函数的连续与间断.ppt

第七节 函数的连续与间断
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
y
y
y f (x)
y f (x)
y
y
故当且仅当 a 1时, 函数 f ( x)在 x 0处连续.
关于连续函数，有以下结论：
定理1 有限个连续函数的代数和、积、商在其定义 区间内仍是连续函数，但在商的情况下分母 不能为零．
例如, sin x,cos x在(,)内连续,
故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续.
二、函数的间断点
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个条件 : (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3)
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ).
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
这种情况称为无穷间 断点.
o
x
例6 当a取何值时,
函数
f
(
x)
cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
解 f (0) a,
lim f ( x) lim cos x 1,
x0
x0
lim f ( x) lim(a x) a,
x0
x0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1,
定理2 单调连续函数有单调连续的反函数.
定理3 若 lim ( x) a, 函数 f (u)在点a连续, x x0
则有 lim f [( x)] f (a) f [ lim ( x)].
x x0
x x0
意义 在定理的条件下，极限符号可以与函数符号
互换，这个性质对计算复合函数的极限非常
有用．
注 1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数
1.跳跃间断点 如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都
存在,但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x)的跳跃间断点.
例3
讨论函数
f
(
x)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
处既左连续又右连续.
例2
讨论函数
f (x)
x
x
2, 2,
x 0, x 0,
在 x 0处的
连续性.
解 lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x)在点x 0处不连续.
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
那末就称函数 f ( x)在点 x 0 连续.
例1
试证函数
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x 0, 在x 0
0, x 0,
处连续.
证 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
由定义知
函数 f ( x)在 x 0处连续.
3.第二类间断点
如果 f ( x)在点 x 处的左、 0
右极限至少有一个不存在, 则称点 x 为函数 0
f ( x)的第二类间断点.
例5
Hale Waihona Puke Baidu
讨论函数
f
(x)
1 x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 1为函数的第二类间断点.
y
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点.
o
x
2.可去间断点 如果 f (x)在点x0处的极限存在,
但 lim x x0
f (x)
A
f (x0 ),
或
f (x)在点x0处无定
义，则称点x0为函数 f (x)的可去间断点.
例4 讨论函数
2 x, 0 x 1,
f
设 x x0 x,
y f ( x) f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x) f ( x0 ).
定义 2 设函数 f ( x) 在U ( x0 )内有定义,如果
函数 f ( x)当 x x0 时的极限存在,且等于它在
点
x
0
处的函数值
f
(
x 0
)
,即
在极限值点处连续
2.将x x0换成x 可得类似的定理
例7 求 lim ln(1 x) .
x0
x
1
解 原式 lim ln(1 x)x
单侧连续
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则
称f
(
x
)在
点x
处左
0
连续;
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处右连续.
定理 函数 f ( x)在 x0 处连续 是函数 f ( x)在 x0
(
x
)
1,
x1
1 x, x 1,
在x 1处的连续性 .
y y 1 x
2 y2 x
1
o1
x
解 f (1) 1,
f (1 0) 2, f (1 0) 2,
lim f ( x) 2 f (1), x1
x 0为函数的可去间断点.
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 函数在点 x0处的左、右极限都存在 .
连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
如果函数在开区间(a,b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点x b处左连续, 则称 函数 f ( x)在闭区间 [a,b]上连续.
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例如,有理整函数在区间 (,)内是连续的 .
x
x
0 x0 x0 x x 0 x0 x0 x x
2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x) 在U ( x0 )内有定义,如
果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函
数的增量y 也趋向于零,即 lim y 0 或 x 0
lim [
x 0
f (x0
x)
f
( x0 )]
0,那末就称函数
f ( x)在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x) 的连续点.