∥b 3. 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 4．平面与平面的垂直的判定 （1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直． （2）面面垂直的判定定理 文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 符号表示： ⎭ ⎪⎬⎪ ⎫a ⊥β ⇒α⊥β． 5．平面与平面垂直的性质 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β． 6．二面角
二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． 二面角的平面角： 如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角． 题型讲解 题型一 例1、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交 答案：C 例2、如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为() A．4 B．3 C．2 D．1 答案：A 例3、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB． 证明在平面B1BCC1中， ∵E、F分别是B1C1、B1B的中点， ∴△BB1E≌△CBF， ∴∠B1BE＝∠BCF， ∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE， 又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1， ∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．
线线平行垂直,线面平行垂直,面面平行垂直判定与性质
1.线线平行 判定：a用向量，方向向量平行b一条直线平行于另一个平面，则它平行于它所在平面与那个平面的交线。C若一平面与两平行平面相交，则两交线平行。D同时与一平面垂直的两直线平行。E同时平行于一条直线的两直线平行。 性质：貌似没啥性质，一般是证明线面关系的时候先证明线线关系。 2.线线垂直 判定：a向量，方向向量垂直b直线垂直于平面，则直线与平面中的任意直线都垂直c第一条直线与第二条直线平行，第一条垂直于第三条，则第二条也垂直于第三条d把两直线放在一个平面中，利用平面几何各种判定方法，如等腰三角形的底和高等。E（重点）三垂线定理：平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线垂直，那么它也垂直于斜线在平面内的射影。（这个比较重要，记不住的话找一下例题，多看看图就好了） 性质：貌似也没什么性质，一般也是要证明线面关系的时候用到它。注意：第一条直线垂直于第二条直线，第一条直线垂直于第三条直线，则第二条直线与第三条直线可垂直可平行也可普通相交。 3,线面平行 判定：a面外一条线与面内一条线平行。（常用）b空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0）（常用）c面外一直线上不同两点到面的距离相等d证明线面无交点（定义）e反证法（线与面相交，再推翻） 性质：平面外一条直线与此平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。 4.线面垂直 判定:a一条线和平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直b两个平面垂直,其中一个平面内的直线垂直两平面的交线，那么这条直线和这个平面垂直c直线的方向向量与平面的法向量平行 性质：如果两条直线同时垂直一个平面，那么这两条直线平行。 5.面面平行 判定a一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行。（常用）b如果两平面同时垂直于一条直线，则两平面平行（大题一般不用） 性质：a两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面b两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面c两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行d平行平面所截的线段对应成比例（这个是推论，不好描述，书上或练习册上应该有类似的题） 6.面面垂直 判定：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直 性质：a如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。b如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。C如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。D三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系 1．线面垂直 直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。 推理模式： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。 2．面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理：（线面垂直?面面垂直） 如果 ，那么这两个平面互相垂直。 推理模式： 两平面垂直的性质定理：（面面垂直?线面垂直） 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系 为：线线垂直???→←???判定性质线面垂直???→←???判定性质 面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．
例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ． （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面． 2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ 证明：平面1AB C ⊥平面11A BC 3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1
面面垂直的判定及性质
E D C B A P A B C D A B C D E F 线面垂直、线面夹角 垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直 例1. 如图：已知四棱锥P ABCD -中，,PD ABCD ABCD ⊥平面是正方形，E 是PA 的中点. 求证：(1)//PC 平面EBD (2)平面PBC ⊥平面PCD 例2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．求证：（1）EF ∥平面CB 1D 1；（2）平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1． 例3. 如图，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA AD =，,M N 分别是PC AB , 的中点. 求证：（1）//MN 平面PAD .（2）求证：平面⊥MND 平面PCD . 二面角 例4. 在正方体1111ABCD A B C D -中，找出下列二面角的平面角并计算大小： （1）二面角1D AB D --和1A AB D --；（2）二面角1C BD C --和1C BD A --. 例5. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点， （1）证明CD ⊥AE ；（2）证明AE ⊥平面PDC ；（3）求二面角A-PD-C 的正弦值 D N C B M A P
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质
空间中的垂直关系之袁州冬雪创作 1．线面垂直 直线与平面垂直的断定定理：如果，那末这条直线垂直 于这个平面. 推理形式： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一 个平面,那末这两条直线. 2．面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面. 如果，那末这两个平面互相垂直. 推理形式： 若两个平面互相垂直，那末在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另外一个平面. 一般来讲，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析 面垂 直．这三者之间的关系非常紧密亲密，可以互相转化，从前 面推出后面是断定定理，而从后面推出前面是性质定理．同 学们应当学会矫捷应用这些定理证明问题．在空间图形中， 高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说 明． 例题：1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．
（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面． 2 3AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 4 Ｏ的直径，ＣABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证： 平面AEF ⊥平面PBC ． 5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面 A 1 B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1⊥平面 C 1DF ？并证明你的结论 6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC. 7、在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，正面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD S A B
线面、面面关系的判定与性质
线面、面面关系的判定与性质 一、线面关系的转换网络图 （6） 公理 4 （ 1）（ 2）（ 3） 线线平行线面平行面面平行 （ 4）（ 5） （11）（ 13） （ 12）（ 14） （ 7）（ 8） 线线垂直线面垂直面面垂直 （ 9）（ 10） 1﹒线线平行： （1）平行公理 : 平行于同一直线的两直线平行（线线平行的传递性）﹒ （4）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 这条直线和交线平行（线面平行→线线平行）﹒ （ 6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行 →线线平行）﹒ （ 12）线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行﹒ 2﹒线线垂直： （ 9）线面垂直的性质：一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线（线面垂直→线线垂直）其它判定方法：利用平面几何中证明线线垂直的方法（如勾股定理，等腰直角三角形底边上的高，正方 形（菱形）的对角线等）﹒ 3﹒线面平行： （2）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面 平行（线线平行→线面平行）﹒ （5）面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平行→线
面平行）﹒ 4﹒线面垂直： （ 7）线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面（线线 垂直→线面垂直）﹒ （11）线面垂直的判定定理推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平 面﹒ （14）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面﹒ （10）面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个 平面（面面垂直→则线面垂直）﹒ 5﹒面面平行： （ 4）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行（线面 平行→面面平行）﹒ （ 13）定理：垂直于同一条直线的两个平面平行﹒ 6﹒面面垂直： （ 8）面面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，另一个平面过这条线，则这两个平面垂直 （面面垂直→则线面垂直）﹒ 7. 直线与平面所成的角 （ 1）定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 这个角的范围为 [0 0 ,90 0 ] . P （ 2）斜线与平面成角计算一般步骤： ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； A B ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把这个角放在三角形中计算.
高一数学必修2线、面垂直的判定与性质
α β a A 线、面垂直的判定与性质 一、线、面垂直的判定与性质 1.线面垂直的定义：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面α 互相垂直. 2.线面垂直的判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 直线与平面垂直 3. （1）的射影所成的角（2）（3一条直线与平面所成的角的取值范围是 4.二面角相关概念：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作 垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. ∠AOB 即为二面角α-AB- β的平面角 注意：二面角的平面角必须满足： （1）角的顶点在棱上.（2）角的两边分别在两个面内. （3）角的边都要垂直于二面角的棱. 二面角的取值范围 5.面面垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记为β⊥α 6.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 7.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行 8.面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 面面垂直⇒线面垂直 二、例题解析 α ⊥l 记为⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫ l a l ⊥b l ⊥α⊂a α⊂b A b a = 斜线PA 与平面所成的角为PAB ] 90,0[0[]] 0[180,000π，或a β⊂a α⊥面⇒βα⊥ //a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭a b α a b l a a l αβαββ⊥⎫⎪=⎪⎬⊂⎪⎪⊥⎭a α ⇒⊥
题型一、判断问题 例1、直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是() A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定 变式：如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径； ④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直() A．①③B．①②C．②④D．①④ 例2、已知直线a∥平面α，a⊥平面β，则( ) A．α⊥βB．α∥βC．α与β不垂直D．以上都有可能 变式：下列命题中错误的是( ) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 例3、已知b⊥平面α，a⊂α，则直线a 与直线 b 的位置关系是( ) A．a∥b B．a⊥b C．直线a 与直线b 垂直相交D．直线a 与直线b 垂直且异面 变式1：下面四个命题，其中真命题的个数为( ) ①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ③如果直线l 与平面α不垂直，则直线l 和平面α内的所有直线都不垂直； ④如果直线l 与平面α不垂直，则平面α内也可以有无数条直线与直线l 垂直． A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个 变式2：已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是() ①α内的直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任何一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α. A．4 B．3C．2D．1 题型二：求角问题（线面角、面面角） 例1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值． (2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角． 变式：如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5且它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°， 求MC与平面ABC所成角的正弦值． 例2、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面角是() A．∠ABC B．∠ABB1C．∠ABA1D．∠ABC1
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质
空间中的垂直关系之青柳念文创作 1．线面垂直 直线与平面垂直的断定定理：如果，那末这条直线垂直 于这个平面. 推理形式： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一 个平面,那末这两条直线. 2．面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面. 如果，那末这两个平面互相垂直. 推理形式： 若两个平面互相垂直，那末在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另外一个平面. 一般来讲，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析 面垂 直．这三者之间的关系非常紧密亲密，可以互相转化，从前 面推出后面是断定定理，而从后面推出前面是性质定理．同 学们应当学会矫捷应用这些定理证明问题．在空间图形中， 高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说 明． 例题：1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．
（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面． 2 3AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 4 Ｏ的直径，ＣABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证： 平面AEF ⊥平面PBC ． 5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面 A 1 B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1⊥平面 C 1DF ？并证明你的结论 6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC. 7、在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，正面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD S A B
线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质
空间中的垂直关系 1线面垂直 直线与平面垂直的判定定理：如果________________________________ ,那么这条直 线垂直于这个平面。 推理模式：_________________________ 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直 线 _______ O 2. 面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成_________________ 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理：(线面垂直面面垂直) 如果_______________________________________________ ,那么这两个平面互相垂直。 推理模式：_________________________ 两平面垂直的性质定理：(面面垂直线面垂直) 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 ________________ 的直线垂直于另—个平面。 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线 垂直判定线面垂直判定面面垂直•这三者之间的关系非常密切， 性质性质 可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理•同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明. 例题：1 •如图，AB是圆0的直径，C是圆周上一点，P从平面ABC (1) 求证：平面PACL平面PBC (2) 若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面. 2、如图，棱柱ABC A伯C1的侧面BCCB是菱形,BC AB 证明：平面ABiC平面ABCi 3、如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB=AD=1 AA=2, M是棱CC的中点 (I)求异面直线AM和GD所成的角的正切值； (U)证明：平面ABML平面A1B1M 4、如虱AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA平面ABC若AEL PC, E为垂足，F是PB上任意一点，求证：平面AEFL平面PBC
线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质
1.线面垂直 直线与平面垂直的判定定理：如果__________________________ ,那么这条直 线垂直于这个平面。 推理模式：_______________________ 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线_________ 。 2.面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成______________ 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理：(线面垂直=＞面面垂直) 如果___________________________________________ ,那么这两个平面互相垂直。 推理模式：_______________________ 两平面垂直的性质定理：(面面垂直=＞线面垂直) 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的___________ 的直线垂直于另—个平面。 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系 为：线线垂直十-线面垂直十^面面垂直.这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明. 例题：1.如图，AB是圆0的直径，C是圆周上一点，PA丄平面ABC. (1)求证：平面PAC丄平面PBC; (2)若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面. 2、如图，棱柱ABC-A.BC的侧面BCC百是菱形，QC丄也
证明：平面AB{C丄平面\BC{ 3、如图所示，在长方体ABCD-AB I CQ中，AB=AD=1, AA>=2, M是棱CG的中点 (I)求异面直线A】M和CD所成的角的正切值； (II)证明：平面ABM丄平面AiBiMi 4.如图，43長圆0的直径，C是圆周上一点，阳丄平面若AELPC , E 为垂足，F是刃上任意一点，求证：平面AFF丄平面PBC. 5、如图，直三棱柱ABC—A^C.中，AC =BC =1, AACB=90° , AA.=迈、D
高一数学 直线与平面垂直的判定及性质【经典整理含答案】
直线与平面垂直的判定 直线与平面垂直的判定与证明方法： ①用线面垂直定义：若一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面. ②用线面垂直判定定理：若一直线与平面内两相交直线都垂直，这条直线与平面垂直. ③用线面垂直性质：两平行线之一垂直平面，则另一条也必垂直这个平面. ④用面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面. ⑤用面面平行性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面. ⑥用面面垂直性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面. 线面垂直的判定 1. 如图，直角ABC △所在平面外一点S ，且SA SB SC ==，点D 为斜边AC 的 中点． （１） 求证：SD ⊥平面ABC ； （２） 若AB BC =，求证：BD ⊥面SAC ． 答案：证明：（１） SA SC =∵， D 为AC 的中点，SD AC ⊥∴． 连结BD ． 在ABC Rt △中，则AD DC BD ==． ADS BDS ∴△≌△，SD BD ⊥∴． 又AC BD D = ，SD ⊥∴面ABC ． （２）BA BC =∵，D 为AC 的中点， BD AC ⊥∴． 又由（１）知SD ⊥面ABC ， SD BD ⊥∴． 于是BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线． ∴BD ⊥面SAC ． 2. 如图，已知P 是△ABC 所在平面外一点，PA 、PB 、PC 两两垂直，H 是△ABC 的垂心，求证：PH ⊥平面ABC. 【探究】 根据判定定理，要证线面垂直，需证直线和平面内的两条相交直线垂直， 根据H 是△ABC 的垂心，可知BC ⊥AH ，又PA 、PB 、PC 两两垂直，得PA ⊥面PBC ，于是PA ⊥BC ，由此可知BC 垂直于平面PAH 内的相交直线PA 和AH ，结论得证. 证明：∵H 是△ABC 的垂心，∴AH ⊥BC. ① ∵PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，∴PA ⊥平面PBC. 又∵BC ⊂平面PBC ，PA ⊥BC ， ② 由①②知，BC ⊥PH ， 同理，AB ⊥PH ，∴PH ⊥平面ABC. 二面角的求解 3. 已知四边形PABC 为空间四边形，∠PCA=90°，△ABC 是边长为32的正三角 形，PC=2，D 、E 分别是PA 、AC 的中点，BD=10.试判断直线AC 与平面BDE 的位置关系，并且求出二面角P-AC-B 的大小. 解：∵D 、E 分别是PA 、AC 的中点， ∴DE ∥PC 且DE=2 1PC=1. ∵∠PCA=90°,∴AC ⊥DE. ∵△ABC 是边长为32的正三角形，并且E 是AC 的中点， ∴AC ⊥BE ，并且BE=3. ∵DE∩BE=E ，∴直线AC 与平面DEB 垂直. ∴∠DEB 为二面角P-AC-B 的平面角. 在△BDE 中，由DE=1，BE=3，BD=10得DE 2+BE 2=BD 2，∴∠DEB=90°. 综上所述，直线AC 与平面BDE 垂直，二面角P-AC-B 的大小为90°. 【规律总结】 与二面角的棱垂直的平面和二面角的两个面相交的两条射线构成的角就是这个二面角的平面角.利用作与棱垂直的平面得到二面角的方法称为“垂面法”. 4. 已知△ABC 是正三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA=AB=a ，求二面角A-PC-B 的正 切值. A
线面垂直、面面垂直
线面垂直、面面垂直及其证明 一 线面垂直的判定定理 （1）线面垂直定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直. （2 （3）三垂线定理及其逆定理 ①三垂线定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影. ②三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直. （4）线面垂直的证明 例1 例2 例 3 S D D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C
例4在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证： 1AO ⊥平面MBD . 练习1 在正方体1111ABCD A BC D -中. （1）求证：AC ⊥平面11B D BD . （2）求证：1BD ⊥平面1ACB . 练习2在三棱锥A BCD -中，BC AC =，AD BD =，作BE CD ⊥，E 为垂足，作AH BE ⊥于H .求证：AH ⊥平面BCD . 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，AC CD ⊥，60ABC ︒∠=，PA AB BC ==，E 是PC 的中点. （1）求证：CD AE ⊥. （2）求证：PD ⊥面ABE .
二 面面垂直 （1条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，若棱为l ，两个面分别为，,αβ二面角记作为l αβ--. （2）二面角的平面角定义：在二面角l αβ--棱l 上取一点O ，在半平面α和β内，从点O 分别作垂直于棱l 的射线,OA OB ，射线组成AOB ∠.则AOB ∠叫做二面角的平面角.二面角的取值范围为[0,180]︒ ︒ . （3）面面垂直定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)， 则这两个平面互相垂直. （4）面面判定定理：一个平面过另一个平面，则这两个面相互垂直. （5）面面垂直的正面即：面面垂直→线面垂直→线线垂直. 例1如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//AC 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . . 例2如图，直三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，90ACB ︒ ∠=121 AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，求证：平面1BDC 平面 BDC ． A C B 1 B 1 A D 1 C