不同域上的不可约多项式

不同域上的不可约多项式

不同域上的不可约多项式

摘要：判断一个多项式是否可约是很困难的，在前人的基础上，采用了类比分析的方法，讨论了复数域、实数域、有理数域、有限域上的不可约多项式的状况，对不可约多项式进行了比较完善的总结归纳。

关键字：复数域实数域有理数域有限域不可约多项式

中图分类号：O151

Irreducible polynomials in the different fields Abstract:It is difficult to judge a polynomial irreducible.In this paper,we discuss the irreducible polynomials in the real number field, complex field,rational number field and finite field.This is a more perfect summary about irreducible polynomials.What is more,this is a simply analysis about irreducible polynomials.

Key Words:Complex field Real number field Rational number field Finite field Irreducible polynomials

不同域上的不可约多项式

1、前言

一个多项式是否不可约是依赖于系数域的，虽然因式分解定理在理 论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的，即使只是判别一个多项式是否可约都很困难。所以我们只能在不同的域上讨论多项式是否不可约。

本文主要在前人研究的基础上，将复数域、实数域、有理数域、有限数域上的多项式是否可约的问题进行归纳，采用类比分析的方法进行总结。

2、因式分解定理及唯一性定理

定理[]11 数域P 上每个次数1≥的多项式()f x 都可以唯一地分解成 域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式

1212()()()()()()()s t f x p x p x p x q x q x q x ==

那么必有s t =，并且适当排列因式的次序后有()(),1,2,,i i i p x c q x i s ==，

其中(1,2,,)i c i s =是一些非零常数.

因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一些具体的分解多项式的方法。实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的。接下来将讨论复数域、实数域、有理数域、有限域上的多项式的是否可约。

3、复系数多项式

定理[]12（代数基本定理） 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中至少有一根。

定理[]13（复系数多项式因式分解定理）每个次数1≥的复系数多项式在

1

复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.

由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的。

4、实系数多项式

定理[]14（实系数多项式因式分解定理） 每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一的分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.

由此可知，实数域上的不可约多项式有一次多项式和某些二次多项式（判别式小于0）。

5、有理系数多项式

每个次数1≥的有理系数多项式都能唯一的分解成不可约的有理系数多项式的乘积。但是对于任意一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与实数域、复数域不同的。

5.1 艾森斯坦（Eisenstein ）判别法

定理[]15（Eisenstein 判别法） 设1011()n n n n f x a a x a x a x --=++

++是

一个整系数多项式，如果存在素数p 使得 011(1),,

,;n p a p a p a -

(2)p |/n a ；

2)3(p |/0a 那么()f x 在Q 上不可约

证明：若()f x 在有理数域上可约，则()f x 在Z 上可约，即存在整系数多项式

2 01(),k k g x b b x b x =+++ 01(),l l h x c c x c x =+++

使得 ()()(),f x g x h x =其中 ,,.k l n k n l n +=<<

因为200000,|,|,a b c p a p a =/

所以0b 与0c 不能同时被p 整除 不妨设00|,|.p b p c /

因为,|n k l n a b c p a =/，所以|k p b /.设 011|,|,,|,|(1).s s p b p b p b p b s k -≤≤/考察等式

011110.s s s s s a b c b c b c b c --=++++

由于01111|,|()s s s s p a p b c b c b c --+++，所以0|s p b c ，这与0|,|s p b p c /矛盾，故()f x 在()Z x 中不可约，因而在[]Q x 中不可约（证毕）

对任意正整数,2n n x +都是Z 上不可约多项式，从而[]Z x （及[]Q x ）中

存在任意次数的不可约多项式.

5．2艾森斯坦因（Eisenstein ）判别法的变式

一般地对()()f x Z x ∈，常作变换x ay b =+,则()()()f x f ay b f y =+=,很显然()f x 与()g y 在[]Q x 上具有相同的可约性.

有时候对于某个多项式不能直接应用Eisenstein 判别法，可以把它进行如上适当变形后，再应用这个判别法。

例如：设P 是一个素数，多项式12()1p p f x x x x --=++

++叫做一个分

圆多项式，证明()f x 在[]Q x 中不可约。