含两个绝对值的线性目标函数
处理带有绝对值约束的问题的策略和技巧
处理带有绝对值约束的问题的策略和技巧在数值分析中，处理带有绝对值约束的问题通常需要一些特殊的技术和策略。
绝对值的存在使得问题可能不再是平滑的（即不可导），这增加了求解的复杂性。
以下是一些处理这类问题的方法：1. 转换为线性规划或二次规划问题在某些情况下，如果目标函数和约束都是线性的（或可以近似为线性），并且绝对值出现在约束中，那么可以尝试通过引入额外的变量和约束来将问题转换为标准的线性规划（LP）或二次规划（QP）问题。
例如，考虑以下带有绝对值约束的优化问题：minimize f(x)subject to |g(x)|≤ℎ(x)可以转换为：引入新变量y，使得y=|g(x)|，则原问题变为：minimize f(x)subject to y≥g(x),y≥−g(x),y≤ℎ(x)注意，这里的y是一个额外的决策变量，并且我们需要同时最小化f(x)和确保新约束的满足。
2. 使用罚函数法罚函数法是一种处理约束优化问题的常用技术，也可以用于处理带有绝对值约束的问题。
基本思想是将约束条件通过罚项加入到目标函数中，从而形成一个无约束的优化问题。
对于绝对值约束|g(x)|≤ℎ(x)，可以定义一个罚函数p(x)，例如：p(x)=max(0,|g(x)|−ℎ(x))2然后将原问题转换为：其中λ>0是一个罚参数，用于控制罚项对目标函数的影响。
随着求解过程的进行，可以逐渐增大λ以使解更接近满足原始约束。
3. 光滑化技术对于不可导的绝对值项，可以使用光滑化技术来近似它，从而得到一个可导的目标函数或约束条件。
一种常用的光滑化近似是：|x|≈√x2+ϵ其中ϵ>0是一个小的正数，用于控制近似的平滑度。
这种近似在x=0处是平滑的，并且随着ϵ趋于零，近似越来越接近真实的绝对值函数。
4. 松弛和逼近方法在某些情况下，如果直接处理绝对值约束过于复杂，可以考虑使用松弛或逼近方法来简化问题。
例如，可以将绝对值约束松弛为一个更宽松的约束（如线性约束），或者使用分段线性函数来逼近绝对值函数。
《管理运筹学》期中复习题答案
《管理运筹学》期中复习题答案标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-《管理运筹学》期中测试题 第一部分 线性规划 一、填空题 1．线性规划问题是求一个 目标函数 在一组 约束条件 下的最值问题。
2．图解法适用于含有 两个 _ 变量的线性规划问题。
3．线性规划问题的可行解是指满足 所有约束条件_ 的解。
4．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于 零 。
5．在线性规划问题中，基本可行解的非零分量所对应的列向量线性 无 关 6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的 顶点_ 达到。
7．若线性规划问题有可行解，则 一定 _ 有基本可行解。
8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其 可行解 的集合中进行搜索即可得到最优解。
9．满足 非负 _ 条件的基本解称为基本可行解。
10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰变量在目标函数中的系数为 正 。
11．将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入 松弛 _ 变量。
12．线性规划模型包括 决策变量 、目标函数 、约束条件 三个要素。
13．线性规划问题可分为目标函数求 最大 _ 值和 最小 _值两类。
14．线性规划问题的标准形式中，约束条件取 等 _ 式，目标函数求 最大 _值，而所有决策变量必须 非负 。
15．线性规划问题的基本可行解与基本解的关系是 基本可行解一定是基本解，反之不然16．在用图解法求解线性规划问题时，如果取得最值的等值线与可行域的一段边界重合，则 _ 最优解不唯一 。
17．求解线性规划问题可能的结果有 唯一最优解，无穷多最优解，无界解，无可行解 。
18.如果某个约束条件是“ ”情形，若化为标准形式，需要引入一个 剩余 _ 变量。
19.如果某个变量X j 为自由变量，则应引进两个非负变量X j ′ , X j 〞, 同时令X j ＝ X j ′ - X j 〞 j 。
多个绝对值相加求最小值的方法
多个绝对值相加求最小值的方法标题：如何求多个绝对值相加的最小值？在日常生活或数学问题中，我们经常会遇到需要求多个绝对值相加的最小值的情况。
当我们需要确定一组数中距离零点最近的数时，或者需要在一组数中找到和最接近某个特定值的数时。
本文将介绍一些方法和技巧，帮助你轻松求解多个绝对值相加的最小值。
1. 定义问题让我们从最基本的开始，明确问题的定义。
我们要求解的是如何求多个数的绝对值相加的最小值。
具体来说，就是给定n个数a1, a2, ..., an，我们要找到一组数x1, x2, ..., xn，使得表达式|x1-a1| + |x2-a2| + ... + |xn-an|的值最小。
这个问题其实可以抽象为一个优化问题，在一定约束条件下找到使目标函数最小化的解。
2. 穷举法一种直观的方法是利用穷举法，列举出所有可能的情况，然后逐一计算出最小值。
但是当n较大时，这个方法的时间复杂度会呈指数级增长，不太适用于大规模问题求解。
3. 贪心算法贪心算法是一种高效的方法，它通常适用于求解最优化问题。
在本问题中，我们可以利用贪心算法来求解多个绝对值相加的最小值。
具体来说，我们可以按照一定规则依次确定每个xi，使得每一步都是对整体最优的选择。
对于求解两个数a和b的绝对值相加的最小值，我们可以根据a和b的大小关系来确定x，使得|x-a|+|x-b|的值最小。
4. 动态规划动态规划是另一种常用的优化算法，它可以帮助我们高效地求解多个数的绝对值相加的最小值。
在本问题中，我们可以借助动态规划的思想，利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
具体来说，我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个数中选取j个数，使得其绝对值相加的和最小。
然后根据动态规划的状态转移方程逐步求解dp数组的值，最终得到最小值。
5. 个人观点和总结在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的方法来求解多个绝对值相加的最小值。
贪心算法适用于一些特殊情况，而动态规划则更适用于一般情况下的求解。
《运筹学》试题及答案(六)
值下降为 0
14.在我们所使用的教材中对单纯形目标函数的讨论都是针对 B 情况而言的。
映的关系和客观事物的内在联系。
四、把下列线性规划问题化成标准形式：
2、minZ=2x1-x2+2x3
五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产 A、B、C 三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量 以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：
根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为 200，250 和 100 件，最大月 销售量分别为 250，280 和 120 件。月销售分别为 250，280 和 120 件。 问如 何安排生产计划，使总利润最大。
B 使 Z 更小
C 绝对值更大
DZ
绝对值更小
12.如果线性规划问题有可行解，那么该解必须满足 D
A 所有约束条件 B 变量取值非负 C 所有等式要求 D 所有不
等式要求
13.如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在 D 集合
中进行搜索即可得到最优解。
A基
B 基本解
C 基可行解
D 可行域
A．基可行解的非零分量的个数不大于 mB．基本解的个数不会超过 Cmn 个 C．该
问题不会出现退化现象 D．基可行解的个数不超过基本解的个数 E．该问题的基
是一个 m×m 阶方阵
4．若线性规划问题的可行域是无界的，则该问题可能 ABCD
A．无有限最优解 B．有有限最优解 C．有唯一最优解 D．有无穷多个最优
本
解
为
基
可
行
解
9.线性规划问题有可行解，则 A
A 必有基可行解 B 必有唯一最优解 C 无基可行解
D无
高中数学 复数 排列组合二次项定理 线性规划素材
高中数学 复数 排列组合二次项定理 线性规划素材1．虚数单位数i 满足21i =-，且规定i 可以与实数在一起按实数的运算律进行四那么运算．i 叫做虚数单位．2．形如()a bi a b +∈R 、的数叫做复数．复数全体组成的集合叫做复数集，通常用字母C 表示．实数集R 是复数集C 的真子集，即R C ．定义了复数的加法和乘法运算后的复数集叫做复数系．3．单个复数常常用字母z 表示，即()z a bi a b =+∈R 、．把复数z 表示成a bi +时，叫做复数的代数形式，并规定00i =，0bi bi +=．a 与b 分别叫做复数z a bi =+的实部与虚部．复数z 的实部记作Re z ，复数z 的虚部记作Im z ．当0b =时，复数z a bi a =+=是实数；当0b ≠时，z 叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z a bi bi =+=叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 是实数0．4．复数相等：两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等．5．共轭复数：两个复数共轭，当且仅当它们的实部相等，虚部互为相反数，z 的共轭复数记为z ．6．建立了直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．复数z a bi =+所对应的点(),Z a b 到坐标原点的距离叫做复数z 的模〔或绝对值〕，记作z ．z a bi =+7．复数集C 中的元素与复平面上以原点为起始点的向量是一一对应的〔实数0与零向量对应〕，可以把复数z a bi =+看作点(),Z a b 或看作向量OZ ． 8．共轭复数与复数的模的性质：〔1〕2Re z z z +=；〔2〕2Im z z i z -=；〔3〕z z z ∈⇔=R ；〔4〕z z =；〔5〕2z z z ⋅=． 9．四那么运算法那么：加减法：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+± 乘除法：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++2222a bi ac bd bc adi c di c d c d ++-=++++〔以上a b c d 、、、均为实数〕 运算律：1221z z z z +=+，()()123123z z z z z z ++=++，1221z z z z ⋅=⋅，()()123123z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅，()1231213z z z z z z z +=+10．共轭复数运算性质：设1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅，2zz z =，1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可推广到n 个复数：1212n n z z z z z z +++=+++，1212n n z z z z z z ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，()nnz z =11．复数模的运算性质：11121222,,z z z z z z z z ==nn z z = 12．实系数一元二次方程()20,,0ax bx c a b c a ++=∈≠R 且在复数集中恒有解．当判别式240b ac ∆=-≥时，方程有实数解1,22b x a-=；当判别式240b ac∆=-<时，方程有一对共轭虚根2b x a =-．1．四个命题：〔1〕,a b ∈R ，那么a b +i 是虚数；〔2〕b ∈R ，那么b i 是纯虚数； 〔3〕z a =不是虚数；〔4〕14z <<，那么z 不是虚数．其中正确命题的个数是〔〕(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个2．以下结论中正确的选项是〔〕〔A 〕假设0,0,21222121===+∈z z z z C z z 则且〔B 〕假设,z a =那么 z a =± 〔C 〕22z z =〔D 〕()()1112--=-z z z3．如果α、C ∈β，假设022=+βα，那么 ( )(A) 0==βα (B) βα= (C)0≠=βα (D) αβ=±i排列、组合与概率、统计 1．加法原理和乘法原理加法原理：如果完成一件事有n 类办法，第1类办法中有1m 种不同的方法，第2类办法有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法有n m 种不同的方法， 那么完成这件事共有n m m m N +++= 21种不同的方法．乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第1步有1m 种不同的方法，第2步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法， 那么完成这件事共有n m m m N 21=种不同的方法． 2．排列与组合〔1〕从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列．〔2〕从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数，记作mn P ．〔3〕从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素组成一组，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合．〔4〕从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数，记作m n C ． 3．主要公式排列数公式：)!(!)1()2()1(m n n m n n n n P mn -=+-⋅⋅-⋅-⋅= )(n m ≤；!321n n P n n =⨯⨯⨯⨯= ；1!0=．组合数公式：)!(!!321)1()2()1(m n m n m m n n n n C mn -=⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅-⋅-⋅=)(n m ≤．组合数性质：〔1〕m n n m n C C -=)(n m ≤；〔2〕11-++=r n r n r n C C C )1(n r ≤≤．性质一的实际模型：六人中选两人和六人中选四人的情况是一样的。
取绝对值的函数
取绝对值的函数人们在数学中经常会遇到一些需要取绝对值的形式，这个过程被称为取绝对值函数，简称abs。
取绝对值的函数是指从一个数值中把它的相反数去掉，以获得一个绝对值，或把一个实数映射到一个非负实数上。
绝对值表示某个数值的总量，忽略它的正负号，例如abs(-4)等于4.一般来说，取绝对值的函数可以分为两类：离散取绝对值函数和连续取绝对值函数。
离散取绝对值函数由一系列数字组成，其中每一个数字都有一个对应的绝对值，比如abs(-2)等于2。
连续取绝对值函数则是由一段连续的函数定义的，用来把实数映射到非负实数上，比如abs(3.14)等于3.14。
取绝对值函数多用于线性代数、凸分析、机器学习等领域，也可用于构建多种凸优化问题，以实现最佳结果。
凸优化问题通常都有凸取绝对值函数为一个约束，其中凸取绝对值函数表示f（x） = |x| = max{x, -x}，其中x为实数。
绝对值函数有各种实现方式，比如C语言中可以使用fabs（x）函数来实现取绝对值，而Python语言中可以使用abs（x）函数来实现取绝对值。
在Python中，取绝对值的函数可以用作内置函数实现，也可以用作自定义函数实现。
例如，在Python中可以使用以下代码实现取绝对值函数：def myabs(x):if x >= 0:return xelse:return -x## 使用print(myabs(-3)) #回3其中myabs()函数首先判断参数x是否大于等于0，如果x大于等于0，则直接返回x；如果x小于0，则返回-x，从而实现取x的绝对值。
此外，取绝对值函数还可以用于求解多变量函数的极值问题。
多变量函数的极值问题指的是，给定一组变量，求这组变量在目标函数中的极值。
求解这种问题的方法之一是使用取绝对值函数，将函数转换为更易于求解的函数。
例如，可以将原函数f（x）=x2 + 5转换为取绝对值函数min {|x2 + 5|, x}，以求解其最小值。
第四章多目标规划模型
第四章 多目标规划模型多目标决策问题的理论基础之一是向量优化问题，也称多目标优化问题。
这类问题，从方法论的角度看，它是一个目标函数中具有向量值的数学规划问题；从决策论角度看，它又是决策规则中含有各个目标极值的决策问题。
因此，多目标决策问题属于向量优化问题。
向量优化问题的解与标量优化问题的解是不同的。
标量优化问题对任何两个函数的解，只要比较它们的两个函数值的大小，总可以从中找出一个最优解，且能排出它们的顺序；而多目标优化问题的解都是非劣解，且不是唯一的，究竟谁优谁劣，很难直接作出判断。
非劣解的概念是由经济学家pareto 于1896年提出的。
但是发展为向量优化问题的生成非劣解技术，还是在1951年Kuhn-Tucker 非劣性条件发表以后的事。
由于向量优化问题是在标量优化问题的基础上发展起来的，只要通过适当的途径将向量优化问题转化为标量优化问题，就可以利用求解标量优化问题的现有方法，求解具有一定特征的向量优化问题。
本章主要介绍有关向量优化问题的基本理论，如非劣解概念，特征非裂解的标量优化解法及非劣性的充要条件。
其中提到的许多概念和术语，在本书的后继章节中都是很有用的。
第一节、多目标规划基本概念与原理1.1非劣解概念设求解()x f 1和()x f 2两个目标的最大值，他们的可行解域如图4.1所示。
图中可行解域内部的各点数据，总是劣于可行域边界上的某点值。
这是因为内部的任一点，总可在边界上至少找出一个相应点，它的目标函数值不劣于内部这点所反映的目标函数值，而且至少有一个目标函数值优于内部这点的目标函数值。
图4.1 多目标非劣解集示意图例如，图中的C 点就劣于A 点和B 点之间任一点所反映的目标函数值。
所以，在优选中类似C 点的一些点可以舍去，并将这些可以舍去的解称为劣解。
但是可行域边界上各点所代表的解，就不能直接判断它们的优劣（如A 点、B 点就是这样）。
因为这些点中任一个与其他任一个相比较，总会发现一个目标函数值比其他另一个函数值优越，但又不是两个目标函数值都优越，否则其中的一个作为劣解而舍去。
含绝对值的解与不等式求解
含绝对值的解与不等式求解绝对值函数在数学中具有重要的应用价值，尤其是在解方程和不等式问题上。
本文旨在探讨含绝对值的解以及如何求解不等式。
一、含绝对值的方程解法对于形如|a|x + b| = c的绝对值方程，需要分别讨论x的取值范围，并找出满足条件的解。
下面将介绍两种常用解法。
1.1 分类讨论法当a为正数时，绝对值函数为增函数，因此可以将方程化简为两个线性方程来求解。
考虑到x的取值情况，可以得到以下两个方程：a*x + b = c x >= 0；-a*x - b = c x < 0。
解出以上两个方程可得到两组解，分别代入原方程中验证，得到最终的解集。
当a为负数时，绝对值函数为减函数。
同样可以将方程化简为两个线性方程来求解，但此时每个方程对应的x的取值范围相反：-a*x + b = c x >= 0；a*x - b = c x < 0。
解出以上两个方程可得到两组解，分别代入原方程中验证，得到最终的解集。
1.2 代数法求解对于一元绝对值方程|a|x + b| = c，可以将方程分解为两个方程：a*x + b = c 或 a*x + b = -c。
解出以上两个方程的解集分别为S1和S2，则原方程的解集为S1 ∪ S2。
二、含绝对值的不等式解法对于形如|a|x + b| < c的绝对值不等式，同样需要根据a的正负情况进行分类讨论。
2.1 分类讨论法当a为正数时，绝对值函数为增函数，可以将不等式化简为两个线性不等式：a*x + b < c x >= 0；-a*x - b < c x < 0。
解出以上两个不等式可得到两个解集，分别为S1和S2。
由于题目要求不等式的解集，因此需要求得S1 ∪ S2的交集。
当a为负数时，绝对值函数为减函数，将不等式化简为以下两个线性不等式：-a*x + b < c x >= 0；a*x - b < c x < 0。
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含两个绝对值的线性目标函数
1
z的理解昨天的文章《你有没有考试思维？》发表之后，微信昵称为“毛毛”的读者朋友问道：请问一下左老师，通法的最后一个步骤，z=|x|+|y|中的z有什么几何意义吗？
毛毛，
如果没有加绝对值，形如z=x+y这个类型的，你一定好理解. 令x=0,则y=z，所以z可以理解为直线的纵截距.
本题虽然加了绝对值，但是方法没有变.
令x=0,则z=|y|，即z为直线纵截距的绝对值.2
代数式几何意义的理解
其实，问题的关键在于对z=|x|+|y|所表示的图形的理解.
无独有偶，之前有微信昵称为“木木”的读者问到过相似的问题.老师您好，请教一个问题，|a-b|+2|a+b-1|=4，这个代表的区域为什么是一个平行四边形，怎么看呢？我觉得去绝对值，然后线性规划.
关键是不知道怎样去绝对值.
木木：
去绝对值的方法，从初中开始就没有变----讨论绝对值内部的正负.
本题虽然有两个变量，但是分类讨论的标准还是这样----这就
是通法.
两个绝对值的讨论，最终会有四种情况.只要讨论会了一种，其余的依次类推即可.不等式组a-b>0、a+b-1>0成为约束条件，即我们只需画出直线3a+b-6=0在约束条件下的那一部分.
作图如下.按照这个思路，把其它的三条线段画出来，图象如下.看，是不是一个平行四边形？
我们经常强调总结、推展.
有了上面的经验，你觉得下面的方程是否也表示一个平行四边形？
随手写下一个含x，y的、有两个绝对值的方程，是否都表示一个平行四边形?
供你思考.
祝开心.。