高中抽象函数专题训练

高中抽象函数专题训练

1、函数f(x)在定义域R 上不是常数函数，且f(x)满足条件，对任意x ∈R ，都有f(4+x)= f(4-x),f(x+1)=f(x-1),则f(x)是（ ）

A 、奇函数但非偶函数

B 、偶函数但非奇函数

C 、奇函数又是偶函数

D 、非奇非偶函数 2、函数)(x f y =与)(x g y =有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x ，有f(x)＋f(－x)＝0,g(x)g(－x)＝1，且x ≠0,g(x)≠1，则)(1

)()(2)(x f x g x f x F +-=

（ A ．是奇函数但不是偶函数 B ．是

偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函 3、已知定义域为R 的函数()x f 在区间()∞+，4上为减函数，且函数()4+=x f y 为偶函数，则（ ） A ．()()32f f > B ．()()52f f > C ．()()53f f >

D ．()()63f f >

4、若函数)(x f 满足：“对于区间（1，2）上的任意实数)(,2121x x x x ≠，||||)()(1212x x x f x f -<-恒成立，”则称)(x f 为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是 A ．x

x f 1)(=

B ．||)(x x f =

C ．x x f 2)(=

D ．2)(x x f =

5、(淮南市高三第一次模拟考试)设函数f (x )是定义在Ｒ上的以5为周期的奇函数，若f (2)>１， f (2008)=

3

3-+a a ，则a 的取值范围是（ ）

A. (－∞, 0)

B. (0, 3)

C. (0, +∞)

D. (－∞, 0)∪(3, +∞)

6、已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，那么在区间[1,3]-内，关于x 的方程()1f x kx k =++（其中k 是为不等于l 的实数）有四个不同的实根，则k 的取值范围是

A ．(1,0)-

B ．1(,0)2

-

C ．1

(,0)3-

D ．1

(,0)4-

7、若函数()f x 的定义域是[2，4]，则12

(log )f x 的定义域是（ ）

（A ） [

12

，1] （B ） [4，16] （C ）[

116

，

14

] （D ）[2，4 ]

8、设函数)(x f 定义于实数集上，对于任意实数,x y ，()()()f x y f x f y +=总成立，且存在12x x ≠，使得12()()f x f x ≠，求函数)(x f 的值域。

9、（1）设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x （2）已知函数f （x ）满足：()()(),(1)3f p q f p f q f +== 2

2

2

2

2

(1)(2)

(2)(4)

(3)(6)

(4)(8)

(5)(10)

___(1)

(3)

(5)

(7)

(9)

f f f f f f f f f f f f f f f ++++++

+

+

+

=

10、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-)2

(T f ____；又

若)(x f 为连续的函数且0)(=T f ，则)(x f 在[-T ，T]至少有几个根？

11、已知定义域为R 的函数)(x f 满足()(4)f x f x -=-+，且当2>x 时，)(x f 单调递增。如果421<+x x ，且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值的符号是____。

12、已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体, 存在非零常数T , 对任意R x ∈, 有

()()f x T Tf x +=成立.①函数()f x x =是否属于集合M ? 说明理由; ②设()f x M ∈, 且2T =, 已知

当12x <<时, ()ln f x x x =+, 求当32x -<<-时, ()f x 的解析式. 13、已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()2

2

f

f x x

x f x x x -+=-+①若(2)3f =，求(1)f ；又若

(0)f a =，求()f a ②设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析式。

14、设函数 ()f x 对任意 ,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，且 0x > 时，()0f x <，(1)2f =-. （1）求证：()f x 是奇函数；（2）试问在33x -≤≤ 时，()f x 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由

15、函数()f x 的定义域为{}:|0D x x ≠，且满足对于任意12,x x D ∈，有 1212()()()f x x f x f x ⋅=+． （1）求 (1)f 的值； （2）判断 ()f x 的奇偶性并证明；（3）如果 (4)1,(31)(26)3f f x f x =++-≤，且 ()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的取值范围

16、已知函数()f x 对任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =，且(1)1,(27)9f f

-==

，当01x ≤<时，

[)()0,1f x ∈。（1）判断()f x 的奇偶性； （2）判断()f x 在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；

（3）若0a ≥且(1)f a +≤

a 的取值范围。

17、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数：①对任意的 []0,1x ∈，总有 ()0f x ≥；②当12120,0,1x x x x ≥≥+≤ 时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+ 成立．已知函数

2

()g x x = 与()2x

h x b =-是定义在[0,1]上的函数．（1）试问函数 ()g x 是否为G 函数？并说明理由；

（2）若函数 ()h x 是G 函数，求实数 b 组成的集合；

18、已知函数()f x 对任意,x y R ∈，满足条件()()2()f x f y f x y +=++，且当0x >时，

()2,(3)5f x f >=，求不等式2

(22)3f a a --<的解。

19、定义在R 上的单调函数()f x 满足2(3)log 3f =且对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+．