第一讲 逐步回归分析讲解
逐步回归分析
逐步回归分析引言逐步回归分析是一种回归分析的方法，它通过逐步加入和删除自变量，来选择最佳的自变量子集，以建立最佳的回归模型。
在统计学和数据分析中广泛应用，尤其在多变量分析中，逐步回归可以帮助我们确定对目标变量有较强预测能力的自变量。
逐步回归的基本原理在逐步回归中，我们首先选择一个自变量作为基础模型，并对其进行回归分析。
然后，我们逐步地加入剩余的自变量，并根据一定的准则来评估加入自变量后模型的性能。
如果加入自变量后模型的性能显著提升，那么就将该自变量加入模型中。
反之，如果加入自变量后模型的性能没有显著提升，那么就将该自变量排除在外。
这样反复进行，直到所有可能的自变量都被考虑过，得到最佳的回归模型。
逐步回归的基本原理可以用以下步骤总结：1.初始化一个基础模型，选定第一个自变量。
2.对基础模型进行回归分析并评估其性能。
3.遍历剩余的自变量，依次加入到基础模型中，并评估加入自变量后模型的性能。
4.根据一定准则（如F统计量、AIC、BIC等）来判断加入自变量后模型的性能是否显著提升。
5.如果加入自变量后模型的性能显著提升，那么将该自变量加入模型中。
6.反之，如果加入自变量后模型的性能没有显著提升，那么将该自变量排除在外。
7.重复步骤3-6，直到所有可能的自变量都被考虑过，得到最佳的回归模型。
逐步回归的优缺点逐步回归作为一种特定的变量选择方法，具有以下优点：•可以帮助我们快速确定对目标变量有较强预测能力的自变量，避免了将所有自变量都加入模型中的复杂性和冗余性。
•可以降低模型的复杂度，减少过拟合的可能性。
•可以提高模型的解释能力，筛选出与目标变量相关性高的自变量。
然而，逐步回归也存在一些缺点：•过于依赖于原始数据的初始情况，可能导致不同初始情况下得到不同的最终模型。
•不能保证得到全局最优解，只能得到局部最优解。
•在特征空间较大的情况下，计算复杂度较高。
逐步回归的应用场景逐步回归适用于以下情况：1.当自变量较多时，希望从中选出对目标变量有较强预测能力的子集。
实用统计学—11.逐步回归分析
从未解释变差 (残差平方和)角度考虑, 图中 ||e||2是中心化 数据 y 对所有自变量 (x2, ·, xk )回归的未解释变差(残差 · · 平方和), ||e*||2是中心化数据 y 对自变量x3, ·, xk (剔除了 · · x2 )回归的未解释变差 (残差平方和).由勾股定理, 得||e*||2 - ||e||2 = ||e(2) ||2. ||e(2) ||2就是未解释变差的增加部分, 也就 是变量 x2 的偏解释变差V2 .
2
( n k )V k / Q
与统计量 Fj = (n-k)Vj / Q 完全相同.
2、逐步回归法
逐步回归法的基本思想： 在考虑 Y 对已知的一群变量( X2, ·,Xk )回归时, 从变量X2, · · ·,Xk中, 逐步选出对已解释变差的贡献 (也就是偏解释变差) · · 最大的变量,进入回归方程. 而对已解释变差的贡献大小的判 别依据, 就是包含了偏解释变差的 F 统计量Fj. 统计量Fj 的 值 fj 最大的 xj , 先进入方程; 最后一个进入方程的自变量 xj , 也应当满足: 统计量的值 fj 的显著性概率 p 小于等于选定的 显著性水平 (即, 要求其系数 j 显著异于 0). 逐步回归法也可以按照反过来的顺序进行. 先把 Y 对所有 的自变量 X2, ·,Xk 回归, 然后逐步把 fj 最小的 xj 剔除出方程. · · 所有剔除出方程的 xj , 在剔除时, 其统计量的值 fj 的显著性概 率 p 大于选定的显著性水平 (即, 要求其系数j 与 0 没有显 著性差异).
从 2 (n-k)分布)相互独立.
ˆ2 若再记: V )Vj / Q 服从F ( 1, n-k) 分布.
把 Fj 的显著性概率 p 与置信度水平 比较, 就可以判断 一个变量 xj 是否应当成为自变量:
逐步回归分析
逐步回归分析的计算举例
序号 1 2 3 4 5 6 X1 40 40 44 42 38 46 X2 89.47 75.07 85.84 68.15 89.02 77.45 X3 11.37 10.07 8.65 8.17 9.22 11.63 X4 62 62 45 40 55 58 X5 178 185 156 166 178 176 X6 182 185 168 172 180 176 Y（ X6） 44.609 45.313 54.297 59.571 49.871 44.811
0.02605
SSR5
(1)
(r5 y (0) )2 r
(0) 55
0.15840
0.05612
SSR
(1) 3
0.73479
SSR6
(1)
( r6 y (0) )2 r66(0)
逐步回归分析的计算举例
仅考虑选入变量 因为： SSR (1) = max [ SSRi (1) ] = = 0.73497，所以：k = 3 k 对X3做偏回归检验，得：
…
30 31 ∑Xi
…
48 52 1478 47.68 5.2114
…
61.24 82.78 2400.78 77.44 8.3286
…
11.50 10.50 327.67 10.57 1.3656
…
52 53 1657 53.45 7.6194
…
170 170 5259 169.65 10.2520
(2)
SSR6
(3)
( r6 y (2) )2 r66(2)
0.0203
因为： SSRk (3) = max [ SSRi (3) ] = 0.0507，所以：k = 5 对X5做偏回归检验，得：
逐步回归分析
逐步回归分析１、逐步回归分析的主要思路在实际问题中, 人们总是希望从对因变量有影响的诸多变量中选择一些变量作为自变量, 应用多元回归分析的方法建立“最优”回归方程以便对因变量进行预报或控制。
所谓“最优”回归方程, 主要是指希望在回归方程中包含所有对因变量影响显著的自变量而不包含对影响不显著的自变量的回归方程。
逐步回归分析正是根据这种原则提出来的一种回归分析方法。
它的主要思路是在考虑的全部自变量中按其对的作用大小, 显著程度大小或者说贡献大小, 由大到小地逐个引入回归方程, 而对那些对作用不显著的变量可能始终不被引人回归方程。
另外, 己被引人回归方程的变量在引入新变量后也可能失去重要性, 而需要从回归方程中剔除出去。
引人一个变量或者从回归方程中剔除一个变量都称为逐步回归的一步, 每一步都要进行检验, 以保证在引人新变量前回归方程中只含有对影响显著的变量, 而不显著的变量已被剔除。
逐步回归分析的实施过程是每一步都要对已引入回归方程的变量计算其偏回归平方和(即贡献), 然后选一个偏回归平方和最小的变量, 在预先给定的水平下进行显著性检验, 如果显著则该变量不必从回归方程中剔除, 这时方程中其它的几个变量也都不需要剔除(因为其它的几个变量的偏回归平方和都大于最小的一个更不需要剔除)。
相反, 如果不显著, 则该变量要剔除, 然后按偏回归平方和由小到大地依次对方程中其它变量进行检验。
将对影响不显著的变量全部剔除, 保留的都是显著的。
接着再对未引人回归方程中的变量分别计算其偏回归平方和, 并选其中偏回归平方和最大的一个变量, 同样在给定水平下作显著性检验, 如果显著则将该变量引入回归方程, 这一过程一直继续下去, 直到在回归方程中的变量都不能剔除而又无新变量可以引入时为止, 这时逐步回归过程结束。
２、逐步回归分析的主要计算步骤(1) 确定检验值在进行逐步回归计算前要确定检验每个变量是否显若的检验水平, 以作为引人或剔除变量的标准。
逐步回归分析
逐步回归分析在自变量很多时，其中有的因素可能对应变量的影响不是很大，而且x之间可能不完全相互独立的，可能有种种互作关系。
在这种情况下可用逐步回归分析，进行x因子的筛选，这样建立的多元回归模型预测效果会更较好。
逐步回归分析，首先要建立因变量y与自变量x之间的总回归方程，再对总的方程及每—个自变量进行假设检验。
当总的方程不显著时，表明该多元回归方程线性关系不成立；而当某—个自变量对y影响不显著时，应该把它剔除，重新建立不包含该因子的多元回归方程。
筛选出有显著影响的因子作为自变量，并建立“最优”回归方程。
回归方程包含的自变量越多，回归平方和越大，剩余的平方和越小，剩余均方也随之较小，预测值的误差也愈小，模拟的效果愈好。
但是方程中的变量过多，预报工作量就会越大，其中有些相关性不显著的预报因子会影响预测的效果。
因此在多元回归模型中，选择适宜的变量数目尤为重要。
逐步回归在病虫预报中的应用实例:以陕西省长武地区1984~1995年的烟蚜传毒病情资料、相关虫情和气象资料为例（数据见DATA6.xls），建立蚜传病毒病情指数的逐步回归模型，说明逐步回归分析的具体步骤。
影响蚜传病毒病情指数的虫情因子和气象因子一共有21个，通过逐步回归，从中选出对病情指数影响显著的因子，从而建立相应的模型。
对1984~1995年的病情指数进行回检，然后对1996~1998年的病情进行预报，再检验预报的效果。
变量说明如下：y：历年病情指数x1：前年冬季油菜越冬时的蚜量(头/株)x11：5月份均温 x12：5月份降水量 x13：6月份均温 x14：6月份降水量x2：前年冬季极端气温 x3：5月份最高气温x4：5月份最低气温x5：3~5月份降水量x6：4~6月份降水量x7：3~5月份均温x8：4~6月份均温x9：4月份降水量x10：4月份均温x15：第一次蚜迁高峰期百株烟草有翅蚜量 x16：5月份油菜百株蚜量x17：7月份降水量x18：8月份降水量x19：7月份均温x20：8月份均温x21：元月均温1）准备分析数据在SPSS数据编辑窗口中，用“File→Open→Data”命令，打开“DATA6.xls”数据文件。
自变量的选择与逐步回归实用回归分析ppt课件
§5.2 所有子集回归
准则2 赤池信息量AIC达到最小
设回归模型的似然函数为L(θ,x), θ的维数为p，x为样本，在 回归分析中样本为y=（y1，y2，…yn）′，则AIC定义为：
AIC=-2lnL(θˆ L ,x)+2p 其中θˆ L 是θ的极大似然估计，p 是未知参数的个数。
§5.2 所有子集回归
βˆ p (Xp X p )-1 Xpy
ˆ
2 p
n
1 p
1 SSEp
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
二、自变量选择对预测的影响
关于自变量选择对预测的影响可以分成两种情况： 第一种情况是全模型正确而误用了选模型； 第二种情况是选模型正确而误用了全模型式。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（一）全模型正确而误用选模型的情况
性质 1. 在 xj与 xp+1, …,xm的相关系数不全为 0 时，选模型回归系数的 最小二乘估计是全模型相应参数的有偏估计,即
E(ˆ jp ) jp j （j=1,2， …,p）。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（一）全模型正确而误用选模型的情况 性质 2. 选模型的的预测是有偏的。 给定新自变量值x0p (x01, x02,, x0m ) ，因变量新值为 y0=β0+β1x01+β2x02+…+βmx0m+ε0 用选模型的预测值为
(ˆ 0p ,ˆ 1p ,,ˆ pp )
全模型的最小二乘参数估计为βˆ m (ˆ 0m ,ˆ 1m ,,ˆ mm )
这条性质说明 D(ˆ jp ) D(ˆ jm ), j 0,1,, p 。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（一）全模型正确而误用选模型的情况
数学建模之逐步回归分析(精品讲义)
第6节逐步回归分析逐步回归分析实质上就是建立最优的多元线性回归方程，显然既实用而应用又最广泛。
6.1逐步回归分析概述1 概念逐步回归模型是以已知地理数据序列为基础，根据多元回归分析法和求解求逆紧凑变换法及双检验法而建立的能够反映地理要素之间变化关系的最优回归模型。
逐步回归分析是指在多元线性回归分析中，利用求解求逆紧奏变换法和双检验法，来研究和建立最优回归方程的并用于地理分析和地理决策的多元线性回归分析。
它实质上就是多元线性回归分析的基础上派生出一种研究和建立最优多元线性回归方程的算法技巧。
主要含义如下：1）逐步回归分析的理论基础是多元线性回归分析法；2）逐步回归分析的算法技巧是求解求逆紧奏变换法；3）逐步回归分析的方法技巧是双检验法，即引进和剔除检验法；4）逐步回归分析的核心任务是建立最优回归方程；5）逐步回归分析的主要作用是降维。
11主要用途：主要用于因果关系分析、聚类分析、区域规划、综合评价等等。
2 最优回归模型1）概念最优回归模型是指仅包含对因变量有显著影响的自变量的回归方程。
逐步回归分析就是解决如何建立最优回归方程的问题。
2）最优回归模型的含义最优回归模型的含义有两点：（1）自变量个数自变量个数要尽可能多，因为通过筛选自变量的办法，选取自变量的个数越多，回归平方和越大，剩余平方和越小，则回归分析效果就越好，这也是提高回归模型分析效果的重要条件。
（2）自变量显著性自变量对因变量y 有显著影响，建立最优回归模型的目的主要是用于预测和分析，自然要求自变量个数尽可能少，且对因变量y 有显著影响。
若自变量个数越多，一方面预测计算量大，另一方面因n 固定，所以Q S k n Q →--1增大，即造成剩余标准差增大，故要求自变量个数要适中。
且引入和剔除自变量时都要进行显著性检验，使之达到最优化状态，所以此回归方程又称为优化模型。
3 最优回归模型的选择方法最优回归模型的选择方法是一种经验性发展方法，主要有以下四种：(1）组合优选法组合优选法是指从变量组合而建立的所有回归方程中选取最优着。
(整理)SAS讲义第三十三课逐步回归分析.
第三十三课 逐步回归分析一、 逐步回归分析在一个多元线性回归模型中，并不是所有的自变量都与因变量有显著关系，有时有些自变量的作用可以忽略。
这就产生了怎样从大量可能有关的自变量中挑选出对因变量有显著影响的部分自变量的问题。
在可能自变量的整个集合有40到60个，甚至更多的自变量的那些情况下，使用“最优”子集算法可能并不行得通。
那么，逐步产生回归模型要含有的X 变量子集的自动搜索方法，可能是有效的。
逐步回归方法可能是应用最广泛的自动搜索方法。
这是在求适度“好”的自变量子集时，同所有可能回归的方法比较，为节省计算工作量而产生的。
本质上说，这种方法在每一步增加或剔除一个X 变量时，产生一系列回归模型。
增加或剔除一个X 变量的准则，可以等价地用误差平方和缩减量、偏相关系数或F 统计量来表示。
无疑选择自变量要靠有关专业知识，但是作为起参谋作用的数学工具，往往是不容轻视的。
通常在多元线性模型中，我们首先从有关专业角度选择有关的为数众多的因子，然后用数学方法从中选择适当的子集。
本节介绍的逐步回归法就是人们在实际问题中常用的，并且行之有效的方法。
逐步回归的基本思想是，将变量一个一个引入，引入变量的条件是偏回归平方和经检验是显著的，同时每引入一个新变量后，对已选入的变量要进行逐个检验，将不显著变量剔除，这样保证最后所得的变量子集中的所有变量都是显著的。
这样经若干步以后便得“最优”变量子集。
逐步回归是这样一种方法，使用它时每一步只有一个单独的回归因子引进或从当前的回归模型中剔除。
Efroymoson (1966)编的程序中，有两个F 水平，记作F in 和F out ，在每一步时，只有一个回归因子，比如说X i ，如果剔除它可能引起RSS 的减少不超过残差均方MSE （即ESS/(N-k-1)）的F out 倍，则将它剔除；这就是在当前的回归模型中，用来检验 βi =0的F 比=MSE x x x RSS x x x x RSS i i i /)),,(),,,((121121---ΛΛ是小于或等于F out 。
SAS系统和数据分析逐步回归分析
（1）"。必（全回归模型）。没有对回归变量进行筛选, 建立y与全部自变量的全回归模型。
（2）forward（向前选择）。向前选择技术以模型中 没有变量开始，对每个自变量，forward计算反 映自变量对模型的贡献的F统计量。这些F统 计量与model语句中给岀的$胁1/口=水平上的 值相比较，如果F统计量的显著水平没有一个 比slentry=水平上（如果缺省slentry=这个参 数，则显著水平假设为0.50）的值大，则"nvaM停止。否则,forward在模型中加入具有最大F统 计量的变量，然后forward再计算这些变量的F统计量直到剩下的变量都在模型的外面，再重复 估计过程。变量就这样一个接一个地进入模型直上海财经大学经济信息管理系IS/SHUFE
的平方和分解公式为:
TSS = RSS(X\
这时，回归平方和从
RSS(X|,X2,…X_,X冲…同时残差也发生相应的变化。 残差平 方和从ESS(X\,X»…,Xi，…X)增 加 到
ESSgX"…,X^Xg…X,对回归平方和的贡献,也等 价于删除/后残差平方和所增加的量，同理可表示
为:
比=/?SS(X「X2,…,X：,…X/)_RSS(X|,X2,…,Xi，X田…XJ
但是，向后剔除法有一个优点，它可以使使用者 明白含有许多变量模型的复杂性。
五、stepwise逐步回归过程
stepwise过程对逐步回归提供了九种方法。当
你有许多自变量且想找出哪些自变量是该选入回 归模型时，stepwise是有用的。
由于stepwise可以使你深入地了解自变量与 因变量或响应变量之间的关系，因此，它对考察 分析是很有帮助的。但是，stepwise并不能保证给 你“最好”的模型，甚至具有最大疋的模型也不 一定是“最好”的，并且靠这些均值演变得来的
逐步回归分析
应的F统计量记为 ：
，取最小值
F1l
1
,
F2l
1
,,
F l1 ml
F l1 kl 1
min{
F1l1 ,
F2l1，,若, Fml1l }
F l1 kl 1
F
1, n m l
1
则停止筛选， y与x1，x2，…，xm-l 之间的回归
方程即为最优的回归方程；若
（3）重复前面的做法，直至回归方程中各变量回归系 数的F值均大于临界值，即方程中没有变量可剔除为止， 此时的回归方程就是最优的回归方程。
后退法的一般步骤：
假设已经进行了l步剔除，模型中的自变量为x1，x2，…， xm-l ，现进行第l+1步剔除：
建立x1，x2，…，xm-l 对y的回归方程，对方程中x1， x2，…，xm-l的回归系数进行F检验，相
ln
S E
A
2l n
或
BIC
(
A)
ln
S
E
A
l
ln n
n
5）修正
R 2 准则
R 2 1 n i (1 R 2 ) 达到最大 nl
达到最小
4.6.2 选择最优回归子集的方法
（1）选择最优子集的简便方法： 逐步筛选法（STEPWISE） 向前引入法或 前进法（FORWARD） 向后剔除法或后退法（BACKWARD）
2
s1ml
s
l
2m
s
l
k2m
s
l
mm
s1ly
回归分析多元逐步回归
多元回归模型首先将实际问题所提取的全部变量引 入方程，然后再根据变量的显著性检验把方程中不重 要的变量逐一剔除，建立新方程。
缺点：（1）首先在实际问题中，要提取合 适的变量来建立回归方程本身不是一件很容易 的事情，变量间可能存在高度的相互依赖性会 给回归系数的估计带来不合理的解释；
有更大的回归平方和。
§2.5.1 逐步回归算法的形成思路
如此继续下去，假设已经进行到 l 1 步，那第 l 步
是在未选的变量中选出这样一个变量，它与已选入回 归方程的变量组成 元回归方程，比其他余下的任何
一个变量组成的l 元回归方程，有更大的回归平方和。
逐步回归不仅考虑到按贡献大小逐一挑选重要变量， 而且还考虑到较早选入回归方程的某些变量，有可能 随着其后一些变量的选入而失去原有的重要性，这样 的变量也应当及时从回归方程中剔除，使回归方程中 始终只保留重要的变量。
计量
F2i
Vi ( x1 , x2 ,, xl ) / 1 Q( x1,, xl ) /(n l 1)
~
F (1, n l 1)
i 1,2,, l
来检验方程中哪个自变量 可被考虑剔除出方程。
F
对于给定的水平 ，查 分布表得临界
值F (1, n l 1) F出 。 如果F2i F出 ，则 xi 应从方程中剔除； 如果 F2i F出 ，则 xi 不应从方程中剔除。 同样需要说明的是，实际问题可能有多个
（2）其次变量的一次性引入方程，易导致计 算量增大，运算效率降低，精度不够等问题。
§ 2.5 多元逐步回归算法原理
为了得到一个稳健的、可靠的回归模 型，这就需要给出一种方法，使得能从 影响 y 的因素中自动根据某种准则将y 对
逐步回归分析
逐步回归分析字体[大][中][小]逐步回归是多元回归中用以选择自变量的一种常用方法。
本条目重点介绍的是一种“向前法”。
此法的基本思想是：将自变量逐个地引入方程，引入的条件是该自变量的偏回归平方和在未选入的自变量(未选量)中是最大的，并经F检验是有显著性的。
另一方面，每引入一个新变量，要对先前已选入方程的变量(已选量)逐个进行F检验，将偏回归平方和最小且无显著性的变量剔除出方程，直至方程外的自变量不能再引入，方程中的自变量不能再剔除为止。
另一种是“向后法”，它的基本思想是：首先建立包括全部自变量的回归方程，然后逐步地剔除变量，先对每一自变量作F(或t)检验，剔除无显著性的变量中偏回归平方和最小的自变量，重新建立方程。
接着对方程外的自变量逐个进行F检验，将偏回归平方和最大且有显著性的变量引入方程。
重复上述过程，直至方程中的所有自变量都有显著性而方程外的自变量都没有显著性为止(例见条目“多元线性回归”例1、2)。
此法在自变量不多，特别是无显著性的自变量不多时可以使用。
与一般多元回归相比，用逐步回归法求得的回归方程有如下优点：它所含的自变量个数较少，便于应用;它的剩余标准差也较小，方程的稳定性较好; 由于每步都作检验，因而保证了方程中的所有自变量都是有显著性的。
逐步回归分析的主要用途是：(1)建立一个自变量个数较少的多元线性回归方程。
它和一般多元回归方程的用途一样，可用于描述某些因素与某一医学现象间的数量关系，疾病的预测预报，辅助诊断等等。
(2) 因素分析。
它有助于从大量因素中把对某一医学现象作用显著的因素或因素组找出来，因此在病因分析、疗效分析中有着广泛的应用。
但通常还须兼用“向前法”、“向后法”，并适当多采用几个F 检验的界值水准，结合专业分析，从中选定比较正确的结果。
求回归方程的方法步骤如下：设有含量为n的样本，对每个观察单位观察了m个自变量X j(j=1，2，…m)和一个应变量Y(可记为X m+1)，得原始数据如表1。
逐步回归分析法及其应用
逐步回归分析法及其应用逐步回归分析法是一种广泛应用于统计学和数据分析领域的统计技术，它被用来探索变量之间的关系，以及预测和解释数据的模式。
逐步回归分析法通过逐步添加变量和移除变量，找到最优的变量组合来解释因变量，同时使模型的复杂性最小化。
本文将介绍逐步回归分析法的基本原理、应用场景、案例分析以及需要注意的事项。
逐步回归分析法的基本原理逐步回归分析法基于最小二乘回归，通过向前逐步添加变量和向后逐步移除变量来建立最优的回归模型。
它通过构造一个评价函数，如AIC (Akaike Information Criterion)或BIC (Bayesian Information Criterion)，来评估模型的复杂度和拟合度。
逐步回归分析法的目标是找到一个既能解释因变量又能使模型复杂性最小的最优模型。
应用场景逐步回归分析法适用于多种数据分析和统计学应用场景，例如：因果分析：通过逐步回归分析法，可以找出哪些自变量对因变量有显著影响，以及它们的影响程度。
特征选择：在处理高维数据时，逐步回归分析法可以用来选择最重要的特征，以便构建更有效的模型。
时间序列预测：通过逐步回归分析法，可以建立时间序列预测模型，预测未来的趋势和变化。
案例分析以一个实际的例子来说明逐步回归分析法的应用。
假设我们有一个数据集包含了汽车的各项性能指标（如马力、油耗、车重等）和汽车的销售价格。
我们想知道哪些性能指标最能影响汽车的销售价格。
我们使用逐步回归分析法建立一个价格预测模型。
通过向前逐步添加变量和向后逐步移除变量，我们最终找到了一个最优模型，该模型仅包含两个变量：马力（Horsepower）和车重（Weight）。
这个模型告诉我们，汽车的马力越大、车重越轻，销售价格就越高。
接下来，我们使用残差和斜率进一步分析这个模型。
残差是实际值与模型预测值之间的差异，斜率是因变量对自变量的变化率。
通过观察残差和斜率，我们可以得出以下马力对价格的影响比车重更大，因为马力的斜率大于车重的斜率。
网络流行度预测中的逐步回归分析方法介绍
网络流行度预测中的逐步回归分析方法介绍随着互联网的发展，网络流行度成为了许多人关注的焦点。
无论是企业还是个人，都需要了解网络流行度的趋势和变化，以便采取相应的措施。
而逐步回归分析方法则是一种常用的预测网络流行度的方法之一。
一、什么是逐步回归分析方法逐步回归分析是一种多元线性回归分析的变体方法。
其核心思想是通过不断迭代的方式，根据自变量的重要性逐步选择进入模型的自变量，从而构建预测模型。
与传统的回归分析方法相比，逐步回归分析方法能够更好地解释变量之间的关系，提高模型的准确度。
二、逐步回归分析方法的步骤1. 数据收集与预处理：首先收集网络流行度的相关数据，并对数据进行预处理，包括去除异常值、处理缺失值等。
为了提高分析的准确性，还需要进行数据标准化处理，以消除不同指标之间的量纲影响。
2. 初步模型构建：在收集和预处理数据后，需要建立一个初步的回归模型。
可以根据经验知识或领域专家的建议，选择一些可能与网络流行度相关的自变量。
3. 自变量选择：逐步回归分析的核心就在于逐步选择自变量。
在初步模型的基础上，通过计算每个自变量的重要性指标，然后选择重要性最高的自变量加入模型中。
这个过程会不断迭代，直到模型中的所有自变量都被选择进去。
4. 模型评估与优化：在自变量选择的过程中，需要对模型进行评估和优化。
可以使用相关系数、均方误差等指标来评估模型的拟合效果，如果模型效果不佳，则可以尝试剔除一些不重要的自变量或者添加新的自变量。
5. 预测与应用：当模型构建完毕后，就可以使用模型来进行网络流行度的预测和分析。
根据输入的自变量数值，可以得到对应的网络流行度数值。
除了预测，逐步回归分析方法还可以通过分析模型中各个自变量的系数大小，来判断不同自变量对网络流行度的贡献程度。
三、逐步回归分析方法的优势和应用场景逐步回归分析方法相较于传统的回归分析方法具有以下优势：1. 自变量选择更加准确：逐步回归分析方法通过逐渐调整模型中的自变量，能够更准确地选择与网络流行度相关的自变量，提高模型的准确度和解释力。
回归分析逐步回归分析
43(1)
最优回归方程的问题
• 在有p个自变量的情况下，根据自变量的不 同组合可能建立的回归方程众多。这些回 归方程的效果有好有坏，而人们希望的是 回归效果最好的，即“最优”的回归方程
• 最优回归方程的要求：
– 回归效果最佳 – 自变量的个数最少
• 一方面对因变量起显著作用的自变量都选进回归方 程，另一方面对因变量作用不显著的自变量都剔除 回归方程，选择一个最佳的变量组合
标准正规方程组
•
标准化正规方程组的解
ˆ
* j
称为标准回归系
数，其常数项 ˆ0* 为0 。由于因变量也进行
了标准化，其总离差平方和 Lyy=1
• 求解标准化正规方程组还需要解决以下两
个问题
①引入变量和剔除变量的标准；
②引入变量与剔除变量的方法。
43(10)
二、变量的引入、剔除与消去法的关系
• 假定已有 l 个自变量引入到回归方程，即
43(8)
标准正规方程组
• 由标准化数据建立的正规方程组的系数矩 阵即为变量间的相关系数矩阵，称为标准 化正规方程组
• 标准化正规方程组为：
r11ˆ1* r12ˆ2* r21ˆ1* r22ˆ2*
rp1ˆ1* rp2ˆ2*
r1
p
ˆ
* p
r1 y
r2
p
ˆ
* p
r2 y
rpp
ˆ
* p
rpy
43(9)
• 由于回归系数和自变量所取的单位(或数量级)有 关，而各个自变量取不同的量纲的情况是常见的， 因而不能将回归系数直接进行比较
43(7)
建立标准正规方程组
• 为了消除这个影响，对自变量和因变量都 要加以标准化
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2 1 4 2
A(0)
1
1.5
3
4
4
3
10
5
0.5 0.5 2 1
A(1)
0.5
1
1 3
2
1 2 1
1.5-1×0.5=1 3-1×2=1 4-1×1=3
0.5-0.5×（-0.5）=0.75 2-0.5×1=1.5 1-0.5×3=2.5
SS
1b1
SP12 b2
SP13b3
SP1y
SP21b1 SS 2b2 SP23b3 SP2 y
SP31b1 SP32b2 SS 3b3 SP3y
2b1 1b2 4b3 2 1b1 1.5b2 3b3 4 4b1 3b2 10b3 5
x5
y，%
68.6
70.9
62.2
66.7
57.3
60.5
56.7
60.5
58.0
58.9
x
17.2
13.3
10.3
64.4
62.5
63.4
s
4.1
3.8
4.4
7.0
5.6
3.8
一、计算相关系数阵
1、计算各变量的平均数（为表1—1） 设自变量x1，x2，…，xm与依变量y存在线性关系，m元线性回归 方程为：
由x估测y的估计值 yˆ 的直线回归方程： yˆ =a+bx
第一节 逐步回归分析的基本方法
逐步回归分析的基本方法可以通过一个实例介绍其分析步骤。 例1 为考察舍内干球温度（x1）、湿球温度（x2）、露点温度（x3）、相对湿 度（x4）及舒适度指数（x5）对罗曼蛋鸡产蛋率（y）的影响。随机抽测12个位点 各64只鸡在56—67周令的平均周产蛋率如表1—1。
-0.5-1×（-1.5）=1 1-1×（-1）=2 3-1×（-2）=5
a (3)
3 1
1.5
1 2 1
1.5 1 1
2.5 5 2
b1=2.5 b2=5 b3=-2
预备知识
生物各性状间的关系是相互依赖和相互制约的关系，改变某一性状，即会引起 另一性状也发生变异。而生物现象数量的表现多半是随机的，因此对现象关系的 研究亦就是对随机变量关系的研究。对随机变量关系的研究，在统计学中有相关 分析和回归分析两种不同的方法。相关分析是研究变量间的相互之间关系，研究 变量间相互联系的性质和紧密程度。回归分析是研究一个变量对另一个变量的单 向依存关系，即研究一个变量随另一个变量变化而变化。这里，后一个变量叫自 变量，前一个变量叫依变量或应变量。变量间的相关关系及分析方法归纳如下：
yˆ b0 b1x1 b2 x2 bm xm
b0 y b1x b2 x2 bm xm
（1—1） （1—2）
若有n对观察值： xk1，xk2，…，xkm，yk， k=1，2，…，n
则各变量平均数：
n
x
1 n
xki
1
i=1，2，…，m
（1—3）
n
y
1 n
第一讲 逐步回归分析
STEPWISE REGRESSION ANALYSIS
在多元线性回归分析时，为建立一个较为简化又能准确预测依 变量的最优回归方程，通常是逐个剔除复回归方程中经检验对y影 响不显著的所有自变量。这种先全部引入，后逐个剔除的方法，也 是建立最优回归方程的一种分析法。此类分析法还很多，它们多适 用于自变量个数较少，或大多数自变量对y有显著影响的资料分析。 否则，计算量将大大增加。目前较为常用的逐步回归分析法是按自 变量与y影响程度的大小，逐个地由大至小将自变量引入回归方程。 而每引入一个自变量，都要对方程中的各个自变量作显著性检验。 检验时先选偏回归平方和最小的自变量进行检验，若为显著，余者 皆为显著；若检验差异不显著，即从方程中剔除，直至留在方程中 的自变量均检验为显著后，再引入另一个与y影响最大的变量，并 进行显著性检验。如此反复，直至没有自变量可再被引入，而方程 中所有自变量均与y存在显著的线性关系为止。
称x变量的平方和；
SSy （y y）2 y 2 ( y)2 / n
称y变量的平方和；
SPxy
（x
x）( y
y）
xy
x n
y
称乘积和（sum of products）。
回归系数
b (x x)(y y) SPxy
(x x)2
SS x
a y bx
表1—1各变量的观察值、平均数及标准差 n=12
周令
56 57 58 ┇ 65 66 67
x1，℃
22.1 17.4 20.1 ┇ 13.8 13.0 13.4
x2，℃
16.7 12.6 15.7 ┇ 9.4 9.4 10.7
x3，℃
13.3 9.0 12.5 ┇ 5.2 6.4 8.3
x4，%
58.4 58.6 60.2 ┇ 58.0 60.4 71.2
相关系数
r COV xy SxSy
式中
(x x)(y y)
n 1
(x x)2 ( y y)2
n 1
n 1
(x x)(y y) (x x)2 ( y y)2
SPxy SSx SS y
SSx （x x）2 x 2 ( x) 2 / n
yk
1
（1—4）
本例计算结果列于表1—1。
2、计算离差阵 自变量平方和ssi，自变量间及其与依变量间的乘积和SPij及SPiy由下式算出：
0.75 0.5 1.5 0.5 0.75-1.5×（-1.5）=3
A(2) 0.5 1 1.5 1
1 1
3 2
-0.5-1.5×（-1）=1 -0.5-1.5×（-2）=2.5
3-4×0.5=1 10-4×2=2 5-4×1=1
-2-1×（-0.5）=-1.5 2-1×1=1 1-1×3=-2
简单相关分析
直线相关分析
正相关：两变量同长同 负相关：两变量此长彼
消 消
平衡关系(相关分析)
曲线相关分析
相关关系
多元相关分析
复相关分析 偏相关分析
因果关系(回归分析)多一元元回回归归分分析析
直线回归分析 曲线回归分析 多元线性回归分析 多元非线性回归分析