平面直角坐标系0..
平面直角坐标系
式中：N———6°带的带号
图2离中央子午线越远，长度变形越大，在要求较小的投影变形时，可采用3°投影带。3°带是在......
应当注意的是，高斯投影没有角度变形，但有长度变形和面积变形，离中央子午线越远，变形就越大。其主 要特点有以下三点：
（1）投影后中央子午线为直线，长度不变形，其余经线投影对称并且凹向于中央子午线，离中央子午线越远， 变形越大。
第一象限还可以写成Ⅰ，第二象限还可以写成Ⅱ，第三象限还可以写成Ⅲ，第四象限也可以写成Ⅳ。 .第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
1.关于x轴成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。（横同纵反） 2.关于y轴成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。（横反纵同） 3.关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。（横纵皆反）
发展历程
笛卡尔坐标的思想是法国数学家、哲学家笛卡尔所创立的。
传说：
有一天，笛卡尔（Descartes 1596—1650，法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床，但他头脑一直没 有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？ 这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、 才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝 爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子 里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地 面交出了三条直线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位 置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3、 2、1，也可以用空间中的一个点 P来表示它们。同样，用一组数（a， b）可以表示平面上的一个点，平面上的 一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。百科x混知：图解 笛卡尔
八年级数学上册知识点：平面直角坐标系
八年级数学上册知识点：平面直角坐标系一、平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内两条有公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫横轴或轴，取向右的方向为正方向;铅直的数轴叫纵轴或轴，取向上的方向为正方向;两数轴的交点叫做坐标原点。
建立了直角坐标系的平面叫坐标平面.x轴和y轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫象限、第二象限、第三象限、第四象限，如图所示.说明：两条坐标轴不属于任何一个象限。
点的坐标：对于平面直角坐标系内任意一点P，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足在x轴，y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标，纵坐标，有序数对叫做P的坐标。
点与有序实数对的关系：坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系。
常见考法由点的位置确定点的坐标，由点的坐标确定点的位置;求某些特殊点的坐标。
误区提醒求点的坐标时，容易将横、纵坐标弄反，还容易忽略坐标符号;思考问题不周，容易出现漏解。
【典型例题】点p关于x轴的对称点p1的坐标是，点p 关于原点o的对称点P2的坐标是。
【解析】关于x轴的对称点的坐标是横坐标不变，纵坐标相反，关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标都要乘以-1，故本题应当填,。
一、目标与要求解有序数对的应用意义，了解平面上确定点的常用方法。
培养学生用数学的意识，激发学生的学习兴趣。
掌握坐标变化与图形平移的关系;能利用点的平移规律将平面图形进行平移;会根据图形上点的坐标的变化，来判定图形的移动过程。
发展学生的形象思维能力，和数形结合的意识。
坐标表示平移体现了平面直角坐标系在数学中的应用。
二、重点掌握坐标变化与图形平移的关系;有序数对及平面内确定点的方法。
三、难点利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题;利用有序数对表示平面内的点。
四、知识框架五、知识点、概念总结有序数对：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作其中a表示横轴，b表示纵轴。
《平面直角坐标系》课件(共20张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
4、如果以中心 广场为原点呢？
.
北
（－2，1） （3，1）
. . 雁塔
碑林
. （－2，－1）中 心 广 场 .大 成 殿
.. . （－1，－3） 影月楼 科技大学
B（0，-3） D（4，0） F（0，3）
思考 对比
1．平面直角坐标系中，点P(3，5)与Q(5，3) 是同一个点吗？
2.在平面直角坐标系下，点与实数对之间有何 关系？
*3.引入平面直角坐标系，有什么好处？
发现 归纳
• 在直角坐标系中，对于平面上的任意一点， 都有唯一的一对有序实数对（即点的坐标） 与它对应；
平面直角坐标系与点的坐标
平面直角坐标系与点的坐标平面直角坐标系是数学中常用的坐标系之一，用于描述平面上的点的位置。
它由两个相互垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。
一、直角坐标系的定义与特点直角坐标系是由两条相互垂直的直线构成，它们通常被称为x轴和y轴。
这两个轴分别代表了水平方向和垂直方向。
在这个坐标系中，我们可以用有序数对(x, y)来表示平面上的一个点P，其中x表示点P在x 轴上的坐标，y表示点P在y轴上的坐标。
直角坐标系的特点有以下几点：1. 坐标原点：直角坐标系中的原点O位于x轴和y轴的交点处，它的坐标为(0, 0)。
2. 坐标轴：x轴和y轴相互垂直，并且共同构成了整个平面。
3. 坐标值：每个点P在直角坐标系中都有唯一的坐标表示。
x轴的坐标值是实数集上的所有数，y轴的坐标值也是实数集上的所有数。
二、点的坐标表示方法在直角坐标系中，点P的坐标可通过以下方法求得：1. 水平和垂直距离：假设点P的水平距离为x，垂直距离为y，则点P的坐标为(x, y)。
2. 垂直和水平投影：假设点P的垂直投影在x轴上的坐标为x，水平投影在y轴上的坐标为y，则点P的坐标为(x, y)。
例如，点A位于x轴上，其坐标为(3, 0)；点B位于y轴上，其坐标为(0, 5)；点C位于第一象限，其坐标为(2, 4)；点D位于第四象限，其坐标为(-1, -2)。
三、坐标系的应用举例直角坐标系在数学和科学领域中有广泛的应用。
以下是一些具体的应用举例：1. 几何图形：通过直角坐标系，我们可以方便地描述几何图形的位置、形状和大小，如直线、抛物线、圆等。
2. 数据分析：直角坐标系可以用于绘制数据图表，帮助我们分析和比较数据，如折线图、柱状图、散点图等。
3. 物理学：在物理学中，直角坐标系可以用于描述力、速度、加速度等物理量的方向和大小。
4. 工程应用：直角坐标系可以应用于工程领域，如建筑设计、城市规划等，帮助确定位置、测量距离等。
总结：平面直角坐标系是用来描述平面上点的位置的数学工具，由x轴和y轴组成。
平面直角坐标系平面直角坐标系
在有些情况下，1个单位长度表示的单位量可能 不是1，需要具体问题具体分析。）
3
特点
坐标轴上的单位长度是等长的，即1个单位长度 上对应的坐标值是等距的。
象限与八分区
• 象限：将平面分成四个区域，左上、右上、左下、右下分别称为第一、第二、第三、第四象限。 • 八分区：将平面分成八个区域，类似于象限的划分方法，但是增加了两条坐标轴上的奇数和偶数分区。具
平面直角坐标系的优化算法
平面直角坐标系也可以用于解决优化问题，例如线 性规划、非线性规划等。
线性规划问题可以定义一个目标函数和一组约束条 件，通过求解目标函数的最大值或最小值，以及满
足约束条件的最优解得到最优解。
非线性规划问题可以定义一个非线性目标函数和 一组约束条件，通过求解目标函数的最小值或最 大值，以及满足约束条件的最优解得到最优解。
特点
平面直角坐标系具有简单易行、直观形象、易于理解与运用 等优点。
平面直角坐标系的重要性
数学科学的基础
平面直角坐标系是数学科学中最为基础和重要的概念之一，它为代数、几何 、分析等多个分支提供了桥梁和工具。
解决实际问题
平面直角坐标系广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、经济学等，用于 描述和分析实际问题。
体如下 • 第一象限：(+,+) • 第二象限：(-,+) • 第三象限：(-,-) • 第四象限：(+,-) • x轴正半轴：(+,0) • x轴负半轴：(0,-) • y轴正半轴：(0,+) • y轴负半轴：(-,0)
03
平面直角坐标系的应用
描述点的位置
平面直角坐标系由横轴和纵轴构成，原点表示为 (0,0)，可以在此基础上确定任意点的位置。
平面直角坐标系课件
（-3，0）
（0，0）
（3，0）
x
（3，-3）
2、春天到了，初一某班组织同学到人民公园春游.张明、 王丽二位同学和其他同学走散了.同学们已经到了中心广
场，而他们仍在牡丹园赏花，他们对着景区示意图在电 话中向老师告知了他们的位置.
张明：“我这里的坐标是（300，300）”
王丽：“我这里的坐标是（200，30y0）”. y
图3-5
解 如图3-5，先在x 轴上找到表示5的点，再在y 轴 上找出表示4 的点，过这两个点分别作x 轴，y
轴的垂线，垂线的交点就是点A. 类似地，其他
各点的位置如图所示.点A 在第一象限，点B 在 第二象限，点C在第三象限，点D在第四象限.
图3-5
写出平面直角坐标系中的A、B、C、E、F、G、H、O、T
2叫做点A的纵坐B（标2，3） A点在平面内的坐标为(3， 2) 记作：A（3，2）
·
·A（3，2）
方法：先横后纵
-4 -3 -2 -1 0 -1
1 2 3 4 5 x 横轴
平面直角坐标系上-2的点和有序实数对一一对应
-3
D
-4
E
（－3，－3）
（5，－4）
笛卡尔，法国数学家、 科学家和哲学家.早在 1637年以前，他受到了 经纬度的启示.（地理上 的经纬度是以赤道和本 初子午线为标准的，这 两条线从局部上看可以 看成平面内互相垂直的 两条线.）发明了平面直 角坐标系，又称笛卡尔 坐标系.
我们把北偏西60°，南偏东60°这样的角称为方位角.
例4 如图3-10，12 时我渔政船在H 岛正南方向， 距H岛30海里的A 处，渔政船以每小时40 海 里的速度向东航行， 13 时到达B处，并测 得H 岛的方向是北偏西53°6′. 那么此时渔 政船相对于H岛的位置怎样描述呢？
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是解析几何中常用的坐标系，用于描述平面上的点和其它几何图形。
本文将详细介绍平面直角坐标系的定义、性质及应用。
一、定义平面直角坐标系由两个互相垂直的数轴（x轴和y轴）构成。
x轴水平放置，从左到右逐渐增大；y轴垂直于x轴，从下往上逐渐增大。
两条轴的交点称为原点，记作O。
平面直角坐标系将平面上的点与有序的实数对（x，y）一一对应。
二、性质1. 坐标轴性质：x轴上的点坐标为(x, 0)，y轴上的点坐标为(0, y)。
2. 坐标线性质：对于坐标系内的一点P(x, y)，以x轴和y轴为边，可以得到4个区域，分别对应第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
3. 距离计算公式：两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)之间的距离d可以通过勾股定理求得：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]。
三、应用平面直角坐标系在解析几何中有广泛的应用，常与方程、图形和向量等相关联。
1. 方程：通过坐标系可以解决一元和两元方程的问题。
对于一元方程，可以将其在坐标系中表示为一条直线，并求解其根；对于两元方程，可以表示为一条曲线，通过坐标系求解方程组的解。
2. 图形：通过坐标系，可以准确地表示和描述各种几何图形，如直线、抛物线、双曲线等。
在坐标系中，每个点都有唯一的坐标，因此可以使用坐标来确定图形上的点的位置。
3. 向量：向量是平面直角坐标系中的重要概念之一。
向量的起点可以任意选取，表示为一个有向线段，并通过坐标系表示其方向和大小。
向量可以进行加法、减法、数量积等运算，在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
总结：平面直角坐标系是解析几何中最基本的坐标系之一，通过两个垂直的坐标轴构成。
它具有一些重要的性质，如坐标轴和坐标线的性质，以及距离计算公式。
平面直角坐标系在方程、图形和向量等方面有广泛的应用，能够准确地描述和解决各种几何问题。
平面直角坐标系知识讲解
平面直角坐标系知识讲解【要点梳理】要点一、有序数对定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．要点二、平面直角坐标系及点的坐标的概念1. 平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.2. 点的坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b 分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.要点诠释：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．要点三、坐标平面1. 象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．要点诠释：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2. 坐标平面的结构坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.要点四、点坐标的特征1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律要点诠释：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．3.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b)．4.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.【典型例题】类型一、有序数对表示位置1．如图是小刚的一张笑脸，他对妹妹说：如果我用（0,2）表示左眼，用（2,2）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（）．A．（1，0）B．（-1，0）C．（-1，1）D．（1，-1）【思路点拨】由（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，可以确定平面直角坐标系中x轴与y轴的位置，从而可以确定嘴的位置．【答案】A．【解析】解：根据（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，可得嘴的坐标是（1，0），故答案为A．【总结升华】此题考查了坐标确定位置，由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的关键．举一反三：【变式】下列数据不能表示物体位置的是（）．A．5楼6号B．北偏东30°C．希望路20号D．东经118°，北纬36°【答案】B （提示A. 5楼6号，是有序数对，能确定物体的位置；B.北偏东30°，不是有序数对，不能确定物体的位置；C.希望路20号，“希望路”相当于一个数据，是有序数对，能确定物体的位置；D.东经118°北纬36°，是有序数对，能确定物体的位置．）类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念2.有一个长方形ABCD，长为5，宽为3，先建立一个平面直角坐标系，在此坐标系下求出A，B，C，D各点的坐标.【答案与解析】解：本题答案不唯一，现列举三种解法.解法一：以点A为坐标原点，边AB所在的直线为x轴，边AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图（1）：A（0，0），B（5，0），C（5，3）， D （0，3）.解法二：以边AB的中点为坐标原点，边AB所在的直线为x轴，AB的中点和CD的中点所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图（2）：A（﹣2.5，0），B（2.5，0），C（2.5，3）， D （-2.5，3）.解法三：以两组对边中点所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图（3）：A（﹣2.5，-1.5），B（2.5，-1.5），C（2.5，1.5）， D （-2.5，1.5）.【总结升华】在不同平面直角坐标系中，长方形顶点坐标不同，说明位置的相对性与绝对性，即只要原点、x轴和y轴确定，每一个点的位置也确定，而一旦原点或x轴、y轴改变，每一个点的位置也相对应地改变.举一反三：【变式】点A(m，n)到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点A的坐标为________．【答案】(2，3)或(-2，3)或(-2，-3)或(2，-3).3.平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(-3，-1)，B(1，3)，C(2，-3)．求△ABC的面积．【思路点拨】三角形的三边都不与坐标轴平行，根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形的面积转化为梯形或长方形的面积减去多余的直角三角形的面积，即可求得此三角形的面积．【答案与解析】解：如图所示，过点A 、C 分别作平行于y 轴的直线与过B 点平行于x 轴的直线交于点D 、E ，则四边形ACED 为梯形，根据点A(-3，-1)、B(1，3)、C(2，-3)可求得AD ＝4，CE ＝6，DB ＝4，BE ＝1，DE ＝5，所以△ABC 的面积为：． 【总结升华】点的坐标能体现点到坐标轴的距离，解决平面直角坐标系中的三角形面积问题，就是要充分利用这一点，将不规则图形转化为规则图形，再利用相关图形的面积计算公式求解．举一反三：111()222ABC S AD CE DE AD DB CE BE =+--△111(46)5446114222=+⨯-⨯⨯-⨯⨯=【变式】如图所示，已知A 1(1，0)，A 2(1，1)，A 3(-1，1)，A 4(-1，-1)，A 5(2，-1)，……，则点A 2008的坐标为________．【答案】(-502，-502)．类型三、坐标平面及点的特征4. 在平面直角坐标系中，点（﹣1，m +1）一定在第________象限．【思路点拨】根据点在第二象限的坐标特点解答即可．【答案】二.【解析】解：∵点（﹣1，m +1）的横坐标﹣1＜0，纵坐标m +1＞0，∴符合点在第二象限的条件，故点（﹣1，m2+1）一定在第二象限．【总结升华】本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号．举一反三：【变式1】点P(－m,n)在第三象限，则m ，n 的取值范围是________.【答案】．【变式2】在平面直角坐标系中，横、纵坐标满足下面条件的点，分别在第几象限或哪条坐标轴上．(1)点P(x ，y)的坐标满足xy ＞0．(2)点P(x ，y)的坐标满足xy ＜0．（3）点P(x ，y)的坐标满足xy=0．2220,0m n ><【答案】(1)点P在第一、三象限；(2)点P在第二、四象限；（3）x轴或y轴.【变式3】若点C(x,y)满足x+y＜0，xy＞0，则点C在第_____象限.【答案】三．5.一个正方形的一边上的两个顶点O、A的坐标为O(0，0)，A(4，0)，则另外两个顶点的坐标是什么．【思路点拨】有点的坐标说明已有确定的平面直角坐标系，但正方形的另两个顶点位置不确定，所以应按不同位置分类去求．【答案与解析】解：不妨设另外两个顶点为B、C，因为OABC是正方形，所以OC＝BA＝BC＝OA＝4．且OC∥AB，OA∥BC，则：(1)当顶点B在第一象限时，如图所示，显然B点坐标为(4，4)，C点坐标为(0，4)．(2)当顶点B在第四象限时，如图所示，显然B点坐标为(4，-4)，C点坐标为(0，-4)．【总结升华】在解答这类问题时，我们千万不要忽略了分类讨论而导致错误．举一反三：【变式】在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐标是（）A.（0，0） B.（0，2） C.（2，﹣4） D.（﹣4，2）【答案】A。
平面直角坐标系复习课课件
斜截式
两点式
一般式
通过直线上的一个点和 斜率来表示直线方程。
通过直线的斜率和与y轴 的截距来表示直线方程
。
通过直线上的两个点来 表示直线方程。
包含直线上的所有点， 用x和y的项表示。
直线与圆的位置关系
相离
直线与圆没有交点，相离时圆心到直线的距离大于圆的半径。
相交
直线与圆有两个交点，相交时圆心到直线的距离小于圆的半径。
。
坐标系的基本元素
原点、x轴、y轴、正方向、单位长 度等。
点的坐标表示方法
用有序数对(x,y)表示，其中x是横坐 标，y是纵坐标。
象限与轴对称
象限定义
轴对称的性质
在平面直角坐标系中，将点(x,y)分为 四个象限，分别称为第一象限、第二 象限、第三象限和第四象限。
对称点的连线与对称轴垂直，且两点 到对称轴的距离相等。
内切
两个圆只有一个交点 ，且圆心距等于两个 圆的半径之差。
内含
两个圆无交点，且圆 心距小于两个圆的半 径之差。
05 平面直角坐标系中的变换
平移变换
总结词
通过在坐标系中沿特定方向和距离移动点来达到平移的目的 。
详细描述
平移变换是平面直角坐标系中最基本的变换之一。它是指将 点沿特定方向移动一定距离，距离可以是负数。平移变换不 改变图形的大小、形状和相对位置。
距离最短
在平面直角坐标系中，求解两点之间距离最短的问题通常 转化为求解斜率的问题，斜率等于0时距离最短。
面积最大
在平面直角坐标系中，求解由给定点构成的三角形或平行 四边形的最大面积问题，可以通过调整边长或高来实现。
平面直角坐标系中的轨迹问题
点的轨迹
在平面直角坐标系中，点的轨迹问题 通常涉及求直线、圆、椭圆、抛物线 等曲线的方程，通过已知条件确定曲 线方程。
平面直角坐标系
练一练: 练一练 写出图中点A、 、 、 、 、 、 、 写出图中点 、B、C、D、E、F、G、H 的坐标 y
B （-6，5） ， ）
7 ， ） 6F （0，6） A （3，5） ， ） 5 4 3 2 1
a、X轴的纵坐标为（ 0 ） 、 轴的纵坐标为（ 轴的纵坐标为 Y轴的横坐标为（ 0 ） 轴的横坐标为（ 轴的横坐标为 原点坐标为（ ， 原点坐标为（0，0）
例3、一个直四棱柱的俯视图如图所示，请建立适当的坐标系， 、一个直四棱柱的俯视图如图所示，请建立适当的坐标系， 在直角坐标系中作出俯视图，并标出各顶点的坐标: 在直角坐标系中作出俯视图，并标出各顶点的坐标 y D 单位:mm 单位 分析： 分析：为了使这个直四棱柱俯视 200 图的各个顶点坐标容易确定， 图的各个顶点坐标容易确定，可 C 以把点Ｅ作为坐标的原点， 以把点Ｅ作为坐标的原点，线段 4 D(0,3.5) 150 ＡＢ画在 轴上，那么ＤＥ 画在x轴上 ＤＥ就落在 ＡＢ画在 轴上，那么ＤＥ就落在 • E y轴上，选择适当的比例，求出Ａ、 轴上，选择适当的比例，求出Ａ、 轴上 3 B 100 200 50 Ｂ、Ｃ、Ｄ、各点的坐标 各点的坐标， A Ｂ、Ｃ、Ｄ、各点的坐标，再描 2 C(2.5,1.5) 用线段连结起来， 点、用线段连结起来，就得到所 • 思考：（1）为了较方便地 思考： ） 建立直角坐标系如右图， 求图形。 解：建立直角坐标系如右图，选 求图形。 1 确定点A， :１０，取点Ｅ 确定点 ，点B在坐标系中为直角 Ａ(-1,0) 在坐标系中 择比例为１ １０， 择比例为１ １０ 取点Ｅ B(2,0) • 的坐标，可怎样选择x轴 的坐标，可怎样选择 轴？ 2 １ x 坐标系的原点， 坐标系的原点，使俯视图中的线 -１ 0 1 • 3 为较方便地确定点D的坐标 的坐标， 为较方便地确定点 的坐标， ＡＢ在 轴上，则可得Ａ、Ｂ、 段ＡＢ在Ｘ轴上，则可得Ａ、Ｂ、 如何选择y轴？（2） 如何选择 轴？（ ）根据所 根据上述坐标在直角坐标系中 Ｃ、Ｄ各点的坐标分别为 Ｃ、Ｄ各点的坐标分别为 标注的尺寸， 标注的尺寸，如何选择坐标 作点A,B,C,D,并用线段依次连 作点 并用线段依次连 （-１,０），（２,０） １ ０），（２ ０ 轴的单位长度？ 轴的单位长度？ 结各点, 结各点
《平面直角坐标系》数学教学PPT课件(5篇)
新知讲解
练习：
如图，在平面直角坐标系中，你能分别写出点A，B，
C，D的坐标吗？x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？原
点的坐标是什么？
新知讲解
解：
A（4，0），B（-2，0），
C（0，5），D（0，-3）
① x轴上的点的纵坐标为0，一般记为（x，0）；
② y轴上的点的横坐标为0，一般记为（0，y）；
横轴，一般取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，
一般取向上方向为正方向。
3．坐标原点：在平面直角坐标系中，两坐标轴的交点为平面
直角坐标系的原点，一般用O来表示。
再 见
第七章 平面直角坐标系
平面直角坐标系
学习目标
1
了解平面直角坐标系及相关概念.
2
用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位置，能根据横、纵坐
为象限.
Ⅰ
-2
Ⅲ
第三象限
-1
-2
-3
-4
O
1
4
2
3
x
Ⅳ
第四象限
5
第二象限
4
Ⅱ
3
y
第一象限
点的位置 横坐标符号 纵坐标符号
Ⅰ
第一象限
2
1
-4
-1
-3
-2
Ⅲ
第三象限
-1
-2
-3
-4
第二象限
O
1
4
2
3
x
Ⅳ
第四象限
第三象限
第四象限
x轴
y轴
＋
－
－
＋
＋
＋
－
－
纵坐标为0
横坐标为0
例2
平面直角坐标系00表示坐标
平面直角坐标系00表示坐标
坐标系是一种用于描述物体位置的工具，它由两个互相垂直的坐标轴组成。
在平面直角坐标系中，这两个坐标轴通常被标记为x轴和y轴，它们的交点被定义为原点O，表示为(0, 0)。
在这个坐标系中，每个点都可以用一个有序对来表示，第一个数字表示点在x轴上的位置，第二个数字表示点在y轴上的位置。
例如，点A的坐标为(3, 2)，表示它在x轴上距离原点3个单位，在y轴上距离原点2个单位。
通过坐标系，我们可以方便地描述物体的位置和移动。
例如，如果一个物体在原点的基础上向右移动3个单位，向上移动2个单位，那么它的新坐标将是(3, 2)。
坐标系不仅可以用于描述物体的位置，还可以用于表示方向和距离。
例如，如果我们要从原点出发向右移动5个单位，我们可以将起点设置为原点，终点设置为(5, 0)，这样就可以清楚地描述出移动的方向和距离。
除了描述物体的位置和移动，坐标系还可以用于解决各种几何问题。
例如，我们可以利用坐标系来计算两个点之间的距离，或者判断一个点是否在一个图形内部。
平面直角坐标系是一种非常有用的工具，它可以帮助我们描述物体的位置、移动和几何性质。
通过熟练运用坐标系，我们可以更好地
理解和解决与位置有关的问题。
大地原点与平面直角坐标系的原点的区别
大地原点与平面直角坐标系的原点的区别
大地原点与平面直角坐标系的原点存在以下区别：
大地原点是大地坐标系中的一个特定点，通常选在特定范围的中心位置。
这个点的坐标是通过各种方法综合确定的，比如1980年西安坐标系的大地原点就是基于我国范围内高程异常平方和最小的条件，采用多点定位的结果来确定的。
大地原点的坐标不是（0，0，0），而是与大地原点在椭球上所处具体位置密切相关的（B，L，H）。
而平面直角坐标系的原点，通常定义为（0，0），是平面坐标系中各点位置的参照点。
平面直角坐标系是一种用于描述平面上点的位置的坐标系，与大地坐标系不同，其坐标系中的点位于平面上。
总的来说，大地原点是大地坐标系中的一个特定的、与地球形状和位置有关的点，而平面直角坐标系的原点则是平面坐标系中用于参照的、固定的点。
两者在定义、用途和确定方法上都有显著的差异。
平面直角坐标系
描述物体的运动轨 迹：通过坐标表示 物体的运动轨迹， 通过坐标的变化表 示物体的运动状态。
描述物体的运动速度： 通过坐标表示物体的 运动速度，通过坐标 的变化表示物体的运 动加速度。
平面直角坐标系在解析几何中的应用
确定点的位置：通过坐标值可以确定点的位置 描述图形：通过坐标值可以描述直线、圆、椭圆等图形 计算距离和角度：通过坐标值可以计算两点之间的距离和角度 解决几何问题：通过坐标值可以解决几何问题，如求线段长度、角度等
平面直角坐标系的轴
横轴：x轴，表示水平方向 纵轴：y轴，表示垂直方向 原点：坐标原点，位于x轴和y轴的交点 单位长度：x轴和y轴的单位长度相同，通常为1单位长度
平面直角坐标系的应用
平面直角坐标系在几何学中的应用
确定点的位置：通过坐标可以确定点的 位置
描述图形：通过坐标可以描述图形的形 状和大小
x轴和y轴的正方向分别用箭头表示，通常x轴的正方向向右，y轴的 正方向向上。 平面直角坐标系中的点可以用一对有序实数（x，y）表示，其中x表 示该点在x轴上的坐标，y表示该点在y轴上的坐标。
平面直角坐标系的坐标原点
坐标原点的坐标为(0,0)
坐标原点是确定其他点坐标 的参考点
坐标原点是平面直角坐标系 的中心点
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
单位长度的作用：单位长度是平 面直角坐标系中的基本度量单位， 用于表示点的位置和线段的长度。
单位长度的性质：单位长度是平 面直角坐标系中的基本度量单位， 具有不变性和唯一性。
平面直角坐标系的象限
第一象限：x>0, y>0 第二象限：x<0, y>0 第三象限：x<0, y<0 第四象限：x>0, y<0
平面直角坐标系
平面直角坐标系
平面直角坐标系，又称笛卡尔坐标系，是一种在二维空间里应用的坐标系。
它是由两个互相垂直的直线组成的，分别叫做X轴和Y轴，可以将二维平面上的任何一点定位。
一般来说，平面直角坐标系的原点为坐标原点(0,0)，X轴水平向右延伸，Y轴垂直向上延伸。
每一点都可以用一对数字来表示，分别表示其在X轴和Y轴上的坐标。
用坐标显示出来形成一个坐标轴，已经有助于理解平面坐标系。
平面直角坐标系的使用非常广泛，应用于数学、物理、地理等诸多学科，是学习和处理二维数据的非常有用的工具。
它可以帮助我们更好地理解物体的位置和运动路径，以及分析函数的结构和趋势。
同时，平面直角坐标系还可以帮助我们将二维地图投影到平面上，帮助人们更清楚地理解地形和地貌。
可以说，平面直角坐标系是研究和处理二维数据的必不可少的工具。
在科学研究中，平面直角坐标系是一种非常重要的技术，它被广泛用于表达空间结构，分析和模拟各种现象，有很多强大的数学工具，可以帮助我们更好地了解这些现象。
当然，也可以用平面直角坐标系来研究各种曲线问题，比如椭圆、抛物线、双曲线等等。
总而言之，平面直角坐标系是一种重要的坐标系，应用于数学、物理和地理等多个领域，被广泛用于研究和处理二维数据。
它是一个强大的工具，对于理解二维空间中的物体结构和现象非常有用，也是研究函数曲线的重要基础。
平面直角坐标系知识点总结
平面直角坐标系知识点总结一、引言平面直角坐标系是数学中一个重要的概念，也是解析几何的基础。
它在代数课程中广泛应用，对于理解和解决各种几何问题有着重要的作用。
本文将对平面直角坐标系的相关知识进行总结和介绍。
二、平面直角坐标系的定义平面直角坐标系是由两条相互垂直的坐标轴组成的，其中一条称为x轴，另一条称为y轴。
x轴和y轴的交点称为原点O，它的坐标为(0, 0)。
平面直角坐标系中的每一个点可以表示为一个有序数对 (x, y)，其中 x 表示该点在 x 轴上的投影，y 表示该点在 y 轴上的投影。
三、平面直角坐标系的四象限在平面直角坐标系中，将x轴和y轴的正负方向分别延长，将整个平面分为四个象限。
第一象限为x轴和y轴的正方向区域，第二象限为x轴负方向和y轴正方向区域，第三象限为x轴和y轴的负方向区域，第四象限为x轴正方向和y轴负方向区域。
四、坐标的表示方法在平面直角坐标系中，点的坐标可以用两种方式表示：直角坐标和极坐标。
直角坐标用有序数对 (x, y) 表示，x 表示点在 x 轴上的投影，y 表示点在 y 轴上的投影。
极坐标则用极径和极角来表示，极径表示点到原点的距离，极角表示点与x轴正半轴的夹角。
五、距离的计算平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过勾股定理来计算。
若两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则这两点之间的距离d可以计算为：d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。
六、图形的表示与运算在平面直角坐标系中，各种图形都可以通过方程进行表示。
例如，直线可以用一次方程y = kx + b来表示，其中k为斜率，b为截距。
圆可以用二次方程表示，例如(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径。
七、平面直角坐标系的应用平面直角坐标系在几何学和物理学中有着广泛的应用。
在几何学中，通过直角坐标系可以方便地解决几何形状的性质和关系问题。
在物理学中，直角坐标系可以用来描述物体的运动轨迹和受力情况。
平面直角坐标系概念
平面直角坐标系概念
平面直角坐标系又称二维直角坐标系，是指将空间划分为由“横纵坐标”组成的直角坐标系统，其中一般以原点（0,0）为零点，根据两个坐标轴上的点到原点距离，以及坐标轴直线之间的夹角，来确定在平面上任意一点的坐标位置。
平面直角坐标系在经济、工程计算、地理空间数据分析、导航定位和机器人工程等方面具有广泛的实际应用价值。
除了精确度更高和更好的表现力以外，平面直角坐标系还具有简单的结构、精确的表现形式和易于操作等优点，被广泛应用在科学研究、工程技术、地理空间数据分析等领域。
简单来说，平面直角坐标系的关键作用就是用来描述地球上的某些地标点和路径的位置和变化，从而有效地进行后续分析、研究，这样有助于推进社会经济发展进程。
因此，推荐各位运用平面直角坐标系，以及赖以支持的相关技术，为提高工程技术水平，推进高质量发展的各项计划，进行有效的记录和分析。
数学平面直角坐标系的四个象限
数学平面直角坐标系的四个象限
数学平面直角坐标系是指由两条相互垂直的直线（通常称为x 轴和y轴）构成的坐标系。
这个坐标系将平面分为四个部分，分别称为象限。
下面我将从不同角度来介绍这四个象限。
首先，我们可以从数学定义的角度来看。
在数学平面直角坐标系中，x轴和y轴的交点被定义为原点O(0,0)。
根据x轴和y轴的正方向，我们可以将平面分为四个象限。
第一象限位于x轴和y轴的右上方，所有点的x坐标和y坐标都是正数。
第二象限位于x轴和y轴的左上方，所有点的x坐标为负数，y坐标为正数。
第三象限位于x轴和y轴的左下方，所有点的x坐标和y坐标都是负数。
第四象限位于x轴和y轴的右下方，所有点的x坐标为正数，y坐标为负数。
其次，我们可以从几何图形的角度来看。
将直角坐标系画在平面上，可以清晰地看到四个象限的位置。
第一象限位于右上方，第二象限位于左上方，第三象限位于左下方，第四象限位于右下方。
另外，我们还可以从实际问题的角度来理解。
在实际问题中，四个象限可以用来表示不同的情况或者数据。
例如，第一象限可以
表示两个变量都为正的情况，第二象限可以表示一个变量为负，一个变量为正的情况，依此类推。
总的来说，数学平面直角坐标系的四个象限在数学上、几何上和实际应用中都有着重要的意义，它们帮助我们理解平面上的位置关系、解决实际问题以及进行数学推导和证明。
希望这些信息能够帮助你全面了解四个象限的概念。
第1讲 第1节平面直角坐标系
P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简 伸缩变换 ． 称__________
3．三角函数的伸缩变换 由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图 象，方法一(先平移后伸缩)： 向左φ>0或向右φ<0 y＝sin(x＋φ) y ＝ sin x 的图象 ―――――→ ________________ 平移|φ|个单位长度 1 横坐标变为原来的 倍 ω y＝sin(ωx＋φ) 的图象 ―――――→ _________________ 的图象 纵坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 ――→ y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 横坐标不变
[思路点拨]
(1)建立适当坐标系；
(2)用坐标和方程表示出|PM|＝ 2|PN|； (3)代入坐标，求出(x，y)关系式．
• [解题过程] 如下图，以直线O1O2为x轴，线 段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐 标系，则两圆心的坐标分别为O1(－2,0)， O2(2,0)．
[变式训练]
2.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应 后的图形，
x′＝2x 的图形经过伸缩变换 y′＝4y
(1)2x＋4y＝a； (2)x2＋y2＝r2(r≠0)．
解析：
1 x＝2x′ x ′ ＝ 2 x (1)由伸缩变换 ，得到 y′＝4y y＝1y′ 4
第一 讲
坐标系
•第一节 平面直角坐标系
• 某村庄P处有一堆肥料，现要把这堆肥料沿 道路PA或PB送到成矩形的一块田地ABCD中 去，已知PA＝100米，PB＝150米，BC＝60 米，∠APB＝60°. • 能否在田中确定一条界线，使位于界线左侧 的点沿道路PA送肥料较近，而右侧的点沿PB 送肥料较近？
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1.课本后作业题 2.研究性课题(选择其中一个完成)
a、思考如何确定空间中一个点的位置，提出方案并 相互交流。 b、上网查阅美国全球定位系统GPS相关科普知识 c、上网查阅关于1
1 2 3 4 5 6 7
x
(-4, -3) C (0,-3) y轴上的点的横坐标都为0 B A点在x轴上的坐标为-3 A (-3, -4) -5 A点在y轴上的坐标为-4 纵坐标X-6 轴上的坐标
.
-2 -3 -4
有序数对(-3,-4) 叫做写在前面 A点在平面直角坐标系中的坐标
例１ 写出平面直角坐标系中的Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｅ、Ｆ、 Ｇ、Ｈ、O、T各点的坐标. y
横坐标 (abscissa)
纵坐标 (ordinate)
P(3,4)
坐标
(coordinate)
什么是数轴？
规定了原点、正方向、单位长度的直线就 构成了数轴。
单位长度
原点
-3 -2 -1
· 0 1
2
3
4
B
D A
C
0 1 5
数轴上的点A表示数1. 我们说数1是点A在数轴 上的坐标。 同理可知， 点B在数轴上的坐标是-3； 点C在数轴上的坐标是 5 ； 点D在数轴上坐标是0.
C (0,-3)
纵轴 4
第二象限
y
3
2 1
第一象限
（－，＋）
-4 -3 -2 -1
（＋，＋）
x
1 2 3
探索:根据点所在 的位置,用 “+” “-” 填空。
横坐标 纵坐标 符号
o
-1
点的位置 横轴 4 符号
-2 （－，－） -3 -4
原点 第三象限
在第一象限
第四象限
（＋，－）
在第二象限 在第三象限
在第四象限
+ +
+ + -
例2、写出如图 所示的六边形 ABCDEF各个 顶点的坐标
解：A（-2，0） B（0，-3） C（3，-3） D（4，0） E（ 3 ， 3 ） F（0，3）
动脑筋：
如图：点B与C的纵坐标 相同，1、线段BC的位 置有什么特点？ 2、线段CE的位置有什 么特点？ 3、坐标轴上的点的坐标 有什么特点？ 4、点C、点E与X轴有什 么样的位置关系，他们 的点的坐标有什么特点？
本节课我们学习了平面直角坐标系。 学习本节我们要掌握以下三方面的内容： 1、能够正确画出直角坐标系。 2、能在直角坐标系中，根据坐标找出点， 由点求出坐标。 3、掌握x轴，y轴上点的坐标的特点： x轴上的点的纵坐标为0，表示为（x，0） y轴上的点的横坐标为0，表示为（0，y） 4 、各象限点的坐标特点 5、关于坐标轴对称的点的坐标的特点
6 G (-4,4.5) 5 4 3 2 (0,0) -6 -5 -4 -3 -2 -1O 0 1 2 3 4 -1 H (2,-1) -2 B (-3,-4) -3 -4 A (-4,-3) -5 -6 E (-5,0) 1 T (0,2.5) F
观察你所求出的这些点的 坐标,回答下列问题: (4,3.5) (1)这些点分别位于哪个象 限或坐标轴? (2)请仔细观察你所写出 的这些点的横、纵坐标的 5 6 x 符号,在表中归纳在四个 象限内的点的横、纵坐标 各有什么特征?
数轴上的点与 实数之间存在着 _____ 一一对应的关系。
纵轴
y
5
第二象限 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 第四象限 1 2 3 4 5 x 横轴 第一象限
原点 第三象限
注
意:坐标轴上的点不属于任何象限。
由点写坐标：
y
F (4,3.5)
坐标是有序 的实数对。
5 4 3 横坐标 0 2 x轴上的点的纵坐标都为 1 E(-5,0) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1