线性代数课件--ch-1-3 拉普拉斯定理行列式的乘法公式

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§8拉普拉斯(Laplace)定理·行列式的乘法规则

这里 cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
∴ D = ( −1)
1+ 2+L+ n+ ( n+1)+L+ 2 n
cij ( −1) = cij
n
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列按照原来次序组成一个，称为行列级子式；式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级行列余子式；式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；
中所在的行、若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是
−1 2 = 5 A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 1 = 0 , 4 , 1 3 0 1 0 2 = 0 , A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 −1 = 0 . 6 0 3 0 1
4+1+1+ 3
∴ D = (−2) 1 + 0 (−2) + (−1) 5 + 2 0 + 6 0 + (−1) 0 = −7
又对D作初等行变换：又对作初等行变换：作初等行变换
ri = ai 1rn+1 + ai 2 rn+ 2 + L + ain r2 n , i = 1,2,L , n.

行列式的乘法公式

行列式的乘法公式行列式是线性代数中一个非常重要的概念，是矩阵运算中的一种特殊形式。

它在求解线性方程组、解析几何等领域中都有广泛的应用。

行列式的乘法公式是行列式运算中的一个基础公式。

行列式的乘法公式是指两个矩阵的行列式相乘等于它们的乘积的行列式。

具体来说，如果有两个n阶的矩阵A和B，那么它们的乘积C=AB也是一个n阶的矩阵，它们的行列式的乘积为：det(AB) = det(A) × det(B)这个公式虽然看似简单，却蕴含着很深的数学原理。

下面我们将对这个公式的背后的数学原理进行一些探究。

首先，我们需要知道，对于任意一个n阶矩阵A，它的行列式的定义是：det(A) = Σ(-1)^(i+j)aijMij其中，aij表示A矩阵中第i行第j列的元素，Mij表示A矩阵中除去第i行第j列的元素之后得到的(n-1)阶矩阵的行列式。

基于这个定义，我们可以把行列式的乘法公式转换成如下形式：det(A) × det(B) = Σ(-1)^(i+j)aijMij × Σ(-1)^(k+l)blkMkl我们把这个式子展开，可以得到：det(A) × det(B) = ΣΣ(-1)^(i+j+k+l)aijblkMijMkl这个式子的含义是，对于A、B矩阵的任意一个元素，算出它的值并乘以一个系数(-1)^(i+j+k+l)，然后把所有这些值加起来，就可以得到det(AB)的值。

这个系数(-1)^(i+j+k+l)的含义是，它保证了每个元素的符号都正确，并且保证了式子的所有项的符号都正确。

为什么行列式乘法公式成立呢？其实，这个公式的正确性可以从两个角度进行证明。

一个角度是几何意义，另一个角度是代数意义。

从几何角度来看，我们假设A、B矩阵都是n维空间中的线性变换，即它们将一个向量映射到另一个向量。

那么AB的作用就是将向量先由A映射到一个中间向量，然后再由B映射到最终向量。

此时我们可以想象，det(A)的作用是将单位体积的向量映射到另一个向量，det(B)的作用是将其映射到一个更小的单位体积的向量。

行列式乘法法则

基础步骤
首先验证$n=1$时，行列式乘法法则是否成立。
归纳假设
假设当$n=k$时，行列式乘法法则成立。
归纳步骤
证明当$n=k+1$时，行列式乘法法则也成立。
证明方法二：反证法
由于存在矛盾，所以行列式乘法法则成立。
根据行列式的性质和假设条件，推导出矛盾。
假设行列式乘法法则不成立。
反证假设
导出矛盾
行列式乘法法则
contents
目录
• 行列式乘法法则的概述 • 行列式乘法法则的证明 • 行列式乘法法则的实例 • 行列式乘法法则的扩展 • 行列式乘法法则的注意事项
01 行列式乘法法则的概述
定义与性质
定义
行列式乘法法则是线性代数中一个重要的法则，用于计算两个矩阵的乘积的行列式值。
性质
行列式乘法法则是可交换的，即 A×B=B×A，同时满足结合律，即 (A×B)×C=A×(B×C)。
04
```
三个三阶行列式的乘法
三个三阶行列式的乘法
| a11 a12 a13 |
```
例如
01
03 02
三个三阶行列式的乘法
| a21 a22 a23 |
| a31 a32 a33 |
| b11 b12 b13 ||
| b31 b32 b33 |
行列式乘法与线性变换的运算
线性变换的运算可以通过行列式乘法来实现，例如，一个矩阵乘以一个行列式可以表示一个线性变换作用于一个向量。
行列式乘法的几何意义
行列式乘法的结果可以表示一个线性变换后的新向量相对于原向量的方向和大小的变化。
行列式乘法与向量的关系
向量可以看作是行列式的特例
一个向量可以看作是一个1x1的行列式，因此，行列式乘法也可以应用于向量的运算。

拉普拉斯定理

例1 计算5阶行列式
1 2 0 0 1 0 1 2 3 0 D 1 3 0 0 0 0 2 2 1 0 0 3 4 1 3
解: 对D的第1,3 行用Laplace定理,在第1,3 行中不为零的二阶子式分别是
1 1 1 1 2 1 N1 1, N2 1, N3 3 2 3 1 0 3 0
它们各自对应的代数余子式是
2 3 0
1 2 3
A1 2 1 0 12, A2 2 2 1 6, A3 0 4 1 3 3 4 1
所以 D=12－6=6.
例2 计算2n阶行列式
a1 a2 an 1 D2 n bn 1 b2 b1 an bn bn an an 1 a2 a1 bn 1 b2 b1
解对的第n,n+1行应用Laplace定理（按第n, n+1 行展开）得
a1 a2 D2 n an bn bn an b2 b1
2 2 (an bn ) D2 n 2
b1 b2 an 1 bn 1 bn 1 an 1 a2 a1
利用这个递推关系式有定理拉普拉斯拉普拉斯定律拉普拉斯变换拉普拉斯定理行列式拉普拉斯展开定理拉普拉斯方程拉普拉斯算子陶哲轩拉普拉斯分布
*
拉普拉斯定理
定义1
在 n 阶行列式中，任取r 行 r 列
2
（ 1 k n}, 位于这些行列交叉处的r 个元素按原来的次序所构成的r阶行列式，称为行列式的一个r 阶子式.在 n 阶行列式中，划去某个r 阶子式M所在的行与列后 ,剩下的 n r 行 n r 列上的元也构成一个 n r阶子式N。我们称这一对子式 M与N互为余子式。
设r 阶子式M是由行列式中第 i1 , i2 ,, ir 行和第j1 , j2 ,, jr 列相交处的元也构成的，而且 N是M的余子式。则称带有正或负号

线性代数行列式课件

行列式与空间向量的关系
总结词
行列式可以用来表示空间向量的方向和大小。
详细描述
在三维空间中，行列式可以用来表示向量的方向和大小。通过行列式，我们可以计算出向量的模长以及向量的方向余弦值，从而确定向量的方向和大小。此外，行列式还可以用来表示向量的外积和混合积，进一步揭示了行列式与空间向量的关系。
END
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PART 05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
总结词
行列式在解决线性方程组问题中起到关键作用，通过克拉默法则，我们可以利用行列式值来求解线性方程组的解。
详细描述
在解决线性方程组问题时，克拉默法则是一个重要的工具。该法则指出，如果一个线性方程组中的系数行列式不为零，则该方程组有唯一解。通过计算系数行列式和将系数行列式设置为零，我们可以找到使方程组无解
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线性代数行列式课件
目录
• 行列式的定义与性质 • 行列式的展开定理 • 行列式的计算技巧 • 行列式在几何中的应用 • 行列式的应用实例
PART 01
行列式的定义与性质
行列式的定义
总结词
行列式是n阶方阵所有可能的二阶子方阵的行列式之积。
详细描述
行列式是由n阶方阵的元素构成的，按照一定的排列顺序形成的n阶方阵，其值是一个标量，表示n阶方阵的线性变换对单位体积的改变量。
行列式的性质
总结词
行列式的性质包括转置、交换、代数余子式等。
详细描述
行列式的一个重要的性质是转置，即把行列式的行变为列，得到的新的行列式的值与原行列式的值互为转置。交换行列式的两行，行列式的值变号。代数余子式是去掉一个子行列式后剩下的元素构成的行列式，其值等于原行列式值的负一倍。

拉普拉斯(Laplace)定理

行运用Laplace 定理结果．定理结果．为行列式 D 取定前 k 行运用
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
1 0 例1：计算行列式 D = 1 ： 0
M 1 = 1 2 = −2, 解： 1 0
2 1 4 −1 2 1 0 1 3 1 3 1 M 2 = 1 1 = 0, 1 1
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + ⋯ + ainbnj , i , j = 1,2,⋯ , n.
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
例2：证明齐次性方程组：
ax1 + bx2 + cx3 + dx4 bx1 − ax2 + dx3 − cx4 cx − dx − ax + bx dx1 + cx2 − bx3 − ax4 2 3 4 1
c d −a −b b −a d −c
d −c b −a c −d −a b d c −b −a
a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0 0 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 = 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
级子式与余子式、一、k 级子式与余子式、代数余子式
定义在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
k 2个元素 ( k ≤ n)，位于这些行和列的交叉点上的位于这些行和列的交叉点上的
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列按照原来次序组成一个，称为行列级子式；式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级行列余子式；式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；

拉普拉斯（Laplace）定理行列式的乘法规则

拉普拉斯（Laplace）定理行列式的乘法规则§8 拉普拉斯(Laplace)定理行列式的乘法规则一、拉普拉斯定理定义9 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列(n k ≤)，位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式.在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式.从定义立刻看出，M 也是M '的余子式.所以M 和M '可以称为D 的一对互余的子式.例1 在四级行列式310120012104121-=D中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M ：1042=M ,M 的余子式为1020='M .例2 在五级行列式555453525125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a D=中454342252322151312a a a a a a a a a M =和54513431a a a a M =' 是一对互余的子式.定义10 设D 的k 级子式M 在D 中所在的行、列指标分别是k k j j j i i i ,,,;,,,2121 ，则M 的余子式M '前面加上符号)()(2121)1(k k j j j i i i +++++++- 后称做M 的代数余子式.因为M 与M '位于行列式D 中不同的行和不同的列，所以有下述引理行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项，而且符号也一致.定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式D 中任意取定了k (11-≤≤n k )个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .例3 利用拉普拉斯定理计算行列式131310112104121-=D从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用.二、行列式的乘积法则定理7 两个n 级行列式nnn n nn a a a a a a a a a D2122221112111=和nn n n nn b b b b b b b b b D 2122221112112=的乘积等于一个n 级行列式nnn n nn c c c c c c c c c C212222111211=,其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与2D 的第j 列的对应元素乘积之和：∑==+++=nk kj ik nj in j i j i ij b a b a b a b a c 12211 .这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章§3中就完全清楚了.。

线性代数课件--ch-1-3 拉普拉斯定理行列式的乘法公式

称对行列式 D 应用拉普拉斯定理为将行列式 D 按某
k 个行展开．
假如把行换成列，则称将行列式 D 按某 k 个列展开．
North University of China
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例 2 计算五阶行列式
56000 15600 D 0 1 5 6 0. 00156 00015 解在 D 的前二行中，所有二阶子式共有 10 个，但其中只有
a b cd
b a d c
D
.
c d a b
d c b a
解首先，根据行列式的性质，DT D ，其次，
a b c d a b c d D2 DDT b a d c b a d c
c d a b c d a b d c b a d c b a
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在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按原来相应位置组成的n k 阶行列式 M ，称为子式 N 的余子式．
称(1)(i1i2 ik )( j1 j2 jk ) M 为 N 的代数余子式．
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例 1 在四阶行列式
解先按第 n ，n 1行展开，得
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a
b
ab D ba
b
ab ba
n 1行 n 1行 a
再将上式右边的2n 2阶行列式，按第n 1 ，n 行展开，得
a
b
n 2 行
a ba b
ab
D
b ab a
ba
Байду номын сангаас

拉普拉斯定理行列式乘法课件

结构
课件将按照知识点介绍、例题解析、练习与测试的顺序展开，确保内容的连贯性和完整性。
02
拉普拉斯定理详解
拉普拉斯定理定义
定义
拉普拉斯定理是一种关于行列式的展开定理，它建立了n阶行列式与其子行列式之间的关系。
定理表述
在一个n阶行列式中，任取k行、k列（k≤n），则由这k行、k 列元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积之和等于行列式的值。
04
拉普拉斯定理在行列式乘法中应用
利用拉普拉斯定理简化计算过程
定理内容
拉普拉斯定理是行列式展开定理的推广，可用于简化行列式的计
算过程。
展开方式
通过选取适当的行或列进行展开，将复杂行列式化为简单行列式的和，降低计算难度。
应用实例
通过具体实例展示如何利用拉普拉斯定理简化行列式的计算过程，包括数值型行列式、字母型行列式等。
应用实例
通过具体实例展示克拉默法则在解决实际问题中的应用，如工程问题、经济问题等。同时，强调克拉默法则与拉普拉斯定理之间的联系与区别。
05
总结与回顾
关键知识点总结
拉普拉斯定理
01
描述了如何从一个大行列式中根据所选的行和列挑选出一些小
行列式，并将它们组合在一起得到原行列式的展开式。
行列式乘法的性质
行列式乘法简介
行列式乘法原则
行列式乘法遵循一定的原则，包括行列式相乘、对应元素相乘等，用于求解两个行列式的乘积。
注意事项
行列式乘法需要注意符号的确定、元素的对应关系以及计算过程中的化简等。
课件目的与结构
目的
本课件旨在帮助学生理解和掌握拉普拉斯定理及行列式乘法的原理和应用，提高解题能力。

拉普拉斯定理与行列式的乘法

c12 c22 ... b12 b22 ...
... c1n ... c2 n ... ...
cn 2 ... cnn ... b1n ... b2 n ... ...
− 1 0 ... 0 − 1 ... ... 0 ... 0 ...
... − 1 bn1 bn 2 ... bnn
其中 cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + ainbnj (i, j = 1,2,..., n).把上面的行列式按前n行展开由拉普拉斯定理,得面的行列式按前行展开,由拉普拉斯定理得行展开由拉普拉斯定理
按第1,2两行展开.
1 D = 0 0
2 c 4 =6个2阶子式: 解: 由第1,2两行可以得到
2 1 2 0 2 0 s1 = = 3, s2 = = 2, s3 = = 0, 1 2 1 1 1 0 s4 = 1 0 2 1 = 1, s5 = 1 0 2 0 = 0, s6 = 0 0 1 0 = 0.
证明:
作2n阶行列式
a11 a21 ...
a12 a22 ...
... a1n ... a2 n ... ... 0 0 ...
0 0 ... 0 b11 b21 ...
0 0 ... 0 b12 b22 ...
... ... ... ...
0 0 ... 0
D=
an1 −1 0 ... 0
an 2 ... ann 0 ... − 1 ... ... 0 ... ...
定理2
的乘积等于一个n阶行列式
c11
c21 c22 ... c2 n D1 = , ... ... ... ... cn1 cn 2 ... cnn

拉普拉斯定理行列式的乘法规则

拉普拉斯定理行列式的乘法规则det(A) = ∑(−1)^(i+j) * a_ij * M_ij其中，det(A)表示矩阵A的行列式；a_ij表示矩阵A的第i行第j 列的元素；M_ij表示矩阵A的第i行第j列元素的代数余子式，它是将a_ij从矩阵中删去后所形成的(n-1) × (n-1)次方阵的行列式。

A=[a11,a12,a13][a21,a22,a23][a31,a32,a33]根据拉普拉斯定理，我们可以计算出该矩阵的行列式为：det(A) = a11 * M_11 - a12 * M_12 + a13 * M_13其中，M_11,M_12和M_13分别是由删去第1行第1列、第1行第2列和第1行第3列元素所形成的2×2次方阵的行列式。

以M_11为例，它的计算公式为：M_11=a22*a33-a23*a32类似地，可以计算出M_12和M_13的值。

将它们代入行列式的展开式中，即可得到方阵A的行列式的数值。

行列式的乘法规则是指两个方阵的行列式相乘的规则。

设有两个n × n的方阵A和B，它们的行列式分别为det(A)和det(B)，则它们的乘积的行列式为：det(A * B) = det(A) * det(B)这个规则的意义在于，可以通过行列式的乘积来求解两个矩阵的乘积的行列式。

在实际计算中，我们可以先计算两个矩阵的行列式，再将它们相乘，从而避免了直接计算矩阵乘积的复杂性。

行列式的乘法规则也可以用于计算矩阵的幂。

设有一个n × n的方阵A，它的行列式为det(A)，则A的k次幂的行列式为：det(A^k) = [det(A)]^k这个公式表明，矩阵的乘幂的行列式等于该矩阵的行列式的k次幂，用于快速计算矩阵的高次幂的行列式十分有效。

拉普拉斯定理和行列式的乘法规则在许多领域都有广泛的应用，特别是在线性方程组的求解中。

通过拉普拉斯定理，我们可以将线性方程组转化为行列式的计算问题，从而可以方便地求解线性方程组的解。

拉普拉斯定理

a1α1 a 2α 2 " a kα k a k +1, β k +1 a k + 2, β k + 2 " a nβ n
其前面所带符号为 (−1)τ (α1α 2 "α k ) +τ (( β k +1 − k )( β k + 2 − k )"( β n − k )) = (−1)τ (α1α 2 "α k β k +1β k + 2 "β n ) ，于是，这个乘积项是行列式 D 的展开式中的一项，而且符号也一致。下证一般情形：设子式 M 位于 D 的第 i1 、 i2 、…、 ik 行，第 j1 、 j 2 、…、 j k 列，其中 i1 < i2 < " < ik ；
1
a11 # D= ak1 a k +1,1 # a n1
" M " % "
a1k # a kk # a nk
a1,k +1 # a k ,k +1 a k +1,k +1 # a n ,k +1
" % "
a1n # a kn
" a k +1,k
" a k +1,n # M′ " a nn
此时， M 的代数余子式 A 为 A = (−1) (1+ 2+"+ k ) + (1+ 2+"+ k ) M ′ = M ′ M 的每一项可写作 a1α1 a 2α 2 " a kα k ，其中 α 1 、 α 2 、…、 α k 为 1、2、…、 k 的一个排列，其前面所带符号为 (−1)τ (α1α 2 "α k ) ；

拉普拉斯定理计算行列式

拉普拉斯定理计算行列式拉普拉斯定理是线性代数中用于计算行列式的一种方法。

它通过将行列式转化为更小的子行列式，从而简化计算过程。

拉普拉斯定理表述如下：设A是一个n阶矩阵，如果选择A的第i 行或第j列（其中1≤i≤n，1≤j≤n），记作A(i,j)，则行列式的值可以通过以下公式计算：|A| = (-1)^(i+j) * |A(i,j)|其中|A(i,j)|是删除第i行和第j列后留下的(n-1)阶子矩阵的行列式。

公式中的(-1)^(i+j)是符号因子，用来确保符合行列式的计算规则。

通过拉普拉斯定理，我们可以将一个较大的行列式逐步分解成较小的子行列式的和，从而简化计算过程。

对于较大的行列式，计算每个子行列式可能更加容易，而且可以利用递归的方法进行计算。

例如，考虑一个3阶矩阵A：A = [[a, b, c],[d, e, f],[g, h, i]]我们可以选择第1行进行计算。

根据拉普拉斯定理，行列式的值为：|A| = a * |A(1,1)| - b * |A(1,2)| + c * |A(1,3)|其中：|A(1,1)| = (e * i - f * h) 是去除第1行和第1列后剩余的2阶子矩阵的行列式；|A(1,2)| = (d * i - f * g) 是去除第1行和第2列后剩余的2阶子矩阵的行列式；|A(1,3)| = (d * h - e * g) 是去除第1行和第3列后剩余的2阶子矩阵的行列式。

通过计算这些子行列式的值，并将其带入原公式，我们就可以得到整个3阶矩阵A的行列式的值。

拉普拉斯定理为计算行列式提供了一种有效的方法。

它不仅在理论上给出了行列式的计算规则，而且在实际应用中也具有指导意义。

通过拉普拉斯定理，我们可以更快地计算出行列式的值，而无需进行复杂的初等变换或利用特殊属性。

总之，拉普拉斯定理是计算行列式的重要工具，它通过将行列式转化为更小的子行列式，简化了计算过程。

这个定理不仅在理论研究中具有重要意义，而且在实际应用中也大有用途。

线性代数课件--ch-1-3 拉普拉斯定理 行列式的乘法公式

§8拉普拉斯(Laplace)定理·行列式的乘法规则

行列式的乘法公式

行列式乘法法则

拉普拉斯定理

线性代数行列式课件

拉普拉斯(Laplace)定理

拉普拉斯（Laplace）定理行列式的乘法规则

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拉普拉斯定理与行列式的乘法

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拉普拉斯定理

拉普拉斯定理计算行列式

线性代数课件--ch-1-3 拉普拉斯定理行列式的乘法公式

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