二次函数的综合复习.doc

二次函数的综合复习

一、基础知识点：

1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2

（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数．

2．二次函数的图象及性质：

（1）二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．

（2）二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线．顶点为（－2b a ，244ac b a -），对称轴x=－2b a

；

（3）当a ＞0时，当x=－2b a 时，函数有最小值244ac b a -；当a ＜0时，当x x=－2b

a

时，函数有最大值244ac b a -

3．图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋

k 的图象．

⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ） 形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同．

⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线 y=ax 2相同．

⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．

4.小知识点总结： （1）、a 的符号：a 的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，则a ＞0；物线开口向下，则a ＜0． （2）b 的符号由对称轴决定，若对称轴是y 轴，则b=0；若抛物线的顶点在y 轴左侧，顶点的横坐标－

2b

a

＜0即

2b a ＞0，则a 、b 为同号；若抛物线的顶点在y 轴右侧，顶点的横坐标－2b a ＞0，即2b

a

＜0．则a 、b 异号．简称“左同有异”．

（3）c 的符号：c 的符号由抛物线与y 轴的交点位置确定．若抛物线交y 轴于正半，则c ＞0，抛物线交y

轴于负半轴．则c ＜0；若抛物线过原点，则c=0．

（4）△的符号：△的符号由抛物线与x 轴的交点个数决定．若抛物线与x 轴只有一个交点，则△=0；有

两个交点，则△＞0．没有交点，则△＜0 ．

（5）a+b+c 与a －b+c 的符号：a+b+c 是抛物线c bx ax y ++=2

(a ≠0）上的点(1，a+b+c ）的纵坐标，a －b+c

是抛物线c bx ax y ++=2

(a ≠0）上的点（－1，a －b ＋c ）的纵坐标．根据点的位置，可确定它们的符号. 典型例题：

例1、（ 贵阳）已知抛物线21(4)33

y x =-- 的部分图象（如图1-2-1），图象

再次与x 轴相交时的坐标是（ ） （A ）（5，0） （B ）（6，0） （C ）（7，0） （D ）（8，0） 例2、（ 宁安）函数y= x 2－4的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A.（2，0） B.（－2，0） C.（0，4）D.（0，－4）

例3、（ 潍坊）已知二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图 l －2－2所示，则a 、b 、c 满足（ ） A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 D ．a ＞0，b ＜0，c ＞0

A ．b 2－4ac ＞0

B ．b 2－4ac ＝0

C ．b 2－4ac ＜0

D ．b 2－4ac≤0 例5、（重庆）二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图1－2－10，则点（b ，c a

）在（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 针对性练习

1．已知直线y=x 与二次函数y=ax 2 －2x －1的图象的一个交点 M 的横标为1，则a 的值为（ ） A 、2 B 、1 C 、3 D 、 4 2．已知反比例函数y= k

x 的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，则二次函数y=2kx 2 －x+k 2的图象大

致为图1－2－3中的（ ）

3．已知二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图1－1－4 所示，下列结论中①abc ＞0；②b=2a ；③a ＋b ＋c<0；

④a+b+c ＞0正确的个数是（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．l

4．抛物线y=x 2－ax ＋5的顶点坐标是（ ） A ．（－2，1） B ．（－2，－1） C ．（2，l ） D ．（2，－1） 5．抛物线y=（x —5）+4的对称轴是（ ）

A ．直线x=4

B ．直线x =－4

C ．直线x=5

D ．直线x =－5

6．二次函数c bx ax y ++=2

图象如图l －1－5所示，则下列结论正确的（ ）

A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0

B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0

C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0

D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 7．二次函数 y=2（x －3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A ．开口向下，对称轴x =－3，顶点坐标为（3,5） B ．开口向下，对称轴x ＝3，顶点坐标为（3，5） C ．开口向上，对称轴x =－3，顶点坐标为(－3,5) D ．开口向上，对称轴x =－3，顶点坐标为(－3,－5）

8．二次函数c bx ax y ++=2

图象如图l －2－6所示，则点（b c ，a ）在（ ）

A ．第一象限

B 第二象限

C ．第三象限

D 第四象限

9．已知二次函数c bx ax y ++=2

(a ≠0）与一次函数y=kx+m(k ≠0）的图象相交于点 A （－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所示，能使y 1＞y 2成立的x 取值范围是_______

10若二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图1－2－8，则ac_____0（“＜”“＞”或“=”）