2022届中考数学压轴难题附答案

2022年中考数学压轴题

1．抛物线y=1

4x

2﹣3mx+2m+1与x轴正半轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴正半

轴交于点C，且OA＝OC．

（1）抛物线的解析式为y=1

4x

2−3

2x+2（直接写出结果）；

（2）如图1，D为y轴上一点，过点D的直线y=1

2x+n交抛物线于E，F，若EF＝5√3，

求点D的坐标；

（3）将△AOC绕平面内某点逆时针旋转90°至△A'O'C'（点A，C，O的对应点分别为A'，C'，O'），若旋转后的△A'O'C'恰好有一边的两个端点落在抛物线上，请求出点A'的坐标．

解：（1）点C（0，2m+1），OA＝OC，则点A（2m+1），

将点A的坐标代入抛物线的表达式并解得：m=1 2，

故抛物线的表达式为：y=1

4（x

2﹣6x+8）=1

4x

2−3

2x+2…①，

故答案为：y=1

4x

2−3

2x+2；

（2）由抛物线的表达式知，点A、C的坐标分别为：（2，0）、（0，2），则点D（0，n），设点E、F的纵坐标为：a，b，

联立①与直线EF的表达式并整理得：x2﹣8x+8﹣4n＝0，

则a+b＝8，ab＝8﹣4n，

设直线EF的倾斜角为α，则tanα=1

2，则cosα=√5，

则b﹣a=

EF

cosα

=2√15，

（b﹣a）2＝（a+b）2﹣4ab＝64﹣4（8﹣4n）＝（2√15）2，解得：n=7 4，

故点D 的坐标为：（0，74）；

（3）将△AOC 绕平面内某点逆时针旋转90°至△A 'O 'C '（点A ，C ，O 的对应点分别为A '，C '，O '），

若旋转后的△A 'O 'C '恰好有一边的两个端点落在抛物线上，如图所示，

①当A ′C ′在抛物线上时（左侧图），

设点A ′（x ，y ），则点C ′（x ﹣2，y ﹣2），

将点A ′、C ′的坐标代入抛物线表达式得：

y =14（x 2﹣6x +8），y ﹣2=14

[（x ﹣2）2﹣6（x ﹣2）+8）]，

解得：x ＝6，y ＝2，故点A ′（6，2）；

②当O ′C ′在抛物线上时（右侧图），

由图象可得：点A ′（4，2）；

综上，点A ′的坐标为：（6，2）或（4，2）．

2．已知抛物线y ＝a （x ﹣1）（x ﹣3）（a ＜0）的顶点为A ，交y 轴交于点C ，过C 作CB ∥x 轴交抛物线于点，过点B 作直线l ⊥x 轴，连结OA 并延长，交l 于点D ，连结OB ．

（1）当a ＝﹣1时，求线段OB 的长．

（2）是否存在特定的a 值，使得△OBD 为等腰三角形？若存在，请写出a 值的计算过程；若不存在，请说明理由．

（3）设△OBD 的外心M 的坐标为（m ，n ），求m 与n 的数量关系式．

解：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），

则点C（0，3a）、函数的对称轴为：x＝2，则点B（4，3a），点A（2，﹣a），点D（4，﹣2a）；

（1）点B（4，﹣3），故OB＝5；

（2）OD2＝16+4a2，OB2＝16+9a2，BD2＝25a2，

①当OD＝OB时，即16+4a2＝16+9a2，解得：a＝0（舍去）；

②当OD＝BD时，同理可得：a=−4√21

21（正值已舍去）；

③当OB＝BD时，同理可得：a＝﹣1（正值已舍去）；

综上，a＝﹣1或−4√21 21；

（3）线段OD的函数表达式为：y=−1

2ax，直线OD的中点为点A（2，﹣a），

则线段OD的中垂线的表达式为：y=2

a x+b，

将点A的坐标代入上式并解得：

线段OD的中垂线的表达式为：y=2

a x﹣a−

4

a

⋯①，

线段BD的中垂线的表达式为：y=1

2a…②，

联立①②并解得：x=3

4a

2+2＝m，y=1

2a＝n，

故m＝3n2+2．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1

3x

2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，

该抛物线的顶点为M，直线y=−1

2x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．

（1）求b的值及点M的坐标；

（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°；

（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）解：对于抛物线y=1

3x

2﹣2x，令y＝0，得到

1

3

x2﹣2x＝0，

解得x＝0或6，∴A（6，0），

∵直线y=−1

2x+b经过点A，

∴0＝﹣3+b，∴b＝3，

∵y=1

3x

2﹣2x=1

3（x﹣3）

2﹣3，

∴M（3，﹣3）．

（2）证明：如图1中，设平移后的直线的解析式y=−1

2x+n．

∵平移后的直线经过M（3，﹣3），

∴﹣3=−3

2

+n，

∴n=−3 2，

∴平移后的直线的解析式为y=−1

2x−

3

2，

过点D（2，0）作DH⊥MC于H，