[考研类试卷]考研数学(数学三)模拟试卷411.doc
考研数学三(随机变量的数字特征)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学三（随机变量的数字特征）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设X为随机变量，E(X)=μ，D(X)=σ2，则对任意常数C有( )．A．E[(X-C)2]=E[(X-μ)2]B．E[(X-C)2]≥E[(X-μ)2]C．E E(X-C)。
]=E(X2)-C2D．E[(X-C)2]E(X)=1，E(Y)=E(X2)=∫02x2dx=，E(XY)=E(X2)=∫02x3dx=2，因为E(XY)≠E(X)E(Y)，所以X，Y一定相关，故X，Y不独立，选D．知识模块：随机变量的数字特征填空题7．随机变量X的密度函数为则D(X)=______．正确答案：解析：E(x)=∫-∞+∞xf(x)dx=∫-10x(1+x)dx+∫01x(1-x)dx=0，E(X2)=∫-11X2(1-｜x｜)dx=2∫01x2(1-x)dx=，则D(X)=E(X2)-[E(X)]2= 知识模块：随机变量的数字特征8．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为．设X表示途中遇到红灯的次数，则E(X)=______．正确答案：解析：显然X～B，则E(X)=3×知识模块：随机变量的数字特征9．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)=5，E(X2)=，则n=______，p=______．正确答案：15；解析：因为E(X)=np，D(X)=np(1-p)，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=np(1-p)+n2p2，所以np=5，np(1-p)+n2p2=，解得n=15，p= 知识模块：随机变量的数字特征10．随机变量X的密度函数为f(x)=ke｜x｜(-∞＜x＜+∞)，则E(X2)=_______．正确答案：2解析：因为∫-∞+∞f(x)dx=1，所以∫-∞+∞ke-｜x｜dx=2k∫0+∞e-xdx=2k=1，解得k=于是E(X2)=∫-∞+∞x2f(x)dx=×2∫0+∞x2e-xdx=г(3)=2!=2．知识模块：随机变量的数字特征11．设X表示12次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为0．5，则E(X2)=______．正确答案：39解析：X～B(12，0．5)，E(X)=6，D(X)=3，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=3+36=39．知识模块：随机变量的数字特征12．设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X＞)=______．正确答案：e-1解析：因为X～E(λ)，所以FX(x)=且D(X)=则知识模块：随机变量的数字特征13．设随机变量X在[-1，2]上服从均匀分布，随机变量则D(Y)=______．正确答案：解析：随机变量X的密度函数为随机变量Y的可能取值为-1，0，1，P(Y=-1)=P(X＜0)=∫-10，P(Y=0)=P(X=0)=0，P(Y=1)=P(X＞0)=y的分布律为Y～，E(Y)=，E(Y2)==1．则D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2= 知识模块：随机变量的数字特征14．设随机变量X1，X2，X3相互独立，且X1～U[0，6]，X2～N(0，22)，X3～P(3)，记Y=X1-2X2+3X3，则D(Y)=______．正确答案：46解析：由D(X1)==3，D(X2)=4，D(X3)=3得D(Y)=D(X1-2X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+16+27=46．知识模块：随机变量的数字特征15．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，令Y=4X-3，则E(Y)=______，D(Y)=______．正确答案：5；32解析：因为X～P(2)，所以E(X)=D(X)=2，于是E(Y)=4E(X)-3=5，D(Y)=16D(X)=32．知识模块：随机变量的数字特征16．若随机变量X～N(2，σ2)，且P(2＜X＜4)=0．3，则P(X＜0)=______．正确答案：0．2解析：由P(2＜X＜4)=0．3得=0．8，则P(X＜0)==0．2．知识模块：随机变量的数字特征17．设随机变量X，Y，Z相互独立，且X～U[-1，3]，Y～B，Z～N(1，32)，且随机变量U=X+2Y-3Z+2，则D(U)=______．正确答案：解析：由X～U[-1，3]，Y～B，Z～N(1，32)得D(X)=，D(Y)=10×，D(Z)=9，于是D(U)=D(X)+4D(Y)+9D(Z)=+10+81= 知识模块：随机变量的数字特征18．设常数a∈[0，1]，随机变量X～U[0，1]，Y=｜X-a｜，则E(XY)=______．正确答案：解析：E(XY)=E[X｜X-a｜]=∫01x｜x-a｜f(x)dx=∫01x｜x-a｜dx= 知识模块：随机变量的数字特征19．设随机变量X，Y相互独立，D(X)=4D(Y)，令U=3X+2Y，V=3X-2Y,则ρUV=______．正确答案：解析：Cov(U，V)=Cov(3X+2Y，3X-2Y)=9Cov(X，X)-4Cov(Y，Y)=9D(X)-4D(Y)=32D(Y)，由X，Y独立，得D(U)=D(3X+2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，D(V)=D(3X-2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，所以知识模块：随机变量的数字特征20．设X，Y为两个随机变量，且D(X)=9，Y=2X+3，则X，Y的相关系数为______．正确答案：1解析：D(Y)=4D(X)=36，Cov(X，Y)=Cov(X，2X+3)=2Cov(X，X)+Coy(X，3)=2D(X)+Coy(X，3)，因为Cov(X，3)=E(3X)-E(3)E(X)=3E(X)-3E(X)=0，所以Cov(X，Y)=2D(X)=18，于是ρXY==1．知识模块：随机变量的数字特征21．设X，Y为两个随机变量，D(X)=4，D(Y)=9，相关系数为，则D(3X-2Y)=______．正确答案：36解析：Cov(X，Y)=ρXY×=3．D(3X-2Y)=9D(X)+4D(Y)-12COV(X，Y)=36．知识模块：随机变量的数字特征22．设X，Y为两个随机变量，E(X)=E(Y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且ρXY=则E(X-2Y+3)2=______．正确答案：25解析：E(X-2Y+3)=E(X)-2E(Y)+3=2，D(X-2Y+3)=D(X-2Y)=D(X)+4D(Y)-4Cov(X，Y)，由Cov(X，Y)=ρXY××3×1=-2，得D(X-2Y+3)=D(X)+4D(Y)-4Cov(X，Y)=9+4+8=21，于是E(X-2Y+3)2=D(X-2Y+3)+[E(X-2Y+3)]2=21+4=25．知识模块：随机变量的数字特征23．设X，Y相互独立且都服从标准正态分布，则E｜X-Y｜=_______，D｜X-Y｜=______．正确答案：2；解析：令Z=X-Y，则Z～N(0，2)，fZ(z)=(-∞＜z＜∞)．E｜X-Y｜=E｜Z｜=∫-∞+∞｜z｜fZ(z)dz因为E｜Z｜2=E(Z2)=D(Z)+[E(Z)]2=2，所以D｜Z｜=E｜Z｜2-(E｜Z｜)2=2- 知识模块：随机变量的数字特征24．设D(X)=1，D(Y)=9，ρXY=-0．3，则Cov(X，Y)=______．正确答案：0．9解析：Cov(X，Y)==-0．3×1×3=-0．9．知识模块：随机变量的数字特征解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三模试题及答案
考研数学三模试题及答案一、选择题（每题3分，共36分）1. 下列函数中，满足条件f(-x) + f(x) = 0的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(x)D. f(x) = e^x2. 已知函数f(x)在区间(a, b)内可导，且f'(x) > 0，则f(x)在该区间内：A. 单调递增B. 单调递减C. 常数函数D. 无单调性3. 设曲线C：y^2 = 4x与直线l：x = 2 + t，y = 3 - 2t相切，则实数t的值为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知函数f(x) = 2x - 3，g(x) = x^2 + 1，若f[g(x)] = 9x^2 - 6x，则x的取值范围是：A. x > 1B. x < 1C. x > 0D. x < 05-10. （略，类似结构）二、填空题（每题4分，共24分）11. 若函数f(x) = √x在区间[0, 4]上的最大值为M，则M的值为________。
12. 设等比数列{an}的首项为1，公比为2，其前n项和为S_n，则S_5的值为________。
13. 若矩阵A = [1, 2; 3, 4]，则|A| =________。
14. 设双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的离心率为2，且过点(1, √3)，则a的值为________。
15-16. （略，类似结构）三、解答题（共40分）17. （12分）设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且∫[a, b] f(x) dx = 3，证明对于任意的m，n ∈ [a, b]，都有∫[a, b] f(x) dx ≥(1/(b-a)) * (m - n)^2。
18. （14分）已知某工厂生产商品x件的总成本为C(x) = 2000 +50x，销售每件商品的收入为p(x) = 110x - x^2，求该工厂的月利润最大值。
2019数学三模拟3(全)全国硕士研究生入学统一考试
绝密★启用前2019年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）（科目代码:304）（模拟试卷3）考生注意事项1. 答题前，考生须在答题纸指定位置上填写考生姓名、报考单位和考生编号。
2. 答案必须书写在答题纸指定的位置上，写在其他地方无效。
3. 填（书）写必须使用蓝（黑）色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔。
4. 考试结束，将答题纸和试题一并装入试题袋中交回。
绝密 * 启用前2019年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试卷 （模拟3）考生注意:本试卷共二十三题,满分150分,考试时间为3小时.一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一个符合要求,把所选项前的字母填在题后的括号里.（（0>，g（（（6）设A 是3阶矩阵，P 是3阶可逆阵，且满足⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0111AP P ，若11αα=A ，22A αα=，03=αA ，其中321,,ααα为3维非零向量，且21,αα线性无关，则矩阵P 不能是（ ）。
(A) ()321,5,ααα- (B) ()312,,ααα (C) ()3221,,αααα+ (D) ()3221,,αααα+（7）设随机变量X Y 与独立，且1{1}{1},~(0,1)2P X P X Y U =-===均匀分布，则正确（ ） （A ）31{}22P X Y +≤= （B ）33{}24P X Y +≤=（C ）31{}24P X Y +≤= （D ）31{}23P X Y +≤=（8）设12,,,n X X X 为从某总体X 中抽取的一个简单随机样本，=EX μ和2=DX σ均存在，X 为样本2三、解答题:15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设220(1limsin ln(1)x ax bx cd x x →++=+，求常数,,,a b c d 的值．（16）（本题满分10分）设(,,)zu f x xy e =，且函数(,)z z x y =由方程()zxz xyg xy z t dt e +-=⎰，求.u ux y∂∂+∂∂ （17）（本题满分10分）计算22ln(d (1)x x x x +⎰.（18）（本题满分10分）设010,,,,(0)na a a a ≠为公差为正数d 的等差数列（1）求幂级数0n n n a x ∞=∑的（g 使得（ α（222y ，（；（II ）（,n X 为【参考答案】一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.（1）【解】：2,0,[()],012x x f f x xx x +≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，故0x =是[()]f f x 的跳跃间断点。
考研数学三(线性代数)模拟试卷41(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷41(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．行列式【】A．(ad—bc)2B．—(ad—bc)2C．a2d2—b2C2D．b2c2—a2d2正确答案：B解析：解1 按第1列展开，得所求行列式D等于=—ad(ad—bc)+bc(ad—bc)= —(ad—bc)2 解2 先互换D的2、3两行，得再通过相邻列的互换将第1列移至第3列，得本题主要考查计算行列式的展开法则，具体的计算方法可有多种．解2的第2步利用了分块对角行列式的计算方法．知识模块：线性代数2．设对方阵A施行初等初换得到方程B．且∣A∣≠0，则【】A．必有∣B∣=∣A∣．B．必有∣B∣≠∣A∣．C．必有∣B∣≠0．D．∣B∣=0或∣B∣≠0依赖于所作初等变换．正确答案：C 涉及知识点：线性代数填空题3．设4阶矩阵A=[α1 β1 β2 β3]，B=[a2 β1 β2 β3]，其中α1，α2，β1，β2，β3均为4维列向量，且已知行列式∣A∣=4，∣B∣=1，则行列式∣A+B∣=_______．正确答案：∣A+B∣=∣α1+α2 2β1 2β2 2β3∣=8(∣α1 β1 β2 β3∣+∣α2 β1 β2 β3∣)=8(∣A∣+∣B∣)=8(4+1)=40 涉及知识点：线性代数4．设矩阵，I为3阶单位矩阵，则(A一2I)-1=_______．正确答案：涉及知识点：线性代数5．正确答案：，可利用分块对角矩阵求逆的方法．涉及知识点：线性代数6．已知α=(1，2，3)，，矩阵A=αTβ，n为正整数，则An=_______．正确答案：An=(αTβ)(αTβ)…(αTβ)(αTβ)=αT(βT)…(βT)β=αT3n-1β=3n-1αTβ=3n-1 涉及知识点：线性代数7．设3阶方阵A、B满足关系式A-1BA=6A+BA，其中，则B=_______．正确答案：B=(A-1一E)-16AA-1=6(A-1一E)-1=6 涉及知识点：线性代数8．设，B为3阶非零矩阵，且AB=O，则t=_______．正确答案：在条件下必有∣A∣=0(否则∣A∣≠0，则A可逆，用A-1左乘AB=0两端，得B=0，这与B≠0矛盾)，=>t=一3．涉及知识点：线性代数9．设矩阵A满足A2+A一4E=0，则(A—E)-1=_______．正确答案：0=A2+A一4E一(A—E)(A+2E)一2E，=>(A—E)(A+2E)=2E，=>(A —E) 涉及知识点：线性代数10．设A为n阶方阵，且∣A∣=a≠0，则∣A*∣=_______．正确答案：由AA*=∣A∣E两端取行列式，得∣A∣∣A*∣=∣A∣n，=>∣A*∣=∣A∣n-1=an-1．涉及知识点：线性代数11．设A为n阶非零方阵，且∣A∣=0，则∣A*∣_______．正确答案：必有∣A*∣=0，否则∣A*∣≠0，则A*可逆，用(A*)-1右乘AA*=∣A∣E=0两端，得A=0，这与A≠0矛盾．涉及知识点：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
全国硕士研究生招生考试数学三模拟试题及详解【圣才出品】
y
1 2
1 10
cos
2x
代人得，
f
x
1 2
1 10
cos
2x
1 2
1 10
cos
2
x
1 2
1 2
cos 2x
sin2
x．
即所求方程为 y y sin2 x ．
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4．已知函数 f x, y x y g x, y ，其中 g x, y 在点(0，0)的某邻域内有定义，
3
以矩阵
A1
和
A3
都与对角矩阵
A
0
相似，从而
A1
与
A3
相似．
0
7．设随机变量 X 服从参数为 0 的指数分布，事件 A X 0, B X 2,C X 2, D X 5
那么它的延伸组必线性无关．所以必有 r A m ，从而 r A r A ，故线性方程组
Ax b 必有解．命题②，当 rA m 时，必有 n m ．如果 m n ，则 Ax 0 只有零解，
而 m n 时， Ax 0 必有非零解．命题③，当 rA n 时， r A 有可能是 n 1，方程组
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全国硕士研究生招生考试数学三模拟试题及详解
一、选择题:1～8 小题．每小题 4 分，共 32 分．下列每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上．
1．已知 f x 2 f x dx 8 且 f(0)=0，则 2 f x dx 等于（ ）．
实际上， A1, A3 的特征值都是 3，0，0，且 r 0E A1 1, r 0E A3 1，则 n r 0E A1 3 1 2, n r 0E A3 3 1 2
数学三模拟题及答案
考研数学模拟试卷一【数三】一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 设⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+==x xdt t dt t t sin 050,11,sin βα则当0→x 时，α是β的_____ （ ）（A ）高阶无穷小. （B ）低阶无穷小.（C ）等价无穷小. （D ）同阶但非等价无穷小.（2）设函数()f x 有二阶连续导数，且0()1lim01cos x f x x →-=-，01x →''=，则 ( ) (A)()f x 在点0x =处取极大值 (B)()f x 在点0x =处取极小值 (C)点(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D)点0x =不是()f x 的极值点，点(0,(0))f 也不是()y f x =的拐点（3）设01p <≤，级数11sin()1n pnn x dx x π∞+=+∑⎰( ) (A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)敛散性与p 有关(4) 已知⎰='28)()(dx x f x f ，且0)0(=f ，则⎰2)(dx x f 等于 （ ）（A ）2 （B ）2± （C ）4 （D ）4±（5）设A 是n m ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，则方程组0=Bx 与0=ABx 同解的充分条件是 （ ）（A ）n A r =)( ； （B ）m A r =)(； （C ） n B r =)(； （D ）s B r =)(.(6)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 00110002的伴随矩阵*A 有一特征值为2-，则=x （ ）12)(或-A ； 11)(或-B ； 12)(--或C ； 11)(-或D(7)设随机变量,X Y 相互独立且均服从正态分布2(,)N μσ，若概率1()2P aX bY μ-<=则 （ ）（A ）11,22a b ==；（B ）11,22a b ==-；（C ）11,22a b =-=；（D ）11,22a b =-=-；(8)设随机变量)1(~),21,2(~),1,0(~321E X B X N X ，设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=233322222111EX DX EXEX DX EX EX DX EX A ，则矩阵A 一定是 （ ）)(A 可逆阵； )(B 不可逆阵； )(C 对称阵； )(D 反对称阵。
考研数学(数学三)模拟试卷400(题后含答案及解析)
考研数学（数学三）模拟试卷400(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)满足f”(x)+x[f’(x)]2—sin x，且f’(0)=0，则( )A．f(0)是f(x)的极小值．B．x(0)是f(x)的极大值．C．在点(0，f(0))左侧邻域内，曲线y=f(x)是凹的，右侧邻域内，曲线y=f(x)是凸的．D．在点(0，f(0))左侧邻域内，曲线y=f(x)是凸的，右侧邻域内，曲线y=f(x)是凹的．正确答案：D解析：由f”(x)+x[f’(x)]2=sin x，有f”(0)=0．再由f”‘(x)+[f’(x)]2+2xf’(x)f”(x)=cos x，得f”‘(0)=1，所以=1。
由极限的保号性知，存在x=0的去心邻域且x＞0时，f”(x)＞0．故应选(D)．2．设f(x)在区间(—∞，+∞)上连续，且满足f(x)=∫0xf(x—t)sin tdt+x，则在(一∞，+∞)上，当x≠0时，f(x) ( )A．恒为正．B．恒为负．C．与x同号．D．与x异号．正确答案：C解析：作积分变量代换，令x—t=u，得f(x)=∫x0f(u)sin(x—u)d(一u)+x=∫0xf(u)sin(x一u)du+x =sin x．∫0xf(u)cos udu一cos x．∫0xf(u)sin udu+x，f’(x)=cos x．∫0xf(u)cos udu+sin x．cos x．f(x)+sin x．∫0xf(u)sin udu一cos x．sin x．f(x)+1 =cos x．∫0xf(u)cos udu+sin x．∫0xf(u)sin udu+1，f”(x)=—sin x．∫0xf(u)cos udu+cosx．f(x)+cos2x．∫0xf(u)sin udu+sin2x．f(x) =f(x)一f(x)+x=x．3．设f(x)=一sinπx+(3x—1)2，则在区间(一∞，+∞)上，f(x)的零点个数( )A．正好1个．B．正好2个．C．正好3个．D．多于3个．正确答案：B解析：f(0)=1＞0，＜0，f(1)=4＞0，所以至少有2个零点．又f’(x)=一πcos πx+6(3x一1)，f”(x)=π2sin πx+18＞0，所以至多有2个零点，故正好有2个零点．4．设f(x)=x4sin+xcosx(x≠0)，且当x=0时，f(x)连续，则( )A．f”(0)=0，f”(x)在x=0处不连续．B．f”(0)=0，f”(x)在x=0处连续．C．f”(0)=1，f”(x)在x=0处不连续．D．f”(0)=1，f”(x)在x=0处连续．正确答案：A解析：5．设A是n阶矩阵(n＞1)，满足Ak=2E，k＞2，E是单位矩阵，A*是A 的伴随矩阵，则(A*)k ( )A．E．B．2E．C．2k—1E．D．2n—1E．正确答案：D解析：Ak=2E，｜Ak｜=｜2E｜=2n，｜A｜=，得A*=｜A｜A—1，则(A*)k=(｜A｜A—1)k=｜A｜k(Ak)—1=｜A｜k(2E)—1=｜A｜kE=2n—1E，故应选(D)．6．设A是3阶矩阵，｜A｜=1，a11=一1，aij=Aij，其中Aij是A中元素aij的代数余子式，则线性非齐次方程组AX=的唯一解是( ) A．(1，0，0)T．B．(0，0，一1)T．C．(1，1，1)T．D．(一1，1，1)T．正确答案：A解析：将｜A｜按第1行展开，｜A｜=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132，因｜A｜=1，a11=一1，故得a12=a13=A12=A13=0．故应选(A)．7．设(X，Y)为二维连续型随机变量，则下列公式各项都有意义的条件下(Df(x，y)=fX(x)Y(x)；②fX(x)=∫—∞+∞fY(y)fX|Y(x｜y)dx；③fX｜Y(x｜y)=；④P{X＜Y)=∫—∞+∞fX(y)fY(y)dy，其中FX(y)=∫—∞yfX(x)dx．必定成立的个数为( )A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：A解析：①需要独立条件才成立；②应该为fX(x)=∫—∞+∞f(x，y)dy=∫—∞+∞fY(y)fX|Y(x｜y)dy；③fX|Y(x｜y)成立；④需要独立条件．8．设随机变量X服从参数为1的指数分布，令Y=max{X，1}，则EY= ( ) A．1．B．1+．C．1一．D．．正确答案：B解析：填空题9．设f(x)=，则f[f(x)]=_________．正确答案：解析：由f(x)的表达式，有最后，分别写出自变量的取值范围，易见第4式中＞1与x＞1的交集为空集，故化简为如答案所示。
考研数学模拟测试题完整版及答案解析(数三)
2021考研数学模拟测试题完整版及答案解析〔数三〕一、选择题：1~8小题，每题4分，共32分。
在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。
〔1〕()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数，对任何0b a >>，记()baM xf x dx =⎰，01[()()]2b a N b f x dx a f x dx =+⎰⎰，那么必有〔 〕〔A 〕M N ≥；〔B 〕M N ≤；〔C 〕M N =；〔D 〕2M N =； 〔2〕设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0)(0,)-∞+∞内可导，函数()y y x =的图像为那么其导数的图像为〔 〕(A) (B)y xOyxOxyO(C) (D)(3)设有以下命题： ①假设2121()n n n uu ∞-=+∑收敛，那么1n n u ∞=∑收敛； ②假设1n n u ∞=∑收敛，那么10001n n u ∞+=∑收敛；③假设1lim1n n n u u +→∞>，那么1n n u ∞=∑发散； ④假设1()n n n u v ∞=+∑收敛，那么1n n u ∞=∑，1nn v∞=∑收敛正确的选项是〔 〕〔A 〕①②〔B 〕②③〔C 〕③④〔D 〕①④(4)设220ln(1)()lim 2x x ax bx x→+-+=，那么〔 〕 〔A 〕51,2a b ==-；〔B 〕0,2a b ==-；〔C 〕50,2a b ==-；〔D 〕1,2a b ==- (5)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组〔I 〕0Ax =有非零解，那么非齐次线性方程组〔II 〕T A x b =，对任何12(,,)T n b b b b =〔A 〕不可能有唯一解； 〔B 〕必有无穷多解；〔C 〕无解； 〔D 〕可能有唯一解，也可能有无穷多解(6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵，那么行列式1020TA B -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值为 〔A 〕1(2)n A B--； 〔B 〕2T A B -； 〔C 〕12A B --； 〔D 〕12(2)n A B--(7)总体~(2,4)X N ，12,,,n X X X 为来自X 的样本，X 为样本均值，那么〔 〕y xOyxO〔A 〕2211()~(1)1n i i X X n n χ=---∑； 〔B 〕2211(2)~(1)1n i i X n n χ=---∑； 〔C 〕2212()~()2ni i X n χ=-∑； 〔D 〕221()~()2n i i X X n χ=-∑；(8)设随机变量,X Y 相互独立且均服从正态分布2(,)N μσ，假设概率1()2P aX bY μ-<=那么〔 〕 〔A 〕11,22a b ==；〔B 〕11,22a b ==-；〔C 〕11,22a b =-=；〔D 〕11,22a b =-=-； 二、填空题：9~14小题，每题4分，共24分。
2022考研数学三模拟试卷一(详细解答)
2022年全国硕士研究生入学统一考试（数学三）模拟试卷一解答一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．（1）答案：选（D）.解由()0lim[1]0f x x e →-=，有0lim ()0(0)x f x f →==，故22()000ln(1)lim lim lim 1()(0)1()f x x x x x x x f x f e f x x→→→+===--，可得0()(0)(0)lim 0x f x f f x→-'==.又因20lim 10()x x f x →=>，由保号性知,在 (0)U内，()0(0)f x f >=，从而()f x 在0x =处取极小值(0)0f =.选（D）.（2）答案:选(D).解由题设极限可知(0,0)0,(0,0)2,(0,0)1x y f f f ''===，且函数在(0,0)点可微.()22221ln(1(1cos ,1))sin sin 0lim 1(1cos ,1)lim x f x e x xxx x f x e e+--→→+--=，222200ln(1(1cos ,1))(1cos ,1)limlimsin x x x x f x e f x e x x →→+----=0x →=2222001(0,0)(0,0)2lim lim 112,x y x x f x f x x x→→'⋅'⋅=+=+=所以原极限，故选(D).（3）答案:选（B）.解224222004cos sin cos sin cos sin 111x x x x x x I J dx dx dx x x x ππππ----==++++⎰⎰⎰.对后一个积分，令2x t π=-，得024202244cos sin sin cos sin cos (11()1()22x x t t x x dx dt dx x t x ππππππ---=-=++-+-⎰⎰⎰），故42211(cos sin )[]011()2I J x x dx xx ππ-=-->++-⎰，即I J >.故选（B）.（4）答案:选(C).解原极限211221lim(n nn i j i j f n n n n →∞===+⋅∑∑，令2ix n=，当:1()i n n →→∞时，:02x →，令jy n=，当:12()j n n →→∞时，:02y →，所以区域为{(,)|02,02}D x y x y =≤≤≤≤，因此原极限22()dx f x y dy =+⎰⎰.故选(C).（5）答案：选（Ｄ）.解法1因为220()(())()A bA cE A kE A k E k E b bk c ++=⇒-+=-+++，若矩阵A 对任何实数k ，A kE -可逆，需20k bk c ≠++.欲对任何实数k ,20k bk c ≠++,即方程20k bk c =++无实数解,故,b c 需满足204b c <-.所以（Ｄ）正确.解法2A kE -可逆k ⇔不是A 的特征值20k bk c ⇔++=无实数解20.4⇔<-b c 故选（Ｄ）.（6）答案：选（B）.解由题设10,0A A x β==知有非零解，故()2r A ≤，又()()r AB r A <，从而()1r AB ≤；由20,A β≠2β不是方程组0Ax =的解，即AB O ≠，故()1r AB ≥.综上得()1r AB =，故选（B ）.（7）答案：选（B ）.解由()r A m =知A 一定可以只经过一系列的初等列变换化为(),,m E O ①不正确；由()r A m =知(,)r A b m =，则Ax b =有解，但无法判定是无穷多解还是有唯一解，故②不正确；m 阶方阵B 满足BA O =⇒()()r B r A m +≤，且知()r A m =()0r B B O ⇒=⇔=，故③正确；TAA 为m 阶方阵，又()()T r A r A m ==，则知0T A x = 仅有零解，即对0,()()0T T T T T T x x AA x A x A x AA ∀≠=>⇒为正定矩阵.④正确．选（B ）.（8）答案：选（C ）.解设A 表示6次射击恰好命中4次；B 表示4次射击恰好命中3次；2313244262121()()()()()23333()21()5()()33C C P AB P B A P A C ===，故选（C ）.（9）答案:选（C）.解22222222ˆˆˆ()()[()]E D E σσσσσσ-=-+-2222ˆˆ(),D E σσσ=+-222211ˆˆn n S E n nσσσ--=⇒=,()()22422422211222ˆ()1n n n D D S n n n n σσσ---==⋅=-故22244422222121ˆ()n n E n n nσσσσσ---=+=22244422222121ˆ()n n E n n nσσσσσ---=+=故选（C）.（10）答案：选（A ）.解由0{0}1{1}2{2}EX P X P X P X =⋅=+⋅=+⋅=2{1}2(1)2(1)P X θθ==+-=-得{1}2(1)P X θθ==-,故2{0}.P X θ==22244()[2(1)](1)4(1)L θθθθθθθ=⋅--=-，ln ()ln 44ln 4ln(1)L θθθ=++-ln ()4401d L d θθθθ=-=-解得1ˆ2θ=，故选（A ）.二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．请将答案写在答题纸指定位置上．(11)答案：填20212-．解21cos 2121()(12)cos (12)cos 2cos 2222x x f x x x x x x x ++=+=+⋅=++,()(cos 2)=2cos(2)2n n n x x π+,于是(2022)2021(0)2f =-．(12)答案：填()22112ln 44f x x x e =--．解设1()x f e dx A =⎰，由题设，有120()2()x x x f e xe f e dx =-⎰.两边积分，得1202x A xe dx A =-⎰,则11221222120000111112[][][1]22224xx x x A xe dx xe e dx e e e ==-=-=+⎰⎰.故()22112ln 44f x x x e =--.（13）答案：填32sin 44(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ⎰⎰.(14)答案：填2k <.解由于x →+∞时，333113(1)x x x e ee e e x +-=- ，原积分与331111kkx dx dx x x +∞+∞-⋅=⎰⎰的敛散性相同，312k k ⇒->⇒<.（15）答案：填2-..解由合同矩阵所对应的二次型具有相同的规范形，于是B 的正、负惯性指数均为1，()112r B =+=.则2(1)(2)01B a a a =--+=⇒=或2a =-.若1a =，则()1r B =不合题意；若2a =-，由0B E B λ-=⇒的特征值为0,3,3-，此时B 的正、负惯性指数均为12a ⇒=-.（16）答案：填23e .解由题意，()11(1)10,f ae a b e--'=-+=故得0b =又00()1,x f x dx axe dx a +∞+∞-===⎰⎰20()2x EX x f x dx x e dx +∞+∞-=⋅==⎰⎰.223{}{2}.x P X EX P X xe dx e+∞-≥=≥==⎰三、解答题:17～22小题，共70分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17)解由题意,点P 处的切线方程为()()()Y f x f x X x '-=-,令0Y =,解得()()f x u x f x =-'.2000()()lim lim[1]1lim ()()→→→=-=-''x x x f x u f x x f x x xf x x其中2000()()()(0)1limlim lim (0),222→→→'''-''===x x x f x f x f x f f x x x 0()lim (0)x f x f x →'''=,故01lim .2→=x u x 220022(0)(0)(0)()()2!lim lim (0)()(0)(0)()2!x x f f f u u o u f u f f x f f x x o x →→'''+++='''+++2220022(0)()12lim lim().(0)4()2→→''+===''+x x f u o u u f x x o x （18）解由对称性可知，区域D 关于x3y为奇函数，所以30D=.再由对称性可知，123212022D I d πθ==⎰⎰⎰2232012(sin cos sin cos )4d πθθθθθ=⋅-⎰332220011sin (cos (1cos ))23d ππθθθθ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰1124212335310⎡⎤⎛⎫=--⋅= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.或123212022D I d rdrπθ==⎰⎰⎰2245222000111112(1cos )sin cos sin sin sin .422510πππθθθθθθθ=⋅-==⋅=⎰⎰d d （19）解(Ⅰ)因为00a =，11a =，设1k a ≤，则1112133k k k a a a +-=+≤，由归纳法可知1n a ≤.又因为1!!n n n a x x n n ≤，且级数01!n n x n ∞=∑的收敛域为(),-∞+∞，由比较判别法知，0!n n n a x n ∞=∑的收敛域也为(),-∞+∞.(Ⅱ)0()!n n n a s x x n ∞==∑，所以1110()(1)!!n n n n n n a a s x x x n n ∞∞-+=='==-∑∑，2220().(2)!!n n n n n n a a s x x x n n ∞∞-+==''==-∑∑因为211233n n n a a a ++=+，故21100002112()2()()!3!3!!33n n n n n n n n n n n n n a a a a a s x x x x x s x s x n n n n ∞∞∞∞+++====+⎛⎫'''===+=+ ⎪⋅⎝⎭∑∑∑∑，因此和函数满足的微分方程为12()()()033s x s x s x '''--=.(Ⅲ)设特征方程为212033r r --=，则方程的根分别为1221,3r r ==-，故二阶微分方程的通解为2312()x xs x c e c e-=+，代入01(0)0,(0)1s a s a '====，可得135c =，235c =-，从而2333()55x x s x e e-=-.(20)解(I)(,)P x y 点的切线方程为()(,0)yY y y X x T x y '-=-⇒-'.由222222(()y y xyPT OT y x y y y x y '=⇒+=-⇒=''-，即221()y x y y x '=-.令y u x=,则有222221211(1)du u u u u x du dx dx u u u x +-+⋅=⇒=-+⎰⎰22221lnln ln 11u u x C Cx x y y u u C⇒=+⇒=⇒+=++.把(1,1)代入得12C =，故曲线方程为222x y y +=.（II）221111(1(1V dx dxππ--=-⎰⎰1214=πππ-==⎰⎰（21）解（Ⅰ）由于(2)0A E x -=的基础解系中含3个线性无关的解向量，则12λ=至少是A 的3重特征值，再由41()i i tr A λ==∑得A 的另一个特征值为24λ=-；则A 有4个线性无关的特征向量，故A 可对角化，即A 可相似于一个对角阵.（Ⅱ）由于12λ=是A 的3重特征值，故有212324313234414243(2)102222,22r A E r a a a a a a a a a -==-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪- ⎪-⎝⎭进而解得2131412434424323320,2,2a a a a a a a a a =========-，于是2222002202020220A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪⎝⎭.注意到1234(,,,)T T f x x x x x Ax x Bx ==，其中21111022=120221220T A A B -⎛⎫⎪-+ ⎪=⎪- ⎪-⎝⎭，B的特征值为123,42,1λλλ===-±当122a =时，则1234(,,,)f x x x x在正交变换下的标准形为2222123422(1(1f y y y y =++-++--.（22）解(Ⅰ){1,}=1,arctan }44Y P U V P X ππ≤≤≤≤1400211==2r d e rdr eπθπ--⎰⎰．(Ⅱ)记(,)U V 的分布函数为,(,)U V F u v ，则,(,){,}U V F u v P U u V v =≤≤．①当0u <或0v <时，,(,)0U V F u v =；②当0,02u v π≥≤≤时，,(,){,}=,arctan}U V Y F u v P U u V v P u v X=≤≤≤22==(1(1))v ur u vd e rdr u e θππ---+⎰⎰；③当0,2u v π≥≥时，,(,){,}=,arctan}2U V Y F u v P U u V v P u X π=≤≤≤≤202==1(1)uru d e rdr u e πθπ---+⎰⎰进而得2,,2(,),0,0,(,)20,.uU V U V F u v ue u v f u v u vππ-⎧∂≥≤≤⎪==⎨∂∂⎪⎩其它(Ⅲ)U 和V 的边缘密度分别为20,2,0,,0,()(,)0,,0,uu U U V ue u ue dv u f u f u v dv ππ--+∞-∞⎧⎧≥≥⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它其它+0,22,0,,0,()(,)220,0,,uV U V ue du v v f v f u v du ππππ∞-+∞-∞⎧⎧≤≤≤≤⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其它其它由于,(,)()()U V U V f u v f u f v =，所以U 和V 相互独立．。
考研数学(数学三)模拟试卷480(题后含答案及解析)
考研数学（数学三）模拟试卷480(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)是(-∞，+∞)上连续的偶函数，且︱f(x)︱≤M当xε(-∞，+∞)时成立，则F(x)=是(-∞，+∞)上的( )。
A．无界偶函数B．有界偶函数C．无界奇函数D．有界奇函数正确答案：B解析：首先讨论F(x)的奇偶性，注意有可见F(x)是(-∞，+∞)上的偶函数，这样就可以排除答案C和答案D。
其次讨论F(x)的有界性，因F(x)是(-∞，+∞)上的偶函数，所以可限于讨论x≥0时F(x)的有界性，由于，由此可知，F(x)也是(-∞，+∞)上的有界函数，故应选B。
2．设f(x)=xex+1+，则f(x)在(-∞，+∞)内( )。
A．没有零点B．只有一个零点C．恰有两个零点D．恰有三个零点正确答案：C解析：求f’(x)，分析其单调性区间，由于f’(x)=ex+1(x+1)①＜0，x＜-1，②=0，x=-1，③＞0，x＞-1，因此x=-1是f(x)的最小值点，且f(-1)=，又，由连续函数的介值定理知，在(-∞，-1)与(-1，+∞)内必存在f(x)的零点，又因f(x)在(-∞，-1)与(-1，+∞)均单调，所以在每个区间上也只能有一个零点，因此，f(x)在(-∞，+∞)恰有两个零点，故应选C。
3．设f(x)是区间上的正值连续函数，且I=，K=，若把I，J，K按其积从小到大的次序排列起来，则正确的次序是( )。
A．I，J，KB．J，K，IC．K，I，JD．J，I，K正确答案：D解析：用换元法化为同一区间上的定积分比较大小，为此在中令arcsinx=t，由于，且dx=d(sint)=costdt，代入可得。
与此类似，在K=中令arctanx=t，由于，且dx=d(tant)=，代入可得。
由f(x)＞0且当时0＜cosx＜1，故在区间上f(x)cosx＜f(x)＜，从而积J＜I＜K，故应选D。
全国硕士研究生考试(数学模拟试卷三)含答案解析
（1）设 ( x)
在
x
=
0
处连续，若
f
(x)
=
(
x)(e
x2
−1)
tan x − sin x
,
x
0,
且
f
(x)
也在
x
=
0
处连续，则有（
）．
1,
x = 0,
（Ａ）(0) = 0,(0) 未必存在
（Ｂ）(0) = 1,(0) 未必存在
（Ｃ）(0) = 0,(0) = 1
（Ｄ）(0) = 0,(0) = 1 2
（A） y12 + y22 + y32 − y42
（B） y12 − y22 − y32 − y42
（C） y12 + y22 − y32 − y42
（D） y12 + y22 + y32 − y42
【答案】（A）
【解】 A2 + 2A − 3E = O (A + 3E)(A − E) = O r(A+3E)+ r(A − E) = 4, r(A − E) = 1 知1 是三重
u y
=
x ( x,
y)
，
2u xy
=
( x,
y) − yy (x, 2 (x, y)
y)
，
2u yx
=
( x,
y) − xx (x, 2 (x, y)
y)
，由
2u xy
=
2u yx
可得
yy (x,
y)
=
xx (x,
y)
．选（C）.
（4）设 f (u) 为可导函数,曲线 y = f ( x+1 ) 过点（1 , 4) ,且在该点处切线过原点 (0, 0) ,那么函数 f (u) 在
考研数学(数学三)模拟试卷412(题后含答案及解析)
考研数学（数学三）模拟试卷412(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．函数在点x=0处( )．A．极限不存在B．极限存在，但不连续C．连续，但不可导D．可导正确答案：C解析：分段函数在分段点处的连续性和可导性通常用连续和可导的定义来讨论．显然上述极限不存在，故f(x)在x=0处不可导，但这是因为1一为无穷小量(x→0)，而为有界变量．因而f(x)在x=0处连续，但不可导，仅(C)入选．2．判别级数的敛散性：A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．无从判断正确答案：A解析：将被积函数放大，使之积分后产生收敛的比较级数．因为而收敛，由比较判别法知收敛，且为正项级数，故必定绝对收敛，仅(A)入选．3．已知某商品的需求量Q对价格的弹性为pln3，假设该商品的最大需求量为1200，则需求量Q关于价格p的函数关系是( )．A．Q=1200．3一pB．Q=1200．3e一pC．Q=1200．e一3pD．Q=1200．3p正确答案：A解析：利用弹性定义建立微分方程解之，也可逐个检验四个选项中的结果是否符合题目的要求，从而确定选项．根据需求弹性的定义与题设可知，由此即得解此微分方程，有Q=Ce一pln3=C．3一p ，其中C为待定常数．再由最大需求量为1200的假定，即知Q(0)= C．3一0=1200，故C=12 00，则Q=1200．3一p ，所以(A)是正确的，仅(A)入选．4．设I=|xy|dxdy，其中D是以a为半径、以原点为圆心的圆，则I的值为( )．A．a4/4B．a4/3C．a4/2D．a4正确答案：C解析：被积函数关于x，y都是偶函数，且积分区域关于坐标轴、坐标原点都对称，故所求积分等于第一象限积分区域上的4倍．以此简化计算．设D1={(x，y)|x2+y2≤a2 ，x＞0，y＞0}，则5．已知n阶矩阵A，B，C，其中B，C均可逆，且2A=AB一1+C，则A=( )．A．C(2E一B)B．C．B(2B一E)一1CD．C(2B一E)一1B正确答案：D解析：解矩阵方程常先作恒等变形，其次要正确运用矩阵的运算法则，将待求矩阵化为因子矩阵．做乘法时，要说清楚是左乘还是右乘，特别要注意(A±B)一1 ≠A一1 ±B一1 ．由于2A=AB一1+C，有2A一AB一1=C，且A(2E 一B一1 )=C，又C可逆，则A(2E—B一1 )C一1=E，故A可逆，且得A=[(2E 一B一1 )C一1 ]一1=C(2B一1 B—B一1 )一1=C[B一1 (2B一E)]一1=C(2B 一E)一1B．仅(D)入选．注意化简(2E—B一1 )一1 时常见下述错误：(2E一B一1 )一1=(2E)一1一(B一1 )一1=E一B，或(2E一B一1 )一1=2E一B．这是把可逆的性质与矩阵转置的性质相混淆造成的，一定要防止这种错误！6．A是m×n矩阵，线性方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是( )．A．m一n且|A|≠0B．导出组AX=0有且仅有零解C．A的列向量组α1 ，α2 ，…，αn与α1 ，α2 ，…，αn ，b等价D．r(A)=n，且b可由A的列向量组线性表出正确答案：D解析：利用A=b有唯一解的充分必要条件是r(A)=r(A|b)=n去判别．当m=n 时，必有因而必有解．又|A|≠0，即m=n=r(A)，则AX=b必有唯一解，这也可由克拉默法则得知．但并不必要，当m≠n时，方程组也可能有唯一解．例如AX=b 有唯一解．(C)是AX=b有唯一解的必要条件，并非充分条件，即两个向量组α1 ，α2 ，…，αn与α1 ，α2 ，…，αn ，b等价是方程组AX=b有解的充要条件，是有唯一解的必要条件，例如AX=b有解，但解不唯一．(B)是AX=b有唯一解的必要条件，并非充分条件．因这时不能保证r(A)=r(A|b)．如AX=0有非零解，则AX=b必没有唯一解，它可能有无穷多解，亦可能无解，当AX=0只有零解时，AX=b可能有唯一解，也可能无解，并不能保证必有唯一解．例如AX=0仅有零解，而AX=b并无解．(D)秩r(A)=n表明A的列向量组线性无关，因而如AX=b有解，则解必唯一．仅r(A)=n还不能保证，因而不能保证AX=b有解(参见(B)中反例)，b可由A的列向量组线性表出是AX=b有解的充要条件，这两个条件结合才能保证因而它们才是AX=b有唯一解的充要条件，仅(D)入选。
考研数学(数学三)模拟试卷418(题后含答案及解析)
考研数学（数学三）模拟试卷418(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设则f(x)在点x=0处( )．A．极限不存在B．极限存在但不连续C．连续但不可导D．可导正确答案：C解析：可利用下列结论判别之．设则当α＞0时，f(x)在x=0处连续；当α＞1时f(x)在x=0处可导．当α＞β+1时，f(x)的导函数在x=0处连续．由上述结论知α=1/2＞0，因而f(x)在x=0处连续但不可导．仅(C)入选．2．已知函数在(一∞，+∞)内连续可导，则( )．A．a=2，b=3B．a=一2，b=一3C．a=3，b=2D．a=一3，b=一2正确答案：A解析：下面介绍一个简化左、右导数计算的方法：(1)设f(x)在[x0 ，x0+δ](δ＞0)上连续，在(x0 ，x0+δ)内可导，且f’(x)存在，则f+’(x0)=(2)设f(x)在[x0一δ，x0](δ＞0)上连续，在(x0一δ，x0)内可导，且f’(x)存在，则f一’(x0)=可用上法求之，也可用左、右导数定义求出a、b．因f(x)在x=0处可导，故f一’(0)=f+’(0)，即a=2．又因f(x)在x=0处连续，故f(0+0)=f(0一0)，即故3=b．仅(A)入选．3．A．1/e一1B．1一1/eC．2/eD．2(1一1/e)正确答案：D解析：为去掉根号，需分区间积分．4．方程y”一3y’+2y=excos2x的特解形式y*=( )．A．Aexcos2xB．xex(Acosx+Bsin2x)C．ex(Acos2x+Bsin2x)D．x2ex(Acos2x+Bsin2x)正确答案：C解析：先求出其特征根，再考察l±2i是否是其特征根．因f(x)=excos2x，λ=1，ω=2，需考察1±2i是否是特征方程的根，因特征方程r2一3r+2=0的根为r1=2，r2=1，故1±2i不是它的根，其特解形式为y*=ex(Acos2x+Bsin2x)．仅(C)入选．5．设A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0，r(A)=n一5，α1 ，α2 ，α3 ，α4 ，α5是该方程组5个线性无关的解向量，则方程组AX=0的一个基础解系是( )．A．α1+α2 ，α2+α3 ，α3+α4 ，α4+α5 ，α5+α1B．α1一α2 ，α2+α3 ，α3+α4 ，α4+α5 ，α5+α1C．α1一α2 ，α2一α3 ，α3一α4 ，α4+α5 ，α5+α1D．α1一α2 ，α2一α3 ，α3一α4 ，α4一α5 ，α5一α1正确答案：A解析：上述各选择项中的向量均为AX=0的解向量，这是显然的．关键要确定哪一组向量线性无关．可利用下述结论观察求出：已知向量组α1 ，α2 ，…，αs(s≥2)线性无关，设β1=α1±α2 ，β2=α2±α3 ，…，βs一1一αs一1±αs ，βs=αs±α1 ，其中s为向量组中的向量个数．又设上式中带负号的向量个数为k，则(1)当s与k的奇偶性相同时，向量组β1 ，β2 ，…，βr线性相关；(2)当x与k的奇偶性相反时，向量组β1 ，β2 ，…，βr线性无关．由线性相关的定义易知，选项(D)中向量组线性相关．因(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α4)+(α4一α5)+(α5一α1)=0，至于(B)、(C)中的向量组也可用矩阵表示法证明线性相关．例如对于(B)．有[α1一α2 ，α2+α3 ，α3+α4 ，α4+α5 ，α5+α1]=[α1 ，α2 ，α3 ，α4 ，α5]故选项(B)中向量组线性相关，同理，可证选项(C)中向量组也线性相关．6．已如A，B为三阶矩阵，且有相同的特征值1，2，2，则下列命题：①A，B等价；②A，B相似；③若A，B为实对称矩阵，则A，B合同；④行列式|A一2E|=|2E一A|中，命题成立的有( )．A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：C解析：要充分利用特征值的作用，它可以确定矩阵的秩，可以确定矩阵的行列式．利用这些可检验上述诸命题．由题设知A，B的秩相同，r(A)=r(B)=3，因此A，B等价；若A，B为实对称矩阵，则其正负惯性指数相同，从而A，B合同；矩阵A一2E与2E一A均有一个特征值为零，故行列式|A一2E|=|2E一A|=0．但由A，B有相同的特征值，推导不出A，B相似，故仅(C)入选．7．设随机事件A和B满足关系式，则必有( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：利用事件的运算性质(摩根律等)判别．仅(C)入选．8．设总体X～N(μ，σ2)，其中μ已知，σ2＞0为未知参数，X1 ，X2 ，…，Xn是来自总体X的样本，则σ2的置信度为1一a的置信区间为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：μ已知，找出服从X2分布的统计量，再利用置信度的定义，列出关系式，解出σ2所满足的不等式即为所求．由于μ已知，取统计量于是由置信度的含义得到故σ2的置信度为1一α的置信区间为选项(D)中的区间，仅(D)入选．填空题9．正确答案：解析：被积函数为无理式，先作变量代换化为有理式后再计算．用换元积分法，作变量代换于是X=(t2一1)2 ，dx=4(t2一1)tdt．当x从0变到1时，t 从1变到，从而10．函数在区间[0，2]上的平均值为________．正确答案：1解析：要充分利用定积分的几何意义计算有关的定积分．前者表示圆(x一a)2+y2=a2在x轴上方部分的1/2，其值为整个圆面积的1/4，而后者为整个圆面积的1/2，即所求的平均值为由定积分的几何意义即得其中S是圆(x一1)2+y2=1在x轴上方部分的面积，半径a=1．11．设f(x)=arctan则f(102)(0)=________．正确答案：解析：函数f(x)在一点的高阶导数常用f(x)的泰勒展开式求之．比较式①与式②中x102中的系数，它们应该相等，于是有12．已知yt=c1+c2at是差分方程yt+2一3yt+1+2yt=0的通解，则a=________．正确答案：2解析：用特解代入法确定之．将yt=c1+c2at代入方程，有c1+c2at+2一3(c1+c2at+1)+2(c1+c2at)=0，即a2—3a+2=0，解得a=1，2．其中a=1时，yt=c1+c2．实际上它只是一个任意常数，不构成该差分方程的通解，舍去，故a=2．13．已知α1 ，α2 ，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的3个解，其中2α1一α2=[0，2，2，2]T ，α1+α2+α3=[4，一1，2，3]T ，2α2+α3=[5，一1，0，1]T ，秩(A)=2，那么方程组AX=b的通解是________．正确答案：[0，2，2，2]T+k1[一1，0，2，2]T+k2[一5，7，6，5]T解析：利用方程组解的结构及其性质求之．因为n一r(A)=4一2=2，所以方程组AX=b的通解形式为a+k1η1+k2η2 ，其中α为AX=b的特解，η1 ，η2为AX=0的基础解系．因此，下面应求出AX=b的一个解及AX=0的两个线性无关的解．根据解的性质知，2α1一α2=α1+(α1一α2)一[0，2，2，2]r是AX=b 的解，而(α1+α2+α3)一(2α2+α3)=α1一α2=[一1，0，2，2]r是AX=0的解．3(2α1一α2)一(2α2+α3)=5(α1一α2)+(α1一α3)=[一5，7，6，5]r是AX=0的解．显然[一1，0，2，2]r与[一5，7，6，5]r线性无关(对应分量不成比例)．因此，方程组AX=b的通解为[0，2，2，2]T+k1[一1，0，2，2]T+k2[一5，7，6，5]T ，其中k1 ，k2为任意常数．14．设随机变量X在区间[一1，3]上服从均匀分布，则|X|的概率密度是________．正确答案：解析：先求|X|的分布函数F|X|(x)=P(|X|≤x)，再求f|X|(x)．当x≤0时，F|X|(x)=P(|X|≤x)==0，当0＜x＜1时，F|X|(x)=P(|X|≤x)=P(一x＜X＜x)=∫一xx 当1≤x＜3时，F|X|(x)=P(|X|≤x)=P(一1＜X＜1)+P(1≤X≤x)=当x≥3时，F|X|(x)=1．综上得到解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三模拟试题(附答案)
全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试卷（模拟考试）身份证号 姓名 电话 成绩数学三答题号及分值：(4+2+2，4+1+1，5+2+2)1-8题共32分9-14共24分 15 10分1610分1710分1810分1910分20 11分2111分2211分2311分成绩一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．函数∫++=xdt t t x f 02)1ln()(为（）。
(A)偶函数,且在上为单调减。
(B)偶函数，且在),0(+∞),0(+∞上为单调增。
(C)奇函数，且在上为单调减。
(D)奇函数，且在),0(+∞),0(+∞上为单调增。
【解】 答案：（B）。
（函数奇偶性，定积分的换元积分公式） 因为对任意的),(+∞−∞∈x ，∫++=xdt t t x f 02)1ln()(都存在，且∫∫−−++−=++=−−xxdu u u dt t t x f 0202))()(1ln()1ln()()()1ln(11ln202x f du u u du u u xx=++=++−=∫∫。
所以∫++=xdt t t x f 02)1ln()(是偶函数，且在),0(+∞上0)1ln()(2>++=′x x x f 。
2．设在的某邻域内有二阶连续导数，且满足)(x f 0=x 1)1ln()(lim 30=+→x x f x , 则（ ）。
(A),,在0)0(=′f 0)0(≠′′f )(x f 0=x 处有极值(B),在处有极值0)0()0(=′′=′f f )(x f 0=x (C), 在处取得拐点0)0()0(=′′=′f f 0=x (D), 在处取得拐点0)0(,0)0(=′′≠′f f 0=x 【解】13)(lim )(lim )1ln()(lim203030=′==+→→→x x f x x f x x f x x x ，0)0(=′f ，)(x f ′在0=x 的两侧不变号，因此不为极值点。
研究生入学考试数学三模拟试题参考答案
年研究生入学考试数学三模拟试卷参考答案一、填空题（本题共小题，每小题分，满分分. 把答案填在题中横线上）() 设函数()满足x x f +='1)(ln ，(). 则220cos ln )(lim 2xdt t x f x x ⎰-→ .[解] 应填 –.由x x f +='1)(ln 2)0(1)(='⇒+='⇒f e x f x，于是22cos ln )(lim2x dt t x f x x ⎰-→1cos )(lim202-⎰→x duu f x x 4021)(lim2x duu f x x -⎰→.2)0(22)(lim 320-='-=-⋅→f xxx f x () 设),(y x ϕ连续，若),(),(y x y x y x f ϕ-=在点()处关于的偏导数均存在，则),(y x ϕ应满足.[解] 应填 .000=），（ϕ由题设 )0,()0,(x x x f ϕ=在处关于的导数存在，得.000=），（ϕ () 已知1)(21)(1+=⎰x f dt tx f ，且()，则(). [解] 应填 .由 1)(21)(10+=⎰x f dt tx f ⎰⎰+=⇒+=⇒x x x x xf du u f x f du u f x 00)(21)(1)(21)(1,有 1)(21)(21)(+'+=x f x x f x f ，即 2)()(-=-'x f x f x ，解此微分方程，得 (), 由(), 知, 故 ().() 二次型f x x x x ax x x x x x ax x (,,)123122232122313222=+++--的正负惯性指数都是，则 .[解] 应填A a a a =----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥111111，由于()⇒=--+=A a a ()()1202若, 则(),不合题意； 若λλλλλλλE A -=----+--=-+=⇒112121211330()().330321-===λλλ，， 符合题意，故.() 设独立，(), ()，则)(B A B A P . [解] 应填.85 )(B A B A P )())((1)(1B A P B A AB P B A AB P -=-.85)()(1=-B A P AB P() 设X 和2S 为总体()的样本的样本均值和样本方差，若2kS X -为2mp 的无偏估计，则常数 . [解] 应填 .由题设，)1(,2p mp ES mp X E -==，于是22)1()(mp p kmp mp kS X E =--=-， 知 .二、选择题（本题共小题，每小题分，满分分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）() 设 .0,0,0,sin 1,0,1sin )1ln(1)(0232>=<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎰x x x dt t x x x x x f x 则()() 极限不存在. () 极限存在但不连续.() 连续但不可导. () 可导. [ ] [解] 应选.因为 )0(0)(lim ),0(0)(lim 0f x f f x f x x ====+-→→，所以()在处连续.而 )0(-'f 不存在，故应选().() 设函数 ()在(-∞ , ∞)内连续，⎰--=xdt t x f x t x F 0)()2()(. 如果 ()是单调增加的偶函数，则()是 () 单调增加 的偶函数. () 单调增加 的奇函数.() 单调减少 的偶函数.() 单调减少 的奇函数. [ ][解] 应选.令 - ，() ⎰⎰⎰-=-xxxdu u uf du u f x du u f u x 0)(2)()()2(，所以，⎰xdu u f 0)(为奇函数，⎰x du u uf 0)(为偶函数，即()为偶函数.又0)]()([)()()(0<-=-='⎰⎰xxdu x f u f x xf du u f x F ，即()单调减少. 因此，选().() 设和为常数，且b a dt e e xt x x =+⎰-+∞→][lim 02，则() ， () ， () 1,2-=-=b a π() 0,2=-=b a π[ ][解] 应选 由于⎰⎰-=-=-=∞+--+∞→xt t x dt edt ea 02lim22π，021lim 21lim][lim 02=-=-⋅=+=+∞→--+∞→-+∞→⎰xe xe a dt e e b x x x x xt xx 故应选().() 设 ()连续可导，222:r y x D ≤+，则dxdy y x f r Dr ⎰⎰++→)(1lim 222等于() )0(f π () )0(f ' () π() () )0(f 'π [ ][解] 应选.dxdy yxf rDr ⎰⎰++→)(1lim 2220).0(2)(lim 2)(lim2022020f rrr f r d f d r rr ππρρρθπ==++→→⎰⎰故应选().() 设正项级数∑∞=1n n u 的部分和为n S ，又nn S v 1=，已知级数∑∞=1n n v 收敛，则()∑∞=1n nu收敛 ()∑∞=1n nu发散()∑∞=-11n nnu ）（条件收敛 ())11∑∞=+-n n n u u （收敛 [ ][解] 应选.由收敛的必要性知，0lim =∞→n n v ，于是 ∞=∞→n n S lim ，故应选().() 设为n m ⨯阶矩阵，考虑以下命题：①只有零解；② 有唯一解；③的行向量组线性无关；④的列向量组线性无关. 则有() ①⇒②⇒④ . （） ②⇒①⇒④.() ④⇒①⇒③. () ③⇒②⇒①. [ ] [解] 应选.有唯一解，知n b A r A r ==)()( ，于是只有零解，进而可推知的列向量组线性无关，故应选().() 设为阶矩阵，考虑以下命题：）与TA 有相同的特征值与特征向量；）若, 则有相同的特征值与特征向量；）若有相同的特征值，则一定相似于同一个对角矩阵；）若有相同的特征值，则()(). 成立的命题有() 个 () 个. () 个. () 个. [ ] [解] 应选.与TA 有相同的特征值但特征向量不相同；, 则有相同的特征值但同样特征向量不一定相同；有相同的特征值，但不一定可对角化，从而不一定相似于同一个对角矩阵；有相同的特征值，推不出()()，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000,0010B A . 故应选(). () 设()为二维随机变量，则与独立的充要条件为() Y X 与独立. () 22Y X 与独立.() 33Y X 与独立. () 44Y X 与独立. [ ] [解] 应选.若 独立，则Y X 与、22Y X 与、33Y X 与、44Y X 与均独立；但反过来，只有33Y X 与独立时，才可推导出与独立，即 ),(),(3333y Y x X P y Y x X P ≤≤=≤≤)()(3333y Y P x X P ≤≤ )()(y Y P x X P ≤≤ 故应选().三、解答题（本题共小题，满分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）() (本题满分分)设())](ln )(ln [sin lim 2x g tx g t x t t -+∞→π, 其中()具有二阶导数，且x x f ln )(π='，0)0()0(='=g g ，求).(x g[解] 令xxxe x g e x x g x g =''⇒='+''⇒))(()()( 1)(C e xe dx xe x g e x x x x +-=='⇒⎰.1)(1xe C x x g -+-='⇒ 11=C .121)(2+--=⇒-x e x x x g() (本题满分分)设函数()在闭区间[，]上连续，在开区间（，）内大于零，并满足223)()(x a x f x f x +='(为常数)，又曲线()与所围的图形的面积值为，求函数()，并问为何值时，图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.[解] 直接解微分方程，或.23)(23)()(])([22Cx x a x f a x x f x f x x x f +=⇒=-'=' 由()的连续性知(). 又由已知条件.422]221[)23(1023102a C C a x C ax dx Cx ax -=⇒+=+=+⎰ 因此，所求函数为 .)4(23)(2x a ax x f -+=旋转体的体积为 ππ)31631301()]([)(2102++==⎰a a dx x f a V ，令.50)31151()(-=⇒=+='a a a V π 又0151)(>=''πa V ，故当时，旋转体体积最小.() (本题满分分) 设()在区间[]上可导，且⎰badx x f )(a b -，0])(][)([>--b b f a a f .证明：存在),(b a ∈ξ，使.1)(='ξf[证] 令⎰==⇒-=xab F a F dt t t f x F 0)()(])([)(，x x f x F -=')()(且0)()(>''b F a F . 不妨设 0)(,0)(>'>'b F a F ，则0)(),,(0)(lim)(111>+∈∃⇒>-='+→+x F a a x ax x F a F a x δ,0)(),,(0)(lim )(222<-∈∃⇒>-='-→-x F b b x b x x F b F b x δ),,(21x x c ∈∃⇒ ().0)()(),,(),,(2121='='∈∈∃⇒ξξξξF F b c c a .0)(,=''∃⇒ξξF即结论。
考研数学(数学三)模拟试卷410(题后含答案及解析)
考研数学（数学三）模拟试卷410(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．把当x→0时的无穷小量α=ln（1+x2）一ln（1一x4），β=∫0x2tantdt，γ=arctanx一x排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A．α，β，γ．B．γ，α，β．C．α，γ，β．D．γ，β，α．正确答案：C解析：我们分别确定当x→0时，α、β、γ分别是x的几阶无穷小．当x →0时α=ln(1+x2)一ln(1一x4)～x2，因为ln(1+x2)～x2ln(1一x4)～一x4=0(x2)这表明当x→0时，α是关于x的2阶无穷小量，β是关于x的4阶无穷小量，而γ是关于x的3阶无穷小量．按题目的要求，它们应排成α，γ，β的次序．故应选(C)．2．A．I2＞1＞I1．B．I2＞I1＞1．C．1＞I2＞I1．D．1＞I1＞I2．正确答案：B解析：将1也写成一个定积分从而为比较I1，I2，I的大小，只要比较的大小．由于当x＞0时x＞sinx，所以只要比较当0＜x＜的大小．考虑由于所以φ(x)＞0当0＜x＜时成立，于是I2＞I1＞1,故选(B)。
3．设f（x）在[0，1]上连续，又F（x）=f|sint|）dt，则A．F(x+π)＞F(x)(x∈(一∞，+∞))．B．F(x+π)＜F(x)(x∈(一∞，+∞))．C．F(x+π)=F(x)(x∈(一∞，+∞))．D．x＞0时F(x+π)＞F(x)，x＜0时F(x+π)＜F(x)．正确答案：C解析：f(|sinx|)是以π为周期的周期函数，因而有因此选(C)．4．设D是以点A（1，1），B（一1，1），C（一1，一1）为顶点的三角形区域，则A．2．B．5．C．8．D．6．正确答案：C解析：D如图所示，连将D分成D=D1∪D2，D1，D2分别关于x，5．设η1，η2，η3，η4是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列向量组中也是Ax=0的基础解系的是A．η1+η2，η2一η3，η3一η4，η4一η1．B．η1+η2，η2一η3，η3一η4，η4+η1．C．η1+η2，η2+η3，η3一η4，η4一η1．D．与η1，η2，η3，η4等价的向量组．正确答案：A解析：首先可排除(D)，因为与η1，η2，η3，η4等价的向量组不必线性无关，包含向量个数也不必为4．另外3项都给出了Ax=0的4个解，是否构成基础解系只用看它们是否线性无关，即看秩是否为4．(A)向量组η1+η2，η2一η3，η3一η4，η4一η1对η1，η2，η3，η4的表示矩阵为其行列式的值为2，因此是可逆矩阵．于是η1+η2，η2一η3，η3一η4，η4一η1的秩为4．(B)向量组η1+η2，η2一η3，η3一η4，η4+η1对η1，η＜sub2，η3，η4的表示矩阵为其行列式的值为0，因此是不可逆矩阵．η1+η2，η2一η3，η3一η4，η4+η1的秩＜4．(C)向量组η1+η2，η2+η3，η3一η4，η4一η1对η1，η2，η3，η4的表示矩阵为其行列式的值为0，因此也是不可逆矩阵．η1+η2，η2+η3，η3一η4，η4一η1的秩＜4．6．下列矩阵中不相似于对角矩阵的是A．B．C．D．正确答案：C解析：(C)矩阵的3个特征值都为1，因此如果一个对角矩阵与它相似，则必须是单位矩阵E，但是对每个可逆矩阵P，P一1EP=E，即E只和自己相似，因此(C)矩阵不相似于对角矩阵。
考研数学(数学三)模拟试卷433(题后含答案及解析)
考研数学（数学三）模拟试卷433(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．若函数f(x)在点x0处的左导数f-’(x0)和右导数f+’(x0)都存在，则( )．A．函数f(x)在点x0处必可导B．函数f(x)在点x0处不一定可导，但必连续C．函数f(x)在点x0处不一定连续，但极限必存在D．极限不一定存在正确答案：B解析：由f’一(x0)存在，即，即f(x0一0)=f(x0)；由f+’(x0)存在，即即f(x0+0)=f(x0)，从而f(x0-0)一f(x0+0)=f(x0)，即f(x)在x=x0处连续，而左、右导数存在函数不一定可导，应选B．2．设f(x)连续，且则下列结论正确的是( )．A．f(1)是f(x)的极大值B．f(1)是f(x)的极小值C．(1，f(1))不是曲线y=f(x)的拐点D．f(1)不是f(x)的极值，但(1，f(1))是曲线y=f(x)的拐点正确答案：B解析：因为，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x一1｜＜δ时，有．即当x∈(1一δ，1)时，f’(x)＜0；当x∈(1，1+δ)时，f’(x)＞0．根据极值的定义，f(1)为f(x)的极小值，选B．3．设t＞0，则当t→0时，是t的n阶无穷小量，则n为( )．A．2B．4C．6D．8正确答案：C解析：选C．4．微分方程y’’一4y’=x2+cos2x的特解形式为( )．A．(ax2+bx+c)+(Acosx+Bsin2x)B．(ax2+bx+c)+x(Acos2x+Bsin2x)C．(ax3+bx2+cx)+(Acos2x+Bsin2x)D．(ax3+bx2+cx)+x(Acos2x+Bsin2x)正确答案：C解析：特征方程为λ2一4λ=0，特征值为λ1=0，λ2=4，方程y’’一4y’=x2的特解为y1=x(ax2+bx+c)=ax3+bx2+cx；方程y’’一4y’=cos2x的特解为Acos2x+Bsin2x，故选C．5．设A，B及A*都是n(n≥3)阶非零矩阵，且ATB=0，则r(B)等于( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：因为ATB=0且B为非零矩阵，所以方程组ATX=0有非零解，从而r(AT)=r(A)＜n，于是r(A*)=0或r(A*)=1，又因为A*为非零矩阵，所以r(A*)=1．由r(A*)=1得r(A)=n一1，从而r(AT)=n—1．由ATB=0得r(AT)+r(B)≤n，于是r(B)≤1，又B为非零矩阵，所以r(B)≥1，于是r(B)=1，选B．6．设三阶矩阵A的特征值为一2，0，2，则下列结论不正确的是( )．A．r(A)=2B．tr(A)=0C．Ax=0的基础解系由一个解向量构成D．一2和2对应的特征向量正交正确答案：D解析：因为A的特征值都是单值，所以A可相似对角化，从而r(A)=2，A 是正确的；由tr(A)=一2+0+2—0得B是正确的；因为λ=0是单特征值，所以λ=0只有一个线性无关的特征向量，即方程组(0E一A)X=0或AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量，C是正确的；一2与2对应的特征向量一般情况下线性无关，只有A是实对称矩阵时才正交，选D．7．设随机变量向量组α1，α2线性无关，则Xα1一α2，一α1+Xα2线性相关的概率为( )．A．B．C．D．1正确答案：C解析：因为α1，α2线性无关，所以向量组Xα1一α2，一α1+Xα2线性无关的充分必要条件是．即X=1，故向量组Xα1一α2，一α1+Xα2线性相关的概率为选C．8．设X，Y)9两个随机变量，其中E(X)=2，E(y)=一1，D(X)=9，D(Y)=16，且X，Y的相关系数为，由切比雪夫不等式得P{｜X+Y一1｜≤10}≥( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：令Z=X+Y，则E(Z)=E(X)+E(Y)=1，D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=13，则选B．填空题9．=___________.正确答案：解析：10．设f(x)为连续函数，且x2+y2+z2=∫xyφ(x+y一t)dt，则=___________.正确答案：解析：11．设φ连续，且x2+y2+z2=∫xyφ(x+y一t)dt，则=_____________.正确答案：φ(y)一φ(x)一2(x+y)解析：12．幂级数的和函数为__________．正确答案：解析：13．设矩阵不可对角化，则a=___________．正确答案：0或4解析：得λ1=0，λ2=a，λ3=4．因为A不可对角化，所以A的特征值一定有重根，从而a=0或a=4．当a=0时，由r(OE-A)=r(A)=2得λ1=λ2=0只有一个线性无关的特征向量，则A不可对角化，a=0合题意；当a=4时，由r(4E-A)=2得λ2=λ3=4只有一个线性无关的特征向量，故A不可对角化，A=4合题意．14．10件产品中有3件产品为次品，从中任取2件，已知所取的2件产品中至少有一件是次品，则另一件也为次品的概率为__________．正确答案：解析：令事件A={所取两件产品中至少有一件次品)，B={两件产品都是次品)，解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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[考研类试卷]考研数学（数学三）模拟试卷411
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设曲线y=(1+x)，则下列说法正确的是( )．
（A）没有渐近线
（B）有一条渐近线
（C）有二条渐近线
（D）有三条渐近线
2 设f(x)的导数在点x=a处连续，又=一2，则( )．
（A）点x=a是f(x)的极小值点
（B）点x=a是f(x)的极大值点
（C）点(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点
（D）点x=a不是f(x)的极值点，点(a，f(a))也不是曲线f(x)的拐点
3 二元函数在点(0，0)处( )．（A）连续，偏导数存在
（B）连续，偏导数不存在
（C）不连续，偏导数存在
（D）不连续，偏导数不存在
4 设f(x)连续，则∫0x(∫0t f(x)dx)dt=( )．
（A）∫0x f(t)(t一x) dt
（B）∫0t f(x)(x一t) dx
（C）∫0x f(t)(x一t)dt
（D）∫0t f(t)(t一x)dx
5 设则必有( )．
（A）B=P1 P2A
（B）B=P2P1A
（C）B=AP1 P2
（D）B=AP2P1
6 设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量，A=[α1，α2，α3，α4]，A*为A的伴随矩阵，又知方程组AX=0的基础解系为[1，0，2，0]T，则方程组A*X=0的基础解系为( )．
（A）α1，α2，α3
（B）α1+α2，α2+α3，α3+α1
（C）α2，α3，α4
（D）α1+α2，α2+α3α3+α4，α4+α1
7 设随机变量X与Y相互独立，且均服从正态分布N(0，1)，则( )．
（A）P(X+Y≥0)=1/4
（B）P(X一Y≥0)=1/4
（C）P(max(X，Y)≥0)=1/4
（D）P(min(X，Y)≥0)=1/4
8 将一枚硬币随意投掷n次，设X n表示“正面”出现的次数，Ф(x)为标准正态分布的分布函数，则
( )．
二、填空题
9 已知
10 已知级数与广义积分∫0+∞ e(p一2)x dx均收敛，则p的取值范围是
________．
11 差分方程y x+1一的通解为________．
12 化下述积分为极坐标系下的累次积分，则∫1/21dx∫1一x x f(x，y)dy+∫1+∞dx∫0x f(x，
y)dy________．
13 A，B，C是二阶矩阵，其中则满足BA=CA的所有矩阵A=________．
14 设A，B是两个随机事件，已知P(A|B)=0．3，P(B|A)=0．4，=0．7，则P(A+B)=________．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 设f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，又F(x)=∫a x f(t)dt+∫6x证明：
(1)F'(x)≥2；(2)F(x)=0在[a，b]内有且仅有一个实根．
16 计算二重积分(x2+y)dσ，其中D是由x2+y2=2y的上半圆，直线x=一1，x=1及x轴围成的区域．
17 设变换
18 已知商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数：D=D(p)=S=S(p)=bp，其中a＞0，b＞0为常数；价格p是时间t的函数，且满足方程=k[D(p)一S(p](k
为正常数)．1假设当t=0时，价格为1．试求：(1)需求量等于供给时量时的均衡价格p e；(2)价格函数p(t)；(3)极限
19 已知某二阶常系数线性非齐次微分方程的通解为y=C1e x+C2e一x一
则此微分方程为________．
20 设A为三阶实对称矩阵，λ1=8，λ2=λ3=2是其特征值．已知对应λ1=8的特征向量为α1=[1，k，1]T，对应λ2=λ3=2的一个特征向量为α2=[一1，1，0]T．试求参数k及λ2=λ3=2的一个特征向量和矩阵A．
21 已知三元二次型f(x1，x2，x3)=X T AX，矩阵A的对角元素之和为3，且
AB+B=0，其中(1)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的坐标变换；(2)求出此二次型；(3)若β=[4，一1，0]T，求A*β．
22 设X1，X2，…，X9是来自正态总体X～N(μ，σ2)的简单随机样
本．证明统计量Z服从自由度为2的t分布．
23 设随机变量X，Y相互独立，X在区间[0，5]上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，令Z=max{X，Y}．
(1)求随机变量Z=max(X，Y)的概率密度；
(2)计算P(X+Y＞1)．。