求线性目标函数的最值
线性目标函数的最值
线性目标函数的最值
在线性规划中，我们通常会遇到线性目标函数的最值问题。线性目标函数是指由线性项组成的目标函数，其中每个变量的系数都是常数。最值问题要求找出使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。
在解决线性目标函数的最值问题时，我们可以使用多种方法。其中一种常用的方法是图形法。首先，我们将目标函数表示为一个以变量为自变量的直线方程。然后，我们将所有约束条件表示为线性不等式，并将它们绘制在一个二维坐标系中。通过观察约束条件和目标函数在图中的关系，我们可以确定目标函数取得最大值或最小值的范围。
另一种解决线性目标函数最值问题的常用方法是单纯形法。这是一种基于可行解空间的迭代算法，通过不断迭代改善当前解的目标函数值，直到找到最优解。单纯形法利用了线性规划解的几何特性，通过在可行解空间中移动，逐步接近最优解。
当线性目标函数的变量较多或约束条件较复杂时，我们还可以使用线性规划软件来求解最值问题。这些软件能够自动解决包含数百个变量和约束条件的线性规划问题，并给出最优解。
线性目标函数的最值问题在实际中有着广泛的应用。例如，在生产计划中，我们需要确定如何安排资源以最大化利润或最小化成本。在运输领域，我们需要确定如何最优地分配货物以最小化运输成本。在金融领域，我们需要确定如何最优地分配投资以最大化收益。
总之，线性目标函数的最值问题是线性规划中的核心问题之一。通过图形法、单纯形法或线性规划软件，我们可以解决这类问题，并得出使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。这些方法在实际中有广泛的应用，能够帮助我们进行有效的决策和资源分配。
线性规划最值问题
线性规划最值问题
什么是线性规划
线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类最值问题。在线性规划中，我们试图找到一组变量的值，使得目标函数取得最大（或最小）值，同时满足一组线性等式或不等式约束条件。
线性规划问题的一般形式
线性规划问题可以用下列一般形式来表示：
$$\max (或 \min) c^T x$$
$$s.t.\quad Ax \leq b$$
其中，$x$是变量向量，$c$是目标函数系数向量，$A$是约束条件系数矩阵，$b$是约束条件右侧常数向量。
求解线性规划最值问题的步骤
求解线性规划最值问题的一般步骤如下：
1. 确定目标函数：根据问题要求确定目标函数的系数向量
$c$和优化目标（最大化或最小化）。
2. 设置约束条件：根据问题要求确定约束条件的系数矩阵
$A$和右侧常数向量$b$。
3. 求解最值：应用线性规划算法，求解线性规划问题，找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量向量$x$。
4. 解释结果：将最值代入目标函数，得到最终的最值结果，并解释其含义。
线性规划最值问题的应用
线性规划最值问题在实际应用中具有广泛的应用，例如：
- 产品混合问题：决定不同产品的生产数量，以最大化收益或最小化成本。
- 运输问题：确定不同货物在不同运输路线上的分配方案，以最小化运输成本。
- 资源分配问题：决定资源的最优分配，以最大化效益或实现平衡。
总结
线性规划最值问题是一种在实际应用中常见的问题求解方法。通过确定目标函数和约束条件，并应用线性规划算法，我们可以找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量向量。该方法可以应用于多个领域，帮助优化决策和资源分配。
利用线性规划求最值
利用线性规划求最值
陕西宁强县天津高级中学 李红伟
简单线性规划是高中数学教学的新内容之一，是解决一些在线性约束条件下的线性目标函数的最值（最大值或最小值）的问题。简单线性规划的基本思想即在一定的约束条件下，通过数形结合的思想求函数的最值。解决问题时主要是借助平面图形，运用这一思想能够较快的解决一些二次函数的最值问题。现对高中数学中目标函数常见类型的最值问题做一探讨。
一、线性约束条件下线性目标函数的最值（即截距型：c by ax z ++=）
例1．已知实数y x ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+-≥-+,2,
01,03x y x y x 若y x z +=2，求z 的最大值和最小值。 解析：不等式组 ⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+-≥-+,2,
01,03x y x y x 表示的平面区域如图所示。 图中阴影部分即为可行域。 图示—1
由⎩⎨
⎧=+-=-+,01,03x y x 得⎩⎨⎧==,2,1y x )2,1(A ∴ 由⎩⎨⎧=-+=,
03,2y x x 得⎩⎨⎧==,
1,2y x )1,2(B ∴ 由⎩⎨⎧=+-=,01,2y x x 得⎩⎨⎧==,3,2y x )3,2(M ∴ y x z +=2，z x y +-=∴2， 即z
表示直线z x y +-=2在y 轴的截距. 当直线z x y +-=2经过可行域内的点)3,2(M 时，直线在
y 轴的截距最大，z 也最大，此时7322m a x =+⨯=Z . 当直线z x y +-=2经过可行域内的点)2,1(A 时，直线在y 轴的截距最小，z 也最小，此时4212min =+⨯=Z .
线性规划求最值问题
x 0
2.
x,
y满足
y
0
求z=x-y的最值
(1)画区域 x y 1 (2)zxy化 为 yxz， 斜 率 为 1，
B
纵 截 距 为 -z的 一 组 平 行 线 l
(3)平 移 直 线 yx
(4)直线过点A 时纵截距-z最小，z最大;
OA
x y1
过点B 时纵截距-z最大，z最小.
(6)z=mx+y, m>0在可行域内取得最大值的最优解有
无数个,求m的值.
y
ym xz
5C
解：当直线y=-mx+z与直线
AC重合时，线段AC上的任
意一点都可使目标函数z＝y
＋mx取得最大值.
B
而直线AC的斜率为
3 5
,
m 3 , 即 m 3 .
5
5
O1
x=1
x-4y+3=0
A
3x+5y-25=0
①z=x+y 在_A_(_2_,4_)__ 处有最大值__6__，
在__线_段__B_C_ 处有最小值 __1_；
②z=x-y 在__C_(1_,_0_) _ 处
Y
A
有最大值_1___， 在_B_(-_2_,_3_)_ 处
B
3
2C
1
线性规划的常见题型及其解法
线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．
归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求线性目标函数的最值． 2．求非线性目标函数的最值． 3．求线性规划中的参数． 4．线性规划的实际应用．
本节主要讲解线性规划的常见基础类题型．
【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥3，x －y ≥－1，
2x －y ≤3，
则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )
A ．[7，23]
B ．[8，23]
C ．[7，8]
D ．[7，25]
求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a
b x ＋z b
，通过求直线的截距
z
b
的最值，间接求出z 的最值． 【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥3，x －y ≥－1，
2x －y ≤3，
表示的平面区域如图中阴影部分所示，
由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，平移直线y ＝－2
3
x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝3，
2x －y ＝3，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝1，
所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程
组⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y ＝－1，
2x －y ＝3，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，
y ＝5，所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23．
【答案】A
【母题二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
线性规划求最值
线性规划求最值
线性规划（Linear Programming）是一种优化问题的数学方法，通过建立线性模型来求解最大或最小值。线性规划的目标是在给定的限制条件下，找到一个最优解，使得目标函数取得最大（或最小）值。
线性规划的数学模型可以表示为：
目标函数：max（min）Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙ
约束条件：
a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂
…
aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙ
其中x₁, x₂, …, xₙ为决策变量，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数的
系数，a₁₁, a₁₂, …, a₈ₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, …,
bₙ为约束条件的常数。
解线性规划问题的过程可以分为以下几个步骤：
1. 建立数学模型：根据实际问题，确定目标函数以及约束条件。
2. 线性规划的几何表示：将目标函数和约束条件用图形表示，目标函数是一个线性函数，而约束条件则是一组线性不等式。
3. 求解可行解：通过图形方法，找到目标函数与所有约束条件的交点，得到一组可行解。
4. 求解最优解：在可行解中，通过计算目标函数在每个可行解点的函数值，找到使目标函数取得最大（或最小）值的可行解，
即为最优解。
5. 检验最优解的可行性：将最优解代入到原始线性规划问题中，检验是否满足所有约束条件。如果不满足，则需要重新调整模型。
线性规划在实际应用中广泛使用，例如生产计划、资源分配、运输调度等领域。通过线性规划，可以有效地进行决策，并找到最优解，提高效率，节约资源。然而，线性规划也有一些局限性，如对问题的要求较高，不能解决非线性的问题等。
目标函数最值的求法
4x 16 4 y 12
y
x =4
y=3
x0
O
y 0
x+2y-8=0
x
（3） 将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴 影部分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产 安排。
y
4 3
o
M
4
8x
• 探究问题（二）： 进一步，若生产一件甲产品获利2 万元，生产一件乙产品获利3万元， 采用哪种生产安排利润最大？
4x 16 4 y 12
x0
y 0
y
x =4
可行 域
O
y=3 x+2y-8=0
x
如图，图中的阴影部分的整点（坐标可行为解整数
的点）就代表所有可能的日生产安排。
探究问题（三）
设工厂获得的利润为z，则z = 2x + 3y，
——求z的最大值。
思考：1、如果将目标函数看成关于变量x,y的方程，它的 几何意义是什么？
的几何意义是什么吗？
解决问题
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产
品分别生产x、y
件，由已知条件 可得二元一次不 等式组：
x 2y 8
4x 16 4 y 12
x0
简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题
［学习目标]1。了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．
知识点一线性规划中的基本概念
名称意义
约束条件关于变量x，y的一次不等式（组）
线性约束条件关于x，y的一次不等式(组)
目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于变量x，y的一次解析式
可行解满足线性约束条件的解（x，y）
可行域由所有可行解组成的集合
最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
知识点二线性规划问题
1．目标函数的最值
线性目标函数z＝ax＋by (b≠0）对应的斜截式直线方程是y＝－错误!x＋错误!，在y轴上的截距是错误!,当z变化时,方程表示一组互相平行的直线．
当b〉0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值;
当b〈0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时,z取得最大值．
2．解决简单线性规划问题的一般步骤
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为:“画、移、求、答”四步，即，
(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．
（2）移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界）便是最优解．
(3)求:解方程组求最优解,进而求出目标函数的最大值或最小值．
线性规划最值问题
x+y＋5=0
4答
y x-y=0
x+y＋5≥0
0(B)
x
【解】
x y 5 0, 画出满足不等式组 x y 0, 的可行域，如图所示. y 0. 1画 作直线l : 2 x 4 y 0,即x 2 y 0并平移， 2移
A
当l过点A时，取到Z min；当l过点B时，取到Z max . x y 5=0 x y =0 分别解方程组 , . x y =0 y =0 3求 得A 2.5, 2.5 ,B 0,0 , Z max 2 0+4 0=0;Z min 2 2.5 4 2.5 = 15.
可行域上的最优解
y
o
x
在平面直角坐标系中作出不等式组表示的平面区域
x 4 y 3 3x 5 y 25 x 1
y
x 1
x 4y 3 0
x
O
3x 5 y 25 0
在不等式组表示的平面区域内
问题1:x 有无最大（小）值？ 问题2:y 有无最大（小）值？
4 5 6 7 x
ｚ的值最小，当
过A(5,2)时， O -1 -1
zmin 2 1 1 3 zmax 2 5 2 12
l
l1
线性规划之 线性目标函数之 已知最值
线性规划之 线性目标函数之 已知最值
1.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的是最大值为12，则23a b +的最小值为( ). （A ）625 （B ）38 （C ） 311
（D ） 4
2.设x ，y 满足36020,3x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩
若目标函数z=ax+ y （a>0）的最大值为14，则a=（ ）
A ．1
B ．2
C ．23
D ．539
3.设x 、y 满足约束条件，若目标函数（其中0,0a b >>)的最大值为3,则的最小值为（）
(A )3 (B )1 (C)2 (D )4
4.设x ,y 满足约束条件320200
x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数(0z ax by a =+>，0)b >的最大值为4，则12a b +的最小值为_______________
5.已知x ，y 满足约束条件503
,240x y x z x y x y k -+≥⎧⎪≤=+⎨⎪++≥⎩
则的最小值为-6，则常数k= 。 6.若实数x,y 满足约束条件 ⎪⎩
⎪⎨⎧≥++≤≥+-0k y x 3x 05y x ，且y 4x 2z +=的最小值为-6，则常数k= . 7.已知x ，y 满足1,24,0.x x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩
且目标函数z x y =+的最大值为3，最小值为-1，则a b c a ++的值为 。 8.设,x y 满足约束条件3123x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩
求线性目标函数的最值
求线性目标函数的最值
1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，
x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．
解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题
意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z 3
过点A 时，z 取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧
2x －y ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得A (－1，－1)，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．
答案：－10
求非线性目标函数的最值
2．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，
3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．
解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则
(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行
域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d
的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，
所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25
． 所以d 2的最小值为45
，最大值为13． 所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦
⎤45，13． 答案：⎣⎡⎦
⎤45，13
线性规划中的参数问题
3．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋y ≤4，
2x －y －m ≤0.
若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小
2020年高考数学 专题07 利用线性规划求目标函数的最值(含解析)
第七章 不等式
利用线性规划求目标函数的最值
【背一背重点知识】
1. 平面区域的确定方法是“直线定界，特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．确定平面区域中单个变量的范围、整点个数等，只需把区域画出来，结合图形通过计算解决．
2. 线性规划问题解题步骤：
①作图——画出可行域所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线l ； ②平移——将直线l 平行移动，以确定最优解的对应点A 的位置；
③求值——解有关方程组求出A 点坐标(即最优解)，代入目标函数，求出目标函数的最值． 3.最优解的确定方法：
线性目标函数z ＝ax ＋by 取最大值时的最优解与b 的正负有关，当b >0时，最优解是将直线
ax ＋by ＝0在可行域内向上方平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的；当b <0时，则
是向下方平移． 【讲一讲提高技能】
1.必备技能：（1）线性目标函数z ax by ＝＋中的z 不是直线ax by z ＋＝在y 轴上的截距，把目标函数化为y=
x+a z b b
可知z
b 是直线ax by z ＋＝在y 轴上的截距，
要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值． （2）数形结合思想要牢记，作图—定要准确，整点问题要验证解决． （3）求解线性规划中含参问题的基本方法：
线性规划中的含参问题主要有两类：一是在条件不等式组中含有参数；二是在目标函数中含有参数．解决此类问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，然后通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件． 2.典型例题：
2019_2020学年高中数学课时达标训练(十八)利用简单的线性规划求最值(含解析)新人教A版必修5
课时达标训练(十八) 利用简单的线性规划求最值
[即时达标对点练]
题组1 求线性目标函数的最值 1．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，
x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )
A ．有最小值2，最大值3
B ．有最大值3，无最小值
C ．有最小值2，无最大值
D ．既无最大值也无最小值
解析：选C 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．
由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ＋z ，
由图象可知当直线y ＝－x ＋z 经过点C 时，直线y ＝－x ＋z 的截距最小，此时z 最小．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋y ＝4，
x －2y ＝2，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝0，即C (2,0)，
代入目标函数z ＝x ＋y 得z ＝2，即目标函数z ＝x ＋y 的最小值为2，无最大值．故选C.
2．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，
则z ＝x －2y 的最大值为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 解析：选B 画出可行域(如图)，
由z ＝x －2y 得y ＝12x －z
2，则当目标函数过C (1，－1)时取得最大值，所以z max ＝1－2×
(－1)＝3.
题组2 求非线性目标函数的最值
3．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，
则(x ＋3)2＋y 2
的最小值为( )
A.10 B ．2 2 C ．8 D ．10 解析：选D 先由约束条件作出可行域如图．
A (0，1)，
B (1，0)，目标函数z ＝(x ＋3)2＋y 2表示阴影部分的点与点
简单的线性规划问题
【名师点睛】（1）目标函数本质是函数的解析式z＝f(x，y)，线性目标函数即关于x，y的线性组合；（2）线性规划的最优解的个数不确定，只有一组(x，y)使目标函数取得最值时，最优解只有1个，如边界为实线的可行域当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值；同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个，如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线重合时，会有多个最优解；可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解．
三、线性规划在实际问题中的应用
（1）线性规划的实际问题的类型：给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：
物资调运问题：例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最小?
产品安排问题：例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A，B，C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大?
下料问题：例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小?
（2）解答线性规划实际应用题的步骤：
①模型建立．正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法；
求线性规划问题中目标函数最值专题
(1)形如 z＝ax＋by 的截距型； (2)形如 z＝yx－ －ab的斜率型； (3)形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2 的距离型．
x≥0
[变式探究] 设变量 x，y 满足约束条件y≥0
，
4x＋3y≤12
则 z＝yx＋ ＋11的取值范围是(
)
A．[0,4]
B．[14，5]
C．[54，6]
• 答案：B
22
M(2,3)时,z取得最小值.
∴zmax=2-2×1=0,zmin=2-2×3=-4.
(2)过原点(0,0)作直线l垂直于直线x+y-3=0,垂足为N,则直线l
的方程为y=x,
由
x y
y x
3得
0 ,
点N(3 , 3)在, 线段N(A3B, 3上),,也在可行域内.
22
22
源自文库观察图可知,可行域内点M到原点的距离最大,点N到原点的距
2
【反思·感悟】1.求目标函数的最值，关键是确定可行域，将 目标函数对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的点便是 最优解. 2.对于目标函数具有明确的几何意义时,其关键是确定其几何意 义是什么,如本例(2)中是与原点距离的平方而非距离，忽视这 一点则极易错解.
D．[2,10]
解析：yx＋ ＋11表示过点(x，y)与点(－1，－1)的直线的斜 率．根据题意，作出可行域，如图所示，由图知yx＋ ＋11的最小 值是－ －11－ －03＝14，最大值是－ －11－ －40＝5，故选 B.
线性规划最值问题
线性规划最值问题
线性规划是一种优化问题，它的目标是在一组线性约束条件下，找到使得目标函数最大或最小的变量值。在线性规划最值问题中，
我们将面临以下几个步骤：
1. 定义目标函数：线性规划最值问题首先需要定义一个目标函数，该函数描述了需要最大化或最小化的目标。目标函数是由一组
线性变量组成的数学表达式。
2. 设置约束条件：线性规划最值问题还需要设置一组线性约束
条件，这些约束条件用于限制变量的取值范围。约束条件可以是大
于等于、小于等于或等于某个值的等式或不等式。
3. 制定模型：将目标函数和约束条件组合在一起，形成线性规
划模型。这个模型可以通过数学表达式来描述。
4. 解决问题：通过线性规划算法，我们可以求解线性规划问题
的最优解。最优解是使得目标函数取得最大或最小值的变量取值。
5. 分析结果：最后，我们对线性规划问题的解进行分析和解释。我们可以判断最优解的可行性，以及根据最优解提供决策建议。
线性规划最值问题可以应用于多种实际场景中，如生产计划优化、资源分配、投资组合优化等。通过解决线性规划最值问题，我
们可以在复杂的决策环境下，找到最优的决策方案，提高效率和效益。
参考文献：
[1] 王静.线性规划方法. 中国人民大学出版社, 2009.
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求线性目标函数的最值
1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，
x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．
解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题
意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z 3
过点A 时，z 取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧
2x －y ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得A (－1，－1)，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．
答案：－10
求非线性目标函数的最值
2．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，
3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．
解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则
(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行
域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d
的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，
所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25
． 所以d 2的最小值为45
，最大值为13． 所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦
⎤45，13． 答案：⎣⎡⎦
⎤45，13
线性规划中的参数问题
3．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋y ≤4，
2x －y －m ≤0.
若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小
值为________．
解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作
直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值，
由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，y ＝1， ∴2×3－1－m ＝0，m ＝5．
由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，
∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5．
答案：5
[通法在握]
1．求目标函数的最值3步骤
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；
(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；
(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．
2．常见的3类目标函数
(1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．
求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b
，在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z b 取最小值时，z 取最大值．
(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2．
(3)斜率型：形如z ＝y －b x －a
． [提醒] 注意转化的等价性及几何意义．