振动与波习题课
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振动与波习题课
b
c
O
a
.
b
c X t
a 0
b
2
3 c 2
10.如图（a）为t=0时的波形曲线,经0.5s后波形变为（b） 求（1）波动方程 Y (a) (b) u
（2）P点的振动方程
解：O处的振动方程为 0.1
yo A cos(t )
由图得A=0.1 =/2 =4m
( 2k 1) 2 2 1 1 2 ( 2k 1) 4 r1 [ ] 2 ( 2k 1) 2 ( 2k 1)
Y
u=0.08m/s P . 0.02
X yo A cos(t ) -0.04 0.04 P点的振动方程 2 1 T u 0.08 令x=0.02 u 2 2 3 4 y P 0.04 cos(4t ) T 2 x y 0.04 cos[4 ( t ) ] 0.08 2
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2 2 1 B.同方向不同频率：拍 拍频为：
A. 同方向同频率：
2 1 2 2
C.两个相互垂直同频率的振动：椭圆 D.两个相互垂直不同频率的振动：李萨如图 5.平面简谐波波动方程：
u 0.84m / s 取 /3
故得波动方程为
17 / 3
O a b
u
X
x y 0.1cos[7 ( t ) ]( m ) 0.84 3
13.题中图a表示一水平轻绳，左端D为振动器，右端 固定于B点。t0时刻振动器激起的简谐波传到O点。其 波形如图b所示。已知OB＝2.4m，u=0.8m/s. 求：（1） 以为计时零点，写出O点的谐振动方程；（2）取O 点 为原点，写出向右传播的波动方程；（3）若B 处有 半波损失，写出反射波的波动方程（不计能量损失）。 2 D O 解：（1）由 B u 2 2 y(cm) 得 u 80 4 40 4
振动与波习题课及课后作业解答
O B N X
π
2π
λ
2OB π = 5π
2π
= 入 反 = π
λ
x (5π +
2π
λ
x) = 6π
4π
2kπ , 波腹 = (2k + 1)π , 波节
0≤x≤1.25λ ≤ ≤ λ
λ
x
3. 空气中声速为 空气中声速为340m/s, 一列车以 一列车以72km/h的速度行驶 车上旅客 的速度行驶, 的速度行驶 听到汽笛声频率为360Hz, 则目送此火车离去的站台上的旅客听到 听到汽笛声频率为 此汽笛声的频率为( 此汽笛声的频率为 B) (A) 360Hz (B) 340Hz (C) 382.5Hz (D) 405Hz 解:
t = ( / 2π )T = T / 12 6
A/2 -π/3
π
ω
x
A
2. 如图为用余弦函数表示的一质点作谐振动曲线 振动圆频率 如图为用余弦函数表示的一质点作谐振动曲线, ,从初始状态到达状态 所需时间为 2s 从初始状态到达状态a所需时间为 . 为 7π/6 π 从初始状态到达状态 分析: 分析:本题的关键是确定各时刻 X(m) 6 的位相, 的位相,在振动曲线上由位移和 3 速度方向(斜率的正负) 速度方向(斜率的正负)定 0 t=0时: -3 X0=A/2,v0<0 = π/3 t=1时: X=0,v>0 ωt+= 3π/2
u vs
s
u = 334m s 1 (3)
u v0 ( 4) λ ′ = ν′ 334 65 = = 0.190m 1418
ω
t = 0, v0 = ωA sin 0 = 10cm / s
3 ∴0 = π 2
π
2π
λ
2OB π = 5π
2π
= 入 反 = π
λ
x (5π +
2π
λ
x) = 6π
4π
2kπ , 波腹 = (2k + 1)π , 波节
0≤x≤1.25λ ≤ ≤ λ
λ
x
3. 空气中声速为 空气中声速为340m/s, 一列车以 一列车以72km/h的速度行驶 车上旅客 的速度行驶, 的速度行驶 听到汽笛声频率为360Hz, 则目送此火车离去的站台上的旅客听到 听到汽笛声频率为 此汽笛声的频率为( 此汽笛声的频率为 B) (A) 360Hz (B) 340Hz (C) 382.5Hz (D) 405Hz 解:
t = ( / 2π )T = T / 12 6
A/2 -π/3
π
ω
x
A
2. 如图为用余弦函数表示的一质点作谐振动曲线 振动圆频率 如图为用余弦函数表示的一质点作谐振动曲线, ,从初始状态到达状态 所需时间为 2s 从初始状态到达状态a所需时间为 . 为 7π/6 π 从初始状态到达状态 分析: 分析:本题的关键是确定各时刻 X(m) 6 的位相, 的位相,在振动曲线上由位移和 3 速度方向(斜率的正负) 速度方向(斜率的正负)定 0 t=0时: -3 X0=A/2,v0<0 = π/3 t=1时: X=0,v>0 ωt+= 3π/2
u vs
s
u = 334m s 1 (3)
u v0 ( 4) λ ′ = ν′ 334 65 = = 0.190m 1418
ω
t = 0, v0 = ωA sin 0 = 10cm / s
3 ∴0 = π 2
振动和波习题课(级)
Y
能量极 小
X
能量极 大
能量极大
能量极 小
16、惠更斯原理：波阵面上的每一点，都是发射 子波的新波源，其后任意时刻，这些子波的包络 面就是新的波阵面。
17、相干条件：两波源应满足：振动方向相同，
频率相同，位相差恒定。
18、波的干涉 在P点引起的合振动的振幅为：
2 1 2 2
S2 S1
r2
p
2 ( 2 1 )＋ ( r1 r2 ) A A A 2 A1 A2 cos S1 r1 若波在两种不同介质中传播
2
y a O b u x
[A]
11.一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动 1 5 方程分别为 x1 A cos( t π ) x2 A cos( t π)
x3 A cos( t π ) 其合成运动的运动方程为x = ___ 0 ．
3
3
12. 一简谐波沿x轴负方向传播，波速为1 m/s，在 x轴上某质点的振动频率为1 Hz、振幅为0.01 m．t =0 时该质点恰好在正向最大位移处．若以该质点 的平衡位置为x轴的原点．求此一维简谐波的表达 式． 结 果 : y 0 . 01 cos 2π ( t x ) (SI) 13. 当机械波在媒质中传播时，一媒质质元的最大 变形量发生在 : (A) 媒质质元离开其平衡位置最大 位移处． (B) 媒质质元离开其平衡位置( 2 A / 2 )处 (A是振动振幅)． (C) 媒质质元在其平衡位置处． 1 [C] (D) 媒质质元离开其平衡位置 2 A 处.
2
2
(C)
3 x2 A cos( t π ) 2
t π ) [B] (D)x2 A cos(
能量极 小
X
能量极 大
能量极大
能量极 小
16、惠更斯原理：波阵面上的每一点，都是发射 子波的新波源，其后任意时刻，这些子波的包络 面就是新的波阵面。
17、相干条件：两波源应满足：振动方向相同，
频率相同，位相差恒定。
18、波的干涉 在P点引起的合振动的振幅为：
2 1 2 2
S2 S1
r2
p
2 ( 2 1 )＋ ( r1 r2 ) A A A 2 A1 A2 cos S1 r1 若波在两种不同介质中传播
2
y a O b u x
[A]
11.一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动 1 5 方程分别为 x1 A cos( t π ) x2 A cos( t π)
x3 A cos( t π ) 其合成运动的运动方程为x = ___ 0 ．
3
3
12. 一简谐波沿x轴负方向传播，波速为1 m/s，在 x轴上某质点的振动频率为1 Hz、振幅为0.01 m．t =0 时该质点恰好在正向最大位移处．若以该质点 的平衡位置为x轴的原点．求此一维简谐波的表达 式． 结 果 : y 0 . 01 cos 2π ( t x ) (SI) 13. 当机械波在媒质中传播时，一媒质质元的最大 变形量发生在 : (A) 媒质质元离开其平衡位置最大 位移处． (B) 媒质质元离开其平衡位置( 2 A / 2 )处 (A是振动振幅)． (C) 媒质质元在其平衡位置处． 1 [C] (D) 媒质质元离开其平衡位置 2 A 处.
2
2
(C)
3 x2 A cos( t π ) 2
t π ) [B] (D)x2 A cos(
振动和波习题课
振动和波习题课壹内容提要一. 振动1.简谐振动的定义：恢复力F=-kx微分方程d2x/d t2+ω2x=0运动方程x=A cos(ωt+ϕ0)弹簧振子ω=(k/m)1/2，单摆ω=(g/l)1/2，复摆ω=(mgh/J)1/2；2.描述谐振动的物理量：(1)固有量：固有频率ω，周期T，频率ν其关系为ω=2π/T=2πνν=1/T(2)非固有量，振幅A A=(x02+v02/ω2)1/2位相ϕϕ=ωt+ϕ0初位相ϕ0tanϕ0=-v0/(ω x0)(再结合另一三角函数定出ϕ0)；3.旋转矢量法(略)；4.谐振动能量：E k=E sin2(ωt+ϕ0)E p=E cos2(ωt+ϕ0)E=E k+ E p5.谐振动的合成：(1)同方向同频率两谐振动的合成A=[A12+A22+2A1A2cos(ϕ20-ϕ10)]1/2tgϕ0=(A1sinϕ10+A2sinϕ20)/(A1cosϕ10+A2cosϕ20) (再结合另一三角函数定出ϕ0)拍∆ω<<ω1拍频∆ν=|ν2-ν1| (2)相互垂直振动的合成ω1与ω2成简单整数比时成李萨如图形ω1=ω2时为椭圆方程：x2/A12+y2/A22- 2(x/A1)(y/A2)cos(ϕ20-ϕ10)=sin2(ϕ20-ϕ10) 二. 波动1.机械波的产生必须有波源及媒质，机械波的传播实质是相位(或振动状态)的传播；2.描述波的物理量：波长λ，频率ν，周期T，波速u其关系为T=1/ν=λ/u u=λ/T=λν3.平面简谐波的波动方程y=A cos(ωt-x/u+ϕ0)=A cos[2π(t/T-x/λ)+ϕ0]=A cos[(2π/λ)(x-ut)-ϕ0]；4.平均能量密度w=ρA2ω2/2，能流密度(波的强度) I=w u=ρA2ω2u/25.惠更斯原理(略)；6.波的叠加原理：独立性，叠加性；7.波的干涉(1)相干条件：频率相同，振动方向相同，位相差恒定。
振动与波习题课.
B
P x
30x
C
x
解：（1） 1 = 2 ，在BC间取一P点(如图) BP = r1 = x 由题意，应有 代入数值 CP = r2 = 30 x
4 x (30 x) (2k 1) 4k 2 2
r1 r2 ( 2 k 1) 2
x = 2k +16
k = 0, 1, 2,
（Ａ）
（B） （C） 5 （D） 0
2 4
A
a
b
o
A
2
9 8
解：由驻波位相分布特点知，同一波节两侧各点的位相相反。
所以选（Ａ）
9、当一平面简谐波通过两种均匀介质时，不会变化的物理量 是 A、波长和频率； C、波长和波速； 答案：D 10、已知一平面简谐波的表达式为y=Acos（at-bx），a、b为 正值，则 A、波的频率为a； B、波的传播速度为b/a； C、波长为π /b 答案：D D、波的周期为2π/a B、波速和频率 D、频率和周期
t x t x C y2 A cos2 0 D y2 A cos2 T T
解：反射波的传播方向与入射波方向相反，反射点为波节， 说明有半波损失。 故应选 (D)
8 某时刻驻波波形图曲线如图所示，则a,b两点位相差是
11、一周期为T的横波沿x轴正向传播，若t时刻波形曲线如图 所示，则在t+T/4时刻，x轴上1、2、3三点的振动位移分别是
A、A，0，-A； B、 -A，0，A
C、 0，A，0；
D、 0，-A，0；
12、图中为t=0时刻，以余弦函数表示的沿x轴正向传播的平面 简谐波的波动方程，则O点处质点振动的初相位为 A、 π/2 B、0 C、3 π/2 D、 π 答案:C
大学物理振动和波习题课
12、一质点作简谐振动，周期为 T。质点由平衡
位置向Ｘ轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一 最大位移这段路程所需要的时间为（ ）。
A T 4 B T 1 C 2 T 6 D T 8
解：令简谐振动为 xA si n t
则当 xA2 时， si n t0.5
Acos2(t 1) T2
Acos2T(t 13)
.
7.图中所示为两个简谐振动的振动曲线．若以余弦函数表 示这两个振动的合成结果，则合振动的方程为
xx1x2 0.04cos(t)
x (m)
0.08
O
-0.04
1
x1 t (s)
2 x2
.
8 如果在固定端 x0处反射的反射波方程式是
y2 Aco2stx
设反射波无能量损失，则入射波的方程式是（ ） 形成的驻波的表达式是（ ）。
y1OAcos2vt y2OA cos2vt
形成的驻入 波射 为波 ：方 程 y1Acos 2 t x
y y 1 y 2 A c 2 ot s2 x A c 2 ot s2 x
得：
S
wu
1 A22u
2
3.惠更斯原理和波的叠加原理
惠更斯原理:
波阵面上每一点都可以看作是发出球面子波的 新波源，这些子波的包络面就是下一时刻的波阵面。
波的叠加原理:
当几列波在介质中某点相遇时，该质点的
振动位移等于各列波单独传播时在该点引起位 移的矢量和。
.
4.波的干涉: 相干条件： 振动方向相同
频率相同
1.机械波
产生的条件： 波源和弹性介质
描述波动的特征量: 波速、波长、波的周期、频率
2.平面简谐波
波函数 yAcos(tux)
振动与波习题课
x/m
（九）波传播过程中，任一体积元的动能、 势能、总机 械能均随 t 作周期性变化，且变化是同相位的。平衡位置时， 体积元的动能、势能和总机械能均最大；位移最大时，三者 均为零。
平衡位置处 释放能量 最大位移处
Ek,Ep,E 吸收能量
0
（2）任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传 播能量。任一体积元的机械能不守恒。波动是能量传递的一 种方式。
二、基本内容
（一）简谐振动的特征
1.动力学特征 F kx
简谐振动动力学特征是物体受线性回复力作用。
简谐振动的动力学方程
d2 x 2x 0
dt2
简谐振动的特征式
2.运动学特征 x Acos(t 0 )
简谐振动的运动学方程（振动表达式或振动方程）
简谐振动的速度和加速度
v
0 )
2.时间推迟法 t x
u
y
A cos[ (t
x) u
0
]
3.波动表式的物理意义
（1）当x 一定时(x = x0)表示x0处质点的振动表式
（2）当t 一定时(t = t0)表示t0时
y/m
0.1
刻的波形曲线
o
0.05 3
（3）x、t 都变化反映了波形的传播
u 36 m/s
（2）周期 T 、频率ν和角频率ω
2π 2π
T
（3）相位 ( t 0 )和初相位 0
cos 0
x0 A
sin 0
v0
A
对给定的振动系统，频率由系统本身性质决定。
2.简谐振动的矢量图示法
M
旋转矢量表示法 3.振动曲线（x - t 图）
（九）波传播过程中，任一体积元的动能、 势能、总机 械能均随 t 作周期性变化，且变化是同相位的。平衡位置时， 体积元的动能、势能和总机械能均最大；位移最大时，三者 均为零。
平衡位置处 释放能量 最大位移处
Ek,Ep,E 吸收能量
0
（2）任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传 播能量。任一体积元的机械能不守恒。波动是能量传递的一 种方式。
二、基本内容
（一）简谐振动的特征
1.动力学特征 F kx
简谐振动动力学特征是物体受线性回复力作用。
简谐振动的动力学方程
d2 x 2x 0
dt2
简谐振动的特征式
2.运动学特征 x Acos(t 0 )
简谐振动的运动学方程（振动表达式或振动方程）
简谐振动的速度和加速度
v
0 )
2.时间推迟法 t x
u
y
A cos[ (t
x) u
0
]
3.波动表式的物理意义
（1）当x 一定时(x = x0)表示x0处质点的振动表式
（2）当t 一定时(t = t0)表示t0时
y/m
0.1
刻的波形曲线
o
0.05 3
（3）x、t 都变化反映了波形的传播
u 36 m/s
（2）周期 T 、频率ν和角频率ω
2π 2π
T
（3）相位 ( t 0 )和初相位 0
cos 0
x0 A
sin 0
v0
A
对给定的振动系统，频率由系统本身性质决定。
2.简谐振动的矢量图示法
M
旋转矢量表示法 3.振动曲线（x - t 图）
振动与波习题课
L
y2
Acos(t
2
x 2)
t
2
L 2
t
2
L 2
2
4
L
y2
Acos(t
2
x 4
L)
2
能流：单位时间内通过任一截面的能量
P wus P wus 1 A2 2us
2
波的强度： I P 1 A2 2u
3、惠更斯原理
s 2
①同一波面上各点都是发射下一级子波的波源
②下一时刻原波的波面即是各子波波面的包迹
4、干涉 条件：同方向，同频率，位相差恒定或同相 干涉：两列波在空间相遇出现的某些点振动极大，
速度： v A sin t 0 vm A
求某一时刻的速度 v A2 x2
加速度：a A 2 cos t 0 am A 2
能量：
E
Ek
Ep
1 2
kA2
A 2E k
周期性，只有振 动周期的一半
3、迭加 同方向，同频率，合成后仍是谐振动
A A12 A22 2A1 A2 cos 20 10
某些点振动极小的现象。
公式：
20
10
2
r2
r1
2k k 0,1,2 A A1 A2 强
2k 1 k 0,1,2 A A1 A2 弱
若 10 20
k k 0,1,2 强
r2 r1 2k 1 k 0,1,2 弱
2
5、驻波——干涉的特例 条件：①干涉条件，②振幅相同， ③沿同一直线相向传播 性质：①分段振动，各点振幅不同，波形、能量不向 外传播，
知在 x 2处振动方程为 y Acos。t 求（1）该
平面简谐波的波函数；（2）若在波线上 x L
医用物理学：振动与波习题课
三、描述简谐 运动的方法
1、数学方法 2、几何方法 （旋转矢量法）
A
t+ A
t=0
· t+
x o x x0
X
x = A cos( t + )
3、图线方法
例1 已知简谐运动曲线x-t如图所示，写出运动方程。
解：由图可知
x/m
0.10
A
0.10m,T
7 3
1 3
2s
0
15 36
4 3
11 7 6
3
孤立振动的质点机械能守恒,参与波动的质点机械能 不守恒,不停地进行着能量传递.
知识 点
一、简谐振动的特征与定义
1、动力学特征： F kx
d2 dt
x
2
2
x
0
2、运动学特征： x Acos(t )
v A sin( t ) a A2 cos(t )
3、能量特征
2x
动能：
Ek
1 mv 2 2
波长： uT 2 2
六、平面简谐波的波动方程
T
y( x, t)
Acos[ (t
x u
)
0
]
y( x, t)
Acos[2 ( t
T
x
)
0
]
y( x, t)
Acos[2 (t
x
)
0
]
y( x, t)
A cos [ 2
(x
ut ) 0 ]
七、描述波的几何方法及图线方法
1、几何表示法
波线（射线）、波面（同相面）、波前（波阵面）
20
X/cm
9、下图为一平面简谐波在t=0时的波形图，波沿Ox轴 正向传播，波速u=20m/s.写出点P、Q处质点的振动方程
振动和波习题课
20000 5 2 S 1.6 10 J / m s 2 4 10000
１0）入射波方程为y1=Acos2 (t/T+x/ )，在自由 端x=0处发生反射后形成驻波，设反射后波的强度 不变，则反射波方程为 ，在x=2／3处 质点合振动的振幅为 。
自由端：在反射点没有半波损失。
波动
1.理解机械波产生的条件；掌握描述平面简谐波 的各物理量及各量间的关系；掌握由已知质点 的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方 法；能运用波形图线分析和解决问题。 2.理解波的能量传播特征及能流密度概念。 3.了解电磁波的性质。 4.理解惠更斯原理和波的叠加原理；掌握波的相 干条件。能运用相位差和波程差分析、确定相 干波叠加后振幅加强或减弱的条件。 5.理解驻波的概念及其形成条件，能确定波腹和 波节的位置。 6.能用多普勒频移公式计算。
振动练习
１）一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置 的位移大小为振幅的1/4时,其动能为振动总能量的 [E ] （A）7／16
（B）9／16
（C）11／16
（D）13／16
（E）15／16
1 2 2 2 E k m A si n (t 0 ) 2 1 m 2 ( A2 x 2 ) 2
（D）1:1:2
1 1 1 弹簧的串并联： 串联时等效劲度系数 k k1 k 2
并联时等效劲度系数 k k1 k2
4）用余弦函数描述一简谐振动，速度V与时间t的 关系曲线如图所示，则振动初位相为[ A ] （ A） ／ 6 （B） ／３ （C） ／２ （D） ２／３ （Ｅ） ５／６
Байду номын сангаас振动
1.掌握描述简谐振动的各物理量，特别是相位, 及各物理量之间的关系。掌握位移-时间曲线， 掌握旋转矢量法。能根据给定的初始条件，写 出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意 义；能比较同频率的不同谐振动的相位差。 2.掌握简谐振动的动力学特征，能建立一维简谐 振动（弹簧振子、单摆、复摆等）的微分方程。 3.掌握同方向、同频率的两个简谐振动的合成规 律；了解拍和拍频；了解相互垂直、同频率的 两个简谐振动的合成情况。
振动与波动习题课
[C]
2.一简谐波沿X轴正方向传播，图中所示为
t =T /4 时的波形曲线。若振动以余弦函数
表示，且次提各点振动的初相取 到
之间的值，则：
（A）0点的初位相为 0= 0; （B）1点的初位相为 1= /2; （C）2点的初位相为 2= （D）3点的初位相为 3= /2;
频率为
(A)nS
(B)u uvRns
(C)uuvRnS ;
(D) u
u
vRnS
[B]
13.两列完全相同的平面简谐波相向而行 形成驻波。以下几种说法中为驻波所特有 的特征是： （A）有些质元总是静止不动； （B）迭加后各质点振动相位依次落后； （C）波节两侧的质元振动位相相反； （D）质元的振动能与势能之和不守恒。
(A) 1/2 ; (C) 1/3;
(B) 1/5; (D) 2/3.
[A]
13.两偏振片堆叠在一起，一束自然光垂 直入射其上时没有光线透过。当其中一偏 振片慢慢转动180 °时透射光强度发生的 变化为:
（A）光强单调增加； （B）光强先增加，后有减小至零； （C）光强先增加，后减小，再增加； （D）光强先增加，然后减小，再增加再 减小至零。
[B]
20.根据惠更斯-菲涅耳原理，若已知光在
某时刻的波阵面为 S，则 S 的前方某点 P 的光强度决定于波阵面 S 上所在面积元发 出的子波各自传到 P 点的
（A）振动振幅之和； （B）光强之和； （C）振动振幅之和的平方； （D）振动的相干叠加。
[D]
21.一束光是自然光和线偏振光的混合光， 让它垂直通过一偏振片。若以此入射光束 为轴旋转偏振片，测得透射光强度最大值 是最小值的 5 倍，那么入射光束中自然光 与线偏振光的光强比值为
2.一简谐波沿X轴正方向传播，图中所示为
t =T /4 时的波形曲线。若振动以余弦函数
表示，且次提各点振动的初相取 到
之间的值，则：
（A）0点的初位相为 0= 0; （B）1点的初位相为 1= /2; （C）2点的初位相为 2= （D）3点的初位相为 3= /2;
频率为
(A)nS
(B)u uvRns
(C)uuvRnS ;
(D) u
u
vRnS
[B]
13.两列完全相同的平面简谐波相向而行 形成驻波。以下几种说法中为驻波所特有 的特征是： （A）有些质元总是静止不动； （B）迭加后各质点振动相位依次落后； （C）波节两侧的质元振动位相相反； （D）质元的振动能与势能之和不守恒。
(A) 1/2 ; (C) 1/3;
(B) 1/5; (D) 2/3.
[A]
13.两偏振片堆叠在一起，一束自然光垂 直入射其上时没有光线透过。当其中一偏 振片慢慢转动180 °时透射光强度发生的 变化为:
（A）光强单调增加； （B）光强先增加，后有减小至零； （C）光强先增加，后减小，再增加； （D）光强先增加，然后减小，再增加再 减小至零。
[B]
20.根据惠更斯-菲涅耳原理，若已知光在
某时刻的波阵面为 S，则 S 的前方某点 P 的光强度决定于波阵面 S 上所在面积元发 出的子波各自传到 P 点的
（A）振动振幅之和； （B）光强之和； （C）振动振幅之和的平方； （D）振动的相干叠加。
[D]
21.一束光是自然光和线偏振光的混合光， 让它垂直通过一偏振片。若以此入射光束 为轴旋转偏振片，测得透射光强度最大值 是最小值的 5 倍，那么入射光束中自然光 与线偏振光的光强比值为
振动和波习题课
习题：1. 下面关于声波的说法中正确的是 （ ）A. 同一种声波在水中传播时的波长要比空气中传播时的波长要大B. 声波的传播速度与介质的种类及声源的振动频率有关C. 声波不论在什么介质中传播都是纵波D. 声波可以发生反射，也可以发生干涉和衍射2. 右图，两单摆的摆长相同，平衡时两球刚好接触，现将摆球A 向左拉开一小角度后释放，相碰后，两球分开各自做简谐振动。
以m A ，m B 分别代表A ，B 的质量，则： （ ）A. 如果m A ＞m B ，下一次碰撞将发生在平衡位置的右侧。
B. 如果m A ＜m B ，下一次碰撞将发生在平衡位置的左侧。
C. 无论两球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置的右侧。
D. 无论两球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置的左侧。
3. 单摆的摆长为L ，最大摆角为θ（θ＞5º），摆球的质量为m ，摆球由最大位移向平衡位置运动过程中：（ ） A. 重力的冲量为gL m 2π B. 合力的冲量为gL m )cos 1(θπ-C. 合力的冲量为)cos 1(2θ-gL mD. 合力的冲量为gL m2π 4. 在波的传播方向上有M 、N 两个质点，相距3.0米。
（小于一个波长）右图为这两个质点的振动图象。
其中实线为M 质点的振动图象，虚线为N 质点的振动图象，则这列波的传播方向和传播速度可能为（ ）A. 向右传播，v ＝3米/秒B. 向右传播，v ＝1米/秒C. 向左传播，v ＝3米/秒D. 向左传播，v ＝1米/秒5. 水平弹簧振子的振动图线如图7所示，弹簧振子在1.0s 时的弹性势能是0.40J ，若振子的质量是0.20kg ，则振子在4.0s 时的速度大小是 ；方向是 ；加速度的大小是 。
6. 轻质线绳od的悬点与一单摆的悬点o´相靠近，且处于同一水平线上，如右图所示。
在悬线上穿着一个小球B，它可沿悬线滑动，将单摆的摆球A由偏角小于5º处释放，与此同时将B球由悬点o释放，当A第一次通过它的平衡位置时，正好与滑行中的B球相碰，求B球与悬线之间的摩擦力与B球所受重力之比。
振动与波习题课
6、简谐振动的合成： 简谐振动的合成： 同方向、同频率的简谐振动的合成： 同方向、同频率的简谐振动的合成：
v A2
ϕ2 ϕ ϕ1
v A
v A1
x1
x (t ) = x1 (t ) + x2 (t )
= A cos(ωt + ϕ )
o
合成结果仍为同频率的简谐运动
x2
x
x
A=
2 A12 + A2 + 2 A1 A2 cos( ϕ 2 − ϕ 1 )
2π (r2 − r1 ) = ±2kπ k = 0,1,2,3,.....
λ 相消干涉： 相消干涉：∆ϕ = (ϕ20 − ϕ10 ) − 2π (r2 − r1 ) = ±(2k + 1)π k = 0,1,2,3,..... λ
相位、相位差和初相位的求法： 相位、相位差和初相位的求法：
解析法和 常用方法为解析法 旋转矢量法。 常用方法为解析法和旋转矢量法。 1、由已知的初条件求初相位： 、由已知的初条件求初相位： 已知初位置的大小、正负以及初速度的正负。 ①已知初位置的大小、正负以及初速度的正负。 A [例1]已知某质点振动的初位置 y0 = 且v0 > 0 。 例 已知某质点振动的初位置 2 y = A cos( ω t + ϕ )
A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 ϕ = arctg A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
机械波： 二、机械波：
1、产生的条件：波源及弹性媒质。 产生的条件：波源及弹性媒质。 2、描述波的物理量： 、描述波的物理量： 波长: 波传播时, 在同一波线上两个相邻的相位差为2 波长 波传播时 在同一波线上两个相邻的相位差为 π 的 质元之间的距离 （ λ ）。 周期:波前进一个波长的距离所需的时间（ 周期:波前进一个波长的距离所需的时间（T ）。 频率:单位时间内波动传播距离中所包含的完整波长的数目(ν)。 频率:单位时间内波动传播距离中所包含的完整波长的数目 。 波速: 波在介质中的传播速度为波速。（ 。（u 波速 波在介质中的传播速度为波速。（ ） 各物理量间的关系： 各物理量间的关系：
第7次习题课——振动和波
第七次习题课2016年12月21日1习题课2mlm 0R解答(1)圆盘与杆固连的时候，体系的角动量：由角动量定理可得：(2)圆盘与杆非固连的时候，设圆盘自转的角速度为ω0，由于没有力矩作用在圆盘的自转上，因此圆盘自转的角动量始终不变，此时体系相对转轴的角动量：同理运用角动量定理：习题课3 解答k m 0mv 0x两子弹射入木块中之后，体系的运动方程：设体系的平衡位置为l ，则有：代入到运动方程之中，并令x ′= x -l ：初始时刻体系的位移：初始时刻体系的初速度：从而可求的振幅和初相位：从初始位置运动到最高点的时间满足：解答l m1lm2 k两个单摆通过一个弹簧连接之后组成了一个耦合的系统。
分别对两个单摆进行分析，可得：因为单摆做小振动，所以有：求解可得：代入可得：习题课4习题课5xyx 0解答在x 0处入射波振动的位移与时间的关系：因固定端，所以反射波在x 0处振动的相位与入射波相差π，故反射波波源振动的位移与时间的关系为：所以反射波的表达式为：解答运动中的潜水艇起着两种作用，对静止的探测器发出的波而言，他是运动的接收者；对探测器接收到的反射波来说，它是运动的波源。
所以整个中应该考虑两次多普勒频移。
设潜水艇的速率为u，超声波的速率为v，则潜水艇接收到的波的频率满足：所以拍频：潜探测器收到的潜水艇反射回来的波的频率则满足：代入数值：习题课6在水平面上放置一个滑块(其质量为m), 将其左端通过一个弹簧(劲度系数为k)固定到墙上, 如图所示; 而后在水平面上开一个槽, 使得在滑块下端可以连一个单摆(摆球质量为m, 摆长为l), 单摆可以在竖直平面内作小振幅摆动; 求该系统的简正频率。
Ok mm θlx习题课7习题课8在水平面上放置一个滑块(其质量为m ), 将其左端通过一个弹簧(劲度系数为k )固定到墙上, 如图所示; 而后在水平面上开一个槽, 使得在滑块下端可以连一个单摆(摆球质量为m , 摆长为l ), 单摆可以在竖直平面内作小振幅摆动; 求该系统的简正频率。
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2
0.24 0.12 0.06
2 2
V0
2 A2 x0
2.3
T
（2）
2
2
3.7
v x A
2
0.12 0.12 0.108m 2.3
2
2
3、一物体质量为 0.25kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的 倔强系数 k=25Nm-1，如果起始振动具有势能 0.06J 和动能 0.02J， 则振幅为——；经过平衡位置时物体的速度为——。 解（1）
x y1 A cos2 t
x y2 A cos 2 t
2 y 2 A cos x cos 2 t 2 2 2 x k 成立 2
11、一周期为T的横波沿x轴正向传播，若t时刻波形曲线如图 所示，则在t+T/4时刻，x轴上1、2、3三点的振动位移分别是
A、A，0，-A； B、 -A，0，A
C、 0，A，0；
Hale Waihona Puke D、 0，-A，0；12、图中为t=0时刻，以余弦函数表示的沿x轴正向传播的平面 简谐波的波动方程，则O点处质点振动的初相位为 A、 π/2 B、0 C、3 π/2 D、 π 答案:C
t x t x C y2 A cos2 0 D y2 A cos2 T T
解：反射波的传播方向与入射波方向相反，反射点为波节， 说明有半波损失。 故应选 (D)
8 某时刻驻波波形图曲线如图所示，则a,b两点位相差是
（Ａ）
（B） （C） 5 （D） 0
2 4
A
a
b
o
A
2
9 8
解：由驻波位相分布特点知，同一波节两侧各点的位相相反。
所以选（Ａ）
9、当一平面简谐波通过两种均匀介质时，不会变化的物理量 是 A、波长和频率； C、波长和波速； 答案：D 10、已知一平面简谐波的表达式为y=Acos（at-bx），a、b为 正值，则 A、波的频率为a； B、波的传播速度为b/a； C、波长为π /b 答案：D D、波的周期为2π/a B、波速和频率 D、频率和周期
例4、两人各执长为l的绳的一端, 以相同的角频率ω和 振幅A在绳上激起振动, 右端的人的振动比左端的人的 振动相位超前 。试以绳的中点为坐标原点描写合成 驻波。由于绳很长, 不考虑反射。绳上波速设为u。
解: 设左端振源振动为
则右端振源振动为
y1 A cos(t 2)
y2 A cos(t 2)
A C
1 2 1 2
2 A 2 3A
2
B D 1 2
1 2
2 A 3A
2 2
答：选（B）
d 2x 2 a 2 A cos t dt 4 T 2 1 t 4 4 2
2
1 2 a A cos 2 A 2 4 2
0.4 t 0 时， x A 0 0
5
0 0.2 0.4 0.6 t ( s)
X a 5 cos(5t )cm 2 (b) A 3cm 10
0.2
(a) X(cm)
3 t ( s)
t 0时，x 0 0, v0 0
3 X b 3 cos(10t )cm 2
x = 0, 2, 4, …, 30m为静止点
（2）B点为波峰时，C点恰为波谷，说明1 2 =
(1 2 ) 2
r1 r2
(2k 1)
2
x (30 x)
(2k 1)
x = 1, 3, 5, … , 29m为静止点。
例2 s1 、s2是两相干波源，相距，s１比s２的周相超前， 设两波源在s１、s２的连线上的强度相同且不随距离变化，问s1 s2的连线上，s1外侧各点处的合成强度如何？s2外侧各点的强度 又如何？
1 2 E Ek E p kA 2
A 2( Ek E p ) / k 0.08m
（2）过平衡点时，x=0，此时动能等于总能量
1 2 E Ek E p mv 2
v 2( Ek E p ) / m 0.8m / s
4、 两谐振动方程分别为
x1 A cos t , x2 3 A cos t 3 4 4
A) y A cos t ( x0 x ) / u 0
D ) y A cos t ( x0 x ) / u 0
o
x0
x
x
x y( x , t ) A cos[ ( t ) 0 ] u
3、一物体作简谐振动，振动方程为 x=Acos（t+／4），在 t=T／4 时，物体的加速度为
波腹所在处的坐标为
2k 1
4
1 或 k 2 2
例1 B、C为处在同一媒质中相距30m的两个相干波源，它们 产生的相干波波长都为4m，且振幅相同。求下列两种情况下， BC 连线上因干涉而静止的各点的位置：（1）B、C 两波源的 初相位角1 = 2 ； （2）B 点为波峰时，C点恰为波谷。
s 2外侧的一点，
2
则
/ 2
r r
/ 1 / 2
4
1 2
r
/ 1
r
2 0 2 4
I Q 4I 0
例3 两波在一很长的弦线上传播，其波动方程式分别为: ｙ1＝4.00×10-2cos(π/3)( 4ｘ －24ｔ）（ＳＩ） ｙ2＝4.00×10-2cos(π/3)( 4ｘ ＋24ｔ）（ＳＩ） 求（１）两波的频率、波长、波速； （２）节点位置； （３）波腹位置． 解：（１）与标准波动方程 ｙ＝Ａｃｏｓ2 π（νｔ－ｘ／λ） 对比可得：
7
反射，反射点为一节点，则反射波的波动方程为
t x 设入射波的波动方程为 y1 A cos 2 ，在x＝0处发生 T
t x Ay 2 A cos2 0 T
t x B y2 A cos 2 T
2
驻波方程为 节点位置満足
y2 4.00102 cos8t 4x 3 4x 2 y 2 4.00 10 cos cos 8t
3
4 πｘ／3 ＝±（ｎπ＋ π/2）
ｘ＝±3（ｎ＋1/2）／4 （ｍ）ｎ＝０，１，２，３ （３）波腹位置 4 πｘ／3＝±ｎπ ｘ＝±3ｎ／4 （ｍ） ｎ＝０，１，２，３
5、一弹簧振子作简谐振动，总能量为E，若振幅增 加为原来2倍，质量增加为4倍。其总能量为
A、2E ；B、4E；C、E；D、16E
答案：B；因E=1/2kA2 6、玩具气枪内弹簧的劲度系数为k=20N/m，射击前 弹簧倍压缩30cm，则5.0g的子弹向上射出的高度为 A、8m；
答案：D
B、10m； C、16m； D、18m
13、驻波中，两个相邻波节间各质点的振动是
A、振幅相同，相位相同 B、振幅不同，相位相同 C、振幅相同，相位不同 D、振幅不同，相位不同 答案：B 14、在同一介质中两列相干的平面简谐波的强度之比为I1/I2=4,则 其振幅之比为 A、4； 答案：B B、2； C、16； D、1/4
1、振动曲线如图 (a)(b)所示，试写出它们的振动方程为——和— —。 2 x(cm) 解 ( a ) A 5cm 5
u 8m C B 5m A 9m D x
解: 由点A的简谐运动方程可知 4 频率: f 2s 1 2 2
波长:
u 20 10(m) v 2
6 设入射波的表达式为
波在x＝0处反射,反射点为一固定端，则反射波的表达式为— ——————驻波的表达式为—————————入射波和反 射波合成的驻波的波腹所在处的坐标为——————— 解： 反射波的表达式为 驻波的表达式为 在波腹处应有
l 左端振源传到原点的振动 y1 A cos t 2u 2 l 右端振源传到原点的振动 y2 A cos t 2u 2
它们的合振动的振幅为——。 解：设合振动为
x A cos t , 则
A
2 A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
3 而 4 4 2
A合
2 A12 A2
A2 3 A2 2 A
5 、一平面简谐波以速度 u=20m.s-1 沿直线向右传播 , 已知在传播路径上某点A简谐运动方程为 y=(310-2)cos(4t) (m)。 以点A为坐标原点, D点的振动方程为——; B点振动 方程为——; CD的相位差为——。
习
题
1、已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米， 时间的单位为秒，则简谐振动的振动方程为： [ C ]
A) x 2 cos(2t / 3 2 / 3)cm B ) x 2 cos(2t / 3 2 / 3)cm C ) x 2 cos(4t / 3 2 / 3)cm D) x 2 cos(4t / 3 2 / 3)cm
4 谐振动过程中，动能和势能相等的位置的位移为
A
A ; 4
2
B
A ; 2
2
C
2
3 A; 2
D
2 A 2
解： 1 mv 2 1 kx 2 1 kA 2
1 2 1 2 而题知 mv kx 2 2
1 2 11 2 kx kA 2 22
0.24 0.12 0.06
2 2
V0
2 A2 x0
2.3
T
（2）
2
2
3.7
v x A
2
0.12 0.12 0.108m 2.3
2
2
3、一物体质量为 0.25kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的 倔强系数 k=25Nm-1，如果起始振动具有势能 0.06J 和动能 0.02J， 则振幅为——；经过平衡位置时物体的速度为——。 解（1）
x y1 A cos2 t
x y2 A cos 2 t
2 y 2 A cos x cos 2 t 2 2 2 x k 成立 2
11、一周期为T的横波沿x轴正向传播，若t时刻波形曲线如图 所示，则在t+T/4时刻，x轴上1、2、3三点的振动位移分别是
A、A，0，-A； B、 -A，0，A
C、 0，A，0；
Hale Waihona Puke D、 0，-A，0；12、图中为t=0时刻，以余弦函数表示的沿x轴正向传播的平面 简谐波的波动方程，则O点处质点振动的初相位为 A、 π/2 B、0 C、3 π/2 D、 π 答案:C
t x t x C y2 A cos2 0 D y2 A cos2 T T
解：反射波的传播方向与入射波方向相反，反射点为波节， 说明有半波损失。 故应选 (D)
8 某时刻驻波波形图曲线如图所示，则a,b两点位相差是
（Ａ）
（B） （C） 5 （D） 0
2 4
A
a
b
o
A
2
9 8
解：由驻波位相分布特点知，同一波节两侧各点的位相相反。
所以选（Ａ）
9、当一平面简谐波通过两种均匀介质时，不会变化的物理量 是 A、波长和频率； C、波长和波速； 答案：D 10、已知一平面简谐波的表达式为y=Acos（at-bx），a、b为 正值，则 A、波的频率为a； B、波的传播速度为b/a； C、波长为π /b 答案：D D、波的周期为2π/a B、波速和频率 D、频率和周期
例4、两人各执长为l的绳的一端, 以相同的角频率ω和 振幅A在绳上激起振动, 右端的人的振动比左端的人的 振动相位超前 。试以绳的中点为坐标原点描写合成 驻波。由于绳很长, 不考虑反射。绳上波速设为u。
解: 设左端振源振动为
则右端振源振动为
y1 A cos(t 2)
y2 A cos(t 2)
A C
1 2 1 2
2 A 2 3A
2
B D 1 2
1 2
2 A 3A
2 2
答：选（B）
d 2x 2 a 2 A cos t dt 4 T 2 1 t 4 4 2
2
1 2 a A cos 2 A 2 4 2
0.4 t 0 时， x A 0 0
5
0 0.2 0.4 0.6 t ( s)
X a 5 cos(5t )cm 2 (b) A 3cm 10
0.2
(a) X(cm)
3 t ( s)
t 0时，x 0 0, v0 0
3 X b 3 cos(10t )cm 2
x = 0, 2, 4, …, 30m为静止点
（2）B点为波峰时，C点恰为波谷，说明1 2 =
(1 2 ) 2
r1 r2
(2k 1)
2
x (30 x)
(2k 1)
x = 1, 3, 5, … , 29m为静止点。
例2 s1 、s2是两相干波源，相距，s１比s２的周相超前， 设两波源在s１、s２的连线上的强度相同且不随距离变化，问s1 s2的连线上，s1外侧各点处的合成强度如何？s2外侧各点的强度 又如何？
1 2 E Ek E p kA 2
A 2( Ek E p ) / k 0.08m
（2）过平衡点时，x=0，此时动能等于总能量
1 2 E Ek E p mv 2
v 2( Ek E p ) / m 0.8m / s
4、 两谐振动方程分别为
x1 A cos t , x2 3 A cos t 3 4 4
A) y A cos t ( x0 x ) / u 0
D ) y A cos t ( x0 x ) / u 0
o
x0
x
x
x y( x , t ) A cos[ ( t ) 0 ] u
3、一物体作简谐振动，振动方程为 x=Acos（t+／4），在 t=T／4 时，物体的加速度为
波腹所在处的坐标为
2k 1
4
1 或 k 2 2
例1 B、C为处在同一媒质中相距30m的两个相干波源，它们 产生的相干波波长都为4m，且振幅相同。求下列两种情况下， BC 连线上因干涉而静止的各点的位置：（1）B、C 两波源的 初相位角1 = 2 ； （2）B 点为波峰时，C点恰为波谷。
s 2外侧的一点，
2
则
/ 2
r r
/ 1 / 2
4
1 2
r
/ 1
r
2 0 2 4
I Q 4I 0
例3 两波在一很长的弦线上传播，其波动方程式分别为: ｙ1＝4.00×10-2cos(π/3)( 4ｘ －24ｔ）（ＳＩ） ｙ2＝4.00×10-2cos(π/3)( 4ｘ ＋24ｔ）（ＳＩ） 求（１）两波的频率、波长、波速； （２）节点位置； （３）波腹位置． 解：（１）与标准波动方程 ｙ＝Ａｃｏｓ2 π（νｔ－ｘ／λ） 对比可得：
7
反射，反射点为一节点，则反射波的波动方程为
t x 设入射波的波动方程为 y1 A cos 2 ，在x＝0处发生 T
t x Ay 2 A cos2 0 T
t x B y2 A cos 2 T
2
驻波方程为 节点位置満足
y2 4.00102 cos8t 4x 3 4x 2 y 2 4.00 10 cos cos 8t
3
4 πｘ／3 ＝±（ｎπ＋ π/2）
ｘ＝±3（ｎ＋1/2）／4 （ｍ）ｎ＝０，１，２，３ （３）波腹位置 4 πｘ／3＝±ｎπ ｘ＝±3ｎ／4 （ｍ） ｎ＝０，１，２，３
5、一弹簧振子作简谐振动，总能量为E，若振幅增 加为原来2倍，质量增加为4倍。其总能量为
A、2E ；B、4E；C、E；D、16E
答案：B；因E=1/2kA2 6、玩具气枪内弹簧的劲度系数为k=20N/m，射击前 弹簧倍压缩30cm，则5.0g的子弹向上射出的高度为 A、8m；
答案：D
B、10m； C、16m； D、18m
13、驻波中，两个相邻波节间各质点的振动是
A、振幅相同，相位相同 B、振幅不同，相位相同 C、振幅相同，相位不同 D、振幅不同，相位不同 答案：B 14、在同一介质中两列相干的平面简谐波的强度之比为I1/I2=4,则 其振幅之比为 A、4； 答案：B B、2； C、16； D、1/4
1、振动曲线如图 (a)(b)所示，试写出它们的振动方程为——和— —。 2 x(cm) 解 ( a ) A 5cm 5
u 8m C B 5m A 9m D x
解: 由点A的简谐运动方程可知 4 频率: f 2s 1 2 2
波长:
u 20 10(m) v 2
6 设入射波的表达式为
波在x＝0处反射,反射点为一固定端，则反射波的表达式为— ——————驻波的表达式为—————————入射波和反 射波合成的驻波的波腹所在处的坐标为——————— 解： 反射波的表达式为 驻波的表达式为 在波腹处应有
l 左端振源传到原点的振动 y1 A cos t 2u 2 l 右端振源传到原点的振动 y2 A cos t 2u 2
它们的合振动的振幅为——。 解：设合振动为
x A cos t , 则
A
2 A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
3 而 4 4 2
A合
2 A12 A2
A2 3 A2 2 A
5 、一平面简谐波以速度 u=20m.s-1 沿直线向右传播 , 已知在传播路径上某点A简谐运动方程为 y=(310-2)cos(4t) (m)。 以点A为坐标原点, D点的振动方程为——; B点振动 方程为——; CD的相位差为——。
习
题
1、已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米， 时间的单位为秒，则简谐振动的振动方程为： [ C ]
A) x 2 cos(2t / 3 2 / 3)cm B ) x 2 cos(2t / 3 2 / 3)cm C ) x 2 cos(4t / 3 2 / 3)cm D) x 2 cos(4t / 3 2 / 3)cm
4 谐振动过程中，动能和势能相等的位置的位移为
A
A ; 4
2
B
A ; 2
2
C
2
3 A; 2
D
2 A 2
解： 1 mv 2 1 kx 2 1 kA 2
1 2 1 2 而题知 mv kx 2 2
1 2 11 2 kx kA 2 22