含两个绝对值的线性目标函数
处理带有绝对值约束的问题的策略和技巧
处理带有绝对值约束的问题的策略和技巧在数值分析中，处理带有绝对值约束的问题通常需要一些特殊的技术和策略。
绝对值的存在使得问题可能不再是平滑的（即不可导），这增加了求解的复杂性。
以下是一些处理这类问题的方法：1. 转换为线性规划或二次规划问题在某些情况下，如果目标函数和约束都是线性的（或可以近似为线性），并且绝对值出现在约束中，那么可以尝试通过引入额外的变量和约束来将问题转换为标准的线性规划（LP）或二次规划（QP）问题。
例如，考虑以下带有绝对值约束的优化问题：minimize f(x)subject to |g(x)|≤ℎ(x)可以转换为：引入新变量y，使得y=|g(x)|，则原问题变为：minimize f(x)subject to y≥g(x),y≥−g(x),y≤ℎ(x)注意，这里的y是一个额外的决策变量，并且我们需要同时最小化f(x)和确保新约束的满足。
2. 使用罚函数法罚函数法是一种处理约束优化问题的常用技术，也可以用于处理带有绝对值约束的问题。
基本思想是将约束条件通过罚项加入到目标函数中，从而形成一个无约束的优化问题。
对于绝对值约束|g(x)|≤ℎ(x)，可以定义一个罚函数p(x)，例如：p(x)=max(0,|g(x)|−ℎ(x))2然后将原问题转换为：其中λ>0是一个罚参数，用于控制罚项对目标函数的影响。
随着求解过程的进行，可以逐渐增大λ以使解更接近满足原始约束。
3. 光滑化技术对于不可导的绝对值项，可以使用光滑化技术来近似它，从而得到一个可导的目标函数或约束条件。
一种常用的光滑化近似是：|x|≈√x2+ϵ其中ϵ>0是一个小的正数，用于控制近似的平滑度。
这种近似在x=0处是平滑的，并且随着ϵ趋于零，近似越来越接近真实的绝对值函数。
4. 松弛和逼近方法在某些情况下，如果直接处理绝对值约束过于复杂，可以考虑使用松弛或逼近方法来简化问题。
例如，可以将绝对值约束松弛为一个更宽松的约束（如线性约束），或者使用分段线性函数来逼近绝对值函数。
《管理运筹学》期中复习题答案
《管理运筹学》期中复习题答案标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-《管理运筹学》期中测试题 第一部分 线性规划 一、填空题 1．线性规划问题是求一个 目标函数 在一组 约束条件 下的最值问题。
2．图解法适用于含有 两个 _ 变量的线性规划问题。
3．线性规划问题的可行解是指满足 所有约束条件_ 的解。
4．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于 零 。
5．在线性规划问题中，基本可行解的非零分量所对应的列向量线性 无 关 6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的 顶点_ 达到。
7．若线性规划问题有可行解，则 一定 _ 有基本可行解。
8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其 可行解 的集合中进行搜索即可得到最优解。
9．满足 非负 _ 条件的基本解称为基本可行解。
10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰变量在目标函数中的系数为 正 。
11．将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入 松弛 _ 变量。
12．线性规划模型包括 决策变量 、目标函数 、约束条件 三个要素。
13．线性规划问题可分为目标函数求 最大 _ 值和 最小 _值两类。
14．线性规划问题的标准形式中，约束条件取 等 _ 式，目标函数求 最大 _值，而所有决策变量必须 非负 。
15．线性规划问题的基本可行解与基本解的关系是 基本可行解一定是基本解，反之不然16．在用图解法求解线性规划问题时，如果取得最值的等值线与可行域的一段边界重合，则 _ 最优解不唯一 。
17．求解线性规划问题可能的结果有 唯一最优解，无穷多最优解，无界解，无可行解 。
18.如果某个约束条件是“ ”情形，若化为标准形式，需要引入一个 剩余 _ 变量。
19.如果某个变量X j 为自由变量，则应引进两个非负变量X j ′ , X j 〞, 同时令X j ＝ X j ′ - X j 〞 j 。
多个绝对值相加求最小值的方法
多个绝对值相加求最小值的方法标题：如何求多个绝对值相加的最小值？在日常生活或数学问题中，我们经常会遇到需要求多个绝对值相加的最小值的情况。
当我们需要确定一组数中距离零点最近的数时，或者需要在一组数中找到和最接近某个特定值的数时。
本文将介绍一些方法和技巧，帮助你轻松求解多个绝对值相加的最小值。
1. 定义问题让我们从最基本的开始，明确问题的定义。
我们要求解的是如何求多个数的绝对值相加的最小值。
具体来说，就是给定n个数a1, a2, ..., an，我们要找到一组数x1, x2, ..., xn，使得表达式|x1-a1| + |x2-a2| + ... + |xn-an|的值最小。
这个问题其实可以抽象为一个优化问题，在一定约束条件下找到使目标函数最小化的解。
2. 穷举法一种直观的方法是利用穷举法，列举出所有可能的情况，然后逐一计算出最小值。
但是当n较大时，这个方法的时间复杂度会呈指数级增长，不太适用于大规模问题求解。
3. 贪心算法贪心算法是一种高效的方法，它通常适用于求解最优化问题。
在本问题中，我们可以利用贪心算法来求解多个绝对值相加的最小值。
具体来说，我们可以按照一定规则依次确定每个xi，使得每一步都是对整体最优的选择。
对于求解两个数a和b的绝对值相加的最小值，我们可以根据a和b的大小关系来确定x，使得|x-a|+|x-b|的值最小。
4. 动态规划动态规划是另一种常用的优化算法，它可以帮助我们高效地求解多个数的绝对值相加的最小值。
在本问题中，我们可以借助动态规划的思想，利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
具体来说，我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个数中选取j个数，使得其绝对值相加的和最小。
然后根据动态规划的状态转移方程逐步求解dp数组的值，最终得到最小值。
5. 个人观点和总结在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的方法来求解多个绝对值相加的最小值。
贪心算法适用于一些特殊情况，而动态规划则更适用于一般情况下的求解。
《运筹学》试题及答案(六)
值下降为 0
14.在我们所使用的教材中对单纯形目标函数的讨论都是针对 B 情况而言的。
映的关系和客观事物的内在联系。
四、把下列线性规划问题化成标准形式：
2、minZ=2x1-x2+2x3
五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产 A、B、C 三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量 以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：
根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为 200，250 和 100 件，最大月 销售量分别为 250，280 和 120 件。月销售分别为 250，280 和 120 件。 问如 何安排生产计划，使总利润最大。
B 使 Z 更小
C 绝对值更大
DZ
绝对值更小
12.如果线性规划问题有可行解，那么该解必须满足 D
A 所有约束条件 B 变量取值非负 C 所有等式要求 D 所有不
等式要求
13.如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在 D 集合
中进行搜索即可得到最优解。
A基
B 基本解
C 基可行解
D 可行域
A．基可行解的非零分量的个数不大于 mB．基本解的个数不会超过 Cmn 个 C．该
问题不会出现退化现象 D．基可行解的个数不超过基本解的个数 E．该问题的基
是一个 m×m 阶方阵
4．若线性规划问题的可行域是无界的，则该问题可能 ABCD
A．无有限最优解 B．有有限最优解 C．有唯一最优解 D．有无穷多个最优
本
解
为
基
可
行
解
9.线性规划问题有可行解，则 A
A 必有基可行解 B 必有唯一最优解 C 无基可行解
D无
高中数学 复数 排列组合二次项定理 线性规划素材
高中数学 复数 排列组合二次项定理 线性规划素材1．虚数单位数i 满足21i =-，且规定i 可以与实数在一起按实数的运算律进行四那么运算．i 叫做虚数单位．2．形如()a bi a b +∈R 、的数叫做复数．复数全体组成的集合叫做复数集，通常用字母C 表示．实数集R 是复数集C 的真子集，即R C ．定义了复数的加法和乘法运算后的复数集叫做复数系．3．单个复数常常用字母z 表示，即()z a bi a b =+∈R 、．把复数z 表示成a bi +时，叫做复数的代数形式，并规定00i =，0bi bi +=．a 与b 分别叫做复数z a bi =+的实部与虚部．复数z 的实部记作Re z ，复数z 的虚部记作Im z ．当0b =时，复数z a bi a =+=是实数；当0b ≠时，z 叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z a bi bi =+=叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 是实数0．4．复数相等：两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等．5．共轭复数：两个复数共轭，当且仅当它们的实部相等，虚部互为相反数，z 的共轭复数记为z ．6．建立了直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．复数z a bi =+所对应的点(),Z a b 到坐标原点的距离叫做复数z 的模〔或绝对值〕，记作z ．z a bi =+7．复数集C 中的元素与复平面上以原点为起始点的向量是一一对应的〔实数0与零向量对应〕，可以把复数z a bi =+看作点(),Z a b 或看作向量OZ ． 8．共轭复数与复数的模的性质：〔1〕2Re z z z +=；〔2〕2Im z z i z -=；〔3〕z z z ∈⇔=R ；〔4〕z z =；〔5〕2z z z ⋅=． 9．四那么运算法那么：加减法：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+± 乘除法：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++2222a bi ac bd bc adi c di c d c d ++-=++++〔以上a b c d 、、、均为实数〕 运算律：1221z z z z +=+，()()123123z z z z z z ++=++，1221z z z z ⋅=⋅，()()123123z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅，()1231213z z z z z z z +=+10．共轭复数运算性质：设1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅，2zz z =，1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可推广到n 个复数：1212n n z z z z z z +++=+++，1212n n z z z z z z ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，()nnz z =11．复数模的运算性质：11121222,,z z z z z z z z ==nn z z = 12．实系数一元二次方程()20,,0ax bx c a b c a ++=∈≠R 且在复数集中恒有解．当判别式240b ac ∆=-≥时，方程有实数解1,22b x a-=；当判别式240b ac∆=-<时，方程有一对共轭虚根2b x a =-．1．四个命题：〔1〕,a b ∈R ，那么a b +i 是虚数；〔2〕b ∈R ，那么b i 是纯虚数； 〔3〕z a =不是虚数；〔4〕14z <<，那么z 不是虚数．其中正确命题的个数是〔〕(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个2．以下结论中正确的选项是〔〕〔A 〕假设0,0,21222121===+∈z z z z C z z 则且〔B 〕假设,z a =那么 z a =± 〔C 〕22z z =〔D 〕()()1112--=-z z z3．如果α、C ∈β，假设022=+βα，那么 ( )(A) 0==βα (B) βα= (C)0≠=βα (D) αβ=±i排列、组合与概率、统计 1．加法原理和乘法原理加法原理：如果完成一件事有n 类办法，第1类办法中有1m 种不同的方法，第2类办法有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法有n m 种不同的方法， 那么完成这件事共有n m m m N +++= 21种不同的方法．乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第1步有1m 种不同的方法，第2步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法， 那么完成这件事共有n m m m N 21=种不同的方法． 2．排列与组合〔1〕从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列．〔2〕从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数，记作mn P ．〔3〕从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素组成一组，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合．〔4〕从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数，记作m n C ． 3．主要公式排列数公式：)!(!)1()2()1(m n n m n n n n P mn -=+-⋅⋅-⋅-⋅= )(n m ≤；!321n n P n n =⨯⨯⨯⨯= ；1!0=．组合数公式：)!(!!321)1()2()1(m n m n m m n n n n C mn -=⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅-⋅-⋅=)(n m ≤．组合数性质：〔1〕m n n m n C C -=)(n m ≤；〔2〕11-++=r n r n r n C C C )1(n r ≤≤．性质一的实际模型：六人中选两人和六人中选四人的情况是一样的。
取绝对值的函数
取绝对值的函数人们在数学中经常会遇到一些需要取绝对值的形式，这个过程被称为取绝对值函数，简称abs。
取绝对值的函数是指从一个数值中把它的相反数去掉，以获得一个绝对值，或把一个实数映射到一个非负实数上。
绝对值表示某个数值的总量，忽略它的正负号，例如abs(-4)等于4.一般来说，取绝对值的函数可以分为两类：离散取绝对值函数和连续取绝对值函数。
离散取绝对值函数由一系列数字组成，其中每一个数字都有一个对应的绝对值，比如abs(-2)等于2。
连续取绝对值函数则是由一段连续的函数定义的，用来把实数映射到非负实数上，比如abs(3.14)等于3.14。
取绝对值函数多用于线性代数、凸分析、机器学习等领域，也可用于构建多种凸优化问题，以实现最佳结果。
凸优化问题通常都有凸取绝对值函数为一个约束，其中凸取绝对值函数表示f（x） = |x| = max{x, -x}，其中x为实数。
绝对值函数有各种实现方式，比如C语言中可以使用fabs（x）函数来实现取绝对值，而Python语言中可以使用abs（x）函数来实现取绝对值。
在Python中，取绝对值的函数可以用作内置函数实现，也可以用作自定义函数实现。
例如，在Python中可以使用以下代码实现取绝对值函数：def myabs(x):if x >= 0:return xelse:return -x## 使用print(myabs(-3)) #回3其中myabs()函数首先判断参数x是否大于等于0，如果x大于等于0，则直接返回x；如果x小于0，则返回-x，从而实现取x的绝对值。
此外，取绝对值函数还可以用于求解多变量函数的极值问题。
多变量函数的极值问题指的是，给定一组变量，求这组变量在目标函数中的极值。
求解这种问题的方法之一是使用取绝对值函数，将函数转换为更易于求解的函数。
例如，可以将原函数f（x）=x2 + 5转换为取绝对值函数min {|x2 + 5|, x}，以求解其最小值。
第四章多目标规划模型
第四章 多目标规划模型多目标决策问题的理论基础之一是向量优化问题，也称多目标优化问题。
这类问题，从方法论的角度看，它是一个目标函数中具有向量值的数学规划问题；从决策论角度看，它又是决策规则中含有各个目标极值的决策问题。
因此，多目标决策问题属于向量优化问题。
向量优化问题的解与标量优化问题的解是不同的。
标量优化问题对任何两个函数的解，只要比较它们的两个函数值的大小，总可以从中找出一个最优解，且能排出它们的顺序；而多目标优化问题的解都是非劣解，且不是唯一的，究竟谁优谁劣，很难直接作出判断。
非劣解的概念是由经济学家pareto 于1896年提出的。
但是发展为向量优化问题的生成非劣解技术，还是在1951年Kuhn-Tucker 非劣性条件发表以后的事。
由于向量优化问题是在标量优化问题的基础上发展起来的，只要通过适当的途径将向量优化问题转化为标量优化问题，就可以利用求解标量优化问题的现有方法，求解具有一定特征的向量优化问题。
本章主要介绍有关向量优化问题的基本理论，如非劣解概念，特征非裂解的标量优化解法及非劣性的充要条件。
其中提到的许多概念和术语，在本书的后继章节中都是很有用的。
第一节、多目标规划基本概念与原理1.1非劣解概念设求解()x f 1和()x f 2两个目标的最大值，他们的可行解域如图4.1所示。
图中可行解域内部的各点数据，总是劣于可行域边界上的某点值。
这是因为内部的任一点，总可在边界上至少找出一个相应点，它的目标函数值不劣于内部这点所反映的目标函数值，而且至少有一个目标函数值优于内部这点的目标函数值。
图4.1 多目标非劣解集示意图例如，图中的C 点就劣于A 点和B 点之间任一点所反映的目标函数值。
所以，在优选中类似C 点的一些点可以舍去，并将这些可以舍去的解称为劣解。
但是可行域边界上各点所代表的解，就不能直接判断它们的优劣（如A 点、B 点就是这样）。
因为这些点中任一个与其他任一个相比较，总会发现一个目标函数值比其他另一个函数值优越，但又不是两个目标函数值都优越，否则其中的一个作为劣解而舍去。
含绝对值的解与不等式求解
含绝对值的解与不等式求解绝对值函数在数学中具有重要的应用价值，尤其是在解方程和不等式问题上。
本文旨在探讨含绝对值的解以及如何求解不等式。
一、含绝对值的方程解法对于形如|a|x + b| = c的绝对值方程，需要分别讨论x的取值范围，并找出满足条件的解。
下面将介绍两种常用解法。
1.1 分类讨论法当a为正数时，绝对值函数为增函数，因此可以将方程化简为两个线性方程来求解。
考虑到x的取值情况，可以得到以下两个方程：a*x + b = c x >= 0；-a*x - b = c x < 0。
解出以上两个方程可得到两组解，分别代入原方程中验证，得到最终的解集。
当a为负数时，绝对值函数为减函数。
同样可以将方程化简为两个线性方程来求解，但此时每个方程对应的x的取值范围相反：-a*x + b = c x >= 0；a*x - b = c x < 0。
解出以上两个方程可得到两组解，分别代入原方程中验证，得到最终的解集。
1.2 代数法求解对于一元绝对值方程|a|x + b| = c，可以将方程分解为两个方程：a*x + b = c 或 a*x + b = -c。
解出以上两个方程的解集分别为S1和S2，则原方程的解集为S1 ∪ S2。
二、含绝对值的不等式解法对于形如|a|x + b| < c的绝对值不等式，同样需要根据a的正负情况进行分类讨论。
2.1 分类讨论法当a为正数时，绝对值函数为增函数，可以将不等式化简为两个线性不等式：a*x + b < c x >= 0；-a*x - b < c x < 0。
解出以上两个不等式可得到两个解集，分别为S1和S2。
由于题目要求不等式的解集，因此需要求得S1 ∪ S2的交集。
当a为负数时，绝对值函数为减函数，将不等式化简为以下两个线性不等式：-a*x + b < c x >= 0；a*x - b < c x < 0。
高中不等式总结(解法与证明)
不等式解法1、不等式的基本性质（8条）2、一元二次不等式的解法（注意讨论） 求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=−>解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.3、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.4、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥ ≥⇔ ≠ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 5、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥ = −<⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤ ⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔−≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤−≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔−≤≤≥④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤−≥或 规律：关键是去掉绝对值的符号.6、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.7、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0(0)()f x a a f x a ≥ >>⇔ >2()0(0)()f x a a f x a≥ <>⇔ <⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x > ≥>⇔≥<>或2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥<⇔> <()0()0()()f x g x f x g x ≥>⇔≥ >规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 8、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔> ⑵当01a <<时, ()()()()f x g x aa f x g x >⇔<规律：根据指数函数的性质转化.9、对数不等式的解法 ⑴当1a >时,()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >>⇔> >⑵当01a <<时,()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >>⇔> <规律：根据对数函数的性质转化.10、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小； ⑵讨论∆与0的大小； ⑶讨论两根的大小. 11、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a > ⇒∆<⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a < ⇒∆<⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥13、线性规划问题目标函数、线性目标函数、可行解、可行域不等式的证明1、几个重要不等式①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b+≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥ 2.2a b ab +≤用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）.⑥0,2b aab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b aab a b<+≤−若则（当仅当a=b 时取等号）⑦ba nb n a m a m b a b <++<<++<1 其中(000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<−>当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔−<<⑨绝对值三角不等式.a b a b a b −≤±≤+2、几个著名不等式①平均不等式：1122a ba b−−+≤≤≤+()a b R+∈，,（当且仅当a b=时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a bab++≤≤222().2a ba b++≥②幂平均不等式：222212121...(...).n na a a a a an+++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R++≥+∈当且仅当ad bc=时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n na a ab b b++++++21122(...).n na b a b a b≥+++⑦向量形式的柯西不等式（略）设,αβu r u r是两个向量，则,αβαβ⋅≤u r u r u r u r当且仅当βu r是零向量，或存在实数k，使kαβ=u r u r时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n na a ab b b≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,nc c c是12,,...,nb b b的任一排列，则12111122......n n n n na b a b a b a c a c a c−+++≤+++1122....n na b a b a b≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和）当且仅当12...na a a===或12...nb b b===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f xf f++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.3、不等式证明的几种常用方法（略）常用方法有：比较法、分析法综合法、；比较法：作差比较法、作商比较法分析法：从结论出发分析不等式成立的充分条件，即欲证什么，只需证什么。
第二章 目标函数的基本性质及数学分析
第二章目标函数的基本性质及数学分析2.1 目标函数的等值面（线）对于简单的问题，可用等值线或等值面来描述函数的变化趋势，还可以直观地给出极值点的位置。
1）目标函数的等值面，其数学表达式为f(x)=c。
在这种线或面上所有点的函数值均相等，因此，这种线或面就称为函数的等值线或等值面。
当c取一系列不同的常数值时，可以得到一组形态相似的等值线或等值面，称为函数的等值线簇或等值面簇。
2）当n=2时，该点集是设计平面中的一条直线或曲线；例1（图2.1）。
例1 目标函数f(x)＝一60x1一120x2的等值线族。
这是一组相互平行的直线，函数值沿箭头所指方间逐渐下降。
如图2.1所示。
图2.1函数的等值线簇3）当n=3时，该点集是设计空间中的一个平面或曲面；例2。
例2 函数f(x)＝x l2十x22一4x1十4的图形(旋转抛物面)，以及用平面f(X)＝c切割该抛物面所得交线在设计空间中的投影。
如图2.2所示。
4）当n大于3时，该点集是设计空间中的一个超曲面。
图2.2 函数的等值面簇2.2 目标函数的方向导数和梯度实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．2.2.1方向导数的定义讨论函数),(y x f z =在一点P 沿某一方向的变化率问题．定理 如果函数),(y x f z =在点),(y x P 是可微分的，那末函数在该点沿任意方向L 的方向导数都存在，且有ϕϕsin cos yf x f l f ∂∂+∂∂=∂∂，其中ϕ为x 轴到方向L 的转角．例2.1 求函数 yxe z 2= 在点 )0 ,1(P 处沿从点 )0 ,1(P到点 )1 ,2(-Q 的方向的方向导数.解： 这里方向 l 即为}1 ,1{-=PQ , 故x 轴到方向 l 的转角4πϕ-=.=∂∂)0,1(xz 由 )0,1(2ye=1=∂∂)0,1(yz )0,1(22yxe =2故方向导数=∂∂lz )4sin(2)4cos(1ππ-⋅+-⋅= .22-=2.2.2梯度的定义函数在一点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 用u ∇定义2.4 以)(x f 的n 个偏导数为分量的向量称为)(x f 在x 处的梯度，记为Tn x x f x x f x x f x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=∇)(,,)(,)()(21梯度也可以称为函数)(x f 关于向量x 的一阶导数．2.2.3、梯度与方向导数之间的关系(1) 若0)(0<∇P x f T ，则P 的方向是函数)(x f 在点0x 处的下降方向； (2) 若0)(0>∇P x f T ，则P 的方向是函数)(x f 在点0x 处的上升方向． 方向导数的正负决定了函数值的升降，而升降的快慢就由它的绝对值大小决定．绝对值越大，升降的速度就越快，即由此可得如下重要结论(如图2.1所示）： (1)梯度方向是函数值的最速上升方向； (2)函数在与其梯度正交的方向上变化率为零；(3)函数在与其梯度成锐角的方向上是上升的，而在与其梯度成钝角的方向上是下降的；(4)梯度反方向是函数值的最速下降方向．例2.2：求函数y x z y x u 2332222-+++=在点)2,1,1(、)0,21,23(-处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？k z u j y u i x u z y x u ∂∂+∂∂+∂∂=∇),,( ,6)24()32(k z j y i x +-++=.1225)2,1,1(k j i u ++=∇ 0)0,21,23(=-∇u例2.3 试求目标函数1)(2221++=x x X f 在点TX ]30[0，=处的最速下降方向，并求沿这个方向移动一个单位长后新点的目标函数值．解 因为221122x x f x x f =∂∂=∂∂，，所以最速下降方向是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇-==6022)(3021021x x x x X f ．这个方向上的单位向量是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇-∇-=10)()(00X f X f e ．故新点是⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=20103001e X X ，2.2.4小结1、方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的区别） 2、梯度的概念（注意梯度是一个向量） 3、方向导数与梯度的关系 思考题：一、讨论函数22),(yx y x f z +==在)0,0(点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？ 答：xf x f xz x ∆-∆=∂∂→∆)0,0()0,(lim)0,0( .||limxx x ∆∆=→∆同理：)0,0(yz ∂∂yy y ∆∆=→∆||lim故两个偏导数均不存在.图2.1沿任意方向},,{z y x l =的方向导数, ρρ)0,0(),(lim)0,0(f y x f lz -∆∆=∂∂→ 1)()()()(lim22220=∆+∆∆+∆=→y x y x ρ故沿任意方向的方向导数均存在且相等.2.3 多元目标函数的泰勒表达式和海赛矩阵2.3.1 海赛（Hesse ）矩阵前面说过，梯度)(x f ∇是)(x f 关于x 的一阶导数，现在要问)(x f 关于x 的二阶导数是什么？定义 ： 如果)(x f 在点0x 处对于自变量x 的各分量的二阶偏导数ji x x x f ∂∂∂)(2（n j i ,,2,1, =）都存在，则称函数)(x f 在点0x 处二阶可导，并且称矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∇n n nn nn x x x f x x x f xx x f x x x f x x x f xx x f x x x f x x x f x x x f x f )()()()()()()()()()(02202102202220212021022102110202是)(x f 在点0x 处的Hesse 矩阵．在数学分析中已经知道，当)(x f 在点0x 处的所有二阶偏导数为连续时有．，，，，，n j i x x f x x f ij ji 2122=∂∂∂=∂∂∂因此，在这种情况下Hesse 矩阵是对称的． 例2.4 求目标函数23132221233241432)(x x x x x x x x x X f -+-++=的梯度和Hesse 矩阵． 解 因为，，，3123332122223213112464624x x x x x f x x x x f x x x x x f -+=∂∂+-=∂∂--=∂∂，所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---=∇3123321222321312464624)(x x x x x x x x x x x X f ．又因为22221213211213222212222331222212462f f f x x x x xx x x x f f f x x x x x x ∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂∂∂===-∂∂∂，，，，，，所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=∇13213122122642412222212)(x xx x x x x x X f ．例2.5 设1R b R X R a nn∈∈∈，，，求线性函数bX a X f T+=)(在任意点X 处的梯度和Hesse 矩阵．解 设Tn Tn x x x X a a a a ][][2121，，，，，，， ==，则∑=+=ni iin bxa x x x f 121)(，，， ，，，，，，n i a x f i i21==∂∂ （2.2）∴aa a a X f Tn ==∇],,,[)(21 ．由式（2.2）进而知，，，，，，n j i x x fji 2102==∂∂∂∴O X f =∇)(2（n n ⨯阶零矩阵）．2.3.2 多元目标函数的泰勒表达式定理 1 （泰勒(Taylor)中值定理） 如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间(b a ,)内具有直到(1+n )阶的导数，则当任一),(b a x ∈，有++-''+-'+= 200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f)()(!)(00)(x R x x n x fn nn +-, （3）其中 10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n fx R ξ，对于n 维向量的xxxf x x xf xf x f Tk T Tk k ∆⋅∇∆+∆⋅∇+≈)(21)()()()(2)()(2.4 目标函数的极值条件2.4.1 无约束问题的极值条件1.必要条件：梯度等于0即： 0)(,,)(,)()(*21*=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=∇Txn x x f x x f x x f x f 2.充分条件：海赛矩阵>0 正定，有极小值海赛矩阵<0 负定，有极大值2.4.2 有约束问题的极值条件（1）目标函数的凸性与凸函数研究目标函数的凸性是为了分清目标函数的极小值在什么情况是极大值什么情况是极小值。
复高中数学——不等式知识点
不等式1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a bc d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d>）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>；（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b >。
特别提醒：如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。
如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④ba b a 11,0<<<则若；⑤b a a b b a ><<则若,0；⑥b a b a ><<则若,0；⑦bc b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______ ； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ ；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ 2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量（一般先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小）或放缩法 ；(8)图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。
《管理运筹学》期中复习题答案
《管理运筹学》期中测试题第一部分 线性规划一、填空题1．线性规划问题是求一个 目标函数 在一组 约束条件 下的最值问题。
2．图解法适用于含有 两个 _ 变量的线性规划问题。
3．线性规划问题的可行解是指满足 所有约束条件_ 的解。
4．在线性规划问题的基本解中,所有的非基变量等于 零 . 5．在线性规划问题中，基本可行解的非零分量所对应的列向量线性 无 关6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的 顶点_ 达到。
7．若线性规划问题有可行解，则 一定 _ 有基本可行解。
8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其 可行解 的集合中进行搜索即可得到最优解。
9．满足 非负 _ 条件的基本解称为基本可行解。
10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时,引入的松驰变量在目标函数中的系数为 正 。
11．将线性规划模型化成标准形式时,“≤”的约束条件要在不等式左_端加入 松弛 _ 变量。
12．线性规划模型包括 决策变量 、目标函数 、约束条件 三个要素。
13．线性规划问题可分为目标函数求 最大 _ 值和 最小 _值两类。
14．线性规划问题的标准形式中，约束条件取 等 _ 式，目标函数求 最大 _值,而所有决策变量必须 非负 。
15．线性规划问题的基本可行解与基本解的关系是 基本可行解一定是基本解，反之不然16．在用图解法求解线性规划问题时，如果取得最值的等值线与可行域的一段边界重合，则 _ 最优解不唯一 。
17．求解线性规划问题可能的结果有 唯一最优解，无穷多最优解，无界解，无可行解 。
18。
如果某个约束条件是“ "情形，若化为标准形式，需要引入一个 剩余 _ 变量。
19。
如果某个变量X j 为自由变量，则应引进两个非负变量X j ′ ， X j 〞， 同时令X j ＝ X j ′ - X j 〞 j 。
20.表达线性规划的简式中目标函数为 线性函数 _ .21。
绝对值函数的性质和应用
绝对值函数的性质和应用绝对值函数是一种常见的数学函数，在许多领域中都有重要的应用。
它的性质和应用在实际问题中起着重要的作用。
本文将探讨绝对值函数的基本性质，并且介绍一些常见的应用场景。
一、绝对值函数的定义和性质绝对值函数表示为 |x|，其中x是实数。
它的定义是当x大于等于0时，|x|等于x，当x小于0时，|x|等于-x。
绝对值函数具有以下基本性质：1. 非负性质：对于任意实数x，|x|大于等于0，即绝对值函数的结果永远是一个非负数。
2. 正定性质：对于任意实数x，当且仅当x等于0时，|x|等于0，即绝对值函数的结果为0的充要条件是x等于0。
3. 对称性质：对于任意实数x，|x|等于|-x|，即绝对值函数关于y轴对称。
4. 三角不等式：对于任意的实数x和y，有| x + y | ≤ |x| + |y|，即绝对值函数满足三角不等式。
二、绝对值函数的应用绝对值函数的性质使得它在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 距离计算绝对值函数可以用于计算两个点之间的距离。
考虑平面上两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，它们之间的距离可以通过以下公式计算：d =|x₂ - x₁| + |y₂ - y₁|。
这是因为在平面上，我们可以通过沿x轴和y轴的位移来到达目标点，绝对值函数保证了我们计算的是位移的绝对值。
2. 条件约束在一些实际问题中，我们需要对变量进行条件约束。
绝对值函数可以帮助我们实现这样的约束。
例如，假设我们希望找到一个使得函数f(x)达到最小值的x值，同时限制x的取值范围在[a, b]之间。
我们可以构造一个新的函数g(x) = f(x) + k|x - c|，其中k是一个正数，c是[a, b]之间的任意点。
然后，我们只需要找到使得g(x)达到最小值的x值，即可满足条件约束。
3. 求解不等式绝对值函数在求解不等式时也有很多应用。
考虑不等式|f(x)| ≤ g(x)，我们可以将它转化为两个不等式来求解。
绝对值和的最小值
一、引言在数学中，绝对值是一个重要的概念，它表示一个数与零之间的距离。
绝对值和问题则是指在给定的数集中，求出所有数的绝对值之和的最小值。
这个问题在数学竞赛、数学建模以及实际应用中都有广泛的应用。
本文将从绝对值和的定义出发，探讨绝对值和的最小值问题，并给出相应的解决方法。
二、绝对值和的定义设数集A={a1, a2, ..., an}，其中ai为A中的元素。
绝对值和S(A)定义为A中所有元素绝对值之和，即：S(A) = |a1| + |a2| + ... + |an|绝对值和的最小值问题就是要求在数集A中找到一个子集B，使得S(B)的值最小。
三、绝对值和的性质1. 非负性：由于绝对值总是非负的，因此绝对值和也是非负的。
2. 线性性：设A和B为两个数集，C为A和B的并集，那么有S(C) = S(A) +S(B)。
3. 翻转对称性：设A为一个数集，那么S(-A) = S(A)。
四、绝对值和的最小值求解方法1. 分治法分治法是一种将问题分解为更小的子问题，然后递归求解的方法。
对于绝对值和的最小值问题，我们可以采用以下步骤：（1）将数集A中的元素按照大小排序。
（2）递归地将A划分为两个子集A1和A2，使得A1中的元素均大于A2中的元素。
（3）计算S(A1)和S(A2)。
（4）比较S(A1)和S(A2)，选取较小的值作为S(A)。
2. 贪心法贪心法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优的选择，从而希望导致结果是全局最好或最优的方法。
对于绝对值和的最小值问题，我们可以采用以下步骤：（1）将数集A中的元素按照大小排序。
（2）从左到右遍历排序后的数集A，将元素分为两个子集B和C。
（3）当遍历到元素ai时，如果ai > 0，则将ai添加到子集B中；如果ai < 0，则将ai添加到子集C中。
（4）计算S(B)和S(C)，选取较小的值作为S(A)。
3. 线性规划线性规划是一种求解线性约束优化问题的方法。
最优化理论和方法-第二章 线性规划基本理论和算法
其中 向量表示：
给定，变量是
定义标准形 有必要吗?
其中
给定，变量是
标准形的特征：极小化、等式约束、变量非负
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
例4. 化成标准形
等 价 于
最优化问题的等价表述指 两个问题的最优值相等、差一个常数、或者互为相反数， 由其中一个问题的最优解可以得到另一个的最优解。
cT
( x* )T
( 1, 1)
( 0, 0)
( 0, 1) (x1, 0), x1 ≥ 0 ( 1, 0) (0, x2), x2∈[0,1] (-1, -1) 没有 有限 解
解的几何特征
惟一的顶点 一条边 一条边 无(下)界
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
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只要有 m 个单位列 e1 , e2 , … , em 即可，次序可以打乱！
◎ 规范形的系数的一种解释
yj B1aj aj y1ja1 y2 ja2 ymjam
规范形第 j 列的系数是用当前基表示 aj 时的系数！
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
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第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
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线性规划问题解的几种情况
提示: 学习单纯形法之前,请务必学习并理解书上 p.19, 例2.2.1.
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
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2.2 单纯形法
• 适用形式：标准形(基本可行解等价于极点) • 理论基础：线性规划的基本定理！ • 基本思想：从约束集的某个极点/BFS开始，依次
运筹优化 目标函数 绝对值
运筹优化目标函数绝对值
运筹优化中的目标函数常常涉及到绝对值。
在数学中，绝对值是用来表示一个数的大小而不考虑它的正负的。
在优化问题中，绝对值常常用来表示一些约束条件或者目标函数的形式。
例如，在线性规划中，我们经常会遇到绝对值约束条件，例如：
|a1x1 + a2x2 + ... + anx_n| <= b
也就是说，线性组合的绝对值不能超过一个给定的值。
这种约束条件可以在线性规划中使用相应的技巧来转化为线性不等式。
在目标函数中，绝对值也经常被使用。
例如，在最小二乘法中，我们要求的是最小化残差平方和。
如果我们使用绝对值作为误差度量，则可以得到一个新的目标函数：
minimize ∑|yi - f(xi)|
这种形式的目标函数更加鲁棒，能够处理一些离群值(outliers)的情况。
在优化问题中，绝对值的使用常常需要使用非线性优化技术来求解。
这是因为绝对值函数是一个非凸函数，不易于使用线性规划等凸优化技术求解。
一些常用的非线性优化算法，例如牛顿法、拟牛顿法、Levenberg-Marquardt算法等，都能够处理绝对值函数的优化问题。
总之，在运筹优化中，绝对值函数是一种常见的数学工具，能够表示一些约束条件和目标函数的形式。
对于这样的问题，我们需
要使用适当的数学工具来求解。
含两个绝对值的线性约束条件
含两个绝对值的线性约束条件
⽼师您好，请教⼀个问题，Ia-bI+2Ia+b-1I=4，这个代表的区域为什么是⼀个平⾏
四边形，怎么看呢？
我觉得去绝对值，然后线性规划.
关键是不知道怎样去绝对值.
本本：
去绝对值的⽅法，从初中开始就没有变----讨论绝对值内部的正负.
本题虽然有两个变量，但是分类讨论的标准还是这样----这就是通法.
两个绝对值的讨论，最终会有四种情况.只要讨论会了⼀种，其余的依次类推即可.
不等式组a-b>0、a+b-1>0成为约束条件，即我们只需画出直线3a+b-6=0在约束条件下的那⼀部分.
作图如下.
按照这个思路，把其它的三条线段画出来，图象如下.
看，是不是⼀个平⾏四边形？
我们经常强调变式、总结、拓展.我写过《你也试试⾃⼰总结》，通过上⾯的探索，我们是否能够进⼀步升级结论呢？
有了上⾯的经验，你觉得下⾯的⽅程是否也表⽰⼀个平⾏四边形？
随⼿写下⼀个含x，y的、有两个绝对值的⽅程，是否都表⽰⼀个平⾏四边形?
供你思考.
祝开⼼.。
目标规划与线性规划的区别] (1)
![目标规划与线性规划的区别] (1)](https://img.taocdn.com/s3/m/01e58b6f1eb91a37f1115cae.png)
3、达成函数（即目标规划中的目标函数）
达成函数是一个使总偏差量为最小的目标函数，记为 minZ = f（d＋、d－）。 一般说来，有以下三种情况，但只能出现其中之一： ⑴.要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量要 尽可能小，则minZ = f（d＋＋ d－）。 ⑵.要求不超过目标值，即允许达不到目标值，也就是 正偏差变量尽可能小，则minZ = f（d＋）。 ⑶.要求超过目标值，即超过量不限，但不低于目标值， 也就是负偏差变量尽可能小，则minZ = f（d－）。
引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一问 题有了新的限制，即目标约束。 目标约束既可对原目标函数起作用，也可对原约 束起作用。目标约束是目标规划中特有的，是软约束。 绝对约束（系统约束）是指必须严格满足的等式 或不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝 对约束，否则无可行解。所以，绝对约束是硬约束。
三小结线性规划lpminmax目标规划gpmin偏差变量目标函数系数可正负xixs系统约束绝对约束最优系数0xs目标约束系统约束最满意变量xaxixad约束条件解图解法同样适用两个变量的目标规划问题但其操作简单原理一目了然
目 标 规 划
(Goal programming)
目标规划概述
目标规划的数学模型 目标规划的图解法
1、目标值和偏差变量
目标规划通过引入目标值和偏差变量，可以将目标 函数转化为目标约束。 目标值：是指预先给定的某个目标的一个期望值。 实现值或决策值：是指当决策变量xj 选定以后，目 标函数的对应值。 偏差变量（事先无法确定的未知数）：是指实现值 和目标值之间的差异,记为 d 。 正偏差变量：表示实现值超过目标值的部分，记为 d ＋。 负偏差变量：表示实现值未达到目标值的部分，记 为 d －。
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含两个绝对值的线性目标函数
1
z的理解昨天的文章《你有没有考试思维？》发表之后，微信昵称为“毛毛”的读者朋友问道：请问一下左老师，通法的最后一个步骤，z=|x|+|y|中的z有什么几何意义吗？
毛毛，
如果没有加绝对值，形如z=x+y这个类型的，你一定好理解. 令x=0,则y=z，所以z可以理解为直线的纵截距.
本题虽然加了绝对值，但是方法没有变.
令x=0,则z=|y|，即z为直线纵截距的绝对值.2
代数式几何意义的理解
其实，问题的关键在于对z=|x|+|y|所表示的图形的理解.
无独有偶，之前有微信昵称为“木木”的读者问到过相似的问题.老师您好，请教一个问题，|a-b|+2|a+b-1|=4，这个代表的区域为什么是一个平行四边形，怎么看呢？我觉得去绝对值，然后线性规划.
关键是不知道怎样去绝对值.
木木：
去绝对值的方法，从初中开始就没有变----讨论绝对值内部的正负.
本题虽然有两个变量，但是分类讨论的标准还是这样----这就
是通法.
两个绝对值的讨论，最终会有四种情况.只要讨论会了一种，其余的依次类推即可.不等式组a-b>0、a+b-1>0成为约束条件，即我们只需画出直线3a+b-6=0在约束条件下的那一部分.
作图如下.按照这个思路，把其它的三条线段画出来，图象如下.看，是不是一个平行四边形？
我们经常强调总结、推展.
有了上面的经验，你觉得下面的方程是否也表示一个平行四边形？
随手写下一个含x，y的、有两个绝对值的方程，是否都表示一个平行四边形?
供你思考.
祝开心.。