二次函数的综合复习.doc

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中考复习必备-二次函数总复习

线上位置最____高____的点．
字母符号
a>0 a
a<0 b＝0 b b与a同号 b与a异号 c＝0
c>0
c c＜0 b2 b2－4ac＝0 － b2－4ac>0 4a c b2－4ac<0
图象的特征开口向上开口向下对称轴为y轴对称轴在y轴左侧对称轴在y轴右侧经过原点
与y轴正半轴相交与y轴负半轴相交与x轴有唯一交点(顶点) 与x轴有两个交点与x轴没有交点
⑤解析式的求法：确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个待定系数a，b，c(或a，h，k或a，x1，x2)，因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件： a．已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式比较方便． b．已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式比较方便． c．已知抛物线与x轴两个交点的坐标(或横坐标x1，x2)时，选用交点式比较方便．
命题点4 二次函数的实际应用
3．(2016·丹东24题10分)某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式； (2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750 千克？ (3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？最大产量是多少？
命题点1 二次函数的图象与性质 1．(2015·锦州5题3分)在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋a 的图象可能是( C )
2．(2016·阜新10题3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列选项中正确的是( B ) A．a>0 B．b>0 C．c<0 D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根

二次函数知识点复习

(其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标).
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质
1、开口方向：当a>0时，函数开口方向向上；
当a<0时，函数开口方向向下；
2、增减性：
v 当a>0时，在对称轴左侧，y随着x的增大
而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；
v 当a<0时，在对称轴左侧，y随着x的增大
2. 抛物线与x轴交于（2，0）、（5，0）
9
两点，其顶点到x轴的距离是，则抛物
4
线的解析式为____________。 y x2 7x 10或y x2 7x 10
的下巴非常离奇。这巨神有着仿；无极3登录：/ ；佛螺栓样的肩胛和特像鼓锤般的翅膀，这巨神彪悍的银橙色熏鹅一般的胸脯闪着冷光，如同馄饨般的屁股更让人猜想。这巨神有着极似软管形态的腿和海蓝色蒲扇样的爪子……笨拙的亮黄色蘑菇一般的六条尾巴极为怪异，青古磁色木瓜样的皮箱银兽肚子有种野蛮的霸气。银
橙色银剑般的脚趾甲更为绝奇。这个巨神喘息时有种天蓝色桃核一般的气味，乱叫时会发出葱绿色花生一样的声音。这个巨神头上鹅黄色面条般的犄角真的十分罕见，脖子上活似狮子般的铃铛的确绝对的稀有和绚丽！蘑菇王子和知知爵士见情况突变，急忙变成了一个巨大的包子峰皮魔！这个巨大的包子峰皮魔，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分惊人的峰皮！这巨魔有着水青色黄瓜一样的身躯和亮青色细小板尺似的皮毛，头上是深紫色邮筒造型的鬃毛，长着纯黑色海马一样的航标仙月额头，前半身是淡青色毛笔一样的怪鳞，后半身是高贵的羽毛。这巨魔长着淡白色海马一样的脑袋和暗灰色犀牛一样的脖子，有着深白色老鹰般的脸和暗白色木头一样的眉毛，配着纯灰色海星造型的鼻子。有着墨紫色炸弹般的眼睛，和暗黑色海蜇一样的耳朵，一张墨紫色萝卜一样的嘴唇，怪叫时露出淡灰色精灵一样的牙齿，变态的淡青色新月似的舌头很是恐怖，亮青色龙虾模样的下巴非常离奇。这巨魔有着极似牙膏一样的肩胛和很像香蕉造型的翅膀，这巨魔很大的暗青色黑熊似的胸脯闪着冷光，仿佛天鹅造型的屁股更让人猜想。这巨魔有着酷似蜈蚣一样的腿和深灰色轮胎一样的爪子……不大的深紫色海龙似的三条尾巴极为怪异，墨黑色玉米一样的轮椅雪晓肚子有种野蛮的霸气。暗青色布条造型的脚趾甲更为绝奇。这个巨魔喘息时有种纯灰色鸡窝似的气味，乱叫时会发出纯白色霉菌般的声音。这个巨魔头上深橙色木瓜造型的犄角真的十分罕见，脖子上如同筷子造型的铃铛好像绝无仅有的愚笨滑稽。这时那伙校霸组成的巨大穿山甲兽腮神忽然怪吼一声！只见穿山甲兽腮神转动绝种的羽毛，一嚎，一道淡青色的奇影酷酷地从低沉的葱绿色花生一样的声音里面滚出！瞬间在巨穿山甲兽腮神周身形成一片白杏仁色的光栅！紧接着巨大的穿山甲兽腮神最后穿山甲兽腮神颤动威风的仿佛螺栓样的肩胛一声怪吼！只见从天边涌来一片棉际的恐怖恶浪……只见棉际的恐怖轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间密如蜂群的才子在一个个小穿山甲兽腮神的指挥下，从轰鸣翻滚的恐怖中冒了出来！“这有什么艺术性？！咱俩也玩一个让他们看看！”蘑菇王子一边说着一边抛出法宝。“就是！就是！”知知爵士一边说着一边念动咒语。这时蘑菇王子和知知爵士变成的巨大包子峰皮魔也怪吼一声！只见包子峰皮魔摇动傻傻的肚子，摇，一道亮青色的鬼光威猛地从花哨的皮毛里面流出！瞬间在巨包子峰皮魔周身形成一片白象牙色的光墙！紧接着巨大的包子峰皮魔功底深厚的强劲腹部瞬间抖出魔奇雨烟色的油花嫩摇味……呆板古旧、像神徒一样的墨黑色学究服渗出怪哼瘟神声和嘀嘀声……乌光闪闪、两头尖尖的飞艇菱角鞋忽亮忽暗跃出飘渺美动般的飞舞。最后包子峰皮魔抖动肥大的犄角一声怪吼！只见从天边涌来一片棉际的海潮巨浪……只见棉际的狂流轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间麻密如虾的大副在一个个小包子峰皮魔的指挥下，从轰鸣翻滚的狂流中冒了出来！无比壮观的景象出现了，随着恐怖和海潮的高速碰撞！翻滚狂舞其中的所有物体和碎片都被撞向十几万米的高空，半空中立刻形成一道杀声震天、高速上升的巨幕，双方的斗士一边快速上升一边猛烈厮杀……战斗结束了，校霸们的队伍全军覆灭，垂死挣扎的穿山甲兽腮神如同蜡像一样迅速熔化……双方斗士残碎的肢体很快变成金币和各种各样的兵器、珠宝、奇书……纷纷从天落下！这时由Ｒ．布基希大夫和另外四个校霸怪又从地下钻出变成一个巨大的野猪缸须神！这个巨大的野猪缸须神，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分疯狂的缸须！这巨神有着中灰色海星般的身躯和淡黑色细小香肠样的皮毛，头上是碳黑色烟囱模样的鬃毛，长着嫩黄色邮筒般的哑铃水云额头，前半身是钢灰色手杖般的怪鳞，后半身是闪闪发光的羽毛。这巨神长着深红色邮筒般的脑袋和银橙色木偶般的脖子，有着亮红色馅饼造型的脸和亮橙色画笔般的眉毛，配着火橙色恐龙模样的鼻子。有着粉红色砂锅造型的眼睛，和米黄色门扇般的耳朵，一张粉红色海豹般的嘴唇，怪叫时露出土黄色火舌般的牙齿，变态的钢灰色灵芝样的舌头很是恐怖，淡黑色怪藤形态的下巴非常离奇。这巨神有着酷似竹竿般的肩胛和活像麦穗模样的翅膀，这巨神轻灵的土灰色秤砣样的胸脯闪着冷光，极似怪石模样的屁股更让人猜想。这巨神有着活似鲜笋般的腿和烟橙色火苗般的爪子……瘦瘦的碳黑色路灯样的八条尾巴极为怪异，水绿色豆包般的药罐流光肚子有种野蛮的霸气。土灰色茄子模样的脚趾甲更为绝奇。这个巨神喘息时有种火橙色手电筒样的气味，乱叫时会发出暗红色小路造型的声音。这个巨神头上蓝宝石色玉米模样的犄角真的十分罕见，脖子上仿佛章鱼模样的铃铛的确绝对的酷帅但又带着几分正点！蘑菇王子和知知爵士见情况突变，急忙变成了一个巨大的古树闪臂魔！这个巨大的古树闪臂魔，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分美妙的闪臂！这巨魔有着暗黄色粉条造型的身躯和鹅黄色细小弯月一样的皮毛，头上是暗绿色镜子形态的鬃毛，长着亮紫色驴肾造型的警灯雪川额头，前半身是深黄色玩具造型的怪鳞，后半身是神气的羽毛。这巨魔长着深蓝色驴肾一般的脑袋和暗青色蒜头造型的脖子，有着亮蓝色水牛模样的脸和海蓝色柴刀一般的眉毛，配着天青色铁塔形态的鼻子。有着葱绿色奖章模样的眼睛，和紫红色枕木造型的耳朵，一张葱绿色牛屎造型的嘴唇，怪叫时露出湖青色花灯一般的牙齿，变态的深黄色灯柱一样的舌头很是恐怖，鹅黄色钉子一样的下巴非常离奇。这巨魔有着活似长号一般的肩胛和美如柳叶形态的翅膀，这巨魔摇晃的亮黄色胶卷一样的胸脯闪着冷光，酷似香肠形态的屁股更让人猜想。这巨魔有着如同扫帚造型的腿和亮青色榴莲一般的爪子… …紧缩的暗绿色熊胆一样的五条尾巴极为怪异，紫宝石色花豹一般的地图枫翠肚子有种野蛮的霸气。亮黄色樱桃形态的脚趾甲更为绝奇。这个巨魔喘息时有种天青色馄饨一样的气味，乱叫时会发出墨蓝色贝壳模样的声音。这个巨魔头上墨绿色豆包形态的犄角真的十分罕见，脖子上极似扫帚形态的铃铛好像极品的潇洒同时还隐现着几丝风趣……这时那伙校霸组成的巨大野猪缸须神忽然怪吼一声！只见野猪缸须神颤动极似怪石模样的屁股，一吼，一道淡绿色的流光快速从深红色邮筒般的脑袋里面涌出！瞬间在巨野猪缸须神周身形成一片银橙色的光盔！紧接着巨大的野猪缸须神最后野猪缸须神扭动粗犷的牙齿一声怪吼！只见从天边涌来一片无垠无际的指示恶浪……只见无垠无际的指示轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间满天乱舞的毒瘤在一个个小野猪缸须神的指挥下，从轰鸣翻滚的指示中冒了出来！“这有什么狂的？！咱俩也玩一个让他们看看！”蘑菇王子一边说着一边抛出法宝。“就是！就是！”知知爵士一边说着一边念动咒语。这时蘑菇王子和知知爵士变成的巨大古树闪臂魔也怪吼一声！只见古树闪臂魔抖动傻傻的额头，甩，一道墨绿色的妖影变态地从虔诚的暗绿色镜子形态的鬃毛里面喷出！瞬间在巨古树闪臂魔周身形成一片橙白

二次函数专题复习

(3) y=-2(x-2)2+3是由 y=-2向x2 平右移 2个单位，再向上平移 3个单位得到 (4) y=2x2+4x-5是由 y=2向x2 左平移 1个单位，再向下平移 7 个单位得到
(5) y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到
函数解析式是 y=2(x+2)2-3。
（6）已知二次函数y=x2-4x-5 ，求下列问题
△PAB，求P的坐标；
（4）第（3）题改为在直线y= -x+3上是否存在点坐P标，；使若S不△PA存C=在，12说S明△P理AB？由若。存答在案，一求样出吗点？P的
P
y
（0，3） C
A
Q
o
y
（0，3） CP
B（3，0） A
x
oQ
（B 3，0） x
再见
得的图象解析式是 y=3x2
。
4、已知二次函数y=a（x-h）2+k的图象过原点，最小值是-8，且形状与抛物线y=0.5x2-3x-5的形
状相同，其解析式为 y=0.5（x-16。）2-8
5、若x为任意实数，则二次函数y=x2+2x+3的函
数值y的取值范围是 y≥2 。
6、抛物线y=2x2-4x-1是由抛物线y=2x2-bx+c向
1.已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图象过点（－3，－2）。
3.已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3, 并且经过点(6,0),和(2,12)
4.矩形的周长为60，长为x，面积为y，则y关于
x的函数关系式
。
如何判别a、b、c、b2-4ac，2a+b，a+b+c的符号

2023年九年级中考数学复习：二次函数(特殊四边形问题)综合题(Word版,含答案)

2023年九年级中考数学复习：二次函数（特殊四边形问题）综合题1．已知抛物线()21=++4(0)2y a x m m am -≠过点()0,4A(1)若=2m ，求a 的值；(2)如图，顶点M 在第一象限内，B 、C 是抛物线对称轴l 上的两点，且MB MC =，在直线l 右侧以BC 为边作正方形BCDE ，点E 恰好在抛物线上．①求am 的值；①试判断点E 和点A 是否关于直线l 对称，如果对称，请说明理由，如果不对称，请举出反例．2．如图，抛物线y ＝ax 2-2x +c (a ≠0)与直线y ＝x +3交于A ，C 两点，与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上一动点，且在直线AC 下方，当①ACP 的面积为6时，求点P 的坐标．（3）D 为抛物线上一点，E 为抛物线的对称轴上一点，请直接写出以A ，C ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形时点D 的坐标．3．如图1，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接AC 和BC ，①OAC ＝60°．（1）求二次函数的表达式．（2）如图2，线段BC 上有M 、N 两动点（N 在M 上方），且MN 3P 是直线BC 下方抛物线上一动点，连接PC 、PB ，当①PBC 面积最大时，连接PM 、AN ，当MN 运动到某一位置时，PM +MN +NA 的值最小，求出该最小值．（3）如图3，在（2）的条件下，连接AP ，将AP 绕着点A 逆时针旋转60°至AQ ．点E 为二次函数对称轴上一动点，点F 为平面内任意一点，是否存在这样的点E 、F ，使得四边形AEFQ 为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．4．直线3y x =-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，抛物线2y ax 2x c =++经过点A ，B ，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为直线AB上方的抛物线上的一动点，求四边形APBO的面积的最大值；D为抛物线上的一点，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，（3）如图2，(2,3)∥轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四过H作HK y边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．5．综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值为______．（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N①当ANC面积最大时的P点坐标为______；最大面积为______．①点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．。

第二十二章二次函数总复习--

（2）在自变量的取值范围内，运用公式
法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。（若顶点的横坐标不在x的取值
范围内，则用增减性判断最值）
利润=售价－进价
总利润=每件利润×销售数量
1 25 2 二次函数y=x -x-6的图象顶点坐标是__________
1 对称轴是_________ 。 x 2 增减性: 1 1 y x 当 x 时,y随x的增大而减小 2 2
二次函数知识要点
1、二次函数的定义：形如“ y= ax2+bx+c （a、b、c为常数，a ≠0 ）”的函数叫二次函数。即，自变量x的最高次数为 2 次。
2、常见的二次函数的解析式有三种形式： ⑴一般式为 y＝ax2＋bx＋； c (a≠0）
2＋k y ＝ a ( x h ) ⑵顶点式为
(a≠0）。
y
①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 2 ⑤ 4a+2a+c > 0 ⑥ b - 4ac > 0
-1 0 1 2
x
a+b+c的值由当x=1时的点的纵坐标决定;
a-b+c的值由当x= －1时的点纵坐标决定；
4a+2a+c的值由x=2的点纵坐标决定； 4a-2a+c的值由x= －2的点的纵坐标决定
3.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，试求出a,b,c的值。 y
3 0
2 x
例1 已知函数 y (m 2) x 3是关于x的二次函数. ( 1 )求满足条件的 m的值, 并写出解析式 ; ( 2 )抛物线有最高点和最低点? 二次函数有最大值还是最小值? 最值是多少? ( 3 )当x为何值时, y随x的增大而减小 ? m 2 m 2 0 解得 m 3 1由题意得 2 解： m 2或m 3 m 5m 8 2

第1章二次函数全章复习与测试(原卷版)

第1章二次函数全章复习与测试【知识梳理】一．二次函数的定义（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．二．二次函数的图象（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．三．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．四．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．五．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．六．图象法求一元二次方程的近似根利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．七．二次函数与不等式（组）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．八．根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．九．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．十．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．十一．二次函数在给定区间上的最值二次函数在给定区间上的最值．对y＝ax2+bx+c，（p≤x≤q），a＞0时，当﹣≥q，则x＝q时，y取得最小值；x＝p时，y取得最大值当﹣≤p，则x＝q时，y取得最大值；x＝p时，y取得最小值当q≥﹣≥时，x＝﹣时，y取得最小值，x＝p时，y取最大值当≥﹣≥p时，x＝﹣，y取得最小值，x＝q时，y取得最大值a＜0时，同样进行分类讨论．【考点剖析】一．二次函数的定义（共4小题）1．（2022秋•金华期末）若y＝（m﹣2）x是二次函数，则m的值为（）A．±2B．2C．﹣2D．±2．（2022秋•诸暨市期末）已知y关于x的二次函数解析式为y＝（m﹣2）x|m|，则m＝（）A．±2B．1C．﹣2D．±13．（2022秋•东阳市期中）下列函数是二次函数的是（）A．y＝x2B．y＝x+1C．y＝D．y＝2x4．（2023•天台县一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别为AB，BC上的点，DE，AF交于点G，AE＝BF＝x．若四边形CDGF与△AEG的面积分别为S1，S2，则S1﹣S2与x的函数关系为（）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．反比例函数关系D．二次函数关系二．二次函数的图象（共2小题）5．（2023•拱墅区模拟）二次函数y＝ax2﹣2x+1和一次函数y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．6．（2023•宁波模拟）下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax+a的图象大致是（）A．B．C．D．三．二次函数的性质（共3小题）7．（2023•台州）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则直线y＝ax+k一定经过（）A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限8．（2023•瓯海区四模）已知两点A（﹣2，y1），B（4，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y0≤y1＜y2，则x0的取值范围是（）A．x0≤﹣2B．x0＜1C．﹣2＜x0＜1D．﹣2＜x0＜49．（2023•鹿城区校级模拟）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数，a≠0），下列选项正确的是（）A．若图象经过（﹣1，1），（8，8），则a＜0B．若图象经过（﹣1，1），（3，1），则a＜0C．若图象经过（﹣1，1），（﹣5，5），则a＞0D．若图象经过（﹣1，1），（8，﹣8），则a＞0四．二次函数图象与系数的关系（共2小题）10．（2023•鄞州区校级一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＞0；②b＞a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＞3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）其中正确结论有（）个A．2B．3C．4D．511．（2022秋•滨江区期末）已知二次函数y＝（m﹣2）x2（m为实数，且m≠2），当x≤0时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是（）A．m＜0B．m＞2C．m＞0D．m＜2五．二次函数图象上点的坐标特征（共4小题）12．（2023•西湖区校级二模）已知二次函数y＝x2+ax+b＝（x•x1）（x﹣x2）（a，b，x1，x2为常数），若1＜x1＜x2＜3，记t＝a+b，则（）A．﹣3＜t＜0B．﹣1＜t＜0C．﹣1＜t＜3D．0＜t＜313．（2023•温州模拟）已知二次函数上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2）满足x1＝3+x2，则下列结论中正确的是（）A．若，则y1＞y2＞﹣1B．若，则y2＞0＞y1C．若x1＜﹣，则y1＞0＞y2D．若﹣＜x1＜1，则y2＞y1＞014．（2023•衢州二模）已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象经过（0，4），（8，5）两点，若a＜0，0＜h＜8，则h的值可能为（）A．1B．2C．4D．615．（2023•永嘉县二模）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过三个不同的点A（0，4），B（m，4），C（3，n），则下列选项正确的是（）A．若m＝4，则n＜4B．若m＝2，则n＜4C．若m＝﹣2，则n＞4D．若m＝﹣4，则n＞4六．二次函数图象与几何变换（共4小题）16．（2023•瓯海区二模）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）A．y＝3（x﹣1）2+2B．y＝3（x+1）2﹣2C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2﹣217．（2023•绍兴模拟）将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后的函数表达式为（）A．y＝（x﹣3）2﹣6B．y＝（x+1）2﹣6C．y＝（x﹣3）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣2 18．（2023•绍兴模拟）二次函数的图象经过平移后得到新的抛物线，此抛物线恰好经过点（﹣2，﹣2），下列平移方式中可行的是（）A．先向左平移8个单位，再向下平移4个单位B．先向左平移6个单位，再向下平移7个单位C．先向左平移4个单位，再向下平移6个单位D．先向左平移7个单位，再向下平移5个单位19．（2023•舟山二模）抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m，y1），N（m+1，y2）为图形G上两点，若y1＞y2，则m的取值范围是（）A．B．C．D．七．二次函数的最值（共3小题）20．（2023•衢江区三模）在平面直角坐标系中，过点P（0，p）的直线AB交抛物线y＝x2于A，B两点，已知A（a，b），B（c，d），且a＜c，则下列说法正确的是（）A．当ac＞0且a+c＝1时，p有最小值B．当ac＞0且a+c＝1时，p有最大值C．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最小值D．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最大值21．（2023春•乐清市月考）已知函数y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，则常数a的值是（）A．1B．C．或﹣8D．1或﹣822．（2023•越城区三模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，则a的取值范围是（）A．a≥6B．3≤a≤6C．0≤a≤3D．a≤0八．待定系数法求二次函数解析式（共10小题）23．（2022秋•温州期末）若抛物线y＝x2﹣6x+c的顶点在x轴，则c＝．24．（2022秋•滨江区期末）已知一个二次函数图象的形状与抛物线y＝2x2相同，它的顶点坐标为（1，﹣3），则该二次函数的表达式为．25．（2023•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．26．（2023•临平区校级二模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a，b是实数，a≠0）．（1）若该函数图象经过点（1，﹣4），（0，﹣3）．①求该二次函数表达式；②若A（x1，m），B（x2，m），C（s，t）是抛物线上的点，且s＝x1+x2，求t的值；（2）若该二次函数满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，且过点（1，3），当a＜b时，求4a+b的取值范围．27．（2023•西湖区校级三模）已知二次函数y1＝ax（x+b）（a≠0）和一次函数y2＝ax+m（a≠0）．（1）若二次函数y1的图象过（1，0），（2，2）点，求二次函数的表达式；（2）若一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点A，且这个点不是原点．①求证：m＝ab；②若y2y1的另一个交点B为二次函数y1的顶点，求b的值．28．（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．（1）当b＝4，c＝3时，①求该函数图象的顶点坐标；②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．29．（2023•钱塘区三模）已知函数y＝x2+bx+c（其中b、c为常数）．（1）当c＝﹣1，且函数图象经过点（1，2）时，求函数的表达式及顶点坐标．（2）若该函数图象的顶点坐标为（m，k），且经过另一点（k，m），求m﹣k的值．（3）若该函数图象经过A（x1，y1），B（x1﹣t，y2），C（x1﹣2t，y3）三个不同点，记M＝y2﹣y1，N＝y3﹣y2，求证：M＜N．30．（2023•舟山三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式．（2）若﹣1≤x≤d时，﹣1≤y≤8，则d的取值范围是．（3）点P和点A之间（包括端点）的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求m的值．31．（2023•西湖区校级三模）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y＝ax2+（a+1）x+b，其中a ﹣b＝4．（1）若此函数图象过点（1，3），求这个二次函数的表达式．（2）若（x1，y1）（x2，y2）为此二次函数图象上两个不同点，当x1+x2＝2时，y1＝y2，求a的值．（3）若点（﹣1，t）在此二次函数图象上，且当x≥﹣1时y随x的增大而增大，求t的范围．32．（2023•龙湾区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．（1）若图象经过点（﹣1，8），求该二次函数的表达式及顶点坐标．（2）当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值．九．二次函数的三种形式（共1小题）33．（2023•定海区模拟）将二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝（x﹣h）2+k的形式为．一十．抛物线与x轴的交点（共2小题）34．（2023•余杭区校级模拟）已知，二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）．若图象上另有一点P（m，n），则（）A．当n＞0时，m＜x1B．当n＞0时，m＞x2C．当n＜0时，m＜0D．当n＜0时，x1＜m＜x235．（2023春•镇海区期末）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（2，3）．（1）求b，c的值；（2）结合图象，求当y＞0时x的取值范围；（3）平移该二次函数图象，使其顶点为A点．请说出平移的方法，并求平移后图象所对应的二次函数的表达式．一十一．图象法求一元二次方程的近似根（共1小题）36．（2022秋•嘉兴期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：x…﹣2﹣101234…y…m﹣4.5m﹣2m﹣0.5m m﹣0.5m﹣2m﹣4.5…若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（）A．该函数图象开口向上B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方C．对称轴是直线x＝mD．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3一十二．二次函数与不等式（组）（共2小题）37．（2023•余杭区模拟）已知二次函数y1＝（ax+1）（bx+1），y2＝（x+a）（x+b），（a，b为常数，且ab≠0），则下列判断正确的是（）A．若ab＜1，当x＞1时，则y1＞y2B．若ab＞1，当x＜﹣1时，则y1＞y2C．若ab＜﹣1，当x＜﹣1时，则y1＞y2D．若ab＞﹣1，当x＞1时，则y1＞y238．（2022秋•嘉兴期末）我们规定：形如y＝ax2+b|x|+c（a＜0）的函数叫做“M型”函数．如图是“M型”函数y＝﹣x2+4|x|﹣3的图象，根据图象，以下结论：①图象关于y轴对称；②不等式x2﹣4|x|+3＜0的解是﹣3＜x＜﹣1或1＜x＜3；③方程﹣x2+4|x|﹣3＝k有两个实数解时k＜﹣3．正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③一十三．根据实际问题列二次函数关系式（共3小题）39．（2022秋•西湖区期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为x （0＜x ＜1）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数表达式为（） A ．y ＝x 2B ．y ＝1﹣x 2C ．y ＝x 2﹣1D ．y ＝1﹣2x40．（2022秋•南湖区校级期中）某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x 元/件时，获利润y 元，则y 与x 的函数关系为（） A ．y ＝（6﹣x ）（500+x ） B ．y ＝（13.5﹣x ）（500+200x ）C ．y ＝（6﹣x ）（500+200x ）D ．以上答案都不对41．（2023•洞头区二模）根据以下素材，探索完成任务．如何设计打印图纸方案？素材1如图1，正方形ABCD 是一张用于3D 打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）构成．已知AB ＝20cm ，点E ，F 分别在BC 和AB 上，且BE ＝BF ，设BE ＝xcm （0＜x ＜20）．素材2为了打印精准，拟在图2中的BC 边上设置一排间距为1cm 的定位坐标（B 为坐标原点），计算机可根据点E 的定位坐标精准打印出图案．问题解决任务1确定关系用含x 的代数式表示：区块Ⅰ的面积＝、区块Ⅱ的面积＝、区块Ⅲ的面积＝．任务2拟定方案为美观，拟将区块Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是以DE为腰的等腰三角形，求所有方案中区域乙的面积或函数表达式．任务3优化设计经调查发现区域乙的面积为范围内的整数时，此时的E点为最佳定位点，请写出所有的最佳定位点E的坐标．一十四．二次函数的应用（共3小题）42．（2023•丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（）A．5B．10C．1D．243．（2023•定海区模拟）如图，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为边向上作正方形ACDE、BCFG，连结EG交DC于K．已知AB＝10，设AC＝x（5＜x＜10），记△EDK的面积为S1，记△EAC的面积为S2．则与x的函数关系为（）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．反比例函数关系D．二次函数关系44．（2023•路桥区一模）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（）A．0＜t＜1B．1≤t＜2C．D．一十五．二次函数综合题（共4小题）45．（2023•永嘉县校级模拟）对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n 的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（）A．﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤B．﹣3＜n＜﹣1或1≤n≤C．n≤﹣1或1＜n≤D．﹣3＜n＜﹣1或n≥146．（2023•金东区二模）定义：若n为常数，当一个函数图象上存在横、纵坐标和为n的点，则称该点为这个函数图象关于n的“恒值点”，例如：点（1，2）是函数y＝2x图象关于3的“恒值点”．（1）判断点（1，3），（2，8），（3，7）是否为函数y＝5x﹣2图象关于10的“恒值点”．（2）如图1，抛物线y＝2x2+bx+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，所得的新图象如图2所示．①求翻折后A，B之间的抛物线解析式．（不必写出x的取值范围）②当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，请用含b的代数式表示c．47．（2023•浙江）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．48．（2023•金华模拟）定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”，例如：点（2，1）是函数y＝x﹣1的图象的“倍值点”．（1）分别判断函数y＝x+1，y＝x2﹣x的图象上是否存在“倍值点”？如果存在，求出“倍值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数y＝（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“倍值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为2时，求b的值；（3）若函数y＝x2﹣3（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，直接写出m的取值范围．【过关检测】一．选择题（共8小题）1．抛物线y＝5（x﹣2）2+4的顶点坐标是（）A．（2，4）B．（4，2）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）2．若A（a，b），B（a﹣2，c）两点均在函数y＝（x﹣1）2﹣2021的图象上，且1≤a＜2，则b与c的大小关系为（）A．b＜c B．b≤c C．b＞c D．b≥c3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点横坐标x1，x2满足|x1|+|x2|＝2．当时，该函数有最大值4，则a的值为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．24．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣5，﹣3）B．（﹣2，0）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）5．已知二次函数的图象（0≤x≤3.4）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值2，无最小值B．有最大值2，有最小值1.5C．有最大值2，有最小值﹣2D．有最大值1.5，有最小值﹣26．下列函数中，其图形与x轴有两个交点的为（）A．y＝﹣20（x﹣11）2﹣2011B．y＝20（x﹣11）2+2011C．y＝20（x+11）2+2011D．y＝﹣20（x+11）2+20117．由二次函数y＝2x2﹣12x+20，可知正确的是（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3C．其最小值为2D．当x≤3时，y随x的增大而增大8．已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向下，与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①2a+b＝0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a （m2﹣1）+b（m﹣1）≤0总成立；④关于x的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0有两个不相等的实数根，其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共7小题）9．如果将抛物线y＝x2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是．10．已知a，b，c满足a+c＝b，4a+2b+c＝0，则关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点间的距离为．11．如图，反比例函数y＝（a≠0）的图象经过二次函数y＝ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则m＝．12．已知x＝a和x＝a+b（b＞0）时，代数式x2﹣2x﹣3的值相等，则当x＝6a+3b﹣2时，代数式x2﹣2x﹣3的值等于．13．合肥市2013年平均房价为6500元/m2．若2014年和2015年房价平均增长率为x，则预计2015年的平均房价y（元/m2）与x之间的函数关系式为．14．二次函数y＝x2+x+c的图象与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，有如下结论：①当n＜0时，m＜0；②当m＞x2时，n＞0；③当n＜0时，x1＜m＜x2；④当n＞0时，x＜x1；⑤当m时，n随着m的增大而减小，其中正确的有．15．直线y＝x+b与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，则b的值是．三．解答题（共7小题）16．若二次函数y＝﹣x2+2（k﹣1）x+2k﹣k2的图象经过原点，求：（1）二次函数的解析式；（2）它的图象与x轴交点O、Q及顶点C组成的△OAC的面积．17．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式；（整数点的横、纵坐标都为整数）（3）若点P（x1，y1）与Q（x1+n，y2）在（2）中抛物线上（点P、Q不重合），且y1＝y2，求代数式4x12+12x1n+5n2+16n+200的值．18．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象分别经过点A（1，0），B（0，3）．（1）求该函数的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P，使△APO的面积等于4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．19．一个圆形喷水池的中心竖立一根高为2.25m顶端装有喷头的水管，喷头喷出的水柱呈抛物线形．当水柱与池中心的水平距离为1m时，水柱达到最高处，高度为3m．（1）求水柱落地处与池中心的距离；（2）如果要将水柱的最大高度再增加1m，水柱的最高处与池中心的水平距离以及落地处与池中心的距离仍保持不变，那么水管的高度应是多少？20．某商店购进一批进价为40元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出600件；第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示．(1)请直接写出y与x之间的函数表达式：；自变量x的取值范围为；(2)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？21．三、求直线y ＝2x ＋8与抛物线y ＝x 2的交点坐标A 、B 及△AOB 的面积．22．已知二次函数2()20y ax x c a =++≠的图象与x 轴的负半轴和正半轴分别交于A ，B 两点，与y 轴的负半轴交于点C ，3OA OC ==．(1)求二次函数的表达式及B 点坐标；(2)点D 位于第三象限且在二次函数的图象上，求DAC △的面积最大时点D 的坐标．。

二次函数专题复习

二次函数专题复习考点一二次函数的概念一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．注意：(1)二次项系数a ≠0；(2)ax 2＋bx ＋c 必须是整式；(3)一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；(4)自变量x 的取值范围是全体实数．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)图象(a ＞0)(a ＜0)开口方向开口向上开口向下对称轴直线x ＝－b2a直线x ＝－b2a顶点坐标⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a增减性当x ＜－b2a 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞－b2a时，y 随x 的增大而增大当x ＜－b2a 时，y 随x 的增大而增大；当x ＞－b2a时，y 随x 的增大而减小最值当x ＝－b2a 时，y 有最小值4ac －b 24a当x ＝－b2a 时，y 有最大值4ac －b 24a考点三二次函数图象的特征与a ，b ，c 及b2－4ac 的符号之间的关系考点四二次函数图象的平移抛物线y ＝ax 2与y ＝a (x －h )2，y ＝ax 2＋k ，y ＝a (x －h )2＋k 中|a |相同，则图象的形状和大小都相同，只是位置的不同．它们之间的平移关系如下表：考点五二次函数关系式的确定（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=考点六二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当y ＝0时，就变成了ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)． 2．ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解是抛物线与x 轴交点的横坐标．3．当Δ＝b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有两个不同的交点；当Δ＝b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有一个交点；当Δ＝b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．1.抛物线23(1)2y x =-+的对称轴是（）A ．1x =B ．1x =-C ． 2x =D ．2x =-2.抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（） A ．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3）3.（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A ．222-=x y B ．222+=x y C ．2)2(2-=x y D ．2)2(2+=x y 类型一：二次函数的图象1.（2012•泰安）二次函数y=a （x+m ）2+n 的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限 B ．C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限2.（2011•湘潭）在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x 2+a 的图象可能是（）3.（2010•达州）抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的解析式可能是（）A ．y=x 2-2x+3B ．y=-x 2-2x+3C ．y=-x 2+2x+3D ．y=-x 2+2x-34.（2011•威海）二次函数y=x 2-2x-3的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（）A ．-1＜x ＜3B ．x ＜-1C ．x ＞3D ．x ＜-3或x ＞35.已知函数y 1=x 2与函数y 2=-21x+3的图象大致如图．若y1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（）A ．-23＜x ＜2 B ．x ＞2或x ＜-23 C ．-2＜x ＜23 D ．x ＜-2或x ＞23 类型二：二次函数的性质（2010•兰州）二次函数y=-3x 2-6x+5的图象的顶点坐标是（）A ．（-1，8）B ．（1，8）C ．（-1，2）D ．（1，-4）（2010•毕节地区）已知抛物线y=-2（x-3）2+5，则此抛物线（）A ．开口向下，对称轴为直线x=-3B ．顶点坐标为（-3，5）C ．最小值为5D ．当x ＞3时y 随x 的增大而减小（2012•德阳）设二次函数y=x 2+bx+c ，当x ≤1时，总有y ≥0，当1≤x ≤3时，总有y ≤0，那么c 的取值范围是（）A ．c=3B ．c ≥3C ．1≤c ≤3D ．c ≤3类型三：二次函数的增减性 1.已知函数215322y x x =---，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且-3< x 1< x 2<x 3，则对应的函数值的大小关系是（）A ．y 3>y 2>y 1B ．y 1>y 3>y 2C ．y 2<y 3<y 1D ．y 3<y 2<y 12.小明从右边的二次函数2y ax bx c =++图象中，观察得出了下面的五条信息：①0a <，②0c =，③函数的最小值为3-，④当0x <时， 0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >．你认为其中正确0 2 3-y的个数为（）Ａ．2Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．53.若123135(,),(1,),(,)43A yB yC y --的为二次函数245y x x =--+的图像上的三点，则y 1,y 2,y 3的大小关系是（）A. y 1<y 2<y 3B. y 3<y 2<y 1C. y 3<y 1<y 2D. y 2<y 1<y 34.从y=x 2的图象可看出，当－3≤ｘ≤－1时，ｙ的取值范围是 A 、ｙ≤0或9≥y B 、0≤ｙ≤9 C 、0≤ｙ≤1 D 、1≤ｙ≤95.小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)， (－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为（） A.y 1>y 2>y 3 B.y 2>y 3>y 1 C.y 3>y 1>y 2 D.y 3>y 2>y 1二、利用二次函数图象判断a ，b ，c 的符号【例2】如图所示，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，图象经过点(－1,2)和(1,0)，且与y 轴交于负半轴．(1)给出四个结论：①a ＞0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＝0，其中正确结论的序号是__________；(2)给出四个结论：①abc ＜0；②2a ＋b ＞0；③a ＋c ＝1；④a ＞1.其中正确结论的序号是__________．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b 2－4ac ＞0；②abc ＞0；③8a ＋c ＞0；④9a ＋3b ＋c ＜0. 其中，正确结论的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（2012•玉林）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x=1，有如下结论：①c ＜1；②2a+b=0；③b 2＜4ac ；④若方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=2，则正确的结论是（）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④（2012•威海）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）A ．abc ＞0B ．3a ＞2bC ．m （am+b ）≤a-b （m 为任意实数）D ．4a-2b+c ＜0（2011•兰州）如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a-b ＜0；（4）a+b+c ＜0．你认为其中错误的有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．1个四、确定二次函数的解析式【例】已知一抛物线与x 轴的交点是A (－2,0)，B (1,0)，且经过点C (2,8)． (1)求该抛物线的表达式； (2)求该抛物线的顶点坐标．1.在直角坐标系中，△AOB 的顶点坐标分别为A （0，2），O （0，0），B （4，0），把△AOB 绕O 点按逆时针方向旋转900到△COD 。

初中数学二次函数综合复习基础题(含答案)

初中数学二次函数综合复习基础题一、单选题(共13道，每道8分)1.若二次函数的图象经过原点，则a的值必为（）A.1或2B.0C.1D.2答案：D试题难度：三颗星知识点：二次函数表达式2.在同一坐标系中，作，，的图象，它们的共同特点是()A.抛物线的开口方向向上B.都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大C.都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小D.都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点答案：D试题难度：三颗星知识点：二次函数图象特征3.对于反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数的大致图象是（）A. B.C. D.答案：C试题难度：三颗星知识点：二次函数图象初步判定4.抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（）A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位答案：B试题难度：三颗星知识点：二次函数图像平移5.已知二次函数，当x=-1时有最大值，把x=-5，-2，1时对应函数值分别记为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A.y1＜y2＜y3B.y1＞y2＞y3C.y2＞y1＞y3D.y2＞y3＞y1答案：D试题难度：三颗星知识点：二次函数图像增减性、对称轴固定6.若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A. B.C. D.答案：C试题难度：三颗星知识点：二次函数图像增减性、对称轴固定7.（2011四川雅安）已知二次函数的图象如图，其对称轴为直线x=-1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0.则正确的结论是（）A.①②③④B.②④⑤C.②③④D.①④⑤答案：D试题难度：三颗星知识点：二次函数数形结合8.二次函数的图象经过点A（0，-3），B（2，-3），C（-1，0）．则此二次函数的表达式为（）A. B.C. D.答案：A试题难度：三颗星知识点：二次函数一般式9.有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线x=2；乙说：与x轴的两个交点距离为6；丙说：抛物线与x轴的交点和其顶点围成的三角形面积等于9，请选出一个满足上述全部条件的一条抛物线的解析式：（）A. B.C. D.答案：B试题难度：三颗星知识点：二次函数顶点式10.二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．求二次函数的解析式（）A. B.C. D.答案：A试题难度：三颗星知识点：二次函数交点式11.若直线与二次函数的图象交于A、B两点，求以A、B及原点O为顶点的三角形的面积（）．A. B.C. D.无法计算答案：C试题难度：三颗星知识点：二次函数初步综合12.设一元二次方程的两根分别为，，且，则，满足（）A. B.C. D.且答案：D试题难度：三颗星知识点：二次函数图象与方程、不等式13.设一元二次方程的两根分别为，，且，则二次函数的函数值y>m时自变量x的取值范围是（）A. B.C. D.答案：B试题难度：三颗星知识点：二次函数图象与方程、不等式。

中考数学总复习之二次函数综合

连接 BC，如图①，∵B(5,0)，C0，－52，∴设直线 BC 的解
析式为 y＝kx＋b(k≠0)，∴5bk＝＋－b2＝ 5，0，
解得k＝21， b＝－52，
∴直线 BC 的解析式为 y＝21x－52，当 x＝2 时，y＝1－52＝－23， ∴P2，－32.
(3)存在，如图②. ①当点 N 在 x 轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线 x＝2， C0，－52，∴N14，－52. ②当点 N 在 x 轴上方时，如图②，过点 N2 作 N2D⊥x 轴于点 D，
解：(1)已知抛物线 y＝21x2－32x－9，当 x＝0 时，y＝－9，则 C(0，－9)，当 y＝0 时，12x2－32x－9＝0，得 x1＝－3，x2＝6，则 A(－3,0)，B(6,0)，∴AB＝9，OC＝9.
(2)∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，
∴SS△△AAEBDC＝AABE2，即12×S9×9＝m9 2，得 S＝21m2(0＜m＜9)．
2．如图，抛物线 y＝12x2－32x－9 与 x 轴交于 A ，B 两点，与 y 轴交于点 C ，连接 B C ，A C .
(1)求 AB 和 OC 的长； (2)点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动(点 E 与点 A，B 不重合)，过点 E 作直线 l 平行于 BC，交 AC 于点 D.设 AE 的长为 m，△ADE 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围； (3)在(2)的条件下，连接 CE，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点 E 为圆心，与 BC 相切的圆的面积(结果保留 π)．
在 △AN2D
与 △M2CO
∠N2AD＝∠CM2O，中， A∠NA2N＝2CDM＝2∠，M2CO，

二次函数专题复习讲义

二次函数专题复习专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念,二次函数的图象性质,抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主,也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=-2b a ,顶点坐标是-2b a,244ac b a -.例1 已知,在同一直角坐标系中,反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． 1求m 、c 的值；2求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中,当a>0时,开口向上,在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大；当a<0时,开口向下,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示,则y ax b =-的图象一定过A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限考点3、二次函数的平移当k>0k<0时,抛物线y=ax 2+ka ≠0的图象可由抛物线y=ax 2向上或向下平移|k|个单位得到；当h>0h<0时,抛物线y=ax-h 2a ≠0的图象可由抛物线y=ax 2向右或向左平移|h|个单位得到. 例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位,得到的抛物线是=3x+22=3x-22=3x 2+2 =3x 2-2 专题练习11.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-,下列说法正确的是A.开口向下,顶点坐标为5,3B.开口向上,顶点坐标为5,3C.开口向下,顶点坐标为-5,3D.开口向上,顶点坐标为-5,3 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为0,-3,则下列说法不正确的是 A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时,y 的最大值为-4 D.抛物线与x 轴交点为-1,0,3,03.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后,所得图象的函数表达式是________. 4.小明从上图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中,观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->,你认为其中正确信息的个数有_______.填序号专题复习二：二次函数表达式的确定图1图2本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1、如图1,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙墙的长度不限的矩形菜园ABCD ,设AB 边长为x 米,则菜园的面积y 单位：米2与x 单位：米的函数关系式为不要求写出自变量x 的取值范围．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标,则可用一般式：y=ax 2+bx+ca ≠0；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大小值及抛物线上另一个点的坐标,则可用顶点式：y=ax-h 2+ka ≠0； 3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点,则可用交点式：y=ax-x 1x-x 2a ≠0. 例2 已知抛物线的图象以A-1,4为顶点,且过点B2,-5,求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A-2,0、B1,0,且经过点C2,8.1求该抛物线的解析式； 2求该抛物线的顶点坐标.专项练习21.由于世界金融危机的不断蔓延,世界经济受到严重冲击.为了盘活资金,减少损失,某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y 元,原价为a 元,则y 与x 之间的函数表达式为 =2ax-1 =2a1-x =a1-x 2=a1-x22.如图2,在平而直角坐标系xOy 中,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点,点A 在x 轴负半轴,点B 在x 轴正半轴,与y 轴交于点C,且tan∠ACO=12,CO=BO,AB=3,则这条抛物线的函数解析式是． 3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点0,-2,且x=1时,y=3；x=-1时y=1, 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，,(23)B -，,(10)C -，．1求此二次函数的关系式； 2求此二次函数图象的顶点坐标；3填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移个单位,使得该图象的顶点在原点．专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根,由图象判断一元二次方程根的情况,由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等,题型主要填空题、选择题和解答题. 考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值,确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.ABC D图1菜园墙图2例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值,判断方程ax 2+bx+c=0a ≠0,a,b,c,为常数的一个解x 的范围是Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示,则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________. 考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时,则一元二次方程ax 2+bx+c=0的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时,则一元二次方程ax 2相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时,则一元二次方程ax 2实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中,抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是专项练习31.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点,则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示,则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示,那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示,根据图象解答下列问题：1写出方程20ax bx c ++=的两个根．2写出不等式20ax bx c ++>的解集．3写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．4若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围．图2专题四：利用二次函数解决实际问题本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型,根据二次函数的最值解决实际问题,能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：1理解问题；2分析问题中的变量和常量；3用函数表达式表示出它们之间的关系；4利用二次函数的有关性质进行求解；5检验结果的合理性,对问题加以拓展等.例1某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台．1假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式；不要求写自变量的取值范围2商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元3每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高最高利润是多少专题训练41.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地,矩形面积S单位：平方米随矩形一边长x单位：米的变化而变化．1求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；2当x是多少时,矩形场地面积S最大最大面积是多少2.某旅行社有客房120间,每间客房的日租金为50元,每天都客满.旅社装修后要提高租金,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加5元时,则客房每天出租数就会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高3.一座拱桥的轮廓是抛物线型如图1所示,拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m．1将抛物线放在所给的直角坐标系中如图2所示,求抛物线的解析式；2求支柱EF的长度；3拱桥下地平面是双向行车道正中间是一条宽2m的隔离带,其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车汽车间的间隔忽略不计请说明你的理由．x图1。

中考数学二次函数章节总结与复习.doc

中考数学二次函数章节总结与复习
二次函数思维导图
一、二次函数的定义：
1．一般地，如果y＝ax_＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝c＝0时，y＝ax_是二次函数的特殊形式。
2．二次函数的三种基本形式：
(1)一般式：y＝ax_＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；
六、二次函数与一元二次方程的关系:
二次函数y＝ax_＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况:
有两个交点,有一个交点,没有交点;
当二次函数y＝ax_＋bx＋c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,
即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根。
二次函数与一元二次方程的关系
七、二次函数的应用：
(2)顶点式：y＝a(x－h)_＋k(a≠0)，由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标是(h，k)；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标。
二、二次函数的图象和性质：
二次函数的图像和性质
三、二次函数y＝ax_＋bx＋c（a ≠ 0）的图象特征与系数a，b，c的关系：
2．顶点式：y＝a(x－h)_＋k(a≠0)
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式y＝a(x－h)_＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式。
3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a的值，最后将解析式化为一般式。
1．二次函数的应用包括以下两个方面：

二次函数复习专题讲义全

二次函数复习专题讲义全1.二次函数概念：指形如y=ax^2(a≠0)的函数。

2.简单二次函数：其图像为过原点的一条抛物线，对称轴为y轴，最值依赖于a的正负性。

3.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x0)，y随x的增大而增大；当a0)，y随x的增大而减小。

4.一般二次函数概念：指形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。

5.二次函数图像：是一条抛物线，开口方向依赖于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a。

c-b^2/4a)。

6.对称轴：为x=-b/2a。

7.最值：当a>0时，y的最小值为c-b^2/4a；当a<0时，y 的最大值为c-b^2/4a。

8.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x-b/2a)，y随x的增大而增大；当a-b/2a)，y随x的增大而减小。

9.待定系数法可以用来求解析式，二次函数可以应用于建立函数模型解决实际问题。

10.二次函数的三种解析式：一般式、顶点式和交点式。

其中，顶点式和交点式可以相互转换。

注意，a≠0，而b和c可以为零。

1.系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

绝对值|a|决定开口大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。

2.系数c决定抛物线与y轴的交点位置。

当c>0时，交点在y轴正半轴；当c=0时，交点在抛物线顶点上方；当c<0时，交点在y轴负半轴。

3.系数a和b共同决定抛物线对称轴的位置。

当- b/2a>0时，对称轴在y轴右侧；当- b/2a<0时，对称轴在y轴左侧；当- b/2a=0时，对称轴为y轴。

4.特别地，当a=1时，顶点坐标为(-b/2.a+b+c)，当x=-1时，有y=a-b+c。

5.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的关系：若抛物线与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实根；若抛物线与x轴有一个交点，则方程有两个相等的实根；若抛物线与x轴无交点，则方程无实根。

二次函数复习

二次函数复习【知识点总结】一、定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二、二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 的性质（1）①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.③｜a ｜越大，开口越小。

（2）顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-= （3）①当0>a 时，在对称轴左边，y 随x 的增大而减小；在在对称轴右边，y 随x 的增大而增大；②当0<a 时，在对称轴左边，y 随x 的增大而增大；在在对称轴右边，y 随x 的增大而减小。

（4） y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0,c ) 轴下方轴的交点在，抛物线与轴上方，轴的交点在，抛物线与x y c x y c 00<>【典型题分析】一、求顶点坐标，最值1、抛物线y=（x-4）2-6的顶点坐标是，对称轴是，当x= 时，y 有最值，是。

2.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是（） A.（2，－2） B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3） 3、已知抛物线y=-2x 2+12x-13，则下列关于此抛物线说法正确的是 ( )A.开口向下，对称轴为直线x=-3B.顶点坐标为(-3，5)C.最小值为5D.当x ＞3时，y 随x 的增大而减小4、坐标平面上有一函数y=﹣3x 2+12x ﹣7，其顶点坐标是（） A ．（2，5） B ．（2，﹣19）C ．（﹣2，5）D ．（﹣2，﹣43） 5. 求下列二次函数的最值：（1）求函数322-+=x x y 的最值．（2）求函数322-+=x x y 的最值．)30(≤≤x6、公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s(m )与时间t(s )的函数关系式为s ＝20t －5t 2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性的作用，汽车要滑行__ _ 米才能停下来．二、抛物线的平移方法1：计算两条抛物线的顶点，由顶点判定平移情况方法2：将函数换成顶点式．．．，用口决“（x ）左加右减，上加下减”1、将抛物线y=3x 2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A ．y=3（x ﹣2）2﹣1B ．y=3（x ﹣2）2+1C ．y=3（x+2）2﹣1D ．y=3（x+2）2+12、将抛物线y=x 2-6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )A.y=（x-4）2-6B.y=（x-4）2-2C.y=（x-2）2-2D.y=（x-1）2-33、将抛物线y=x2－2x 向上平移3个单位,再向右平移4个单位得到的抛物线是_______. 4、抛物线y=x 2+bx+c 的图像先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图像的函数解析式为y=(x-1)²-4，则b 、c 的值为（） A 、b=2，c=-6 B.b=2，c=0 C.b=-6，c=8 D.b=-6，c=2三、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 1、若二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是（）A ．a ＞0B ．c ＞0C ．ac ＞0D ．bc ＜02、如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x=1，点B 坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a ﹣2b+c ＜0；③ac ＞0； ④当y ＜0时，x ＜﹣1或x ＞2．其中正确的结论有3、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（） A ．a ＞0B ．3是方程ax 2+bx+c=0的一个根 C ．a+b+c=0D ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小四、抛物线的对称性1、在二次函数y=x 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则m 的值为_____.2、已知二次函数y=ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：则当y ＜5时，x 的取值范围是______．3、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴x …-1 0 1 2 3 … y…105212…C ．当x=3时，y ＜0D ．方程ax 2+bx+c=0有两个相等实数根4．若(2，5)，(4，5)是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的两个点，则它的对称轴是( )A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝3D ．x ＝45、设A(-2, y 1)B （1，y 2）C （2，y 3）是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋a 上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系为（）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 26、二次函数c bx x y ++=2的图像上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）（A ）1x =- （B ）1x = （C ）2x = （D ）3x =7、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．求它与x 轴的另一个交点的坐标（，）8、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则x 的取值范围是（）A.14<<-xB. 13<<-xC. 4-<x 或1>xD.3-<x 或1>x9、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为（） A. 0 B. －1 C. 1 D. 210、已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_________·11．如图6，抛物线y 1=a (x +2)2与y 2=12(x -3)2+1交于点A （1,3），过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结论： ① 无论x 取何值，y 2的值总是正数； ② a =1；③ 当=0时，y 2- y 1=4； ④ 2AB =3AC ．其中正确结论是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④图6五、与二次函数的图象关于x 、y 轴对称：二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等，那么对称轴:122x x x +=与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 y 轴对称的函数解析式：y=ax 2-bx+c(a ≠0)与抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)关于 x 轴对称的函数解析式：y=-ax 2 –bx-c(a ≠0)1、把抛物线y =-2x 2+4x +3沿x 轴翻折后，则所得的抛物线关系式为____ ____。

二次函数知识点总复习含解析

二次函数知识点总复习含解析一、选择题1．某二次函数图象的顶点为()2,1-，与x 轴交于P 、Q 两点，且6PQ =．若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（） A ．aB ．bC ．cD ．d【答案】D【解析】【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x 轴的交点坐标，从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负，本题得以解决．【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，∴图形与x 轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0），∵此函数图象通过（1，a ）、（3，b ）、（-1，c ）、（-3，d ）四点，∴a ＜0，b ＜0，c=0，d ＞0，故选：D ．【点睛】此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12x 的图象上有三点（x 1，m ）、（x 2，m ）、（x 3，m ），则x 1+x 2+x 3的结果是（） A ．3122m -+ B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果．【详解】解：如图，在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12x 的图象上有三点A （x 1，m ）、B （x 2，m ）、C （x 3，m ），∵y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）∴抛物线的对称轴为直线x ＝m+1， ∴232x x +＝m+1，∴x 2+x 3＝2m+2，∵A （x 1，m ）在直线y ＝﹣12x 上， ∴m ＝﹣12x 1， ∴x 1＝﹣2m ， ∴x 1+x 2+x 3＝﹣2m+2m+2＝2，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想画出函数图形．3．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，有以下结论：①a +b +c ＜0；②a ﹣b +c ＞1；③abc ＞0；④9a ﹣3b +c ＜0；⑤c ﹣a ＞1．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③④C ．①②③④D ．①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的开口方向可得出a 的符号，再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可．【详解】由图象可知，a ＜0，c=1，对称轴：x=b12a-=-， ∴b=2a ， ①由图可知：当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，正确；②由图可知：当x=−1时，y ＞1，∴a −b+c ＞1，正确；③abc=2a 2＞0，正确；④由图可知：当x=−3时，y ＜0，∴9a −3b+c ＜0，正确；⑤c−a=1−a ＞1，正确；∴①②③④⑤正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．4．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（）．A ．①②④B ．②③④C ．③④⑤D ．①③⑤【答案】C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误；②由抛物线的开口方向向上可推出a>0；∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2b a->0，又∵a>0，∴b<0；由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c<0，故abc>0，故②错误；③结合图象得出x=−1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a−b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2−4ac>0，故④正确；⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12则2a=−2b ，故⑤正确；故正确的有：③④⑤．故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．5．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是( )A ．﹣4＜P ＜0B ．﹣4＜P ＜﹣2C ．﹣2＜P ＜0D ．﹣1＜P ＜0【答案】A【解析】【分析】【详解】解:∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0．∵对称轴在y 轴的左边，∴b 2a-＜0．∴b ＞0． ∵图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b ﹣2=0．∴a=2﹣b ，b=2﹣a ．∴y=ax 2+（2﹣a ）x ﹣2．把x=﹣1代入得：y=a ﹣（2﹣a ）﹣2=2a ﹣4，∵b ＞0，∴b=2﹣a ＞0．∴a ＜2．∵a ＞0，∴0＜a ＜2．∴0＜2a ＜4．∴﹣4＜2a ﹣4＜0，即﹣4＜P ＜0．故选A ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．6．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④【答案】D【解析】【分析】根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确.③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确.故答案选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。

《二次函数(基础复习).docx

二次函数(基础复习)★二次函数知识点汇总*1.定义：一般地，如果y = ax2 +bx + c(a.b,c是常数，d H 0),那么y叫做兀的二次函数.2.二次函数y = ax~的性质⑴抛物线y = d*(°工°)的顶点是坐标原点，对称轴是).，轴.⑵函数y = a/的图像与a的符号关系.①当a〉0时o抛物线开口向上o顶点为其最低点；②当a < 0时o抛物线开口向H<=>顶点为其最高点3.二次函数y = ax~ +bx + c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.4.二次两数尸加+办+ c用配方法可化成：y = a(x-h)2 +k的形式，具中h二亠,k =仏一沪•2a4a5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y = ax2；②y = ax2 +k；③ y = a(x-h)2；④y = a(x - /?)2 + k；⑤y = ax2 + 加+ c .6.抛物线的三耍素：开口方向、对称轴、顶点.①a决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当d<0时，开口向下；问相等，抛物线的开口人小、形状相同.②平行于y轴(或重合)的在线记作x = h.特别地，y轴记作直线x = 0.7.顶点决定抛物线的位置.儿个不同的二次两数，如果二次项系数d相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.&求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：y = ax2 +bx-}-c = a x + — +"，二顶点是(一-—― ),对称轴\ 2a) 4ci 2a 4ci是直线兀=丄・2ci⑵配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为y = c(x-h)2+k的形式，得到顶点为(h,k),对称轴是兀=h .(3)运川抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★9.抛物线y = ax2 + bx + c中，a,b,c的作用(1)a决定开口方向及开口大小，这与y - ax2中的a完全一•样.⑵b和a共同决定抛物线对称轴的位置.rtl于抛物线y+bx+c的对称轴是直线龙=,2a故：®b = 0时，对称轴为y轴；②2>o(即b同号)吋，对称轴在y轴左侧；a③ 2 V 0 (即d、b界号)时，対称轴在y轴右侧.a⑶c的人小决定抛物线y = ax2 +bx + c与y轴交点的位置.当兀=0时，y = c ,抛物线y = ax1 +bx + c与y轴有且只有一个交点(0, c)：①c = 0 ,抛物线经过原点；②c〉0,与y轴交于.正半轴；③c < 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则1<0-11.用待定系数法求二次函数的解析式根据条件确定二次西数农达式的儿种基本思路。

(完整版)二次函数图像与性质专题复习

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象【例2】求作函数342+--=x x y 的图像。

二次函数综合复习

二次函数综合复习模块一、二次函数的定义一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，0a ≠）的函数称为x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，a 、b 、c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．注意：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b 、c 可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．【例1】若函数232(1)(1)y m x m x =-++的图象是抛物线，则_____m =【例2】在一幅长80厘米、宽50厘米的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为y ，金色纸边的宽为x ，则y 与x 的关系式是_____________模块二、二次函数的图象及性质二次函数2y ax bx c =++0a ≠（）或2()y a x h k =-+（0a ≠）的性质⑴开口方向：00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下⑵对称轴：2bx a=-（或x h =） ⑶顶点坐标：24(,)24b ac b a a--（或(,)h k ）⑷最值：0a >时有最小值244ac b a -（或k ）（如图1）； 0a <时有最大值244ac b a-（或k ）（如图2）；⑸单调性：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的变化情况（增减性） ①如图1所示，当0a >时，对称轴左侧2bx a<-，y 随着x 的增大而减小，在对称轴的右侧2bx a<-，y 随x 的增大而增大； ②如图2所示，当0a >时，对称轴左侧2bx a<-， y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧2bx a<-，y 随x 的增大而减小； ⑹与坐标轴的交点：①与y 轴的交点：（0，C ）；②与x 轴的交点：使方程20ax bx c ++=（或2()0a x h k -+=）成立的x 值．【例3】函数22y x =，232y x =-，221y x =+的______相同A.形状B.顶点C.最小值D.增减性【例4】函数2y ax =与y ax b =-+在同一坐标系的图象可能是（）B【例5】二次函数2y ax bx c =++的图象如下左图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号【例6】关于二次函数2y ax bx c =++的图象有下列命题：①当0c =时，函数图象过原点②当0c >且函数的图象开口向下时，方程20ax bx c ++=必有两个不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是244ac b a-；④当0b =时，函数的图象关于y 轴对称其中正确的命题的个数是（） A.1个B.2个C.3个D.4个模块三二次函数的解析式以及平移☞二次函数解析式的确定1、如果已知二次函数的图象上的三点坐标，可用一般式2y ax bx c =++()0a ≠求解二次函数解析式；2、已知二次函数的顶点和图象上的任意一点，都可以用顶点式()2y a x h k =-+()0a ≠来确定解析式；3、已知二次函数与x 轴的交点坐标，和图象上任意一点时，可用交点式()()12y a x x x x =-- ()0a ≠，（其中12,x x 为二次函数图象与x 轴的交点的两个横坐标）求解二次函数解析式； 4、对称式：12()()(0)y a x x x x k a =--+≠。

(完整版)二次函数知识点复习(可编辑修改word版)

一、二次函数概念：二次函数知识点1. 二次函数的概念：一般地，形如 y = ax 2 + bx + c （ a 何 b 何 c 是常数， a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a ≠ 0 ，而b 何2. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的结构特征：c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． ⑵ a 何 b 何 c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： y = ax 2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. y = ax 2 + c下减。

的性质：左加右减。

的性质：上加3.y = a ( x - h )24.y = a ( x - h )2+ k 的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a ( x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h 何k ) ；⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h 何 k ) 处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴ y = ax 2 + bx + c 沿 y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成y = ax 2 + bx + c + m （或 y = ax 2 + bx + c - m ）⑵ y = ax 2 + bx + c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成 y = a (x + m )2 + b (x + m ) + c（或 y = a (x - m )2 + b (x - m ) + c ）a < 0向下(h 何 0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y随 x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值0 ．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h 何 k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而增大； x < h 时， y随 x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值 k ．a < 0向下(h 何 k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y随 x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 k ．2a 四、二次函数y = a ( x - h )2+ k与 y = ax 2+ bx + c 的比较从解析式上看， y = a ( x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即⎛ b ⎫24ac - b 2 b 4ac - b 2y = a x + ⎪ + ⎝ ⎭4a ，其中 h = - 何 k = ．2a 4a五、二次函数 y = ax2+ bx + c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y = ax 2 + bx + c 化为顶点式 y = a (x - h )2 + k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 (0何 c ) 、以及(0何 c ) 关于对称轴对称的点(2h ，c ) 、与 x 轴的交点(x 1 何 0) ， ( x 2 何 0) （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y = ax 2+ bx + c 的性质b ⎛ b 4ac - b 2 ⎫ 1. 当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a 何 4a ⎪ ．当 x < - b 2a ．时， y 随 x 的增大而减小；当 x > - b 2a⎝ ⎭ 时， y 随 x 的增大而增大；当 x = - b 2a时， y 有最小值4ac - b 2 4a b⎛ b 4ac - b 2 ⎫ b2. 当 a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a 何 4a ⎪．当 x < - 2a 时， y 随 x 的增大而增大；当 x > - b2a时， y 随 x 的增大而减小；当 x = - b 2a ⎝ ⎭4ac - b 2 时， y 有最大值．4a 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2. 顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3. 两根式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y = ax 2 + bx + c 中， a 作为二次项系数，显然 a ≠ 0 ．⑴ 当 a > 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当 a < 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在 a > 0 的前提下，当b > 0 时， - b 2a < 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；当b = 0 时， - b2a = 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；当b < 0 时， - b2a> 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．⑵ 在 a < 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当b > 0 时， - b2a> 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；当b = 0 时， - b 2a = 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；当b < 0 时， - b2a< 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．bab 的符号的判定：对称轴 x = - 2a在 y 轴左边则 ab > 0 ，在 y 轴的右侧则 ab < 03. 常数项c ⑴ 当c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：① 当∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A ( x ，0)，B ( x ，0) (x ≠ x ) ，其中的 x ，x 是一元二次方程121212ax 2+ bx + c = 0(a ≠ 0) 的两根．这两点间的距离 AB = x 2 - x 1② 当∆ = 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； ③ 当∆ < 0 时，图象与 x 轴没有交点. 1' 当 a > 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y > 0 ；2 ' 当 a < 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y < 0 ．2. 抛物线 y = ax 2 + bx + c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0 ， c ) ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⎩⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y = ax 2 + bx + c 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函数中 a ， b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 下面以 a > 0 时为例，揭示二次函数和一元二次方程之间的内在联系：十一、函数的应用⎧ 何何何何 ⎪二次函数应用⎨何何何何何何何何⎪ 何何何何何何何二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数 y = (m - 2)x 2 + m 2 - m - 2 的图像经过原点，则 m 的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数 y = kx + b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y = kx 2 + bx -1的图像大致是（）3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 x =5 ，求这条抛物线的解析式。

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中考复习必备-二次函数总复习

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2023年九年级中考数学复习：二次函数(特殊四边形问题)综合题(Word版,含答案)

第二十二章 二次函数总复习--

第1章二次函数全章复习与测试(原卷版)

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