振动与波习题课

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反射，反射点为一节点，则反射波的波动方程为
t x 设入射波的波动方程为 y1 A cos 2 ，在x＝0处发生 T
t x Ay 2 A cos2 0 T
t x B y2 A cos 2 T
l 左端振源传到原点的振动 y1 A cos t 2u 2 l 右端振源传到原点的振动 y2 A cos t 2u 2
x(cm)
1 2
o
1
t( s)
2、一平面简谐波沿 x 轴负方向传播。已知 x = x0 处质点的 振动方程为 y A cos(t 0 )。若波速为u,则此波的 波动方程为： [ A ]
C ) y A cos t ( x0 x ) / u 0
B ) y A cos t ( x x0 ) / u 0
（Ａ）
（B） （C） 5 （D） 0
2 4
A
a
b
o
A

2
9 8
解：由驻波位相分布特点知，同一波节两侧各点的位相相反。
所以选（Ａ）
9、当一平面简谐波通过两种均匀介质时，不会变化的物理量 是 A、波长和频率； C、波长和波速； 答案：D 10、已知一平面简谐波的表达式为y=Acos（at-bx），a、b为 正值，则 A、波的频率为a； B、波的传播速度为b/a； C、波长为π /b 答案：D D、波的周期为2π/a B、波速和频率 D、频率和周期
y1 4.00102 cos 1 t 3 4 x 24 4.00102 cos8t 4x 3
4.0010 cos2 4t x
2
3 2

ν ＝4Ｈｚ， λ＝1.50ｍ 波速 ｕ＝ ν λ＝6.00ｍ／ｓ
（２）节点位置 根据
y1 4.0010 cos8t 4x 3
波腹所在处的坐标为
2k 1

4
1 或 k 2 2
例1 B、C为处在同一媒质中相距30m的两个相干波源，它们 产生的相干波波长都为4m，且振幅相同。求下列两种情况下， BC 连线上因干涉而静止的各点的位置：（1）B、C 两波源的 初相位角1 = 2 ； （2）B 点为波峰时，C点恰为波谷。
它们的合振动的振幅为——。 解：设合振动为




x A cos t , 则
A
2 A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
3 而 4 4 2
A合
2 A12 A2
A2 3 A2 2 A
5 、一平面简谐波以速度 u=20m.s-1 沿直线向右传播 , 已知在传播路径上某点A简谐运动方程为 y=(310-2)cos(4t) (m)。 以点A为坐标原点, D点的振动方程为——; B点振动 方程为——; CD的相位差为——。
s 2外侧的一点，
2
则
/ 2
r r
/ 1 / 2

4
1 2

r
/ 1
r

2 0 2 4

I Q 4I 0
例3 两波在一很长的弦线上传播，其波动方程式分别为: ｙ1＝4.00×10-2cos(π/3)( 4ｘ －24ｔ）（ＳＩ） ｙ2＝4.00×10-2cos(π/3)( 4ｘ ＋24ｔ）（ＳＩ） 求（１）两波的频率、波长、波速； （２）节点位置； （３）波腹位置． 解：（１）与标准波动方程 ｙ＝Ａｃｏｓ2 π（νｔ－ｘ／λ） 对比可得：
13、驻波中，两个相邻波节间各质点的振动是
A、振幅相同，相位相同 B、振幅不同，相位相同 C、振幅相同，相位不同 D、振幅不同，相位不同 答案：B 14、在同一介质中两列相干的平面简谐波的强度之比为I1/I2=4,则 其振幅之比为 A、4； 答案：B B、2； C、16； D、1/4
1、振动曲线如图 (a)(b)所示，试写出它们的振动方程为——和— —。 2 x(cm) 解 ( a ) A 5cm 5
u 8m C B 5m A 9m D x
解: 由点A的简谐运动方程可知 4 频率: f 2s 1 2 2
波长:
u 20 10(m) v 2
6 设入射波的表达式为
波在x＝0处反射,反射点为一固定端，则反射波的表达式为— ——————驻波的表达式为—————————入射波和反 射波合成的驻波的波腹所在处的坐标为——————— 解： 反射波的表达式为 驻波的表达式为 在波腹处应有
2
驻波方程为 节点位置満足
y2 4.00102 cos8t 4x 3 4x 2 y 2 4.00 10 cos cos 8t
3
4 πｘ／3 ＝±（ｎπ＋ π/2）
ｘ＝±3（ｎ＋1/2）／4 （ｍ）ｎ＝０，１，２，３ （３）波腹位置 4 πｘ／3＝±ｎπ ｘ＝±3ｎ／4 （ｍ） ｎ＝０，１，２，３
x y1 A cos2 t
x y2 A cos 2 t
2 y 2 A cos x cos 2 t 2 2 2 x k 成立 2
习
题
1、已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米， 时间的单位为秒，则简谐振动的振动方程为： [ C ]
A) x 2 cos(2t / 3 2 / 3)cm B ) x 2 cos(2t / 3 2 / 3)cm C ) x 2 cos(4t / 3 2 / 3)cm D) x 2 cos(4t / 3 2 / 3)cm
例4、两人各执长为l的绳的一端, 以相同的角频率ω和 振幅A在绳上激起振动, 右端的人的振动比左端的人的 振动相位超前 。试以绳的中点为坐标原点描写合成 驻波。由于绳很长, 不考虑反射。绳上波速设为u。
解: 设左端振源振动为
则右端振源振动为
y1 A cos(t 2)
y2 A cos(t 2)
0.4 t 0 时， x A 0 0
5
0 0.2 0.4 0.6 t ( s)
X a 5 cos(5t )cm 2 (b) A 3cm 10
0.2
(a) X(cm)
3 t ( s)
t 0时，x 0 0, v0 0
3 X b 3 cos(10t )cm 2
t x t x C y2 A cos2 0 D y2 A cos2 T T
解：反射波的传播方向与入射波方向相反，反射点为波节， 说明有半波损失。 故应选 (D)
8 某时刻驻波波形图曲线如图所示，则a,b两点位相差是
11、一周期为T的横波沿x轴正向传播，若t时刻波形曲线如图 所示，则在t+T/4时刻，x轴上1、2、3三点的振动位移分别是
A、A，0，-A； B、 -A，0，A
C、 0，A，0；
D、 0，-A，0；
12、图中为t=0时刻，以余弦函数表示的沿x轴正向传播的平面 简谐波的波动方程，则O点处质点振动的初相位为 A、 π/2 B、0 C、3 π/2 D、 π 答案:C
4 谐振动过程中，动能和势能相等的位置的位移为
A
A ; 4
2
B
A ; 2
2
C
2
3 A; 2
D
2 A 2
解： 1 mv 2 1 kx 2 1 kA 2
1 2 1 2 而题知 mv kx 2 2
1 2 11 2 kx kA 2 22
2 于是 x A, 即应选D 2
A C
1 2 1 2
2 A 2 3A
2
B D 1 2
1 2
2 A 3A
2 2
答：选（B）
d 2x 2 a 2 A cos t dt 4 T 2 1 t 4 4 2
2
1 2 a A cos 2 A 2 4 2
r2
P
r1
s1

4
s2
x
解：1、设p为
s1
外侧的一点，且有
1 2

2
2
r1 r2

4
2 则 1 2 r1 r2 （干涉相消） 2 4

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以P点的合振幅为零，
I p 0
r2
/
r
s1

4
/ 1
s2
Q
x
2、设Q为
B
P x
30x
C
x
解：（1） 1 = 2 ，在BC间取一P点(如图) BP = r1 = x 由题意，应有 代入数值 CP = r2 = 30 x
4 x (30 x) (2k 1) 4k 2 2
r1 r2 ( 2 k 1) 2
x = 2k +16
k = 0, 1, 2,
2

0.24 0.12 0.06
2 2
V0
2 A2 x0

2.3
T
（2）
2

2
3.7
v x A
2
0.12 0.12 0.108m 2.3
2
2
3、一物体质量为 0.25kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的 倔强系数 k=25Nm-1，如果起始振动具有势能 0.06J 和动能 0.02J， 则振幅为——；经过平衡位置时物体的速度为——。 解（1）
3 0 或 ( ) 2 2
0
0.1 0.2 (b)
0.3
2、一质量为M的物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是 12cm，在距平衡位置6cm处速度是24cm/s，周期T=——； 当速 度是12cm/s时的位移为——。 解（1） A x 2 V0 0 2 代入有关数值
5、一弹簧振子作简谐振动，总能量为E，若振幅增 加为原来2倍，质量增加为4倍。其总能量为
A、2E ；B、4E；C、E；D、16E
答案：B；因E=1/2kA2 6、玩具气枪内弹簧的劲度系数为k=20N/m，射击前 弹簧倍压缩30cm，则5.0g的子弹向上射出的高度为 A、8m；
答案：D
B、10m； C、16m； D、18m
A) y A cos t ( x0 x ) / u 0
D ) y A cos t ( x0 x ) / u 0
o
x0
x
x
x y( x , t ) A cos[ ( t ) 0 ] u
3、一物体作简谐振动，振动方程为 x=Acos（t+／4），在 t=T／4 时，物体的加速度为
x = 0, 2, 4, …, 30m为静止点
（2）B点为波峰时，C点恰为波谷，说明1 2 =
(1 2 ) 2
r1 r2

(2k 1)
2
x (30 x)

(2k 1)
x = 1, 3, 5, … , 29m为静止点。
例2 s1 、s2是两相干波源，相距，s１比s２的周相超前， 设两波源在s１、s２的连线上的强度相同且不随距离变化，问s1 s2的连线上，s1外侧各点处的合成强度如何？s2外侧各点的强度 又如何？
1 2 E Ek E p kA 2
A 2( Ek E p ) / k 0.08m
（2）过平衡点时，x=0，此时动能等于总能量
1 2 E Ek E p mv 2
v 2( Ek E p ) / m 0.8m / s
4、 两谐振动方程分别为
x1 A cos t , x2 3 A cos t 3 4 4