线性目标函数问题

课题 线性规划

一、基础知识

1、若点()2,t -在直线2360x y -+=的下方区域，则实数t 的取值X

围是

2、图中的平面区域（阴影部分）用不等式组表示为

3、已知实数x y 、满足2203x y x y y +⎧⎪

-⎨⎪⎩

≥≤≤≤，则2z x y =-的最大值是______．

5、已知实数,x y 满足不等式组001x y x y ≥⎧⎪

≥⎨⎪+≤⎩

，则2222x y x y +--的最小值为

例题巩固

线性目标函数问题

当目标函数是线性关系式如z ax by c =++（0b ≠）时，可把目标函数变形为

a z c y x

b b -=-+，则z

c b

-可看作在y 在轴上的截距，然后平移直线法是解决此类问题

的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下：

1.做出可行域;

2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解.

8、设,2,

,

2,x y x y z y x y -≥=<⎧⎨⎩ 若－2≤x ≤2，－2≤y ≤2，则z

的最小值为 ▲

二, 非线性目标函数问题的解法

当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。近年来，在高考中出现了求目标函数是非线性函数的X 围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种： 1． 比值问题

当目标函数形如y a

z x b

-=

-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。 2.距离问题

当目标函数形如2

2

()()z x a y b =-+-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q a b 距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ 距离平方的最值。 3．截距问题

例4 不等式组x+y 00x y x a ≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩

表示的平面区域面积为81，则2

x y +的最小值为_____

解析 令2

z x y =+，则此式变形为2

y x z =-+，z 可看作是动 抛物线2

y x z =-+在y 轴上的截距，当此抛物线与y x =-相切 时，z 最小，故答案为14

-

4．向量问题

已知平面直角坐标系xoy 上的区域D 由不等式组0222x y x y

⎧≤≤⎪

≤⎨⎪

≤⎩给定。若(,)M x y 为D 上的

动点，点A 的坐标为(

)

2,1，则z OM OA =•的最大值为

线性表示

例1 设等差数列{n a }的前n 项和为S n ，若1≤a 5≤4，2≤a 6≤3，则S 6的取值X 围是 ．

教师导言：（1）如何解的（预期回答：线性规化）？

（2）能否由两式直接“加工”而得？—— 线性表示更好：S 6 = x a 5 + y a 6 ，简记：③ = ①×x + ②×y ．

（3）（类比）设实数x ，y 满足2

38xy ≤≤，249x y ≤≤，则34x y

的最大值是 ．

（4）会求4

5x y

的取值X 围吗？（简记：③ = ①x ②y ，取对数，两类问题一样！）

检测：设等差数列{n a }的前n 项和为S n ，若1≤a 5≤4，2≤a 6≤3，则a 7的取值X 围是 ．（对某学校抽24人，有9人不对，另一校抽39人，15人不对）．

三，

线性变换问题

例6 在平面直角坐标系x O y 中，已知平面区域A ＝{（x ，y ）|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{（x ＋y ，x －y ）|（x ，y ）∈A }的面积为 .

解析 令x ＋y ＝u ，x －y ＝v ，则x ＝u ＋v 2，y ＝u －v

2.

由x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0得

u ≤1，u ＋v ≥0，u －v ≥0.

因此，平面区域B 的图形如图.其面积为

S ＝1

2

×2×1＝1.

五，

线性规划的逆向问题

例8 给出平面区域如图所示.若当且仅当x ＝23，y ＝4

5

时，目标函数z ＝ax －y 取最小值，则实数a 的取值X 围是 .

解析 当直线y ＝ax －z （a ＜0）过点（23， 4

5

），且不与直线AC ，BC 重合时,－z 取得最

大值，从而z 取得最小值.

k AC ＝4

5

23－1＝－ 125，k BC ＝45－123

＝－ 3

10.

所以，实数a 的取值X 围是（－

125，－ 3

10

）. 8. 若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ＋5≥0，x ≤3，

x ＋y －k ≥0，且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则k 的值为

________．

13．不等式组220x y x y y x y a

-0⎧⎪+⎪

⎨⎪⎪+⎩≥，

≤，≥，≤表示的平面区域是一个三角形，则

a 的取值X 围是 01a <≤或

4

3

a ≥

11．（2007XX ）设m 为实数，若22

250(,)

30{(,)|25}0x y x y x x y x y mx y ⎧⎫

-+≥⎧⎪

⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩

⎭

，则m 的取值X 围是_____________。

答案 0≤m ≤

12（2007XX ）．设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，

A B ≠Φ，

（1）b 的取值X 围是 ；

（2）若()x y A

B ∈，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是 ．

答案 （1）[1

)+∞，（2）9

2

四 ，