2二次函数线段最值——利用几何模型求线段和差最值

二次函数线段最值（二）

课前小测

如图,抛物线322++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于点C,点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称,直线AD 与y 轴交于点E.

(1)求直线AD 的解析式;

(2)如图1,直线AD 上方的抛物线上有一点F,过点F 作FG ⊥AD 于点G,作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H,求△FGH 周长的最大值;

(3)点M 是抛物线的顶点,点P 是y 轴上一点,点Q 是坐标平面内一点,以A,M,P,Q 为顶点的四边形是以AM 为边的矩形.若点T 和点Q 关于AM 所在直线对称,求点T 的坐标.

利用几何模型求线段和差最值

例1如图，抛物线与x轴交与A（1,0）,B（- 3，0）两点. （1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

例2、已知抛物线322--=x x y 与x 轴交A 、C 两点，与y 轴交于B 点，点P 、Q 为抛物线对称轴上的动点。

（1）求点A 、B 、C 的坐标；

（2）当|CP-BP|取得最大值时，求此时点P 的坐标及最大值；

（3）若PQ=1,当CP+PQ+QB 取得最小值时，求此时点P 、Q 的坐标及最小值。

巩固练习

1、如图,一元二次方程的0322=-+x x 二根）

（，2121x x x x <,是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的两个交点B 、

C 的横坐标,且此抛物线过点A （3，6）. （1）求此二次函数的解析式;

（2）设此抛物线的顶点为P,对称轴与线段AC 相交于点Q,求点P 和点Q 的坐标;

（3）在x 轴上有一动点M,当MQ+MA 取得最小值时,求点M 的坐标.

2、如图,抛物线c bx x y ++=2过点A(3,0),B(1,0)，交y 轴于点C,点P 是该抛物线上一动点,点P 从C 点沿抛物线向A 点运动(点P 不与A 重合),过点PD//y 轴交直线AC 于点D.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当D 在线段AC 上运动时,求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值;

(3)在抛物线对称轴上是否存在点M 使|MA-MC|最大?若存在请求出点M 的坐标,若不存在请说明理由.

※3、如图1，抛物线）（02≠++=a c bx ax y 的顶点为C(1,4)，交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为(3,0)。

（1）求抛物线的解析式。

（2）如图2，过点A 的直线与抛物线交于点E ，交y 轴于点F ，其中点E 的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为直线PQ 上的一动点，则x 轴上是否存在一点H ，使D 、G 、H 、F 四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G 、H 的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T ，过点T 作x 轴的垂线，垂足为点M ，过点M 作MN//BD ，交线段AD 于点N ，连接MD ，使△DNM~△BMD?若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由。

课后作业

1、如图,抛物线）

（0

2≠

c

ax

y与x轴交于A、B两点,与y轴交于C

bx

+

+

=a

点,且A(1,0),C(0,3),抛物线的对称轴为x=-1.

(1)求抛物线的解析式;

(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△MAC的周长最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由；

(3)该抛物线在第二象限的图象上是否存在一点P,使四边形BOCP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

2、如图，已知二次函数c bx x y ++=2过点A(1，0),C(0，-3)

（1）求此二次函数的解析式。

（2）在抛物线上存在一点P 使ABP 的面积为10，请求出点P 的坐标。

（3）在抛物线对称轴上是否存在一点M ，使得BM+CM 最小。若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。