2017苏科版数学九年级下册62《黄金分割》同步练习
苏科版九年级数学下册黄金分割同步练习
6.2黄金分割A组题1、点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB=2cm，则BC ≈cm。
（精确到0.1cm）≈2、顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，等腰△ABC中，若∠A=360，则BCAB3、研究表明：标准人体的黄金分割点是人的肚脐，请你计算身高180cm的人，如果肚脐是黄金分割点，那头顶到肚脐的长度约为cm。
（精确到1c m）4、已知点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，那么AC是线段与的比例中项，若AC=10cm，则BC约为cm。
（精确到0.1cm）5、已知点C是线段的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式中成立的是（）A、2AB AC BCCB AC AB=•=•B、2C、2=•AC AB BCAC BC AB=•D、226、如图，点C是线段AB的黄金分割点，矩形ABFD的宽与长的比等于黄金比，则下列结论中错误的是DA（）A、四边形ACED是正方形B、矩形CBFE是黄金矩形C、EC与EF之比是黄金比D、EC与DF之比是黄金比7、下列说法中正确的是（）A、如果一条线段是另两条线段的比例中项，那么这三条线段构成黄金比；B、一条线段上的黄金分割点只有一个；；C、黄金分割比是512D、黄金分割比就是我们看上去舒服的比。
8、科学研究表明：当人的下肢长度与身高的比约为0.618时，看起来最美。
若某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，则该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为多少cm？（精确到0.1cm）9、如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20米，试计算主持人应走到离A点至少多少米处是最自然得体的位置？（结果精确到0.1米）10、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC=BD=BC。
①求∠ABC的度数；②图中有多少个黄金三角形？把它们一一写出来。
11、如图，△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于D，交AB于E，且AE=BC。
苏科版九年级数学下册 6.2 黄金分割 同步测试题(有答案)
6.2 黄金分割同步测试题一、选择题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）1. 已知P为线段AB的黄金分割点，且AP<PB，则（）A.AP2＝AB⋅PBB.AB2＝AP⋅PBC.PB2＝AP⋅ABD.AP2+BP2＝AB22. △ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，则∠A的度数是（）A.22.5∘B.30∘C.36∘D.45∘3. 已知，点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB)，若线段AB=2cm，则线段AP的长是（）cm B.(√5−1)cm C.(3−√5)cm D.(2−√5)cmA.√5−124. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，CD平分∠ACB交AB于点D，若CA=4，则CB的长是（）A.2√5+2B.√5+1C.√5−1D.2√5−25. 爱美之心人皆有之，特别是很多女士，穿上高跟鞋后往往会有很好的效果，事实上，当人体的下半身长度与身高的比值接近0.618时，会给人以美感，某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm6. 如图，P是线段AB的黄金分割点(PB>PA)，四边形ABCD、四边形PBEF都是正方形，且面积分别为S1、S2，四边形APMD、四边形APFN都是矩形，且面积分别为S3、S4，下列说法正确的是（）A.s2=√5−12s1 B.s2=s3 C.s3=√5−12s4 D.s4=√5−127. 美术专家认为：如果人的下身长与自己的身高之比是黄金分割数(√5−12≈0.618)，那么就非常美丽，已知一个女孩身高为155cm，下半身为94cm，请你们替她选一个高度最理想的高跟鞋，则高度应为（）A.2∼3cmB.3∼4cmC.4∼5cmD.5∼6cm8. 如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36∘，BD平分∠ABC，则BC的长为（）A.1 2B.−1+√52C.1−√52D.−1+√52二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）9. 已知点P是线段AB上的黄金分割点，AP>PB，AB=4厘米，则线段AP=________厘米．10. 我们知道，下身长与身高的比等于黄金数的人身材比较协调．某女士身高1.50米，其下身长90厘米，则她应该穿________厘米高的高跟鞋比较合适（精确到1厘米）．11. 点C是线段AB上的一个黄金分割点，且AC>BC，若AB=5cm，则AC=________cm，BC=________cm．12. 已知线段AB的长度为2，点C为线段AB上的黄金分割点(AC>BC)，则AC的长度为________．13. 为了美观起见，通常把一本书的宽与长之比设计成黄金比．已知这本书的宽为15cm，则它的长为________cm（精确到0.1cm）．14. 已知线段AB＝4厘米，点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP)，那么线段AP＝________厘米．（结果保留根号）15. 如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，已知AB=4，则AP=________（结果保留根号）．16. 已知线段AB=4dm，点C是线段AB上一点，AC>BC，若C点是线段AB的黄金分割点，则AC=________dm．（保留根号）17. 科学研究表明，当人的下肢长与身高之比成0.618时，看起来最美，某成年女士身高为160cm，下肢长96cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度应约为________cm（精确到0.1cm）18. 在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女士的身高为1.60米，身体躯干（脚底到肚脐的高度）与身高的比为0.60，那么她应选择约________厘米的高跟鞋看起来更美．（精确到十分位）三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）19. 已知M是线段AB的黄金分割点，且AM>BM．（1）写出AB、AM、BM之间的比例式；（2）若AB=12cm，求AM与BM的长．20. 已知线段AB=a，点C为AB的黄金分割点，求AC的长．21. 中国民间乐器二胡的“千斤钩”钩在弦长的黄金分割点处音质最好，一把二胡的弦长为68cm，求“千金钩”上、下两部分弦长．22. 一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔活动的选手情况，那么她应该穿多高的鞋子好看？,√5≈2.236）（精确到1cm）（参考数据：黄金分割数：√5−1223. 已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．24. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到0.1米）参考答案一、选择题（本题共计8 小题，每题 3 分，共计24分）1.【答案】C【解答】∵ P为线段AB的黄金分割点，且AP<PB，∵ PB2＝AP⋅AB．2.【答案】C【解答】解：∵ 点D是线段AB的一个黄金分割点，∵ AD2=BD⋅AB，∵ AD=AC=BC，∵ BC2=BD⋅AB，即BC:BD=AB:BC，而∠ABC=∠CBD，∵ △BCD∽△BAC，∵ ∠A=∠BCD，设∠A=x，则∠B=x，∠BCD=x，∵ ∠ADC=∠BCD+∠B=2x，而AC=AD，∵ ∠ACD=∠ADC=2x，∵ x+2x+x+x=180∘，解得x=36∘，即∠A=36∘．故选：C．3.【答案】B【解答】解：由于P为线段AB=8cm的黄金分割点，且AP是较长线段；=√5−1．则AP=2×√5−12故选B．4.【答案】D【解答】解：∵ △ABC中，AB=AC，∠A=36∘，∵ △ABC是黄金三角形，∵ BC=√5−12AC=2√5−2，故选：D．5.【答案】C【解答】解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：96+y160+y=0.618，解得：y≈8cm．故选C．6.【答案】B【解答】解：根据黄金分割得出：PB=√5−12AB，设AB=x，PB=√5−12x，PA=(1−√5−12)x，∵ S1=x2，S2=√5−12x⋅√5−12x，S3=(1−√5−12)x⋅x，S4=(1−√5−12)x⋅√5−12x，∵ S1S2=3−√5，故A错误；S2S3=1，即S2=S3，故B正确；S3 S4=√52√5−4，故C错误；S4S1=√5−2，故D错误；故选B．7.【答案】C【解答】解：设高跟鞋的高度是xcm ，则 94+x 155+x =0.618，解得：x ≈4.69，即高跟鞋的高度应为4∼5cm ．故选C ．8.【答案】B【解答】解：∵ AB =AC ，∠A =36∘，∵ ∠ABC =∠ACB =12×(180∘−36∘)=72∘，∵ BD 平分∠ABC ，∵ ∠ABD =∠CBD =12×72∘=36∘， ∵ ∠A =∠ABD ，∵ AD =BD ，又∵ ∠ACB =∠BCD ，∵ △ABC ∽△BCD ，∵ BC CD =AC BC ，设BC =x ，则x 1−x =1x ， 整理得，x 2+x −1=0，解得x 1=−1+√52，x 2=−1−√52（舍去）， 即BC 的长为−1+√52． 故选B ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）9.【答案】 2√5−2【解答】解：由于P 为线段AB =4厘米的黄金分割点，且AP 是较长线段；则AP =4×√5−12=2√5−2（厘米）．故答案为：2√5−2．10.【答案】7【解答】答：设高跟鞋鞋跟的高度为x ，根据题意列方程得：(90+x)÷(150+x)≈0.618，解得x ≈7．故答案为：7．11.【答案】5√5−52,15−5√52 【解答】解：∵ C 为线段AB 上的一个的黄金分割点，且AC >BC ，∵ AC =√5−12AB ，BC =AB −AC =3−√52AB ，∵ AB =5cm ，∵ AC =√5−12×5=5√5−52(cm)，BC =3−√52×5=15−5√52(cm)． 故答案为：5√5−52，15−5√52． 12.【答案】 √5−1【解答】∵ C 为线段AB 上的黄金分割点，AC >BC ，∵ AC =√5−12AB =√5−1， 13.【答案】24.3【解答】解：根据题意得这本书的长=√5−12≈150.618≈24.3(cm)．故答案为24.3．14.【答案】2√5−2【解答】∵ 点P 是线段AB 的黄金分割点，AP >BP ，AB＝2√5−2，∵ AP=√5−1215.【答案】6−2√5【解答】解：∵ 点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，AB=4，=6−2√5，∵ AP=4×3−√52故答案为：6−2√5．16.【答案】(2√5−2)【解答】解：由于C为线段AB=4dm的黄金分割点，且AC>BC，AC为较长线段；=2√5−2(dm)．则AC=4×√5−12故答案为：(2√5−2)．17.【答案】7.5【解答】解：设该女士穿的鞋跟高度约为xcm，由题意得(96+x)：(160+x)=0.618，解得x≈7.5．故答案为：7.5．18.【答案】7.5【解答】解：设应选择xcm的高跟鞋，∵ 张女士的身高为1.60米，身体躯干（脚底到肚脐的高度）与身高的比为0.60，∵ 其身高为1.60米=160厘米，身体躯干高为160×0.60=96厘米，≈0.618，则有96+x160+x解得：x≈7.5．故本题答案为：7.5．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）19.【答案】解：（1）∵ M是线段AB的黄金分割点，且AM>BM，∵ AM:AB=BM:AM，∵ AM2=BM⋅AB；（2）AM=√5−12AB=√5−12×12=6√5−6，BM=AB−AM=12−6√5+6=18−6√5．【解答】解：（1）∵ M是线段AB的黄金分割点，且AM>BM，∵ AM:AB=BM:AM，∵ AM2=BM⋅AB；（2）AM=√5−12AB=√5−12×12=6√5−6，BM=AB−AM=12−6√5+6=18−6√5．20.【答案】解：根据题意得当AC为较长线段时，AC=√5−12AB=√5−12a；当AC为较短线段时，AC=AB−√5−12AB=3−√52a．【解答】解：根据题意得当AC为较长线段时，AC=√5−12AB=√5−12a；当AC为较短线段时，AC=AB−√5−12AB=3−√52a．21.【答案】解：“千金钩”上部分弦长=68×√5−12=34√5−34cm，下两部分弦长=68−(34√5−34)=102−34√5cm．【解答】解：“千金钩”上部分弦长=68×√5−12=34√5−34cm，下两部分弦长=68−(34√5−34)=102−34√5cm．22.【答案】她应该穿约10cm高的鞋好看【解答】设她应该穿xcm的鞋子，依题意得：65 95+x =√5−12，解得x≈10，经检验，x≈10是原方程的解．23.【答案】解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB=√AB2+AE2=√5a，∵ AH=AF=EF−AE=EB−AE=(√5−1)a，HB=AB−AH=(3−√5)a；∵ AH2=(6−2√5)a2，AB⋅HB=2a×(3−√5)a=(6−2√5)a2，∵ AH2=AB⋅HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．【解答】解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB=√AB2+AE2=√5a，∵ AH=AF=EF−AE=EB−AE=(√5−1)a，HB=AB−AH=(3−√5)a；∵ AH2=(6−2√5)a2，AB⋅HB=2a×(3−√5)a=(6−2√5)a2，∵ AH2=AB⋅HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．24.【答案】主持人应走到离A点至少7.6米处才最自然得体．【解答】解：根据黄金比得：20×(1−0.618)≈7.6米，∵ 黄金分割点有2个，∵ 20−7.6=12.4，由于7.6<12.4米。
苏科版九年级数学下册 6.2 黄金分割 同步测试题(有答案)
6.2 黄金分割同步测试题一、选择题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分，）1. 已知P为线段AB的黄金分割点，且AP<PB，则（）A.AP2＝AB⋅PBB.AB2＝AP⋅PBC.PB2＝AP⋅ABD.AP2+BP2＝AB22. △ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，则∠A的度数是（）A.22.5∘B.30∘C.36∘D.45∘3. 已知，点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB)，若线段AB=2cm，则线段AP的长是（）cm B.(√5−1)cm C.(3−√5)cm D.(2−√5)cmA.√5−124. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，CD平分∠ACB交AB于点D，若CA=4，则CB的长是（）A.2√5+2B.√5+1C.√5−1D.2√5−25. 爱美之心人皆有之，特别是很多女士，穿上高跟鞋后往往会有很好的效果，事实上，当人体的下半身长度与身高的比值接近0.618时，会给人以美感，某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm6. 如图，P是线段AB的黄金分割点(PB>PA)，四边形ABCD、四边形PBEF都是正方形，且面积分别为S1、S2，四边形APMD、四边形APFN都是矩形，且面积分别为S3、S4，下列说法正确的是（）A.s2=√5−12s1 B.s2=s3 C.s3=√5−12s4 D.s4=√5−127. 美术专家认为：如果人的下身长与自己的身高之比是黄金分割数(√5−12≈0.618)，那么就非常美丽，已知一个女孩身高为155cm，下半身为94cm，请你们替她选一个高度最理想的高跟鞋，则高度应为（）A.2∼3cmB.3∼4cmC.4∼5cmD.5∼6cm8. 如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36∘，BD平分∠ABC，则BC的长为（）A.1 2B.−1+√52C.1−√52D.−1+√52二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）9. 已知点P是线段AB上的黄金分割点，AP>PB，AB=4厘米，则线段AP=________厘米．10. 我们知道，下身长与身高的比等于黄金数的人身材比较协调．某女士身高1.50米，其下身长90厘米，则她应该穿________厘米高的高跟鞋比较合适（精确到1厘米）．11. 点C是线段AB上的一个黄金分割点，且AC>BC，若AB=5cm，则AC=________cm，BC=________cm．12. 已知线段AB的长度为2，点C为线段AB上的黄金分割点(AC>BC)，则AC的长度为________．13. 为了美观起见，通常把一本书的宽与长之比设计成黄金比．已知这本书的宽为15cm，则它的长为________cm（精确到0.1cm）．14. 已知线段AB＝4厘米，点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP)，那么线段AP＝________厘米．（结果保留根号）15. 如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，已知AB=4，则AP=________（结果保留根号）．16. 已知线段AB=4dm，点C是线段AB上一点，AC>BC，若C点是线段AB的黄金分割点，则AC=________dm．（保留根号）17. 科学研究表明，当人的下肢长与身高之比成0.618时，看起来最美，某成年女士身高为160cm，下肢长96cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度应约为________cm（精确到0.1cm）18. 在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女士的身高为1.60米，身体躯干（脚底到肚脐的高度）与身高的比为0.60，那么她应选择约________厘米的高跟鞋看起来更美．（精确到十分位）三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）19. 已知M是线段AB的黄金分割点，且AM>BM．（1）写出AB、AM、BM之间的比例式；（2）若AB=12cm，求AM与BM的长．20. 已知线段AB=a，点C为AB的黄金分割点，求AC的长．21. 中国民间乐器二胡的“千斤钩”钩在弦长的黄金分割点处音质最好，一把二胡的弦长为68cm，求“千金钩”上、下两部分弦长．22. 一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔活动的选手情况，那么她应该穿多高的鞋子好看？（精,√5≈2.236）确到1cm）（参考数据：黄金分割数：√5−1223. 已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．24. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到0.1米）参考答案一、选择题（本题共计8 小题，每题 3 分，共计24分）1.【答案】C【解答】∵ P为线段AB的黄金分割点，且AP<PB，∵ PB2＝AP⋅AB．2.【答案】C【解答】解：∵ 点D是线段AB的一个黄金分割点，∵ AD2=BD⋅AB，∵ AD=AC=BC，∵ BC2=BD⋅AB，即BC:BD=AB:BC，而∠ABC=∠CBD，∵ △BCD∽△BAC，∵ ∠A=∠BCD，设∠A=x，则∠B=x，∠BCD=x，∵ ∠ADC=∠BCD+∠B=2x，而AC=AD，∵ ∠ACD=∠ADC=2x，∵ x+2x+x+x=180∘，解得x=36∘，即∠A=36∘．故选：C．3.【答案】B【解答】解：由于P为线段AB=8cm的黄金分割点，且AP是较长线段；=√5−1．则AP=2×√5−12故选B．4.【答案】D【解答】解：∵ △ABC中，AB=AC，∠A=36∘，∵ △ABC是黄金三角形，∵ BC=√5−12AC=2√5−2，故选：D．5.【答案】C【解答】解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：96+y160+y=0.618，解得：y≈8cm．故选C．6.【答案】B【解答】解：根据黄金分割得出：PB=√5−12AB，设AB=x，PB=√5−12x，PA=(1−√5−12)x，∵ S1=x2，S2=√5−12x⋅√5−12x，S3=(1−√5−12)x⋅x，S4=(1−√5−12)x⋅√5−12x，∵ S1S2=3−5，故A错误；S2S3=1，即S2=S3，故B正确；S3 S4=√52√5−4，故C错误；S4S1=√5−2，故D错误；故选B．7.【答案】C解：设高跟鞋的高度是xcm ，则 94+x 155+x =0.618，解得：x ≈4.69，即高跟鞋的高度应为4∼5cm ．故选C ．8.【答案】B【解答】解：∵ AB =AC ，∠A =36∘，∵ ∠ABC =∠ACB =12×(180∘−36∘)=72∘， ∵ BD 平分∠ABC ，∵ ∠ABD =∠CBD =12×72∘=36∘，∵ ∠A =∠ABD ，∵ AD =BD ，又∵ ∠ACB =∠BCD ，∵ △ABC ∽△BCD ，∵ BC CD =AC BC ，设BC =x ，则x 1−x =1x ， 整理得，x 2+x −1=0，解得x 1=−1+√52，x 2=−1−√52（舍去）， 即BC 的长为−1+√52． 故选B ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）9.【答案】 2√5−2【解答】解：由于P 为线段AB =4厘米的黄金分割点，且AP 是较长线段；则AP =4×√5−12=2√5−2（厘米）．故答案为：2√5−2．10.7【解答】答：设高跟鞋鞋跟的高度为x ，根据题意列方程得：(90+x)÷(150+x)≈0.618，解得x ≈7．故答案为：7．11.【答案】5√5−52,15−5√52 【解答】解：∵ C 为线段AB 上的一个的黄金分割点，且AC >BC ，∵ AC =√5−12AB ，BC =AB −AC =3−√52AB ，∵ AB =5cm ，∵ AC =√5−12×5=5√5−52(cm)，BC =3−√52×5=15−5√52(cm)． 故答案为：5√5−52，15−5√52． 12.【答案】 √5−1【解答】∵ C 为线段AB 上的黄金分割点，AC >BC ，∵ AC =√5−12AB =√5−1， 13.【答案】24.3【解答】解：根据题意得这本书的长=√5−12≈150.618≈24.3(cm)．故答案为24.3．14.【答案】2√5−2【解答】∵ 点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP，AB＝2√5−2，∵ AP=√5−1215.【答案】6−2√5【解答】解：∵ 点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，AB=4，=6−2√5，∵ AP=4×3−√52故答案为：6−2√5．16.【答案】(2√5−2)【解答】解：由于C为线段AB=4dm的黄金分割点，且AC>BC，AC为较长线段；=2√5−2(dm)．则AC=4×√5−12故答案为：(2√5−2)．17.【答案】7.5【解答】解：设该女士穿的鞋跟高度约为xcm，由题意得(96+x)：(160+x)=0.618，解得x≈7.5．故答案为：7.5．18.【答案】7.5【解答】解：设应选择xcm的高跟鞋，∵ 张女士的身高为1.60米，身体躯干（脚底到肚脐的高度）与身高的比为0.60，∵ 其身高为1.60米=160厘米，身体躯干高为160×0.60=96厘米，≈0.618，则有96+x160+x解得：x≈7.5．故本题答案为：7.5．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）19.【答案】解：（1）∵ M是线段AB的黄金分割点，且AM>BM，∵ AM:AB=BM:AM，∵ AM2=BM⋅AB；（2）AM=√5−12AB=√5−12×12=6√5−6，BM=AB−AM=12−6√5+6=18−6√5．【解答】解：（1）∵ M是线段AB的黄金分割点，且AM>BM，∵ AM:AB=BM:AM，∵ AM2=BM⋅AB；（2）AM=√5−12AB=√5−12×12=6√5−6，BM=AB−AM=12−6√5+6=18−6√5．20.【答案】解：根据题意得当AC为较长线段时，AC=√5−12AB=√5−12a；当AC为较短线段时，AC=AB−√5−12AB=3−√52a．【解答】解：根据题意得当AC为较长线段时，AC=√5−12AB=√5−12a；当AC为较短线段时，AC=AB−√5−12AB=3−√52a．21.【答案】解：“千金钩”上部分弦长=68×√5−12=34√5−34cm，下两部分弦长=68−(34√5−34)=102−34√5cm．【解答】解：“千金钩”上部分弦长=68×√5−12=34√5−34cm，下两部分弦长=68−(34√5−34)=102−34√5cm．22.【答案】她应该穿约10cm高的鞋好看【解答】设她应该穿xcm的鞋子，依题意得：65 95+x =√5−12，解得x≈10，经检验，x≈10是原方程的解．23.【答案】解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB=√AB2+AE2=√5a，∵ AH=AF=EF−AE=EB−AE=(√5−1)a，HB=AB−AH=(3−√5)a；∵ AH2=(6−2√5)a2，AB⋅HB=2a×(3−√5)a=(6−2√5)a2，∵ AH2=AB⋅HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．【解答】解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB=√AB2+AE2=√5a，∵ AH=AF=EF−AE=EB−AE=(√5−1)a，HB=AB−AH=(3−√5)a；∵ AH2=(6−2√5)a2，AB⋅HB=2a×(3−√5)a=(6−2√5)a2，∵ AH2=AB⋅HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．24.【答案】主持人应走到离A点至少7.6米处才最自然得体．【解答】解：根据黄金比得：20×(1−0.618)≈7.6米，∵ 黄金分割点有2个，∵ 20−7.6=12.4，由于7.6<12.4米。
4.2 黄金分割 同步练习及答案
4.2 黄金分割 同步练习◆基础训练一、选择题1．若3a=4b ，则（a-b ）：（a+b ）的值是（ ）．A ．17B ．C ．-17D ．-7 2．已知P 是线段AB 上一点，且AP ：PB=2：5，则AB ：PB 等于（ ）．A ．7：5B ．5：2C ．2：7D ．5：73．已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP>BP ，设以AP 为边的正方形的面积为S 1，•以PB 、AB 为边的矩形面积为S 2，则S 1与S 2的关系是（ ）．A ．S 1>S 2B ．S 1<S 2C ．S 1=S 2D ．S 1≥S 2二、填空题4．若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC>BC ，则______,AB BC AC AB==_______． 5．等边△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=4，则高AD 与边长AB 的比是______．三、解答题6．求下列各式中的x ：（1）7：4=11：x ； （2）2：3=（5-x ）：x ．7．已知a b =112,a c c b a b c-+=-求证:．◆能力提高一、填空题8．在线段AB上取一点P，使AP：PB=1：3，则AP：AB=______，BC：PB=______．9．如图，已知3,(1)2AB AC BC CEAD AE DE AE===则:=______，（2）若BD=10cm，则AD=______；（3）若△ADE的周长为16cm，则△ABC的周长为_______．二、解答题10．已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，那么第三个数是多少？11．在相同时刻的物高和影长成比例．已知上午9点时，高为1.5m的测杆的影长为2.5m，此时一古塔在地面的影长是50m，求古塔的高．如果上午10点时，1.5m•高的测杆的影长为2m，中午12点时，1.5m高的测杆的影长为1m，求古塔的影长是20m的时刻．◆拓展训练12．用厘米作为长度单位量一下几何作业本，求出长与宽的比．•如果你来设计作业本的大小，你能利用所学的知识设计一种既美观又实用的“黄金作业本”吗？答案:1．A 2．A 3．C 4．1344,2 6.(1)227（2）x=3 7．由已知得ac-ab=ab-bc ，∴ac+bc=2ab ，∴2112a b ab c a b c+=+=即． 8．1：4，4：3 9．（1）52 （2）4cm （3）24cm10．2或16或±．30m ，中午12点 12．略.。
黄金分割同步练习及答案 (3)
黄金分割同步练习（典型题汇总）◆基础训练 一、选择题1．若3a=4b ，则（a-b ）：（a+b ）的值是（ ）． A ．17 B ． C ．-17D ．-7 2．已知P 是线段AB 上一点，且AP ：PB=2：5，则AB ：PB 等于（ ）．A ．7：5B ．5：2C ．2：7D ．5：73．已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP>BP ，设以AP 为边的正方形的面积为S 1，•以PB 、AB 为边的矩形面积为S 2，则S 1与S 2的关系是（ ）． A ．S 1>S 2 B ．S 1<S 2 C ．S 1=S 2 D ．S 1≥S 2 二、填空题4．若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC>BC ，则______,AB BCAC AB==_______． 5．等边△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=4，则高AD 与边长AB 的比是______．三、解答题6．求下列各式中的x ：（1）7：4=11：x ； （2）2：3=（5-x ）：x ． 7．已知a b =112,a cc ba b c -+=-求证:．◆能力提高一、填空题8．在线段AB上取一点P，使AP：PB=1：3，则AP：AB=______，BC：PB=______．9．如图，已知3,(1)2AB AC BC CEAD AE DE AE===则:=______，（2）若BD=10cm，则AD=______；（3）若△ADE的周长为16cm，则△ABC的周长为_______．二、解答题10．已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，那么第三个数是多少？11．在相同时刻的物高和影长成比例．已知上午9点时，高为1.5m的测杆的影长为2.5m，此时一古塔在地面的影长是50m，求古塔的高．如果上午10点时，1.5m•高的测杆的影长为2m，中午12点时，1.5m高的测杆的影长为1m，求古塔的影长是20m的时刻．◆拓展训练12．用厘米作为长度单位量一下几何作业本，求出长与宽的比．•如果你来设计作业本的大小，你能利用所学的知识设计一种既美观又实用的“黄金作业本”吗？答案:1．A 2．A 3．C 4．1344,2 6.(1)227（2）x=3 7．由已知得ac-ab=ab-bc ，∴ac+bc=2ab ，∴2112a b ab c a b c+=+=即． 8．1：4，4：3 9．（1）52（2）4cm （3）24cm10．2或16或±．30m ，中午12点 12．略.黄金分割同步练习（典型题汇总）一、选择题:1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BCAB AC=,那么下列说法错误的是( ) A.线段AB 被点C 黄金分割; B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点C.AB 与AC 的比叫做黄金比;D.AC 与AB 的比叫做黄金比2.如图的五角星中,AC AB 与BCAC 的关系是( ) A.相等; B.AC AB >BC AC ; C.AC AB <BCAC; D.不能确定3.一条线段的黄金分割点有( )A.1个B.2个C.3个D.无数个4.黄金分割比是( )D.0.618 5.如图,点C 是AB 的黄金分割点,那么AC AB 与ACBC的值分别是( ) A.,B.,; C.,; D.12,126.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=2,则AC= ( )CBAC BA A.12 B.1211 二、填空题:1.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果_________,那么称线段AB 被点C•黄金分割,点C 叫做线段AB 的________,AC 与AB 的比叫做_________.2.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______.3.已知点C 是AB 的黄金分割点,即AC AB ,那么ACCB=________.4.如图,点C 是AB 的黄金分割点,AB=4,则AC 2=________.5.宽与长的比等于________的矩形叫做黄金矩形.6.已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________. 三、计算题:1.已知线段AB 长6厘米,点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,求AP 和BP 的长.2.仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB 的黄金分割点.3.请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料,并与同伴相互交流. 四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比,•那么这样的等腰三角形称为黄金三角形.请你设法作出一个黄金三角形.五、已知线段AB=1,C 为AB 的黄金分割点,且AC>BC,求AC-BC 的值.六、如图的五角星中,AD=BC,且C 、D 两点都是AB 的黄金分割点,AB=1,求CD 的长.D CBA七、已知C 、D 是线段AB 上的两点,且不难证明当AB=1时,C 、D 是线段AB 的黄金分割点,试探究当AB 任意长时,C 、D 是否是线段AB 的黄金分割点?为什么?答案:一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C二、1.AC BCAB AC=;黄金分割点;黄金比 2. 12;32-3.12黄金比三、1.因为点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,所以AP PB AB AP=,AP=12×AB=12×2.(1)过点B 作BD ⊥AB 且BD=12AB,连接AD (2)以D 为圆心BD 为半径作圆弧交AD 于E(3)以A 为圆心AE 为半径作圆弧交AB 于C,则C 为AB 的黄金分割点 3.查阅资料四、先做出线段AB,及其黄金分割点C(AC>BC)分别以A 、B 为圆心,AC 为半径作圆弧,交点为P,则△PAB 就是黄金三角形五、根据C 为AB 的黄金分割点,AC>BC 得AC AB,因为AB=1,所以AC=12BC=AB-AC=1-12= 32-,•所以AC-BC=12-32-六、根据C 、D 都是AB 的黄金分割点得ACAB =12,BD AB=12因为AB=1,所以AC=12,BD=12,所以因此七、C 、D 是线段AB 的黄金分割点.。
苏科版九年级数学下册 6.2 黄金分割 同步测试题(有答案)
6.2 黄金分割同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，AB=10，则AP长约为（）A.0.618B.6.18C.3.82D.0.3822. △ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，则∠A的度数是（）A.22.5∘B.30∘C.36∘D.45∘3. 如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列各式不正确的是（）A.AB:AC=AC:BCB.AC=√5−12ABC.AB=√5+12AC D.BC≈0.618AB4. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，CD是∠ACB的平分线，则△DBC的面积与△ADC的面积的比值是（）A.√5−12B.√5+12C.3−√52D.3+√525. 把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为（）A.−1+√5B.3−√5C.3+√5D.1+√56. 现已知线段AB=10，点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，那么线段PA的长约为（）A.6.18B.0.382C.0.618D.3.287. 已知点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，若AB=2，则PB=()A.√5−12B.√5+12C.3−√5D.√5−18. 已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则下列各式的值不等于√5−12的是（）A.AP ABB.PBAPC.PBABD.√PBAB9. 顶角为36∘的等腰三角形称为黄金三角形，如图，五边形ABCDE的5条边相等，5个内角相等，则图中共有黄金三角形的个数是（）A.25B.10C.15D.2010. 如图所示，顶角为36∘的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形叫做黄金三角形．已知AB=1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形，以此类推，第2014个黄金三角形的周长为（）A.k2012B.k2013C.k2013(2+k)D.k20132+k二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. C是长为10cm的线段AB的黄金分割点(AC>BC)，则AC=________．12. 如图，△ABC中，D是AB的黄金分割点(AD<BD)，过点D作DE // BC交AC于E，若BC=3+√5，则DE=________．13. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．李老师身高165厘米，下半身长与身高的比值是0.6，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为________（结果精确到0.1）．14. 美是一种感觉，一矩形的长为6cm，宽为3cm，当矩形的宽与长的比值是黄金比值时，这样的矩形给人一种美感．试问长不变，宽增加________cm时，给人的美感效果最佳．15. 有些植物茎上，相邻两张叶子成137∘28′的角，这种角度使植物通风和采光的效果最佳，这一度数与________∘角成黄金比例．16. 要使点B是线段AC的黄金分割点(AB>BC)，那么线段AB、BC、AC应满足的数量关系是________．17. 若点P是AB的黄金分割点(AP<BP)，则线段AP、BP、AB满足关系式________．18. 如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP<PB，那么PB的值为________．PA19. 已知线段AB，点C是靠近B点的AB的黄金分割点．点G是靠近点A的黄金分割点，则AG=________．BC20. 报幕员在台上时，若站在黄金分割点处，会显得活泼而生动，已知舞台长10米，那么报幕员要至少走________米报幕．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 如图，在五角星图形中，AD=BC，C，D两点都是AB的黄金分割点，AB=1，求CD的长．22.（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP>PB．23. 在△ABC中，D为BC边上一点，过点D作DE//AB交AC与点E，连接BE.若BE= CD，∠C=∠ABE.(1)点D是线段BC的黄金分割点吗？请说明你的理由；(2)已知BC=1，计算黄金比.24. 如图，在线段AB上有一点C，若AC:CB=CB:AB，则称点C为AB的黄金分割点，现已知AB=1，点C是线段AB的黄金分割点(AC<BC)，求BC的长．25. 在△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是________．26. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC=108∘，过点C作直线CD分别交直线AB，OD=2．AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE=12（1）求∠CDB的度数；（2）我们把有一个内角等于36∘的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比．（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比√5−12①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求弦CE的长；③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：由于P为线段AB=10的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=√5−12AB≈0.618AB=0.618×10=6.18．故选B．2.【答案】C【解答】解：∵ 点D是线段AB的一个黄金分割点，∵ AD2=BD⋅AB，∵ AD=AC=BC，∵ BC2=BD⋅AB，即BC:BD=AB:BC，而∠ABC=∠CBD，∵ △BCD∽△BAC，∵ ∠A=∠BCD，设∠A=x，则∠B=x，∠BCD=x，∵ ∠ADC=∠BCD+∠B=2x，而AC=AD，∵ ∠ACD=∠ADC=2x，∵ x+2x+x+x=180∘，解得x=36∘，即∠A=36∘．故选：C．3.【答案】D【解答】解：∵ AC>BC，∵ AC是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB:AC=AC:BC，AC=√5−12AB，AB=√5+12AC，AC≈0.618AB．故选D．【答案】A【解答】解：设AB=x，BC=y．∵ △ABC中，AB=AC，∠A=36∘，∵ ∠ABC=∠ACB=72∘．∵ CD是角平分线，∵ ∠BCD=∠ACD=36∘．∵ AD=CD=BC=y，∵ BD=x−y．∵ ∠BCD=∠A=36∘，∠B=∠ACB=72∘，∵ △DBC∽△ABC．∵ ABBC =BCBD，即xy =yx−y，x2−xy−y2=0，x=1±√52y（负值舍去）．则yx =√5−12．∵ △DBC与△ADC底边分别为BD，AD时，高度相等，∵ △DBC的面积与△ADC的面积的比值是：ADBD =yx=√5−12．故选：A．5.【答案】A【解答】把2米长的线段进行黄金分割，分成的较长线段的长=√5−12×2=√5−1，【答案】A【解答】解：∵ 点P是线段AB的黄金分割点，∵ PA=0.618AB=6.18．故选：A．7.【答案】C【解答】解：当AP>BP时，AP=√5−12×2=√5−1，PB=2−(√5−1)=3−√5，故选C.8.【答案】C【解答】解：∵ 点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，∵ AP=√5−12AB，设AB=2，则AP=√5−1，BP=2−(√5−1)=3−√5，∵ APAB =√5−12；PB AP =√5√5−1=√5−12；PB AB =3−√52≠√5−12；√PB AB =√3−√52=√5−12．故选C．9.【答案】D【解答】解：根据题意，得图中的黄金三角形有△BMN、△CNF、△DFG、△EHG、△AMH、△ABN、△CBM、△CDG、△EDF、△AGE、△ACD、△BDE、△CEA、△DBA、△EBC，△NCD，△HDE，△AME，△ABH，△BCF，共20个．故选D10.【答案】C【解答】解：∵ AB=AC=1，∵ △ABC的周长为2+k；△BCD的周长为k+k+k2=k(2+k)；△CDE的周长为k2+k2+k3=k2(2+k)；依此类推，第2014个黄金三角形的周长为k2013(2+k)；故选：C．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】(5√5−5)cm【解答】解：∵ 点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，∵ AC=√5−12AB，∵ AB=10cm，∵ AC=(5√5−5)cm．故答案为：(5√5−5)cm．12.【答案】2【解答】解：∵ DE // BC，∵ △ADE∽△ABC，∵ DEBC =ADAB，∵ D是AB的黄金分割点(AD<BD)，∵ BD=√5−12AB，∵ AD=AB−√5−12AB=3−√52AB，∵3+√5=3−√52，∵ DE=2．故答案为2．13.【答案】7.8cm 【解答】解：根据已知条件得下半身长是165×0.6=99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：99+y165+y=0.618，解得：y≈7.8．故答案为7.8cm．14.【答案】(3√5−6)【解答】解：设宽增加xcm，根据题意得x+36=√5−12，解得x=3√5−6，即长不变，宽增加(3√5−6)cm时，给人的美感效果最佳．故答案为(3√5−6)．15.【答案】84.95∘或222.44【解答】解：137∘28′≈137.467∘，137.467∘×0.618=84.95∘，137.467∘÷0.618=222.44∘，所以137∘28′与84.95∘或222.44∘的角成黄金比例．故答案为84.95∘或222.44．16.【答案】AB2=BC⋅AC【解答】解：∵ 点B是线段AC的黄金分割点(AB>BC)，∵ AB2=BC⋅AC．故答案为AB2=BC⋅AC．17.【答案】BP2=AB⋅AP 【解答】解：∵ 点P是AB的黄金分割点(AP<BP)，∵ BP2=AB⋅AP．故答案为BP2=AB⋅AP．18.【答案】√5+12【解答】∵ 点P是线段AB的黄金分割点，且AP<PB，∵ PBPA =√5−13−√5=√5+12，19.【答案】1【解答】解：由题意得，AG=3−√52AB，BC=3−√52AB，∵ AGBC=1．故答案为：1．20.【答案】(15−5√5)【解答】解：报幕员要走的路程为：10×(1−√5−12)=15−5√5（米）．故答案为：(15−5√5)．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：∵ C、D两点都是AB的黄金分割点，∵ AC=BD=√5−12AB=√5−12，∵ AD=AC−CD=√5−12−CD，∵ AD=BC，∵ BC=√5−12−CD，而AC+BC=AB，∵ √5−12+√5−12−CD=1，∵ CD=√5−2．【解答】解：∵ C、D两点都是AB的黄金分割点，∵ AC=BD=√5−12AB=√5−12，∵ AD=AC−CD=√5−12−CD，∵ AD=BC，∵ BC=√5−12−CD，而AC+BC=AB，∵ √5−12+√5−12−CD=1，∵ CD=√5−2．22.【答案】解：（1）由于P为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×√5−12=√5−1，或AP=2−(√5−1)=3−√5；（2）如图，点P是线段AB的一个黄金分割点．【解答】解：（1）由于P为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×√5−12=√5−1，或AP=2−(√5−1)=3−√5；（2）如图，点P是线段AB的一个黄金分割点．23.【答案】解：(1)点D是线段BC的黄金分割点.证明：∵ ∠C=∠ABE，DE//AB，∵ ∠ABE=∠DEB，∵ ∠C=∠DEB.又∠EBD=∠CBE，∵ △EBD∼△CBE.∵ BEBC =BDBE，即BE2=BC⋅BD，又BE=CD，∵ CD2=BC⋅BD∵ D为线段BC的黄金分割点；(2)由(1)知，BDBC =CDBD，即BD2=BC⋅CD，∵ BD2=BC(BC−BD)，即BD2=BC2−BC⋅BD，BC2−BC⋅BD+14BD2=54BD2，BC BD =√5+12，BD=√5−12.所以黄金比为√5−12.【解答】解：(1)点D是线段BC的黄金分割点.证明：∵ ∠C=∠ABE，DE//AB，∵ ∠ABE=∠DEB，∵ ∠C=∠DEB.又∠EBD=∠CBE，∵ △EBD∼△CBE.∵ BEBC =BDBE，即BE2=BC⋅BD，又BE=CD，∵ CD2=BC⋅BD∵ D为线段BC的黄金分割点；(2)由(1)知，BDBC =CDBD，即BD2=BC⋅CD，∵ BD2=BC(BC−BD)，即BD2=BC2−BC⋅BD，BC2−BC⋅BD+14BD2=54BD2，BC BD =√5+12，BD=√5−12.所以黄金比为√5−12.24.【答案】解：∵ C为线段AB=1的黄金分割点，且AC<BC，BC为较长线段，∵ BC=√5−12AB=1×√5−12=√5−12．【解答】解：∵ C为线段AB=1的黄金分割点，且AC<BC，BC为较长线段，∵ BC=√5−12AB=1×√5−12=√5−12．25.【答案】解：（1）（2）CM=AB【解答】解：（1）（2）CM=AB26.【答案】AB，解：（1）∵ AB是⊙O的直径，DE=12∵ OA=OC=OE=DE，则∠EOD=∠CDB，∠OCE=∠OEC，设∠CDB=x，则∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x，又∠BOC=108∘，∵ ∠CDB+∠OCD=108∘，∵ x+2x=108，x=36∘．∵ ∠CDB=36∘．（2）①有三个：△DOE，△COE，△COD．∵ OE=DE，∠CDB=36∘，∵ △DOE是黄金三角形；∵ OC=OE，∠COE=180∘−∠OCE−∠OEC=36∘．∵ △COE是黄金三角形；∵ ∠COB=108∘，∵ ∠COD=72∘；∵ ∠OCD=∠COD．∵ OD=CD，∵ △COD是黄金三角形；②∵ △COD是黄金三角形，∵ OCOD =√5−12，∵ OD=2，∵ OC=√5−1，∵ CD=OD=2，DE=OC=√5−1，∵ CE=CD−DE=2−(√5−1)=3−√5；③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3，如图所示，∵以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2；∵以OE为腰的黄金三角形：点P3与点A重合．【解答】解：（1）∵ AB是⊙O的直径，DE=12AB，∵ OA=OC=OE=DE，则∠EOD=∠CDB，∠OCE=∠OEC，设∠CDB=x，则∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x，又∠BOC=108∘，∵ ∠CDB+∠OCD=108∘，∵ x+2x=108，x=36∘．∵ ∠CDB=36∘．（2）①有三个：△DOE，△COE，△COD．∵ OE=DE，∠CDB=36∘，∵ △DOE是黄金三角形；∵ OC=OE，∠COE=180∘−∠OCE−∠OEC=36∘．∵ △COE是黄金三角形；∵ ∠COB=108∘，∵ ∠COD=72∘；∵ ∠OCD=∠COD．∵ OD=CD，∵ △COD是黄金三角形；②∵ △COD是黄金三角形，∵ OCOD =√5−12，∵ OD=2，∵ OC=√5−1，∵ CD=OD=2，DE=OC=√5−1，∵ CE=CD−DE=2−(√5−1)=3−√5；③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3，如图所示，∵以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2；∵以OE为腰的黄金三角形：点P3与点A重合。
苏科版初中数学九年级下册《6.2 黄金分割》同步练习卷
苏科新版九年级下学期《6.2 黄金分割》同步练习卷一．选择题（共17小题）1．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算﹣1的值（）A．在1.1和1.2之间B．在1.2和1.3之间C．在1.3和1.4之间D．在1.4和1.5之间2．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．不能确定3．下列说法正确的是（）A．每条线段有且仅有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BCD．以上说法都不对4．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c＝a+x（b﹣a），这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得，据此可得，最佳乐观系数x的值等于（）A．B．C．D．5．如果△ABC中，AB＝AC，BC＝AB，那么∠A的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．60°6．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于（）A．﹣1B．3﹣C．D．﹣1或3﹣7．下列说法：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a、c异号时，方程一定有实数根；②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2；③若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝﹣4或1；④数4和9的比例中项是6；⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5﹣5．其中正确的说法的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．如图，点B在线段AC上，且，设AC＝2，则AB的长为（）A．B．C．D．9．如果一个矩形的宽（即短边）与长（即长边）之比是，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，矩形ABCD是黄金矩形，点E、F、G、H分别为线段AD、BC、AB、EF的中点，则图中黄金矩形的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个10．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（）①AC＝AB，②AC＝AB，③AB：AC＝AC：BC，④AC≈0.618ABA．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AC＝AB＝2，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE，使点E在边AC上，DE交AB于点F，则△AFE与△DBF 的面积之比等于（）A．B．C．D．12．一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为（）A．（7+7）cm B．（21﹣7）cm C．（7﹣7）cm D．（7﹣21）cm 13．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则有（）A．AB2＝AP•PB B．AP2＝BP•ABC．BP2＝AP•AB D．AP•AB＝PB•AP14．若线段AB＝cm，C是线段AB的一个黄金分割点，则线段AC的长（）A．B．C．或D．或15．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，若S1表示以P A为边的正方形的面积，S2表示以PD，PB为边的矩形的面积，且PD＝AB，则S1与S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．无法确定16．已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（）A．AB2＝AC•BC B．BC2＝AC•BC C．AC＝BC D．BC＝AC 17．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定二．填空题（共15小题）18．若一本书的宽与长之比等于黄金比，且长为30cm，则宽为cm．（结果保留根号）19．已知点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝1，AP＞BP，那么AP＝20．把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为．21．已知线段AB＝1，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC＝（精确到0.01）22．已知点P是线段AB的黄金分割点，AB＝4厘米，则较短线段AP的长是厘米．23．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是．24．从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约61.8cm，下身长约94cm，她要穿约cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到1cm）．25．如图，若点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝8，则BC的长为．26．一个诺大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为10米，那么，主持人到较近的一侧应为米．27．如图，在五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，CD＝1，则AB的长是．28．如图，已知点C、D是线段AB的两个黄金分割点，若线段AB的长10厘米，则线段CD长厘米．29．设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高x m，列方程，并化成一般形式是．30．已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP的长为．31．已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，那么AP长为厘米．32．已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP 的长是cm．三．解答题（共8小题）33．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图1，我们已经学过，点C将线段AB分成两部分，如果AC：AB＝BC：AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A ＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．34．小明同学遇到两个数学问题：问题一，一个数x加上这个数的倒数，和为1，试求这个数．问题二，一个数y减去这个数的倒数，差为1，试求这个数．（1）在探索问题一时，进行了以下操作：依题意，列出方程x+＝1，化简得x2﹣x+1＝0，于是小明认为这个数不存在，请帮小明证明这个数不存在．（2）在探索问题二时，进行了以下操作：依题意，列出方程y﹣＝1，变形得y＝1+＝1+＝1+＝1+于是得到形如1+这样的数，我们称之为连分数．如果设一条线段AB的长度设为1，点M是这条线段的黄金分割点，设其中较短的线段的长度为z，试将z表示为连分数的形式．35．如果一个矩形的宽与长的比值为，则称这个矩形为黄金矩形，如图，将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．36．已知：如图，线段AB＝2，BD⊥AB于点B，且BD＝AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE．求证：点C是线段AB的黄金分割点．37．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE＝BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．38．如果一个矩形的宽长之比（﹣1）：2时，则称这个矩形是黄金矩形，如图所示，四边形ABCD是黄金矩形且＝，将矩形ABCD剪裁掉一个正方形ADEF后，剩余的四边形BCEF是否是黄金矩形？请说明理由．39．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD．（1）求证：BC2＝AC•CD；（2）求∠ABD的度数．40．在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D （1）求证：AD2＝AC•CD；（2）求线段AD的长．苏科新版九年级下学期《6.2 黄金分割》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算﹣1的值（）A．在1.1和1.2之间B．在1.2和1.3之间C．在1.3和1.4之间D．在1.4和1.5之间【分析】根据≈2.236，可得答案．【解答】解：∵≈2.236，∴﹣1≈1.236，故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用≈2.236是解题关键．2．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．不能确定【分析】设正方形ABCD的边长为2a，根据勾股定理求出BE，求出EF，求出AF，再根据面积公式求出S1、S2即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAB＝90°，设正方形ABCD的边长为2a，∵E为AD的中点，∴AE＝a，在Rt△EAB中，由勾股定理得：BE＝＝＝a，∵EF＝BE，∴EF＝a，∴AF＝EF﹣AE＝a﹣a＝（﹣1）a，即AF＝AH＝（﹣1）a∴S1＝AF×AH＝（﹣1）a×（﹣1）a＝6a2﹣2a2，S2＝S正方形ABCD﹣S长方形ADIH＝2a×2a﹣2a×（﹣1）a＝6a2﹣2a2，即S1＝S2，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理和正方形的性质，能熟记正方形的性质是解此题的关键，注意：正方形的每个角都是90°，正方形的四边都相等．3．下列说法正确的是（）A．每条线段有且仅有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BCD．以上说法都不对【分析】根据黄金分割的定义分别进行解答即可．【解答】解：A、每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误；B、黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍，正确；C、若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC，不正确，有可能BC2＝AB•AC；故选：B．【点评】此题考查黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．4．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c＝a+x（b﹣a），这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得，据此可得，最佳乐观系数x的值等于（）A．B．C．D．【分析】根据题设条件，由，知[x（b﹣a）]2＝（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，由此能求出最佳乐观系数x的值．【解答】解：∵c﹣a＝x（b﹣a），b﹣c＝（b﹣a）﹣x（b﹣a），，∴[x（b﹣a）]2＝（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，∴x2+x﹣1＝0，解得x＝，∵0＜x＜1，∴x＝．故选：D．【点评】本题考查黄金分割的应用，解题时要注意一元二次方程的求解方法．5．如果△ABC中，AB＝AC，BC＝AB，那么∠A的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．60°【分析】如图，在AC上截取AD＝BC，连接BD．想办法证明△BCD∽△ACB，推出∠ABC＝∠C＝2∠A即可解决问题；【解答】解：如图，在AC上截取AD＝BC，连接BD．∵BC＝AB，AD＝BC，∴AD＝AB，∴点D是线段AC的黄金分割点，∴AD2＝CD•CA，∴BC2＝CD•CA，∴＝，∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB，∴∠BDC＝∠ABC，∠DBC＝∠A，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，设∠A＝x，则∠ABC＝∠A＝2x，∴x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，故选：B．【点评】本题考查黄金分割．等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．6．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于（）A．﹣1B．3﹣C．D．﹣1或3﹣【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：根据黄金分割点的概念得：AC＝AB＝（﹣1）cm．故选：A．【点评】考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值．7．下列说法：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a、c异号时，方程一定有实数根；②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2；③若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝﹣4或1；④数4和9的比例中项是6；⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5﹣5．其中正确的说法的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①利用判别式的值即可判断；②根据方程的解的定义即可解决问题；③根据最简二次根式是定义即可判断；④根据比例中项的定义即可解决问题；⑤根据黄金分割的定义即可解决问题；【解答】解：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a、c异号时，方程一定有实数根；正确，此时△＞0；②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2；正确；③若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝﹣4或1；错误，x＝﹣4不符合题意，不是最简二次根式；④数4和9的比例中项是6；错误，数4和9的比例中项是±6，⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5﹣5．错误，若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5﹣5或BC＝5﹣5．故选：C．【点评】本题考查黄金分割、最简二次根式、同类二次根式、一元二次方程的根的判别式、方程的解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．如图，点B在线段AC上，且，设AC＝2，则AB的长为（）A．B．C．D．【分析】根据题意列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：∵，∴AB2＝2×（2﹣AB），∴AB2+2AB﹣4＝0，解得，AB1＝，AB2＝（舍去），故选：C．【点评】本题考查的是黄金分割的概念以及黄金比值，掌握一元二次方程得到解法、理解黄金分割的概念是解题的关键．9．如果一个矩形的宽（即短边）与长（即长边）之比是，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，矩形ABCD是黄金矩形，点E、F、G、H分别为线段AD、BC、AB、EF的中点，则图中黄金矩形的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】根据黄金矩形的判定解答．【解答】解：∵矩形ABCD是黄金矩形．点E、F、G、H分别为线段AD、BC、AB、EF的中点，∴图中黄金矩形有矩形AEGH，矩形GHFB，故选：C．【点评】本题考查的是黄金矩形的判定，掌握黄金矩形的判定是解题的关键．10．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（）①AC＝AB，②AC＝AB，③AB：AC＝AC：BC，④AC≈0.618ABA．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可．【解答】解：∵点C数线段AB的黄金分割点，∴AC＝AB，①正确；AC＝AB，②错误；BC：AC＝AC：AB，③正确；AC≈0.618AB，④正确．故选：C．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，掌握把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比是解题的关键．11．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AC＝AB＝2，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE，使点E在边AC上，DE交AB于点F，则△AFE与△DBF 的面积之比等于（）A．B．C．D．【分析】首先证明BD∥AE，可得△AEF∽△BDF，推出＝（）2，想办法求出即可解决问题；【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BC＝BE，∴∠C＝∠BEC＝72°，∴∠EBC＝36°，∴∠ABE＝∠A＝36°，∵∠DBE＝72°，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴BD∥AE，∴△AEF∽△BDF，∴＝（）2，设BC＝BE＝AE＝x，∵∠C＝∠C，∠CBE＝∠A，∴△CBE∽△CAB，∴BC2＝CE•CA，∴x2＝（2﹣x）2，∴x2+2x﹣4＝0，∴x＝﹣1+，或x＝﹣1﹣，∴＝（）2＝故选：C．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．12．一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为（）A．（7+7）cm B．（21﹣7）cm C．（7﹣7）cm D．（7﹣21）cm 【分析】根据黄金比值是计算即可．【解答】解：由黄金比值可知，这本书的长＝＝（7+7）cm，故选：A．【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．13．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则有（）A．AB2＝AP•PB B．AP2＝BP•ABC．BP2＝AP•AB D．AP•AB＝PB•AP【分析】由AP＞BP知P A是较长线段，根据黄金分割点的定义，则AP2＝BP•AB．【解答】解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2＝BP•AB．故选：B．【点评】本题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段即可．14．若线段AB＝cm，C是线段AB的一个黄金分割点，则线段AC的长（）A．B．C．或D．或【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：由于AC可能是较长的线段，也可能是较短的线段，∴AC＝×＝cm或AC＝﹣（）＝（）cm．故选：C．【点评】考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比计算．这里主要注意AC可能是较长线段，也可能是较短线段．15．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，若S1表示以P A为边的正方形的面积，S2表示以PD，PB为边的矩形的面积，且PD＝AB，则S1与S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．无法确定【分析】根据黄金分割的定义得到P A2＝PB•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1＝P A2，S2＝PB•AB，即可得到S1＝S2．【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，∴P A2＝PB•AB，又∵S1表示P A为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，∴S1＝P A2，S2＝PB•AB，∴S1＝S2．故选：B．【点评】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．16．已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（）A．AB2＝AC•BC B．BC2＝AC•BC C．AC＝BC D．BC＝AC 【分析】根据黄金分割的定义得出＝，从而判断各选项．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，∴＝，即AC2＝BC•AB，故A、B错误；∴AC＝AB，故C错误；BC＝AC，故D正确；故选：D．【点评】本题主要考查黄金分割，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．17．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定【分析】根据黄金分割的定义得到BC2＝AC•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1＝BC2，S2＝AC•AB，即可得到S1＝S2．【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，∴BC2＝AC•AB，∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，∴S1＝BC2，S2＝AC•AB，∴S1＝S2．故选：B．【点评】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．二．填空题（共15小题）18．若一本书的宽与长之比等于黄金比，且长为30cm，则宽为15﹣15 cm．（结果保留根号）【分析】根据黄金分割的定义得到这本书的宽＝长×，然后进行计算即可．【解答】解：根据题意得：这本书的宽＝30×＝（15﹣15）cm．故答案为：15﹣15．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB 黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．19．已知点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝1，AP＞BP，那么AP＝【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：∵点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝1cm，AP＞BP，∴AP＝×1＝．故答案为：．【点评】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的定义是解题的关键．20．把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为﹣1．【分析】设分成的较长的线段长为x，根据黄金分割的定义得出方程2（2﹣x）＝x2，求出方程的解即可．【解答】解：设分成的较长的线段长为x，则2（2﹣x）＝x2，x2+2x﹣4＝0，x＝，x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1（负数不符合题意，舍去），故答案为：﹣1．【点评】本题考查了黄金分割，能熟记黄金分割的定义是解此题的关键．21．已知线段AB＝1，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC＝0.62（精确到0.01）【分析】由于点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），根据黄金分割的定义得到AC＝AB，然后把AB＝1代入计算即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），∴AC＝AB，而AB＝1，∴AC＝×1≈0.62．故答案为：0.62．【点评】本题主要考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，那么这个点就是这条线段的黄金分割点，难度适中．22．已知点P是线段AB的黄金分割点，AB＝4厘米，则较短线段AP的长是6﹣2厘米．【分析】根据黄金比是计算．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴较长线段BP＝×4＝2﹣2（厘米），∴较短线段AP＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2（厘米），故答案为：6﹣2．【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金分割的概念，黄金比是是解题的关键．23．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是3﹣3．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：由于P为线段AB＝6的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝6×＝3﹣3．故答案为：3﹣3．【点评】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．24．从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约61.8cm，下身长约94cm，她要穿约6cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到1cm）．【分析】设她要穿xcm的高跟鞋，根据题意列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设她要穿xcm的高跟鞋，由题意得，＝0.618，解得x＝6，故答案为：6．【点评】本题考查的是黄金分割的知识，根据题意列出方程是解题的关键，注意要准确找出等量关系．25．如图，若点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝8，则BC的长为12﹣4．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．【解答】解：由题意知：BC＝，故答案为：12﹣4【点评】此题考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算．26．一个诺大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为10米，那么，主持人到较近的一侧应为（15﹣5）米．【分析】根据黄金比为进行计算，即可得到答案．【解答】解：如图，设舞台AB的长度为10米，C是黄金分割点，AC＞BC，则AC＝AB＝5（﹣1）米，∴BC＝AB﹣AC＝10﹣5（﹣1）＝15﹣5米，故答案为：15﹣5．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值0.618叫做黄金比．27．如图，在五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，CD＝1，则AB的长是+2．【分析】利用黄金分割的定义得到AC＝AB，BD＝AB，然后利用AC+BD＝AB+CD进行计算．【解答】解：∵C、D两点都是AB的黄金分割点，∴AC＝AB，BD＝AB，∴AC+BD＝（﹣1）AB，即AB+CD＝（﹣1）AB，∴AB＝+2．故答案为+2．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB 黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．28．如图，已知点C、D是线段AB的两个黄金分割点，若线段AB的长10厘米，则线段CD长（10﹣20）厘米．【分析】根据黄金分割的定义得到AD＝BC＝AB＝5﹣5，然后利用CD ＝AD+C﹣AB进行计算．【解答】解：∵点C、D是线段AB的两个黄金分割点，∴AD＝BC＝AB＝×10＝5﹣5，∴CD＝AD+C﹣AB＝10﹣10﹣10＝（10﹣20）cm．故答案为（10﹣20）．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB 黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．29．设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高x m，列方程，并化成一般形式是x2﹣6x+4＝0．【分析】设雕像的上部高x m，则下部长为（2﹣x）m，然后根据题意列出方程即可．【解答】解：设雕像的上部高x m，则题意得：，整理得：x2﹣6x+4＝0，故答案为：x2﹣6x+4＝0【点评】本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大．30．已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP的长为6﹣2．【分析】根据黄金分割点的定义和AP＜BP得出PB＝AB，代入数据即可得出BP的长度．【解答】解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，且AP＜BP，则BP＝×4＝（2 ﹣2）cm．∴AP＝4﹣BP＝6﹣2故答案为：（6﹣2）cm．【点评】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．31．已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，那么AP长为（﹣1）厘米．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，得出AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：∵P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，∴P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，∴AP＝AB＝2×＝（﹣1）厘米．故答案为（﹣1）．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．32．已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP 的长是（2﹣2）cm．【分析】根据黄金分割的概念得到MP＝MN，把MN＝4cm代入计算即可．【解答】解：∵P是线段MN的黄金分割点，∴MP＝MN，而MN＝4cm，∴MP＝4×＝（2﹣2）cm．故答案为（2﹣2）．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．三．解答题（共8小题）33．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图1，我们已经学过，点C将线段AB分成两部分，如果AC：AB＝BC：AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A ＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC＝∠C＝72°，∠ABD＝∠CBD＝36°，∠BDC＝72°，则可得到AD＝BD＝BC，然后根据相似三角形的判定方法易得△BDC∽△ABC，利用相似比得到BC2＝CD•AC，于是有AD2＝CD•AC，则可根据线段黄金分割点的定义得到结论；（2）设AD＝x，则CD＝AC﹣AD＝1﹣x，由（1）的结论得到x2＝1﹣x，然后解方程即可得到AD的长．【解答】（1）证明：∵AB＝AC＝1，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴DA＝DB，BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC＝CD：BC，即BC2＝CD•AC，∴AD2＝CD•AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）解：设AD＝x，则CD＝AC﹣AD＝1﹣x，∵AD2＝CD•AC，∴x2＝1﹣x，解得x1＝，x2＝，即AD的长为．【点评】本题考查了黄金分割，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．34．小明同学遇到两个数学问题：问题一，一个数x加上这个数的倒数，和为1，试求这个数．问题二，一个数y减去这个数的倒数，差为1，试求这个数．（1）在探索问题一时，进行了以下操作：依题意，列出方程x+＝1，化简得x2﹣x+1＝0，。
苏科版初中数学九年级下册《6.2 黄金分割》同步练习卷
苏科新版九年级下学期《6.2 黄金分割》同步练习卷一．选择题（共17小题）1．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算﹣1的值（）A．在1.1和1.2之间B．在1.2和1.3之间C．在1.3和1.4之间D．在1.4和1.5之间2．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．不能确定3．下列说法正确的是（）A．每条线段有且仅有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BCD．以上说法都不对4．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c＝a+x（b﹣a），这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得，据此可得，最佳乐观系数x的值等于（）A．B．C．D．5．如果△ABC中，AB＝AC，BC＝AB，那么∠A的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．60°6．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于（）A．﹣1B．3﹣C．D．﹣1或3﹣7．下列说法：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a、c异号时，方程一定有实数根；②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2；③若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝﹣4或1；④数4和9的比例中项是6；⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5﹣5．其中正确的说法的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．如图，点B在线段AC上，且，设AC＝2，则AB的长为（）A．B．C．D．9．如果一个矩形的宽（即短边）与长（即长边）之比是，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，矩形ABCD是黄金矩形，点E、F、G、H分别为线段AD、BC、AB、EF的中点，则图中黄金矩形的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个10．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（）①AC＝AB，②AC＝AB，③AB：AC＝AC：BC，④AC≈0.618ABA．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AC＝AB＝2，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE，使点E在边AC上，DE交AB于点F，则△AFE与△DBF 的面积之比等于（）A．B．C．D．12．一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为（）A．（7+7）cm B．（21﹣7）cm C．（7﹣7）cm D．（7﹣21）cm 13．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则有（）A．AB2＝AP•PB B．AP2＝BP•ABC．BP2＝AP•AB D．AP•AB＝PB•AP14．若线段AB＝cm，C是线段AB的一个黄金分割点，则线段AC的长（）A．B．C．或D．或15．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，若S1表示以P A为边的正方形的面积，S2表示以PD，PB为边的矩形的面积，且PD＝AB，则S1与S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．无法确定16．已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（）A．AB2＝AC•BC B．BC2＝AC•BC C．AC＝BC D．BC＝AC 17．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定二．填空题（共15小题）18．若一本书的宽与长之比等于黄金比，且长为30cm，则宽为cm．（结果保留根号）19．已知点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝1，AP＞BP，那么AP＝20．把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为．21．已知线段AB＝1，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC＝（精确到0.01）22．已知点P是线段AB的黄金分割点，AB＝4厘米，则较短线段AP的长是厘米．23．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是．24．从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约61.8cm，下身长约94cm，她要穿约cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到1cm）．25．如图，若点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝8，则BC的长为．26．一个诺大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为10米，那么，主持人到较近的一侧应为米．27．如图，在五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，CD＝1，则AB的长是．28．如图，已知点C、D是线段AB的两个黄金分割点，若线段AB的长10厘米，则线段CD长厘米．29．设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高x m，列方程，并化成一般形式是．30．已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP的长为．31．已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，那么AP长为厘米．32．已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP 的长是cm．三．解答题（共8小题）33．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图1，我们已经学过，点C将线段AB分成两部分，如果AC：AB＝BC：AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A ＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．34．小明同学遇到两个数学问题：问题一，一个数x加上这个数的倒数，和为1，试求这个数．问题二，一个数y减去这个数的倒数，差为1，试求这个数．（1）在探索问题一时，进行了以下操作：依题意，列出方程x+＝1，化简得x2﹣x+1＝0，于是小明认为这个数不存在，请帮小明证明这个数不存在．（2）在探索问题二时，进行了以下操作：依题意，列出方程y﹣＝1，变形得y＝1+＝1+＝1+＝1+于是得到形如1+这样的数，我们称之为连分数．如果设一条线段AB的长度设为1，点M是这条线段的黄金分割点，设其中较短的线段的长度为z，试将z表示为连分数的形式．35．如果一个矩形的宽与长的比值为，则称这个矩形为黄金矩形，如图，将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．36．已知：如图，线段AB＝2，BD⊥AB于点B，且BD＝AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE．求证：点C是线段AB的黄金分割点．37．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE＝BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．38．如果一个矩形的宽长之比（﹣1）：2时，则称这个矩形是黄金矩形，如图所示，四边形ABCD是黄金矩形且＝，将矩形ABCD剪裁掉一个正方形ADEF后，剩余的四边形BCEF是否是黄金矩形？请说明理由．39．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD．（1）求证：BC2＝AC•CD；（2）求∠ABD的度数．40．在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D （1）求证：AD2＝AC•CD；（2）求线段AD的长．苏科新版九年级下学期《6.2 黄金分割》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算﹣1的值（）A．在1.1和1.2之间B．在1.2和1.3之间C．在1.3和1.4之间D．在1.4和1.5之间【分析】根据≈2.236，可得答案．【解答】解：∵≈2.236，∴﹣1≈1.236，故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用≈2.236是解题关键．2．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．不能确定【分析】设正方形ABCD的边长为2a，根据勾股定理求出BE，求出EF，求出AF，再根据面积公式求出S1、S2即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAB＝90°，设正方形ABCD的边长为2a，∵E为AD的中点，∴AE＝a，在Rt△EAB中，由勾股定理得：BE＝＝＝a，∵EF＝BE，∴EF＝a，∴AF＝EF﹣AE＝a﹣a＝（﹣1）a，即AF＝AH＝（﹣1）a∴S1＝AF×AH＝（﹣1）a×（﹣1）a＝6a2﹣2a2，S2＝S正方形ABCD﹣S长方形ADIH＝2a×2a﹣2a×（﹣1）a＝6a2﹣2a2，即S1＝S2，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理和正方形的性质，能熟记正方形的性质是解此题的关键，注意：正方形的每个角都是90°，正方形的四边都相等．3．下列说法正确的是（）A．每条线段有且仅有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BCD．以上说法都不对【分析】根据黄金分割的定义分别进行解答即可．【解答】解：A、每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误；B、黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍，正确；C、若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC，不正确，有可能BC2＝AB•AC；故选：B．【点评】此题考查黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．4．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c＝a+x（b﹣a），这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得，据此可得，最佳乐观系数x的值等于（）A．B．C．D．【分析】根据题设条件，由，知[x（b﹣a）]2＝（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，由此能求出最佳乐观系数x的值．【解答】解：∵c﹣a＝x（b﹣a），b﹣c＝（b﹣a）﹣x（b﹣a），，∴[x（b﹣a）]2＝（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，∴x2+x﹣1＝0，解得x＝，∵0＜x＜1，∴x＝．故选：D．【点评】本题考查黄金分割的应用，解题时要注意一元二次方程的求解方法．5．如果△ABC中，AB＝AC，BC＝AB，那么∠A的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．60°【分析】如图，在AC上截取AD＝BC，连接BD．想办法证明△BCD∽△ACB，推出∠ABC＝∠C＝2∠A即可解决问题；【解答】解：如图，在AC上截取AD＝BC，连接BD．∵BC＝AB，AD＝BC，∴AD＝AB，∴点D是线段AC的黄金分割点，∴AD2＝CD•CA，∴BC2＝CD•CA，∴＝，∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB，∴∠BDC＝∠ABC，∠DBC＝∠A，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，设∠A＝x，则∠ABC＝∠A＝2x，∴x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，故选：B．【点评】本题考查黄金分割．等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．6．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于（）A．﹣1B．3﹣C．D．﹣1或3﹣【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：根据黄金分割点的概念得：AC＝AB＝（﹣1）cm．故选：A．【点评】考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值．7．下列说法：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a、c异号时，方程一定有实数根；②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2；③若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝﹣4或1；④数4和9的比例中项是6；⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5﹣5．其中正确的说法的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①利用判别式的值即可判断；②根据方程的解的定义即可解决问题；③根据最简二次根式是定义即可判断；④根据比例中项的定义即可解决问题；⑤根据黄金分割的定义即可解决问题；【解答】解：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a、c异号时，方程一定有实数根；正确，此时△＞0；②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2；正确；③若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝﹣4或1；错误，x＝﹣4不符合题意，不是最简二次根式；④数4和9的比例中项是6；错误，数4和9的比例中项是±6，⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5﹣5．错误，若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5﹣5或BC＝5﹣5．故选：C．【点评】本题考查黄金分割、最简二次根式、同类二次根式、一元二次方程的根的判别式、方程的解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．如图，点B在线段AC上，且，设AC＝2，则AB的长为（）A．B．C．D．【分析】根据题意列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：∵，∴AB2＝2×（2﹣AB），∴AB2+2AB﹣4＝0，解得，AB1＝，AB2＝（舍去），故选：C．【点评】本题考查的是黄金分割的概念以及黄金比值，掌握一元二次方程得到解法、理解黄金分割的概念是解题的关键．9．如果一个矩形的宽（即短边）与长（即长边）之比是，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，矩形ABCD是黄金矩形，点E、F、G、H分别为线段AD、BC、AB、EF的中点，则图中黄金矩形的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】根据黄金矩形的判定解答．【解答】解：∵矩形ABCD是黄金矩形．点E、F、G、H分别为线段AD、BC、AB、EF的中点，∴图中黄金矩形有矩形AEGH，矩形GHFB，故选：C．【点评】本题考查的是黄金矩形的判定，掌握黄金矩形的判定是解题的关键．10．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（）①AC＝AB，②AC＝AB，③AB：AC＝AC：BC，④AC≈0.618ABA．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可．【解答】解：∵点C数线段AB的黄金分割点，∴AC＝AB，①正确；AC＝AB，②错误；BC：AC＝AC：AB，③正确；AC≈0.618AB，④正确．故选：C．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，掌握把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比是解题的关键．11．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AC＝AB＝2，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE，使点E在边AC上，DE交AB于点F，则△AFE与△DBF 的面积之比等于（）A．B．C．D．【分析】首先证明BD∥AE，可得△AEF∽△BDF，推出＝（）2，想办法求出即可解决问题；【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BC＝BE，∴∠C＝∠BEC＝72°，∴∠EBC＝36°，∴∠ABE＝∠A＝36°，∵∠DBE＝72°，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴BD∥AE，∴△AEF∽△BDF，∴＝（）2，设BC＝BE＝AE＝x，∵∠C＝∠C，∠CBE＝∠A，∴△CBE∽△CAB，∴BC2＝CE•CA，∴x2＝（2﹣x）2，∴x2+2x﹣4＝0，∴x＝﹣1+，或x＝﹣1﹣，∴＝（）2＝故选：C．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．12．一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为（）A．（7+7）cm B．（21﹣7）cm C．（7﹣7）cm D．（7﹣21）cm 【分析】根据黄金比值是计算即可．【解答】解：由黄金比值可知，这本书的长＝＝（7+7）cm，故选：A．【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．13．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则有（）A．AB2＝AP•PB B．AP2＝BP•ABC．BP2＝AP•AB D．AP•AB＝PB•AP【分析】由AP＞BP知P A是较长线段，根据黄金分割点的定义，则AP2＝BP•AB．【解答】解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2＝BP•AB．故选：B．【点评】本题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段即可．14．若线段AB＝cm，C是线段AB的一个黄金分割点，则线段AC的长（）A．B．C．或D．或【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：由于AC可能是较长的线段，也可能是较短的线段，∴AC＝×＝cm或AC＝﹣（）＝（）cm．故选：C．【点评】考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比计算．这里主要注意AC可能是较长线段，也可能是较短线段．15．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，若S1表示以P A为边的正方形的面积，S2表示以PD，PB为边的矩形的面积，且PD＝AB，则S1与S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．无法确定【分析】根据黄金分割的定义得到P A2＝PB•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1＝P A2，S2＝PB•AB，即可得到S1＝S2．【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，∴P A2＝PB•AB，又∵S1表示P A为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，∴S1＝P A2，S2＝PB•AB，∴S1＝S2．故选：B．【点评】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．16．已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（）A．AB2＝AC•BC B．BC2＝AC•BC C．AC＝BC D．BC＝AC 【分析】根据黄金分割的定义得出＝，从而判断各选项．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，∴＝，即AC2＝BC•AB，故A、B错误；∴AC＝AB，故C错误；BC＝AC，故D正确；故选：D．【点评】本题主要考查黄金分割，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．17．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定【分析】根据黄金分割的定义得到BC2＝AC•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1＝BC2，S2＝AC•AB，即可得到S1＝S2．【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，∴BC2＝AC•AB，∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，∴S1＝BC2，S2＝AC•AB，∴S1＝S2．故选：B．【点评】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．二．填空题（共15小题）18．若一本书的宽与长之比等于黄金比，且长为30cm，则宽为15﹣15 cm．（结果保留根号）【分析】根据黄金分割的定义得到这本书的宽＝长×，然后进行计算即可．【解答】解：根据题意得：这本书的宽＝30×＝（15﹣15）cm．故答案为：15﹣15．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB 黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．19．已知点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝1，AP＞BP，那么AP＝【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：∵点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝1cm，AP＞BP，∴AP＝×1＝．故答案为：．【点评】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的定义是解题的关键．20．把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为﹣1．【分析】设分成的较长的线段长为x，根据黄金分割的定义得出方程2（2﹣x）＝x2，求出方程的解即可．【解答】解：设分成的较长的线段长为x，则2（2﹣x）＝x2，x2+2x﹣4＝0，x＝，x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1（负数不符合题意，舍去），故答案为：﹣1．【点评】本题考查了黄金分割，能熟记黄金分割的定义是解此题的关键．21．已知线段AB＝1，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC＝0.62（精确到0.01）【分析】由于点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），根据黄金分割的定义得到AC＝AB，然后把AB＝1代入计算即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），∴AC＝AB，而AB＝1，∴AC＝×1≈0.62．故答案为：0.62．【点评】本题主要考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，那么这个点就是这条线段的黄金分割点，难度适中．22．已知点P是线段AB的黄金分割点，AB＝4厘米，则较短线段AP的长是6﹣2厘米．【分析】根据黄金比是计算．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴较长线段BP＝×4＝2﹣2（厘米），∴较短线段AP＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2（厘米），故答案为：6﹣2．【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金分割的概念，黄金比是是解题的关键．23．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是3﹣3．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：由于P为线段AB＝6的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝6×＝3﹣3．故答案为：3﹣3．【点评】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．24．从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约61.8cm，下身长约94cm，她要穿约6cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到1cm）．【分析】设她要穿xcm的高跟鞋，根据题意列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设她要穿xcm的高跟鞋，由题意得，＝0.618，解得x＝6，故答案为：6．【点评】本题考查的是黄金分割的知识，根据题意列出方程是解题的关键，注意要准确找出等量关系．25．如图，若点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝8，则BC的长为12﹣4．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．【解答】解：由题意知：BC＝，故答案为：12﹣4【点评】此题考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算．26．一个诺大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为10米，那么，主持人到较近的一侧应为（15﹣5）米．【分析】根据黄金比为进行计算，即可得到答案．【解答】解：如图，设舞台AB的长度为10米，C是黄金分割点，AC＞BC，则AC＝AB＝5（﹣1）米，∴BC＝AB﹣AC＝10﹣5（﹣1）＝15﹣5米，故答案为：15﹣5．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值0.618叫做黄金比．27．如图，在五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，CD＝1，则AB的长是+2．【分析】利用黄金分割的定义得到AC＝AB，BD＝AB，然后利用AC+BD＝AB+CD进行计算．【解答】解：∵C、D两点都是AB的黄金分割点，∴AC＝AB，BD＝AB，∴AC+BD＝（﹣1）AB，即AB+CD＝（﹣1）AB，∴AB＝+2．故答案为+2．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB 黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．28．如图，已知点C、D是线段AB的两个黄金分割点，若线段AB的长10厘米，则线段CD长（10﹣20）厘米．【分析】根据黄金分割的定义得到AD＝BC＝AB＝5﹣5，然后利用CD ＝AD+C﹣AB进行计算．【解答】解：∵点C、D是线段AB的两个黄金分割点，∴AD＝BC＝AB＝×10＝5﹣5，∴CD＝AD+C﹣AB＝10﹣10﹣10＝（10﹣20）cm．故答案为（10﹣20）．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB 黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．29．设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高x m，列方程，并化成一般形式是x2﹣6x+4＝0．【分析】设雕像的上部高x m，则下部长为（2﹣x）m，然后根据题意列出方程即可．【解答】解：设雕像的上部高x m，则题意得：，整理得：x2﹣6x+4＝0，故答案为：x2﹣6x+4＝0【点评】本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大．30．已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP的长为6﹣2．【分析】根据黄金分割点的定义和AP＜BP得出PB＝AB，代入数据即可得出BP的长度．【解答】解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，且AP＜BP，则BP＝×4＝（2 ﹣2）cm．∴AP＝4﹣BP＝6﹣2故答案为：（6﹣2）cm．【点评】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．31．已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，那么AP长为（﹣1）厘米．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，得出AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：∵P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，∴P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，∴AP＝AB＝2×＝（﹣1）厘米．故答案为（﹣1）．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．32．已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP 的长是（2﹣2）cm．【分析】根据黄金分割的概念得到MP＝MN，把MN＝4cm代入计算即可．【解答】解：∵P是线段MN的黄金分割点，∴MP＝MN，而MN＝4cm，∴MP＝4×＝（2﹣2）cm．故答案为（2﹣2）．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．三．解答题（共8小题）33．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图1，我们已经学过，点C将线段AB分成两部分，如果AC：AB＝BC：AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A ＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC＝∠C＝72°，∠ABD＝∠CBD＝36°，∠BDC＝72°，则可得到AD＝BD＝BC，然后根据相似三角形的判定方法易得△BDC∽△ABC，利用相似比得到BC2＝CD•AC，于是有AD2＝CD•AC，则可根据线段黄金分割点的定义得到结论；（2）设AD＝x，则CD＝AC﹣AD＝1﹣x，由（1）的结论得到x2＝1﹣x，然后解方程即可得到AD的长．【解答】（1）证明：∵AB＝AC＝1，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴DA＝DB，BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC＝CD：BC，即BC2＝CD•AC，∴AD2＝CD•AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）解：设AD＝x，则CD＝AC﹣AD＝1﹣x，∵AD2＝CD•AC，∴x2＝1﹣x，解得x1＝，x2＝，即AD的长为．【点评】本题考查了黄金分割，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．34．小明同学遇到两个数学问题：问题一，一个数x加上这个数的倒数，和为1，试求这个数．问题二，一个数y减去这个数的倒数，差为1，试求这个数．（1）在探索问题一时，进行了以下操作：依题意，列出方程x+＝1，化简得x2﹣x+1＝0，。
6.2《黄金分割》同步练习精品(苏科版)
黄金分割一．选择题（共12小题）1．下列说法不正确的是（）A．对角线互相垂直平分且有一个角为直角的四边形是正方形B．3x2﹣4x+1＝0的两根之和为43C．若点P是线段AB的黄金分割点（P A＞PB），则P A=√5−12ABD．当a+c＝b时，一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为12．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP．记以AP为一边的正方形面积为S1，以BP、AB为邻边矩形的面积为S2，则（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．S1、S2大小不能确定3．《周髀算经》原名《周髀》，是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世纪，主要阐明当时的盖天说和四分历法．唐初规定它为国子朱实监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（）A．黄金分割B．垂径定理C．余弦定理D．勾股定理4．黄金分割数√5−12是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算√5−1的值（）A．在1.1和1.2之间B．在1.2和1.3之间C．在1.3和1.4之间D．在1.4和1.5之间5．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（）A．BCAC =ACABB．BC2＝AB•AC C．ACAB=√5−12D．BCAC≈0.6186．如图，在黄金矩形ABCD中，四边形ABFG、GHED均为正方形，ABAD =CEDE，现将矩形ABCD沿AE向上翻折，得四边形AEC'B'，连接BB'，若AB＝2，则线段BB'的长度为（）A．2√15+2√33B．√15+√33C．2 D．3+√527．黄金分割比在实际生活中有广泛的应用，比如在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为2m，它的下部为x米，则下列关于x的方程正确的是（）A．x2+2x﹣4＝0 B．x2﹣2x﹣4＝0 C．x2﹣6x+4＝0 D．x2﹣6x﹣4＝08．如图，已知线段AB，过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC=12AB；连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点D；再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点P，则APAB的值是（）A．√5−12B．√5+12C．3−√52D．√229．如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB ＝1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长（）A．k2018B．k2019C．k20182+kD．k2019（2+k）10．已知点P是线段MN的黄金分割点（MP＞PN），如果线段MN＝4，那么MP的长是（）A ．√5−1B ．3−√5C ．2√5−1D ．2√5−211．已知如图，线段AB ＝60，AD ＝13，DE ＝17，EF ＝7，请问在D ，E ，F ，三点中，哪一点最接近线段AB 的黄金分割点（ ）A ．D 点B ．E 点C ．F 点D ．D 点或F 点12．如图，线段AB ＝1，点P 1是线段AB 的黄金分割点（且AP 1＜BP 1，即P 1B 2=AP 1⋅AB ），点P 2是线段AP 1的黄金分割点（AP 2＜P 1P 2），点P 3是线段AP 2的黄金分割点（AP 3＜P 2P 3），…，依此类推，则线段AP 2020的长度是（ ）A ．(3−√52)2020B ．(√5−12)2020C ．(12)2020D ．(√5−2)1010二．填空题（共10小题）13．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且较长的线段AP 的长等于10厘米，那么较短的线段BP 的长为 厘米．14．A 、B 两点都在反比例函数y =kx （k ＞0）位于第一象限内的图象上，过A 、B 两点分别作坐标轴的垂线，垂足分别为C 、D 和E 、F ，设AC 与BF 交于点G ，已知四边形OCAD 和CEBG 都是正方形．设FG 、OC 的中点分别为P 、Q ，连接PQ ．给出以下结论：①四边形ADFG 为黄金矩形；②四边形OCGF 为黄金矩形；③四边形OQPF 为黄金矩形，以上结论中，正确的是 ．15．如图，已知舞台AB 长10米，如果报幕员从点A 出发站到舞台的黄金分割点P 处，且AP ＜BP ，那么报幕员应走 米报幕．16．线段AB为80cm，点C为线段AB的黄金分割点，线段AC的长度为．17．在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约cm的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）18．把10cm长的线段进行黄金分割后得两条线段，其中较长的线段的长为cm．19．已知线段AB＝10cm，点C是线段AB的黄金分割点，则较长线段AC＝（精确到0.1cm）．20．相邻两边长的比值是黄金比的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于厘米．（保留根号）21．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝．22．若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，若AB＝10，则BC＝．三．解答题（共7小题）23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AB2＝BD•BC（1）求证：△ABC∽△DBA；（2）试证明CA＝CD；（要求：证明过程注明理由）24．如图，点R是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AR＞RB，S1表示AR为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BR为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，求S3：S2的值．25．（1）已知a2=b3≠0，求代数式5a−2ba+2b的值；（2）已知线段AB＝10cm，点C、点D是线段AB的两个不同黄金分割点，求C、D之间的距离．26．如图，在矩形ABCD中，CD＝2，AD＝4，点P在BC上，将△ABP沿AP折叠，点B恰好落在对角线AC上的E点，O为AC上一点，⊙O经过点A，P（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）在边CB上截取CF＝CE，点F是线段BC的黄金分割点吗？请说明理由．27．若等腰三角形的顶角为36°，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．（1）如图1，写出图中所有的黄金三角形，并证明；（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB，AC于点N，E，如图2，试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．28．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE＝BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．29．如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果ACAB =BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果S1 S =S2S1，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图2，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠C的平分线交AB于点D．（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．。
专题07-黄金分割-同步学与练-(含解析)数学苏科版九年级下册
专题07黄金分割（2个知识点2种题型1个中考考点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.黄金分割（重点）知识点2.黄金矩形（拓展）【方法二】实例探索法题型1.与黄金分割有关的计算题型2.黄金分割的实际应用【方法三】仿真实战法考法：利用黄金分割的概念计算【方法四】成果评定法【学习目标】1.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割、黄金比、黄金分割点、黄金矩形的定义．2.会一条线段的黄金分割点．3.了解黄金分割在生活中的应用，会运用黄金比解决实际问题．【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.黄金分割（重点）黄金分割：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （如图AC BC >），如果AC BC AB AC=，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中0.618AC AB =≈，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．）注意！！！一条线段有两个黄金分割点，因此，一般说点P 是线段AB 的黄金分割点时，需加注 AP PB >或AP ＜ BP ，否则在已知AB 的长度求AP （或BP ）的长度时，会有两种情况，此时应分情况讨论．【例1】1．已知线段AB 的长度为l ，点P 在线段上，PB AP AP AB=，求线段AP 的长．【变式1】2．（1）点P 是线段AB 的黄金分割点，AP BP >，6AB =厘米，求BP 的长；（2）已知点P 是线段AB 的黄金分割点，1AB =，求AP 的值．【变式2】3．如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ．在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =．以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．(1)求线段AM 、DM 的长；(2)求证：2AM AD DM =⋅；(3)请指出图中的黄金分割点．知识点2.黄金矩形（拓展）【例2】4的矩形叫黄金矩形．如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．【变式】．（绵阳）5．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD 的底边BC 取中点E ，以E 为圆心，线段DE 为半径作圆，其与底边BC 的延长线交于点F ，这样就把正方形ABCD 延伸为矩形ABFG ，称其为黄金矩形．若4CF a =，则AB =（ ）．A ．)1a -B ．()2aC ．)1aD ．()2a 【方法二】实例探索法题型1.与黄金分割有关的计算（芦溪县期中）6．已知线段AB 的长度为2，点C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长度为（ ）A B C 1或3D 2（瑞安市期末）7．已知P 为线段AB 的黄金分割点，4AB =，AP BP >，则AP 的长为（ ）A ．2B ．4C ．1D ．6-题型2.黄金分割的实际应用（安庆期中）8．大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P 为AB 的黄金分割点（AP PB >），如果AP 的长度为10cm ，那么AB 的长度是（ ）A ．5B ．15-C ．5D ．15+（沈河区期末）9．如图，冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，它泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，若玩偶身高6cm ，则玩偶嘴巴到脚的距离是（ ）A ．3)cmB C D ．(9-（天长市期中）10．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，点B 为AC 的黄金分割点（AB BC >），若100AC =cm ，则BC 约为（ ）A ．42cmB ．38cmC ．62cmD ．70cm（酒泉期中）11．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（ ）米．A ．4.14B ．2.56C ．6.70D ．3.82【方法三】 仿真实战法考法：利用黄金分割的概念计算（黄石）12．关于x 的一元二次方程210x mx +-=，当1m =时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．(1)求黄金分割数；(2)已知实数a ，b 满足：221,24a ma b mb +=-=，且2b a ≠-，求ab 的值；(3)已知两个不相等的实数p ，q 满足：2211p np q q nq p +-=+-=,，求pq n -的值．【方法四】 成果评定法一．选择题（共8小题）（杨浦区期末）13．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，那么下列比例式能成立的是( )A ．AB AP AP BP =B ．AB BP AP AB =C ．BP AB AP BP =D ．AB AP =（开化县模拟）14．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高 165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm（会同县期末）15．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是（ ）cm ．A ．4-B ．4C ．4+D ．4-（八步区期中）16．若线段MN 的长为1cm ，点P 是线段MN 的黄金分割点，MP NP >，则较长的线段MP 的长为（ ）A ．1)cmB ．(3CD （鄞州区期中）17．点P ，点Q 是线段AB 的黄金分割点，若2AB =，则PQ 长度是（ ）A ．1B ．C ．4-D （福鼎市期中）18．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段AB 为边作正方形ABCD ，取AD 的中点E ，连接BE ，延长DA 至F ，使得EF BE =，以AF 为边作正方形AFGH ，则点H 即是线段AB 的黄金分割点．若记正方形AFGH 的面积为1S ，矩形BCIH 的面积为2S ，则1S 与2S 的比值是（ ）A B C D ．1（盐湖区校级期中）19．如图，正五边形ABCDE 的几条对角线的交点分别为,,,,M N P Q R ，它们分别是所在对角线的黄金分割点．若2AB =，则MN 的长为（ ）A ．3B ．3C 1D 1（和平区期末）20．如果一个等腰三角形的顶角为36︒，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在ABC 中，1AB AC ==，36A ∠=︒，ABC 看作第一个黄金三角形；作ABC ∠的平分线BD ，交AC 于点D ，BCD △看作第二个黄金三角形；作BCD ∠的平分线CE ，交BD 于点E ，CDE 看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（ ）A ．2023B ．2024C ．2023D ．2024二．填空题（共8小题）（沈北新区校级月考）21．如果点C 是线段AB 的黄金分割点，2cm =AC ，AC BC >，那么AB 的长为 ．（平川区校级期末）22．若点P 为线段AB 的黄金分割点，且AP BP <，10BP =，则AP = ．（吉安期中）23．如图，线段10cm AB =，点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，设以AC 为边的正方形的面积为1S ，以BC 为一边，AB 长为另一边的矩形BCFG 的面积为21S S ， 2S （填：“>”、“=”或“<”）．（高港区期中）24．我们把宽与长的比是1):2的矩形叫做黄金矩形，从外形看它最具美感．小明想制作一张“黄金矩形”的贺卡，已知贺卡长为20cm ，那么贺卡的宽为 cm ．（结果保留根号）．（朝阳一模）25．如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB 的长为20米，主持人站在点C 处自然得体，已知点C 是线段AB 上靠近点B 的黄金分割点，则此时主持人与点A 的距离为 米．（徐汇区期末）26．已知点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >，如果2AB =，那么BP 的长是 ．（达州）27．如图，乐器上的一根弦80cm AB =，两个端点,A B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，,C D 之间的距离为 ．（天府新区期中）28．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD 的底边BC 取中点E ，以E 为圆心，线段DE 为半径作圆，其与底边BC 的延长线交于点F ，这样就把正方形ABCD 延伸为矩形ABFG ，称其为黄金矩形．若4CF a =，则AB = ．三．解答题（共5小题）（市南区校级期中）29．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点，AC BC >，计算线段AB 的黄金比AC AB 的值．（瑞安市期中）30．（1）已知 4.5a =，2b =，c 是a ，b 的比例中项，求c ；（2）如图，C 是AB 的黄金分割点，且AC BC >，4AB =，求AC 的长．（金安区校级期中）31．已知顶角为36︒的等腰三角形称为黄金三角形（底边与腰的比值为黄金分割比），如图，ABC ，BDC ，DEC 都是黄金三角形，已知36A ∠=︒，1AB =，求DE 的长度．（上城区校级期中）32．如图所示，以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．(1)求,AM DM 的长；(2)点M 是AD 的黄金分割点吗？为什么？（兰山区期中）33．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计多高？参考答案：1．AP=【分析】由题意得点P是线段AB的黄金分割点，再列式计算即可．=，【详解】解： 点P在线段AB上，PB APAP AB∴点P是线段AB的黄金分割点，且AP BP>，PB AP∴==AP AB线段AB的长度为l，AP∴．【点睛】本题考查了黄金分割点的定义，解题的关键是掌握黄金分割的几何含义并熟记其比值．2．（1）(9BP=-厘米；（2）2AP=或1AP=-．【分析】（1）根据条件建立等式AP AB=，求解即可；（2然后建立等式求解．【详解】解：（1）根据黄金分割点定义，且AP BP>，可知AP AB=，此时(BP AB69===-厘米；（2故2AP ABAP=．==或1【点睛】本题考查了黄金分割点，解题的关键是注意黄金分割点和黄金分割的区别，一条线段的黄金分割点有两个，满足黄金分割黄金比的只有一个．3．(1)1DM=AM=-，3(2)见解析(3)见解析【分析】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．（1）要求AM 的长，只需求得AF 的长，又AF PF AP =-，PF PD =，则1,3AM AF DM AD AM ===-=（2）根据（1）所求分别求出2AM AD DM ⋅，的值即可证明结论；（3）根据（1）中的数据得：AM AD M 是AD 的黄金分割点．【详解】（1）解：在Rt APD 中，1,2AP AD ==，由勾股定理知：PD∴1AM AF PF AP PD AP ==-=-=，∴3DM AD AM =-=（2）证明：由（1）得)(2216236AM AD DM ==-⋅=⨯=-∴2AM AD DM =⋅；（3）解：∵AM AD =∴点M 是AD 的黄金分割点．4．是；见解析【分析】本题主要考查了黄金分解的定义，根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可得出答案．【详解】解：是，证明如下：∵四边形ABEF 是正方形，∴AB AF =，∵四边形ABCD 是矩形 ，∴AB CD =，∴AF CD =，又∵AB AD =∴AF AD =， 即点F 是AD 的黄金分割点，∴AF AD =，∴DF AD AF AD =-=，∴DF AF =，即DFDC=∴矩形CDEF 是黄金矩形．5．D【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握A BB F =计算即可．【详解】解：设AB x =，四边形ABCD 是正方形，AB BC x ∴==，矩形ABFG 是黄金矩形，A B B F \=4x x a \=+解得：(2x a =+，经检验：(2x a =+是原方程的根，(2A B a \=+，故选：D ．6．C【分析】分AC ＜BC 、AC ＞BC 两种情况，根据黄金比值计算即可．【详解】解：当AC ＜BC 时，∵点C 是线段AB 的黄金分割点，∴1BC AB ==，同理当AC ＞BC 时，1AC AB ==，∴)213BC AB AC =-=-=故选C ．【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线）叫做黄金比．7．A【分析】本题考查了黄金分割的概念．黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值【详解】解： 点P 是线段AB 上的一个黄金分割点，且4AB =，AP BP >，42AP ∴==．故选：A ．8．A【分析】本题考查黄金分割的应用；由黄金分割知：AP AB =，由此可求得AB 的长．【详解】解：∵P 为AB 的黄金分割点，∴AP AB =，即105)cm AB ==+，故选：A ．9．A【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行列式计算即可解答．【详解】解：由题意得玩偶嘴巴到脚的距离为：()63cm =故选：A ．10．B【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可．熟练掌握黄金分割中的比例关系，是解题的关键．【详解】解：由题意，得：0.618ABAC≈，100AC =cm ，∴61.8cm AB ≈，∴38cm BC AC AB =-≈；故选B ．11．A【分析】设整个车身长为AB ，点C 表示倒车镜位置，根据题意，确定BC 的长，继而确定车身长，对照选项判断即可．【详解】如图，设整个车身长为AB ，点C 表示倒车镜位置，根据题意，AC =1.58米,∴BC =1.58÷0.618=2.56米，故车长为1.58+2.56=4.14米，故选:A ．【点睛】本题考查了线段的黄金分割点，准确理解黄金分割点的意义并灵活计算是解题的关键．12．(2)2(3)0【分析】（1）依据题意，将1m =代入然后解一元二次方程210x x +-=即可得解；（2）依据题意，将224b m b -=变形为21022b b m ⎛⎫⎛⎫-+⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可以看作a ，2b -是一元二次方程210x mx +-=的两个根，进而可以得解；（3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得pq ，进而可以得解．【详解】（1）依据题意，将1m =代入210x mx +-=得210x x +-=，解得x =，∵黄金分割数大于0，∴（2）∵224b m b -=，∴2240b m b --=，则21022b b m ⎛⎫⎛⎫-+⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又∵2b a ≠-，∴a ，2b-是一元二次方程210x mx +-=的两个根，则12b a ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，∴2ab =．（3）∵21p np q +-=，21q nq p +-=；∴()()2211p np q nq q p +-++-=+；即()()222p q n p q p q +++-=+；∴()()222p q pq n p q p q +-++-=+．又∵()()2211p np q nq q p +--+-=-；∴()()()22p q n p q p q -+-=--；即()()10p q p q n -+++=．∵p ，q 为两个不相等的实数，∴0p q -≠，则10p q n +++=，∴1p q n +=--．又∵()()222p q pq n p q p q +-++-=+，∴()()212121n pq n n n ---+---=--，即0pq n -=．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．13．A【分析】由于点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，故有AP 2=BP×AB ，那么AB APAP BP=.【详解】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，∴AP2=BP×AB，即AB APAP BP=，故A正确，B、C错误；BP APAP AB==D错误；故答案为A.【点睛】本题考查了黄金分割的知识，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．14．C【分析】本题考查了黄金分割的应用．先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解即可．【详解】根据已知条件得下半身长是1650.6099⨯=，设需要穿的高跟鞋是y，根据黄金分割的定义得：990.618 165yy+=+，解得：8y≈．故选：C．15．B【分析】根据黄金分割的定义得到AP AB，然后把AP的长度代入可求出AB的长．【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP AB，∵AB的长度为8cm，∴AP×8=4（cm）．故选：A．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC 是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC AB．16．C【分析】本题考查了黄金分割．利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．【详解】解： 点P 是线段MN 的黄金分割点，MP NP >，1cm MN =，)cm MP ∴==，故选：C ．17．C【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解答本题的关键．根据黄金分割的定义，得到AQ BP AB AB ==【详解】如图，点P ，点Q 是线段AB 的黄金分割点，若2AB =，∴AQ BP AB AB ==∴1AQ BP ==，∴1124PQ AQ BP AB =+-=---=，故选：C ．18．D【分析】根据H 是AB 的黄金分割点求出2AH BH AB =⋅，求出21S AH =，2S BH BC BH AB =⋅=⋅，再得出答案即可．【详解】解：H 是AB 的黄金分割点，2AH BH AB ∴=⋅，21S AH = ，2S BH BC BH AB =⋅=⋅，12S S ∴=，即121S S =，故选：D ．【点睛】本题考查了黄金分割，能熟记黄金分割的性质是解此题的关键．19．A【分析】本题主要考查了正多边形的相关性质，平行四边形的性质及判定，首先根据正五边形的相关性质判定四边形ABME 为平行四边形，进而求出BM 的长度，再根据黄金分割点进行计算即可得到MN 的长.黄金分割点等相关内容，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键.【详解】解：∵五边形ABCDE 为正五边形∴2AE AB ==，()180521085EAB ABC ︒⨯-∠=∠==︒,∴36AEB ABE ∠=∠=︒同理可得36CBD ∠=︒∴1083672ABD ∠=︒-︒=︒∵10872180EAB ABD ∠+∠=︒+︒=︒∴AE BD同理可证明EC AB ∥∴四边形ABME 为平行四边形∴2EM AB ==,2BM AE ==，同理：2DN =，∵M 、N 为BD 的黄金分割点∴BD =21=+，∴DM BD BM =-=1，∴21)3MN DN DM =-=-＝故选：A ．20．A【分析】本题考查了黄金三角形，规律型等知识；由黄金三角形的定义得BC AB =，同理求出2CD =，3DE =，可得第1个黄金三角形的腰长为1AB AC ==，第2，第3个黄金三角形的腰长是2，第4个黄金三角形的腰长是3，得出规律第n 个黄金三角形的腰长是1n -，即可得出答案．【详解】解：∵ABC 是第1个黄金三角形，第1个黄金三角形的腰长为1AB AC ==，∴BC AB =，BC AB ∴==，∵BCD △是第2个黄金三角形，∴CD BC =第2，2CD ∴==，∵CDE 是第3个黄金三角形，∴DE CD 第3个黄金三角形的腰长是2，3DE ∴==，∴第4个黄金三角形的腰长是3，…∴第n 个黄金三角形的腰长是1n -，∴第2024个黄金三角形的腰长是202412023-=，故选：A ．21．(1cm【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割比“将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，”结合题意AC BC >，且2cm =AC ，即可列出关于线段AC 长的等式，解出AC 即可．【详解】解：∵点C 是线段AB 的一个黄金分割点，且AC BC >，∴AC AB =，∴2AB∴)1cm AC =+．故答案为：(1cm ．22．5-+5【分析】本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值．设AP x =，则10AB x =+，根据黄金分割的定义得到AP BP BP AB =即101010x x =+，解方程即可得到答案．【详解】解：设AP x =，则10AB AP BP x =+=+，∵点P 为线段AB 的黄金分割点，∴AP BP BP AB =，即101010x x =+，∴2101000x x +-=，解得5x =-+或5x =--（舍去），经检验，5x =-+∴5AP =-+故答案为：5-+23．=【分析】根据黄金分割的定义，即可得到答案．【详解】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，∴AC BC AB AC=，∴2AC AB BC =⋅，∵212,S AC S AB BC ==×，∴12S S =，故答案为：=．【点睛】本题主要考查黄金分割的定义，记住公式即可．24．)101【分析】本题主要考查的是黄金分割的概念和性质，根据黄金比值求解即可．【详解】解∶ 宽与长的比是1):2-，∵贺卡长为20cm∴贺卡宽为)20101=，故答案为：)101.25．()10##(10-+【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键．由黄金分割点的定义得AC AB =，再代入AB 的长计算即可．【详解】解： 点C 是线段AB 上靠近点B 的黄金分割点，20AB =米，2010)AC ∴===（米)，故答案为：10)．26．3##3+【分析】本题考出来黄金分割，解一元二次方程组．由题意知，2BP AB AP AP =-=-，由点P 是线段AB 的黄金分割点，可得=AP BP AB AP ，即22AP AP AP -=，整理得2240AP AP -+=，计算求出满足要求的解即可．【详解】解：由题意知，2BP AB AP AP =-=-，∵点P 是线段 AB 的黄金分割点，∴=AP BP AB AP ，即22AP AP AP-=，整理得2240AP AP -+=，解得：1AP =-1AP =-，∴(2213BP AP =-=--=故答案为：327．160)cm-【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分，由此即可求解．【详解】解：弦80cm AB =，点C 是靠近点B 的黄金分割点，设BC x =，则80AC x =-，∴8080x -=120x =-点D 是靠近点A 的黄金分割点，设AD y =，则80BD y =-，∴8080y -=120y =-，∴,C D 之间的距离为8080120120160x y --=-++=，故答案为：160)cm ．【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．28．()2a【分析】结合题意可得，DE 和EF 是扇形DEF 的边，则DE EF CE CF ==+，根据正方形性质可得BC CD AB ==，90ECD ∠=︒，因为E 是BC 的中点，则12CE BE BC ==；根据勾股定理可得，直角CDE 中，222CD CE DE +=，即DE =CE CF +=AB 的值．【详解】解：依题得：DE EF =，设2AB x =，则正方形ABCD 中，2BC CD AB x ===，90ECD ∠=︒，E 是BC 的中点，12CE BE BC x ∴===，又4CF a = ，4EF CE CF x a DE ∴=+=+=，在直角CDE 中，222CD CE DE +=，即()()22224x x x a +=+2225816x x ax a =++2224x ax a -=()225x a a -=)11x a ∴=，()21x a =，40CF a => ，即0a >，()210x a ∴=<，2x ∴舍去，)()2212AB x a a ∴===+．故答案为：()2a ．【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、圆的性质、勾股定理、一元二次方程的解，解题关键是找到DE EF CE CF ==+和222DE CE CD =+两个等量关系式列一元二次方程．29即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．【详解】解： 点C 是线段AB 的黄金分割点，AC BC >，∴AC AB =，∴线段AB 的黄金比AC AB ．30．（1）c 为3或3-；（2）2AC =【分析】本题主要考查了黄金分割点以及比例中项，正确理解比例中项和黄金分割点的定义是解题的关键．（1）由c 是a ，b 的比例中项，可得29c ab ==，由此求解即可；（2）根据黄金分割点的定义进行求解即可．【详解】解：（1）∵c 是,a b 的比例中项，∴2 4.529c ab ==⨯=∴13c =，23c =-∴c 为3或3-；（2）∵C 是AB 的黄金分割点，且AC BC >，4AB =，∴4 2.AC AB ===31【分析】证明ABC BDC ∽△△，可得2BC AB CD =⨯，从而得到221CD BC AD CD AD AC ==+==①，②，进而得到CD =【详解】解：∵ABC ，BDC ，DEC 都是黄金三角形，∴,,AB AC BD BC AD DE CD ====，36A CBD CDE ∠=∠=∠=︒，∵C C ∠=∠，∴ABC BDC ∽△△，∴AC BC BC CD=，∴2BC AB CD =⨯，∵1AB =，∴221CD BC AD CD AD AC ==+==①，②，∴1AD CD =-③，代入①整理得，()21CD CD =-，解得：CD =∵1CD <，∴CD =，∵DE CD =，∴DE =【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，黄金三角形的定义，解题的关键是理解黄金三角形的定义．32．(1)AM 1，DM 的长为3(2)点M 是AD 的黄金分割点，理由见解析【分析】（1）要求AM 的长，只需求得AF 的长，又AF PF AP =-，PF PD ===，则1,3AM AF DM AD AM ==-=-=（2）根据（1）中的数据得：AM AD M 是AD 的黄金分割点．【详解】（1）在Rt APD 中，1,2AP AD ==，由勾股定理知∶PD∴1AM AF PF AP PD AP ==-=-=，3DM AD AM =-=故AM 1，DM 的长为3（2）点M 是AD 的黄金分割点．∵AM AD =∴点M 是AD 的黄金分割点．【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段,AM DM 的长，然后求得线段AM 和AD 之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．33．1)m【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是设雕像的下部高为x m ，则上部长为(2)m x -，然后根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设雕像的下部高为x m ，则题意得：22x x x -=，整理得：2240x x +-=，解得11x =，21x =-（舍去），答：雕像的下部高为1)m -．。
苏科版九年级数学下册 6.2 黄金分割 同步测试题(有答案)
6.2 黄金分割同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，AB=10，则AP长约为（）A.0.618B.6.18C.3.82D.0.3822. △ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，则∠A的度数是（）A.22.5∘B.30∘C.36∘D.45∘3. 如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列各式不正确的是（）A.AB:AC=AC:BCB.AC=√5−12ABC.AB=√5+12AC D.BC≈0.618AB4. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，CD是∠ACB的平分线，则△DBC的面积与△ADC的面积的比值是（）A.√5−12B.√5+12C.3−√52D.3+√525. 把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为（）A.−1+√5B.3−√5C.3+√5D.1+√56. 现已知线段AB=10，点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，那么线段PA的长约为（）A.6.18B.0.382C.0.618D.3.287. 已知点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，若AB=2，则PB=()A.√5−12B.√5+12C.3−√5D.√5−18. 已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则下列各式的值不等于√5−12的是（）A.AP ABB.PBAPC.PBABD.√PBAB9. 顶角为36∘的等腰三角形称为黄金三角形，如图，五边形ABCDE的5条边相等，5个内角相等，则图中共有黄金三角形的个数是（）A.25B.10C.15D.2010. 如图所示，顶角为36∘的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形叫做黄金三角形．已知AB=1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形，以此类推，第2014个黄金三角形的周长为（）A.k2012B.k2013C.k2013(2+k)D.k20132+k二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. C是长为10cm的线段AB的黄金分割点(AC>BC)，则AC=________．12. 如图，△ABC中，D是AB的黄金分割点(AD<BD)，过点D作DE // BC交AC于E，若BC=3+√5，则DE=________．13. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．李老师身高165厘米，下半身长与身高的比值是0.6，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为________（结果精确到0.1）．14. 美是一种感觉，一矩形的长为6cm，宽为3cm，当矩形的宽与长的比值是黄金比值时，这样的矩形给人一种美感．试问长不变，宽增加________cm时，给人的美感效果最佳．15. 有些植物茎上，相邻两张叶子成137∘28′的角，这种角度使植物通风和采光的效果最佳，这一度数与________∘角成黄金比例．16. 要使点B是线段AC的黄金分割点(AB>BC)，那么线段AB、BC、AC应满足的数量关系是________．17. 若点P是AB的黄金分割点(AP<BP)，则线段AP、BP、AB满足关系式________．18. 如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP<PB，那么PB的值为________．PA19. 已知线段AB，点C是靠近B点的AB的黄金分割点．点G是靠近点A的黄金分割点，则AG=________．BC20. 报幕员在台上时，若站在黄金分割点处，会显得活泼而生动，已知舞台长10米，那么报幕员要至少走________米报幕．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 如图，在五角星图形中，AD=BC，C，D两点都是AB的黄金分割点，AB=1，求CD的长．22.（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP>PB．23. 在△ABC中，D为BC边上一点，过点D作DE//AB交AC与点E，连接BE.若BE= CD，∠C=∠ABE.(1)点D是线段BC的黄金分割点吗？请说明你的理由；(2)已知BC=1，计算黄金比.24. 如图，在线段AB上有一点C，若AC:CB=CB:AB，则称点C为AB的黄金分割点，现已知AB=1，点C是线段AB的黄金分割点(AC<BC)，求BC的长．25. 在△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是________．26. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC=108∘，过点C作直线CD分别交直线AB，OD=2．AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE=12（1）求∠CDB的度数；（2）我们把有一个内角等于36∘的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比．（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比√5−12①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求弦CE的长；③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：由于P为线段AB=10的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=√5−12AB≈0.618AB=0.618×10=6.18．故选B．2.【答案】C【解答】解：∵ 点D是线段AB的一个黄金分割点，∵ AD2=BD⋅AB，∵ AD=AC=BC，∵ BC2=BD⋅AB，即BC:BD=AB:BC，而∠ABC=∠CBD，∵ △BCD∽△BAC，∵ ∠A=∠BCD，设∠A=x，则∠B=x，∠BCD=x，∵ ∠ADC=∠BCD+∠B=2x，而AC=AD，∵ ∠ACD=∠ADC=2x，∵ x+2x+x+x=180∘，解得x=36∘，即∠A=36∘．故选：C．3.【答案】D【解答】解：∵ AC>BC，∵ AC是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB:AC=AC:BC，AC=√5−12AB，AB=√5+12AC，AC≈0.618AB．故选D．【答案】A【解答】解：设AB=x，BC=y．∵ △ABC中，AB=AC，∠A=36∘，∵ ∠ABC=∠ACB=72∘．∵ CD是角平分线，∵ ∠BCD=∠ACD=36∘．∵ AD=CD=BC=y，∵ BD=x−y．∵ ∠BCD=∠A=36∘，∠B=∠ACB=72∘，∵ △DBC∽△ABC．∵ ABBC =BCBD，即xy =yx−y，x2−xy−y2=0，x=1±√52y（负值舍去）．则yx =√5−12．∵ △DBC与△ADC底边分别为BD，AD时，高度相等，∵ △DBC的面积与△ADC的面积的比值是：ADBD =yx=√5−12．故选：A．5.【答案】A【解答】把2米长的线段进行黄金分割，分成的较长线段的长=√5−12×2=√5−1，【答案】A【解答】解：∵ 点P是线段AB的黄金分割点，∵ PA=0.618AB=6.18．故选：A．7.【答案】C【解答】解：当AP>BP时，AP=√5−12×2=√5−1，PB=2−(√5−1)=3−√5，故选C.8.【答案】C【解答】解：∵ 点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，∵ AP=√5−12AB，设AB=2，则AP=√5−1，BP=2−(√5−1)=3−√5，∵ APAB =√5−12；PB AP =√5√5−1=√5−12；PB AB =3−√52≠√5−12；√PB AB =√3−√52=√5−12．故选C．9.【答案】D【解答】解：根据题意，得图中的黄金三角形有△BMN、△CNF、△DFG、△EHG、△AMH、△ABN、△CBM、△CDG、△EDF、△AGE、△ACD、△BDE、△CEA、△DBA、△EBC，△NCD，△HDE，△AME，△ABH，△BCF，共20个．故选D10.【答案】C【解答】解：∵ AB=AC=1，∵ △ABC的周长为2+k；△BCD的周长为k+k+k2=k(2+k)；△CDE的周长为k2+k2+k3=k2(2+k)；依此类推，第2014个黄金三角形的周长为k2013(2+k)；故选：C．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】(5√5−5)cm【解答】解：∵ 点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，∵ AC=√5−12AB，∵ AB=10cm，∵ AC=(5√5−5)cm．故答案为：(5√5−5)cm．12.【答案】2【解答】解：∵ DE // BC，∵ △ADE∽△ABC，∵ DEBC =ADAB，∵ D是AB的黄金分割点(AD<BD)，∵ BD=√5−12AB，∵ AD=AB−√5−12AB=3−√52AB，∵3+√5=3−√52，∵ DE=2．故答案为2．13.【答案】7.8cm 【解答】解：根据已知条件得下半身长是165×0.6=99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：99+y165+y=0.618，解得：y≈7.8．故答案为7.8cm．14.【答案】(3√5−6)【解答】解：设宽增加xcm，根据题意得x+36=√5−12，解得x=3√5−6，即长不变，宽增加(3√5−6)cm时，给人的美感效果最佳．故答案为(3√5−6)．15.【答案】84.95∘或222.44【解答】解：137∘28′≈137.467∘，137.467∘×0.618=84.95∘，137.467∘÷0.618=222.44∘，所以137∘28′与84.95∘或222.44∘的角成黄金比例．故答案为84.95∘或222.44．16.【答案】AB2=BC⋅AC【解答】解：∵ 点B是线段AC的黄金分割点(AB>BC)，∵ AB2=BC⋅AC．故答案为AB2=BC⋅AC．17.【答案】BP2=AB⋅AP 【解答】解：∵ 点P是AB的黄金分割点(AP<BP)，∵ BP2=AB⋅AP．故答案为BP2=AB⋅AP．18.【答案】√5+12【解答】∵ 点P是线段AB的黄金分割点，且AP<PB，∵ PBPA =√5−13−√5=√5+12，19.【答案】1【解答】解：由题意得，AG=3−√52AB，BC=3−√52AB，∵ AGBC=1．故答案为：1．20.【答案】(15−5√5)【解答】解：报幕员要走的路程为：10×(1−√5−12)=15−5√5（米）．故答案为：(15−5√5)．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：∵ C、D两点都是AB的黄金分割点，∵ AC=BD=√5−12AB=√5−12，∵ AD=AC−CD=√5−12−CD，∵ AD=BC，∵ BC=√5−12−CD，而AC+BC=AB，∵ √5−12+√5−12−CD=1，∵ CD=√5−2．【解答】解：∵ C、D两点都是AB的黄金分割点，∵ AC=BD=√5−12AB=√5−12，∵ AD=AC−CD=√5−12−CD，∵ AD=BC，∵ BC=√5−12−CD，而AC+BC=AB，∵ √5−12+√5−12−CD=1，∵ CD=√5−2．22.【答案】解：（1）由于P为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×√5−12=√5−1，或AP=2−(√5−1)=3−√5；（2）如图，点P是线段AB的一个黄金分割点．【解答】解：（1）由于P为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×√5−12=√5−1，或AP=2−(√5−1)=3−√5；（2）如图，点P是线段AB的一个黄金分割点．23.【答案】解：(1)点D是线段BC的黄金分割点.证明：∵ ∠C=∠ABE，DE//AB，∵ ∠ABE=∠DEB，∵ ∠C=∠DEB.又∠EBD=∠CBE，∵ △EBD∼△CBE.∵ BEBC =BDBE，即BE2=BC⋅BD，又BE=CD，∵ CD2=BC⋅BD∵ D为线段BC的黄金分割点；(2)由(1)知，BDBC =CDBD，即BD2=BC⋅CD，∵ BD2=BC(BC−BD)，即BD2=BC2−BC⋅BD，BC2−BC⋅BD+14BD2=54BD2，BC BD =√5+12，BD=√5−12.所以黄金比为√5−12.【解答】解：(1)点D是线段BC的黄金分割点.证明：∵ ∠C=∠ABE，DE//AB，∵ ∠ABE=∠DEB，∵ ∠C=∠DEB.又∠EBD=∠CBE，∵ △EBD∼△CBE.∵ BEBC =BDBE，即BE2=BC⋅BD，又BE=CD，∵ CD2=BC⋅BD∵ D为线段BC的黄金分割点；(2)由(1)知，BDBC =CDBD，即BD2=BC⋅CD，∵ BD2=BC(BC−BD)，即BD2=BC2−BC⋅BD，BC2−BC⋅BD+14BD2=54BD2，BC BD =√5+12，BD=√5−12.所以黄金比为√5−12.24.【答案】解：∵ C为线段AB=1的黄金分割点，且AC<BC，BC为较长线段，∵ BC=√5−12AB=1×√5−12=√5−12．【解答】解：∵ C为线段AB=1的黄金分割点，且AC<BC，BC为较长线段，∵ BC=√5−12AB=1×√5−12=√5−12．25.【答案】解：（1）（2）CM=AB【解答】解：（1）（2）CM=AB26.【答案】AB，解：（1）∵ AB是⊙O的直径，DE=12∵ OA=OC=OE=DE，则∠EOD=∠CDB，∠OCE=∠OEC，设∠CDB=x，则∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x，又∠BOC=108∘，∵ ∠CDB+∠OCD=108∘，∵ x+2x=108，x=36∘．∵ ∠CDB=36∘．（2）①有三个：△DOE，△COE，△COD．∵ OE=DE，∠CDB=36∘，∵ △DOE是黄金三角形；∵ OC=OE，∠COE=180∘−∠OCE−∠OEC=36∘．∵ △COE是黄金三角形；∵ ∠COB=108∘，∵ ∠COD=72∘；∵ ∠OCD=∠COD．∵ OD=CD，∵ △COD是黄金三角形；②∵ △COD是黄金三角形，∵ OCOD =√5−12，∵ OD=2，∵ OC=√5−1，∵ CD=OD=2，DE=OC=√5−1，∵ CE=CD−DE=2−(√5−1)=3−√5；③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3，如图所示，∵以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2；∵以OE为腰的黄金三角形：点P3与点A重合．【解答】解：（1）∵ AB是⊙O的直径，DE=12AB，∵ OA=OC=OE=DE，则∠EOD=∠CDB，∠OCE=∠OEC，设∠CDB=x，则∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x，又∠BOC=108∘，∵ ∠CDB+∠OCD=108∘，∵ x+2x=108，x=36∘．∵ ∠CDB=36∘．（2）①有三个：△DOE，△COE，△COD．∵ OE=DE，∠CDB=36∘，∵ △DOE是黄金三角形；∵ OC=OE，∠COE=180∘−∠OCE−∠OEC=36∘．∵ △COE是黄金三角形；∵ ∠COB=108∘，∵ ∠COD=72∘；∵ ∠OCD=∠COD．∵ OD=CD，∵ △COD是黄金三角形；②∵ △COD是黄金三角形，∵ OCOD =√5−12，∵ OD=2，∵ OC=√5−1，∵ CD=OD=2，DE=OC=√5−1，∵ CE=CD−DE=2−(√5−1)=3−√5；③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3，如图所示，∵以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2；∵以OE为腰的黄金三角形：点P3与点A重合。
江苏省泰兴市九年级数学下册 6.2 黄金分割试题(无答案)(新版)苏科版
C B A 6.2 黄金分割例1、 如图，点B 在线段AC 上，且AC AB AB BC =.设AC=1，求AB 的长．把矩形ABCD 的长AB 与宽BC 画在同一条直线上，此时点B 把线段AC 分成两部分，如果AB BC AC AB =，那么线段AC 被点B 。
（有一种通俗的说法是：较小的线段与较大的线段的比等于较大的线段与整个线段之比）AB 与AC （或BC 与AB ）的比值约为 ，这个比值称为黄金比．练习：1、BC 与AB 的比为黄金比，这样的矩形称为黄金矩形，它给人以美感，某建筑师设计的某建筑物的窗户为矩形，如果它的一边长为3.24m ，那么当它的邻边为多少时，这个矩形为黄金矩形？2、如图，C 、D 是线段AB 的两个黄金分割点，AB=1，求线段CD 的长．例2、若线段AB ＝4cm ，点C 是线段AB 的一个黄金分割点，则AC 的长为多少？例3、如图，点C 是AB 的黄金分割点，AB ＝4，则AC 2＝________；（结果保留根号）例4、我们知道古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）的正面是一个黄金矩形，若已知黄金矩形的长等于6，求这个黄金矩形的宽（结果保留根号）．中午作业：1、东方明珠电视塔高468m ，如果把塔身看成一条线段AC ，中间的球体看成点B ，那么点B 是线段AC 的黄金分割点。
计算球体B 到塔底部A 的距离（精确到0.1m ）．2、如图，P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ，S 1表示以PA 为一边的正方形的面积，S 2表示长为AB 、宽为PB 的矩形的面积。
比较S 1与S 2的大小，并说明理由．3、如图，设线段AC=1．（1）过点C 画CD ⊥A C ，使CD=21AC ；连接AD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径画弧，交AD 于点E ；以点A 为圆心，AE 的长为半径画弧，交AC 于点B ．（2）在所画图中，点B 是线段AC 的黄金分割点吗？为什么？AC4、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感。
苏科版九年级下6.2黄金分割同步练习及答案
第2课时黄金分割1．(1)如图，若点C是AB的黄金分割点，AB＝1，则AC≈_______，BC≈_______．(2)－条线段的黄金分割点有_______个．2．据有关实验测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适．这个气温约为_______℃（精确到1℃）．3．我们知道古希腊时期的巴台农神庙(Parthenom Temple)的正面是一个黄金矩形．若已知黄金矩形的长等于6，则这个黄金矩形的宽约等于_______．（精确到0.1）4．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP<PB，则( )A．AP2＝AB·PB B．AB2＝AP·PBC．PB2＝AP·AB D．AP2＋BP2＝AB25．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为( )A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm6．如图，为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要踮起脚尖？为什么身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋？为什么她们会给人和谐、平衡、舒适和美的感觉？请利用“黄金分割”的知识加以解释．7．已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，那么AC是线段_______与_______的比例中项，若AC＝10 cm，则BC约为_______cm．8．如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB 的长为20 m，则主持人应走到离A点至少_______m处最合适．(结果精确到0.1 m)9．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0. 618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165 cm，下半身长x与身高l的比值是0. 60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm10．已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP>BP ，设以AP 为边的正方形的面积为S 1，以PB 、AB 为边的矩形的面积为S 2，则S 1与S 2的关系是 ( )A ．S 1>S 2B ．S 1<S 2C ．S 1＝S 2D ．S 1≥S 211．（2019 昆明）如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则△EBG 的周长是 cm12．（2019怀化）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的中点，则S △ADE ：S △ABC = ．13．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝DC ，AC ＝BD ＝BC ，试问：图中有多少个黄金三角形？为什么？14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，若AE＝BC ，则点E 是线段AB 的黄金分割点吗？说明你的理由．15．市政府圈出一块地作为市民广场，广场形状为黄金矩形，现小红在比例尺为1：38 000的地图上量得该矩形的宽为1.236 cm ，请你帮小红算一算，若用50 cm ×50 cm 的地砖铺广场，大约需多少块？第14题图Q H G F E D C BA参考答案1．(1)0.618 0.382 (2)2 2．23 3．3.7 4．C 5．A 6．略7．AB BC 6.18 8．7.6 9．C 10．C11．1212．1：413．4个14．点E是线段AB的黄金分割点15．约142.8万块。
新苏科版数学九年级下册同步练习：6.2 黄金分割
6.2黄金分割知识点1黄金分割1.如图6-2-1,点C把线段AB分成两部分,若=,则下列说法错误的是()图6-2-1A.线段AB被点C黄金分割B.点C叫做线段AB的黄金分割点C.AB与AC的比叫做黄金比D.AC与AB的比叫做黄金比2.[2019·兴化市二模]已知P为线段AB的黄金分割点,且AP>PB,则 ()A.AP2+BP2=AB2B.BP2=AP·ABC.AP2=AB·BPD.AB2=AP·PB知识点2黄金矩形3.[2017·姑苏区期末]某建筑物的窗户为黄金矩形,已知它较长的一边长为1米,则较短的一边长为米.(结果保留根号)4.若一个矩形的宽与长的比为(-1)∶2,则称这个矩形是黄金矩形.如图6-2-2所示,四边形ABCD是黄金矩形,且=-,将矩形ABCD剪裁掉一个正方形ADFE后,剩余的矩形BCFE是不是黄金矩形?请说明理由.图6-2-25.美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时,越给人一种美感.如图6-2-3,某女士的身高为165 cm,下半身长x与身高l的比值是0.60.为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为()图6-2-3A.4 cmB.6 cmC.8 cmD.10 cm6.如图6-2-4,已知C,D是线段AB的两个黄金分割点,且AB=2,则线段CD的长是.(用含根号的式子表示)图6-2-47.B是线段AC上的黄金分割点,且AB>BC.(1)设AC=2.①求AB的长(将下列解题过程补充完整).解:设AB=x,则BC=2-x.∵B是线段AC上的黄金分割点,且AB>BC,∴,可列方程为,解得,由于x=不合题意,舍去,∴AB的长为.②在线段AC(如图6-2-5①)上利用尺规画出点B的位置(保留作图痕迹,不写作法).(2)若m,n为正实数,t是关于x的方程x2+2mx=n2的一个正实数根.①求证:(t+m)2=m2+n2;②若两条线段的长分别为m,n(如图②),请画出一条长为t的线段(保留作图痕迹,不写作法).图6-2-5教师详解详析1.C2.C3.-[解析] 设较短的一边长为x米.根据题意有=-,解得x=-.4.解:是.理由:设矩形ABCD的AB边的长为x.∵四边形ABCD为黄金矩形,且=-,∴BC=AD=-x.∵四边形ADFE是正方形,∴AE=AD=-x, ∴BE=x--x=-x,∴=--=-,∴剩余的矩形BCFE是黄金矩形.5.C[解析] 设她穿的高跟鞋的高度为a cm.因为该女士的身高为165 cm,下半身长x与身高l 的比值是0.60,所以=0.60,即x=0.60×165.又由黄金分割的定义,得≈0.618,即≈0.618,解得a≈8.故选C.6.2-4[解析] ∵C,D是线段AB的两个黄金分割点,AB=2,∴AC=BD=-1,AD=AB-BD=2-(-1)=3-,∴CD=AC-AD=2-4.7.解:(1)①==-x1=-1+,x2=-1--1--1+②作图略.(2)①证明:∵x2+2mx=n2,∴x2+2mx+m2=m2+n2,即(x+m)2=m2+n2.∵t是关于x的方程x2+2mx=n2的一个正实数根,∴(t+m)2=m2+n2.②作图略.。
初中数学苏科版九年级下册第六章6.2黄金分割练习题
初中数学苏科版九年级下册第六章6.2黄金分割练习题一、选择题1.美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为()A. 6cmB. 10cmC. 4cmD. 8cm2.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则有()A. AB2=AP·PBB. AP2=BP·ABC. BP2=AP·ABD. AP·AB=PB·AP3.矩形的两边长分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是()A. a=4，b=√5+2B. a=4，b=√5−2C. a=2，b=√5+1D. a=2，b=√5−14.点C是线段AB的黄金分割点(AC>CB)，若AB=2时，则AC的长度是()A. √5−12B. 3−√52C. √5−1D. 3−√55.已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=2，则PQ的长为()A. 2(√5−2)B. √5+1C. √5−1D. 3−√56.如果C是线段AB的黄金分割点，并且AC>CB，AB=1，那么AC的长度为()A. 23B. 12C. √5−12D. 3−√527.下列说法不正确的是()A. 对角线互相垂直平分且有一个角为直角的四边形是正方形B. 3x2−4x+1=0的两根之和为43C. 若点P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，则PA=√5−1AB2D. 当a+c=b时，一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为18.如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1()S2．A. >B. =C. <D. 无法确定9.世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，同样蕴含着“黄金分割”，如图，塔高AB为339米，观光区P为塔AB的黄金分割点(AP>PB)，那么AP的高度大约为()米．A. 200B. 210C. 300D. 13010.如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为()A. (40√5−40)cmB. (80√5−40)cmC. (120−40√5)cmD. (80√5−160)cm二、填空题11.线段AB为80cm，点C为线段AB的黄金分割点，线段AC的长度为______．12.若点B是线段AC的黄金分割点(AB>BC)，AC=2，则AB=____(精确到0.1)13. 如图，扇子的圆心角为x°，余下的圆心角为y°，x 与y 的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，若取黄金比为0.6，则x 应为________．14. 如图，已知点C 、D 是线段AB 的两个黄金分割点，若线段AB 的长10厘米，则线段CD 长____________厘米．15. 已知C 、D 是线段AB 的两个黄金分割点，AB =2，则CD 的长是___________.(用含根号的式子表示) 三、解答题16. 如图1，我们已经学过：点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB =BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S =S2S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．如图2，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，∠C 的平分线交AB 于点D ． (1)证明点D 是AB 边上的黄金分割点； (2)证明直线CD 是△ABC 的黄金分割点．17.宽与长之比为√5−1:1的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，2它给我们以协调、匀称的美感．如图，如果在一个黄金矩形ABCD里画一个正方形ABEF，那么留下的矩形CDFE还是黄金矩形吗？请证明你的结论．18.取长为2的定线段AB为边，作正方形ABCD，P为AB的中点，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AFEM，点M落在AD上，如图所示。
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6、2黄金分割
A 组题
1、点C 是线段AB 的黄金分割点,且AC ＞BC ，若AB=2cm ，则BC ≈ cm 。
(精确到0、1cm)
2、顶角为 的等腰三角形称为黄金三角形,等腰△ABC 中，若∠A=360,则BC AB
≈ 3、研究表明:标准人体的黄金分割点是人的肚脐,请你计算身高180cm
的人,如果肚脐是黄金分割点，那头顶到肚脐的长度约为 cm 。
（精确到1c m ）
4、已知点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC)，那么AC 是线段 与 的比例中项,若AC=10cm ，则BC 约为 cm.(精确到0、1cm)
5、已知点C 是线段的黄金分割点，且AC ＞BC,则下列等式中成立的是( ）
A 、2A
B A
C BC =• B 、2CB AC AB =•
C 、2AC BC AB =•
D 、22AC AB BC =•
6、如图，点C 是线段AB 的黄金分割点,矩形ABFD 的宽与长的比等于黄金比，则下列结论中错误的是( ）
A 、四边形ACED 是正方形
B 、矩形CBFE 是黄金矩形
C 、EC 与EF 之比是黄金比
D 、EC 与DF 之比是黄金比
7、下列说法中正确的是（ ）
A 、如果一条线段是另两条线段的比例中项，那么这三条线段构成黄金比；
B 、一条线段上的黄金分割点只有一个;
C 、黄金分割比是51-；
D 、黄金分割比就是我们看上去舒服的比。
8、科学研究表明：当人的下肢长度与身高的比约为0、618时,看起来最美。
若某成年女士身高为153cm ，下肢长为92cm ，则该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为多少cm ？(精确到0、1cm)
9、如图,电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB 长为20米,试计算主持人应走到离A 点至少多少米处是最自然得体的位置？（结果精确到0、1米）
10、如图,梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=AD=DC,AC=BD=BC 。
① 求∠ABC 的度数； ② 图中有多少个黄金三角形？把它们一一写出来。
D o
D A
B
11、如图，△ABC 中，AB=AC,AC 的垂直平分线交AC 于D ，交AB 于E,且AE=BC. ① 求∠A 的度数; ② 点E 是线段AB 的黄金分割点吗？说说你的理由。
每日一题
已知线段AB,按下列步骤作图：
（1） 经过点B 作B D ⊥AB ，使BD=12AB ； （2） 连接AD,在DA 上截取DE=DB; （3） 在AB 上截取AC=AE ；
（4） 试说明点C 就是线段AB 上的一个黄金分割点，请模仿上述方法,作出已知线段AB
的另一个黄金分割点。
E D
C B。