不同域上的不可约多项式
不可约多项式
第一章 多项式
定理1.6.1：若不可约多项式 p ( x ) 是 f ( x ) 的k重因式（k>1），则 p ( x ) 是 f ′ ( x ) 的k-1重因 式，特别多项式 f ( x ) 的单因式不是 f ′ ( x ) 的因 式。 证：
故 f ( x ) 在Q上的标准分解式为
3
f ( x ) = ( x 1) ( x 2 2 )
第一章
多项式
问题：多项式 f ( x ) 在 F [ x ] 中没有重因式， f ( x ) 在 F [ x ] 中是否也没有重因式？ 由于多项式 f ( x ) 的导数以及两个多项式互素 与否在由数域F过渡到含F的数域 F 时并无改变， 故 f ( x ) 有没有重因式不因数域的扩大而改变。
于是： 1、判别 f ( x )有没有重因式，只要求 f ( x ) , f ′ ( x ) 的最大公因式 d ( x ) , f ( x ) 的重因式的重数恰好是 d ( x ) 中重因式的重数加1。此法不能求 f ( x ) 的单因式。 2、分离重因式，即求 f ( x ) 的所有不可约的单 因式：
f ( x ) = pk ( x ) g ( x ) ,
= p k 1 ( x ) kp′ ( x ) g ( x ) + p ( x ) g ′ ( x )
f ′ ( x ) = kp k 1 ( x ) p′ ( x ) g ( x ) + p k ( x ) g ′ ( x )
p ( x) g ( x), p ( x) p′ ( x ) ,
9q x+ p 2p
27q 2 p+ 4 p2
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式的判定及应用摘 要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。
对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。
关键词不可约多项式；判定方法；应用2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。
定义2.1 数域P 上的多项式()g x 称为能整除()f x ，如果有数域P 上的多项式()h x 使等式()f x =()()g x h x成立，我们用“()g x |()f x ”表示()g x 整除()f x ，用“()g x ()f x ”表示()g x 不能整除()f x 。
定理 2.1[1] 对于数域P 上的任意两个多项式()f x ,()g x ,其中()g x 0≠,()g x |()f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零。
证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。
反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。
注1: 带余除法中()g x 必须不为零。
下面介绍整除性的几个常用性质:（1） 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。
二元有限域上的n次不可约多项式
二元有限域上的n次不可约多项式二元有限域上的n次不可约多项式是数学中的重要概念，它在代数学、密码学、编码理论等领域有着广泛的应用。
本文将介绍什么是二元有限域、什么是不可约多项式，以及它们的应用。
我们来了解什么是二元有限域。
在数学中，域是一种代数结构，它具有加法和乘法运算，并满足一定的性质。
二元有限域是一个特殊的域，它的元素只有0和1两个，加法和乘法运算定义如下：1. 加法运算：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=0。
2. 乘法运算：0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1。
可以看出，二元有限域中的加法运算和异或运算相同，乘法运算和与运算相同。
这种域的特点使得它在计算机科学中具有重要意义，可以方便地表示和计算二进制数。
接下来，我们来介绍不可约多项式。
在代数学中，多项式是由系数和幂次组成的表达式。
而不可约多项式是指不能再分解为更小次数的多项式的多项式。
在二元有限域上，n次不可约多项式是一个幂次为n的多项式，不能被分解为两个次数较小的多项式的乘积。
不可约多项式在代数学和密码学中有着重要的应用。
在代数学中，它们可以用于构造有限域扩张，研究域论的性质。
在密码学中，不可约多项式可以用于构造伪随机数生成器、线性反馈移位寄存器等密码算法。
不可约多项式的选择对于密码算法的安全性和效率都有着重要影响。
以AES密码算法为例，它在密钥扩展阶段使用了有限域GF(2^8)上的不可约多项式，用于生成轮密钥。
这些不可约多项式经过严格的选择，以保证算法的安全性和效率。
通过使用不可约多项式，AES 算法可以在有限域上进行高效的运算，同时保证了密码算法的强度。
除了密码学，不可约多项式还在编码理论中有着广泛的应用。
在纠错码和压缩编码中，不可约多项式可以用于构造生成多项式和校验多项式，用于编码和解码。
通过选择合适的不可约多项式，可以提高编码的纠错能力和压缩效率。
二元有限域上的n次不可约多项式在代数学、密码学、编码理论等领域有着广泛的应用。
不可约多项式的判别
不可约多项式的判别一个多项式是否可约取决于它的系数所在的域。
下面给出了一些判别不可约多项式的方法。
1. 整数域中的多项式：在整数域中，两个常用的判别方法是Eisenstein 判别法和 Modulus 判别法。
- Eisenstein 判别法：设 P(x) 是一个系数为整数的多项式，且可以表示为 P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ。
如果存在一个素数 p，满足以下条件：- p 不能整除 aₙ；- p 能整除 a₀, a₁, ..., aₙ₋₁；- p²不能整除 a₀；那么多项式 P(x) 在整数域中是不可约的。
- Modulus 判别法：设 P(x) 是一个系数为整数的多项式，且可以表示为 P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ。
如果存在一个素数 p，使得 P(x) 在有限域 Zₙ 上可约（即 P(x) 在模 p 的意义下有一个非常数的因子），那么多项式 P(x) 在整数域中是不可约的。
2. 实数域、复数域和有理数域中的多项式：在这些域中，不可约多项式的判别较为简单，只需要使用带余除法进行因子分解判别即可。
带余除法即根据多项式除法的原理，如果存在一个多项式 Q(x)和 R(x)，使得 P(x) = Q(x)B(x) + R(x) 并且 R(x) 为零次或者次数小于 B(x) 的多项式。
如果 R(x) 为零次多项式，则 P(x) 是可约的；如果 R(x) 的次数大于等于 1，则 P(x) 是不可约的。
需要注意的是，对于高次多项式，进行带余除法可能会非常复杂，需要借助计算机进行多项式除法运算。
综上所述，对于一个多项式的可约性的判别需要根据具体的域和具体的算法进行分析。
以上只是给出了一些常用的判别方法，实际的判别可能需要更加复杂的计算。
代数数论中的不可约多项式的性质与有限域的计算与应用
不可约多项式在数学中的重要性
定义：一个多项式在 某个数域上不能再被 分解为更低次的多项 式
性质：不可约多项式 是整数的唯一因数分 解的必要条件
应用：在代数数论、 几何学、组合数学等 领域有广泛应用
重要性：不可约多项 式是数学中一个重要 的概念，对于理解数 学的内在结构和发展 有着重要意义
Байду номын сангаас
03 有限域的基本概念
有限域在数据加密 中的具体实现方式
06
有限域在编码理论中的 应用
线性码与有限域的关系
线性码是有限域 的一个重要应用 领域
有限域的元素具有 线性组合和乘法运 算的封闭性，使得 线性码具有很好的 性质
线性码的生成矩 阵和校验矩阵可 以表示为有限域 上的矩阵
有限域的元素个 数决定了线性码 的码距和最小码 距
定义：有限域 的扩展运算是 指将有限域中 的元素进行有 限次运算，以 生成新的元素。
性质：有限域 的扩展运算具 有封闭性，即 运算结果仍属
于有限域。
运算规则：有 限域的扩展运 算具有特定的 运算规则，包 括加法、减法、 乘法和除法等。
应用：有限域 的扩展运算在 密码学、编码 理论等领域有
广泛应用。
05
有限域中的元素个数有限
有限域中的元素具有加法 逆元
有限域中的乘法是可结合 的，且满足交换律
有限域中的乘法是可结合 的，但不满足交换律
有限域的运算规则
加法运算规则： 有限域中的元素 只能进行加法运 算，不能进行减 法运算，通常用 模运算实现减法。
乘法运算规则： 有限域中的元素 只能进行乘法运 算，乘法满足结 合律、交换律和
RS码与有限域的关系
有限域是编码 理论中的基本 概念，为RS码 提供了数学基
有理数域上一类不可约多项式的简单推广
有理数域上一类不可约多项式的简单推广黎智【摘要】若a1,a2,…,an是n-1个不同的整数,证明了当n≥4时,f(x)=(x-a1)(x--n2)...(x-an)-1在有理数域Q上不可约;当n≥3时,f(x)=(x-a1)2(x-a2)2 (x)an)2+1在有理数域Q上不可约.【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(032)005【总页数】3页(P23-25)【关键词】有理数域;多项式;不可约;系数;次数【作者】黎智【作者单位】重庆师范大学数学学院,重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O156有理系数多项式、整系数多项式是数论研究的重要类容，研究数域上的不可约多项式就好比研究整数中的素数一样重要．在代数中已经证明如果一个非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积．也就是说，在Z上不可约的整系数多项式，在Q上也不可约．因此，关于有理数域上多项式的可约性问题，可以简化为讨论整系数多项式在整数环上的可约性问题．而判别一个整系数多项式是否可约，常常是困难的．在这方面比较著名的方法有以下几类:Ⅰ通过多项式的系数和某素数的整除关系来判定不可约，如Eisenstein判别法及其推广形式［1－2］．Ⅱ通过比较多项式系数的大小来判别不可约，如Perron判别法及其改进形式［3－4］．Ⅲ通过计算f( x)在Z上的取值来判别不可约，如命题1．命题1［3］设f( x)是n次整系数多项式，S( f) ={…，，…}，Ni表示S( f)中1的个数，Np表示S( f)中素数的个数，如果Np+2N1－4＞n，则f( x)在Q上不可约．Ⅳ通过辅助多项式根的取值来判别不可约，如命题2．命题2［3］设a1，a2，…，an是彼此不相同的整数，则1) f( x) = ( x－a1) ( x－a2)…( x－an)－1在有理数域Q上不可约;2) f( x) = ( x－a1)2( x－a2)2…( x－an)2+1在有理数域Q上不可约．定理及其证明如下:命题2实则是Schur本世纪初提出的两个简单问题，已经得到了证明，此处在此基础上做了一个简单的推广，主要结果是:定理1设a1，a2，…，an是n－1个不同的整数，则1)当n≥4时，f( x) = ( x－a1) ( x－a2)…( x－an)－1在有理数域Q上不可约;2)当n≥3时，f( x) = ( x－a1)2( x－a2)2…( x－an)2+1在有理数域Q上不可约．证明1)不妨设an=a1，则f( x) = ( x－a1)2( x－a2)…( x－an－1)－1．若f( x)在Q上可约，可设f( x) = f1( x) f2( x)，fi( x)是整系数多项式; 1≤°( fi( x) )＜n( i= 1，2)，其中，( f( x) )表示f( x)的次数，由于f( ai) =－1，i= 1，2，…，n，故f1( ai) =±1，f2( ai) =1，i= 1，2，…，n，即f1( ai) +f2( ai) = 0，i= 1，2，…，n．若f1( x) +f2( x)的次数小于n－1，则f1( x) +f2( x) = 0，即f1( x) =－f2( x)，f( x) =－( x)，因为f( x)的最高项系数是1，此不可能．故f1( x) +f2( x)的次数只能等于n－1．不妨令( f1( x) ) = n－1，则( f2( x) ) = 1，此不可能．因为根据文献［5］引理1的证明可知，当n≥4时，即n－1≥3，对于任何整数x'，要么( x'－a1)2( x'－a2)…( x'－an－1) = 0，要么式，与( f2( x) ) =1矛盾．综上，当n≥4时，f( x) = ( x－a1) ( x－a2)…( x－an)－1在有理数域Q上不可约．2)不妨设an=a1，则f( x) = ( x－a1)4( x－a2)2…( x－an－1)2+1．显然f( x)没有实根，若f( x)在Q上可约，类似1)可设f( x) = f1( x) f2( x)，fi( x)是整系数多项式，1≤( fi( x) )＜n( i=1，2)．因为对任意实数，f( x)＞0，不妨设对所有实数f1( x)＞0，f2( x)＞0，由于f( ai) = 1，i=1，2，…，n，故f1( ai) = f2( ai) = 1，i=1，2，…，n．若fi( x) ( i= 1，2)的次数小于n－1，则fi( x)≡1( i=1，2)，与所设不和，故只可能是以下两种情形:，所以f( x')≠0，因此f( x)没有一次有理因或者当n≥3时，对于式( 1)，可令其中a，b，p，q为整数，由f( x) = f1( x) f2( x)可知比较左右两端系数得即化简得( x－a1)2+1=0，此不可能．对于式( 2)，类似式( 1)，可令其中c，d，m，n为整数，由f( x) = f1( x) f2( x)可知比较等式左右两边系数得即解得x=a1，与xai矛盾．综上所述，当n≥3时，f( x) = ( x－a1)2( x－a2)2…( x－an)2+1在有理数域Q上不可约．在上述定理中，若把f( x)换成f( x) = k－1，k＞0，结论显然也是成立的．【相关文献】［1］王萼芳，石生明．高等代数［M］．3版．北京:高等教育出版社，2007［2］赵敦，罗彦峰，雷鹏．Eisenstein判别法的一个推广［J］．高等理科教育，2005( 6) : 38-39［3］柯召，孙琦．数论讲义(下)［M］．北京:高等教育出版社，1987［4］王瑞．判定Q上多项式不可约的一种方法［J］．数学研究与评论，2002，22( 4) : 679-684 ［5］张卫，史滋福．有理数域上的一类不可约多项式［J］．湖南理工学院学报:自然科学版，2008，21( 1) : 5-7。
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式的判定及应用多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳，较为系统的给出不可约多项式 Perron 判别法、Browm 判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外，我们还给 出了不可约多项式的一些应用。
关键词不可约多项式；判定方法；应用2.不可约多项式的概念及性质2.1整除的概念设P 是一个数域，对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)H0，定有P[x]中的多项式q(x)， r(x)存在，使得f(x) =q(x)g(x)+ r(x)成立，其中c(r(x))<c(g(x))或者r(x)=0,并且这样的q(x)，r(x)是唯一决定的。
定义2.1数域P 上的多项式g(x)称为能整除f(x)，如果有数域P 上的多项式h(x)使等式f (x) = g(x)h(x)我们用g(x)|f(x) ”表示g(x)整除f(x)，用g(x) f (x) ”表示g(x)不能整除 f (x)。
定理2.1⑴ 对于数域P 上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中的判定方法。
对于一般的不可约多项式的判定有 Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、 成立，H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。
证明：如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。
反过来，如果g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。
注1:带余除法中g(x)必须不为零。
F 面介绍整除性的几个常用性质：(1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。
(2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。
第一讲-高等代数选讲之多项式理论
4、一元多项式环 所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P 上的一元多项式环，记为 P x ，称P为 P x 的系数域。 5、一元多项式环的有关结论 多项式的加、减、乘运算对P x 封闭，且多项式的 加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分 配率，乘法还满足消去律。 6、注意零多项式和零次多项式的区别。 零次多项式：不为零的常数 零多项式：常数零
练习：
当a, b, c取何值时，多项式 f x 与g x 相等？
2
其中f x x 5, g ( x) ax 2 bx 1 cx 2 x 2
P4 例1.2.2 1.2.3
例3设 f ( x)是非零实系数多项式， k 是一个 k f ( f ( x ) f ( x) ，则 f ( x) 为零次 正整数，且 k f ( x ) x 多项式或者 。
其中 c 为任意常数。 （10）多项式 f x 与cf x 有相同的因式与倍式； （11）两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大 而改变。 5、综合除法 设以 g x x a 除 f x an xn an1xn1 a1x a0 , 所得的商 q x bn1xn1 b1x b0 ，及余式 r x c0 , 则 比较 f x q x g x r x 两端同次幂的系数得 bn1 an , bn2 an1 abn1,, b0 a1 ab1, c0 a0 ab0
一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分 解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式 存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如 能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一 元多项式的理论。 对于多元多项式，则要理解 n 元多项式、对称多项 式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的 多项式的方法。
不可约多项式
不可约多项式在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。
多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数不可约多项式是一种重要的多项式，它在多项式环中有类似于素数在整数环中的地位。
概念不可约多项式，顾名思义即不能写成两个次数较低的多项式之乘积的多项式。
有理系数的多项式，当不能分解为两个次数大于零的有理系灵敏多项式的乘积时，称为有理数范围内“不可约多项式”。
相应地可以定义实数系数或复数系数的不可约多项式。
“不可约”的意义随系数范围而不同。
X2-2在有理数范围内是不可约多项式，但在实数范围内就是可约多项式了。
一种重要的多项式。
它在多项式环中有类似于素数在整数环中的地位。
对于数域P上的任意多项式f(x)，P中非零数c与cf(x)总是f(x)的因式。
这两种因式称为f(x)的平凡因式，亦称当然因式。
其他的因式，称为f(x)的非平凡因式，亦称非当然因式。
设p(x)为P上的一个次数大于零的多项式，如果在P上p(x)只有平凡因式，则称p(x)在P上(或P[x]中)不可约，亦称p(x)是P上的不可约多项式，或既约多项式;如果p(x)除平凡因式外，在P上还有其他因式，则称p(x)在P上(或在P[x]中)可约，亦称p(x)是P上的可约多项式。
一个多项式是否可约，与其基域有关。
例如，x-2在有理数域上不可约，但在实数域上可约，因为此时它有非平凡因式x+与x-。
数域P上的不可约多项式有如下的基本性质：1。
若p(x)不可约，且c≠0，c∈P，则cp(x)也不可约。
2。
若p(x)不可约，f(x)是任一多项式，则(p(x)，f(x))=1或者p(x)|f(x)。
3。
若p(x)不可约，且p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或者p(x)|g(x)。
不可约多项式整除任意多项式的概念
不可约多项式整除任意多项式的概念随着数学的不断发展，不可约多项式整除任意多项式的概念逐渐成为了数学研究中的一个重要课题，在代数学、数论和计算机科学等领域都有着广泛的应用。
本文将深入探讨不可约多项式整除任意多项式的概念，阐明其理论意义和实际应用。
一、不可约多项式的定义我们来回顾一下不可约多项式的定义。
在代数学中，如果一个多项式不能被分解为两个次数更低的非零多项式的乘积，则称其为不可约多项式。
不可约多项式在数论、代数几何和编码理论等领域有着重要的应用，因此对其性质和特征进行研究具有重要意义。
二、不可约多项式整除的概念对于两个多项式P(x)和Q(x)，如果存在另一个多项式R(x)，使得P(x)=Q(x)·R(x)，则称P(x)可整除Q(x)，记作Q(x)|P(x)。
而对于不可约多项式来说，如果一个不可约多项式整除任意多项式，其特性将会是怎样呢？三、质数环中的不可约多项式整除在质数环中，不可约多项式的整除性质更加复杂和多样化。
对于给定的质数p，我们可以考察在有限域Fp上的多项式环中的不可约多项式。
通过适当的构造和分解，可以得到不可约多项式对其他多项式的整除规律，这为解决一些数论和计算机科学中的问题提供了重要的数学工具。
四、应用举例1. 数论领域通过对不可约多项式整除的相关性质进行研究，可以在数论领域中应用到素性测试以及大整数的分解等问题上。
在RSA公钥密码系统中，不可约多项式整除的概念被广泛应用于加密算法的设计和安全性分析中。
2. 代数几何领域在代数几何领域，不可约多项式整除的概念被应用于构造椭圆曲线密码系统和几何编码理论等方面。
通过对不可约多项式整除性质的研究，可以设计更加安全和高效的密码算法，并在信息传输和存储中发挥重要作用。
五、不可约多项式整除的研究现状目前，关于不可约多项式整除的研究还存在一些未解决的问题和挑战。
在高维空间中的多项式整除性质、不可约多项式整除与素数分解的关系等方面仍然需要更加深入和系统的研究。
不可约多项式
p1 ( x ) q j ( x ).
q j ( x ), 使得
不妨设 q j ( x ) q1 ( x ), 则
p1 ( x ) q1 ( x )
q1 ( x ) c1 p1 ( x ), c1 0
(1)两边消去 q1 ( x ), 即得
2i （在复数域上）
二、不可约多项式
定义： 设 p( x ) P[ x ] ，且 p x 1 ，若 p( x )
不能表示成数域 P上两个次数比 p( x ) 低的多项式的 乘积，则称 p( x ) 为数域P上的不可约多项式.
注： ①一个多项式是否不可约依赖于系数域.
②一次多项式总是不可约多项式. ③零多项式与零次多项式无可约，不可约的概念
公因式与系数域无关，则公因式也就不会随系数域的扩 大而改变 . 最大公因式是由辗转相除法求得的，故这里问 题的关键是带余除法中的商式q(x)，余式r(x)尽管唯一 确定，是否与系数域无关？→ 事实上，设 f,g∈P[x], P∈P/ → 据带余除法定理，存在唯一的q, r ∈P[x], 使 得 f = qg + r, r = 0或 ∂r＜∂g成立.
一、问题的引入
二、不可约多项式
三、不可约多项式的性质
四、因式分解及唯一性定理
一、问题的引入
因式分解与多项式系数所在数域有关
如： x 4 4 x 2 2
x2 2
2
2
（在有理数域上）
x 2 x 2
x 2 x
（在实数域上）
x 2 x 2i x
如何判别一个多项式不可约
探索不可约多项式的 应用
除了在数学理论研究中的应用外 ，不可约多项式在实际应用中也 有着广泛的应用前景。例如，在 计算机科学、信息编码等领域中 ，不可约多项式可以用于构造一 些特殊的函数和编码。
推广判别不可约多项 式的方法
目前我们判别不可约多项式的方 法主要适用于有限域上的多项式 ，对于其他情况是否适用还需要 进一步的研究和探索。因此，推 广判别不可约多项式的方法也是 未来的一个研究方向。
判别二次多项式
对于形如 $ax^2 + bx + c$ 的二次多项式，如果判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 小于0 ，则该多项式不可约。
判别三次多项式
对于形如 $ax^3 + bx^2 + cx + d$ 的三次多项式，如果无法通过因式分解或使用其 他方法证明其不可约，则该多项式可能可约。
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不可约多项式是整环上的 不可约元，即它不能被其 他非零元素整除。
不可约多项式在整环中是 不可约元，因此它在整环 中是不可约的。
不可约多项式是素数，即 它没有除了1和自身以外 的因数。
不可约多项式在整环中是 不可约的，因此它在整环 中是不可约的。
03
判别多项式不可约的方法
辗转相除法
辗转相除法是一种通过连续除法来判别多项式是否可约的方法。
数学研究
判别多项式是否可约在数学领域 具有重要研究价值，有助于深入 理解多项式的性质和结构。
算法设计
在实际应用中，多项式不可约的 判别方法可以用于设计高效的算 法，例如在符号计算、数值分析 等领域。
教育教学
对于学习数学的学生来说，掌握 多项式不可约的判别方法有助于 提高数学素养和解题能力。
高等代数自学总结,多项式
定理 2
任给 a,b 属于 Z，b≠0，则存在唯一的一对整数 q,r，使得 .a=qb+r. 0≤r＜|b|
4 3 2
例：1 设 f(x)=x +2x -5x+7,g(x)=x -3x+1,用 g(x)去除 f(x)，求商式和余式。 2 设 f(x)=x -x +4x +a1x+a0，g(x)=x +2x-3，求 g(x)整除 f(x)的充要条件 3 用综合除法求 x+3 除 f(x)=2x -x +5x-3 的商式和余式 4.求下述λ-矩阵的一个相抵标准型
0 0 .. 解：令 H 0 0 0
这表明 A kI cH是可逆矩阵， 并且 A-1 1 c c2 c n 1 I - 2 H 3 H 2 ... (1) n 1 n H n 1 k k k k 感悟：求逆矩阵，不仅 可以用初等变换法，还 可以用一元多项式环的 通用性质。
各数域上的不可约多项式 （复系数多项式唯一因式分解定理） 每一个次数大于 0 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积。 （实数域多项式唯一因式分解定理） 每一个次数大于 0 的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次因式乘积。 （△＜0）
中国剩余定理 设m1 , m2 ,..., ms是两两互素的正整数， b1 , b2 ,..., bs是任意给定的 s个整数。 则同余方程组 （ ） x b 1 mod m1 x b （ 2 mod m2） ....................... （ s mod ms） x b 在Z中必有解，如果 c和d是两个解，那么 c d（ mod m1m2 ...ms） 命题1，设f ( x), g ( x) K [ x]，则 deg( f g ) max ｛deg f , deg g｝ deg( fg ) deg f deg g （f与g和差的次数小于等于它 们的较大次数 f与g积的次数 f与g次数的和） 两个非零多项式 (乘积的首项)等于这两个多项式 (首项的乘积） .
不可约多项式
4 f x x 4 在 Q x , R x , C x 求 例 2：
f x x 2 2 x 2 2 ; 解： 在Q上：
在R上：f x x 2 x 2 x 2 2 ;
Байду номын сангаас
则有① r=s； ② 适当调整 q j x 的位置后，有
qi x ci pi x ,
i 1, 2, , r
）
证（对分解式中的因式个数用数学归纳法证明）： 当r=1时，结论显然成立。 假设当 f x 分解成r-1个不可约因式时结论成立， 则当 f x 分解成r个因式时，有
还是采用辗转相除法。
问：如何求 f x 的标准分解式？ 在 Q x, R x 中的标准分解式。
2 即有 x 1 f x 。
例 1：
4 2 f x x 3 x 2, 求
解： 利用带余除法，知 x 1, x 1 都是 f x 的因式，
在Q x 上
q1 c1 p1 p2 ( x) pr ( x) c1q2 x qs x
1 1 1 2
由归纳假设知，这时有r-1=s-1。 故r=s，且
q2 c c p c2 p2 , qi ci pi , i 3,4,, r
故
qi ci pi , i 1,2,, r
若不计零次多项式的差异和因式的顺序，f x 分解 成不可约因式的乘积分解式是唯一的，此即若有两 个分解式：
f x p1 x p2 x pr x ,
f x p1 x p2 x pr x q1 x q2 x qs x .
上不可约多项式的判断和寻找
4. 欧拉函数
定义4.1：对于n 1,令 表示 [1,n]内与n互素的整数个数。 定义 函数Φ称为欧拉函数。 性质4.1：对所有n ≥ 5的整数，有 性质 . Φ ( n) > n
≥
Φ (n )
(6 ln(ln n))
F 性质4.2： q 是一个阶q-1为的循环群。因此对任意 a ∈ Fq 性质q 有 a = a。 性质4.3：设 f ( x) ∈ Z p [ x] 是次数为 m 的不可约多项式，则 性质 Z p [ x] f ( x)是一个阶为 p m 的有限域，多项式的加法与乘法 是模 f (x) 的运算。 性质4.4：对每一个m ≥ 1,在 Z p 中存在一个次数为m的首一 性质 不可约多项式。所以，每一个有限域都有一个多项式基表 示。
随机生成一个上的首一不可约多项式
算法7.2 算法
输入: 输入: 素数 p 和正整数 m . 输出: 输出: Z p [x]中次数为 m 的首一不可约多项式 f ( x ) . 1.重复如下操作 重复如下操作: 1.重复如下操作: 的一个首一多项式) 1.1 (随机生成 Z p [x] 中的次数为 m 的一个首一多项式) 在0和p-1之间随机选择整数 a0 , a1 , a2 ,L , am −1 , a0 ≠ 0. f (x ) f (x) = xm + a(m −1)xm−1 +L+ a2x2 + a1x + a0 . 设 是多项式 用算法1.5测试f(x) 1.5测试f(x)是否在 上不可约. 1.2 用算法1.5测试f(x)是否在 Z p 上不可约.直到找到一 个不可约的 f ( x ) . 2.返回 2.返回 ( f ( x )) .
.
pk
(
i
在f2上次数为2的不可约多项式
在f2上次数为2的不可约多项式在F2上次数为2的不可约多项式。
在有限域F2上，次数为2的不可约多项式是非常重要的。
F2是一个包含两个元素的有限域，通常用0和1来表示。
在这个有限域上，不可约多项式在很多领域都有着重要的应用，比如在编码理论、密码学和计算机科学中。
一个次数为2的多项式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是F2上的元素。
不可约多项式指的是在F2上不能被分解为两个次数小于2的多项式的多项式。
换句话说，不可约多项式在F2上不能被分解为两个线性因子。
一个经典的次数为2的不可约多项式是f(x) = x^2 + x + 1。
这个多项式在F2上不可约，因为它不能被分解为两个次数小于2的多项式。
事实上，在F2上，任何次数为2的不可约多项式都可以写成这个形式。
不可约多项式在很多领域都有着重要的应用。
在编码理论中，它们被用来构建循环码和布尔函数，这些码和函数在数据传输和纠
错码中起着关键作用。
在密码学中，它们被用来构建伪随机数生成器和密码系统。
在计算机科学中，它们被用来设计高效的算法和数据结构。
总的来说，次数为2的不可约多项式在F2上具有重要的理论和应用价值。
它们的研究不仅对数学理论有着重要意义，而且在现实世界中也有着广泛的应用。
如何判别一个多项式不可约
(1)p不能整除an； (2)p|a0,a1,┅,an-1； (3)p2不能整除a0； 那么，f(x)在有理数域上不可约。
单位元，结合律，交换律，逆元，零元， 分配律
同态，同构
2.相容
设“~”为S上的等价关系，“*” 为S上 的二元运算。若对任意a,b,c,dS，当a~b， c~d时，必有ac~bd，则称等价关系~与 运算 是相容的，称~为代数系统[S;]的 相容等价关系。
3.半群，拟群，群
有关定理
4.元素的阶和群的阶
定义,结论
5.子群与陪集 概念,定理,陪集的实质 正规子群 6.商群与群同态基本定理 7.环的基本概念 环的零元,环的单位元,交换环 在环中讨论元素可逆 1-un=(1-u)(1+u+u2++un-1) 8.特征数 整环的特征数 9.子环，理想，商环 主理想,主理想环 10.多项式环
定 理 2( 艾 森 斯 坦 (Eisenstein) 判 别 法 ) ： 设 f(x)=a0+a1x+…+anxn 是 整 系 数 多 项 式 ， 若 能 找到一个素数p，使得
(1)p不能整除an； (2)p|a0,a1,┅,an-1； (3)p2不能整除a0； 那么，f(x)在有理数域上不可约。
5.本原元与本原多项式 有关定理和结论的证明 GF(pn)的表述,化简 求出所有本原元,本原多项式
已知为GF(pn)上的本原元，怎样求出 GF(pn)上的所有本原元？
三元域上所有3次不可约多项式
一、概述在数学领域中，多项式是一种非常基本且重要的数学对象，它们在代数、几何、分析等多个数学分支中都有着广泛的应用。
在三元域上，寻找所有的3次不可约多项式是一个经典的问题，它不仅具有理论意义，而且对于实际问题的解决也有着重要的意义。
本文将对三元域上所有3次不可约多项式进行系统的研究和讨论。
二、三元域上的不可约多项式在数学中，不可约多项式是指不能分解为两个次数更低的多项式的乘积的多项式。
在三元域上，我们希望研究所有的3次不可约多项式。
这些多项式在代数学、密码学等领域中具有着重要的应用价值。
三、3次不可约多项式的构造为了寻找所有的3次不可约多项式，我们可以利用一些基本的方法和定理来进行构造和判断。
我们可以利用 Eisenstein 判据来判断一个多项式是否为不可约多项式。
我们可以利用模运算来进行判断，如果对于给定的三元域上的素数，给定的多项式模这个素数不具有重根，则该多项式是不可约的。
我们也可以利用分解法来寻找不可约多项式的构造方法。
四、三元域上的3次不可约多项式的性质在研究三元域上的不可约多项式时，我们也需要研究它们的性质。
它们的根的性质、它们的因子分解等方面的性质都是非常重要的。
通过研究这些性质，我们可以更深入地理解这些多项式在三元域上的特点。
五、三元域上3次不可约多项式的应用我们还可以讨论三元域上的3次不可约多项式的应用。
它们在密码学中的应用、它们在代数学中的应用等方面都是非常重要的。
通过研究这些应用，我们可以更好地理解这些多项式的意义和价值。
六、总结研究三元域上的3次不可约多项式是一项重要而又有挑战性的课题。
通过系统的构造、研究它们的性质以及探讨它们的应用，可以更好地理解它们在数学领域中的重要性。
希望本文的研究能够对进一步的研究和应用提供一定的参考和帮助。
三元域上的3次不可约多项式的构造是一个复杂而又富有挑战性的问题。
通过使用不同的方法和技巧，我们可以找到许多3次不可约多项式的例子，并且逐步理解它们的性质和特点。
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不同域上的不可约多项式不同域上的不可约多项式摘要：判断一个多项式是否可约是很困难的，在前人的基础上，采用了类比分析的方法，讨论了复数域、实数域、有理数域、有限域上的不可约多项式的状况，对不可约多项式进行了比较完善的总结归纳。
关键字：复数域实数域有理数域有限域不可约多项式中图分类号：O151Irreducible polynomials in the different fields Abstract:It is difficult to judge a polynomial irreducible.In this paper,we discuss the irreducible polynomials in the real number field, complex field,rational number field and finite field.This is a more perfect summary about irreducible polynomials.What is more,this is a simply analysis about irreducible polynomials.Key Words:Complex field Real number field Rational number field Finite field Irreducible polynomials不同域上的不可约多项式1、前言一个多项式是否不可约是依赖于系数域的，虽然因式分解定理在理 论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的，即使只是判别一个多项式是否可约都很困难。
所以我们只能在不同的域上讨论多项式是否不可约。
本文主要在前人研究的基础上，将复数域、实数域、有理数域、有限数域上的多项式是否可约的问题进行归纳，采用类比分析的方法进行总结。
2、因式分解定理及唯一性定理定理[]11 数域P 上每个次数1≥的多项式()f x 都可以唯一地分解成 域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式1212()()()()()()()s t f x p x p x p x q x q x q x ==那么必有s t =，并且适当排列因式的次序后有()(),1,2,,i i i p x c q x i s ==，其中(1,2,,)i c i s =是一些非零常数.因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一些具体的分解多项式的方法。
实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的。
接下来将讨论复数域、实数域、有理数域、有限域上的多项式的是否可约。
3、复系数多项式定理[]12（代数基本定理） 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中至少有一根。
定理[]13（复系数多项式因式分解定理）每个次数1≥的复系数多项式在1复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的。
4、实系数多项式定理[]14（实系数多项式因式分解定理） 每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一的分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.由此可知，实数域上的不可约多项式有一次多项式和某些二次多项式（判别式小于0）。
5、有理系数多项式每个次数1≥的有理系数多项式都能唯一的分解成不可约的有理系数多项式的乘积。
但是对于任意一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与实数域、复数域不同的。
5.1 艾森斯坦（Eisenstein ）判别法定理[]15（Eisenstein 判别法） 设1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++是一个整系数多项式，如果存在素数p 使得 011(1),,,;n p a p a p a -(2)p |/n a ；2)3(p |/0a 那么()f x 在Q 上不可约证明：若()f x 在有理数域上可约，则()f x 在Z 上可约，即存在整系数多项式2 01(),k k g x b b x b x =+++ 01(),l l h x c c x c x =+++使得 ()()(),f x g x h x =其中 ,,.k l n k n l n +=<<因为200000,|,|,a b c p a p a =/所以0b 与0c 不能同时被p 整除 不妨设00|,|.p b p c /因为,|n k l n a b c p a =/，所以|k p b /.设 011|,|,,|,|(1).s s p b p b p b p b s k -≤≤/考察等式011110.s s s s s a b c b c b c b c --=++++由于01111|,|()s s s s p a p b c b c b c --+++，所以0|s p b c ，这与0|,|s p b p c /矛盾，故()f x 在()Z x 中不可约，因而在[]Q x 中不可约（证毕）对任意正整数,2n n x +都是Z 上不可约多项式，从而[]Z x （及[]Q x ）中存在任意次数的不可约多项式.5．2艾森斯坦因（Eisenstein ）判别法的变式一般地对()()f x Z x ∈，常作变换x ay b =+,则()()()f x f ay b f y =+=,很显然()f x 与()g y 在[]Q x 上具有相同的可约性.有时候对于某个多项式不能直接应用Eisenstein 判别法，可以把它进行如上适当变形后，再应用这个判别法。
例如：设P 是一个素数，多项式12()1p p f x x x x --=++++叫做一个分圆多项式，证明()f x 在[]Q x 中不可约。
3 证明：因为011n a a a ====，所以不存在这样的素数P 满足Eisenstein 判别法的条件，但是如果我们令1x y =+，则由于(1)()1n x f x x -=-111(1)(1)1p p p p p p yf y y y C y C y --+=+-=+++令()(1)g y f y =+，于是1121()p p p p pg y y C y C ---=+++ 由Eisenstein 判别法，()g y 在有理数域上不可约，所以()f x 也在有理数域上不可约。
5．3艾森斯坦因（Eisenstein ）判别法的等价定理定理[]26 假如2012()[]n n f x a a x a x a x Z x =++++∈是整系数多项式，如果存在一个素数P ，使得；2011)|;2),|,,|;3)|n n p a p R p a p a p a ∈//，则()f x 在[]Q x 上不可约。
定理[]37 设2012()[]n n f x a a x a x a x Z x =++++∈为次数大于3的整系数多项式，且()f x 无有理根存在，如有整数P 使得1）200||P a a /，P ； 2）122||,,|n P a p a p a -，；3）1|n p a -/ 则()f x 在整数环上一定不可约证明：这里仅考虑()f x 为本原多项式的情形反设()f x 在整数环上可约，其分解式为：110101()()()l l m m m m l l f x b x b x b c x c x c ----=++++++其中 110()l l l l g x b x b x b --=+++110()m m m m h x c x c x c --=+++ 均为本原多项式，且,,l m n m l n <+=，从而111n l m l m a b c b c ---=+，000a b c =由已知000|p a b c =，而20|p a /，所以不妨设：0|p b ，而0|p c /，又因为1|n p a -/，所以p 不能同时整除l b 及1l b -，不妨设01,,,l b b b 中第一个不能被p 整除的数是k b ，即011|,,,k p b b b -，而|k p b /其中1k l n ≤≤<下面分两种情况讨论：1） 当1k l n ==-时 可证1m =从而1212010()()()n n n n f x b x b x b c x c ----=++++可得()f x 有有理根，此题与题设矛盾，同理可证1k ≠2） 当11k n <<-时考虑()f x 中k x 的系数： 0110k k k k a b c b c b c -=+++ 由设011|,|,,,k k p a p b b b -及，所以0|k p b c ，而0|,|k p c p b //，所以0|k p b c ，这是一个矛盾！另当00|,|p c p b /时，同理可证矛盾！ 所以()f x 在整数环上不可约，证毕。
5.4多项式的复根与其不可约性由代数基本定理，[]Z x 中n 次多项式在复数域中有n 个根，通过系数多项式在复数域上的分解的信息也能帮助判断其在整数多项式上的不可约性。
定理[]48 设1110()...[]n n n n f x a x a x a x a Z x --=++++∈满足10...1,n n a a a a ++<<+（1）则()f x 在Z 上不可约(从而在Q 上不可约)．证明：()f x 的复根的模均大于1。
实际上，设()f x 有根α满足1α≤，则011......nn n a a a a a αα≤++≤++，与（1）矛盾。
现在假设()f x 在Z 上可约，即存在整系数多项式1110()...r r r r g x b x b x b x b --=++++1110()...s s s s h x c x c x c x c --=++++使得()()()f x g x h x =，则000a b c =另一方面，记()g x 的复根为12,,......,r ααα它们都是()f x 的根，故1(1,2,...,)j j r α≥=。
结合韦达定理得出01...r r r b b a a b =⋅>，即01r b b ≥+。
同理，01s c c ≥+，于是000(1)(1)r s a b c b c =≥++11r s r s r s b c b c b c =+++≥+1n a =+与（1）矛盾，故()f x 在Z 上不可约。
令1()()n F x x f x=，则()f x 在Z 上可约显然等价于()F x 在Z 上可约。