2二次函数线段最值——利用几何模型求线段和差最值
中考数学中的二次函数的线段和差以及最值问题
二次函数与线段和差问题例题精讲：如图抛物线与x 轴交于A,B（1,0 ），与y 轴交于点C,直线经过点A,C. 抛物线的顶点为D，对称轴为直线l,（1））求抛物线解析式。
（2））求顶点 D 的坐标与对称轴l.点E的坐标。
（3））设点E 为x 轴上一点，且AE=CE求,（4））设点G是y 轴上的一点，是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出G点坐标，若不存在，说明理由。
（5））在直线l 上是否存在一点F，使得△ BCF的周长最小，若存在，求出点 F的坐标及△ BCF周长的最小值，若不存在，说明理由。
（6））在y 轴上是否存在一点S, 使得SD-SB的值最大，若存在，求出S 点坐标，若不存在，说明理由。
（7））若点H 是抛物线上位于AC上方的一点，过点H 作y 轴的平行线，交AC于点K，设点H的横坐标为h, 线段HK=d①求 d 关于h 的函数关系式②求d 的最大值及此时H点的坐标（8））设点P 是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离最大值时，求P点的坐标，并求出最大距离是多少？1. 如图，矩形的边OA在轴上，边OC在轴上，点的坐标为(10,8) ，沿直线OD折叠矩形，使点正好落在上的处，E点坐标为(6,8) ，抛物线经过、、三点。
（1））求此抛物线的解析式。
（2））求AD的长。
（3））点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P 的坐标。
2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2点O关于点 A 对称。
（1））填空：点 B 的坐标是。
1与轴相交于点A，点B与4（2））过点的直线（其中）与轴相交于点C，过点C作直线平行于轴，P 是直线上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k 的式子表示），并判断点P 是否在抛物线上，说明理由。
（3））在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标。
3. 如图, 抛物线与x 轴交于A,B 两点, 与y 轴交于点C,点O为坐标原点, 点D为抛物线的顶点, 点E 在抛物线上, 点F 在x 轴上, 四边形OCEF为矩形, 且OF=2,EF=3,.(1) 写出抛物线对应的函数解析式: △AOD的面积是(2) 连结CB交EF于M,再连结AM交OC于R,求△ ACR的周长.(3) 设G(4,-5) 在该抛物线上,P 是y 轴上一动点, 过点P作PH垂直于直线EF并交于H,连接AP,GH,问AP+PH+H是G否有最小值?如果有, 求点P 的坐标; 如果没有, 请说明理由.4.在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A、B 分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA 3 ，OB 4 ，D 为边OB的中点．若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF 2 ，当四边形CDEF 的周长最小时，求点 E 、F 的坐标．yB CDO A x5.四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y 轴相交于点M，且M 是BC的中点，A、B、D 三点的坐标分别是A（ 1 ，0 ），B（ 1 ，2 ），D（3，0）．连接DM，并把线段DM 沿DA方向平移到ON．若抛物线y ax2 bx c 经过点D、M、N．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设抛物线与x 轴的另一个交点为E，点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有| QE-QC| 最大？并求出最大值．6. 已知，如图，二次函数y ax2 2ax 3a (a0) 图象的顶点为H，与x 轴交于A、B 两点（B 在A 点右侧），点H、B 关于直线l : y3x33 对称．（1）求A、B 两点坐标，并证明点 A 在直线l 上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B 作直线BK∥AH 交直线l 于K 点，M、N 分别为直线AH 和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK 和的最小值．ylHKA O Bx7.如图，已知点A(- 4，8)和点B(2，n)在抛物线y = ax2 上．（1）求a 的值及点 B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q，使得AQ+QB 最短，求出点Q 的坐标；（2）平移抛物线y = ax 2 ，记平移后点 A 的对应点为A′，点B 的对应点为B′，点C(- 2，0)和点D(- 4，0)是x 轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．yA 8642 BD - 4 C- 2 O- 22 4 x- 4。
部编数学九年级下册专项10二次函数和线段和差最值问题(解析版)含答案
专项10 二次函数和线段和差最值问题“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
“两点定点一定长”模型一：当两定点 A、B 在直线l异侧时，在直线l上找一点 P，使 PA+PB 最小。
作法：连接AB交直线l 于点 P，点P即为所求作的点。
结论：PA+PB值最小模型二：作法：作点B关于直线l的对称点B’，连接AB’与直线l相交的点P即为所求结论：AP+PB’值最小模型三：PA-最大。
当两定点 A、B 在直线l同侧时，在直线l上找一点 P，使PB作法：接 AB并延长交直线l于点 P，点P即为所求作的点。
PA-的最大值为 AB。
结论：PBPA-最大。
当 l 两B定点 A、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点 P，使PB作法：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点 P，点P即为所求作的点。
PA-的最大值为AB′结论：PB模型四：当 l 两定点 A、B 在直线l同侧时，在直线l上找一点 P，使PBPA-最小。
作法：连接 AB，作AB的垂直平分线交直线l于点 P，点 P 即为所求作的点。
PA-的最小值为 0结论：PB【考点1 线段最值问题】【典例1】（盘锦）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点C，交x 轴于A、B两点，A（﹣2，0），a+b＝，点M是抛物线上的动点，点M在顶点和B点之间运动（不包括顶点和B点），ME∥y轴，交直线BC于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段ME的最大值；【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+4，则，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；（2）y＝﹣x2+x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝4或﹣2，故点A、B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（4，0）、（0，4），设直线BC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，设点M（x，﹣x2+x+4），则点E（x，﹣x+4），则ME＝（﹣x2+x+4）﹣（x﹣4）＝﹣x2+2x，∵，故ME有最大值，当x＝2时，ME的最大值为2；【变式1-1】（2021•柳南区校级模拟）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不存在，请说明理由？【解答】解：（1）∵点A（3，4）在直线y＝x+m上，∴4＝3+m．∴m＝1．设所求二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2．∵点A（3，4）在二次函数y＝a（x﹣1）2的图象上，∴4＝a（3﹣1）2，∴a＝1．∴所求二次函数的关系式为y＝（x﹣1）2．即y＝x2﹣2x+1．（2）①设P、E两点的纵坐标分别为y P和y E．∴PE＝h＝y P﹣y E＝（x+1）﹣（x2﹣2x+1）＝﹣x2+3x．即h＝﹣x2+3x（0＜x＜3）．②存在．∵h＝﹣（x﹣）2+，又∵a＝﹣1＜0，∴x＝时，h的值最大，最大值为．【变式1-2】（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值；【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式得，，解得，∴这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；（2）设BC的解析式为y＝kx+b，将B，C的坐标代入函数解析式得，，解得，∴BC的解析式为y＝x﹣3，设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，＝，当n＝时，PM最大∴线段PM的最大值；【典例2】（2020秋•椒江区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A （1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点T为对称轴直线x＝2上一点，则TC﹣TB的最大值为多少？【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3，解得a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3①；（2）点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接CA交函数对称轴于点T，则点T为所求点，则TC﹣TB＝TC﹣TA＝AC为最大，故TC﹣TB的最大值为AC＝＝，故答案为；【变式2】（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），﹣12＝﹣6a，解得a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．（2）∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（﹣1，0），B（4，0），∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x＝，∴点P在直线x＝上，∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，此时点P为直线AC与直线x＝的交点，∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，∴P（，﹣5）【典例3】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．求线段PN的最大值；【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为x＝1，点B与A（﹣1，0）关于直线x＝1对称，∴B（3，0），设y＝a（x﹣3）（x+1），把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3，设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，故抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，直线BC的解析式为y＝﹣x+3；（2）设P（t，﹣t2+2t+3），则Q（t，﹣t+3），∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠BCO＝45°，∵PQ⊥x轴，∴PQ∥y轴，∴∠PQN＝∠BCO＝45°，∵PN⊥BC，∴PN＝PQ•sin∠PQN＝（﹣t2+3t）•sin45°＝﹣（t﹣）2+，∵＜0，∴当t＝时，PN的最大值为；【变式3】（2022•广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．【解答】解：（1）直线y＝﹣x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，∴B（0，﹣2），当y＝0时，﹣x﹣2＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0），将A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得，，∴2a﹣b＝1，c＝﹣2；（2）当a＝1时，2×1﹣b＝1，∴b＝1，∴y＝x2+x﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），∴OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），∴QE＝（﹣m﹣2）﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，∴QD＝QE＝﹣（m+1）2+，当m＝﹣1时，QD有最大值是，当m＝﹣1时，y＝1﹣1﹣2＝﹣2，综上，点Q的坐标为（﹣1，﹣2）时，QD有最大值是．【考点2 线段和最小】【典例4】（2019秋•东莞市校级期末）已知，抛物线y＝ax2+bx+c，过A（﹣1，0）、B （3，0）、C（0，﹣3），M为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，并求出P的坐标；【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得a×（0+1）×（0﹣3）＝﹣3，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；（2）抛物线的对称轴为直线x＝1，点A与点B关于直线x＝1对称，连接BC交直线x＝1于P点，则PA＝PB，∵PA+PC＝PB+PC＝BC，∴此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，则满足条件的P点坐标为（1，﹣2）；【变式4-1】（2019•赤峰）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A（﹣1，0）；（2）如图1中，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED 为最小，函数顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得：直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3，当y＝0时，x＝，故点E（，0），则EC+ED的最小值为DC′＝；【变式4-2】（2016•黑龙江二模）如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣2上，∴×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2＝0，解得：b＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2．∵y＝x2﹣x﹣2＝（x2﹣3x﹣4 ）＝，∴顶点D的坐标为（，﹣）．（2）设点C关于x轴的对称点为C′，直线C′D的解析式为y＝kx+n，则，解得：．∴y＝﹣x+2．∴当y＝0时，﹣x+2＝0，解得：x＝．∴m＝．【典例5】（2022•恩施州模拟）如图1，已知抛物线．点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上，是抛物线与y轴的交点，D为抛物线上一动点，过点D 作x轴的垂线，垂足为点C．（1）直接写出h，k的值；（2）如图1，若点D的坐标为（3，m），点Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K．探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由；【解答】解：（1）∵点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴h＝1，∴y＝（x+1）2+k，∵是抛物线与y轴的交点，∴+k＝，∴k＝1；（2）存在最小值，理由如下：由（1）可知y＝（x+1）2+1，作C点关于直线x＝﹣的对称点C'，连接C'D交抛物线对称轴于点K，连接CQ，由对称性可知C'K＝CQ，∴CQ+KQ+KD＝C'K+KD+KQ≥C'D+KQ，当C'、K、D三点共线时，CQ+KQ+KD的值最小，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴KQ＝1，∵D（3，5），CD⊥x轴，∵C（3，0），∴C'（﹣4，0），∴C'D＝，∴CQ+KQ+KD的最小值为+1，设直线C'D的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+，∴K（﹣1，），∴Q（0，）；【变式5】（2022•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B 的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，如图：∵CC'＝PQ，CC'∥PQ，∴四边形CC'QP是平行四边形，∴CP＝C'Q，∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，∵B，Q，C'共线，∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，∵C（0，4），CC'＝PQ＝1，∴C'（0，3），∵B（4，0），∴BC'＝＝5，∴BC'+PQ＝5+1＝6，∴CP+PQ+BQ最小值为6；【考点3 周长最值问题】【典例6】（2020春•五华区校级期末）如图，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣3上，∴b＝﹣2，∴抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点D的坐标（1，﹣4）；（2）对于y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3，解得：x＝3或﹣1，∴B（3，0），由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，∴连接BC交函数的对称轴于点M，此时AM+CM＝BC为最小值，而BC的长度是常数，故此时△ACM的周长最小，设直线BC的表达式为y＝mx+n，则，解得，故直线BC的表达式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝﹣2，故点M（1，﹣2）．【变式6-1】（2021•富拉尔基区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式；（2）若M是抛物线对称轴上的一点，则△ACM周长的最小值为多少？【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵△ACM周长的值最小，∴MC+AM的值最小，即点M即为直线BC与抛物线对称轴的交点，∴△ACM周长的最小值为BC+AC，∵点B（﹣3，0），C（0，3），∴BC＝＝3，AC＝＝，∴△ACM周长的最小值为，故答案为：；【变式6-2】（2022•齐河县模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，抛物线上是否存在一点P，使得∠BCP＝∠ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，∴方程ax2+bx+3＝0的两根为x＝1或x＝3，∴1+3＝﹣，1×3＝，∴a＝1，b＝﹣4，∴二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3；（2）∵二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，C（0，3）．∵点A、B关于对称轴对称，∴点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC＝BC的值最小．设直线BC的解析式为y＝kx+t（k≠0），则，解得：．∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．∵抛物线的对称轴为直线x＝2．∴当x＝2时，y＝1．∴抛物线对称轴上存在点M（2，1）符合题意，∵A（1，0）、B（3，0），C（0，3）．∴AC＝＝，BC＝＝3，∴AC+BC＝+3，∴在抛物线的对称轴上存在点M，使△ACM的周长最小，△ACM周长的最小值为+3；【典例7】（2022春•衡阳期中）如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）如图1，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点E作ED⊥AB，交AB于点D，作EF⊥AC，交AC于点F，交AB于点M，求△DEM的周长的最大值；【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（4，0），B（0，3）．∵抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点，∴，解得．∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+x+3．（2）∵A（4，0），B（0，3）．∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5．∵ED⊥AB，∴∠EDM＝∠AOB＝90°，∵∠DEM+∠EMD＝∠FMA+∠BAO＝90°，∠FMA＝∠EMD，∴∠DEM＝∠BAO，∴△AOB∽△EDM，∴AO：OB：AB＝ED：DM：EM＝4：3：5，设E的横坐标为t，则E（t，﹣t2+t+3），∴M（t，﹣t+3），∴EM＝﹣t2+t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+t．∴△DEM的周长为：ED+DM+EM＝EM＝﹣（t﹣2）2+，∴当t＝2时，△DEM的周长的最大值为．【变式7】（2022春•北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+2交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，一次函数y＝﹣x﹣1交抛物线于A，D两点，其中点D（3，﹣4）．（1）求抛物线C1的解析式；（2）点G为抛物线上一点，且在线段BC上方，过点G作GH∥y轴交BC于H，交x 轴于点N，作GM⊥BC于点M，求△GHM周长的最大值；【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x﹣1交抛物线于A点，且点A在x轴上，∴A（﹣1，0）；将A（﹣1，0）和D（3，﹣4）代入抛物线C1：y＝ax2+bx+2，∴，解得，∴抛物线C1：y＝﹣x2+x+2．（2）由（1）知抛物线C1：y＝﹣x2+x+2．令y＝0，解得x＝﹣1或x＝2，∴B（2，0）；令x＝0，则y＝2，∴C（0，2）．∴OB＝OC＝2，直线BC的解析式为：y＝﹣x+2；∴△OBC是等腰直角三角形，且∠OBC＝∠OCB＝45°；∵GH∥y轴，∴∠GNB＝90°，∴∠BHN＝45°，∵GM⊥BC，∴∠GMH＝90°，∵∠MGH＝∠GHM＝45°，∴GM＝MH＝GH；设点G的横坐标为t，则G（t，﹣t2+t+2），H（t，﹣t+2），∴GH＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1．∵﹣1＜0，∴当t＝1时，GH有最大值1；∵△GHM的周长为：GM+MH+GH＝（+1）GH，∴△GHM周长的最大值为+1．1．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A （﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值；【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式得，，解得，∴这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；（2）①设BC的解析式为y＝kx+b，将B，C的坐标代入函数解析式得，，解得，∴BC的解析式为y＝x﹣3，设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，＝，当n＝时，PM最大∴线段PM的最大值；2．（2022•宁远县模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；【解答】解：（1）∴二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3），∴，解得：．∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴x＝﹣＝﹣1，D（﹣2，﹣3），C（0，﹣3），∴C、D关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，连接AC与对称轴的交点就是点P，此时PA+PD＝PA+PC＝AC＝＝＝3．∴PA+PD的最小值为3；3．（2022•昭平县二模）如图1，对称轴为直线x＝1的抛物线经过B（3，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线对称轴上的一点，使PA+PC取得最小值，求点P的坐标；【解答】解：（1）由对称性得：A（﹣1，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，4）代入：4＝﹣3a，a＝﹣，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）如图，点A与点B关于对称轴直线x＝1对称，连接BC，交抛物线对称轴于点P，连接PA，即点P为所求点，此时PA+PC＝PB+PC＝BC的值最小，∵B（3，0）、C（0，4），设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+4，当x＝1时，y＝，∴P点的坐标为（1，）；4．（2022春•石鼓区校级月考）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值．【解答】解：（1）将（﹣3，0），（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3．（2）∵y＝x2+2x﹣3，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，连接BD，交对称轴于点P，∵点A坐标为（﹣3，0），抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∴点B坐标为（1，0），∴BD＝＝3，又∵AD＝＝，∴△PAD周长的最小值为3+．5．（2022•江阴市校级一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x 轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）．（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC 的最小值；【解答】解：（1）∵抛物线过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为M（1，4）．（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，∵A、B关于直线x＝1对称，∴AQ′＝BQ′，∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，在Rt△BOC′中，BC′＝，＝＝．∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′＝+1，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，∴AQ+QP+PC的最小值为+1．6．（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．（1）求此抛物线的解析式；（2）当△OAB的面积为15时，求B的坐标；（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值．【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，解得：a＝1，∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；（2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，∴设B（2，m）（m＞0），设直线OA的解析式为y＝kx，则5k＝5，解得：k＝1，∴直线OA的解析式为y＝x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），∴BH＝m﹣2，＝15，∵S△OAB∴×（m﹣2）×5＝15，解得：t＝8，∴点B的坐标为（2，8）；（3）设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10，当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，∵P是抛物线上的动点，∴，解得：，（舍去），∴P（﹣2，12），此时，PA﹣PB＝AB＝＝3．7．（2022•玉州区一模）如图，抛物线y＝﹣x2x+4交x轴于A，B两点（点B在A的右边），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．（1）求A、B两点坐标；（2）过点P作PN上BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？【解答】解：（1）当y＝0，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4，∴A（﹣3，0），B（4，0），（2）设点P（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，P～N＝PQ•sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣（m﹣2）2+，∵﹣＜0，∴PN有最大值，当m＝2时，PN的最大值为．8．（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，可得y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），∵B （3，0），C （0，3），∴OB ＝OC ＝3，∴∠OBC ＝45°，∵PF ∥AB ，∴∠PFE ＝∠OBC ＝45°，∵PE ⊥BC ，∴△PEF 是等腰直角三角形，∴PE 的值最大时，△PEF 的周长最大，∵S △PBC ＝S △POB +S △POC ﹣S △OBC＝×3×（﹣m 2+2m +3）+×3×m ﹣×3×3＝﹣m 2+m＝﹣（m ﹣）2+，∵﹣＜0，∴m ＝时，△PBC 的面积最大，面积的最大值为，此时PE 的值最大，∵×3×PE ＝，∴PE ＝，∴△PEF 的周长的最大值＝++＝+，此时P （，）；。
二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)
一、二次函数线段最值问题之阳早格格创做1、仄止于x轴的线段最值问题1）最先表示出线段二个端面的坐标2）用左侧端面的横坐标减去左侧端面的横坐标3）得到一个线段少闭于自变量的二次函数4）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值2、仄止于y轴的线段最值问题1）最先表示出线段二个端面的坐标2）用上头端面的纵坐标减去底下端面的纵坐标3）得到一个线段少闭于自变量的二次函数剖析式4）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值3、既没有服止于x轴，又没有服止于y轴的线段最值问题1）以此线段为斜边构制一个曲角三角形，并使此曲角三角形的二条曲角边分别仄止于x轴、y轴2）根据线段二个端面的坐标表示出曲角顶面坐标3）根据“上减下，左减左”分别表示出二曲角边少4）根据勾股定理表示出斜边的仄圆（即二曲角边的仄圆战）5）得到一个斜边的仄圆闭于自变量的二次函数6）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值7）根据所供得的斜边仄圆的最值供出斜边的最值即可二、二次函数周少最值问题1、矩形周少最值问题1）普遍会给出一面降正在扔物线上，从那面背二坐标轴引垂线形成一个矩形，供其周少最值2）可先设此面坐标，面p到x轴、y轴的距离战再乘以2，即为周少3）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值2、利用二面之间线段最短供三角形周少最值1）最先推断图形中那些边是定值，哪些边是变量2）利用二次函数轴对于称性及二面之间线段最短找到二条变更的边，并供其战的最小值3）周少最小值即为二条变更的边的战最小值加上没有变的边少三、二次函数里积最值问题1、准则图形里积最值问题（那里准则图形指三角形必有一边仄止于坐标轴，四边形必有一组对于边仄止于坐标轴）1）最先表示出所需的边少及下2）利用供里积公式表示出头积3）得到一个里积闭于自变量的二次函数4）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值2、没有准则图形里积最值问题1）分隔.将已有的没有准则图形通太过隔后得到几个准则图形2）再分别表示出分隔后的几个准则图形里积，供战3）得到一个里积闭于自变量的二次函数4）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值或者1）利用大减小，没有准则图形的里积可由准则的图形里积减去一个或者几个准则小图形的里积去得到2）得到一个里积闭于自变量的二次函数3）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值。
二次函数线段差最大值问题
二次函数线段差最大值问题二次函数线段差最大值问题是一个经典的数学优化问题，通常在高中数学课程中进行讨论。
该问题要求找到一个二次函数图像上两个点之间线段的最大差值。
假设给定一个二次函数 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 分别代表二次项、一次项和常数项的系数。
为了求出线段差的最大值，我们需要确定两个点。
一种常见的方法是取二次函数的顶点和 x 轴上的一个点。
首先，我们需要找到二次函数的顶点。
二次函数的顶点可以通过以下公式计算：x = -b / (2a)y = f(x)其中 x 和 y 分别代表顶点的横坐标和纵坐标，f(x) 代表二次函数在 x 处的函数值。
接下来，我们选择 x 轴上的一个点作为第二个点。
这个点可以在顶点两侧选择，在顶点的左侧或右侧都可以。
假设我们选择了一个横坐标为 x1 的点，那么对应的纵坐标为 f(x1)。
最后，我们计算两个点之间线段的差值：差值 = | f(x1) - y |其中 | | 表示取绝对值。
为了找到差值的最大值，我们可以使用微积分的方法。
首先，我们可以求出差值的函数关于 x 的导数，然后令导数为零，求解出 x 的值。
这个 x 的值就是使得差值最大的横坐标。
将这个 x 值代入差值函数，就可以得到最大的差值。
需要注意的是，有时候二次函数的顶点不在定义域内，此时我们可以选择定义域的端点作为顶点，然后按照以上的方法求解。
总而言之，二次函数线段差最大值问题是一个通过找到二次函数图像上两个点之间线段的最大差值来优化问题的数学问题。
这个问题可以通过求解顶点和定义域的端点来得到最优解。
二次函数背景下的几何问题线段最值问题公开课优秀教案
课题：二次函数背景下的几何问题------线段最值问题公开课教学设计1．教材分析二次函数是一次函数和反比例函数的继续和发展，它位居初中阶段三大函数中的首位，是初中数学学习的重点与难点，也为以后更高层次函数的学习奠定了基础.以二次函数为背景的试题常受中考命题者的青睐，能够全面考查用数析形的技能与计算能力，这也是学生将来学习高中数学知识所必备的.命题一般不会用以纯函数的形式出现，而是结合几何图形或点的运动使几何图形发生变化，从而让代数与几何有机结合起来.随着对《课程标准》基本理念被更为广泛和更为深入地认识，对“合情推理”与“数学活动过程”的考查也呈增强之势．而二次函数背景下的线段最值问题近年来屡屡出现在各地的中考试卷中，这类问题往往是利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）及二次函数的性质求最值.这类问题大多是“将军饮马”模型的变式应用，试题通过考查点在直线上运动时与它相关线段的最值情况，不但能了解学生综合运用数学知识解题能力，而且还能通过让学生对“动”与“定”之间的关系的思考，深入了解学生在图形的运动变化中探究几何元素之间位置关系和数量关系的能力与识别能力，体现新课程对学生几何探究活动过程、合情推理能力的要求.2.学情分析本节课是基于学生完成第一轮知识板块复习所进行的提高数学解题技能的专项复习，虽然学生在七年级时已经学习过最短路径问题，但很多学生对于从复杂图形中分离出基本图形仍有困难，通过本节课的学习，目的不仅是培养学生能正确、快速地分离基本图形，找到解决问题的突破口，而且通过几何模型、函数模型的逐渐深入地学习，学生能进一步体会到解决线段最值问题的实质.学生观察，操作，猜想能力较强，但演绎推理，归纳，运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导.学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强.3．教学目标分析1.知识与技能目标：（1）通过复习进一步落实用待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的图像和性质，会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等.（2）熟练掌握基本事实——两点之间线段最短、垂线段最短及三角形的三边关系，根据问题建构几何模型，解决因动点产生的二次函数背景下的线段最值问题.（3）能利用二次函数的图像和性质，根据问题建构函数模型，解决因动点产生的二次函数背景下的线段最值问题.2.过程与方法目标：（1）在探索用几何模型求线段最值问题中挖掘图形本质，最基本的原理、法则，实现多题归一.（2）经历探究用函数模型求线段最值问题，体会二次函数的应用价值和二次函数模型对解决最值问题的优越性.（3）让学生经历数学活动过程，并从中体会及感悟化归与转化、数形结合、函数与方程、数学建模等数学思想方法的具体体现和运用.3.情感、态度与价值观目标：（1）通过观察、分析、对比等方法，培养并提高学生的合情推理能力、分析问题、解决问题的能力.（2）由简单题入手逐渐提升，从而消除学生的畏难情绪，让学生有兴趣和积极性参与数学活动，从中体会及感悟科学的思想方法所蕴涵的意义和作用，并加强学生之间的合作交流，培养学生的问题意识，提高应用数学的能力.4.教学重难点重点：能运用几何模型和函数模型解决因动点产生的二次函数背景下的线段最值问题.难点：提高运用函数知识与几何知识解决数学综合题的能力，掌握模式识别的解题策略.5.教学策略（1）探究引导策略：探讨式学习；教师启发引导.（2）自主合作探究式学习策略：互相讨论、交流、合作的课堂氛围，使学生真正成为教学的主体.（3）问题串设计策略：运用有序的问题串有层次地灵活呈现问题，组织教学内容，提出有启发性的引申问题，激发学生的学习兴趣，积极地参与到探究规律的学习当中.（4）鼓励、激励策略：积极肯定学生的学习成果，及时评价学生的课堂表现，让学生体会成功的喜悦.6.设计理念：从近年的中考数学题型来看，经常考查二次函数背景下的线段最值问题，而这部分题目在中考分析中，失分率很高，应该引起我们的重视，线段最值问题在教课书虽然没有专题讲解，但却给出了它的模型.学生对线段最值模型的陌生由于当时的学生理解水平有限等条件下，教师在当时的教学中对教材例习题的拓展延伸程度相对低，因此在初三的综合复习中对此进行专题复习是很有必要的.所以我设计本节课的思路是想通过对此类题进行深层次的挖掘、拓展、再创造，利用例题、习题的潜在的价值，改变学生的学习方式由“重结论轻过程”向“过程与结果”并重的方向发展，使学生挖掘隐含问题的本质属性，从而达到“做一题，会一类，通一片”的解题境界.希望能通过此复习达到预想的目标.7.教学准备:（1）教学课件,导学练，教案（2）课前让学生分组合作交流,提前完成导学练,并让学生在小组内探讨如何充当小老师讲解导学练上的练习题.8.教学过程:一、导入课题：二次函数背景下的线段最值问题是历年中考压轴题的一个典型的考点，这类问题在近年中考试题中频繁现身，如2015年漳州第25题、2016年漳州第24题，在中考中，一些考生由于没有掌握此类试题的解题方法，在解题时往往不知所措，导致失分率很高.因此，今天我们将一起来学习如何解答此类问题.二、自主探究：探究一：1.活动：播放视频短片，让学生回顾下数学史上著名的“将军饮马”问题.设计意图：通过回顾“将军饮马“问题，烘托问题情境，利用视频短片吸引学生的注意力，在历史经典中唤起学生的兴趣，激发学生探究的欲望，定位了问题的取向，把学生引领到研究的航道上.2.教师活动：板书几何模型——线段和最小值（“将军饮马“问题）模型一：如图1，点P在直线l上运动，找出一点P使PA+PB取最小值.思路分析：特征：定点A、B（同侧）动点P（定直线）基本解法：轴对称法目标：和最小基本原理：两点之间线段最短操作：对称到异侧基本思想：转化（化同侧为异侧，化折为直）设计意图:为了落实好下面的模型应用，把知识背景归纳成一般化的数学模型.将归纳总结基本模型作为先行组织者，在温故中实现引新，为展开模型应用提供知识、方法及经验的支持.以此作为模型我们可以解决下列求线段和最小值的问题.3.学生活动：模型应用已知：如图，A （-1,0），B （3,0），C （0,3），抛物线经过点A 、B 、C ，抛物线的顶点为D ．⑴求解析式和抛物线的顶点D ；(2)点P 在对称轴上，PA+PC 取最小值时，求点P 的坐标；教学活动:请一位学生上台讲题,将他的解答过程通过投影仪展示出来.教师给予点评,并板演解答过程,规范书写格式.分析：（1）可设交点式或一般式，将点代入求解，求顶点坐标可用公式法或配方法；(2) 利用模型找出点P ，再求直线BC 的解析式，最后将P 点横坐标代入直线BC 的解析 式求它的纵坐标.板书规范写出解题过程：解：如图，连接BC A 、B 两点关于对称轴对称∴线段BC 与对称轴1=x 的交点即为使PA+PC 最小的点PPA=PB ∴PA+PC=PB+PC=BC设直线BC 的解析式为)0(≠+=k b kx y ，将B （3，0），C （0，3）代入，得：⎩⎨⎧==+303b b k 解得：⎩⎨⎧=-=31b k ∴直线BC 的解析式为3+-=x y 当1=x 时，231=+-=y此时，点P （1，2）能够使得PA+PC 的值最小.变式：点P 在对称轴上，△PAC 周长最小，求点P 的坐标.分析:要使△PAC 的周长最小，已知AC 为定值，只需求一点P 使得PA ＋PC 最小即可． 解题步骤归纳：1）找对称点 2）连线并求直线解析式 3）求点坐标设计意图：（1）二次函数类的压轴题第一问通常为求点坐标、解析式，本小问要求学生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式或利用函数解析式求点坐标，属于送分题.通过第一小问的解答增进学生解压轴题的信心.这个问题也是为下面的问题作铺垫的，这节课所要研究的一系列问题都是在这个二次函数背景下的展开的.（2）在具体的实例中学习把知识迁移应用并体会“将军饮马”问题中蕴含的数学本质：利用对称思想把复杂的问题简单化，它与抛物线（轴对称图形）相结合，在几何求最值问题中展现了特殊的魅力.变式与（2）属于等价问题，变式的设置对提高学生利用数形结合思想以及转化策略进行解题的能力起到了很好的作用.刚才我们研究了线段和的最值问题可以用几何模型解决，那么线段差的最值问题是否也有对应的几何模型呢？活动内容：1.问题:在一条直线l上，找一点P，使|P A－PB|的值最大师生合作交流:这时还需要作对称点吗？（不需要）那应该怎么解决这个问题？（先在直线l上任意取一点P’，连接AP’,BP’,AB,得到一个三角形，AP’,BP’是这个三角形的两条边，就要满足P’A-P’B＜AB，那么现在我们只要看P’A-P’B有没有可能等于AB，若能等于AB，AB就是这两条线段之差的最大值了？（有可能，当P、B、A三点共线时）若A、B两点异侧，你还能在一条直线l上，找一点P，使|P A－PB|的差最大吗？(能,利用轴对称化异侧为同侧)2.教师活动：板书几何模型——线段差最大值模型二：思路分析：特征：定点A、B（同侧）动点P（定直线）目标：差最大操作：连接AB并延长交l于P基本解法：使A、B、P三点共线基本原理：三角形两边之差小于第三边基本思想：转化（化折为直）设计意图：经历画图-观察-说理等活动，得出作图原理，将该问题归类建模，熟悉并理解该几何模型,培养学生的逻辑思维能力,为下面该模型的应用打下坚实基础..3.学生活动:模型应用最大，求点P的坐标；(3)点P在对称轴上，PA PC最小，求点P的坐标；变式： (4)点P在对称轴上，PA PC(5)点P在线段BC上，P A取最小值时，求点P的坐标；分析:（3）第一步，应用模型找到点P的位置；第二步，因为P点在直线AC上，所以求出直线AC的解析式；第三步，P点又在对称轴上，其横坐标已知，代入直线AC的解析式求其纵坐标.（4）第一步，找点P.要使|PA－PC|最小，只要PA=PC即可，由线段垂直平分线的逆定理可知：点P在线段AC的垂直平分线上，因此线段AC垂直平分线与对称轴的交点即为所求的点P.第二步，解析法或几何法求点P的坐标.（5）第一步，找点P，利用直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.第二步，解析法或几何法求点P的坐标.教师活动：板书几何模型——垂线段最短模型三：思路分析：特征：定点A 动点P（定直线）目标：线段AP值最小操作：过A作A P⊥l于P基本原理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短设计意图：通过交流讨论、思维碰撞，得出作图原理，将该问题归类建模，熟悉并理解数学模型.强化模型的应用，通过变式训练来提高学生举一反三、触类旁通的能力.【链接中考】1．（2015•漳州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．（1）填空：点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）；（2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时，求α的值并在图中标出点P的位置；设计意图：中考真题体验，使学生从解题过程中获取成功的喜悦，提升学习数学的信心.探究二：上面的第（5）个问题属单条线段最值问题，我们是从“形”的角度构造“垂线段最短”这种几何模型求解的，那么单条线段最值问题我们能不能从“数”的角度进行分析来解决问题呢？（建立函数模型）(6)点P 在第一象限的抛物线上，P Q ⊥x 轴交BC 于Q ，求PQ 的最大值；思路分析：第一步，设在抛物线中动点P 的横坐标为x,则该点纵坐标即可用含x 的式子表示；第二步，因为P Q ⊥x 轴交BC 于Q ，所以Q 点的横坐标也为x,又因为Q 在BC 上，因此求出直线BC 的解析式，即可用含x 的式子表示Q 点的纵坐标，接着就能确定PQ 的表达式；第三步，用配方法或公式法求最值，注意自变量的取值范围.活动：通过题目思路分析后，让学生自己纠正原来导学练上的问题，教师巡查，及时帮助学习困难的同学解决问题或者借助小组合作交流学习的方式让已经掌握的学生帮助他们.最后通过板书或多媒体展示的方式规范解题过程.解:设P ()()3032,2<<++-a a a a ,直线BC 的解析式为)0(≠+=k b kx y , 将B （3，0），C （0，3）代入，得：⎩⎨⎧==+303b b k 解得：⎩⎨⎧=-=31b k∴直线BC 的解析式为3+-=x y Q BC x PQ 于轴交⊥()3,+-∴a a Q ()()49)23(3332222+--=+-=+--++-=∴a a a a a a PQ ∴当23=a 时，()49max =PQ 变式：点P 在第一象限的抛物线上，求出△BCP 面积的这个最大值及此时P 点的坐标. 分析：如图，可将△BCP 分割为两个小三角形，两个小三角形的底都为PQ ，高分别为21,h h而21h h +始终等于OB 的长，那么△BCP 的面积就等于OB PQ •21，这实际上就是我们之前学习过的求三角形面积的的新方法水平宽铅垂高⨯21，此时PQ 为铅垂高，OB 为水平宽.而OB 长为定值，那么要求△BCP 的最大值实际上就是求线段PQ 的最大值.设计意图:问题（6）设置对培养学生会用不同角度分析问题解决问题的能力起到了很好的作用，求△BCP 面积的最大值是用函数模型求线段最值的变式应用，利用问题的潜在的价值，使学生挖掘隐含问题的本质属性，对学生的思维能力提出了较高的要求.【链接中考】(2016•漳州)如图，抛物线c bx x y ++=2与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线在x 轴下方上的动点，过点M 作MN//y 轴交直线BC 于点N ，求线段MN 的最大值；设计意图：及时练习巩固，体现学以致用的理念，消除学生学无所用的思想顾虑，有效地促进学生对函数模型法的理解与掌握.三、归纳小结，整理反思问题：①本节课你学习了哪两种方法求线段最值问题？②对于线段最值问题，你认为还可以在哪些图形背景下研究呢？③本节课涉及到的数学思想方法有哪些？师生共议：①几何模型法：先确定几何模型，再利用模型找出点，最后求点坐标，函数模型法：把线段长用二次函数关系式表示出来再求最值（要注意自变量的取值范围）；②还可以在直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆等轴对称图形背景下来研究；③化归与转化、数形结合、函数与方程、数学建模思想. 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段.用模型分析实际事物，锻炼我们的创新能力，建立的模型是分析事物的很好的方法.设计意图:对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展．这是一次知识与情感的交流，浓缩知识要点，突出内容本质，渗透思想、方法．培养学生自我反馈、自主发展的意识．四、课后反馈作业：A组：《连接中考》P224第6题B组：《连接中考》P226第7题C组：《连接中考》P228第5题设计意图:作业分三类，让不同的学生在数学上得到不同的发展.五、板书设计1.“将军饮马”视频引入，学生很感兴趣。
初中中考数学中地二次函数地线段及差以及最值问题
适用文档二次函数与线段和差问题例题精讲：如图抛物线与x轴交于A,B（1,0），与y轴交于点C,直线经过点A,C.抛物线的极点为，对称轴为直线l,D（1）求抛物线分析式。
（2）求极点D的坐标与对称轴l.（3）设点E为x轴上一点，且AE=CE,求点E的坐标。
（4）设点G是y轴上的一点，能否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出G点坐标，若不存在，说明原因。
（5）在直线l上能否存在一点F，使得△BCF的周长最小，若存在，求出点F 的坐标及△BCF周长的最小值，若不存在，说明原因。
（6）在y轴上能否存在一点S,使得SD-SB的值最大，若存在，求出S点坐标，若不存在，说明原因。
（7）若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行线，交AC 于点K，设点H的横坐标为h,线段HK=d（①求d对于h的函数关系式（②求d的最大值及此时H点的坐标（8）设点P是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离最大值时，求P 点的坐标，并求出最大距离是多少？标准文案适用文档如图，矩形的边OA在轴上，边OC在轴上，点的坐标为(10,8)，沿直线OD折叠矩形，使点正好落在上的处，E点坐标为(6,8)，抛物线经过、、三点。
（1）求此抛物线的分析式。
（2）求AD的长。
（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标。
标准文案适用文档2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x21与轴订交于点A，点B与4点O对于点A对称。
（1）填空：点B的坐标是。
（2）过点的直线（此中）与轴订交于点C，过点C作直线平行于轴，P是直线上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P能否在抛物线上，说明原因。
3）在（2）的条件下，若点C对于直线BP的对称点恰巧落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标。
标准文案(2)适用文档(3)(4)(5) 3.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点O为(6)坐标原点,点D为抛物线的极点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3,.(7)(1)写出抛物线对应的函数分析式:△AOD的面积是(8)连结CB交EF于M,再连结AM交OC于R,求△ACR的周长.(9)设G(4,-5)在该抛物线上,P是y轴上一动点,过点P作PH垂直于直线EF并交于H,连结AP,GH,问AP+PH+HG能否有最小值?假如有,求点P的坐标;假如没有,请说明原因.标准文案适用文档4.在平面直角坐标系中，矩形OACB的极点O在座标原点，极点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA3，OB4，D为边OB的中点．若E、F为边OA上的两个动点，且EF 2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．yB CDO A x标准文案适用文档5.四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴订交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（1，0），B（1，2），D（3，0）．连结DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线y ax2bx c经过点D、M、N．（1）求抛物线的分析式；（2）抛物线上能否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明原因；（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么地点时有|QE-QC|最大？并求出最大值．标准文案适用文档6.已知，如图，二次函数y ax22ax 3a(a 0)图象的极点为H，与x轴交于A、3x3对称．B两点（B在A点右边），点H、B对于直线l:y3（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数分析式；（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连结HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．ylHKA OB x标准文案适用文档7.如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y=ax2上．1）求a的值及点B对于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；2）平移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个地点时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数分析式；②当抛物线向左或向右平移时，能否存在某个地点，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数分析式；若不存在，请说明原因．yA8642BD C-4-2O24x-2-4标准文案S的坐标，若不存在，请说明原因．适用文档8.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A对于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．1）求线段AB的长；2）点P为线段AB上方抛物线上的随意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+ FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+ FO获得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后获得△CF′，H′过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中能否存在点S，使以点D，Q，R，S为极点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点标准文案初中中考数学中地二次函数地线段及差以及最值问题 11 适用文档 9.在Rt △ABC 中，∠A=90°，AC=AB=4，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，获得等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于 ，线段CE 1的长等 于 ；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1 1，且BD 1⊥CE 1； =CE（3）①设BC 的中点为M ，则线段PM 的长为 ；②点P 到AB 所在直 线的距离的最大值为．（直接填写结果） CCE （D 1）E D 1PA DB E 1 AD B E 1标准文案。
中考数学中的二次函数的线段和差以及最值问题
二次函数与线段和差问题例题精讲:如图抛物线与x轴交于A，B（1,0）,与y 轴交于点C，直线经过点A,C。
抛物线的顶点为D，对称轴为直线l，（1）求抛物线解析式.（2）求顶点D的坐标与对称轴l。
（3）设点E为x轴上一点，且AE=CE，求点E的坐标.（4）设点G是y轴上的一点,是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出G点坐标，若不存在，说明理由。
（5）在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小,若存在,求出点F的坐标及△BCF周长的最小值，若不存在，说明理由。
（6）在y轴上是否存在一点S，使得SD-SB的值最大，若存在，求出S点坐标,若不存在，说明理由。
（7）若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行线，交AC 于点K，设点H的横坐标为h,线段HK=d①求d关于h的函数关系式②求d的最大值及此时H点的坐标（8）设点P是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离最大值时，求P点的坐标,并求出最大距离是多少?1.如图,矩形的边OA 在轴上，边OC 在轴上，点的坐标为(10，8),沿直线OD 折叠矩形，使点正好落在上的处，E 点坐标为（6,8），抛物线经过、、三点。
（1)求此抛物线的解析式。
(2)求AD 的长.(3）点P 是抛物线对称轴上的一动点,当△PAD 的周长最小时，求点P 的坐标.2。
如图,在平面直角坐标系中，抛物线412+=x y 与轴相交于点A ，点B 与点O 关于点A 对称。
(1）填空：点B 的坐标是 。
（2）过点的直线（其中）与轴相交于点C ，过点C 作直线平行于轴，P 是直线上一点，且PB=PC,求线段PB 的长（用含k 的式子表示），并判断点P 是否在抛物线上，说明理由.（3）在(2）的条件下，若点C 关于直线BP 的对称点恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标。
3.如图，抛物线与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,点O 为坐标原点,点D 为抛物线的顶点，点E 在抛物线上，点F 在x 轴上,四边形OCEF 为矩形,且OF=2，EF=3，.(1）写出抛物线对应的函数解析式： △AOD 的面积是(2)连结CB 交EF 于M ，再连结AM 交OC 于R ，求△ACR 的周长。
中考数学中的二次函数的线段和差以最值问题.docx
二次函数与线段和差问题例题精讲：如图抛物线轴交于点 C,直线经过点与 x 轴交于 A,B（ 1,0 ），与A,C. 抛物线的顶点为D，对称轴为直线l,y（1）求抛物线解析式。
（2）求顶点 D 的坐标与对称轴 l.（3）设点 E 为 x 轴上一点，且 AE=CE,求点 E 的坐标。
（4）设点 G是 y 轴上的一点，是否存在点 G，使得 GD+GB的值最小，若存在，求出 G点坐标，若不存在，说明理由。
（5）在直线 l 上是否存在一点 F，使得△ BCF的周长最小，若存在，求出点 F 的坐标及△ BCF周长的最小值，若不存在，说明理由。
（6）在 y 轴上是否存在一点 S, 使得 SD-SB的值最大，若存在，求出 S 点坐标，若不存在，说明理由。
（7）若点 H 是抛物线上位于 AC 上方的一点，过点 H 作 y 轴的平行线，交 AC 于点 K，设点 H的横坐标为 h, 线段 HK=d①求 d 关于 h 的函数关系式②求 d 的最大值及此时H 点的坐标（8）设点 P 是直线 AC上方抛物线上一点，当 P 点与直线 AC距离最大值时，求 P 点的坐标，并求出最大距离是多少？1.如图，矩形的边 OA在轴上，边 OC在轴上，点的坐标为 (10,8)，沿直线OD折叠矩形，使点正好落在上的处，E 点坐标为(6,8)，抛物线经过、、三点。
（1）求此抛物线的解析式。
（2）求 AD的长。
（3）点 P 是抛物线对称轴上的一动点，当△ PAD的周长最小时，求点 P 的坐标。
2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x21 与轴相交于点A，点B 与4点 O关于点 A 对称。
（ 1）填空：点 B 的坐标是。
（ 2）过点的直线（其中）与轴相交于点 C，过点 C作直线平行于轴，P 是直线上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k 的式子表示），并判断点 P 是否在抛物线上，说明理由。
（3）在（ 2）的条件下，若点 C 关于直线 BP的对称点恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点 P 的坐标。
2二次函数线段最值——利用几何模型求线段和差最值
二次函数线段最值（二）课前小测如图,抛物线322++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于点C,点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称,直线AD 与y 轴交于点E.(1)求直线AD 的解析式;(2)如图1,直线AD 上方的抛物线上有一点F,过点F 作FG ⊥AD 于点G,作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H,求△FGH 周长的最大值;(3)点M 是抛物线的顶点,点P 是y 轴上一点,点Q 是坐标平面内一点,以A,M,P,Q 为顶点的四边形是以AM 为边的矩形.若点T 和点Q 关于AM 所在直线对称,求点T 的坐标.利用几何模型求线段和差最值例1如图，抛物线与x轴交与A（1,0）,B（- 3，0）两点. （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.例2、已知抛物线322--=x x y 与x 轴交A 、C 两点，与y 轴交于B 点，点P 、Q 为抛物线对称轴上的动点。
（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当|CP-BP|取得最大值时，求此时点P 的坐标及最大值；（3）若PQ=1,当CP+PQ+QB 取得最小值时，求此时点P 、Q 的坐标及最小值。
巩固练习1、如图,一元二次方程的0322=-+x x 二根）（，2121x x x x <,是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的两个交点B 、C 的横坐标,且此抛物线过点A （3，6）. （1）求此二次函数的解析式;（2）设此抛物线的顶点为P,对称轴与线段AC 相交于点Q,求点P 和点Q 的坐标;（3）在x 轴上有一动点M,当MQ+MA 取得最小值时,求点M 的坐标.2、如图,抛物线c bx x y ++=2过点A(3,0),B(1,0)，交y 轴于点C,点P 是该抛物线上一动点,点P 从C 点沿抛物线向A 点运动(点P 不与A 重合),过点PD//y 轴交直线AC 于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)当D 在线段AC 上运动时,求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值;(3)在抛物线对称轴上是否存在点M 使|MA-MC|最大?若存在请求出点M 的坐标,若不存在请说明理由.※3、如图1，抛物线）（02≠++=a c bx ax y 的顶点为C(1,4)，交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为(3,0)。
二次函数中求线段,线段和,面积等最值问题—备战2024年中考数学(全国通用)(解析版)
二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题（压轴通关） 目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，二次函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点。
2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一 二次函数中求线段的最值问题【例1】（2024·安徽滁州·一模）已知抛物线()22131y x n x n =−++++交x 轴于点()10A −，和点B ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，已知点P 是位于BC 上方的抛物线上的一点，作PM BC ⊥，垂足为M ，求线段PM 长度的最大值；(3)如图2，已知点Q 是第四象限抛物线上一点，45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．【答案】(1)234y x x =−++；(2)PM 的最大值为(3)点Q 的坐标为143439⎛⎫− ⎪⎝⎭，．【分析】（1）将点()10A −，代入()22131y x n x n =−++++，求得1n =，即可得解；（2）求得点B 和C 的坐标，推出45OAB OBC ∠=∠=︒，作PF x ⊥轴于点F ，交BC 于点E ，得到PEM △是等腰直角三角形，2PM PE =，设()234P m m m −++，，求得PM 关于m 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；（3）作BG CQ ⊥轴于点G ，作GH x ⊥轴于点H ，求得BC =ACO GCB ∠=∠，利用正切函数的定义求得BG ，证明HBG 是等腰直角三角形，求得()31G −，，再求得直线CG 的解析式，据此求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线()22131y x n x n =−++++交x 轴于点()10A −，， ∴()121310n n −−+++=，解得1n =，∴抛物线的函数解析式为234y x x =−++； （2）解：当0x =时，4y =；当0y =时，2340x x −++=，解得4x =或=1x −；∴()40B ，，()04C ，，∴4OA OB ==，∴45OCB OBC ∠=∠=︒，作PF x ⊥轴于点F ，交BC 于点E ，∴9045PEM BEF OBC ∠=∠=︒−∠=︒，∴PEM △是等腰直角三角形，∴PM =，设直线BC 的解析式为4y kx =+，把()40B ，代入得044k =+，解得1k =−，∴直线BC 的解析式为4y x =−+，设()234P m m m −++，，则()4E m m −+，，∴))223442PM PE m m m m ==−+++−=−+∵0>，∴PM 有最大值，最大值为（3）解：作BG CQ ⊥轴于点G ，作GH x ⊥轴于点H ，∵()10A −，，()40B ，，()04C ，，∴1OA =，4OB OC ==，BC =∵45ACQ ∠=︒，45OCB ∠=︒，∴ACO GCB ∠=∠，∴tan tan ACO GCB ∠=∠，即OA BG OC BC =，∴14=∴BG ，∵45OBC ∠=︒，∴45HBG ∠=︒，∴HBG 是等腰直角三角形，∴1BH GH ==，∴413OH =−=，∴()31G −，，同理直线CG 的解析式为543y x =−+， 联立得235434x x x =−+++−，解得0x =或143x =； 当143x =时，514344339y =−⨯+=−， ∴点Q 的坐标为143439⎛⎫− ⎪⎝⎭，．【例2】（2024·江苏淮安·二模）如图，在平而直角坐标系中，二次函数2y =+的图象与x 轴分别交于点,O A ，顶点为B ．连接,OB AB ，将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转60︒得到线段AC ，连接BC ．点,D E 分别在线段,OB BC 上，连接,,,AD DE EA DE 与AB 交于点,60F DEA ∠=︒．(1)求点A ，B 的坐标；(2)随着点E 在线段BC 上运动．①EDA ∠的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()20A ，，(B ；(2)①EDA ∠的大小不变，理由见解析；②线段BF 的长度存在最大值为12【分析】（1）0y =得20+=，解方程即可求得A 的坐标，把2y =+化为顶点式即可求得点B 的坐标；（2）①在AB 上取点M ，使得BM BE =，连接EM ，证明AED △是等边三角形即可得出结论；②证BDF OAD ∽，利用相似三角形的性质得BD BF OA OD =即22x BF x −=，解得()211122BF x =−−+进而利用二次函数的性质即可得解．【详解】（1）解：∵)221y x =+=−+∴顶点为(B ，令0y =，20+=，解得0x =或2x =，∴()20A ，；（2）解：①EDA ∠的大小不变，理由如下：在AB 上取点M ，使得BM BE =，连接EM ，∵)21y x =−∴抛物线对称轴为1x =，即1ON =，∵将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转60︒得到线段AC ，∴60BAC ∠=︒，AB AC =，∴BAC 是等边三角形，∴AB AC BC ==，60C ∠=︒，∵()20A ，，(B ，()00O ，，1ON =，∴2OA =，OB =2，AB =2=，∴OA OB AB ==，∴OAB 是等边三角形，2OA OB AC BC ====，∴60∠=∠=∠=︒OAB OBA AOB ，∵60MBE ∠=︒，BM BE =，∴BME 是等边三角形，∴60BME ABE ∠∠=︒=，ME BE BM ==，∴180120AME BME ∠∠=︒−=︒，BD EM ∥，∵120DBE ABO ABC ∠∠∠=+=︒，∴DBE AME ∠∠=，∵BD EM ∥，∴18012060FEM BED AEF MEA FEM ∠∠∠∠∠+=︒−︒=︒==+，∴BED MEA ∠∠=，∴BED MEA ≌，∴DE EA =，又60AED ∠=︒，∴AED △是等边三角形，∴60ADE ∠=︒，即ADE ∠的大小不变；②设OD x =，则2BD x =−，∵OAB 是等边三角形，60ADE ∠=︒，∴60DOA FBD ADE ∠∠∠===︒，∵BDA BDF ADE DOA OAD ∠∠∠∠∠=+=+，∴BDF OAD ∠∠=，∴BDF OAD ∽，∴BD BF OA OD =即22x BF x −=， ∴()211122BF x =−−+，∴当1x =时，BF 有最大值为12．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键．1．（2024·四川南充·一模）如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于0()1,A -，B 两点，与y 轴交于点C (0,3)−．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 是抛物线上位于第四象限内一动点，PD BC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，点E 是抛物线的顶点，点M 是线段BE 上的动点（点M 不与B 重合），过点M 作MN x ⊥轴于N ，是否存在点M ，使CMN 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)223y x x =−−(2)当32m =时，PD取得最大值为．此时315,24P ⎛⎫− ⎪⎝⎭ (3)CMN 为直角三角形时，点M 的坐标为：3,32⎛⎫− ⎪⎝⎭或()12【分析】（1）把点,A C 坐标代入函数的解析式，利用待定系数法求解即可；（2）先求线BC 的解析式，设点p 的横坐标为m ，再用m 的代数式表示PD 的长度建立二次函数求解即可；（3）先求直线BE 的解析式，再分三种情况，根据相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】（1）由题意得103b c c −+=⎧⎨=−⎩，解得：23b c =−⎧⎨=−⎩．则抛物线的解析式为：223y x x =−−；（2）过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交BC 于点G当0y =时，2230x x −−=，解得=1x −或3，∴(3,0)B设直线BC 的解析式为：1y kx b =+，则11303k b b +=⎧⎨=−⎩，解得：113k b =⎧⎨=−⎩∴3y x =−设点()2,23P m m m −−（03m <<），则3G m m −（，）， ∴()()223233PG m m m m m =−−−−=−， ∵OB OC =，∴45OBC OCB ∠=∠=︒，∴45BGH ∠=︒∴45PGD BGH ∠=∠=︒，∴PD =．)22332228PD m m m ⎫=−+=−−+⎪⎝⎭ ∴当32m =时，PD取得最大值为8．此时315,24P ⎛⎫− ⎪⎝⎭． （3）在EB 上存在点M ，使CMN 为直角三角形．抛物线顶点(1,4)E −，设直线BE 的解析式为：22y k x b =+，则2222430k b k b +=−⎧⎨+=⎩，解得：2226k b =⎧⎨=−⎩，∴26y x =−．设26M n n −（，）13n ≤<（），①∵90CNM ONC ∠=︒−∠，∴90CNM ∠<︒，不可能为直角；②当90CMN ∠=︒时，则90CMN MNB ∠=∠=︒ ∴//MC x 轴，则263n −=−，∴32n =，∴3,32M ⎛⎫− ⎪⎝⎭． ③当90MCN ∠=︒时，过点M 作MF y ⊥轴于点F ．∵90MCF NCO ∠+∠=︒，90CNO NCO ∠+∠=︒，∴MCF CNO ∠=∠，又90MFC CON ∠=∠=︒，∴MFC CON ∽， ∴CF MF NO CO =， ∴()3263n nn −−−=，∴2690n n +−=，解得：123,3n n ==−．∵13n ≤<，∴23n =−不合题意，应舍去，∴3n =∴()12M综上所述，CMN 为直角三角形时，点M 的坐标为：3,32⎛⎫− ⎪⎝⎭或()12．【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，构造二次函数求线段的最值，二次函数与直角三角形的存在性问题，相似三角形的判定和性质，难度较大，是中考的压轴题，解题的关键是数形结合，提高综合运用的能力．2．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中()3,0B ，()0,3C −．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．求出所有使得以QF 为腰的QEF △是等腰三角形的点Q 的坐标．【答案】(1)211344y x x =+−；(2)PD 的最大值为45，此时点52,2P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭； (3)Q 点的坐标为9,12⎛⎫− ⎪⎝⎭或9,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或97,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）直线AC 的解析式为334y x =−−，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q ，设211,344P t t t ⎛⎫+− ⎪⎝⎭，则3,34Q t t ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，则45PD PQ =，进而根据二次函数的性质即可求解；（3）根据平移的性质得出219494216y x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，对称轴为直线92x =，点52,2P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭向右平移5个单位得到53,2E ⎛⎫− ⎪⎝⎭，()0,2F ，勾股定理分别表示出2EF ，2QE ，2QF 进而分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点()3,0B ，()0,3C −，代入214y x bx c =++得，2133043b c c ⎧⨯++=⎪⎨⎪=−⎩，解得：143b c ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，∴抛物线解析式为：211344y x x =+−； （2）∵211344y x x =+−与x 轴交于点A ，B ，当0y =时，2113044x x +−=，解得：124,3x x =−=， ∴()4,0A −， ∵()0,3C −， 设直线AC 的解析式为3y kx =−，∴430k −−=， 解得：34k =−，∴直线AC 的解析式为334y x =−−，如图所示，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q ，设211,344P t t t ⎛⎫+− ⎪⎝⎭，则3,34Q t t ⎛⎫−− ⎪⎝⎭， ∴223111334444PQ t t t t t ⎛⎫=−−−+−=−− ⎪⎝⎭，∵AQE PQD ∠=∠，90AEQ QDP ∠=∠=︒，∴OAC QPD ∠=∠，∵4,3OA OC ==，∴5AC =， ∴4cos cos =5PD AO QPD OAC PQ AC ∠==∠=， ∴()222441141425545555PD PQ t t t t t ⎛⎫==−−=−−=−++ ⎪⎝⎭， ∴当2t =−时，PD 取得最大值为45，()()2211115322344442t t +−=⨯−+⨯−−=−， ∴52,2P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭； （3）∵抛物线211344y x x =+−211494216x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭， 将该抛物线向右平移5个单位，得到219494216y x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，对称轴为直线92x =， 点52,2P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭向右平移5个单位得到53,2E ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令0x =，则2194924216y ⎛⎫=⨯−= ⎪⎝⎭， ∴()0,2F ， ∴22251173224EF ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭， ∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，则Q 点的横坐标为92， 设9,2Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴22295322QE m ⎛⎫⎛⎫=−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222922QF m ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭， 当QF EF =时，()229117224m ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭， 解得：1m =−或5m =，当QE QF =时，()222295932222m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−++=+− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得：74m =， 综上所述，Q 点的坐标为9,12⎛⎫− ⎪⎝⎭或9,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或97,24⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2024·山西阳泉·一模）综合与探究 如图，二次函数213442y x x =−−的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，连接AC ，作直线BC ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的表达式；(2)如图1，若点P 是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为m ，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，交直线BC 于点M ，N ，试探究线段MN 长的最大值；(3)如图2，若点Q 是二次函数图象上的一个动点，直线BQ 与y 轴交于点H ，连接CD ，在点Q 运动的过程中，是否存在点H ，使以H ，C ，B 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()20A −，，()80B ，，()04C −，，直线BC 的表达式为1y x 42=−；(2)线段MN长的最大值为(3)点Q 的坐标为3954⎛⎫− ⎪⎝⎭，或()46−，．【分析】（1）令0y =，求得x 的值，令0x =，求得y 的值，可求得A ，B ，C 三点的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC 的表达式；（2）设213442P m m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，，则142M m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，，证明PNM OBC ∠=∠，利用正切函数的定义推出2PN PM =，求得MN ，得到MN 关于m 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；（3）利用勾股定理求得AC =，5AD OC ==，作DG AC ⊥于点G ，用正切函数的定义推出OCA BCH ∠=∠，分BC BH =和BH CH =两种情况讨论，分别求得点H 的坐标，求得直线BH 的表达式，与二次函数的表达式联立求解即可．【详解】（1）解：令0y =，则2134042x x −−=，解得12x =−，28x =，令0x =，则4y =−，∴()20A −，，()80B ，，()04C −，，设直线BC 的表达式为4y kx =−，代入()80B ，得084k =−，解得12k =， ∴直线BC 的表达式为1y x 42=−； （2）解：∵()20A −，，()80B ，，()04C −，，∴2OA =，8OB =，4OC =， 设213442P m m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，，则142M m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，，2211314422424PM m m m m m ⎛⎫=−−−−=−+ ⎪⎝⎭，∵PN OB ∥，PM OC ∥，∴PNM OBC ∠=∠， ∴41tan tan 82OC PNM OBC OB ∠=∠===，∴2PN PM =，MN ，∴)221244MN m m m ⎫=−+=−+⎪⎭∵0<，∴当4m =时，线段MN 长的最大值为 （3）解：∵()20A −，，()80B ，，()04C −，， ∴对称轴为直线2832x −+==， ∴()30D ，，∴()325AD =−−=，5CD ==，AC == ∴5AD DC ==，作DG AC ⊥于点G ，∴12AG CG AC ===∴DG == ∴tan 2DG DCA CG ∠==， ∵tan 2OB BCO OC ∠==，∴DCA BCH ∠=∠，以H ，C ，B 为顶点的三角形与ACD 相似，则分BC BH =和BH CH =两种情况讨论，①当BC BH =时，∵BO CH ⊥，∴OH OC =，∴()04H ，，同理求得直线BH 的表达式为142y x =−+， 联立得241234412x x x −−−+=，解得14x =−，28x =（舍去），()14462y =−⨯−+=，∴点Q 的坐标为()46−，；①当BH CH =时，设()0H t ，，则2264BH t =+，()2224816CH t t t =+=++，∴2264816t t t +=++，解得6t =，∴()06H ，，同理求得直线BH 的表达式为364y x =−+， 联立得261434432x x x −−−+=，解得15x =−，28x =（舍去），()3395644y =−⨯−+=，∴点Q 的坐标为3954⎛⎫− ⎪⎝⎭，； 综上，点Q 的坐标为3954⎛⎫− ⎪⎝⎭，或()46−，．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标表示三角形的面积，勾股定理，正切函数，解方程，熟练掌握待定系数法，勾股定理，正切函数是解题的关键．题型二 将军饮马河求二次函数中线段和最值问题【例1】（2024·天津津南·一模）综合与探究：如图，抛物线2y x bx c =−++上的点A ，C 坐标分别为()0,2，()4,0，抛物线与x 轴负半轴交于点B ，且2OM =，连接AC ，CM ．(1)求点M 的坐标及抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP ，CP ，当PAC ACM S S =△△时，求点P 的坐标；(3)将抛物线沿x 轴的负方向平移得到新抛物线，点A 的对应点为点A '，点C 的对应点为点C '，当MA MC ''+的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 ，MA MC ''+的最小值为 ．【答案】(1)()0,2M −，2722y x x =−++ (2)()2,5P(3)1181,1216⎛⎫− ⎪⎝⎭，【分析】（1）根据点M 在y 轴负半轴且2OM =可得点M 的坐标为()0,2M −，利用待定系数法可得抛物线的解析式为2722y x x =−++；（2）过点P 作PF x ⊥轴于点F ，交线段AC 于点E ，用待定系数法求得直线AC 的解析式为122y x =−+，设点P 的横坐标为()04p p <<，则27,22P p p p ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，1,22E p p ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，故24(04)PE p p p =−+<<，先求得8ACM S =△，从而得到212882PAC S PE OC p p =⋅=−+=△，解出p 的值，从而得出点P 的坐标；（3）设抛物线沿x 轴的负方向平移m 个单位长度得到新抛物线，将点M 右平移m 个单位长度得到点M '，由平移的性质可知，,MA M A MC M C ''''==，MA MC ''+的值最小就是M A M C ''+最小值，作出点C 关于直线=2y −对称的对称点C ''，连接AC ''交直线=2y −于点M '，连接M C '则此时M A M C ''+取得最小值，即为AC ''的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线AC ''的解析式，从而确定M '的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点．【详解】（1）解：∵点M 在y 轴负半轴且2OM =，∴()0,2M −将()0,2A ，()4,0C 代入2y x bx c =−++，得：21640c b c =⎧⎨−++=⎩，解得722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为2722y x x =−++（2）解：过点P 作PF x ⊥轴于点F ，交线段AC 于点E ，设直线AC 的解析式为()0y kx m k =+≠，将()0,2A ，()4,0C 代入y kx m =+，得：240m k m =⎧⎨+=⎩，解得122k m ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的解析式为122y x =−+ 设点P 的横坐标为()04p p << 则27,22P p p p ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，1,22E p p ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭， ∴2271224(04)22PE p p p p p p ⎛⎫=−++−−+=−+<< ⎪⎝⎭∵8ACM S =△，∴212882PAC S PE OC p p =⋅=−+=△，解得122p p ==， ∴()2,5P ；（3）1181,1216⎛⎫− ⎪⎝⎭，补充求解过程如下：设抛物线沿x 轴的负方向平移m 个单位长度得到新抛物线，将点M 向右平移m 个单位长度得到点M '，作出图形如下：由平移的性质可知，,MA M A MC M C ''''==，∴MA MC ''+的值最小就是M A M C ''+最小值， 显然点M '在直线=2y −上运用，作出点C 关于直线=2y −对称的对称点C ''，连接AC ''交直线=2y −于点M '，连接M C '则此时M A M C ''+取得最小值，即为AC ''的长度，∵点C 关于直线=2y −C ''，()4,0C ∴()4,4C ''−，∴()()min min MA MC M A M C AC ''''''+=+== 设直线AC ''的解析式是：11y k x b =+将点()0,2A ，()4,4C ''−代入得：111244b k b =⎧⎨+=−⎩，解得：11322k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩直线AC ''的解析式是：322y x =−+令3222y x =−+=−，解得：83x =， ∴8,23M ⎛⎫'− ⎪⎝⎭，∴平移的距离是83m = 又∵22778122416y x x x ⎛⎫=−++=−−+ ⎪⎝⎭， ∴平移前的抛物线的坐标是781416,⎛⎫ ⎪⎝⎭∴新抛物线的顶点坐标为7881,4316⎛⎫− ⎪⎝⎭即1181,1216⎛⎫− ⎪⎝⎭ 故答案是：1181,1216⎛⎫− ⎪⎝⎭，【例2】（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图1，抛物线2y x bx =−＋与x 轴交于点A ，与直线y x =−交于点()4,4B −，点()0,4C −在y 轴上．点P 从点B 出发，沿线段BO 方向匀速运动，运动到点O 时停止．(1)求抛物线2y x bx =−＋的表达式；(2)当BP =1中过点P 作PD OA ⊥交抛物线于点D ，连接PC OD ，，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由；(3)如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O 同时出发，以与点P 相同的速度沿x 轴正方向匀速运动，点P 停止运动时点Q 也停止运动．连接BQ PC ，，求CP BQ ＋的最小值．【答案】(1)抛物线的表达式为23y x x =−+ (2)平行四边形，见解析(3)【分析】（1）利用待定系数法将B 点坐标代入抛物线2y x bx =−+中，即可求解．（2）作辅助线，根据题意，求出PD 的长，PD OC =，PD OC ∥，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证．（3）作出图，证明()SAS CBP MOQ ≌，CP BQ +的最小值为MB ，根据勾股定理求出MB 即可解答． 【详解】（1）解： 抛物线2y x bx =−+过点(4,4)B −，1644b ∴−+=−，3b ∴=，23y x x ∴=−+．即抛物线的表达式为23y x x =−+． （2）解：四边形OCPD 是平行四边形，理由如下：如图1，作PD OA ⊥交x 轴于点H ，连接PC 、OD ，点P 在y x =−上，OH PH ∴=，45POH ∠=︒，连接BC ，4OC BC ==，OB ∴= 2BP =OP OB BP ∴=−=2OH PH ∴===，当2D x =时，4322D DH y ==−+⨯=，224PD DH PH ∴=+=+=， (0,4)C −，4OC ∴=，PD OC ∴=，OC x ⊥Q 轴，PD x ⊥轴，PD OC ∴∥，∴四边形OCPD 是平行四边形．（3）如图2，由题意得，BP OQ =，连接BC ，在OA 上方作OMQ ，使得45MOQ ∠=︒，OM BC =，4OC BC ==，BC OC ⊥，45CBP ∴∠=︒，CBP MOQ ∴∠=∠，BP OQ =，CBP MOQ ∠=∠，BC OM ，(SAS)CBP MOQ ∴△≌△，CP MQ ∴=，CP BQ MQ BQ MB ∴+=+≥（当M ，Q ，B 三点共线时最短），CP BQ ∴+的最小值为MB ，454590MOB MOQ BOQ ∠=∠+∠=︒+︒=︒，MB ∴即CP BQ +的最小值为答：CP BQ +的最小值为【点睛】本题主要考查待定系数法，二次函数图象与性质，平等四边形的判定，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答醒的关键．1．（2024·宁夏银川·一模）如图，已经抛物线经过点()00O ，，()55A ，，且它的对称轴为2x =．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，当OAB 的面积为15时；求点B 的坐标．(3)在（2）的条件下，P 是抛物线上的动点，求P 的坐标以及PA PB −的最大值．【答案】(1)24.y x x =- (2)()2,8B (3)()2,12,P - PA PB −的最大值为【分析】（1）根据题意可设抛物线为2,y ax bx =+再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）设()2,,B y 且0,y > 记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：,y kx = 解得：1,k = 可得直线OA 为：,y x = 则()2,2,Q 利用()12OAB BOQ ABQ A O S S S BQ x x =+=⨯⨯−列方程，再解方程即可；（3）如图，连接AB ，延长AB 交抛物线于P ，则此时PA PB AB −=最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB 的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P 的坐标．【详解】（1）解： 抛物线经过点(0,0)O ，∴设抛物线为：2,y ax bx =+抛物线过(5,5)A ，且它的对称轴为2x =．2555,22a b b a +=⎧⎪∴⎨−=⎪⎩ 解得：1,4a b =⎧⎨=−⎩∴抛物线为：24.y x x =-（2）解：如图，点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，设()2,,B y 且0,y > 记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：,y kx =55,k \= 解得：1,k =∴ 直线OA 为：,y x =()2,2,Q ∴ ()12OAB BOQ ABQ A O SS S BQ x x ∴=+=⨯⨯− 12515,2y =−⨯=解得：8y =或4,y =−∵0,y > 则8,y =()2,8.B ∴（3）如图，连接AB ，延长AB 交抛物线于P ，则此时PA PB AB −=最大，()()5,5,2,8,A BAB ∴=设AB 为：,y k x b ''=+ 代入A 、B 两点坐标，55,28k b k b '''+=⎧∴⎨+=⎩' ，解得：1,10k b =−⎧⎨='⎩'∴AB 为：10,y x =-+210,4y x y x x =−+⎧∴⎨=−⎩ 解得：52,,512x x y y ==−⎧⎧⎨⎨==⎩⎩()2,12.P ∴−【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定PA PB −最大时P 的位置是解本题的关键．2．（2024·湖南怀化·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，5OB OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．图1 图2 图3(1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标；(2)如图2，点Q 为抛物线对称轴上一动点，当Q 在什么位置时QA QC +最小，求出Q 点的坐标，并求出此时QAC △的周长；(3)如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点M ，在对称轴右侧的抛物线上有一点N ，满足90MDN ∠=︒．求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．【答案】(1)245y x x =−++，对称轴为直线2x =，顶点D 的坐标为()29，；(2)QAC △(3)直线MN 恒过定点，定点坐标为()28，．【分析】（1）求得点B 的坐标为()50，，点C 的坐标为()05，，利用待定系数法求解，再配成顶点式，即可得解；（2）先求得直线BC 的解析式，再求直线BC 与对称轴交点Q ，将AQ CQ +转化为BC ，在Rt AOC 中求AC ，在Rt BOC 中求BC 即可求解；（3）如图，过点D 作直线l 垂直y 轴，再过点M ，N 分别作直线l 的垂线，设点M 的坐标为()245m m m −++，，点N 的坐标为()245n n n −++，，证明MDH DNG ∽△△，求得()250mn m n −++=，再利用待定系数法求得直线MN 的解析式为()45y m n x mn =−−+++，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵5OB OC ==，∴点B 的坐标为()50，，点C 的坐标为()05，，∴25505b c c −++=⎧⎨=⎩，解得4b =，∴抛物线的解析式为245y x x =−++， ∵()224529y x x x =−++=−−+，∴对称轴为直线2x =，顶点D 的坐标为()29，； （2）解：∵点A 与点()50B ，关于直线2x =对称，∴直线BC 与对称轴的交点为Q ，则Q 为QA QC +最小时位置，设直线BC 的解析式为5y kx =+，代入点()50B ，得055k =+，解得1k =−，∴直线BC 的解析式为5y x =−+，当2x =，253y =−+=，∴()23Q ，，∵点()10A −，，∵ACAQ CQ CB +===∴QAC △（3）解：如图，过点D 作直线l 垂直y 轴，再过点M ，N 分别作直线l 的垂线，垂足分别为H ，G ，设点M 的坐标为()245m m m −++，，点N 的坐标为()245n n n −++，，∵顶点D 的坐标为()29，， ∴()()222945442MH m m m m m =−−++=−+=−，2DH m =−，()()222945442GN n n n n n =−−++=−+=−，2DG n =−，由题意得90H G MDN ∠=∠=∠=︒，∴90MDH NDG DNG ∠=︒−∠=∠， ∴MDH DNG ∽△△， ∴MH HD DG NG =，即()()222222m mn n −−=−−，∴()()221m n −−=−， ∴()250mn m n −++=，∵点M 的坐标为()245m m m −++，，点N 的坐标为()245n n n −++，，设直线MN 的解析式为11y k x b =+，∴2112114545mk b m m nk b n n ⎧+=−++⎨+=−++⎩①②，−①②得()()()2214m n k m n m n −=−−+−， ∵m n ≠，∴14k m n =−−+，将14k m n =−−+代入①得()21445m m n b m m −−++=−++，求得15b mn =+；∴直线MN 的解析式为()45y m n x mn =−−+++， ∵()250mn m n −++=，即()25m n mn +=+， ∴()()428y m n x =−−+−+， ∴当20x −=即2x =时，8y =，∴无论m n 、为何值，直线MN 总会经过定点()28，， ∴直线MN 恒过定点，定点坐标为()28，．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．3．（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线2Ly ax bx c =++∶与x 正半轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ，对称轴为直线1x =．(1)求直线AB 的解析式及抛物线的解析式；(2)如图①，点P 为第一象限抛物线上一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，PC 交AB 于点D ，求当点P 的横坐标为多少时，PD AD +最大；(3)如图②，将抛物线2Ly ax bx c =++∶向左平移得到抛物线L '，直线AB 与抛物线L '交于M 、N 两点，若点B 是线段MN 的中点，求抛物线'L 的解析式．【答案】(1)3y x =−+，223y x x =−++；(2)点P 的横坐标为时，PD AD +有最大值； (3)2154y x x =−−+．【分析】（1）利用待定系数法解答即可求解；（2）设点P 的横坐标为t ，则()2,23P t t t −++，(,0)C t ，(,3)D t t −+，先证明ACD 为等腰直角三角形，得到)AD t =−，进而得到2PD AD t ⎛+=−+ ⎝⎭，根据二次函数的性质即可求解；（3）设平移后抛物线L '的解析式2()4y x m =−−+，联立函数解析式得23()4x x m −+=−−+，整理得，22(21)10x m x m −++−=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1x ，2x 是方程22(21)10x m x m −++−=的两根，由B 为MN 的中点可得210m +=，求出m 即可求解；本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】（1）解：抛物线2L y ax bx c =++∶与x 正半轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ，对称轴为直线1x =，930312a b c c b a ⎧⎪++=⎪∴=⎨⎪⎪−=⎩，解得123a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线L 的解析式为223y x x =−++；设直线AB 的解析式为3(0)y kx k =+≠，把(3,0)A 代入得，330k +=，解得1k =−，∴直线AB 的解析式为3y x =−+；（2）解：设点P 的横坐标为t ，则()2,23P t t t −++，(,0)C t ，(,3)D t t −+， 3AC t ∴=−，23PD t t =−+，(3,0)A ，(0,3)B −，3OA OB ∴==，AOB ∴为等腰直角三角形，45OAB ∴∠=︒，PC x ⊥轴， ACD ∴为等腰直角三角形，)AD t ∴==−，∴223PD AD t t t ⎛+=−++=− ⎝⎭，∴当t =时，PD AD +有最大值，即点P的横坐标为32时，PD AD +有最大值；（3）解：由（1）可知，直线AB 的解析式为3y x =−+，抛物线L 为：2223(1)4y x x x =−++=−−+，∴设平移后抛物线L '的解析式2()4y x m =−−+，联立函数解析式得，()234y x y x m =−+⎧⎪⎨=−−+⎪⎩，23()4x x m ∴−+=−−+，整理得，22(21)10x m x m −++−=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则1x ，2x 是方程22(21)10x m x m −++−=的两根，1221x x m ∴+=+，∵B 为MN 的中点，∴120x x +=，∴210m +=， 解得12m =−，∴抛物线L '的解析式22115424y x x x ⎛⎫=−++=−−+ ⎪⎝⎭．题型三 胡不归求二次函数中线段和最值问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·三模）已知抛物线2(,,y ax bx c a b c =++为常数，0)a ≠与x 轴交于点()A −、点B 两点，与y 轴交于点()0,2C，对称轴为x =(1)求抛物线的表达式；(2)M 是抛物线上的点且在第二象限，过M 作MN AC ⊥于点N，求AN 的最大值．【答案】(1)22y x =−+(2)496【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）过点M 作MF y ∥轴，交AC 于点E ，先求出一次函数AC 的解析式，用解直角三角形的方法求出30OAC ∠=︒，表示出MN =，设2,2M m m ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，2E m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，分别表示出EF ME AE MN ，，，，最后得到249=26AN m ⎛−+ ⎝⎭，求出最后结果即可．【详解】（1）解：点()A −，对称轴为x =(2a c ∴−−+=，2c =，2b a −=解得：1a =−，b = ∴抛物线的表达式为：22y x =−+；（2）如图，过点M 作MF y ∥轴，交AC 于点E ，设AC 的解析式为y kx b =+，02b b ⎧−+=⎪∴⎨=⎪⎩，2k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴AC的解析式为2y =+，2AO =2CO =，tan CO OAC AO ∴∠==，30OAC ∴∠=︒，90AFE MNE ∠=︒=∠，AEF MEN ∠=∠， 30M OAC ∴∠=∠=︒，2AE EF ∴=，12EN ME =，sin MN ME ACO ∴=⋅∠=，设2,2M m m ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，2E m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，2EF ∴=+，2222ME m m ∴=−+−=−−，24AE EF ∴==+，21122EN ME m ==−，23MN m==−，AN ∴，AE EN=+2213422m m =+−−−224m =−+24926m ⎛=−++ ⎝⎭，20−<，∴当m =时，AN 的最大值为496．【例2】（2024·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点()6,0B −和点()2,0C ，连接AB 、AQ 、BQ ，BQ 与y 轴交于点N ．(1)求抛物线表达式；(2)点713Q ⎛⎫⎪⎝⎭，，点M 在x 轴上，点E 在平面内，BME AOM ≌，且四边形ANEM 是平行四边形．①求点E 的坐标；②设射线AM 与BN 相交于点P ，交BE 于点H ，将BPH 绕点B 旋转一周，旋转后的三角形记为11BPH △，求11BP 的最小值． 【答案】(1)214433y x x =−−+(2)①()2,2E −−；②【分析】（1）将点B 、C 的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式；（2）①由Q 坐标求出BQ 解析式，然后根据四边形ANEM 是平行四边形和BME AOM ≌得出4BM OA ==，再分类讨论求得M 和E 的坐标；②求出AM 解析式，交点为P ，再求出H 坐标，然后由两点间距离公式求出BP 和BH 长度，因为旋转不改变长度，所以1BP长度不变，当H 旋转到x 轴上时，此时1OH 最短，所以此时1OH 等于BO BH −，然后代入计算即可．【详解】（1）解：①抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点()6,0B −和点()2,0C ， ∴366404240a b a b −+=⎧⎨++=⎩，解得：1343a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩ ∴214433y x x =−−+；（2）解：214433y x x =−−+4∴=OA ，设直线BQ 的解析式为1y kx b =+， ()6,0B −，713Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴117360k b k b ⎧+=⎪⎨⎪−+=⎩，解得1132k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BQ 的解析式为123=+y x ，N Q 为BQ 与y 轴交点， ()0,2N ∴，2AN ∴=，四边形ANEM 是平行四边形，∴AN EM ∥且2EM AN ==，且点E 在点M 下方， 点M 在x 轴上，点E 在平面内，BME AOM ≌，4BM OA ∴==， ()6,0B −， ()2,0M ∴−或()10,0−，若M 为()2,0−，90BME AOM ∠=∠=︒，故()2,2E −−， 若M 为()10,0−，2OM ME ==，此时10OM =，(矛盾，舍去)，综上，点E 的坐标为()2,2−−；②如图，设AM 的解析式为,y kx b =+抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，∴点A 的坐标为(0，4)，将点()0,4A 、()2,0M −的坐标代入y kx b =+得：420b k b =⎧⎨−+=⎩，解得24k b =⎧⎨=⎩，AM ∴的解析式为24y x =+，AM 与BQ 相交于点P ，∴24123y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得6585x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以点P 的坐标为68,55⎛⎫− ⎪⎝⎭，设直线BE 的解析式为y mx n =+，将点B 、E 的坐标代入直线BE 的解析式得：2260m n m n −+=−⎧⎨−+=⎩，解得123m n ⎧=−⎪⎨⎪=−⎩， 所以直线BE 的解析式为132y x =−−，BE 与AM 相交于点H ，∴24132y x y x =+⎧⎪⎨=−−⎪⎩，解得14585x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， ∴点H 的坐标为148,55⎛⎫−− ⎪⎝⎭，BP ∴==BH ==1BP ∴当H 旋转到x 轴上时，此时1OH 最短，∴16OH BO BH =−=116BP ∴==⎭∴11BP的最小值为1．（2024·河南洛阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =−++交x 轴于()4,0A 、B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线表达式中的b 、c ；(2)点P 是直数AC 上方抛物线上的一动点，过点F 作PF y 轴交AC 于点E ，作PE AC ∥交x 轴于点F ，求PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)将该抛物线沿射线CA方向平移1y ，请直接写出新抛物线1y 的表达式______．【答案】(1)1b =，4c =(2)PE 取得最大值为254，此时335,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(3)()2115322y x =−−+【分析】本题考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式： （1）利用待定系数法即可求解；（2）延长PE 交x 轴于H ，根据题意求得直线AC 的解析式为4y x =−+，OC OA =，设点()21,4042P p p p p ⎛⎫−++<< ⎪⎝⎭，则(),4E p p −+，(),0H p ，证得PHF是等腰直角三角形，从而求得232524PE PE PH p ⎛⎫=+=−−+⎪⎝⎭，即可求解； （3）先求得CA =，根据1y 由抛物线()2211941222y x x x =−++=−−+，向右和向下分别平移2个单位长度得到，进而可求解；掌握待定系数法求函数解析式及利用数学结合是解题的关键．【详解】（1）解：抛物线212y x bx c =−++交于()4,0A 和()0,4C ，8404b c c −++=⎧∴⎨=⎩，解得：14b c =⎧⎨=⎩． （2）延长PE 交x 轴于H()4,0A ，()0,4C ，∴直线AC 的解析式为4y x =−+，OC OA =， PE y ∥Q 轴，PE x ∴⊥轴， 90AOC ∴∠=︒，45OAC ∴∠=︒，PFAC ，45OFP ∴∠=︒，2PH PF ∴=，PE PE PH ∴+=+，设点()21,4042P p p p p ⎛⎫−++<< ⎪⎝⎭，则(),4E p p −+，(),0H p ， ()221144222PE p p p p p ∴=−++−−+=−+，2142PH p p =−++，222211325243422224PE PF PE PH p p p p p p p ⎛⎫∴+=+=−+−++=−++=−−+⎪⎝⎭，PE ∴+的最大值为254，此时点P 的坐标为325,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）()4,0A ，()0,4C ，CA ∴=将抛物线y 沿射线CA 方向平移1y ，∴1y 由抛物线()2211941222y x x x =−++=−−+，向右和向下分别平移2个单位长度得到， ()2115322y x ∴=−−+，故答案为：()2115322y x =−−+．2．（2024·海南海口·一模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A −，()3,0B ，()0,3C ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是第一象限内的抛物线上的一个动点， ①当P 为抛物线的顶点时，求证：PBC 直角三角形； ②求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；③过点P 作PN x ⊥轴，垂足为N ，PN 与BC 交于点E．当PE 的值最大时，求点P 的坐标．【答案】(1)223y x x =−++(2)①PBC 是直角三角形；②315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；③57,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）把A 、B 、C 三点坐标代入2y ax bx c =++求解即可； （2）①作PH y ⊥轴于点H ，易证PCH △和BOC 是等腰直角三角形，即可求出90PCB ∠=︒； ②先求出直线BC 的解析式，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交BC 于点E ，设点()2,23P x x x −++，则(),3E x x −+，故23PE x x =−+，23922PBC S x x ∆=−+，然后根据二次函数的性质求解即可； ③过点P 作PN x ⊥轴于点N ，交BC 于点E ，设点()2,23P x x x −++，则(),3E x x −+，故23PE x x =−+，判断BEN是等腰直角三角形得出BE =，即可求出25PE x x =−+，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点()1,0A −，()3,0B ，()0,3C 代入解析式得：09303a b c a b c c −+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，∵抛物线的解析式为223y x x =−++；（2）解：①配方得()222314y x x x =−++−−+∴点P 的坐标为()1,4，作PH y ⊥轴于点H ，则1PH CH ==，∴45HCP ∠=︒又∵在Rt BOC 中，3OB OC ==， ∴45OCB ∠=︒， ∴90PCB ∠=︒∴PCB 是直角三角形②设直线BC 的解析式为y kx b =+，将点B 、C 代入得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =−⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为3y x =−+， ∵()3,0B ，∴3OB =， 设点()2,23P x x x −++（03x <<），过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交BC 于点E ，如图所示：∴(),3E x x −+，∴()222333PE x x x x x=−++−−+=−+，∴()22211393327332222228PBCSPE OB x x x x x ⎛⎫=⨯⨯=⨯−+⨯=−+=−−+ ⎪⎝⎭，当32x =时，PBC 的最大面积为278，2915233344x x −++=−++=，∴315,24P ⎛⎫⎪⎝⎭③设点()2,23P x x x −++（03x <<），过点P 作PN x ⊥轴于点N ，交BC 于点E ，如图所示：∴(),3E x x −+，∴()222333PE x x x x x =−++−−+=−+， ∵()0,3C ，()3,0B ，∴3OC OB ==，3BN x =−，∴45OBC OCB ∠=∠=︒，∴45NEB OBC ∠=∠=︒，∴BE ==，∴()CE BC BE =−==，∴22525524PE x x x ⎛⎫=−+=−−+ ⎪⎝⎭， ∴当52x =时，PE 有最大值，此时57,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，线段问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2023·山东济南·一模）抛物线()21122y x a x a =−+−+与x 轴交于(),0A b ，()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,C c ，点P 是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．(1)求a ，b ，c 的值；(2)如图1，连接BC 、AP ，交点为M ，连接PB ，若14PMB AMB S S =V V ，求点P 的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为9(0)0αα︒<<︒，连接E B '，E C '，求34E B E C ''+的最小值． 【答案】(1)2a =，2b =−，4c = (2)53,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点P 作PD x ⊥轴，交BC 于点D ，过点A 作y 轴的平行线交BC 的延长线于H ，求得BC l 的解析式，设21,42P m m m ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，则(),4D m m −+，利用相似三角形的判定与性质可得答案； （3）在y 轴上取一点F ，使得94OF =，连接BF ，由相似三角形的判定与性质可得34FE CE ''=，可得34E B E C BE E F '''+'+=，即可解答．【详解】（1）解：将()4,0B 代入()21122y x a x a =−+−+，得()84120a a −+−+=，2a ∴=，∴抛物线的解析式为2142y x x =−++，令0x =，则4y =，4c ∴=，令0y =，则21042x x =−++，14x ∴=，22x =−，()2,0A ∴−，即2b =−； ∴2a =，2b =−，4c =（2）过点P 作PD x ⊥轴，交BC 于点D ，过点A 作y 轴的平行线交BC 的延长线于H ，设BC l ：y kx b =+，将()0,4，()4,0代入得440b k b =⎧⎨+=⎩解得：4b =，1k =−，BC l ∴：4y x =−+， 设21,42P m m m ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，则(),4D m m −+， ()221144222P D PD y y m m m m m =−=−++−−+=−+，PD HA ∥，AMH PMD ∴∽，PM PD MA HA ∴=，将2x =−代入4y x =−+，6HA ∴=，112142PMB AMBPM h S PM S AM AM h ⋅===⋅， 164PD PD HA ∴==，32PD ∴=， 231222m m ∴=−+，11(m ∴=舍)，23m =，53,2P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；（3）在y 轴上取一点F ，使得94OF =，连接BF ，根据旋转得性质得出：3OE OE '==，∵9494OF OC ⋅=⨯=， 2OE OFOC '∴=⋅，∴OE OC OF OE '='，COE FOE ''∠=∠，∴FOE E OC ''∽，。
2024年中考复习-13 二次函数中求线段,线段和,面积等最值问题(解析版)
抢分秘籍13二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题（压轴通关）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，二次函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点。
2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一二次函数中求线段的最值问题【例1】（2024·安徽滁州·一模）已知抛物线()22131y x n x n =-++++交x 轴于点()10A -，和点B ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，已知点P 是位于BC 上方的抛物线上的一点，作PM BC ⊥，垂足为M ，求线段PM 长度的最大值；(3)如图2，已知点Q 是第四象限抛物线上一点，45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．设()234P m m m -++，，则∴(2222PM PE ==∵202->，∴PM 有最大值，最大值为（3）解：作BG CQ ⊥∵()10A -，，()40B ，，∴1OA =，OB OC ==∵45ACQ ∠=︒，OCB ∠∴ACO GCB ∠=∠，∴tan tan ACO GCB ∠=∠∴1442BG =，本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线是解题的关键．【例2】（2024·江苏淮安·二模）如图，在平而直角坐标系中，二次函数2y =+的图象与x 轴分别交于点,O A ，顶点为B ．连接,OB AB ，将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转60︒得到线段AC ，连接BC ．点,D E 分别在线段,OB BC 上，连接,,,AD DE EA DE 与AB 交于点,60F DEA ∠=︒．(1)求点A ，B 的坐标；(2)随着点E 在线段BC 上运动．①EDA ∠的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．∵()2313y x =--+，∴抛物线对称轴为1x =，即ON ∵将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转∴60BAC ∠=︒，AB AC =，∴BAC 是等边三角形，1．（2024·四川南充·一模）如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于0()1,A -，B 两点，与y 轴交于点C (0,3)-．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 是抛物线上位于第四象限内一动点，PD BC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，点E 是抛物线的顶点，点M 是线段BE 上的动点（点M 不与B 重合），过点M 作MN x ⊥轴于N ，是否存在点M ，使CMN 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)223y x x =--(2)当32m =时，PD 取得最大值为928．此时315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)CMN 为直角三角形时，点M 的坐标为：3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭或()323,6212--【分析】（1）把点,A C 坐标代入函数的解析式，利用待定系数法求解即可；（2）先求线BC 的解析式，设点p 的横坐标为m ，再用m 的代数式表示PD 的长度建立二次函数求解即可；（3）先求直线BE 的解析式，再分三种情况，根据相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】（1）由题意得103b c c -+=⎧⎨=-⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩．则抛物线的解析式为：223y x x =--；（2）过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交BC 于点G当0y =时，2230x x --=，解得=1x -或3，∴(3,0)B 设直线BC 的解析式为：1y kx b =+，则11303k b b +=⎧⎨=-⎩解得：113k b =⎧⎨=-⎩∴3y x =-则263n -=-，∴32n =，∴M ③当90MCN ∠=︒时，过点M∵90MCF NCO ∠+∠=︒，CNO ∠∴MCF CNO ∠=∠，又90MFC CON ∠=∠=︒，∴MFC CON ∽，∴CF MF NO CO =，∴()3263n n n ---=，【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，构造二次函数求线段的最值，二次函数与直角三角形的存在性问题，相似三角形的判定和性质，难度较大，是中考的压轴题，解题的关键是数形结合，提高综合运用的能力．2．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中()3,0B ，()0,3C -．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．求出所有使得以QF 为腰的QEF △是等腰三角形的点Q 的坐标．设211,344P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则3,4Q t ⎛- ⎝∴231133444PQ t t t ⎛⎫=---+-= ⎪⎝⎭∵AQE PQD ∠=∠，AEQ QDP ∠=∠∴OAC QPD ∠=∠，∵4,3OA OC ==，如图，二次函数213442y x x =--的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，连接AC ，作直线BC ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的表达式；(2)如图1，若点P 是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为m ，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，交直线BC 于点M ，N ，试探究线段MN 长的最大值；(3)如图2，若点Q 是二次函数图象上的一个动点，直线BQ 与y 轴交于点H ，连接CD ，在点Q 运动的过程中，是否存在点H ，使以H ，C ，B 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()20A -，，()80B ，，()04C -，，直线BC 的表达式为1y x 42=-；(2)线段MN 长的最大值为45；(3)点Q 的坐标为3954⎛⎫- ⎪⎝⎭，或()46-，．【分析】（1）令0y =，求得x 的值，令0x =，求得y 的值，可求得A ，B ，C 三点的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC 的表达式；（2）设213442P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，则142M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，证明PNM OBC ∠=∠，利用正切函数的定义推出2PN PM =，求得225MN PN PM PM =+=，得到MN 关于m 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；（3）利用勾股定理求得25AC =，5AD OC ==，作DG AC ⊥于点G ，用正切函数的定义推出OCA BCH ∠=∠，分BC BH =和BH CH =两种情况讨论，分别求得点H 的坐标，求得直线BH 的表达式，与二次函数的表达式联立求解即可．【详解】（1）解：令0y =，则2134042x x --=，解得12x =-，28x =，令0x =，则4y =-，∴()20A -，，()80B ，，()04C -，，设直线BC 的表达式为4y kx =-，代入()80B ，得084k =-，解得12k =，∴直线BC 的表达式为1y x 42=-；∵PN OB ∥，PM OC ∥，∴PNM OBC ∠=∠，∴4tan tan 8OC PNM OBC OB ∠=∠===∴2PN PM =，22MN PN PM =+=∴(2155244MN m m m ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭①当BC BH =时，∵BO CH ⊥，∴OH OC =，∴()04H ，，同理求得直线BH 的表达式为142y x =-+联立得241234412x x x ---+=，【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标表示三角形的面积，勾股定理，正切函数，解方程，熟练掌握待定系数法，勾股定理，正切函数是解题的关键．题型二将军饮马河求二次函数中线段和最值问题【例1】（2024·天津津南·一模）综合与探究：如图，抛物线2y x bx c =-++上的点A ，C 坐标分别为()0,2，()4,0，抛物线与x 轴负半轴交于点B ，且2OM =，连接AC ，CM ．(1)求点M 的坐标及抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP ，CP ，当PAC ACM S S =△△时，求点P 的坐标；(3)将抛物线沿x 轴的负方向平移得到新抛物线，点A 的对应点为点A '，点C 的对应点为点C '，当MA MC ''+的值最小时，新抛物线的顶点坐标为，MA MC ''+的最小值为．设直线AC 的解析式为y =将()0,2A ，()4,0C 代入y 240m k m =⎧⎨+=⎩，解得122k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线AC 的解析式为y =由平移的性质可知，MA '∴MA MC ''+的值最小就是显然点M '在直线=2y -上运用，作出点C 关于直线=2y -得最小值，即为AC ''的长度，∵点C 关于直线=2y -对称的对称的点是点∴()4,4C ''-，∴()(min MA MC M A '''+=+设直线AC ''的解析式是：将点()0,2A ，()4,4C ''-代入得：本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数与相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转换思想是解题的关键，第二问的解题技巧是使用铅锤公式计算面积，第三问的技巧是转化成直角三角形的讨论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点M 向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决．【例2】（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图1，抛物线2y x bx =-＋与x 轴交于点A ，与直线y x =-交于点()4,4B -，点()0,4C -在y 轴上．点P 从点B 出发，沿线段BO 方向匀速运动，运动到点O 时停止．(1)求抛物线2y x bx =-＋的表达式；(2)当BP =时，请在图1中过点P 作PD OA ⊥交抛物线于点D ，连接PC OD ，，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由；(3)如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O 同时出发，以与点P 相同的速度沿x 轴正方向匀速运动，点P 停止运动时点Q 也停止运动．连接BQ PC ，，求CP BQ ＋的最小值． OH PH ∴=，POH ∠连接BC ，4OC BC == ，42OB ∴=．22BP = ，22OP OB BP ∴=-=在OA 上方作OMQ ，使得4OC BC == ，BC ⊥45CBP ∴∠=︒，CBP MOQ ∴∠=∠，BP OQ = ，CBP ∠=(SAS)CBP MOQ ∴△≌△CP MQ ∴=，1．（2024·宁夏银川·一模）如图，已经抛物线经过点()00O ，，()55A ，，且它的对称轴为2x =．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，当OAB 的面积为15时；求点B 的坐标．(3)在（2）的条件下，P 是抛物线上的动点，求P 的坐标以及PA PB -的最大值．【答案】(1)24.y x x =-(2)()2,8B (3)()2,12,P -PA PB -的最大值为32.【分析】（1）根据题意可设抛物线为2,y ax bx =+再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；（2）设()2,,B y 且0,y >记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：,y kx =解得：1,k =可得直线OA 为：,y x =则()2,2,Q 利用()12OAB BOQ ABQ A O S S S BQ x x =+=⨯⨯- 列方程，再解方程即可；（3）如图，连接AB ，延长AB 交抛物线于P ，则此时PA PB AB -=最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB 的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P 的坐标．【详解】（1）解： 抛物线经过点(0,0)O ，∴设抛物线为：2,y ax bx =+ 抛物线过(5,5)A ，且它的对称轴为2x =．2555,22a b b a+=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩解得：1,4a b =⎧⎨=-⎩∴抛物线为：24.y x x =-（2）解：如图，点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，设()2,,B y 且0,y >记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：y kx =55,k \=解得：k =∴直线OA 为：y =()2,2,Q ∴OAB BOQ ABQ S S S ∴=+ 12515,2y =-⨯=解得：8y =或4,y =-()()5,5,2,8,A B ()(2525AB ∴=-+设AB 为：y k x b '=+55,28k b k b '''+=⎧∴⎨+=⎩'解得：1,10k b =-⎧⎨='⎩'∴AB 为：10,y x =-+210,4y x y x x =-+⎧∴⎨=-⎩解得：52,,512x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩()2,12.P ∴-【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定PA PB -最大时P 的位置是解本题的关键．2．（2024·湖南怀化·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，5OB OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．图1图2图3(1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标；(2)如图2，点Q 为抛物线对称轴上一动点，当Q 在什么位置时QA QC +最小，求出Q 点的坐标，并求出此时QAC △的周长；(3)如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点M ，在对称轴右侧的抛物线上有一点N ，满足90MDN ∠=︒．求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．设直线BC 的解析式为5y kx =+代入点()50B ，得055k =+，解得∴直线BC 的解析式为y x =-+当2x =，253y =-+=，∴()23Q ，，∵点()10A -，，∵221526=+=AC ，设点M 的坐标为(24m m -+，∵顶点D 的坐标为()29，，∴()2945MH m m =--++=()22945GN n n n =--++=-由题意得H G MDN ∠=∠=∠∴90MDH NDG ∠=︒-∠=∠∴MDH DNG ∽△△，∴当20x -=即2x =时，8y =，∴无论m n 、为何值，直线MN 总会经过定点()28，，∴直线MN 恒过定点，定点坐标为()28，．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．3．（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线2Ly ax bx c =++∶与x 正半轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ，对称轴为直线1x =．(1)求直线AB 的解析式及抛物线的解析式；(2)如图①，点P 为第一象限抛物线上一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，PC 交AB 于点D ，求当点P 的横坐标为多少时，PD AD +最大；(3)如图②，将抛物线2L y ax bx c =++∶向左平移得到抛物线L '，直线AB 与抛物线L '交于M 、N 两点，若点B 是线段MN 的中点，求抛物线'L 的解析式．题型三胡不归求二次函数中线段和最值问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·三模）已知抛物线2(,,y ax bx c a b c =++为常数，0)a ≠与x 轴交于点()A -、点B 两点，与y 轴交于点()0,2C ，对称轴为x =(1)求抛物线的表达式；(2)M 是抛物线上的点且在第二象限，过M 作MN AC ⊥于点N ，求AN 的最大值．设AC 的解析式为y kx b =+2302k b b ⎧-+=⎪∴⎨=⎪⎩，32k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴AC 的解析式为33y x =23AO = ，2CO =，3CO本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，含30︒的直角三角形三边关系，解直角三角形的应用，二次函数的最大值等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．【例2】（2024·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点()6,0B -和点()2,0C ，连接AB 、AQ 、BQ ，BQ 与y 轴交于点N ．(1)求抛物线表达式；(2)点713Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点M 在x 轴上，点E 在平面内，BME AOM ≌，且四边形ANEM 是平行四边形．①求点E 的坐标；②设射线AM 与BN 相交于点P ，交BE 于点H ，将BPH 绕点B 旋转一周，旋转后的三角形记为11BPH △，求11BP 的最小值．1．（2024·河南洛阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++交x 轴于()4,0A 、B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线表达式中的b 、c ；(2)点P 是直数AC 上方抛物线上的一动点，过点F 作PF y 轴交AC 于点E ，作PE AC ∥交x 轴于点F ，求PE 的最大值及此时点P 的坐标；(3)将该抛物线沿射线CA 方向平移1y ，请直接写出新抛物线1y 的表达式______．()4,0A ，()0,4C ，∴直线AC 的解析式为y =-PE y ∥Q 轴，PE x ∴⊥轴，90AOC ∴∠=︒，，，．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是第一象限内的抛物线上的一个动点，①当P 为抛物线的顶点时，求证：PBC 直角三角形；②求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；③过点P 作PN x ⊥轴，垂足为N ，PN 与BC 交于点E ．当PE 的值最大时，求点P 的坐标．∴45HCP ∠=︒又∵在Rt BOC 中，OB =∴45OCB ∠=︒，∴90PCB ∠=︒∴PCB 是直角三角形②设直线BC 的解析式为∴(),3E x x -+，∴(223PE x x x =-++--∴1122PBCS PE OB =⨯⨯= 当32x =时，PBC 的最大面积为∴(),3E x x -+，∴(223PE x x x =-++--∵()0,3C ，()3,0B ，∴3OC OB ==，3BN =∴45OBC OCB ∠=∠=︒，3．（2023·山东济南·一模）抛物线()2122y x a x a =-+-+与x 轴交于(),0A b ，()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,C c ，点P 是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．(1)求a ，b ，c 的值；(2)如图1，连接BC 、AP ，交点为M ，连接PB ，若14PMB AMB S S =V V ，求点P 的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为9(0)0αα︒<<︒，连接E B '，E C '，求34E B E C ''+的最小值．设BC l ：y kx b =+，将()0,4，BC l ∴：4y x =-+，设21,42P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则21PD y y m m =-=-++根据旋转得性质得出：OE ∵9494OF OC ⋅=⨯=，2OE OF OC '∴=⋅，∴OE OC OF OE '='，题型四化简求值的解法【例1】（2024·四川广元·二模）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于原点O 和点()40A ，，经过点A 的直线与该函数图象交于另一点()13B ，，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数解析式及点C 的坐标．(2)点P 是抛物线上位于直线AB 上方的一个动点，过点P 作直线PE x ⊥轴于点E ，与直线AB 交于点D ，过点B 作BF x ⊥轴于点F ，连接OP ，与BF 交于点G ，连接DG ．求四边形GDEF 面积的最大值．(3)抛物线上是否存在这样的点Q ，使得45BOQ ∠=︒若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．∵点()13B ，，∴13BN ON ==，．又点()40A ，，∴点()43M ，．∴3BM =．又MH BN =，ONB BMH ∠∠=∴()SAS OBN BHM ≌．∴OB HB =，且OB HB ⊥．∴45BOH ∠=︒．∴OH 与抛物线的交点Q 即为所求的点．∵1MH =，∴点()42H ，．本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形面积的综合，等腰直角三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．【例2】（2024·安徽宣城·一模）如图，已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴的交点为()()4,0,2,0A D -，与y 轴交点为C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)设点C 关于抛物线对称轴的对称点为点B ，在抛物线的A ~B 段上存在点P ，求五边形APBCD 面积的最大值ax M S ；(3)问该抛物线上是否还存在与点P 不重合的点Q ，使以A 、B 、C 、D 、Q 五点为顶点的凸五边形面积等于题（2）中五边形APBCD 面积的最大值ax M S ，若存在，直接写出．．．．所有满足条件的点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由．（3）解：由（2）可知，S 五边形由对称性可知，点P 与对称轴对称的点一定符合题意，即此时点∵抛物线解析式为238y x =-∴顶点坐标为2718⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∴顶点与B 、C 组成的三角形面积为1．（2024·山东济南·一模）如图，直线132y x=-+交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线214y x bx c=-++经过点A，点C，且交x轴于另一点B．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；(3)将线段OA绕x轴上的动点(),0P m顺时针旋转90︒得到线段O A''，若线段O A''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．设21,34M x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，令0y =，得2134y x x =-++解得：2x =-，或6x =，∴PO PO m '==，'='A O OA ∴(),O m m '，()3,A m m '+，当()3,A m m '+在抛物线上时，有解得，326m =-±，，与轴交于点1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，E 为抛物线的顶点．图1图2(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，点P 是第一象限内抛物线上一动点，连接PC PB BC 、、，设点P 的横坐标为t ．①当t 为何值时，PBC 的面积最大？并求出最大面积；②当t 为何值时，PBC 是直角三角形？(3)如图2，过E 作EF x ⊥轴于F ，若(),0M m 是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若90MNC ∠=︒，请直接写出实数m 的取值范围．。
二次函数综合——线段最值问题.pptx11整理好的
P
M
C(0,3)
PM=PQ 水平线段 转化 竖直线段
45
(3, 0) A
45 45
Q
B 1,0
O
D
x
变式2： 点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合），求P 9 2 点到直线AC距离的最大值： y 8 9 问题 1：如果没有特殊角， 问题 2：你能求出△ PQH周 PQ最大= 如A（-4,0），你还能求 长的最大值吗？ 4 P 吗？ 2 2 2 4 1 PH= PQ QH= PQ
5 2
45 45 Q
H
1 3
9 C(0,3) C△PQH=PQ+PH+QH PQ最大= 2 2 4 =PQ+ PQ+ PQ 9 2 2 2 PH最大= 8 =( 2 +1)PQ
2
2
(-4 (， 3, 0) A
45 1
D
O
= C△PQH最大 B 1,0斜线段 4
x
转化 9( 2 1) 竖直线段
三角形周长 转化 竖直线段
变式3： 点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合），连接 PA,PC,求△PAC面积的最大值； y 9 S△PAC= S△PAQ+ S△PCQ PQ最大= 1 1 4 P = PQ· AD+ PQ· OD
H
C
2 2 1 = 2 PQ（AD+OD） 1 = 2 PQ· AO
水平线段
， 1
Ax y
y
A x1 , y B x2 , y
B x , y
2
O
x
O
x
AB= y1-y2 =y1-y2 (纵坐标相减） 上减下
初中复习方略数学微专题四 二次函数中几何图形线段、周长、面积的最值
抛物线对称轴为直线 x＝－ 2
＝1，
2×（－1）
3k＋c＝0
设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋c，将 A(3，0)，C(0，3)代入，得：
，
c＝3
k＝－1
解得：
，
c＝3
∴直线 AC 的解析式为 y＝－x＋3，∴P(1，2)；
(3)存在．设 P(1，t)，①以 AC 为边时，如图 2，∵四边形 ACPQ 是菱形， ∴CP＝CA， ∴12＋(3－t)2＝32＋32，解得：t＝3± 17 ， ∴P1(1，3－ 17 )，P2(1，3＋ 17 )， ∴Q1(4，－ 17 )，Q2(4， 17 )，
1．(2021·天津中考)已知抛物线 y＝ax2－2ax＋c(a，c 为常数，a≠0)经过点 C(0，－ 1)，顶点为 D. (1)当 a＝1 时，求该抛物线的顶点坐标； (2)当 a＞0 时，点 E(0，1＋a)，若 DE＝2 2 DC，求该抛物线的解析式； (3)当 a＜－1 时，点 F(0，1－a)，过点 C 作直线 l 平行于 x 轴，M(m，0)是 x 轴上 的动点，N(m＋3，－1)是直线 l 上的动点．当 a 为何值时，FM＋DN 的最小值为 2 10 ，并求此时点 M，N 的坐标．
(2021·常德中考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，平行四边形 ABCD 的 AB 边与 y 轴交于 E 点，F 是 AD 的中点，B、C、D 的坐标分别为(－2，0)，(8，0)，(13， 10). (1)求过 B、E、C 三点的抛物线的解析式； (2)试判断抛物线的顶点是否在直线 EF 上； (3)设过 F 作与 AB 平行的直线交 y 轴于 Q，M 是线段 EQ 之间的动点，射线 BM 与抛物线交于另一点 P，当△PBQ 的面积最大时，求 P 的坐标．
浅谈二次函数与线段最值问题
浅谈二次函数与线段最值问题作者：张骏峰来源：《中学课程辅导·教师教育（上、下）》2016年第24期摘要：中考的压轴题通常是函数搭台，几何唱戏。
初中所学函数就是将生活中的实际问题转化为数学问题，即构建函数数学模型的有效载体，特别是二次函数；而数形结合思想是分析、解决问题的关键。
有关线段最值问题与二次函数的综合是中考压轴题中的常客，它让很多同学束手无策，望而生畏，实际上解这类试题关键是要理清题意，将线段最值问题借助相关的概念、性质与思想，进而转化为相应的数学模型进行分析，利用典型的基本图形加以解决，常常会事半功倍！关键词：二次函数；线段最值；转化；数形结合；基本图形；数学模型中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）24-109-1初中二次函数的线段问题综合题中，涉及到的类型通常有：1.直接求线段的长或用含字母的式子表示线段的长；2.根据题中给出的线段关系求相应字母的值；3.求多边形周长、面积的最值。
其中求三角形或四边形周长、面积的最值，一般要将其转化为求某线段长的最值或利用两点之间线段最短来求最值。
让学生理解并掌握在二次函数背景下借助基本图形研究线段最值问题的方法；在分析解决问题的过程中体会数形结合与转化等数学思想；在这过程中培养学生构建二次函数模型并借助基本图形解决最值问题的意识及能力是至关重要的。
在此，笔者结合自身一些教学实践，就“二次函数与线段最值问题”方面，谈一谈自己的一些做法。
一、求竖直线段长的最值问题这类问题通常是过抛物线上的一动点作x轴的垂线（或y轴的平行线），且与某直线相交于一点，以确定两点之间长度关系的形式出题。
解决此类问题时，一般要将线段问题转化为点的坐标问题，根据抛物线和直线上点的横坐标相同，设这两点的横坐标，从而得到这两点的纵坐标，然后用含字母的式子表示两点间的线段长，特别是遇到线段最值问题时，一般要结合二次函数求最值的方法，将二次函数解析式配成顶点式或利用公式求最值。
2021年九年级中考复习 二次函数中线段和差最值课件
∴
解得，
∴直线解析式为y＝ x+3；
∵抛物线y＝﹣x2+4x+1与y轴交于点C，
∴C（0，1），
｛ ∴C′（4，1），
∴可设直线C′F的解析式为y＝﹣ x+ ，由
y＝ x+3；
， 解得
，
y＝ - x+ ，
∴F（ ， ）
∴C′F＝4，
即CE+EF的最小值为4．
检测
1. 如图抛物线y=-x2+2x+3 经过点A、B、C， 顶点为D连接BD,线段BD中垂线交X轴于E,
A （-1，0）
OM B（3,0）
x
（3）变形练习：△ACQ的周长最小？
y=-x2+2x+3
探索新知
例2：如图所示，对称轴为直线x=2的抛物线经过点A（-1，0），C（0，5）两点， 与x轴另一交点为B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限 内的抛物线上的动点。（1）求此抛物线的解析式。 （2）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求点a为何值时，四边形PMEF周长最 小？请说明理由。
课堂小结
1、二次函数中求线段和最小（周长最小） 2、线段差最长都是结合几何图形，运用模型思想。
步骤：（1）连线 （或找对称点连线），及作垂线。 （2）求解析式 ，（3）再求交点坐标来完成。
转化思想
挑战自我
2、已知：如图，直线 y=kx+b 分别与x轴y轴交于点
A（-4，0），B（0，3），抛物线y=-x2+4x+1与y轴交于点C
y
(1,4)
垂足为F,在直线EF上是否存在一点H,使
（0,3）C
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二次函数线段最值（二）
课前小测
如图,抛物线322++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于点C,点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称,直线AD 与y 轴交于点E.
(1)求直线AD 的解析式;
(2)如图1,直线AD 上方的抛物线上有一点F,过点F 作FG ⊥AD 于点G,作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H,求△FGH 周长的最大值;
(3)点M 是抛物线的顶点,点P 是y 轴上一点,点Q 是坐标平面内一点,以A,M,P,Q 为顶点的四边形是以AM 为边的矩形.若点T 和点Q 关于AM 所在直线对称,求点T 的坐标.
利用几何模型求线段和差最值
例1如图，抛物线与x轴交与A（1,0）,B（- 3，0）两点. （1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
例2、已知抛物线322--=x x y 与x 轴交A 、C 两点，与y 轴交于B 点，点P 、Q 为抛物线对称轴上的动点。
（1）求点A 、B 、C 的坐标；
（2）当|CP-BP|取得最大值时，求此时点P 的坐标及最大值；
（3）若PQ=1,当CP+PQ+QB 取得最小值时，求此时点P 、Q 的坐标及最小值。
巩固练习
1、如图,一元二次方程的0322=-+x x 二根）
（，2121x x x x <,是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的两个交点B 、
C 的横坐标,且此抛物线过点A （3，6）. （1）求此二次函数的解析式;
（2）设此抛物线的顶点为P,对称轴与线段AC 相交于点Q,求点P 和点Q 的坐标;
（3）在x 轴上有一动点M,当MQ+MA 取得最小值时,求点M 的坐标.
2、如图,抛物线c bx x y ++=2过点A(3,0),B(1,0)，交y 轴于点C,点P 是该抛物线上一动点,点P 从C 点沿抛物线向A 点运动(点P 不与A 重合),过点PD//y 轴交直线AC 于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当D 在线段AC 上运动时,求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值;
(3)在抛物线对称轴上是否存在点M 使|MA-MC|最大?若存在请求出点M 的坐标,若不存在请说明理由.
※3、如图1，抛物线）（02≠++=a c bx ax y 的顶点为C(1,4)，交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为(3,0)。
（1）求抛物线的解析式。
（2）如图2，过点A 的直线与抛物线交于点E ，交y 轴于点F ，其中点E 的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为直线PQ 上的一动点，则x 轴上是否存在一点H ，使D 、G 、H 、F 四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G 、H 的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T ，过点T 作x 轴的垂线，垂足为点M ，过点M 作MN//BD ，交线段AD 于点N ，连接MD ，使△DNM~△BMD?若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由。
课后作业
1、如图,抛物线）
（0
2≠
c
ax
y与x轴交于A、B两点,与y轴交于C
bx
+
+
=a
点,且A(1,0),C(0,3),抛物线的对称轴为x=-1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△MAC的周长最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由；
(3)该抛物线在第二象限的图象上是否存在一点P,使四边形BOCP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2、如图，已知二次函数c bx x y ++=2过点A(1，0),C(0，-3)
（1）求此二次函数的解析式。
（2）在抛物线上存在一点P 使ABP 的面积为10，请求出点P 的坐标。
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点M ，使得BM+CM 最小。
若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。