高三第一次联考(理数)

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山西省忻州一中康杰中学临汾一中长治二中2014届高三第一次四校联考理数试题

山西省忻州一中康杰中学临汾一中长治二中2014届高三第一次四校联考理数试题（满分150分，考试时间120分）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1.已知全集U R =，集合{}3A x Z y x =∈=-{}5B x x =>,则 A =)(B C U A.[]3,5 B. [)3,5 C. {}4,5 D. {}3,4,5 2.复数iiz +-=13的虚部为 A. 2 B. 2- C.2i D.2i -3.若焦点在x 轴上的双曲线1222=-my x 的离心率为62，则该双曲线的渐近线方程为 A. x y 22±= B. x y 2±= C.x y 21±= D.x y 2±= 4.按照如图的程序运行，已知输入x 的值为2+log 23，则输出y 的值为 A.112 B.18 C.124 D.385.已知等比数列{}n a 的首项,11=a 公比2=q ，则=+++1122212log log log a a aA.50B.35C.55D.466.已知nx )21(-展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则)1()21(x x n+-展开式中含2x 项的系数为A. 71B. 70C.21D. 49 7.如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是 A.9 B.10 C.12 D. 188.设1>m ,当实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥12y x x y x y 时，目标函数my x z +=的最大值等于2，则m 的值是3俯视图2223 3 4侧视图主视图x ≥4? 输出y否是结束输入xx=x+1y=(12)x 开始A. 2B.3C.32 D. 529.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∈---∈-=)1,0[,1)1(1)0,1[,)(x x f x x x f ，若方程0)(=+-k kx x f 有两个实数根，则k 的取值范围是 A. 11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B.1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. [)1,-+∞D. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭10.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥,SC OB ⊥，OAB ∆为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为433，则球O 的半径为 A . 3 B. 1 C. 2 D. 411.抛物线x y 122=的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当FPM ∆为等边三角形时，则FPM ∆的外接圆的方程为Ks5uA.. 5)5()3(22=±+-y x B. 48)34()3(22=±+-y x C. 9)3()3(22=±+-y x D. 28)72()3(22=±+-y x12.已知函数)(x f y =定义域为),(ππ-，且函数)1(+=x f y 的图象关于直线1-=x 对称，当),0(π∈x 时，x x f x f ln sin )2()(ππ-'-=，（其中)(x f '是)(x f 的导函数），若)91(log ),3(log ),3(33.0f c f b f a ===π，则c b a ,,的大小关系是A. c b a >>B. c a b >>C. a b c >>D. b a c >> 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13.已知向量a ，b 满足1||=a ，2||=b ，a b a ⊥-)(，则向量a与向量b 的夹角为．14.已知数列{n a }满足)(11,2*11N n a a a a nnn ∈-+==+，则2014a 的值为．15.设θ为第四象限角，21)4tan(=+πθ，则=-θθcos sin ． 16.已知数列{n a }的前n 项和n s 满足*130(2,)n n n a s s n n N -+=≥∈ ，311=a ，则n na 的最小值为．三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17.(本小题满分12分)已知函数2()sin(2)2cos 1()6f x x x x R π=-+-∈.E D CBA P(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1()2f A =,2a b c =+,18bc =.求a 的值.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ABCD ⊥底面，AB AD ⊥，AC CD ⊥，PA AB BC AC ===，E 是PC 的中点．（1）求证：PD ABE ⊥平面；（2）求二面角A PD C --的平面角的正弦值．19.(本小题满分12分)在一次数学考试中，第22,23,24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为31，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响. （1）求其中甲、乙两人选做同一题的概率；（2）设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.20.(本小题满分12分)设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，离心率为22，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2.(1) 求椭圆方程.(2) 过点)2,0(P 的直线l 与椭圆交于不同的两点B A ,，当OAB ∆面积最大时，求AB . 21.(本小题满分12分)设函数32)1()(ax e x x f x+-= (1) 当31-=a 时，求)(x f 的单调区间；(2) 若当0≥x 时，)(x f 0≥恒成立，求a 的取值范围.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线PA 为圆O 的切线，切点为A ，直径BC OP ⊥，连接AB 交PO 于点D .（Ⅰ）证明：PA PD =；（Ⅱ）求证：PA AC AD OC = ．23．(本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程A PB COD在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>,过点P (-2，-4)的直线l 的参数方程为222242x t y t =-+=-+⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若2PA PB AB = ，求a 的值．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()31f x x x =-++.（Ⅰ）求使不等式()6f x <成立的x 的取值范围；（Ⅱ）o x R ∃∈，()o f x a <，求实数a 的取值范围．2014届高三年级第一次四校联考数学试题答案（理）1-12题答案：1.D 2.B 3.A 4.C 5.C 6.B 7.A 8.D 9.B 10.C 11.B 12.B二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13．60 14．3- 15． 5102-16． 31- 三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17.解析.解：(1)f(x)= sin(2x - π6)+2cos 2x-1=32sin2x-12cos2x+cos2x=32sin2x+12cos2x= sin(2x + π6)………………………………………3分由2k π-π2≤2x+π6≤2k π+π2,(k ∈Z)得k π-π3≤x ≤k π+π6,(k ∈Z)…………5分∴f(x)的单调递增区间为[k π-π3,k π+π6](k ∈Z).………………………6分(2) 由f(A)=12, 得sin(2A + π6)=12∵π6<2A+π6<2π+π6 , ∴2A+π6=5π6,∴A=π3……………………………8分由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA=(b+c)2-3bc ………………………10分又2a=b+c,bc=18. ∴a 2=18,∴a=32………………………………………………………………12分x yz18.（1）证明：⊥PA底面ABCD，PACD⊥∴又ACCD⊥，AACPA=⋂，故⊥CD面PAC⊆AE面PAC，故AECD⊥…………………………………………4分又PA AC=，E是PC的中点，故PCAE⊥从而⊥AE面PCD，故PDAE⊥易知PDBA⊥，故⊥PD面ABE………………………………6分（2）如图建立空间直角坐标系，设aAC=，则(0,0,0)A、(0,0,)P a、(,0,0)B a 、20,,03aD⎛⎫⎪⎝⎭，3,,022a aC⎛⎫⎪⎪⎝⎭，从而2(0,,)3aPD a=-，3,,026a aDC⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，…9分设1(,,)n x y z=为平面PDC的法向量，则1123326an PD y aza an DC x y⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎪⋅=-=⎪⎩可以取1(1,3,2)n=……………………11分又2(1,0,0)n=为平面PAD的法向量，若二面角A PD C--的平面角为θ则1211cos8n nθ==⋅……………………11分因此14sin4θ=。

高三上学期第一次联考数学(理)试题Word版含答案

-第一学期高三联考数学试卷（理）分值：150分考试时间：120分钟命题人：刘翔审题人：郭干军第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足z ＋2z －＝6＋i(i 是虚数单位)，则复数z 在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知全集U ＝R ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪18<2x <1，M ＝{}x |y ＝ln （－x －1），则图中阴影部分表示的集合是() A.{}x |－3<x<－1 B.{}x |－3<x<0C.{}x |－1≤x<0D.{}x|x<－33.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,点()10081010,a a 在直线20x y +-=上,则2017S =（） A.4034B.2017C.1008D.10104.设123log 2,ln 2,5a b c -===,则( ) A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.c b a <<5．为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有（） A. 140种B. 70种C. 35种D. 84种6．已知平面向量的夹角为，且，则( )A. 1B.C. 2D.7．如图给出的是计算1111352017++++的值的一个程序框图，则判断框内可以填入的条件是（） A. 1008?i > B. 1009?i ≤ C. 1010?i ≤ D. 1011?i <8．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的最长棱长为（） A.23B.4C.6D. 429．若实数满足不等式组，则目标函数z=42-+-x y x 的最大值是（） A. 1B.41-C.45-D. 4510. 已知f(x)=sin(2019x+6π)+cos(2019x —3π)的最大值为A ，若存在实数x 1、x 2，使得对任意实数x 总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则A|x 1—x 2|的最小值为（）A.2019πB.20194πC.20192πD. 4038π 11．已知双曲线，过其右焦点且平行于一条渐近线的直线与另一条渐近线交于点，与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D. 212．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，边长为6，面A 1DB 与面A 1DC 1的重心分别为E 、F ，求正方体外接球被EF 所在直线截的弦长为（） A.435B.235 C.470 D.270 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，满分20分。

湖北省重点中学2008届高三第一次联考(理数)

湖北省重点中学2008届高三第一次联考数学试卷（理科）一. 选择题（5′×10=50′）1.复数2iz =的虚部是（）..B d2.命题P ：若()()22120x y -+-=，则x=1且y=2，则命题P 的否命题为（）A.若()()22120,x y -+-≠则x ≠1且y ≠2 B. 若()()22120x y -+-=，则x ≠1且y ≠2 C. 若()()22120,x y -+-≠则x ≠1或y ≠2 D. 若()()22120x y -+-=，则x ≠1或y ≠23.已知A （0，1），B （-2，1），C （1，2），则AB AC 在上的投影是（）..A C D 4.已知[)02cos sin θπθθ∈，，〈，且sin tan θθ〈，则θ的取值范围是（） ()33.02.022253353..42422442A B C D ππππππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋃⋃ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，5.若不等式1x m -〈成立的充分非必要条件是1132x 〈〈，则实数m 的取值范围是（） 411414....322323A B C D ⎡⎤⎡⎤⎛⎤⎡⎫---∞-+∞ ⎪⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎝⎦⎣⎭，，，，6.函数()(2ln 1y x x =-≤的反函数是（）)).0.0A y x B y x =≤=≤)).0.0C y x D y x =≥=≥7.若等比数列的各项均为正数，前n 项之和为S ，前n 项之积为P ，前n 项倒数之和为M ，则（）22....nnS S S S A P B P C P D P MMM M ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭〉〉 8.函数ln 1xy ex =--的图像大致是（）9.在算式“9×△+1×□=48”中的△、□分别填入两个正整数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对应为（）()()().230.321.412.53A B C D ，，（，），10.已知函数()221y f x =+-是定义在R 上的奇函数，函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线0x y -=对称，若122x x +=，则()()12g x g x +=（）.2.2.4.4A B C D --二.填空题（5′×5=25′）11.为了了解某地区高三学生的身体发育情况。

2023年河南省五市高考数学第一次联考试卷(理科)+答案解析(附后)

2023年河南省五市高考数学第一次联考试卷（理科）1. 已知集合，则集合A的所有非空真子集的个数是( )A. 6B. 7C. 14D. 152. 欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则z的虚部为( )A. B. C. 1 D.3. 在等比数列中，已知，，则( )A. 128B. 64C. 64或D. 128或4. 若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为( )A. 3B.C. 2D. 15. 变量X与Y相对应的一组数据为，，，，，变量U与V相对应的一组数据为，，，，表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )A. B. C. D.6. 如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，M是侧棱的中点，N是的中点，则( )A.B. 平面BAMC. 平面ABMD.7. 是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则a等于( )A. 2B.C.D. 18. 讲桌上放有两摞书，一摞3本，另一摞4本，现要把这7本不同的书发给7个学生，每位学生一本书，每次发书只能从其中一摞取最上面的一本书，则不同取法的种数为( ) A. 20 B. 30 C. 35 D. 2109. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，且记该棋手连胜两盘的概率为p，则( )A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大10. 传说古希腊数学家阿基米德的募碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则( )A. 球与圆柱的表面积之比为1：2B. 平面DEF截得球的截面面积取值范围为C. 四面体CDEF的体积的最大值为16D. 若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围11. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图单位：所示，四边形AFED为矩形，AB，CD，FE均与圆O相切，B、C为切点，零件的截面BC段为圆O的一段弧，已知，则该零件的截面的周长为结果保留( )A. B. C. D.12. 的展开式的第2项为______.13. 已知向量，满足，且，则______.14.双曲线C：的左，右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与双曲线右支交于A，B两点，若为等腰三角形，则该双曲线的离心率为______ .15. 已知正实数x，y满足，则的最小值为______ .16. 已知是数列的前n项和，且求数列的通项公式；若，是的前n项和，证明：17. 如图，在三棱柱中，，，P为AD的中点，为等边三角形，直线AC与平面ABED所成角大小为求证：平面BCP；求平面ECP与平面CDP夹角的余弦值.18. 某超市采购了一批袋装的进口牛肉干进行销售，共1000袋，每袋成本为30元，销售价格为50元，经过科学测定，每袋牛肉干变质的概率为，且各袋牛肉干是否变质相互独立．依据消费者权益保护法的规定：超市出售变质食品的，消费者可以要求超市退一赔三．为了保护消费者权益，针对购买到变质牛肉干的消费者，超市除退货外，并对每袋牛肉干以销售价格的三倍现金赔付，且把变质牛肉干做废物处理，不再进行销售．若销售完这批牛肉干后得到的利润为X，且，求p的取值范围；已知，若超市聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否变质，超市需要支付兼职员工工资5000元，这样检查到的变质牛肉干直接当废物处理，就不会流入到消费者手中．请以超市获取的利润为决策依据，判断超市是否需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质？19. 已知椭圆，过直线l：上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为求椭圆的方程；设O为坐标原点，求面积的最小值．20. 已知函数若在上恒成立，求实数a的取值范围；若，判断关于x的方程在内解的个数，并说明理由.21. 极坐标系中曲线T的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，单位长度不变，直线，均过点，且，直线的倾斜角为写出曲线T的直角坐标方程；写出，的参数方程；设直线，分别与曲线T交于点A，B和C，D，线段AB和CD的中点分别为M，N，求的最小值.22. 已知函数求不等式的解集；若函数的最小值为m，正实数a，b满足，证明：答案和解析1.【答案】A【解析】解：，元素个数为3个，则集合A的所有非空真子集的个数是故选：根据已知条件，结合非空真子集的定义，即可求解．本题主要考查非空真子集的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由已知可得，，则，的虚部为故选：由欧拉公式和复数除法运算可求得z，由复数虚部定义求得结果．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式，属于简单题．设等比数列的公比为q，利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出【解答】解：设等比数列的公比为q，在等比数列中，，，，解得，或，，或故选：4.【答案】B【解析】解：设点，，，或舍去，到抛物线的准线的距离点M到该抛物线焦点的距离等于点M到抛物线的准线的距离，点M到该抛物线焦点的距离为：故选：求得点M的坐标，将点M到该抛物线焦点的距离转化为点M到抛物线的准线的距离即可．本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想与方程思想，求得点M的坐标是关键，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：变量X与Y相对应的一组数据为，，，，，这组数据的相关系数是，变量U与V相对应的一组数据为，，，，，这组数据的相关系数是，第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选：求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较．本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系．6.【答案】D【解析】解：因为与异面，故A错误；因为的延长线必过点B，则直线与平面BAM相交，故B错误；因为与AB不垂直，所以不垂直于平面ABM，故C错误；取BC的中点P，连接，在正方形中，由，，即，可得，所以连接AP，则，又平面底面ABC，平面底面，所以平面因为平面，所以，且，所以平面因为平面，所以故D正确．故选：由两条直线的位置关系可判断A；由线面的位置关系可判断B；由线面垂直的性质可判断C；由线面垂直的判定与性质可判断本题考查空间中线线、线面的位置关系，主要是平行与垂直的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：因为，所以，即，由正弦定理得，所以，因为，所以，由A为三角形内角得，由正弦定理得，所以，故选：由已知结合余弦定理及正弦定理及和差角公式进行化解可求，进而可求A，然后结合正弦定理表示出a，b，c，然后求解即可．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，问题等价于从一行七个空里选三个空把1、2、3按从小到大自左向右顺序填进去，剩下三个空将4、5、6、7从小到大自左向右顺序填进去，共有填法种．故选：问题等价于从一行七个空里选三个空把1、2、3按从小到大自左向右顺序填进去，剩下三个空将4、5、6、7从小到大自左向右顺序填进去，即得解．本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：A选项，已知棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等，所以P受比赛次序影响，故A错误；设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为，棋手在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为，棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为，，，，，，所以最大，即棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率最大．故选：已知棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等，所以P受比赛次序影响，A错误；再计算第二盘分别与甲、乙、丙比赛连赢两盘的概率，比较大小即可．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．10.【答案】D【解析】解：选项A，球表面积为，圆柱全面积是，，A错；选项B，平面DEF过球心O时，截得球的截面最大，此时截面面积为，B错；选项C，EF绕旋转时，由于始终有是圆柱的轴，圆柱的底面垂直，因此与底面上的直线EF垂直，从而为定值，，当时，易得平面，而当EF与AB不垂直时，CD与平面不垂直，因此C到平面的距离小于，D到平面的距离小于，因此，即四面体CDEF的体积的最大值为，C错；选项D，如下图，不妨设E与A重合，F与B重合，设Q是圆柱过点P的母线与下底面的交点，则PQ与底面圆垂直，从而PQ与底面上的直线AQ，BQ，，，设，则，，令，则，，时，，单调递增，时，，单调递减，所以，而，所以，的取值范围是，所以，即的取值范围是，D正确．故选：求出球与圆柱的表面积之比判断A，由截面积最大为球的大圆面积判断B，用割补法求四面体体积判断C，不妨设E与A重合，F与B重合，设Q是圆柱过点P的母线与下底面的交点，计算出，利用导数求出其取值范围从而判断本题考查圆柱与球的表面积、体积以及折线段的最值问题，考查逻辑推理能力，是一道难题．11.【答案】A【解析】解：以A为原点，AD为x轴正方向建立平面直角坐标系如图所示：则，，又，所以直线AB的方程为：，即，直线CD的方程为：，即，直线EF的方程为：，设圆心为，则圆心到直线AB、直线CD、直线的距离均相等且等于r，则，解得，，，所以，，，，由题可知，即，所以可得，，对应弧长为圆的周长，故该零件的截面的周长为故选：以A为原点，建立直角坐标系，根据圆心到直线AB、直线CD、直线EF距离均相等，利用点到直线的距离公式列式，计算出、、的长，即得．本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．12.【答案】【解析】解：的展开式的第2项为，故答案为：利用二项展开式的通项公式，求得的展开式的第2项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13.【答案】【解析】解：根据题意，向量，满足，若，则，则，两边平方变形可得，则，则有，则，故答案为：根据题意，有，即可得，变形可得，由向量数量积的计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．14.【答案】【解析】解：如图，为等腰三角形，，，，，直线AB的倾斜角为，，在三角形中，根据余弦定理得：整理得，同除以得，，即，解得，舍故答案为：先根据为等腰三角形，然后利用双曲线的定义分别将边长表示为a的关系，然后利用余弦定理建立a，c的方程，从而求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．15.【答案】0【解析】解：，即，设，则，且，所以在上单调递增，正实数x，y，，即，所以，等价于，即，，设，；，设，，所以单调递增，且，所以在上，，，单调递减；在上，，，单调递增；所以即最小值为0，故答案为：根据，构造函数，得到，然后转化为单变量问题，求导判断单调性即可．本题主要考查了导数与单调性关系在最值求解中的应用，属于中档题．16.【答案】解：已知是数列的前n项和，且，时，，时，，经验证时，，；证明：若，是的前n项和，时，，时，，，【解析】根据题意得到时，，验证即可求解；利用裂项相消求和即可得证．本题考查了数列的递推式和裂项相消求和，属于中档题．17.【答案】解：证明：取BP中点M，连接AM，CM，，P为AD的中点，，，为等边三角形，，，AM，面ACM，平面ACM，平面平面，直线AC在平面ABP的射影在直线AM上，直线AC与平面ABED所成角为，则，，，是正三角形，则，，为等边三角形，，则，在中，由，，得，则，，，，AM，平面ABED，平面ABED，平面ABED，，，在中，，，，又，，，，平面由知MP，MC，MA两两垂直，以M为坐标原点，MA所在直线为x轴，MP所在直线为y轴，MC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，是AD的中点，，，，，，，设平面ECP的法向量，则，令，得，设平面PCD的法向量，则，取，得，设平面ECP与平面CDP夹角为，则平面ECP与平面CDP夹角的余弦值为：【解析】先利用线面垂直判定定理证明平面ACM，从而得到AC在平面ABP的射影在直线AM上，即，进而证明，利用线面垂直的判定理得平面ABED，则，再利用勾股定理能证明，由此能证明平面BCP；建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ECP与平面CDP夹角的余弦值．本题考查线面垂直的判定与性质、二面角的定义及其余弦值的求法、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：令Y表示1000袋牛肉干中变质牛肉干的数量，由题意有，则，故，由，有，解得：，故当时，p的取值范围为对这批牛肉干来说，变质牛肉干不管数量有多少，未变质牛肉干的销售后产生的利润与变质牛肉干作废物处理后产生的费用是不变的，是否聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否，产生的费用是工资和给消费者赔付的费用，当时，由知，，设需要赔付给消费者的费用为Z元，有，由，以超市获取的利润为决策依据，故超市需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质．【解析】令Y表示1000袋牛肉干中变质牛肉干的数量，由题意有，则，，进而求解；当时，由知，，，由，进而求解．考查数学概率，期望在实际问题中的应用，属于中档题．19.【答案】解：当P点在x轴上时，，PA：，，，椭圆方程为；…设切线为，设，，则， (7)且，则，PA直线为，A到直线PO距离，…则， (13)，，此时…【解析】由P在x轴设出P点坐标及直线PA方程，将PA方程与椭圆方程联立，整理关于x的一元二次方程，求得，即可求得椭圆方程；设出切线方程和点P及点A的坐标，将切线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，，求得A和P点的坐标，求得丨PA丨及A到直线OP的距离，根据三角形的面积公式求得丨丨，平方整理关于k的一元二次方程，，即可求得S的最小值．本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，解题时要注意推理论证能力的培养，属于中档题．20.【答案】解：由题意在上恒成立，得恒成立，令，则，当时，令，解得，令，解得，所以在为减函数，在上为增函数，故，故，即，所以实数a 的取值范围由，得，等价于，令，，因为在上，，单调递减，在上，故，，单调递增，注意到，，在和上各有一个零点，，共有两个零点，故方程有两个实数根．【解析】由题意转化为即恒成立，由此构造函数，转化为求函数的最值问题，即可求得答案；由题意得，等价于，构造，通过判断导数正负，判断函数单调性，结合零点存在定理，继而判断函数的零点个数．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查函数零点个数判断，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于较难题目．21.【答案】解：曲线T 的极坐标方程为，变形为，则曲线T 的直角坐标方程：，为参数，为参数；将为参数，代入，得，则，同理，当时取等号，且此时满足方程的判别式均大于零，故的最小值为【解析】将代入曲线T的极坐标方程得出直角坐标方程，由直线，均过点，直线的倾斜角为且，可得两直线的参数方程；将直线，的参数方程分别代入曲线T的直角坐标方程，利用韦达定理即可得出，再利用基本不等式即可得出结果．本题主要考查了曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线的参数方程的应用，属于中档题．22.【答案】解：即，或，或解得或，所以原不等式的解集为证明：由知当时，有最小值，所以，因为，所以，因为，，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当，时取等号．【解析】将函数化为分段函数的形式，再分类讨论解不等式组，最后将各部分的解集取并集即可得到答案；由知，而，又，再利用基本不等式可得本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的运用，考查不等式的证明，考查分类讨论思想以及推理计算能力，属于中档题．。

2025届吉林省高中学高三六校第一次联考数学试卷含解析

2025届吉林省高中学高三六校第一次联考数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（） A ．156B ．124C ．136D ．1802．已知椭圆2222:1x y C a b+=的短轴长为2，焦距为1223F F ，、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（） A ．[]1,2B ．2,3⎡⎤⎣⎦C ．2,4⎡⎤⎣⎦D ．[]1,43．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线x y e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N42的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（）A ．212 B ．212C 61- D 31-5．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()3log 2a f =，312b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3c f =的大小关系是（） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>6．已知向量(2,4)a =-，(,3)b k =，且a 与b 的夹角为135︒，则k =（） A ．9-B ．1C ．9-或1D ．1-或97．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知,a b 为非零向量，“22a b b a =”为“a a b b =”的（） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．函数()cos2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1nii i xy =+=∑（）A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（） A ．10B ．11C ．12D ．1311．函数ln ||()xx x f x e=的大致图象为（） A ． B ．C ．D ．12．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（） A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

贵州省2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考)数学试题答案

数学参考答案·第1页（共9页）贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DCBCBCAA【解析】1．由题，{|13}A x x x =<->或，{1234}B =，，，，则{4}A B = ，故选D ．2．对于A 选项，1y x=-的定义域为(0)(0)-∞+∞，，，该函数在(0)-∞，和(0)+∞，上单调递增，在定义域内不单调；对于B 选项，2ln y x =的定义域为(0)(0)-∞+∞ ，，，该函数在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增，在定义域内不单调；对于C 选项，32y x ==[0)+∞，，该函数在定义域上单调递增；对于D 选项，e x y x =的定义域为R . (1)e x y x '=+∵，当(1)x ∈-∞-，时，0y '<；当(1)x ∈-+∞，时，0y '>，e x y x =∴在(1)-∞-，上单调递减，在(1)-+∞，上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C ．3．537232a a a =+=∵，516a =，6426d a a =-=，3d =，1544a a d =-=，故选B ．4．设点00()A x y ，，则20000252||4y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，整理得582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2p =或8p =，故选C ．5．(23)f x -∵的定义域为[23]，. 当23x ≤≤时，1233x -≤≤，()f x ∴的定义域为[13]，，即[13]A =，. 令1213x -≤≤，解得12x ≤≤，(21)x f -∴的定义域为[12]，，即[12]B =，. B A ⊆∵，∴“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故选B ．6．由题，()()()e ()e ()()()5e ()5e x xx xg x g x f x fx hx h x f x f x --⎧=-+=-+⎧⎪⇒⎨⎨=---=--+⎩⎪⎩，，，解得()3e 2e x xf x -=+，所以()3e 2e x x f x -=+≥，当且仅当3e 2e x x -=，即12ln 23x =时，等号成立，min ()f x =∴C ．数学参考答案·第2页（共9页）7．设51x ⎫+⎪⎭的二项展开式的通项公式为53521551C C kkk k kk T xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，0k =，1，2，3，4，5，所以二项展开式共6项. 当0k =，2，4时的项为无理项；当1k =，3，5时的项为有理项. 两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为223326C C 25C +=，故选A ． 8．由题，1C ：22(1)(1)2x y -+-=，即圆心为1(11)C ，(20)M ，，(02)N ，，MN 为1C 的直径. 1C ∵与2C 相外切，12||C C =+=∴. 由中线关系，有222222121||||2(||||)2(182)40C M C N C C C M +=+=⨯+=，22||||C M C N ∴≤2222||||202C M C N +=，当且仅当22||||C M C N =时，等号成立，所以22||||C M C N 的最大值为20，故选A ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案 ACDBCBCD【解析】9．对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，()202420252024(1)20252024E X m n n n n =+=-+=+. 01n <<∵，2024()2025E X <<∴，正确；对于D 选项，令2024Y X =-，则Y 服从两点分布，()(1)D Y n n mn =-=，()(2024)()D X D Y D Y mn =+==∴，正确，故选ACD.10．令2()21g x ax ax =-+，244a a ∆=-，对于A 选项，()f x 的定义域为0a ⇔=R 或0010a a >⎧⇔<⎨∆<⎩，≤，故A 错误；对于B 选项，()f x 的值域为()g x ⇔R 在定义域内的值域为0(0)0a a >⎧+∞⇔⇔⎨∆⎩，，≥1≥，故B 正确；对于C 选项，()f x 的最大值为2()g x ⇔在定义域内的最小值为011511616(1)16a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩，，故C 正确；对于D 选项，()f x 有极值()g x ⇔在定义域内有极值01(1)0a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩，且0a ≠，故D 选项错误，故选BC.数学参考答案·第3页（共9页）11．对于A 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)(0)1g f -=，(0)1f =-，故A 错误；对于B 选项，由()(3)f x g x ''=+可得()(3)f x g x C =++，C 为常数，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)()1g x f x --=，则(1)(3)1g x g x C --+-=，令1x =-，得(2)(2)1g g C --=，所以1C =-，所以(1)(3)g x g x -=+，()g x 的图象关于直线2x =对称，故B 正确；对于C 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(3)(1)(1)g x g x g x +=-=-+，所以(2)()g x g x +=-，(4)(2)g x g x +=-+ ()g x =，所以()g x 是一个周期为4的周期函数，()(3)1f x g x =+-，(4)(7)f x g x +=+ 1(3)1()g x f x -=+-=，所以()f x 也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，(2)(0)(4)g g g =-=-，又(3)(1)0g g ==，又()g x 是周期为4的周期函数，所以20251()(1)0k g k g ===∑，故D 正确，故选BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号 12 13 14 答案 e14433e 6-【解析】12．设切点坐标为()t t a ，，ln x y a a '=∵，∴切线方程为ln x y a a x = . 将()t t a ，代入得ln t t a a t a = ，可得1log e ln a t a==，∴切点纵坐标为e log e t a a a ==. 13．先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有22A 种方法，再安排梵净山的位置共有13C 种方法，再排其余元素共有44A 种排法，故共有214234A C A 144= 种不同的方案.14．设123()()()f x f x f x t ===，由()f x 的函数图象知，23t <≤，又122x x +=-，3ln x t =∵，3e t x =，112233()()()2e t x f x x f x x f x t t ++=-+∴. 令()2e t t t t ϕ=-+，23t <≤，()t ϕ'= (1)e 20t t +->，()t ϕ∴在(23]，上单调递增，则3max ()(3)3e 6t ϕϕ==-，112233()()()x f x x f x x f x ++∴的最大值为33e 6-.四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）解：数列{n a }是首项为1，公比为3的等比数列，因此11133n n n a --=⨯=；…………………………………………………………………………………（3分）数学参考答案·第4页（共9页）数列{n b }是首项为1，公比为34的等比数列，因此，1133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.…………………………………………………………………………………（6分）（2）证明：由（1）可得121121121333344n n n n n n n c a b a b a b a b ----⎛⎫⎛⎫=++++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭121333344n n --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12101111141111331444414n n n n n ----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 214314n n -⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ， ………………………………………………………（10分）因为2114314411334n n n nn nc a --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以413n n c a <≤，所以4.3n n n a c a <≤ …………………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接1A C ，设11A C C G O = ，连接1HO A G ，，三棱台111A B C ABC -，则11A C AC ∥，又122CG AC ==， ∴四边形11A C CG 为平行四边形，则1.CO OA = ………………………………………………………………（2分）∵点H 是BC 的中点，∴1BA OH ∥. …………………………………………………………………（4分）又OH ⊂平面1C HG ，1A B ⊄平面1C HG ，∴1A B ∥平面1C HG . …………………………………………………………………（6分）（2）解：因为平面1C GH 分三棱台111A B C ABC -所成两部分几何体的体积比为2∶5，所以111127C GHC A B C ABC V V --=，即11111121()373GHC ABC A B C S CC S S CC =++ △△△，化简得12GHC ABC S S =△△，图1数学参考答案·第5页（共9页）此时点H 与点B 重合. ……………………………………………………………（8分）1190C CA BCC ∠=∠=︒，∵11C C BC CC AC BC AC C ⊥⊥= ∴，，且都在平面ABC ，则1CC ⊥平面ABC ，又ABC △为等腰直角三角形，则BG AC ⊥. 又由（1）知11A G CC ∥，则1A G ⊥平面ABC ，建立如图2所示的坐标系G xyz -，…………………………………………………（10分）则(200)(020)(000)(020)H A G C -，，，，，，，，，，，，11(02(122)1)C B --，，，，，.设平面1C HG 的法向量()n x y z =，，，1(022)(200)GC GH =-= ，，，，，，则22020y z x -+=⎧⎨=⎩，，令1y =，解得(011)n =，，，设平面1B GH 的法向量1()(112)m a b c GB ==-，，，，，，则2020a b c a -+=⎧⎨=⎩，，令2b =，解得(021)m = ，，. ……………………………………（12分）设二面角11C GH B --的平面角为θ，|||cos |=|cos |||||m n m n m n θ〈〉==，=， ………………（14分）所以sin θ==所以二面角11C GH B --的正弦值为10. …………………………………………（15分）解得21m =，即双曲线N ：2212y x -=. ………………………………………………（3分）因为双曲线M 与双曲线N 的离心率相同，不妨设双曲线M 的方程为222y x λ-=，因为双曲线M 经过点(22)，，所以42λ-=，解得2λ=，则双曲线M 的方程为221.24x y -= ………………………………………………（6分）图2数学参考答案·第6页（共9页）（2）易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为11223344()()()()y kx t A x y B x y C x y D x y =+，，，，，，，，，联立222y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，，消去y 并整理得222(2)220k x ktx t λ----=，此时222222Δ44(2)(2)0202k k t t t k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩，，可得22k <，…………………………………（8分）当2λ=时，由韦达定理得21222kt x x k +=-，221242t x x k --=-；当1λ=时，由韦达定理得23422kt x x k +=-，232422t x x k --=-，………………………（10分）则||||2AB CD ==== 化简可得222t k +=， …………………………………………………………………（13分）由（1）可知圆O ：222x y +=，则圆心O 到直线l的距离d ==== 所以直线l 与圆O 相切或相交. …………………………………………………（15分） 18．（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：在[020)，内有0.00252020010⨯⨯=（只）；在[2040)，内有0.006252020025⨯⨯=（只）；在[4060)，内有0.008752020035⨯⨯=（只）；在[6080)，内有0.025********⨯⨯=（只）；在[80100]，内有0.00752020030⨯⨯=（只）.…………………………………………（1分）由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10253570++=（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：数学参考答案·第7页（共9页）单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计70130200……………………………………………………………………………………………（3分）零假设为0H ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.…………………………………………………………………………………………（4分）根据列联表中数据，得220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯. ………………………………………………………………………………………（6分）根据0.01α=的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.…………………………………………………………………………………（7分）（2）（i ）令事件A =“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B =“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件C =“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”. 记事件A ，B ，C 发生的概率分别为()P A ，()P B ，()P C ，则160()0.8200P A ==，20()0.540P B ==， ……………………………………………（9分） 0.20.509()1()().1P C P A P B =-=-⨯=，所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9P =.……………………………（11分）（ii ）由题意，知随机变量(1000.9)X B ，，所以()1000.990.E X np ==⨯= ………………………………………………（13分）又()C 0.90.1()012k k n kn P k n X k -=⨯⋅⋅==⨯⋅，，，，，设0k k =时，()P X k =最大，所以000000000000100119910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯⨯⨯⎪⎨⨯⨯⨯⨯⎪⎩≥，≥， ………………………………（15分）解得089.990.9k ≤≤，因为0k 是整数，所以090k =.…………………………………（17分）数学参考答案·第8页（共9页）19．（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：22sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin 2sin cos (12sin )sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-2232sin (1sin )(12sin )sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-.………………………………（4分）若选②，证明如下：22cos3cos(2)cos 2cos sin 2sin (2cos 1)cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--3232cos cos 2(1cos )cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-. ………………………………（4分）（2）(i)解：2()33f x x a =-'， …………………………………………………………（5分）当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增，至多有一个零点；令()0fx '>，得x <x >，所以()f x 在(上单调递减，在(-∞，，)+∞上单调递增．0f <⎪⎩，220a -<⎪⎩，且3222(4)(4)3(4)(4)(516)0f a a a a aa aa a +=+-++=++++>，所以()f x 在4)a +上有唯一一个零点，同理-<2(22)0g a-=-+=<，所以()f x 在(-上有唯一一个零点.又()f x 在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知a 的取值范围为(04).， …………………………………………………（10分） (ii)证明：设22133()()3())(x f x x x x x ax x a x ==----+，则23211(0)f x x x a ==-=.又04a <<，所以1a =. ………………………………………………………………（11分）此时(2)10(1)30(1)10(2)30f f f f -=-<-=>=-<=>，，，，方程3031x x -+=的三个根均在(22)-，内，…………………………………………（12分）数学参考答案·第9页（共9页）方程3031x x -+=变形为3143222x x =⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，令ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则由三倍角公式31sin 33sin 4sin .2θθθ=-= 因为3π3π322θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以7ππ5π3666θ=-，，，7ππ5π.181818θ=-，，…………………………………………………………………………………………（14分）因为123x x x <<，所以12327ππ52sin2si π181n n 81si 8x x x =-==， ……………………………………………………………………………（15分）所以222221π7ππ7π21cos 21cos 18184sin4sin 99x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭- 137ππ5π7π2cos2cos 2sin 2sin .991818x x =-=--=- …………………………………（17分）。

安徽省江淮十校2020届高三上学期第一次联考理数考试试题(无答案)

江淮十校2020届高三第一次联考数学（理科） 2019.8命题单位：阜阳一中命题人：孙晓林杨敏王小云审题人：肖璐洋注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合1,0A y y x x x ⎧⎫==+≠⎨⎬⎩⎭，集合{}240B x x =-≤，若A B P =I ，则集合P 的子集个数为A.2B.4C.8D.162.复数z 满足342z i ++=，则z z ⋅的最大值是A.7B.49C.9D.813.设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D 既不充分也不必要条件.4.已知向量a r ，b r 均为非零向量，()2a b a -⊥r r r ，a b =r r，则a r ，b r 的夹角为A.6πB.3π C.23π D.56π 5.已知ln x π=，13y e-=，13log z π=，则A.x y z <<B.z x y <<C.z y x <<D.y z x <<6.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为A.()23323ππ-- B.()323π- C.()323π+ D.()23323ππ-+7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上的动点，下列说法正确的是A.对任意动点F ，在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线B.对任意动点F ，在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线C.当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成角变大．．D.当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小．．8.某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图.若用样本估计总体，年龄在(),x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是（其中x 为平均数，s 为标准差，结果精确到1%）A.56%B.14%C.25%D.67%9.将余弦函数的图像向右平移2π个单位后，再保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数()f x 的图像，下列关于()f x 的叙述正确的是A.最大值为1，且关于3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.周期为π，关于直线2x π=对称C.在,68ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，且为奇函数 D.在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且为偶函数 10.对任意实数x ，恒有10xe ax --≥成立，关于x 的方程()ln 10x a x x ---=有两根为1x ，2x （12x x <），则下列结论正确的为A.122x x +=B.121x x ⋅=C.122x x =D.12xx e =11.已知双曲线2222:1x y C a b-=的两条渐近线分别为1l 与2l ，A 与B 为1l 上关于坐标原点对称的两点，M 为2l 上一点且AM BM k k e ⋅=，则双曲线离心率e 的值为A.B.12C.212.在四面体ABCD 中，若1AD DB AC CB ====，则当四面体ABCD 的体积最大时其外接球表面积为A.53πB.43πC.πD.2π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知实数x ，y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为14.已知()()512x x a ++的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含2x 项的系数是15.关于x 的方程sin 2cos 0x x a ++=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内有解，则实数a 的取值范围是16.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，且2AF FB λ=u u u r u u u r （λ为非零常数）.以A 为切点作抛物线C 的切线交直线1y =-于M 点，则MF 的长度为（结果用含λ式子表示）.三、解答题：共70分。

贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试卷[含答案]

数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）{}{}2230,1,2,3,4A x x x B =-->=∣A B ⋂=A.B.C.D.{}1,2{}1,2,3{}3,4{}42.下列函数在其定义域内单调递增的是（）A.B.1y x =-2ln y x=C. D.32y x =e xy x =3.已知等差数列满足，则（）{}n a 376432,6a a a a +=-=1a =A.2B.4C.6D.84.已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为A ()2:20C y px p =>A A x 4，则（）p =A.1或2 B.2或4 C.2或8 D.4或85.已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“()23f x -[]2,3()f x (),21x A f -B ”是“”的（）x A ∈x B ∈A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，()f x R ()()e xg x f x -=+()()5e xh x f x =-()g x 是奇函数，则的最小值为（）()h x ()f x A. B.C.D.e2e7.从的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（）51x ⎫+⎪⎭A. B. C. D.253513238.已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径221:220C x y x y +--=x y M N 2C为，且与圆相外切，则的最大值为（）1C22C M C N ⋅A.20B.C.10D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.离散型随机变量的分布列如下表所示，是非零实数，则下列说法正确的是（）X ,m n X 20242025Pm nA. B.服从两点分布1m n +=X C.D.()20242025E X <<()D X mn=10.已知函数，下列说法正确的是（）()()214log 21f x ax ax =-+A.的定义域为，当且仅当()f x R 01a <<B.的值域为，当且仅当()f x R 1a C.的最大值为2，当且仅当()f x 1516a =D.有极值，当且仅当()f x 1a <11.设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足R ()f x ()g x ()f x '()g x '，且为奇函数，则下列说法正确的是（）()()()()11,3g x f x f x g x --=''=+()1g x +A.B.的图象关于直线对称()00f =()g x 2x =C.的一个周期是4 D.()f x 20251()0k g k ==∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点作曲线且的切线，则切点的纵坐标为__________.()0,0(0x y a a =>1)a ≠13.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有__________种不同的游览顺序方案.（用数字作答）14.已知函数若存在实数且，使得，()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧++=⎨>⎩ 123,,x x x 123x x x <<()()()123f x f x f x ==则的最大值为__________.()()()112233x f x x f x x f x ++四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为，第n 个图形n n n a 中实心区域的面积为.nb （1）写出数列和的通项公式；{}n a {}n b （2）设，证明.121121n n n n n c a b a b a b a b --=++++ 43n n n a c a <16.（本小题满分15分）如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，111A B C ABC -111A B C ABC 为线段的中点，为线段上的点.111112,4,90,CC C A CA ACC BCC CBA G ∠∠∠====== AC HBC （1）若点为线段的中点，求证：平面；H BC 1A B ∥1C GH （2）若平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，求二面角1C GH 111A B C ABC -2:5的正弦值.11C GH B --17.（本小题满分15分）已知双曲线与双曲线的离心率相同，且经过点()2222:10,0x y M a b a b -=>>2222:12x y N m m -=M 的焦距为.()2,2,N （1）分别求和的方程；M N （2）已知直线与的左､右两支相交于点，与的左､右两支相交于点，D ，，判断l M ,A B N C ABCD=直线与圆的位置关系.l 222:O x y a +=18.（本小题满分17分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,100布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠22⨯0.01α=产生抗体与指标值不小于60有关；单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；P （ii ）以（i ）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人P 注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求及取最大值时的值.X ()E X ()P X k =k参考公式：（其中为样本容量）()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++参考数据：α0.1000.0500.0100.005x α2.7063.8416.6357.87919.（本小题满分17分）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②.3sin33sin 4sinθθθ=-3cos34cos 3cos θθθ=-根据以上研究结论，回答：（1）在①和②中任选一个进行证明；（2）已知函数有三个零点且.()323f x x ax a =-+123,,x x x 123x x x <<（i ）求的取值范围；a （ii ）若，证明：.1231x x x =-222113x x x x -=-贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案DCBCBCAA【解析】1.由题，或，则，故选D.{1A xx =<-∣{}3},1,2,3,4x B >={}4A B ⋂=2.对于A 选项，的定义域为，该函数在和上单调递增，在定义1y x =-()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-()0,∞+域内不单调；对于B 选项，的定义域为，该函数在上单调递减，在2ln y x =()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-上单调递增，在定义域内不单调；对于C 选项，的定义域为，该函数在定()0,∞+32y x==[)0,∞+义域上单调递增；对于D 选项，的定义域为，当时，；当e x y x =().1e xy x =+'R (),1x ∞∈--0y '<时，，在上单调递减，在上单调递增，因此该函数在定()1,x ∞∈-+0y '>xe y x ∴=(),1∞--()1,∞-+义域内不单调，故选C.3.，故选B.53756415232,16,26,3,44a a a a d a a d a a d =+===-===-= 4.设点，则整理得，解得或，故选C.()00,A x y 200002,5,24,y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2p =8p =5.的定义域为.当时，的定义域为，()23f x - []2,323x ()1233,x f x -∴ []1,3即.令，解得的定义域为，即.[]1,3A =1213x- ()12,21x x f ∴- []1,2[]1,2B =“”是“”的必要不充分条件，故选B.,B A ⊆∴ x A ∈x B ∈6.由题，解得，所以()()()()()()()(),e e ,5e 5e ,x xx xg x g x f x f x h x h x f x f x --⎧⎧=-+=-+⎪⎪⇒⎨⎨=---=--+⎪⎪⎩⎩()3e 2e x x f x -=+，当且仅当，即时，等号成立，()3e2e xxf x -=+3e 2e x x -=12ln 23x =C.min ()f x ∴=7.设的二项展开式的通项公式为，51x ⎫+⎪⎭53521551C C ,0,1,2kkk k kk T x k x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以二项展开式共6项.当时的项为无理项；当时的项为有理项.两项乘积为有3,4,50,2,4k =1,3,5k =理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为，故选A.223326C C 2C 5+=8.由题，，即圆心为，且，为的221:(1)(1)2C x y -+-=()11,1C()()2,0,0,2M N MN 1C 直径.与相外切，由中线关系，有1C 2C 12C C ∴==，当且()()2222222222121222218240,202C M C NC M C N C C C MC M C N ++=+=⨯+=∴⋅=仅当时，等号成立，所以的最大值为20，故选A.22C M C N=22C M C N⋅二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDBCBCD【解析】9.对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，，正确；()()()202420252024120252024.01,20242025E X m n n n n n E X =+=-+=+<<∴<< 对于D 选项，令，则服从两点分布，，2024Y X =-Y ()()1D Y n n mn=-=，正确，故选ACD.()()()2024D X D Y D Y mn∴=+==10.令，对于A 选项，的定义域为或()2221,Δ44g x ax ax a a =-+=-()f x 0a ⇔=R ，故A 错误；对于B 选项，的值域为在定义域内的值域为0,01Δ0a a >⎧⇔<⎨<⎩ ()f x ()g x ⇔R ，故B 正确；对于C 选项，的最大值为在定义域内的最小值()0,0,1Δ0a a ∞>⎧+⇔⇔⎨⎩ ()f x ()2g x ⇔为，故C 正确；对于D 选项，有极值在定义域内有极值()0,11511616116a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩()f x ()g x ⇔且，故D 选项错误，故选BC.()0,110a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩0a ≠11.对于A 选项，因为为奇函数，所以，又由，可得()1g x +()10g =()()11g x f x --=，故A 错误；对于B 选项，由可得()()()101,01g f f -==-()()3f x g x '=+'为常数，又由，可得，则()()3,f x g x C C=++()()11g x f x --=()()11g x f x --=，令，得，所以，所以()()131g x g x C --+-=1x =-()()221g g C --=1C =-的图象关于直线对称，故B 正确；对于C 选项，因为为奇函数，()()()13,g x g x g x -=+2x =()1g x +所以，所以，所以()()()311g x g x g x +=-=-+()()()()()2,42g x g x g x g x g x +=-+=-+=是一个周期为4的周期函数，，()g x ()()()()()()31,47131f x g x f x g x g x f x =+-+=+-=+-=所以也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为为奇函数，所以()f x ()1g x +，又，又是周期为4的周期函数，所以()()()()10,204g g g g ==-=-()()310g g ==()g x ，故D 正确，故选BCD.20251()(1)0k g k g ===∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案e14433e 6-【解析】12.设切点坐标为切线方程为.将代入得，可得(),,ln ,txt a y a a ='∴ ln xy a a x =⋅(),tt a ln t ta a t a ⋅=切点纵坐标为.1log e,ln a t a ==∴elog e t a a a==13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有种方法，再安排梵净山的位置共有种方法，再排其22A 13C 余元素共有种排法，故共有种不同的方案.44A 214234A C A 144⋅⋅=14.设，由的函数图象知，，又，()()()123f x f x f x t===()f x 23t < 1232,ln x x x t +=-=.令()()()3112233e ,2e t tx x f x x f x x f x t t =∴++=-+在上单调递增，则()()()()2e ,23,1e 20,t t t t t t t t t ϕϕϕ'=-+<=+->∴ (]2,3，的最大值为.()3max ()33e 6t ϕϕ==-()()()112233x f x x f x x f x ∴++33e 6-四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）（1）解：数列是首项为1，公比为3的等比数列，因此；{}n a 11133n n n a --=⨯=数列是首项为1，公比为的等比数列，因此，.{}n b 341133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）证明：由（1）可得1210121121121333333334444n n n n n n n n n c a b a b a b a b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12101111134444n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦121114134311414n nn n --⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅=⋅⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-因为，2114314411334n n n nn nc a --⎡⎤⎛⎫⋅⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，所以.413n n c a <43n n na c a < 16.（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接，设，连接，1A C 11A C C G O⋂=1,HO A G三棱台，则，又，111A B C ABC -11A C ∥AC 122CG AC ==四边形为平行四边形，∴11A C CG 则.1CO OA =点是的中点，H BC .1BA ∴∥OH 又平面平面，OH ⊂11,C HG A B ⊄1C HG 平面.1A B ∴∥1C HG （2）解：因为平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，1C GH 111A B C ABC -2:5所以，11127C GHC AB V V B C ABC-=-即，()1111121373GHC ABC AB C S CC S S CC ⋅⋅=⋅⋅++⋅ 化简得，12GHC ABC S S =此时点与点重合.H B ，1190C CA BCC ∠∠== 且都在平面，则平面，11,,C C BC CC AC BC AC C ∴⊥⊥⋂=ABC 1CC ⊥ABC 又为等腰直角三角形，则.ABC BG AC ⊥又由（1）知，则平面，1A G ∥1CC 1A G ⊥ABC 建立如图2所示的坐标系,G xyz -则，()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2,0H A G C -()()110,2,2,1,1,2C B --设平面的法向量，1C HG ()()()1,,,0,2,2,2,0,0n x y z GC GH ==-= 则令，解得，220,20,y z x -+=⎧⎨=⎩1y =()0,1,1n = 设平面的法向量，1B GH ()()1,,,1,1,2m a b c GB ==- 则令，解得.20,20,a b c a -+=⎧⎨=⎩2b =()0,2,1m = 设二面角的平面角为，11C GH B --θ，cos cos ,m n m n m n θ⋅=<>=== 所以，sin θ==所以二面角.11C GH B --17.（本小题满分15分）解：（1）由题意可知双曲线的焦距为N =解得，即双曲线.21m =22:12y N x -=因为双曲线与双曲线的离心率相同，M N 不妨设双曲线的方程为，M 222y x λ-=因为双曲线经过点，所以，解得，M ()2,242λ-=2λ=则双曲线的方程为.M 22124x y -=（2）易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为l l ，()()()()11223344,,,,,,,,y kx t A x y B x y C x y D x y =+联立消去并整理得22,,2y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2222220,k x ktx t λ----=此时可得，()()222222Δ44220,20,2k t k t t k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩22k <当时，由韦达定理得；2λ=212122224,22kt t x x x x k k --+==--当时，由韦达定理得，1λ=234342222,22kt t x x x x k k --+==--则，ABCD====化简可得，222t k +=由（1）可知圆，22:2O x y +=则圆心到直线的距离，Ol d ====所以直线与圆相切或相交.l O 18.（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：在内有（只）；[)0,200.00252020010⨯⨯=在）内有（只）；[20,400.006252020025⨯⨯=在）内有（只）；[40,600.008752020035⨯⨯=在）内有（只）；[60,800.025********⨯⨯=在内有（只）[]80,1000.00752020030⨯⨯=由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），10253570++=所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.0H 根据列联表中数据，得.220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯根据的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.0.01α=（2）（i ）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”A =B =，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.C =记事件发生的概率分别为，则，,,A B C ()()(),,P A P B P C ()()160200.8,0.520040P A P B ====.()1P C =-()()10.20.50.9P A P B =-⨯=所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.0.9P =（ii ）由题意，知随机变量，()100,0.9X B ~所以.()1000.990E X np ==⨯=又，设时，最大，()()C 0.90.10,1,2,,k k n k n P X k k n -==⨯⨯= 0k k =()P X k =所以00000000000010011910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1,C 0.90.1C 0.90.1,k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎪⎨⨯⨯≥⨯⨯⎪⎩解得，因为是整数，所以.089.990.9k 0k 090k =19.（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：()()22sin3sin 2sin2cos cos2sin 2sin cos 12sin sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-()()2232sin 1sin 12sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-若选②，证明如下：()()22cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--.()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-（2）（i ）解：，()233f x x a =-'当时，恒成立，所以在上单调递增，至多有一个零点；0a ()0f x ' ()f x (),∞∞-+当时，令，得；令，得0a >()0f x '=x =()0f x '<x <<令，得()0f x '>x <x>所以在上单调递减，在上单调递增.()f x ((),,∞∞-+有三个零点，则即解得，()fx (0,0,f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩2220,20,a a ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩04a <<当时，，04a <<4a +>且，()()()()32224(4)3445160f a a a a a a a a a+=+-++=++++>所以在上有唯一一个零点，()fx )4a +同理()2220,g a -<-=-=-<所以在上有唯一一个零点.()f x (-又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，()f x (()f x 综上可知的取值范围为.a ()0,4（ii ）证明：设，()()()()321233f x x ax a x x x x x x =-+=---则.()212301f a x x x ==-=又，所以.04a <<1a =此时，()()()()210,130,110,230f f f f -=-<-=>=-<=>方程的三个根均在内，3310x x -+=()2,2-方程变形为，3310x x -+=3134222x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭令，则由三倍角公式.ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭31sin33sin 4sin 2θθθ=-=因为，所以.3π3π3,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭7ππ5π7ππ5π3,,,,,666181818θθ=-=-因为，所以，123x x x <<1237ππ5π2sin ,2sin ,2sin 181818x x x =-==所以222221π7ππ7π4sin 4sin 21cos 21cos 181899x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭137ππ5π7π2cos 2cos 2sin 2sin 991818x x =-=--=-。

湖北省2020高三八校第一次联考理数

鄂南高中华师一附中黄石二中荆州中学孝感高中襄阳四中襄阳五中黄冈中学
2O20届高三八校第一次联考
数学（理科）
2019.U
命题学校：华师一附中命题人：王文莹审题人：张丹黄进林
注意事项：
l．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
夹.充分不必要条件 B。必要不充分条拌 C.充要条件
D.既不充分也不必要条恪
9.鲁班锁是中国古代传统土本建筑中常用的国定结合器 ,也是广泛流抟于申国∷民闯的智力玩具 ,它起源于古
代中国建筑首创的榫卯结构。这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卵结构)啮合 ,外观看上去是严
丝合缝的十字几何体 ,其上下、左右、蓠后完全对称 ,十分巧班鲁斑锬的种类各式各样 |其中以最常见的六
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＃互 D. 2.
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C.[-3,-ln2] . D.[-ln2,2]
s
3．已知等差数列la.. I的前n项和为S几，且al 产3�a , 4 成公比为q的等比数列，则q等千
s:=竿在ΔABC中 ,角从B、 C所对边的长分别为 c、 ;、ε,壹肾 ÷+c°
(1)求踹
的值;
(动若△JBC的面积 s〓 ÷,△A:C的外接圆的直径为 1,求 △ABε 的周长工。
18.(1z分 )

广东省七校2025届高三六校第一次联考数学试卷含解析

广东省七校2025届高三六校第一次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁2．已知函数||()()x x f x x R e=∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（） A ．(212),e eB ．(20,)2e eC ．(11,1)e+D ．21,12()ee+ 3．在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i5．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（） A ．12B ．14C ．34D ．226．已知函数()e x f x x=,关于x 的方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根,则m 的取值范围是( ) A ．44,e e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭B ．()4,3--C ．4e ,3e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭D ．4e ,e 1∞⎛⎫--- ⎪+⎝⎭ 7．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（）A ．-1B ．1C ．0D ．28．已知向量(2,4)a =-，(,3)b k =，且a 与b 的夹角为135︒，则k =（）A ．9-B ．1C ．9-或1D ．1-或99．若函数12log ,01,()(1)(3),1,x x f x x x x x <⎧⎪=⎨⎪--->⎩函数()()g x f x kx =+只有1个零点，则k 的取值范围是（） A ．(1,0)-B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(,1)(0,)-∞-+∞D ．(0,1)10．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线xy e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N11．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 12．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA =E 为PC 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（） A ．1339-B ．1339C ．155-D ．155二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

(理数)惠州市2014届高三第一次调研考试

惠州市2014届高三第一次调研考试数学试题(理科）（本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

则（）A.N M ⊆B.N M =C.}3,2{=N MD.)4,1(=N M 2.复数1iz i=-在复平面上对应的点位于（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知平面向量a ()1,2=-，b ()4,m =，且⊥a b ，则向量53-a b =( ) A. (7,16)-- B.(7,34)-- C.(7,4)-- D.(7,14)-4.已知直线1l 与直线2:l 3460x y +-=平行且与圆：2220x y y ++=相切,则直线1l 的方程是( )A. 3410x y +-=B. 3410x y ++=或3490x y +-=C. 3490x y ++=D. 3410x y +-=或3490x y ++= 5.对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( ) A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥ B.若//,a b b α⊂,则//a α C.若//,,,a b αβαγβγ==则//a b D.若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα6.不等式组201x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪≤-⎩表示的平面区域的面积是( )A.12 B. 0 C. 1 D. 327.已知函数x x x f 3)(3-=，若过点()0,16A 且与曲线()y f x =相切的切线方程为16y ax =+，则实数a 的值是( )A.3-B.3C.6D.98.对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算“※”如下:当,m n 都为正偶数或正奇数时,m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m ※n =mn .则在此定义下,集合{(,)M a b a =※12,,}b a b **=∈∈N N 中的元素个数是( ) A.10个 B.15个 C.16个 D.18个二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9.右图是某高三学生进入高中三年来第1次到14次的数学考试成绩茎叶图, 根据茎叶图计算数据的中位数为 . 10.已知等差数列{n a },满足381,6a a ==,则此数列的前10项的和10S = .11.已知直线l 与直线01=--y x 垂直，则直线l 的倾斜角=α . 12.设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数,(3)()f x f x +=. 当01x ≤≤时有()2f x x =, 则(8.5)f = .13.一物体在力5, 02,()34, 2x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向,从0x =处运动到4x = (单位：m )处,则力()F x 做的功为焦. 14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是.7 98 6 3 89 3 9 8 8 4 1 5 10 3 1 11 415.（几何证明选讲选做题）如图,AD 为圆O 直径,BC 切圆O 于点E ,,AB BC DC BC ⊥⊥ ,4,1AB DC ==,则AD 等于 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()2,f x x x x R ∈.(1)求()f x 的最大值和最小正周期；(2)若282f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，α是第二象限的角，求sin 2α. 17.（本小题满分12分）某社团组织50名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动,活动内容是：1、到各社区宣传慰问,倡导文明新风；2、到指定的医院、福利院做义工,帮助那些需要帮助的人.各位志愿者根据各自的实际情况,选择了不同的活动项目,相关的数据如下表所示：(1) 分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取6名,年龄大于40岁的应该抽取几名? (2) 上述抽取的6名志愿者中任取2名,求选到的志愿者年龄大于40岁的人数的数学期望.18.（本小题满分14分）如图,已知三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直,且1OA =,2OB OC ==,E 是OC 的中点.(1)求O 点到面ABC 的距离；(2)求二面角E AB C --的正弦值.19.（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为ns ，若570s=，且2722,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n s ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368n T ≤<. 20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系x o y 中，点(,)(0)P a b a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F P F 为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率e ；ABCEO（2）设直线2P F 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2P F 上的点，满足2A M B M =-，求点M 的轨迹方程．21.（本小题满分14分）已知二次函数2(),(0)f x ax bx c a =++≠,且不等式()2f x x <的解集为(12)-，.(1) 方程()30f x a +=有两个相等的实根,求()f x 的解析式. (2) ()f x 的最小值不大于3a -,求实数a 的取值范围.(3) a 如何取值时,函数2()()y f x x ax m =--+(||1m >)存在零点,并求出零点.参考答案一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分1.【解析】{}{}3,241=<<∈=x Z x N ，故}3,2{=N M ，故选C. 2.【解析】1i i -(1)11222i i i +==-+，所以点（11,)22-位于第二象限.故选B. 3.【解析】∵⊥a b ,∴4-202m m ⋅==⇒=a b ,∴53(7,16)-=--a b .故选A.4.【解析】圆2220x y y ++=的圆心为(0,1)-,半径为1r =,因为直线12//l l ,所以,设直线1l 的方程为340x y c ++=,11c =⇒=-或9c =.所以,直线1l 的方程3410x y +-=或3490x y ++=.故选D. (二）【解析】对于平面α、β、γ和直线a 、b ,真命题是“若//,,,a b αβαγβγ==,则//a b ”.故选C6.【解析】不等式组表示的可行域如图所示，故面积为211121=⋅⋅.故选A. 7.【解析】设切点为00(,)M x y ，则03003x x y -= ①， ∵33)(200-='=x x f k ，又切线l 过A 、M 两点， ∴0016x y k -=则00201633x y x -=- ② 联立①、②可解得2,200-=-=y x ，从而实数a 的值为21692a k --===-故选D. 8.【解析】从定义出发,抓住,a b 的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键,当,a b 同奇偶时,根据m ※n =m n +将12分拆两个同奇偶数的和,当,a b 一奇一偶时,根据m ※n =mn 将12分拆一个奇数与一个偶数的积,再算其组数即可.若,a b 同奇偶,有1211121039485766=+=+=+=+=+=+,前面的每种可以交换位置,最后一种只有1个点(6,6),这时有25111⨯+=;若,a b 一奇一偶,有1211234=⨯=⨯,每种可以交换位置,这时有224⨯=;∴共有11415+=个.故选B二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．94.5 10．35 11．34π （或135︒） 12．1- 13．36 14．15． 59.【解析】从茎叶图中可知14个数据排序为：79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114中位数为94与95的平均数94.5 . 10.【解析】1103810()10()1071035222a a a a S +⨯+⨯⨯====.11.【解析】直线l 与直线10x y --=垂直得1tan l k α=-=，∴34απ=. 12.【解析】(8.5)(5.53)(5.5)(2.53)(2.5)(0.53)f f f f f f =+==+==-+(0.5)(0.5)20.51f f =-=-=-⨯=-.13.【解析】42402()5(34)W F x dx dx x dx ==++=⎰⎰⎰205x +42234362x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭14.【解析】由4sin ρθ=得圆O 为22(2)4x y +-=,圆O 的圆心(0,2)C 直线()6R πθρ=∈的直角坐标方程为0x =，所以点(0,2)C 到直线()6R πθρ=∈的15.【解析】连接OE,BC 切圆O 于点E ,OE BC ∴⊥.又,AB BC DC BC ⊥⊥，O 是AD 中点，1()2OE AB DC ∴=+.25AD OE ∴== 三、解答题：16.解(1)∵()2222cos sin 2sin cos 244f x x x x x ππ⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ………………………4分∴()f x 的最大值为2,……5分，最小正周期为22T ππ== ………6分 (2)由(1)知,()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭所以2sin 28f απα⎛⎫-==⎪⎝⎭,即sin α= ………………………8分又α是第二象限的角,所以cos α===……10分所以sin 22sin cos 2448ααα⎛==⨯-=- ⎝⎭ ………12分 17解：(1)若在做义工的志愿者中随机抽取6名,则抽取比例为61244=……………2分 ∴ 年龄大于40岁的应该抽取1824⨯=人. ………………………4分 (2)在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假设选到年龄大于40岁的人数为ξ, ∵ 6名志愿者中有2人的年龄大于40岁,其余4人的年龄在20到40岁之间, ∴ ξ可能的取值为0,1,2. ………………………5分则0224262(0)5C C p C ξ===,1124268(1)15C C p C ξ===,22261(2)15C p C ξ=== ………8分 ∴ξ的分布列为………10分∴ ξ的数学期望为2812012515153E ξ=⨯+⨯+⨯=………12分 18（本小题满分14分）解: (1)取BC 的中点D ,连AD 、OD,OB OC OD BC =⊥则、,AD BC ⊥.,BC OAD O OH AD H ∴⊥⊥面过点作于则OH ⊥面ABC ,OH 的长就是所要求的距离.BC OD ===………………………3分OAOB ⊥、OA OC ⊥,,.OA OBC OA OD ∴⊥⊥平面则AD ==在直角三角形OAD 中,有OA OD OH AD⋅===…6分（另解:由112,3633ABC V S OH OA OB OC OH ∆=⋅=⋅⋅==知(2)连结CH 并延长交AB 于F ,连结OF 、EF .,.,,,OC OAB OC AB OH ABC CF AB EF AB ⊥∴⊥⊥∴⊥⊥面又面则EFC ∠就是所求二面角的平面角. ……………9分作EG CF ⊥于G ,则12EG OH == 在直角三角形OAB 中,OA OB OF AB ⋅== 在直角三角形OEF 中,EF ===……………12分30766sin arcsin .(arccos )1818EG EFG EFG EF ∠===∠=或表示为1830 ……………14分方法二: (1)以O 为原点,OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. 则有(0,0,1)A 、(2,0,0)B 、(0,2,0)C 、(0,1,0).E ……2分设平面ABC 的法向量为1(,,),n x y z = 则由11:20;n AB n AB x z ⊥⋅=-=知由11:20.n AC n AC y z ⊥⋅=-=知取1(1,1,2)n =,……4分则点O 到面ABC 的距离为111n OA d n ⋅===……6分 (2) (2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(2,0,0)(0,0,1)(2,0,1)EB AB =-=-=-=- ……8分设平面EAB 的法向量为(,,),n x y z =则由n AB ⊥知:20;n AB x z ⋅=-= 由n EB ⊥知:20.n EB x y ⋅=-=取(1,2,2).n = ……………10分由(1)知平面ABC 的法向量为1(1,1,2).n = ……………11分则cos <1,n n >11189n n n n ⋅====⋅. ……………13分结合图形可知,二面角E AB C --的正弦值是1830……………14分 19.（本题满分14分）解：（1）数列{}n a 是等差数列且570s =，∴151070a d +=. ①…2分2722,,a a a 成等比数列，∴27222a a a =即2111(6)()(21).a d a d a d +=++②………4分由①，②解得16,4a d ==或114,0(a d ==舍去）…………5分∴42n a n =+ ………6分（2）证明;由（1）可得224n s n n =+， …………7分所以211111()2442ns n n n n ==-++. …………8分所以123111111n n nT s s s s s -=+++++111111*********()()()()()41342443541142n n n n =-+-+-++-+--++ 3111()8412n n =-+++. (10)分3111()08412n T n n -=-+<++，∴38nT <. …………11分 1111()0413n n T T n n +-=->++，∴数列{}n T 是递增数列，∴116n T T ≥=.………13分∴1368nT≤<.…………14分20解：（1）设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，由题意,可得212PF F F =,即2c ， ……………2分整理得22()10c c aa++=，得1ca=-(舍)或12c a =，所以12e =.……………4分（2）由（1）知2,a c b ==,可得椭圆方程为2223412x y c +=.直线2PF 方程为),y x c =- ……………………………………………5分,A B 两点的坐标满足方程组2223412)x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩,消去y 并整理得2580,x cx -=……6分解得1280,,5x x c ==得方程组的解110,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2285x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩……………………8分不妨设8((0,)5A cB ,设M 的坐标为(,)x y 则8(,5AM x c y =-(,)BM x y =， …………10分由),y x c =-得3c x y =-.于是8338(,),55AM x y =-()BM x =…………11分由2AM BM =-得38)(255y x x y -⋅+=-，化简得218150x --=，………………………………13分将2y =c x y =得210516x c x+=，由0c >得0x >.因此,点M 的轨迹方程是218150(0)x x --=>. …14分21解：∵()2f x x <的解集为(12)-，, ∴220ax b x c +-+<（）的解集为(12)-，, ……………………1分 ∴0a >,且方程220ax b x c +-+=（）的两根为12-和即202a 4402a b c b a b c c a-++==-⎧⎧⇒⎨⎨+-+==-⎩⎩2，∴2()(2)2,(0)f x ax a x a a =+--> ……2分（1）∵方程()30f x a +=有两个相等的实根,即2(2)0ax a x a +-+=有两个相等的实根∴222(2)403440a a a a ∆=--=⇒+-=, ∴2a =-或23a =…………3分 ∵0a >,∴23a =, ∴2244()333f x x x =+- …………4分（2）222228(2)()(2)224a a a f x ax a x a a x aa----=+--=++（） ∵0a >,∴()f x 的最小值为228(2)4a a a ---, ……………………5分则228(2)34a a a a---≤-,23440a a +-≤,解得223a -≤≤, …………7分∵0a >,∴203a <≤………………………………8分（3）由2()()0,(0,1)y f x x ax m a m =--+=>>,得2(1)2(2)0a x x a m -+-+= (※)①当1a =时,方程(※) 有一解12m x =+, 函数2()()y f x x ax m =--+有一零点12m x =+； ……………………9分 ②当1a ≠时, 242(2)(1)a m a m ⎡⎤∆=+-+-⎣⎦方程(※)有一解242(2)(1)0a m a m ⎡⎤⇔∆=+-+-=⎣⎦, 令214440m m ∆=+-≥得22m m ≥≤-或, ||1m >11m m ><-即或，∴ i)当1m >，a a 2()()y f x x ax m =--+有一零点11x a=-. ……………10分ii) 当2m ≤-时，a 的两根都为正数，∴当a =a 2()()y f x x ax m =--+有一零点11x a=-.11分ⅲ) 当21m -<<-时，214440m m ∆=+-<，0∴∆>③方程(※)有二解242(2)(1)0a m a m ⎡⎤⇔∆=+-+->⎣⎦,i) 若1m >,214440m m ∆=+->，a >,（a ），函数2()()y f x x ax m =--+有两个零点1,2x …12分ii) 当2m <-时，214440m m ∆=+->，a 的两根都为正数，∴当a 0a <时，函数2()()y f x x ax m =--+有两个零点1,2x ……13分ⅲ) 当21m -≤<-时，214440m m ∆=+-≤，0∴∆>恒成立，∴a 取大于0(1a ≠)的任意数，函数2()()y f x x ax m =--+有两个零点1,2x …14分。

2018年3月2018届高三第一次全国大联考(新课标Ⅰ卷)理数卷(考试版)

理科数学试题第1页（共6页）理科数学试题第2页（共6页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________2018年第一次全国大联考【新课标Ⅰ卷】理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{|2}P x y x x ==--+，{|ln 1}Q x x =<，则P Q =A ．(0,2]B ．[2,e)-C ．(0,1]D ．(1,e)2．若复数z 满足42ii 1z -=-（i 为虚数单位），则下列说法正确的是 A ．复数z 的虚部为1 B ．||10z =C ．3i z=-+D ．复平面内与复数z 对应的点在第二象限3．已知角α的终边经过点(2,)P m （0m ≠），若5sin 5m α=，则3πsin(2)2α-= A ．35- B ．35 C ．45D ．45-4．已知锐角ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3c =，36sin a A =，ABC △的面积3S =，则a b +=A ．21B ．17C ．29D ．55．已知函数()3log (7)(0,1)a f x x a a =+->≠的图象恒过点P ，若双曲线C 的对称轴为两坐标轴，一条渐近线与310x y --=垂直，且点P 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率等于A ．2B ．103C ．10D ．226．如图，半径为R 的圆O 内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为,,,A B C D ，这四个小圆都与圆O 内切，且相邻两小圆外切，则在圆O 内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为A ．322-B ．642-C ．962-D ．1282-7．如图为某几何体的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积等于A ．π12+B ．5π123+ C ．π4+D ．5π43+ 8．已知函数π()3)cos (03)2f x x x ωωω=--<<的图象过点π(,0)3P ，若要得到一个偶函数的图象，则需将函数()f x 的图象A ．向左平移2π3个单位长度 B ．向右平移2π3个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度9．若执行下面的程序框图，则输出的结果为理科数学试题第3页（共6页）理科数学试题第4页（共6页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………A ．180B ．182C ．192D ．20210．当地时间2018年1月19日晚，美国参议院投票否决了一项旨在避免政府停摆的临时拨款法案，美国联邦政府非核心部门工作因此陷入停滞状态．某国家与美国计划进行6个重点项目的洽谈，考虑到停摆的现状，该国代表对项目洽谈的顺序提出了如下要求：重点项目甲必须排在前三位，且项目丙、丁必须排在一起，则这六个项目的不同安排方案共有 A ．240种B ．188种C ．156种D ．120种11．如图，已知抛物线28y x =，圆C :22430x y x +-+=，过圆心C 的直线l 与抛物线和圆分别交于,,,P Q M N ，则||9||PN QM +的最小值为A ．32B ．36C ．42D ．5012．已知{|()0}M f αα==，{|()0}N g ββ==，若存在M α∈，N β∈，使得||n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”.若2()21x f x -=-与2()e xg x x a =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为A ．214(,]e eB ．214(,]e eC ．242[,)e eD ．3242[,)e e第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知向量,a b 满足(cos 2018,sin 2018)=a ，||7+=a b ，||2=b ，则,a b 的夹角等于 . 14．已知点P 在不等式组2221y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域内，(3,2)A 、(2,1)B ，则PAB △面积的最大值为 .15．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图为一个“堑堵”，即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，已知该“堑堵”的高为6，体积为48，则该“堑堵”的外接球体积的最小值为 .16．2017年吴京执导的动作、军事电影《战狼2》上映三个月，以56.8亿震撼世界的票房成绩圆满收官，该片也是首部跻身全球票房TOP100的中国电影．小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《战狼2》，并把标识分别为A ,B ,C ,D 的四张电影票放在编号分别为1,2,3,4的四个不同盒子里，让四位好朋友进行猜测：甲说：第1个盒子里面放的是B ，第3个盒子里面放的是C ；乙说：第2个盒子里面放的是B ，第3个盒子里面放的是D ；丙说：第4个盒子里面放的是D ，第2个盒子里面放的是C ；丁说：第4个盒子里面放的是A ，第3个盒子里面放的是C . 小明说：“四位朋友，你们都只说对了一半．” 可以推测，第4个盒子里面放的电影票为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）理科数学试题第5页（共6页）理科数学试题第6页（共6页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________已知数列{}n a 中0n a >，其前n 项和为n S ，且对任意*n ∈N ，都有2(1)4n n a S +=．等比数列{}n b 中，1330b b +=，46810b b +=．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{(1)}nn n a b -+的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）据统计，仅在北京地区每天就有500万单快递等待派送，近5万多名快递员奔跑在一线，快递网点人员流动性也较强，各快递公司需要经常招聘快递员，保证业务的正常开展.下面是50天内甲、乙两家快递公司的快递员的每天送货单数统计表：送货单数30 40 50 60 天数甲1010 20 10 乙515255已知这两家快递公司的快递员的日工资方案分别为：甲公司规定底薪60元，每单抽成1元；乙公司规定底薪80元，每日前40单无抽成，超过40单的部分每单抽成t 元．（Ⅰ）分别求甲、乙快递公司的快递员的日工资12y y ,（单位：元）与送货单数n 的函数关系式；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：①记甲快递公司的快递员的日工资为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；②小赵拟到甲、乙两家快递公司中的一家应聘快递员的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由． 19．（本小题满分12分）如图所示的多面体中，下底面平行四边形ABCD 与上底面111A B C 平行，且111AA BB CC ∥∥，122AB AC AA ==,1π3A AC ∠=，AC BC ⊥，平面11ACC A ⊥平面ABC ，点M 为11BC 的中点．（Ⅰ）过点1B 作一个平面α与平面AMC 平行，并说明理由；（Ⅱ）求平面1A MC 与平面11AC D 所成锐二面角的余弦值． 20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为(0,1)B ，且过点22,P ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及其离心率；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两个不同的点，当直线,OM ON 的斜率之积是不为0的定值时，求此时MON △的面积的最大值． 21．（本小题满分12分）已知函数2(e ()xa f x ax =+∈R ,e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）当e2a =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()1f x x ≥+在0x ≥时恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为123x ty t⎧=⎪⎨⎪=-⎩（t 为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线D 的极坐标方程为(1sin )2ρθ+=. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程与曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 与曲线D 交于,M N 两点，求||MN . 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|23||1|f x x x =-+-. （Ⅰ）解不等式()2f x >；（Ⅱ）若正数,,a b c 满足123()3a b c f ++=，求123a b c++的最小值.。

湖北省2014八校理数

鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中荆州中学襄阳四中襄阳五中孝感高中湖北省八校2014届高三第一次联考数学试题（理科）命题学校：黄冈中学命题人:尚厚家审题人：张卫兵考试时间：2013年12月13日下午 15︰00—17︰00 试卷满分150分考试用时120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟．★ 祝考试顺利 ★注意事项：1.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内. 答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题，共50分）5. 函数32()(0,)f x ax bx cx d a x =+++≠∈R 有极值点，则（） A . 23b ac ≤ B. 23b ac ≥ C . 23b ac < D . 23b ac >6. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A .13B.23C .2D .1 7. △ABC 中，角,,A B C 成等差数列是sin sin )cos C A A B =+成立的（） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件8. 在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F 与缩短的距离l 按胡克定律F kl =计算.今有一弹簧原长80cm ，每压缩1cm 需0.049N 的压缩力，若把这根弹簧从70cm 压缩至50cm （在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（）功（单位：J ） A .0.196B .0.294C .0.686D .0.989．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B内的动点，且1A F ∥平面1D AE ，记1A F 与平面11BCC B 所成的角为θ，下列说法错误的是（）A .点F 的轨迹是一条线段B .1A F 与1D E 不可能平行C . 1A F 与BE 是异面直线 D.tan θ≤12. 已知正三角形内切圆的半径r 与它的高h 的关系是：13r h =,把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r 与正四面体高h 的关系是_________.正（主）视图侧（左）视图俯视图第6题图1第9题图13. 将函数sin(2)y x ϕ=+的图象向左平移4π个单位后得到的函数图象关于点4(,0)3π成中心对称，那么||ϕ的最小值为________.14. 无穷数列{}n a 中，12,,,m a a a 是首项为10，公差为2-的等差数列；122,,,m m m a a a ++ 是首项为12，公比为12的等比数列（其中*3,m m ∈N ≥），并且对于任意的*n ∈N ，都有2n m n a a +=成立.若51164a =，则m 的取值集合为____________.记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则使得12852013m S +≥*3,)m m ∈(N ≥的m 的取值集合为____________.（二）选考题（请考生在15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分）在极坐标系中，曲线1:4C ρ=上有3个不同的点到曲线2:sin()4C m ρθ+=的距离等于2，则______m =.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数()f x 在[0,2]π上的单调递增区间．18．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：2418,a a +=791S =．递增的等比数列{}n b 前n 项和为n T ，满足：12166,128,126k k k b b b b T -+===．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 对*n ∀∈N ，均有12112n n nc c c a b b b ++++= 成立，求122013c c c +++ ．19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面△ABC 为等腰直角三角形，90ABC ∠= ，D 为棱1BB 上一点，且平面1DA C ⊥平面11AA C C .(Ⅰ)求证：D 为棱1BB 的中点；（Ⅱ）ABAA 1为何值时，二面角1A A D C --的平面角为60 .20．（本小题满分12分）如图，山顶有一座石塔BC ，已知石塔的高度为a .（Ⅰ）若以,B C 为观测点，在塔顶B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A处的俯角为β，用,,a αβ表示山的高度h ；（Ⅱ）若将观测点选在地面的直线AD 上，其中D 是塔顶B 在地面上的射影. 已知石塔高度20a =,当观测点E 在AD上满足DE =BC 的视角(即BEC ∠)最大，求山的高度h .21.（本小题满分13分）已知na 是关于x 的方程1210n n n x x x x --++++-= (0,x n n >∈N 且≥的根，证明：（Ⅰ）1112n n a a +<<<; （Ⅱ）11()22n n a <+.22.（本小题满分14分）已知函数()e 1x f x ax =--（e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值；（Ⅲ）求证：22222232323ln 1ln 1ln 12(31)(31)(31)n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯⨯⨯++++++<⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦.ABCA 1B 1C 1D 第19题图第20题湖北省八校2014届高三第一次联考理科数学参考答案及评分细则一、选择题（每小题5分，共10小题）1—5 A C B B D 6—10 B A A B A 10. 答案：110,,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭注意到11()f x x x x x=+--是偶函数，考察0x >的情形，2(01)2(1)x x y x x<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，作图0k =0k ≠时，若直线1y kx =+与2y x =相切，由21kx x +=得220kx x +-=，△=0, 18k =-直线绕（0,1）逆时针旋转，开始出现5个交点顺时针旋转，3个交点 18k =-符合题意. 根据对称性，18k =也满足题意. 二．填空题（每小题5分，共5小题）11. 2π 12. 14r h = 13. 6π14. {}45,15,9； {}6 第一个空2分，第二个空3分15.216. 2m =±14. 答案：{}45,15,9；{}665111()642a ==，等比数列部分最少6项，即6m ≥ 由6251m m k ++⋅=，得(21)45k m += 0,1,2k ∴=时，45,15,9m =；1285212564m m S S a a a +=++++ 26430m S =+2211112m m S m m =-++- ()g m =，(1)()g m g m +- =111022m m +-+，35m ∴≤≤时，(1)()g m g m +>即6m =时，2m S 最大，128564(6)302013m S g +∴≤+= 故12852013m S +=，则6m =三、解答题（共5小题，共75分） 17. （Ⅰ）2()4sin()cos 3f x x x πωω=+1分14sin ()cos cos 2x x x ωωω⎡=⋅-+⎢⎣⎦22sin cos x x x ωωω=-cos2)sin 2x x ωω=+-2cos(2)6x πω=++5分由题意，T π=，2,12ππωω∴== 6分（Ⅱ）()2cos(2)6f x x π=+[]0,2x π∈时，2,4666x ππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦故[]2,26x πππ+∈或[]23,46x πππ+∈时，()f x 单调递增9分即()f x 的单调增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和1723,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12分18. （Ⅰ）由题意24317742187()7912a a a a a S a +==⎧⎪⎨+===⎪⎩得349,13a a ==，则43n a n =- 2分 211k k b b bb -= ，1,k b b ∴方程2661280x x -+=的两根，得12,64k b b ==4分111(1)12611k k k b b q b q S q q---===-- ，12,64k b b ==代入求得2q =，2n n b ∴=6分（Ⅱ）由12112n n nc c ca b b b ++++=112121(2)n n n c c c a n b b b --+++=≥ 相减有1n n n n c a a b +=-4=22,42n n n n c b +∴≥==，9分又121ca b =，得110c =210(1)2(2)n n n c n +=⎧=⎨≥⎩ 122013c c c ∴+++= 45201520161022226++++=-12分19．解：（Ⅰ）过点D 作DE ⊥ A 1 C 于E 点，取AC 的中点F ，连BF ﹑EF∵面DA 1 C ⊥面AA 1C 1C 且相交于A 1 C ，面DA 1 C 内的直线DE ⊥ A 1 C 故直线DE ⊥面11ACC A3分又∵面BA C ⊥面AA 1C 1C 且相交于AC ，易知BF ⊥AC ，∴BF ⊥面AA 1C 1C 由此知：DE ∥BF ，从而有D ，E ，F ，B 共面，又易知BB 1∥面AA 1C 1C ，故有DB ∥EF ，从而有EF ∥AA 1，又点F 是AC 的中点，所以DB ＝ EF ＝ 21 AA 1 ＝ 21 BB 1，即D 为1BB 的中点 6分（Ⅱ）解法1：建立如图所示的直角坐标系，设AA 1 ＝ 2b ，AB ＝BC ＝a ，则D （0,0,b ）, A 1 (a ,0,2b ), C (0,a ,0)所以，),,0(),,0,(1b a DC b a DA -==设面DA 1C 的法向量为),,(z y x n = 则0,00=-+⋅=+⋅+bz ay x bz y ax可取),,(a b b n --= 8分又可取平面AA 1DB 的法向量 )0,,0(a ==cos ,m n u r r222222200ab b aa b a ba b +-=⋅+⋅--⋅==A 1C 1 B 1 A C BD HE FG据题意有：21222=+a b b解得： ABAA 1＝22=a b12分 (Ⅱ)解法2：延长A 1 D 与直线AB 相交于G ，易知CB ⊥面AA 1B 1B ，过B 作BH ⊥A 1 G 于点H ，连CH ，由三垂线定理知：A 1 G ⊥CH ，由此知∠CHB 为二面角A －A 1D － C 的平面角； 9分设AA 1 ＝ 2b ，AB ＝BC ＝a ；在直角三角形A 1A G 中，易知AB ＝ BG .在∆Rt DBG 中，BH ＝ DG BGBD ⋅ ＝ 22ba ab +⋅，在∆Rt CHB 中，tan ∠CHB ＝ BH BC＝bb a 22+，据题意有：bb a 22+ ＝ tan 600 ＝3 ，解得：22=a b 所以ABAA 112分20. 解：（1）在△ABC 中，BAC αβ∠=-,90BCA β∠=+, 由正弦定理得：sin sin BC ABBAC BCA=∠∠sin(90)cos sin()sin()a a AB ββαβαβ+∴==-- 则cos sin sin sin()a h AB a a βαααβ=⋅-=--=cos sin sin()a αβαβ⋅- 4分（2）设DE x =，20tan h BED x +∠=，tan hCED x∠= tan tan tan 1tan tan BED CEDBEC BED CED∠-∠∴∠=+∠⋅∠ 6分22020(20)(20)1x h h h h x x x==++++≤当且仅当(20)h hx x+=即x =tan BEC ∠最大，从而BEC ∠最大=，解得180h = 12分21. （Ⅰ）设12()1nn n f x x xx x --=++++- ，则'12()(1)21n n f x nx n x x --=+-+++显然'()0f x >，()f x ∴在R +上是增函数(1)10(2)f n n =->≥11(1())122()11212n f -=--1()02n =-< ()f x ∴在1(,1)2上有唯一实根，即112n a << 4分假设1n n a a +≥，*1()k k n n a a k N +∴≥∈则1()n f a +=111111111n n n n n n n n n n n n a a a a a a a ++-+++++++-≥++++-11n n n n n a a a ->+++- ()n f a =1()()0n n f a f a +== ，矛盾，故1n n a a +<8分（Ⅱ）111111()()1()()()12222n n n n n n nn f a f a a a --⎡⎤-=+++--+++-⎢⎥⎣⎦11111(())(())()222n n n n n n n a a a ---+-++- 12n a >- （12n a > ）()0n f a = ，11()()22n f =-11()22n n a ∴<+13分方法二：121n n n n n n a a a a --=+++由（Ⅰ）1n a -=12n n n n n a a a -+++ 12111()()()222nn ->+++ =11()22n -11()22n n a ∴<+22 （Ⅰ）'()xf x e a =-1分 0a ∴≤时，'()0f x >，()f x 在R 上单调递增。

安徽省名校联盟2021-2022学年高三上学期开学考试理科数学试题(含答案)

t1
t2
1 3 ，
2 2
1
由参数 t0 的几何意义可知： PM t0
3 . 2
………………………………………10 分
3, x 1
23.【解析】（1）当 a 2 时, f x x 2 x 1 1 2x, 1 x 2 ……………2 分
3, x 2
x 1 1 x 2 x 2
x
当 m 0 时， f x 递增区间为 0, ；
当
m
0
时，
f
x
递增区间为
0,
1 m
，递减区间是
1
m
，+
…………………4 分
（2） g x f x 1 x2 ， g x x2 mx 1
2
x
当 2 m 2 时，g x 0 ，g x 在 0, 递增，无极值点；………………………6 分
3【. 解析】设 z a bi a,b R ,则 z a bi , z 1 a 12 b2 , z 1 a 12 b2 .
4.【解析】做出不等式组的可行域，可知 z 2x y 1 的最大值为 7 ，最小值为 3 ，故选 C.
5.【解析】由 f x 是奇函数可得 a 1，经验证符合题意，故选 A.
得 x0 ln 2 ，故 x0 的取值范围是 ln 2,
15.【解析】由三视图可知，几何体为圆锥、三棱锥和四棱锥，故①③④.
AB
16.【解析】由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°，AE＝cos
，所以 15°
AD
AEsin 45° 2AB
2×10
＝
sin 30°
＝
，因此
cos 15°
CD＝ADsin60°＝

湖南省常德市普通高中沅澧共同体2024届高三第一次联考数学试卷(解析版)

常德市普通高中沅澧共同体2024届高三第一次联考（数学试题卷）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据一元二次不等式化简集合，即可由集合的交运算即可求解.【详解】由得，所以，故选：C2. 已知，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】，或，所以前者可以推得后者，后者不能推得前者，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3. 已知等比数列中，，，则公比为（）A.B. 2C.D. 4【答案】C 【解析】【分析】直接使用已知条件及公比的性质得到结论.{}2{31}0123,4A x x B =->=∣,,,,A B = {}3,4{}2,3,4{}0,1{}0,1,22{31}A x x =->∣A x =<<A B = {}01，x ∈R 38x >2x >382x x >⇔>22x x >⇔><2x -38x >2x >{}n a 3101a a ⋅=62a =q 1214【详解】.故选：C.4. 已知，则（）A.B. C.D.【答案】A 【解析】【分析】使用诱导公式和二倍角公式，结合已知条件即可求解.【详解】.故选：A.5. 已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】由题意画出图形，利用正弦定理求出的外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【详解】如图，431031032266611124a a a a q q q a a a ⋅=⋅=⋅===1cos 3π6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππsin sin 236αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10949-2365ππππππsin sin 2cos cos 2362362αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=----+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3ππcos cos 26αα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππcos 2cos 166αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2111021339⎛⎫⎛⎫=-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A BCD -AB ⊥BCD AB =BC =5CD =BD =196π3244π3196π5244π5BCD △设的外心为，过作底面的垂线，使，则为三棱锥的外接球的球心，中，由3，，7，得，故，设的外接圆的半径为，则，，．三棱锥外接球的表面积为．故选：B6. 已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点，为圆上的一点，则的最小值为（）A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即，从而得到，三点共线时和最小；再由在圆上，得到最小值.在BCD △M M MO 12MO BA =O BCD △BC =5CD =BD =2223571cos 2352BCD +-∠==-⨯⨯sin BCD ∠=BCD △r r ==2OM =∴22226123OB R =+==∴2612444π4ππ33R =⨯=216y x =F ()()22511x y -+-=P Q PF PQ +PF PN =PF PQ PN PQ +=+P Q N 、、Q min QN MN r =-【详解】由抛物线方程为，得到焦点，准线方程为，过点做准线的垂线，垂足为，因为点在抛物线上，所以，所以，当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时和最小，又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，所以，故选：C.7. 将三个分别标注有，x ，的三个质地均匀的小球放入一个不透明的小盒中.无放回的随机取出2个小球（每次取一球），分别记录下小球的标注为.若，则在上单调递减的概率为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用导数求解函数的单调性，即可由古典概型概率公式求解.【详解】若，由均为上的单调递增函数，且为正，故为上的单调递增函数，若，则时，，故为上的单调递减函数，若，则时，，故为上的单调递减函数，216y x =()4,0F 4x =-P N P PF PN =PF PQ PN PQ +=+Q P Q N 、、QN Q ()()22511x y -+-=()5,1M 1r =min 8QN MN r =-=e x 1ln x()(),f x g x ()()()h x f x g x =()h x ()0,1x ∈16291323()()()e xh x f x g x x ==e ,==x y y x ()0,1()h x ()0,1()()()ln x h x f x g x x ==()0,1x ∈()2ln 10ln x h x x-'=<()h x ()0,1()()()e ln xh x f x g x x==()0,1x ∈()()221e ln e e ln 10ln ln x x x x x x x h x x x x-='-=<()h x ()0,1故在上单调递减的概率为,故选：D8. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】首先利用方程组法求出、的解析式，再判断的单调性，则问题转化为恒成立，参变分离求出，即可得解.【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以，，因为，①所以，所以，②①②得，，因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在上单调递增，又，若恒成立，则恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以只需，因为，，所以（当且仅当，即时取等号），()h x ()0,1x ∈23()f x ()g x R ()()2xf xg x +=()()0g f x a -≥a (),1-∞(],1-∞()1,+∞[)1,+∞()f x ()g x ()g x ()0f x a -≥()min f x ()f x ()g x R ()()f x f x -=()()g x g x -=-()()2x f x g x +=()()2x f x g x --+-=()()2x f x g x --=+22()2x x f x -+=22()2x x g x --=2x y =R 2xy -=R 22()2x xg x --=R (0)0g =()()0g f x a -≥()()()0g f x a g -≥()0f x a -≥()f x a ≥()min a f x ≤20x >20x ->222-+≥=x x 22-=x x 0x =所以（当且仅当时，取等号），所以，所以的取值范围为.故选：B ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知关于x 的方程的两复数根为和则（）A. B. C. D.【答案】AC 【解析】【分析】在复数范围内解方程得，，然后根据复数的概念、运算判断各选项．【详解】，不妨设，，，故A 正确；由韦达定理可得，故B 错误；，故C 正确；，，当时，，故，故D 错误．故选：AC ．10. 若定义在上的连续函数满足对任意的实数都有且，则下()2212x xf x -+=≥0x =1a ≤a (],1-∞()²4044x tx t ++=-<<1z 2z 12z z =121z z =12||||z z =1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭1z 2z 2160t ∆=-<x ∴=12t z =-+22t z =-12z z ∴=124z z =122z z ===124z z = ∴2222111212184422z z z t t z z z ⎛⎫-===-+= ⎪ ⎪⎝⎭0t ≠12R z z ∉1122z z z z ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭R ()f x ,a b ()()()f a b f a f b +=⋅()12f =列判断正确的有（）A. 函数的图象关于原点对称B. 在定义域上单调递增C. 当时，D.【答案】BCD 【解析】【分析】直接证明，然后逐个判断选项即可.【详解】由知恒成立，再由知恒成立.设，则，且.故，.由于，故.而，故归纳即知.又因为对有，故归纳即知.特别地有，故，所以对有.这就得到了，从而.设有无理数，有理数数列使得，由于是连续的，故，而，故.()f x ()f x ()0,x ∈+∞()1f x >()()()()()()()()()()24620222024 (2024)135********f f f f f f f f f f +++++=()2xf x =()()()211f f x f x ==-()0f x ≠()20222x x x f x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()0f x >()()2log g x f x =()()221log 1log 21g f ===()()()()()()()()()2222log log log log g x y f x y f x f y f x f y g x g y +=+==+=+()11g =()()()g x y g x g y +=+()()()()()0000020g g g g g =+=+=()00g =()()()()111g x g x g g x +=+=+()()g n n n =∈Z ()0m m ∈≠Z ()11g x g x g m m ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1n g n g n m m ⎛⎫⎛⎫=⋅∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z 1m g m g m m ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11111m g g g m m m mm ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),0m n m ∈≠Z 1n ng n g m m m⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()g q q q =∈Q ()()2qf q q =∈Q r {}n q n q r →()f x ()()n f q f r →()22n q r n f q =→()2r f r =这就表明.由于，故不是奇函数，故其图象并不关于原点对称，A 错误；由于在定义域上单调递增，且当时，，故B ，C 正确；对于D ，由可得，从而，D 正确故选：BCD.【点睛】关键点点睛：值得注意的是，如果去掉是连续函数的条件，并承认选择公理，则此时不能说明对无理数，有，且不一定单调递增. 事实上，此时可以构造一个的满足的线性映射，再取，即可得到反例.11. 已知正方形边长为4，将沿向上翻折，使点与点重合，设点为翻折过程中点的位置（不包含在点处的位置），则下列说法正确的有（）A. 无论点在何位置，总有B. 直线与平面所成角的最大值为C. 三棱锥体积的范围为D. 当平面平面时，三棱锥的内切球的半径为【答案】ACD【解析】【分析】对于A ，构造正方形的中心，然后利用线面垂直的判定定理和性质即可；对于B ，直接利用点的轨迹即可否定；对于C ，确定点到平面的距离的取值范围，再相应确定三棱锥体积的范围即可；对于D ，先说明此时点的位置，再利用等体积法求出内切球半径即可..()2xf x =()()11212f f -=≠-=-()2x f x =()2xf x =()0,x ∞∈+()0221xf x =>=()()11222x x f x f x ++==()()()()()()()()()()24620222024...213520212023f f f f f f f f f f ======()()()()()()()()()()24620222024...202413520212023f f f f f f f f f f +++++=()f x r ()2rf r =()f x →R Q ()11P =()P x ()()2P x f x =ABCD ABC AC B D S B D S AC SD ⊥SD ACD π3S ACD -⎛ ⎝SAC ⊥ACD S ACD --ABCD O S S ABCD S ACD -S【详解】对于A ，设是正方形的中心，则.过在正方形上方作直线，使得平面，，再在平面内以为圆心，，则的轨迹为圆位于正方形上方的部分（不含点）.由于平面，在平面内，故.而，和在平面内交于点，所以平面.又因为在平面内，所以，A 正确；对于B ，由于平面，平面的两直线和相交，故直线与平面所成角即为，而当在圆的上半部分（不含点）运动时，的范围是，B 错误；对于C ，由于到平面的距离的取值范围是，即，而三棱锥的体积，故其取值范围是，C OABCD OA OB OC OD ====O ABCD OP OP ⊥ABCD OP =PBD O O S O ABCD ,BD OP ⊥ABCD AC ABCD OP AC ⊥AC BD ⊥OP BD PBD O AC ⊥PBD SD PBD AC SD ⊥OP ⊥ABCD PBD OP SD SD ACD SDB ∠S O ,B D SDB ∠π0,2⎛⎫⎪⎝⎭S ABCD d 0d OP <≤0d <≤S ACD -118363S ACD ACD dV S d AD AC d -=⋅=⋅⋅= ⎛ ⎝正确；对于D ，若平面平面，由于平面，在平面内，故.而平面平面，在平面内，，平面和平面的交线是，故平面.而平面，故位于同一直线上，而均在正方形上方，故点和点重合.设三棱锥的内切球半径为.由于，故而，，且由C 选项的计算可知.，得D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构造点的轨迹，然后方可利用圆的性质求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 曲线在处的切线方程是__________________________【答案】【解析】【分析】求导可得切点处斜率，即可由点斜式求解直线方程.【详解】由可得，故处的切线斜率为，又切点为，故切线方程为，故答案为：SAC ⊥ACD AC ⊥PBD SO PBD SO AC ⊥SAC ⊥ACD SO SAC SO AC ⊥SAC ACD AC SO ⊥ACD OP ⊥ABCD ,,O P S OP OS ==,P S ABCD S P P ACD -r 4AP PD AB BC PC =====24APD CPD S S === 11822PAC S OP AC =⋅=⋅= 1144822ACD S AD CD =⋅=⋅⋅= P ACD V -=()(111633P ACD PAC ACD APD CPD V r S S S S r -==+++=+ r ==-S ln y x x =+1x =21y x =-ln y x x =+11y x'=+1x =12x y ='=()1,121y x =-21y x =-13. 已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于两点，且，，则双曲线的离心率为______________【解析】【分析】设，根据已知条件及双曲线的定义可得到，，然后解该齐次方程组即可得到离心率.【详解】设，则，，从而，.再由可知，.故，，整理得方程组.由有，代入第一个方程可得，所以.14. 如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD 至E ，使得．动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，，则的取值范围为___________．【答案】【解析】()2222:10,0x y C a b a b -=>>12,F F 2F ,A B 223AF F B = 1AB BF ⊥2F B t = ()22224t a t c ++=()()22221632t a t t a ++=+2F B t = 23AF t = 4AB t = 132AF t a =+ 12F B t a =+1AB BF ⊥ 2221212F B F B F F += 22211F B AB AF += ()22224t a t c ++=()()22221632t a t t a ++=+2222222t at a cat t ⎧++=⎨=⎩2at t =t a =2252a c =e ===ABCD 2DE CD ＝AP AB AE λμ=+λμ+[]0,4【分析】建立适当的平面直角坐标系，讨论四种情况，即可求出的取值范围.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：则，所以，当时，有，即，此时的取值范围为，当时，有，即，此时的取值范围为，当时，有，即，此时的取值范围为，当时，有，即，此时的取值范围为，综上所述，的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知的内角的对边分别是，且.（1）判断的形状；（2）若的外接圆半径为，求周长的最大值.【答案】（1）等腰三角形（2）,,,P AB P BC P CD P DA ∈∈∈∈λμ+()()1,0,2,1B E -()2,AP AB AE λμλμμ=+=-P AB ∈021λμμ≤-≤⎧⎨=⎩01,0λμ≤≤=λμ+[]0,1P BC ∈2101λμμ-=⎧⎨≤≤⎩()123134λμλμμμ≤+=-+=+≤λμ+[]1,4P CD ∈0211λμμ≤-≤⎧⎨=⎩()()323234λμλμμλμ≤+=-+=-+≤λμ+[]3,4P DA ∈2001λμμ-=⎧⎨≤≤⎩()02333λμλμμμ≤+=-+=≤λμ+[]0,3λμ+[]0,4[]0,4ABC ,,A B C ,,a b c 2cos ab C=ABC ABC ABC【解析】【分析】（1）使用正弦定理对条件进行边化角，再用三角恒等变换证明；（2）先用基本不等式证明，最后说明等号可以取到，即得结果.【小问1详解】由正弦定理并结合已知有.故，从而.由于，从而，故由可知，所以一定是等腰三角形.【小问2详解】设的外接圆半径为.一方面，我们有故；另一方面，当的等边三角形时，有，.B C =sin sin sin A B C ++≤a b c ++≤()sin 2cos sin sin cos sin cos sin sin 2sin cos a B b C BB C C B B C A B C b b+=+====sin cos sin cos B C C B =()sin sin cos sin cos 0B C B C C B -=-=(),0,πB C ∈()π,πB C -∈-()sin 0B C -=B C =ABC ABC R ()sin sin sin sin sin sin A B C B C B C++=+++sin cos sin cos sin sin B C C B B C=+++sin sin B C=++sin sin B C≤++sin sin B C=++22sin sin B B C C =+-++22sin sin B C =-+≤()2sin sin sin 2a b c R A B C R ++=++≤==ABC a b c ===π3A B C ===此时，.所以周长的最大值是.【点睛】关键点点睛：值得一提的是，第2小问证明时并不需要使用第1小问得到的. 若使用该条件，则可化为，然后再利用亦可得到结果. 但这样并未从本质上减少工作量，反而使解析失去了一般性和启发性，因此本解析不采用此法.16. 已知直三棱柱中，，分别为和的中点，为棱上的动点，.（1）证明：平面平面；（2）设，是否存在实数，使得平面与平面?【答案】（1）证明见解析；（2）存在.【解析】【分析】（1）先用线面垂直的判定定理证明平面，再使用面面垂直的判定定理即可；（2）使用空间向量法直接求解两平面的夹角（用表示），再根据夹角条件，解关于的方程即可.【小问1详解】21cos 2a b C ===2sin a R A ===a b c ++=ABC a b c ++≤B C =sin sin sin A B C ++()2sin cos sin B B B +2sin sin sin B B B +≤+=111ABC A B C -1AB AC AA ==,M N BC 1BB P 11A C 11AN A C ⊥ANP ⊥1A MP 111A P A C λ= λ11AA B B PMN 14λ=AN⊥1A MP λλ由于在直三棱柱中，有平面，而在平面内，故.同时有，且，故.由于，，且和在平面内交于点，故平面.由于在平面内，故.取的中点，由于分别是和的中点，故，而，故，即.由于分别是和的中点，可以得到，所以有平行四边形，故.设和交于点，由于，，，从而得到全等于，故.这就得到，从而，即.111ABC A B C -1AA ⊥ABC AC ABC 1AA AC ⊥11//AC A C 11AN A C ⊥AN AC ⊥AN AC ⊥1AA AC ⊥AN 1AA 11AA B B A AC ⊥11AA B B AB 11AA B B AB AC ⊥AB R ,M R BC BA //MR AC 11//AC A C 11//MR A C 1//MR A P ,M R BC BA 1111122MR AC A C A P ===1MRPA 1//A R MP 1A R AN T 11111222BN BB AA AB AR ====1AB A A =190ABN A AR ∠=︒=∠ABN 1A AR 19090TRA A RA ANB BAN RAT ∠=∠=∠=︒-∠=︒-∠90TRA RAT ∠+∠=︒90RTA ∠=︒1AN A R ⊥而，故.由于，即，而，和在平面内交于点，故平面.由于平面，在平面内，故平面平面.【小问2详解】有，又因为平面，和在平面内，故，.由于两两垂直，故我们能够以为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系.由于题设条件和需要求证的结论均只依赖于线段间的比值，不妨设，这就得到，，，，，，，.据题设有，显然，此时.从而有，，，.设和分别是平面和平面的法向量，则，.即，，从而可取，.此时平面与平面所成角的余弦值为，，解得，所以存在，使得平面与平面.17. 某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修学习情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP ”学习的时长数据（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35.学习时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”.的1A RMP AN MP ^11AN A C ⊥1AN A P ⊥AN MP ^1A P MP 1AMP P AN ⊥1A MP AN⊥1A MP AN ANP ANP ⊥1A MP AB AC ⊥1AA ⊥ABC AB AC 11AA B B 1AA AB ⊥1AA AC ⊥1,,AB AC AA A 1,,AB AC AA,,x y z 12AB AC AA ===()0,0,0A ()0,2,0B ()2,0,0C ()10,0,2A ()10,2,2B ()12,0,2C ()1,1,0M ()0,2,1N 111A P A C λ=01λ≤≤()2,0,2P λ()0,2,0AB = ()10,0,2AA = ()2,2,1NP λ=- ()1,1,1MN =-()1,,n p q r = ()2,,n u v w = 11AA B B PMN 1110n AB n AA ⋅=⋅=220n NP n MN ⋅=⋅= 220q r ==220u v w u v w λ-+=-++=()11,0,0n = ()23,21,22n λλ=+-11AA B B PMN 121212cos ,n n n n n n ⋅====22784142λλ-+=14λ=14λ=11AA B B PMN（1）现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率.（2）若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中，为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五入到整数）；②若从该市随机抽取的n 名教师中恰有ξ名教师的学习时长在内，则当的均值不小于32时，n 的最小值为多少？附：若随机变量服从正态分布，则，，.【答案】（1）（2）① ②【解析】【分析】（1）直接使用古典概型和排列组合工具求解；（2）①直接使用正态分布数据计算出的概率，然后用概率估计实际的比例；②用正态分布数据求出的均值，再解出的最小值.【小问1详解】由于这10名教师中恰有3名是研修先进个人，故随机抽取的3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率.【小问2详解】①直接计算可得.所以故可以估计学习时长不低于50小时的教师的人数为.②由于，故.当时，有，得.所以的最小值是.18. 已知椭圆的短轴长为分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上.X ()2,N μσ10σ=μ[]50,70ξX ()2,N μσ()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈21408414750X ≥ξ0.6827n n 1237310C C 32121C 12040p ⋅⨯===354390835045827562356010μ+++++++++==()()()11500.8413522P X P X P X μσμσμσ≥=≥-=+-≤≤+≈10000.84135841⨯≈()()50700.6827P X P X μσμσ≤≤=-≤≤+≈()0.6827E n ξ=()32E ξ≥0.682732n ≥46.8727n ≥n 47()2222:10x y C a b a b+=>>12,F F R的一点，且的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）过作垂直于轴的直线与椭圆交于两点（点在第一象限），是椭圆上位于直线两侧的动点，始终保持，求证：直线的斜率为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知可得，，然后解出即可得到方程；（2）先确定，然后由已知可得的斜率互为相反数，再设出斜率，使用韦达定理即可验证直线的斜率.【小问1详解】由已知有，即，.所以，从而.故椭圆的方程为.【小问2详解】我们有，故直线的方程为.将代入可得，解出，故，.由于，故的斜率互为相反数.12RF F △6C 2F x l ,E F E ,P Q C l QEF PEF ∠=∠PQ 22143x y +=3a c +=b =a 31,2E ⎛⎫⎪⎝⎭,PE QE PQ 12PQ k =2b =1212226c a F F RF RF +=++=3a c +=b =222313a cb ac a c a c --====++3122222a c a c a +-=+=+=C 22143x y +=1c ===l 1x =1x =22143x y +=21143y +=32y =±31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭31,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭QEF PEF ∠=∠,PE QE设的斜率分别是，则由可知它们的方程分别是和.将直线与椭圆方程联立可知，即.由知此方程必有一根，故另一根是.这得到，同理有.所以直线的斜率.19. 已知函数．（1）求的单调区间；（2）证明：；（3）若函数有三个不同零点，求的取值范围．【答案】（1）的单调递减区间为，无单调递增区间，（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）求出的定义域，对求导，利用导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）可得时，，从而可得，令，利用放缩法可得，利用裂项求和法即可得证；（3）对化简可得，只有一个零点，令，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点，分和两种情况讨论，结合零点存在性定理即可求解．的,PE QE ,k k -31,2E ⎛⎫⎪⎝⎭32y kx k =+-32y kx k =-++32y kx k =+-22334122x kx k ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭()()()2223443232120k xk kx k ++-+--=31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭1x =()2222321241233443k k k x k k ----==++()2222412312129,43243k k k k P k k ⎛⎫----+ ⎪ ⎪++⎝⎭()2222412312129,43243k k kk Q k k ⎛⎫+--++ ⎪ ⎪++⎝⎭PQ ()()222222222212129121291224324314324412341232434343PQk k k k k k k k kk k k k k k k k -++--+-+++===+----+++()12ln f x x x x=-+()f x ()2*3222211111111e N 2234n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<∈≥ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()()221ln 20g x m x x m x=--+>m ()f x (0,)+∞(1,)+∞()f x ()f x (1,)x ∈+∞1()2ln (1)0f x x x f x =-+<=1ln 22x x x<-*211(N ,2)x n n n =+∈≥2111ln(11122n n n +<--+()g x ()(ln ln g x m x m x =ln y m x =+1x =t =()g x ()h t 01m <≤1m >【小问1详解】函数定义域为，因为，所以在上单调递减，故的单调递减区间为，无单调递增区间，【小问2详解】证明：由（1）时，，所以，令，则，，故所以；【小问3详解】，因为与同号，所以，令，，由，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点，函数定义域为，因为，()f x (0,)+∞()2222212121()10x x x f x x x x x---+-'=--=≤=()f x (0,)+∞()f x (0,)+∞(1,)x ∈+∞1()2ln (1)0f x x x f x=-+<=1ln 22x x x<-*211(N ,2)x n n n =+∈≥2222222111111111ln(1)(1)()112212(1)4n n n n n n n +<+-=+<<++-111122n n =--+22221111ln(1ln(1)ln(1)ln(1)234n++++++++ 111111()()()1111112233222222n n <-+-++--+-+-+2121332n =-<+()*222211112ln 1111N 22343n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<∈≥ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,2322221111(1)(1)(1(1)e 234n++++< 222221(1)()ln 2ln (ln ln x g x m x x m x m x m x x x -=--+=-=+ln x 1x -ln y m x =+1x =t =1ln 2ln y m x m t t t =--+()10f =()g x 1()2ln (0)h x m x x m x =-+>()h x (0,)+∞2222121()1m x mx h x x x x -+-'=--=设，则，①当时，，恒成立，此时在上单调递减，显然不符合题意，②当时，，有两个零点，，所以当时，，即；当时，，即；当时，，即．故在，,上单调递减，在,上单调递增；因为，且，所以，所以，由（2）知，时，，所以，即，所以，所以由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点，因为，因为，所以，所以时，存在三个不同的零点，1，，故实数的取值范围是．【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．2()21k x x mx =-+-24(1)m ∆=-01m <≤0∆≤()0h x '≤()h x (0,)+∞1m >0∆>()k x 1x m =-2x m =10x x <<()0k x <()0h x '<12x x x <<()0k x >()0h x '>2x x >()0k x <()0h x '<()h x 1(0,)x 2(x )∞+1(x 2)x ()10h =121=x x 121x x <<()1()1h x h <=02()h x <1x >1ln 22x x x <-<-ln x <2222222211114(4)2ln(4)42(2404244m h m m m m m m m m m m m -=-+<--+=<()h t 22(,4)t m 0t 000000001111()(2ln 2ln 0h t h m t t m t t t t t +=-++-+=0()0h t =01(0h t =1m >()h t 01t 0t m (1,)+∞。

2020年高三第一次联合模拟考试理数一模定稿(无水印)

顶
点
为
犃
（０，犫），直
线
犪２狓＝犮
上
存
在
一
点
犘满足（犉犘→＋犉犃→）·犃犘→＝０，则椭圆的离心率取值范围为
［）Ａ．
１２
，１
［）Ｂ．槡２２，１
［）Ｃ．槡５２－１，１
（］Ｄ．０，槡２２
１０．已知定义在犚上的函数犳（狓），满足犳（１＋狓）＝犳（１－狓），当狓∈［１，＋∞）时，
（）｛烄１－｜狓－２｜，狓∈［１，３）
Ａ．槡５５
Ｂ．２５槡５
Ｃ．３５槡５
Ｄ．槡５
第Ⅱ卷（非选择题共９０分）
二、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．把答案填写在答题纸相应位置上．
１３．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大．动力
先进的电子计算机，验算到对７００亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证
明．例如取狀＝１３，则要想算出结果１，共需要经过的运算步数是
Ａ．９
Ｂ．１０
Ｃ．１１
Ｄ．１２
５．已知犪＝ｌｎ３，犫＝ｌｏｇ３犲，犮＝ｌｏｇπ犲（注：犲为自然对数的底数），则下列关系正确的是
２．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．
３．回答第 Ⅱ 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

江淮十校2020届高三第一次联考理数

20、（12 分）
如图，已知 A(1,0), B(1,0),Q, G 分别为 ABC 的外心，重心， QG // AB . （1）求点 C 的轨迹 E 的方程；（2）是否存在过 P(0,1) 的直线 L 交曲线 E 于 M , N 两点且满足 MP 2PN ，若存在求出 L 的方程，若不存在请说明理由.
B、周期为，关于直线 x 对称 2
D、在 (0, ) 上单调递减，且为偶函数
4
10、对任意实数 x ，恒有 ex ax 1 0 成立，关于 x 的方程 (x a) ln x x 1 0 有两根
为 x1, x2 (x1 x2 ) ，则下列结论正确的为（）
D、当点 F 从 A1 运动到 D1 的过程中，点 D 到平面 CBF 的距离逐渐变．小．
8、某创业公司共有 36 名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了 9 位代表，
将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在 (x s, x s) 内的人数占公司人数的百
分比是（其中 x 是平均数， s 为标准差，结果精确到 1%）（）
构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另
两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取
一点，则此点取自正三角形外的概率为（）
2 3 3
A、
2( 3)
3
B、
2( 3)
3
C、
2( 3)
2 3 3
D、
（1）求 an的通项公式；
（2）设 bn

1 4an

1
，数列
bn
的前
n
项和为 Tn

江西省南昌市三校(一中、十中、铁一中)2022-2023学年高三上学期11月期中联考《理数》含答案

南昌市三校（一中、十中、铁一中）高三上学期第一次联考数学试卷（理科）学校：南昌十中考试时长：120分钟试卷总分：150分一､选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合403x M x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭∣，133xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪≤⎪⎩⎭∣，则M N = （）A. []4,1-- B.[)1,3- C.[)4,3- D. []1,3-2.设平面向量a ，b 均为单位向量，则“|a −2b |=|2a +b |”是“a ⊥b ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3．已知函数则A． B ． C ． D ．（第4题图）4.如图，在△ABC 中，BN =14BC ，设AB =a ，AC =b ，则AN =( )A. 14a−34bB. 34a−14bC. 14a +34bD. 34a +14b5.如图所示，在平面直角坐标系中，角α和角β均以Ox 为始边，终边分别为射线OA 和OB ，射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -．若6BOC π∠=，则cos()βα-的值是（）A B C.D 6.通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18︒2sin18=︒.记2sin18m =︒=（）A. 2-B.1-7.已知过点(),0A a 作曲线()1e xy x =-切线有且仅有1条，则=a （）0()(1)0x e x f x f x x ⎧=⎨->⎩，，，，…(ln 2)f =2e 4e 2e 4e 的A.3-B.3C.3-或1D. 3或18.已知奇函数f(x)在R 上是增函数．若a =−f(log 215)，b =f(log 24.1)，c =f(20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为()A. a <b <cB. c <b <aC. b <a <cD. c <a <b9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2cos 2cos a C b c A +=，c =，则A ∠=( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π310.已知函数f (x )=(3−a )x−4,x ≤8a x−7,x >8，若数列{a n }满足a n =f (n )(n ∈N ∗)且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A. (2,3)B.[2,3) ,311.已知函数π()2sin()cos sin (||)2f x x x ϕϕϕ=+-<，且对于任意x ∈R ，都有ππ(+)()33f x f x =--，下列序号中，① ()f x 在区间ππ[,]66-上单调递增；② (0)f ；③ 若0(2x f =0π1()123f x -=-；④若实数m 使得方程()0f x m -=在4π(0,)3上恰有1x ，2x ，3123()x x x x <<三个实数根，则123102=π3x x x ++.正确的序号有（）A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④12.黎曼函数R(x)是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，该函数定义在[0，1]上，当x =pq （p,q都是正整数，pq 为最简真分数）时，R (x)=1q ;当x =0或1或x 为（0，1）内的无理数时，R (x )=0.若g(x +1)为偶函数，g (x +2)为奇函数，当x ∈[0,1]时，g (x )=R (x ),则（）A.>15且g (cos 2αsin 2β)≥g (cos 2α)g (sin 2β)B.>15且g (cos 2αsin 2β)≤g (cos 2α)g (sin 2β)C.=15且g (cos 2αsin 2β)≥g (cos 2α)g (sin 2β)D.=15且g (cos 2αsin 2β)≤g (cos 2α)g (sin 2β)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知aϵR,若复数z =a 2−a−2+(a 2+3a +2)i 为纯虚数，则a =14. 如图，扇环ABCD 中，弧⌢AD =4，弧⌢BC =2，|AB |=|CD |=1，则扇环ABCD 的面积S =．15．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()30f =，则不等式()0f x >的解集为___________.16. 锐角△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，点G 为△ABC 的重心，若AG ⊥BG ，则cos C 的取值范围为______．三、简答题（本题共5小题，每小题12分，共60分）17．（12分）已知函数f(x)=1−3sin2x +2cos 2x ．(1)求f(x)的最大值及取得最大值时的x 集合；(2)设△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =1，f(A)=0.求b +c 的取值范围．18. （12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，侧面11AAC C是菱形，160A AC ∠= ，90ACB ∠= ，2AC BC ==.（1）若D 为1AC 的中点，求证：1AD A B ⊥；（2）求二面角11A A C B --的正弦值.19. （12分）某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12.（1）在一场比赛中，甲的积分为X ，求X 的概率分布列；（2）求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.20．（12分）已知圆C ：22(1)1x y -+=，椭圆M ：22184x y +=．（1）求证：圆C 在椭圆M 内；（2）若圆C 的切线m 与椭圆M 交于P ，Q 两点，F 为椭圆M 的右焦点，求△FPQ 面积的最大值．21．(12分)已知函数2211()ln 24f x x ax x x ax ⎛⎫=--+⎪⎝⎭．（1）若()f x 在(0,)+∞单调递增，求a 的值；（2）当1344a e <<时，设函数()()f x g x x=的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．四、选做题22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标xOy 中，直线l的参数方程为12x a y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a 为常数）．以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于AB 、两点，若16AB =，求a 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()||2|1|f x x a x =++-．（1）当2a =时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）若[1,2]x ∃∈，使得不等式2()f x x >成立，求实数a 的取值范围．高三上学期第一次三校联考数学（理科）试卷参考答案及评分标准一､选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）序号123456789101112答案BCADCBCBAADC二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.2 14.3 15. ()()3,03-+∞ ， 16.三、简答题（本题共5小题，每小题12分，共60分）17．已知函数f(x)=1−3sin2x +2cos 2x ．(1)求f(x)的最大值及取得最大值时的x 集合；(2)设△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =1，f(A)=0.求b +c 的取值围．【答案】解：(1)f(x)=1−3sin2x +2cos 2x =cos2x−3sin2x +2 =2cos(2x +π3)+2，····…..2分∵−1≤cos (2x +π3)≤1，∴0≤2cos(2x +π3)+2≤4，∴f(x)的最大值为4， …… 4分当2x +π3=2kπ(k ∈Z)，即x =kπ−π6(k ∈Z)时，函数f(x)取最大值，则此时x 的集合为{x|x =kπ−π6,k ∈Z}；· ………. 6分 (2)由f(A)=0得：2cos(2A +π3)+2=0，即cos (2A +π3)=−1，∴2A +π3=2kπ+π(k ∈Z)，即A =kπ+π3(k ∈Z)，又0<A <π，∴A =π3，∵a =1，sinA =32， ………….8分由正弦定理a sinA =b sinB =csinC 得：b =asinBsinA=23sinB ，c =23sinC ，又A =π3，∴B +C =2π3，即C =2π3−B ，∴b +c =23(sinB +sinC )=+−B=23(sinB +32cosB +12sinB)=2(32sinB +12cosB)=2sin(B +π6)，……….10分∵A =π3，∴B ∈(0,2π3)，∴B +π6∈(π6,5π6)，∴sin (B +π6)∈(12,1]，则b +c 的取值范围为(1,2]．………………..12分18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面ABC ，侧面11AAC C 是菱形，160A AC ∠= ，90ACB ∠= ，2AC BC ==.（1）若D 为1AC 的中点，求证：1AD A B ⊥；（2）求二面角11A AC B --的正弦值.【答案】（1）见解析（2【详解】（1）∵侧面11AAC C 是菱形，∴1AA AC =，∵D 为1AC 的中点，∴1AD A C ⊥，∵侧面11AA C C ⊥底面ABC ，侧面11AA C C 底面ABC AC =，90ACB ∠= ，BC ⊂底面ABC ，∴BC ⊥侧面11AAC C，∵AD ⊂侧面11AAC C ，∴BC AD ⊥，∵1A C BC C = ，∴AD ⊥平面1A BC ，∵1A B ⊂平面1A BC ，∴1AD A B ⊥………………………5分.【2】取11A C 中点E ，连接CE ，从而11CE A C ⊥，又由11A C AC ，则CE AC ⊥，∵侧面11AA C C ⊥底面ABC ，侧面11AA C C 底面ABC AC =，∴CE ⊥底面ABC ，以C 为坐标原点，以CA ，CB ，CE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如下图：由已知条件和上图可知，(0,0,0)C ，(2,0,0)A ，1A ，1(1,B -，由题意可知，平面1AA C 的一个法向量为(0,2,0)CB →= ………………………7分不妨设111(,,)n x y z →=平面11A CB 的一个法向量，因为1CA →=，1(1,CB →=-，从而111111100020x CA n CB n x y ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪-++=⎪⎩⎩，令1z =，则13x =-，13y =-，即(3,n →=--， ………………………9分设二面角11A AC B --为θ，由图可知θ为钝角，从而||cos |cos ,|||||CB n CB n CB n θ→→→→→→⋅=-<>=-=，即sin θ=故二面角11A ACB --. ………………………12分19. 某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12.（1）在一场比赛中，甲的积分为X ，求X 的概率分布列；（2）求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.【答案】（1）见解析（2）3332048【详解】（1）由题意可知，X 可能取值为0，1，2，3 ，当X 0=时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输，则312311115(0)(1C (1)(1222216P X ==-+⋅⋅--=，当1X=时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输，则22241113(1)C ((1(1)22216P X ==⋅⋅-⋅-=；当2X =时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢，则22241113(2)C ()(122216P X ==⋅⋅-⋅=，当3X =时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢，则322311115(3)(C ()(1)222216P X ==+⋅⋅-⋅=，故X 的概率分布列如下：X0123P516316316516………………………6分【小问2详解】设甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为事件A ，则甲的三场比赛积分分别为1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，故33335535333333()3A 31616161616161616162048P A =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为3332048. ………………………12分20．（12分）已知圆C ：22(1)1x y -+=，椭圆M ：22184x y +=．（1）求证：圆C 在椭圆M 内；（2）若圆C 的切线m 与椭圆M 交于P ，Q 两点，F 为椭圆M 的右焦点，求△FPQ 面积的最大值．21．（12分）已知函数2211()ln 24f x x ax x x ax ⎛⎫=--+⎪⎝⎭．（1）若()f x 在(0,)+∞单调递增，求a 的值；（2）当1344a e <<时，设函数()()f x g x x=的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．解：（1）()()ln f x x a x -'=．因为()f x 在(0,)+∞单调递增，所以()0f x '≥，即()ln 0x a x -≥（ⅰ）当1x >时，ln 0x >，则需0x a -≥，故min a x ≤，即1a ≤；（ⅱ）当1x =时，ln 0x =，则a R ∈；（ⅲ）当01x <<时，ln 0x <，则需0x a -≤，故max a x ≥，即1a ≥．综上述，1a =． ………………4分（2）()11()ln 24f x g x x a x x a x ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭，11()ln 24a g x x x =-+'，21()2a g x x x '=+'．因为1344a e <<，所以()0g x ''>，所以()g x '在(0,)+∞单调递增又因为13(1)0,()04e 4a g a g e ''=-+<=-+>．所以存在0(1,)x e ∈，使()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 调递增．故()g x 最小值为()000011ln ()24g x x a x x a h a ⎛⎫=--+=⎪⎝⎭．由()00g x '=，得00011ln 24a x x x =+，因此000031()ln ln 42h a x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令11()ln ,(1,)24x x x x x e τ=+∈，则13()ln 024x x τ=+>'，所以()x τ在区间(1,)e 上单调递增，又因为1344a e <<，且13(1),()44e e ττ==，所以01x e <<，即0x 取遍(1,)e 的每一个值，令2311131()ln ln (1),()ln ln (2ln 3)(ln 1)0422444x x x x x x e x x x x x ϕϕ⎛⎫=-<<='--+=-+->⎪⎝⎭函数()x ϕ在(1,)e 单调递增．又e (1)0,()4e ϕϕ==，所以e0()4x ϕ<<，故函数()h a 的值域为e 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．. ………………………12分22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标xOy 中，直线l的参数方程为12x a y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a 为常数）．以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于AB 、两点，若16AB =，求a 的值．（10y -=,24y x =;(2)1a =23．【选修4-5：不等式选讲】已知函数()||2|1|f x x a x =++-．（1）当2a =时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）若[1,2]x ∃∈，使得不等式2()f x x >成立，求实数a 的取值范围．解：（1）当2a =时，()|2|2|1|f x x x =++-．当2x ≤-时，()2224f x x x =---+≤，解得43x ≥-，此时x ∈∅；当21x -<≤时，()2224f x x x =+-+≤，解得0x ≥，此时01x ≤≤；当1x >时，()2224f x x x =++-≤，解得43x ≤，此时413x <≤．因此，当2a =时，不等式()4f x ≤的解集为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………….5分（2）当12x ≤≤时，2||2|1|x a x x ++->可化为2||22x a x x +>-+，所以，222x a x x +>-+或222x a x x +<-+-，即存在[1,2]x ∈，使得232a x x >-+或22a x x <-+-．22313224a x x x ⎛⎫>-+=-- ⎪⎝⎭，因为[1,2]x ∈，所以21324x x -+≥-，则14a >-，2217224a x x x ⎛⎫<-+-=--- ⎪⎝⎭，因为[1,2]x ∈，所以222x x -+-≤-，所以2a <-，因此，实数a 的取值范围为1(,2),4⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭ ．。

2021年高三上学期第一次联考数学理试题含解析

2021年高三上学期第一次联考数学理试题含解析注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡上对应题目的序号下面，如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共4 0分）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合，，若，则（）A．B．C．D．2．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．已知等差数列中，，，则前10项和（）A ． 55B ． 155C ． 350D ． 4004．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50)（单位：元），其中支出在（单位：元）的同学有67人，其频率分布直方图如右图所示，则n的值为（）A．100 B．120 C．130 D．3905．平面四边形中，，则四边形是（）A ．矩形B ．梯形C ．正方形D ．菱形6．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是 A ． B ． C ． D ．7．下列命题：①函数的最小正周期是； ②函数是偶函数；③若，则； ④椭圆的离心率不确定。

其中所有的真命题是（）A.①②B.③④C.②④D.①③8．设三位数，若以为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）(一)必做题(9～13题)9．已知，则=________ ．10．若52345012345(12),x a a x a x a x a x a x +=+++++则a 3= 。

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