高中数学_直线、圆和方程压轴题[培优、提高]

高二数学第 3 讲直线与圆综合

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1. 已知圆C：x +y +2x-3=0 ．

（1）求圆的圆心 C 的坐标和半径长；

（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆 C 相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证： 1 1 x1 x2为定值；

（3）斜率为 1 的直线m 与圆C相交于D、E两点，求直线m 的方程，使△CDE的面积最大．

2. 已知点G（5，4），圆C1：（x-1）2+（x-4）2=25，过点G 的动直线l 与圆C1相交于E、F 两点，线段EF 的中点为C．

（1）求点C的轨迹C2 的方程；

（2）若过点A（1，0）的直线l1与C2相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M；又l1与l2：x+2y+2=0 的交点为N，求证|AM|?|AN| 为定值．

3. 已知点C(1，0)，点A，B 是⊙ O：x2+y2=9 上任意两个不同的点，且满足AC BC 0，设M为弦AB的

中点．求点M的轨迹T 的方程；

4.已知平面直角坐标系上一动点P(x, y)到点A( 2,0) 的距离是点P 到点B(1,0) 的距离的2倍。

(1)求点P 的轨迹方程；

(2)若点P与点Q关于点(2,1) 对称，点C(3,0) ，求|QA|2 |QC |2的最大值和最小值；

(3)过点A的直线l 与点P的轨迹C 相交于E,F 两点，点M (2,0) ，则是否存在直线l ，使S△EFM取得最大值，若存在，求出此时l 的方程，若不存在，请说明理由。

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5.已知圆O: x2 y2 4和点M （1,a）．

（1）若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求正数a的值，并求出切线方程；

（2）若a 2，过点M 的圆的两条弦AC ，BD 互相垂直．

①求四边形ABCD 面积的最大值；②求| AC | | BD |的最大值．

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6. 已知过原点的动直线l 与圆C1：x +y -6x+5=0 相交于不同的两点A，B．

（1）求圆C1 的圆心坐标；

（2）求线段AB 的中点M的轨迹 C 的方程；

（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x-4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出不

k 的取值范围；若存在，说明理由．

7. 已知以点A（-1，2）为圆心的圆与直线l 1：x +2y+7=0 相切．过点B（-2，0）的动直线l 与圆A相交于M、

N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1 相交于点P．

I）求圆 A 的方程；

Ⅱ）当MN＝2 19 时，求直线l 的方程；

Ⅲ ）BQ BP 是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．

8. 已知直线l：4x+3y+10=0，半径为 2 的圆C与l 相切，圆心 C 在x 轴上且在直线l 的右上方

（1）求圆 C 的方程；

（2）过点M（1，0）的直线与圆 C 交于A，B 两点（ A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在定点

N，使得x 轴平分∠ANB？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

9. 平面直角坐标系xoy 中，直线x- y+1=0 截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为 6 .

（1）求圆O 的方程；

（2）若直线l 与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l 的方程；

（3）设M，P是圆O上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x 轴于点（m ，0）和（n，0），问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

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10. 已知圆M：x +（y-4）=4，点P 是直线l：x-2y=0 上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为

A、B．

（Ⅰ ）当切线PA 的长度为 2 3 时，求点P 的坐标；

（Ⅱ ）若△ PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；

若不存在，说明理由；

（Ⅲ ）求线段AB 长度的最小值．

11. 已知一动圆经过点M（2，0），且在y 轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．

（1）求曲线 C 的方程；

（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B 和不同的两点D，E．设线段AB，DE 的中点分别为P，Q．

①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R 的坐标；

②求|PQ| 的最小值．