立方根和开立方知识讲解
12.3 立方根和开立方(教学课件)-2023-2024学年七年级数学下册同步精品课堂(沪教版)
3
x 5
知识总结
平方根与立方根的区别和联系
平方根
正数 两个，互为相反数
性
0
0
质
没有平方根
负数
表示方法
被开方数
的范围
± a
非负数
立方根
一个，为正数
0
一个，为负数
3
a
可以为任何数
典例精讲
教材第12页
例1 求下列各数的立方根：
8
(1) 1000； (2) ； (3) -0.001； (4) 0.
3
3
3
3
100 （精确到 0.001），并利用你发现的规律求
3
3
0.1 ， 0.0001， 100000 的近似值.
3
0.000216 = 0.06
3
216 = 6
3
3
0.216 = 0.6
216000 = 60
总结
被开方数的小数点向左或向右移动 3n 位时立方根的
小数点就相应的向左或向右移动 n 位 (n 为正整数).
解：依次按键：
3
2ndF
显示：7，所以
依次按键： 2ndF
3
3
4
3
=
343 = 7.
3
显示：-1.1，所以
(-)
3
1
.
3
1.331 = 1.1.
3
1
=
例3 用计算器求
3
2 的近似值（精确到 0.001）.
解 ： 依次按键： 2ndF
显示：1.259 921 05
所以， 2 1.260.
3
A )
A.
B.－
数学立方根知识点总结归纳
数学立方根知识点总结归纳数学立方根在许多方面都会有涉及到，那么有什么知识点是我们要掌握的呢?下面是小编推荐给大家的数学立方根知识点总结归纳，希望能带给大家帮助。
数学立方根知识点总结归纳知识要领：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x^3=a)，即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根。
立方根读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。
(a等于所有数，包括0)如果被开方数还有指数，那么这个指数(必须是三能约去的)还可以和三次根号约去。
求一个数a的立方根的运算叫做开立方。
立方根的性质：⑴正数的立方根是正数.⑵负数的立方根是负数.⑶0的立方根是0.一般地，如果一个数X的立方等于a，那么这个数X就叫做a的立方根(cube root，也叫做三次方根)。
如2是8的立方根，-3分之2是-27分之8的立方根，0是0的立方根。
立方和开立方运算，互为逆运算。
互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。
负数不能开平方，但能开立方。
立方根如何与其他数作比较? ⑴做这两个数的立方⑵作差⑶比较被开方数(如三次根号3大于三次根号2)任何数(正数、负数、或零)的立方根如果存在的话，必定只有一个.平方根与立方根的区别与联系一、区别⑴根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写;立方根的根指数为3，且不能省略不写。
⑵ 被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可以为任何数。
⑶ 结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果;立方根的结果只有一个。
二、连系二者都是与乘方运算互为逆运算知识点一：平方根的概念：若x2=a(a≥0)，则x叫做a的平方根，记作x=±，求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.开平方与平方互为逆运算.例1的平方根是( ).A.±9B. ±3C.9D.3解:因为=9，所以的平方根就是9的平方根，即±=±3，故选择B.注:应现将化简后再求值.知识点二:算术平方根的概念:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作，0的算术平方根是0.例2若a<0，则a2的算术平方根是( ).A.-aB.aC.±aD. ±解:当a<0时，=|a|=-a，故选择A.例3一个数的算术平方根是a，则比这个数大5的数是( ).A.a+5B.a-5C. a2+5D. a2-5解:一个数的算术平方根是a，则这个数是a2，故比这个数大5的数是a2+5，从而选择C.知识点三:平方根及算术平方根的性质:1.正数有两个平方根，它们互为相反数;2. 0的平方根是0;3.负数没有平方根;4.一个非负数的算术平方根是非负数，即a≥0.例4若m的平方根是2a-3和a-12，求m的值.解:由正数有两个平方根，它们互为相反数知，(2a-3)+(a-12)=0，解得a=5，所以m=(2a-3)2=72=49.例5若2a-3和a-12是m的平方根，求的值.解析:本例与例4貌似一样，其实不然.因为"若m的平方根是2a-3和a-12"，得知2a-3和a-12互为相反数，而"若2a-3和a-12是m 的平方根"，可得知2a-3和a-12相等或互为相反数.(1)当2a-3=a-12时，a= -9.所以2a-3=-18-3=-21，所以m=(-21)2=441.(2)当(2a-3)+(a-12)=0时， a=5，所以2a-3=10-3=7，所以m=72.故m=441或=49.知识点四:立方根的概念及性质: 若x3=a，则x叫做a的立方根，记作x=.0的立方根是0，任何实数都有立方根，并且只有一个，同时立方根的符号与其本身符号相同.知识点五:利用计算器求平方根、立方根等.例8(陕西省)用计算器比较大小:(填">"、"="、"<").解析:这类题是考查学生使用计算器过程的题目，要注意按键顺序.故填>.。
(完整)立方根和开立方
12．3立方根和开立方教学目标1．了解立方根与实际生活的联系，通过与平方根类比，理解立方根的概念.2．理解开立方与立方互为逆运算，能根据两者的关系求完全立方数的立方根.3．会用计算器求任意一个数的立方根，并能按指定精确度求近似值。
4．理解a a =33和a a =33)(的含义，并能运用它们解决问题。
教学重点及难点：理解开立方与立方互为逆运算，能根据两者的关系求完全立方数的立方根。
教学过程设计一、 复习、类比、引入复习题：(1）我们用________表示面积为5的正方形边长; 用6来表示_________的正方形的边长。
（2）同样8表示_________的正方形的边长，那么这个正方形的边长是多少？你是怎么知道的？你运用了什么运算?（3)小杰家中有一个储物柜，是一个容积为27立方分米的正方体。
这个正方体储物柜的棱长是多少分米？（4)经过立方运算后结果是27的数还有没有？是多少？这样立方是27的数有几个?师生归纳:已知一个数的平方求这个数的运算，叫做开平方.类似的,已知一个数的立方求这个数的运算，我们称之为开立方。
二、 通过类比,学习新知给出立方根和开立方的概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，用“3a ”表示,读作“三次根号a ”，3a 中的a 叫做被开方数，3叫做根指数.求一个数a 的立方根的运算叫做开立方。
例如，如果,1253=x 因为_____________=125，所以________=x ,也就是说 是125的立方根.例题1、求下列各数的立方根： (1)1000 (2)278- (3)001.0- (4）0 [说明］体会开立方与立方的逆运算关系，会据此求完全立方数、小数、分数的立方根三、 思考归纳设问：通过例题1的解决，请归纳开平方与开立方在被开方数取值范围、方根个数等方面有何显著区别？你知道其中的原因吗？1、 正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零.2、 正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零。
开方与立方根
开方与立方根开方和立方根是数学中常见的运算方式，用于求一个数的平方根和立方根。
在实际生活和各个领域的应用中，开方和立方根有着广泛的用途。
本文将介绍开方和立方根的定义、计算方法以及应用领域。
一、开方的定义和计算方法开方是指一个数的平方根，即找到另外一个数，使得这两个数相乘等于原数。
开方的符号为√（根号），称为根号符号。
开方操作的结果叫做开方数。
以正数为例，假设一个数为x，开方数为y，表示为√x=y。
其中数x大于等于0，开方数y大于等于0。
开方计算的过程可以通过试探和逼近的方法进行。
例如，求16的开方，可以从0开始试探，逐步增加试探值，直到找到一个数的平方等于16。
在这个例子中，16的开方数为4（√16=4）。
除了正数，开方也可以应用于负数和复数。
对于负数，开方的结果具有虚数部分，常用i表示。
对于复数，可以使用复数的模表示开方结果的大小。
开方在解决各种实际问题中有着广泛的应用。
二、立方根的定义和计算方法立方根是指一个数的三次方根，即找到另外一个数，使得这两个数相乘三次等于原数。
立方根的符号为³√（三次方根），称为三次方根符号。
立方根操作的结果叫做立方根数。
以正数为例，假设一个数为x，立方根数为y，表示为³√x=y。
其中数x可以是任意实数，立方根数y也是实数。
立方根的计算与开方类似，可以通过试探和逼近的方法进行。
例如，求27的立方根，可以从0开始试探，逐步增加试探值，直到找到一个数的三次方等于27。
在这个例子中，27的立方根数为3（³√27=3）。
立方根也可以应用于负数和复数。
对于负数，立方根的结果具有虚数部分。
对于复数，可以使用复数的模表示立方根结果的大小。
立方根在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
三、开方和立方根的应用领域1. 几何学：开方和立方根在几何学中常用于计算图形的边长、面积和体积等参数。
例如，在求正方形的对角线长度时，可以应用开方运算。
2. 物理学：开方和立方根在物理学中用于计算物体的速度、加速度、功率和能量等。
小学数学点知识归纳认识数的立方数和立方根
小学数学点知识归纳认识数的立方数和立方根数的立方数是指一个数乘以自己两次的结果，用符号表示为n³。
而数的立方根就是这个立方数的逆运算，用符号表示为³√n。
在小学数学中，我们通常会学习到关于数的立方数和立方根的一些基本知识。
本文将对这些内容进行归纳概述，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、认识数的立方数立方数的概念是指一个数自乘两次的结果。
例如，2的立方数为2³=8，3的立方数为3³=27。
在数学中，我们通常用指数来表示立方数。
比如，2的立方数也可以写成2的3次方，即2³。
从1到10的数中，我们可以列出它们的立方数：1³=1,2³=8,3³=27,4³=64,5³=125,6³=216,7³=343,8³=512,9³=729,10³=1000.我们可以观察到，立方数的结果通常会比原来的数大很多。
这是因为在乘法中，一个数自乘两次会使它的大小成倍增加。
认识数的立方根数的立方根是指一个数的立方数的逆运算。
也就是说，³√n表示一个数的立方根，使得这个数自乘三次等于n。
我们可以通过一个简单的例子来理解立方根的概念。
比如，我们要找出16的立方根。
我们需要寻找一个数，使得这个数自乘三次等于16。
很显然，2是一个符合要求的数，因为2³=8，而8小于16。
继续寻找，我们可以发现3³=27，27已经大于16了。
所以，2是16的立方根。
在数学中，我们经常使用符号³√n来表示一个数的立方根。
注意，对于正数，一个数的立方根有两个解：一个是正数，一个是负数。
但在小学数学中，我们通常只关注正数解。
在小学数学中，我们通常要求计算一个数的立方根时，结果保留到小数点后两位。
这是因为计算一个数的精确立方根往往需要较复杂的数学方法，在小学阶段暂时不需要过多关注精确计算的问题。
立方根知识点及练习题
立方根知识点及练习题一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
这就是说，如果\（x³＝ a\），那么 x 叫做 a 的立方根。
记作：＼（＼sqrt3{a}＼），读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3 是根指数。
例如：＼（2³＝ 8\），所以 2 是 8 的立方根，即\（＼sqrt3{8} ＝2\）；＼（（－2)³＝－8\），所以－2 是－8 的立方根，即\（＼sqrt3{－8} ＝－2\）。
二、立方根的性质1、正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0。
2、立方根等于它本身的数有 0，1，－1。
3、＼（＼sqrt3{a} ＝＼sqrt3{a}＼）4、＼（（＼sqrt3{a}）＾｛3} ＝ a\）5、＼（＼sqrt3{a^｛3}｝＝ a\）三、开立方求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算。
例如：求\（＼sqrt3{27}＼），因为\（3³＝ 27\），所以\（＼sqrt3{27} ＝ 3\）。
四、立方根与平方根的区别1、定义不同平方根：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
立方根：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
2、表示方法不同平方根：正数 a 的平方根记为\（＼pm\sqrt{a}＼）。
立方根：数 a 的立方根记为\（＼sqrt3{a}＼）。
3、个数不同一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
任何数都只有一个立方根。
4、被开方数的取值范围不同平方根中被开方数 a 是非负数，即\（a\geq 0\）。
立方根中被开方数 a 可以是任何数。
五、练习题（一）选择题1、下列说法正确的是（）A －64 的立方根是－4B 0064 的立方根是 04C ＼（＼sqrt3{－9}＼）没有意义D ＼（＼sqrt3{64}＼）的平方根是 22、若\（＼sqrt3{x}＼）＝－2，则 x 的值是（）A －8B 8C ＼（＼pm 8\）D －643、下列说法中，错误的是（）A 一个数的立方根与这个数同号B 负数没有立方根C 0 的立方根是 0D 立方根等于它本身的数有 3 个（二）填空题1、＼（＼sqrt3{－27} ＝＼）＿____。
数学中的立方与立方根
数学中的立方与立方根在数学中，立方和立方根是两个重要的概念。
立方是一个数的三次方，表示该数自乘三次的结果。
立方根则是某个数的三次方等于给定数字的运算，即找出一个数，使其立方等于给定的数字。
1. 立方（Cube）立方是数学中一个常见的运算符号，表示将一个数自乘三次的结果。
用符号表示为x³。
例如，2的立方可以表示为2³=2×2×2=8，4的立方为4³=4×4×4=64。
立方具有以下特点：1. 任何正数的立方都是正数，即x³>0。
2. 任何负数的立方都是负数，即(-x)³<0。
3. 任何数的立方根可以通过求解方程x³=a来得到，其中a为给定的数。
立方在几何学中也有重要意义。
立方体是一种由六个正方形组成的正多面体，其中每个正方形的边长相等。
立方体的体积就是边长的立方。
例如，一个边长为2的立方体的体积为2³=8。
2. 立方根（Cube Root）立方根是立方的逆运算，表示找出一个数，使其立方等于给定的数。
如果一个数x的立方等于a，记为x=∛a，那么x就是a的立方根。
立方根具有以下特点：1. 任何正数的立方根是正数，即∛a>0。
2. 任何负数的立方根是负数，即∛(-a)<0。
立方根在实际应用中也有广泛的用途，例如在几何学中，立方根可以用来计算立方体的边长。
3. 立方和立方根的应用立方和立方根在数学和其他学科中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：3.1. 立方的应用- 立方在代数中用于展开和因式分解多项式。
- 立方在几何学中用于计算立方体、立方柱等的体积。
- 立方在物理学中用于描述物体的体积和容积。
3.2. 立方根的应用- 立方根在代数中用于求解各种方程，例如求解立方方程。
- 立方根在几何学中用于计算立方体、立方柱等的边长。
- 立方根在工程学中用于计算物体的尺寸和容积。
总结：数学中的立方和立方根是重要的概念，具有广泛的应用。
立方根和开立方知识讲解
立方根和开立方【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根【要点梳理】 要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根 .这就是说，如果3x a ，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方要点诠释：一个数a 的立方根，用3a 表示，其中a 是被开方数，3是根指数.开立方 和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数， o 的立方根是0. 要点诠释：任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根，并且它的符号与这个非 零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数 .要点三、立方根的性质要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题 .要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动 3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位.例如，30.000 216 = 0.06 , 3 0. 216=0.6 , 3 216=6 , 3 216000 =60.要点五、n 次方根如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ,那么这个数叫做a 的n 次方根.当n 为奇数时，这个数为 a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为 a 的偶次方根.求一个数a 的n 次方根的运算叫做开 n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数. 要点诠释：实数a 的奇次方根有且只有一个，正数a 的偶次方根有两个， 它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的n 次方根等于零，表示为 n0 0.【典型例题】 类型一、立方根的概念【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；ca3a.A. 64的立方根是土 4 C.立方根等于本身的数只有0和111B . 是的立方根26D. 3_27327【答案】D;【解析】64的立方根是丄是 1的立方根；立方根等于本身的数只有2 80 和土 1.举一反三:【变式】(2015春？滑县期末)我们知道 a+b=0时，a 3+b 3=0也成立，若将a 看成a 3的立方 根，b 看成b 3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这 两个数也互为相反数.(1) 试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； (2) 若肝苍■与互为相反数，求1 -.・：的值.【答案】解：(1) ••• 2+ (- 2) =0, 而且 23=8, (- 2) 3= - 8,有 8 - 8=0 , •••结论成立； •••即 若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数. (2)由(1)验证的结果知，1 - 2x+3x - 5=0 , • x=4 ,• 1 - . .=1 - 2= - 1. 类型二、立方根的计算2、求下列各式的值:(2)311 43 52(4)3_27 . ( 3)2 厂-.(_1)100【答案与解析】(4) 3_27 ,( 3)2 3~【总结升华】 立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方 举一反三： 【变式】计算：(1)30.008 ； (2) J 161；V 64(3)誇1—.(4)F1F —524【答案】(1)一 0.2 ; (2)；( 3)； (4)-43类型三、利用立方根解方程”是成立的.21027(2) 3 11 43 52(3)38解：(1)3、(2015春？罗平县期末)求下列各式中x的值：(1)3(X—1) 3=24.(2)(x+1 ) 3= —64.【思路点拨】先整理成x3=a的形式，再直接开立方解方程即可.【答案与解析】解：(1) 3 ( x—1) 3=24 ,(x- 1) 3=8,x —1=2,x=3 .(2)开立方得：x+1= —4,解得：x= - 5.【总结升华】本题是用开立方的方法解一元三次方程，要灵活运用使计算简便.举一反三：【变式】求出下列各式中的a :(1)若a' = 0.343，则a = _____ ； (2)若a‘ 一3= 213,则a = _____；3 3(3)右a + 125= 0,贝V a = ______ ； (4)若a 1 = 8,贝V a = _____.【答案】(1) a = 0.7 ； (2) a = 6； (3) a =一5； (4) a = 3.类型四、立方根实际应用CP4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱3体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64cm，小明又将铁块从水中提16起，量得烧杯中的水位下降了cm.请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是9多少16【思路点拨】铁块排出的64 cm3水的体积，是铁块的体积，也是高为cm烧杯的体积9【答案与解析】解：铁块排出的64 cm3的水的体积，是铁块的体积.设铁块的棱长为y cm，可列方程y364,解得y 4n 16设烧杯内部的底面半径为x cm，可列方程x264,解得x 6.9答：烧杯内部的底面半径为6 cm，铁块的棱长4 cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系(方程) ，解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.举一反三：【变式】将棱长分别为和：厂的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为_____________ 琢。
立方根知识梳理
2.3立方根一、知识梳理1、立方根的概念（1）定义：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）（2）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。
开立方与立方根互为逆运算，因此在运算结果中可以相互检验其正确性。
2、立方根的性质。
（1）正数有一个正的立方根；（2）负数有一个负的立方根；（3）0有一个立方根，就是0本身.3、立方根的表示方法数a 的立方根用符号“3a ”表示，读作“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数，注意，“3”不能省略。
4、开立方求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
5、两个互为相反数的立方根之间的关系。
我们知道：8)2(,8233-=-=，∴8和-8的立方根分别是2和-2；又∵33=27，27)3(3-=-，∴27和-27的立方根分别是3和-3，其中8与-8，2与-2,27与-27,3与-3分别互为相反数。
设则,3a x =a x x -=-=-33)( 根据立方根的定义，可知：3a x =，3a x -=- ∴333a a a -=-=-这就是说，求一个负数的立方根时，只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可，也就是说，三次根号内的负号可以移到根号外面。
6、n 次方根一般地，如果一个数的n 次方根（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数就叫做a 的n 次方根，即a x n =，那么x 就是a 的n 次方根。
例如：2-24164162-2,162-1625322,322445和次方根是的次方根，或者说的都是和，），（次方根，的是==∴=7、开n 次方求a 的n 次方根的运算，叫做把a 开n 次方，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数。
8、n 次算术根（1）定义：正数a 的正的n 次方根叫做a 的n 次算术根，零的n 次方根也叫做零的n 次算术根。
（2）表示方法：当0≥a 时，n a 就表示a 的n 次算术根。
七年级数学下《立方根》知识点总结归纳
七年级数学下《立方根》知识点总结归纳
一、基础概念
1.立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数被称为a的立方根。
记作：
3a。
2.立方根的性质：
•任何非零实数的立方根只有一个，但0的立方根是0。
•正数的立方根是正的，负数的立方根是负的。
1.求立方根的方法：使用直接开立方的公式或计算器进行求解。
二、运算规则
1.乘法性质：3a×3b=3a×b（当a≥0，b≥0）。
2.开方与乘除法的关系：3ba=3b3a（当a≥0，b>0）。
三、与平方根的区别与联系
1.区别：平方根涉及平方，而立方根涉及立方。
例如，(−3)2=9但−33=−27。
2.联系：对于非负实数，其平方根和立方根表示的都是正数。
例如，38=2，因为
23=8。
四、实际应用与解题技巧
1.实际应用：计算物体的体积或容积时需要用到立方根。
例如，求一个长方体或
正方体的体积。
2.解题技巧：
•对于较大的数或复杂的数字，可以使用计算器辅助求解。
•对于负数的立方根，要明确其值是负的。
例如，3−8=−2。
•注意与平方根的区别与联系，避免混淆。
五、易错点与注意事项
1.易错点：容易将平方根与立方根混淆，如误认为39=3（实际上是39≈
2.08）。
2.注意事项：
•在求立方根时，要注意被开方数是非负数。
•对于复杂的数字或问题，建议使用计算器辅助求解。
•多做习题，巩固对立方根的理解和应用。
立方根知识点讲解(含例题)
1．立方根的概念和性质（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__________或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根．（2）表示方法：一个数a”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．（3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．2．开立方（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做__________．（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0；=③3==a．（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根．3．平方根和立方根的区别和联系1．被开方数的取值范围不同在a是非负数，即a≥0a是任意数．2．运算后的数量不同一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．K知识参考答案：1．（1）立方根2．（1）开立方（2）负数（3）逆运算一、求立方根和开立方根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．【例1】-64的立方根是A ．-4B ．4C ．±4D ．不存在【答案】A【解析】∵（−4）3=−64，∴−64的立方根是−4，故选A ．【例2A ．－1B ．0C ．1D ．±1 【答案】C-1-1，故选A ．【名师点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．【例3】下列计算中，错误的是A B 34=-C 112=D ．25=- 【答案】D【解析】A ．正确；B ．正确；C ．正确；D 故错误，故选D ． 【例4】求下列各数的立方根：（1）-343；（2）8125． 【解析】（1）因为3(7)343-=-，所以-343的立方根是-7．（2）因为328()5125=， 所以8125的立方根是25． 【例5】求下列各式的值：（1；（23）【解析】（1（2（3 二、利用立方根的知识解方程只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x 3=m 或（ax +b ）3=m 的形式，再利用开立方的方法求解．【例6】若a 3=–8，则a =__________．【答案】–2【解析】∵a 3=–8，∴a =–2．故答案为：–2．【例7】求下列各式中的x ：（1）8x 3+125=0；（2）（x +3）3+27=0． 【解析】因为381250x +=， 所以38125x =-，（2）因为3(3)270x ++=，所以3(3)27x +=-，x+=-，所以33x=-．所以6三、平方根和立方根的综合应用在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．【例8】64的平方根和立方根分别是A．8，4 B．8，±4 C．±8，±4 D．±8，4【答案】D【解析】因为（±8）2=64，43=64，所以64的平方根和立方根分别是±8，4，故选D．【例9】已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的立方根是4，求a+b的平方根．【名师点睛】此题主要考查了立方根和平方根的意义的应用，关键是根据平方根，求出2a-1=9，根据立方根求出3a+b-1=64，转化为解方程得问题解决．【例10】已知x+122x+y-6的立方根是2．（1）求x，y的值；（2）求3xy的平方根．【解析】（1）∵x+12的算术平方根是，2x+y-6的立方根是2．∴x+12=2=13，2x+y-6=23=8，∴x=1，y=12．（2）当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36，∵36的平方根是±6，∴3xy的平方根±6.【名师点睛】本题考查了算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义，能熟练运用它们的逆运算是解本题的关键．。
初中数学知识归纳立方数与立方根
初中数学知识归纳立方数与立方根立方数与立方根是初中数学中的重要概念。
了解这些概念对于深入理解数学知识和解决实际问题至关重要。
本文将对初中数学中的立方数与立方根进行归纳总结，并探讨其应用。
编写本文的格式将采用归纳总结的方式，无需要使用特定格式。
一、立方数立方数是指某个数的立方，即这个数与自身连乘三次的结果。
例如，2的立方是2×2×2=8，8即为2的立方数。
同样地，3的立方是3×3×3=27，27即为3的立方数。
在初中数学中，我们常常遇到计算立方数的情况，此时我们可以利用乘法的交换律简化计算过程。
例如，计算5的立方，可以先计算5的平方，得到25，然后再乘以5得到125，即5的立方。
除了具体计算立方数，我们还可以通过一些技巧判断一个数是否为立方数。
例如，如果一个数的个位数字是2、3、7或8，那么这个数不是立方数。
因为立方数的个位数字只可能是0、1、4、5、6或9。
二、立方根与立方数相对应的是立方根，它是指一个数的立方等于给定数的过程。
公式表示为：n³ = a，其中n为立方根，a为给定数。
例如，对于8来说，它的立方根是2，因为2³ = 8。
初中数学中，我们经常会遇到计算立方根的问题。
在没有计算器的情况下，我们可以通过试探法来求解立方根。
例如，对于一个数字，我们可以从1开始逐个尝试，直到找到它的立方根为止。
与立方数类似，我们也可以通过一些技巧来判断一个数是否有整数立方根。
例如，如果一个数的个位数字是3、7或8，那么这个数没有整数立方根。
因为立方的结果的个位数字只能是0、1、4、5、6或9。
三、立方数和立方根的应用立方数和立方根在数学中有着广泛的应用。
它们不仅出现在数学题目中，还在日常生活和科学研究中发挥重要作用。
在几何学中，立方数和立方根与体积密切相关。
例如，一个边长为a的立方体的体积就等于a的立方。
当我们知道体积，想要求边长时，我们可以通过计算立方根来得到结果。
立方根-知识讲解
立方根-知识讲解
立方根（cube root）是指开3次方根的数，也可以称为立方根或三次根。
如果有一
个数x，那么立方根就是求该数的立方根值y，y的立方等于x，可以这样表示∛x=y。
立方
根的概念很容易理解，例如，一个数的立方就是它乘以它自身乘以它自身，而这个数的立
方根就是这个数本身，即不是对立方数取根，而是它本身。
立方根比平方根要复杂，但是计算方法和原理基本相同，仍然是把一个复杂的运算变
成一个一元的课题，从而找到它的根。
它们的本质仍然是一元多项式，故可以使用多项式
定理或牛顿迭代法来解决。
立方根的定义是求三次方根，就是求一个数的立方根的值，可以这样表示∛x=y，其中
x为一个数，y为x的立方根。
计算立方根的简便方法是使用牛顿迭代法，例如，求242
的立方根，用牛顿迭代法求解，可以把原来的复杂变成一个一元的课题，从而找到正确的
答案，算法迭代的目的就是要使得运算出来的结果接近正确的答案，即y^3-x=0的解，把242的立方根记为y，则有y^3-242=0，即y^3=242，令y0=4.5，则y1=(2y0+242/y0^2)/3，计算出来y1=4.331，以此类推，y2=4.318，y3=4.318，则y3即前面计算出来的结果为最
终答案，即242的立方根=4.318。
牛顿迭代法不仅可以求解立方根，还可以求解更高级复杂的函数方程。
牛顿迭代法虽
然简单易懂，但对计算机来说，有些复杂的函数计算可能要花费大量时间，因此求解立方
根的时候，最好用一些更快的算法，如勒让德算法或二分法等。
数的立方与立方根立方与开立方的概念与运算
数的立方与立方根立方与开立方的概念与运算数的立方与立方根：立方与开立方的概念与运算数的立方与立方根是数学中一个经常出现的概念，也是在实际生活中常常会用到的数学操作。
立方与开立方分别是数的三次幂和三次方根，它们有着广泛的应用，不仅在数学领域中有重要的地位，而且在物理、工程等领域中也都十分关键。
本文将详细探讨数的立方与立方根的概念，并介绍它们的运算方法和应用。
一、立方的概念与运算在数学中，我们将一个数自身乘以自身再乘以自身得到的结果称为这个数的立方。
用符号表示，若数为a，则其立方表示为a³。
例如，2的立方就是2×2×2=8，而3的立方为3×3×3=27。
可以看出，立方运算实质上是乘法运算的重复操作。
在进行立方运算时，常常会遇到两个数的立方和的情况。
当我们想求两个数的立方和时，可以直接将各个数的立方相加即可。
例如，求1的立方和2的立方的和，即计算1³+2³=1+8=9。
此外，立方还涉及到立方差和立方差的平方等概念。
立方差是指两个数的立方之差，记作a³-b³。
而立方差的平方则是指立方差的平方，即(a³-b³)²。
这些概念在代数学中有着重要的应用。
二、立方根的概念与开立方运算与立方相对应的是立方根。
数的立方根是指一个数的三次方根。
用符号表示，若数为a，则其立方根表示为³√a。
例如，8的立方根就是³√8=2，而27的立方根为³√27=3。
可以看出，立方根运算实质上是乘法运算的逆运算。
在进行立方根运算时，常常会遇到两个数的立方根和的情况。
当我们想求两个数的立方根和时，可以直接将各个数的立方根相加即可。
例如，求2的立方根和3的立方根的和，即计算³√2+³√3。
除了立方根和的运算，还有立方根差的概念。
立方根差是指两个数的立方根之差，记作³√a-³√b。
立方和立方根的基本概念知识点
立方和立方根的基本概念知识点立方和立方根是数学中常见的概念，它们在代数学、几何学以及实际问题中都有重要的应用。
立方是指一个数的三次幂，立方根则是指一个数的三次方根。
本文将详细介绍立方和立方根的基本概念知识点，从定义、性质、计算方法等方面进行讲解。
一、立方的定义和性质1. 立方的定义：一个数的立方是指该数自乘三次的结果。
记作n³，表示n的立方。
2. 立方的性质：a) 正整数的立方是正整数，负整数的立方是负整数，0 的立方是 0。
b) 两个数的立方和等于它们的立方和的和，即 (a + b)³ = a³ + 3a²b+ 3ab² + b³。
c) 一个数的立方差等于它们的立方差的和，即 (a - b)³ = a³ - 3a²b +3ab² - b³。
d) 立方具有结合律，即 (a³)³ = a⁹。
二、立方根的定义和性质1. 立方根的定义：一个数的立方根是指使得该数的立方等于该数的运算。
记作∛n，表示n的立方根。
2. 立方根的性质：a) 正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0 的立方根为 0。
b) 两个数的立方根的和等于它们的和的立方根，即∛(a + b) = ∛a + ∛b。
c) 两个数的立方根的差等于它们的差的立方根，即∛(a - b) = ∛a - ∛b。
d) 立方根具有分配率，即∛(a * b) = ∛a * ∛b。
三、立方和立方根的计算方法1. 立方的计算方法：a) 正整数的立方可以通过重复多次乘积的方式进行计算，如 3³ =3 * 3 * 3 = 27。
b) 对于负整数的立方，可以先计算其绝对值的立方再加上负号，如 (-2)³ = - (2³) = -8。
c) 0 的立方为 0。
2. 立方根的计算方法：a) 利用近似值法可以求解非整数立方根。
立方与立方根认识立方数和立方根的特性和计算方法
立方与立方根认识立方数和立方根的特性和计算方法立方与立方根：认识立方数和立方根的特性和计算方法立方数和立方根是数学中重要的概念，它们在科学、工程和日常生活中都有广泛的应用。
本文将介绍立方数和立方根的定义、特性以及计算方法，帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、立方数的定义和特性立方数指的是一个数的立方，即将一个数乘以自身两次。
以x为例，其立方表示为x³，即x * x * x。
立方数可以是正数、负数或零。
立方数具有以下特性：1. 正数的立方仍为正数，负数的立方为负数，0的立方为0。
2. 大于1的数的立方比其本身更大，小于1的数的立方比其本身更小。
例如，2的立方为8，而0.5的立方为0.125。
3. 立方数之间的差值不一定是整数的立方。
例如，8和27之间的差值为19，它不是任何整数的立方。
二、立方根的定义和特性立方根是一个数的立方等于给定数的根号。
以y为例，其立方根表示为∛y。
立方根也可以是正数、负数或零。
立方根具有以下特性：1. 正数的立方根仍为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0。
2. 大于1的数的立方根比其本身更小，小于1的数的立方根比其本身更大。
例如，8的立方根为2，而0.125的立方根为0.5。
3. 立方根之间的差值不一定是整数的立方根。
例如，2和27之间的差值为25，它不是任何整数的立方根。
三、计算立方数和立方根的方法1. 计算立方数：将给定数乘以自身两次即可得到该数的立方数。
例如，2的立方为2 * 2 * 2 = 8。
2. 计算立方根：使用数学工具或计算器可以准确地计算立方根。
对于常用立方根，可以借助近似值进行计算。
例如，8的立方根约为2，0.125的立方根约为0.5。
在实际应用中，立方数和立方根经常与体积、边长、电路等概念和问题相关。
例如，在计算一个正方体的体积时，需要知道其边长，而边长的立方即为该正方体的体积。
四、立方与立方根的应用立方数和立方根在各个领域都有广泛的应用。
立方根与实数开方运算规则
立方根与实数开方运算规则在数学中，立方根和实数开方运算是常见且重要的概念。
它们在解方程、求解几何问题以及工程应用等方面具有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨立方根和实数开方运算的规则和性质。
立方根的定义和性质立方根是指一个数的三次幂等于该数的运算。
以数学符号表示，对于任意非负实数x和正整数n，满足下式：x^(1/3) = n其中，“^”表示乘方运算。
立方根的性质如下： 1. 正实数的立方根是唯一的，即一个正实数只有一个立方根。
例如，8的立方根为2，-2的立方根也为-2。
2. 非零实数的立方根总是实数。
例如，-8的立方根为-2，0的立方根为0。
3. 若x为正实数，则x的立方根也为正实数。
4. 若x为负实数，则x的立方根也为负实数。
实数开方的定义和性质实数开方是一个数的平方等于给定的数的运算。
给定一个实数x和正整数n，满足以下条件：x^(1/n) = y其中，“^”表示乘方运算。
实数开方的性质如下： 1. 对于正实数x，开方运算有两个解。
例如，根号4等于正负2。
2. 非负实数的开方总是实数。
例如，根号9等于3。
3. 负实数的开方结果是一个复数。
例如，根号-4等于2i，其中i是虚数单位。
立方根与实数开方的运算规则立方根和实数开方具有一些运算规则，可以方便我们进行复杂计算。
以下是常见的立方根和实数开方运算规则：1.n次根运算的乘方归约：假设x是一个非零实数，m和n都是正整数，则有以下公式成立：(x(1/n))m = x^(m/n)。
这条规则说明了n次根的m次幂可以等于x的m/n次幂。
例如，(根号4)^3 = 2^3 = 8，而4^(3/2) = 4 * (4(1/2))2 = 4 * 2^2 = 16。
2.指数运算与根号的转换：假设x是一个非零实数，m和n都是正整数，则有以下公式成立：x^(m/n) = (x m)(1/n)。
这条规则说明了一个实数的m/n次幂可以通过先计算指数运算，再进行n次根运算得到。
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立方根和开立方
【学习目标】
1. 了解立方根的含义；
2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 【要点梳理】
要点一、立方根的定义
如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根.这就是说，如果
3x a =，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
要点诠释：一个数a 的立方根，用3a 表示，其中a 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 要点二、立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
要点诠释：任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 要点三、立方根的性质
3
3a a -=-
3
3a a =
()
3
3
a
a =
要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，30.000 2160.06＝，30. 2160.6＝，3 2166＝，3216000 60＝. 要点五、n 次方根
如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根.当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.
求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数.
要点诠释：实数a 的奇次方根有且只有一个，正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的n 次方根等于零，表示为00n =. 【典型例题】 类型一、立方根的概念
1、下列结论正确的是（ ） A ．64的立方根是±4
B ．12-
是1
6
-的立方根 C ．立方根等于本身的数只有0和1
D 332727-=
【答案】D ；
【解析】64的立方根是4；1
2
-
是18-的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.
【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同； 33a a -=-. 举一反三：
【变式】（2015春•滑县期末）我们知道a+b=0时，a 3+b 3=0也成立，若将a 看成a 3的立方
根，b 看成b 3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； （2）若
与
互为相反数，求1﹣
的值．
【答案】解：（1）∵2+（﹣2）=0， 而且23=8，（﹣2）3=﹣8，有8﹣8=0， ∴结论成立；
∴即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的．
（2）由（1）验证的结果知，1﹣2x+3x ﹣5=0， ∴x=4，
∴1﹣=1﹣2=﹣1． 类型二、立方根的计算
2、求下列各式的值：
（1）3
27
10
2
-- （2）3235411+⨯ （3）3
3
64
18-
⋅ （42
3327(3)1---（5）10033
)1(4
1
2)2(-+÷-- 【答案与解析】
解：（1）310
227
-（23321145⨯+（3）
33
1864
-
3
64274
3
=
=
33=116425=729=9⨯+ 1=241=2
⎛⎫⨯- ⎪
⎝⎭-
（4）
233
27(3)1---
=331=1
-++
（5）3
10031
(2)2
(1)4
--÷+-
3=21
2
47=1=33
÷++
【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.
举一反三：
【变式】计算：（1）3
0.008-=______；（2）=3
64
61
1
______； （3）=--3
12719______．（4）=-3
3
5
11)(______. 【答案】（1）－0.2；（2）
54；（3）23；（4）4
5
. 类型三、利用立方根解方程
3、 （2015春•罗平县期末）求下列各式中x 的值：
（1）3（x ﹣1）3=24．
（2）（x+1）3=﹣64．
【思路点拨】先整理成x 3=a 的形式，再直接开立方解方程即可． 【答案与解析】 解：（1）3（x ﹣1）3=24，
（x ﹣1）3=8，
x ﹣1=2， x=3．
（2）开立方得：x+1=﹣4，
解得：x=﹣5．
【总结升华】本题是用开立方的方法解一元三次方程，要灵活运用使计算简便． 举一反三：
【变式】求出下列各式中的a ：
（1）若3
a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3
a －3＝213，则a ＝______； （3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()3
1a -＝8，则a ＝______．
【答案】（1）a ＝0.7；（2）a ＝6；（3）a ＝－5；（4）a ＝3． 类型四、立方根实际应用
4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643
cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了16
9π
cm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？
【思路点拨】铁块排出的643
cm 水的体积，是铁块的体积，也是高为16
9π
cm 烧杯的体积. 【答案与解析】
解：铁块排出的643
cm 的水的体积，是铁块的体积．
设铁块的棱长为y cm ，可列方程3
64,y =解得4y =
设烧杯内部的底面半径为x cm ，可列方程2
16
649x ππ
⨯
=,解得x =6. 答：烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm .
【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合. 举一反三：
【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个
大正方体的棱长为____________。
(不计损耗) 【答案】333a b + ； 类型五、n 次方根的运算
5、（1）求32243
-的5次方根；（2）求()2
27-的6次方根. 【答案与解析】
解：（15
553222
24333⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭
； （2()2
6
62326662727(3)33-=
===，
还有()2
6273--=-.
【总结升华】正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数。