北师大版-数学-九年级上册-矩形性质的应用

矩形性质的应用

矩形具有四个角都是直角、对边相等、对角线相等等性质。因此，利用这些性质可以解决与角、线段有关的问题。

例1、已知：如图1，在矩形ABCD中，AC、BD是对角线，过顶点C作BD的平行线与AB的延长线相交于点E。

求证：△ACE是等腰三角形

欲证△ACE是等腰三角形，即证AC=EC。因AC是矩形ABCD的对角线，则AC=BD。问题转成证BD=EC。而这两条线段恰是四边形BDCE的对边，考虑证它是平行四边形。

∵BD∥EC，BE∥DC

∴四边形BDCE是平行四边形

∴BD=EC

∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD

∴AC=EC，∴△ACE是等腰三角形

欲证AC=EC，需证∠CAE=∠E，因为CE∥BD，所以∠E=∠DBA，需证∠DBA=∠CAE。需证OA=OB。

∵四边形ABCD是矩形

∴OA=

2

1

AC，OB=

2

1

BD，AC=BD

∴OA=OB。∴∠CAE=∠DBA

∵CE∥BD，∴∠DBA=∠E

∴∠CAE=∠E，∴AC=EC

即△ACE是等腰三角形

图1

对于特殊四边形的有关问题，要注意运用特殊四边形有关性质来解，这是处理这类问题的重要方法。解法往往比较简单。如证法一是利用矩形、平行四边形的性质证明的。

对于一些特殊四边形的有关问题，也可综合运用三角形、特殊四边形的性质来解，如证法二。

例2、已知：如图2，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD ，若∠EAO=15°，求∠BOE 的度数。

∠BOE 是△OBE 的内角，要求∠BOE 的度数，

需求∠OBE 、∠BEO ，或找出它们与∠BOE 的关系。

由于题设可得∠OBE=∠ODA=∠OAD=30°，而

∠BEO 不易求出。因此，需找出∠BEO 与∠BOE 的

关系。

∵AD ∥BC ，∴∠DAE=∠AEB

∵AE 平分∠DAB ，∴∠DAE=∠BAE

∴∠BAE=∠AEB ，∴AB=BE

∵∠BAD=90°，∠BAE=∠EAD

∴∠BAE=45°

∵∠EAO=15°，∴∠BAO=45°+15°=60°

∵OA=OB ，△AOB 是等边三角形

∴BO=AB

∵AB=BE ，∴BO=BE ，∴∠BOE=∠BEO

∵∠ABE=90°，∠ABO=60°

∴∠OBE=30°

在△BOE 中

∵∠BOE+∠BEO+∠OBE=180°

∴∠BOE=21

（180°-∠OBE ）=75°

D 图2