二分法

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简单二分法

简单二分法1. 什么是二分法二分法（Binary Search）是一种常用的查找算法，也称为折半查找。

它的原理很简单，通过将查找范围不断缩小，最终找到目标元素或确定目标元素不存在。

二分法的应用广泛，包括在查找有序数列、旋转有序数列中的元素、判断一个数的开方等方面。

2. 二分法的基本思想二分法的基本思想是将查找范围不断地二等分，然后确定目标元素可能存在的一侧。

在每次二等分之后，通过比较目标元素和中间元素的大小关系，可确定下一次二分的方向，并缩小查找范围。

3. 二分法的递归实现3.1 算法步骤1.确定查找范围的起始位置start和结束位置end，初始时start为0，end为数列长度减1。

2.计算查找范围的中间位置mid，可以使用公式mid = (start + end) // 2进行计算。

3.当start大于end时，表示查找范围为空，即目标元素不存在。

此时返回-1或其他特定值作为查找失败的标志。

4.比较中间位置mid的元素与目标元素的大小关系：–如果中间位置的元素等于目标元素，则直接返回mid，表示找到目标元素。

–如果中间位置的元素大于目标元素，则说明目标元素可能存在于左半边，将查找范围缩小到[start, mid-1]，并递归调用二分法。

–如果中间位置的元素小于目标元素，则说明目标元素可能存在于右半边，将查找范围缩小到[mid+1, end]，并递归调用二分法。

5.重复步骤2到步骤4，直到找到目标元素或确定目标元素不存在。

3.2 递归实现代码示例（Python）def binary_search_recursive(arr, target, start, end):if start > end:return -1mid = (start + end) // 2if arr[mid] == target:return midelif arr[mid] > target:return binary_search_recursive(arr, target, start, mid-1) else:return binary_search_recursive(arr, target, mid+1, end)4. 二分法的迭代实现4.1 算法步骤1.确定查找范围的起始位置start和结束位置end，初始时start为0，end为数列长度减1。

数值计算二分法

数值计算二分法
数值计算中的二分法，是一种基于区间不断缩小，最终求出函数零点的数学方法。

常用于解决各种数值计算问题，如求解非线性方程、寻找函数极值等。

二分法的基本思想就是将求解区间划分成两个子区间，通过确定零点所在的子区间，将求解区间不断缩小，最终得到精度要求的近似解。

具体算法如下：
1. 初始化区间：选择初始区间[a,b]，其中a<b，且f(a)和f(b)异号（即f(a)和
f(b)符号不同）。

2. 迭代过程：
- 求取区间中点c=(a+b)/2；
- 计算函数值f(c)；
- 若f(c)=0，则c为函数的零点，算法结束；
- 若f(c)与f(a)符号相同，则零点在[c,b]间，将a=c ；
- 若f(c)与f(b)符号相同，则零点在[a,c]间，将b=c；
- 反复迭代，缩小求解区间，直到满足预定的精度要求为止；
3. 输出结果：输出近似零点和算法的收敛性。

二分法的优点是简单易实现，只要函数在初始区间上连续且满足不同符号的条件，
即可确定解的存在性，并得到一个相对较为精确的解。

但其缺点也非常明显，比如收敛速度慢，对初值选取较为敏感等。

总之，二分法作为数值计算中的基础方法，既有其独特的优点，也有其明显的不足。

在实际应用中，应根据问题的具体情况，选择相应的数值计算方法，并进行优化，以优化算法效率和精度，提高解决问题的效果。

二分法

二分法
二分法是用计算机求解多项式方程时常用的一种方法．其基本思想是：若f （x 1）与f （x 2）的符号相反，则方程f （x ）＝0在区间（x 1，x 2）至少有一个根．取x 1和x 2的中点2
)(211x x r ＋＝，将区间分为两半，然后比较f （r 1）与f （x 1）的符号，若符号相同，则根必在（r 1，x 2）之间，否则在（x 1，r 1）之间．这样每作一次二分法，含根区间恰好缩小一半．不断重复二分过程无限多次时，含根区间将缩为一点，显然这是不可能的．但是有一点是可以肯定的，即每重复二分一次，所得的中点ROOT 与根的距离便会越近．不断重复二分，便会构造出一系列的中点ROOT 1，ROOT 2，…，ROOT n ，当某个中点ROOT n 与根的距离小于规定的误差ξ
0时，该ROOT n 。

就是所解方程的近似解．。

二分法_ppt

2
2
2
若f
(a)
f
(
a
2
b
)
0，则零点x0
(a,

a
2
b
).
若f
(
a
2
b
)
f
(b)
0，则零点x0
(
a
2
b
,b).
4.判断是否达到精确度
若 a b <，则得到零点的近似值a或b，否则重复2至4步.
概念拓展挖掘内涵
如图，哪些零点近似值能用二分法求解？
y
x1
a
0 x2
x3
x4 b x
注意：二分法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.
§3.1.2 用二分法求方程的近似解
身临其境体验生活
某个雷电交加的夜晚，医院的医生正在抢救一个危重病人，忽然电停了。据了解原因是供电站到医院的某处线路出现了故障，维修工，如何迅速查出故障所在? (线路长10km，每50m一棵电线杆）
身临其境体验生活
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200根电线杆子。想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
2.5
2
2.5625 2.625 2.75 3
2.能否用二分法求任何函数零点的近似解？
问题4：给定精确度 0.1，求f x ln x 2x 6零点在2，3
近似值. 初始期间(2,3),且f(2)<0,f(3)>0
次数
1
ab 2
2.5
f (a b) 2
-0.084
取a
取b
(22.5 .5,33)

二分法的算法描述

二分法的算法描述
二分法算法描述
二分法是一种常用的算法，也称为折半查找法。

它的基本思想是将一个有序的数组分成两个部分，然后判断目标值在哪个部分，再在该部分中继续进行查找，直到找到目标值或者确定目标值不存在为止。

二分法的算法描述如下：
1. 首先，确定数组的左右边界，即左边界为0，右边界为数组长度减1。

2. 然后，计算出数组的中间位置，即中间位置为左右边界之和除以2。

3. 接着，判断目标值与中间位置的值的大小关系，如果目标值小于中间位置的值，则在左半部分继续查找，否则在右半部分继续查找。

4. 如果目标值等于中间位置的值，则直接返回中间位置。

5. 如果左右边界相遇，但是目标值仍未找到，则说明目标值不存在，返回-1。

6. 如果目标值在左半部分，则将右边界设为中间位置减1，继续执行步骤2。

7. 如果目标值在右半部分，则将左边界设为中间位置加1，继续执行步骤2。

二分法的时间复杂度为O(log n)，比线性查找的时间复杂度O(n)要快得多。

因此，在需要查找有序数组中的元素时，二分法是一种非常高效的算法。

二分法的应用场景很多，例如在搜索引擎中，可以使用二分法来查找关键词在文档中的位置；在游戏中，可以使用二分法来查找玩家的位置等等。

二分法是一种非常实用的算法，可以大大提高查找效率，值得我们在编程中多加应用。

二分法、牛顿法、割线法、简易牛顿法

二分法、牛顿法、割线法、简易牛顿法二分法是一种简单而常用的求解方程近似解的方法。

其基本思想是将函数的定义域分为两个部分，并通过比较函数在这两个部分的取值来确定方程的解在哪一部分。

然后，再将该部分继续二分，直到找到近似解为止。

牛顿法是一种迭代求解方程根的方法。

它基于函数的局部线性逼近，通过不断更新当前的近似解，直到满足精度要求为止。

牛顿法的核心思想是利用函数的导数来不断修正当前的近似解，使得每次迭代都能更接近方程的根。

割线法是一种类似于牛顿法的迭代求解方程根的方法。

它也是基于函数的局部线性逼近，但不需要计算函数的导数。

割线法通过连接两个近似解的割线来估计方程的根，并利用割线与坐标轴的交点作为下一个近似解，不断迭代直到满足精度要求。

简易牛顿法是对牛顿法的一个简化版本。

在简易牛顿法中，不需要每次迭代都计算函数的导数，而是利用两个近似解的函数值来估计导数。

这样可以减少计算量，并在一定程度上提高计算效率。

二分法、牛顿法、割线法和简易牛顿法都是常用的求解方程近似解的方法，它们各自有着不同的特点和适用范围。

在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择合适的方法来求解方程的近似解。

二分法适用于函数在定义域上单调且连续的情况，它的收敛速度较慢但稳定可靠。

牛顿法适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度较快但对初值敏感。

割线法适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度介于二分法和牛顿法之间。

简易牛顿法是对牛顿法的简化，适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度介于割线法和牛顿法之间。

无论是二分法、牛顿法、割线法还是简易牛顿法，它们的求解过程都可以表示为迭代的形式。

通过不断更新当前的近似解，直到满足精度要求为止。

在每一次迭代中，我们都可以利用函数的信息来修正当前的近似解，使其更接近方程的根。

这种迭代的过程可以通过循环结构来实现，其中迭代的终止条件可以是近似解的精度达到要求或者迭代次数达到一定的限制。

高中数学二分法

高中数学二分法二分法：1、定义：二分法，是一种从曲线上求解函数极值、积分和解方程等不确定解的有效方法，它是利用一个给定的区间，先假设其取值范围，然后把这个区间分成两部分，根据函数的性质得到函数的最大值和最小值，最终把有限的区间越缩越小，趋近于极限，把某种特征的问题求解出来。

2、特点：二分法具备简单、有效率和可取得近似精确结果的特点，其完成求解的有效步骤是：先将需求解的范围把重点放在中间部分，然后判断函数在两个部分哪个更接近局部最优解，根据这种判断，把不满足要求的部分清除，继续通过重复偏心格把结果的范围缩小，最终当剩余段小于给定的一个误差范围时，得到比较接近真实解的一个近似解。

3、应用场景：二分法在高中数学中有广泛的应用，主要用于求定积分和平面几何中曲线，椭圆等函数最大值、最小值等问题的求解，在十字交叉法中，利用十字构图，根据不等式的约束条件，将最优解的区域以二分的方式划分，把区域的最优解计算出来，而在统计学中，也可以用来找出自变量和因变量的最佳拟合函数，这可通过对拟合函数的在自变量取值的山谷值的搜索，帮助研究者快速找到正确的回归模型。

4、具体实现：二分法是一种迭代算法，算法的迭代重点是：给定一个准确的区间，计算区间的中点，根据函数的增减性质来选取最优解，把不满足要求的部分清除掉，通过迭代的方式，重复这个过程，直到得到的某种特征的结果满足要求。

5、优点：二分法比较简单、有效率，而且可取得近似精确结果，也很容易理解，还可以获得较高的精度，并且在实际有效应用中具有良好的鲁棒性及快速类容错能力，适用于大规模数值计算，提高计算效率。

6、缺点：二分法所限制的误差范围可能过大，得到的结果往往不够精确，而且可能出现陷入局部最优的情况，从而影响最终的结果，易受到初值的影响，同时由于迭代容易受到干扰，有可能出现闭塞的情况。

综上所述，二分法是一种有效的有限迭代的方法，是高中数学中必不可少的重要的求解手段，它可以用来求解函数在某一区间最大值、最小值等问题，可以获得近似精确的结果，但同时也有一些缺点需要注意，所以才能在快速有效精确的基础上找到最佳解。

二分法的历史

二分法是一种常用的数学和计算机科学中的算法，它可以用来解决一些搜索和排序问题。

二分法最早的历史可以追溯到古代中国的数学家和天文学家。

在古代中国，数学家们使用的一种方法是将一个数列分成两部分，然后通过比较两部分的大小来确定中间位置的数值。

这种方法被称为“二分法”，因为它将数列分成了两部分。

在欧洲，最早使用二分法的是意大利数学家Fibonacci。

他在13世纪的著作《算盘书》中提到了一种使用二分法的方法，用于求解黄金分割比。

后来，这种方法被广泛应用于数学领域，并成为了一种重要的数学工具。

在计算机科学中，二分法最早被用于解决搜索问题。

1945年，计算机科学家Karl Schmidt 和Warren Weaver在他们的一篇论文中提出了使用二分法来解决搜索问题的方法。

这种方法后来被称为“二分查找法”或“折半查找法”。

随着计算机技术的发展，二分法在计算机科学中变得越来越重要。

它被广泛应用于各种算法和数据结构中，例如排序算法、查找算法和哈希表等。

二分法的高效性和可靠性使得它成为计算机科学中的一种重要算法。

简述二分法的原理

简述二分法的原理二分法是一种常用的算法，它的原理是将一个问题分成两个子问题，然后递归地解决这两个子问题，最终得到问题的解。

二分法的应用非常广泛，例如在查找算法、排序算法、数值计算等领域都有着重要的应用。

一、查找算法在查找算法中，二分法可以用来查找一个有序数组中的某个元素。

具体的实现方法是，首先将数组的中间元素与目标元素进行比较，如果相等，则返回该元素的下标；如果目标元素比中间元素小，则在数组的左半部分继续查找；如果目标元素比中间元素大，则在数组的右半部分继续查找。

这样不断地将问题分成两个子问题，直到找到目标元素或者确定目标元素不存在。

二、排序算法在排序算法中，二分法可以用来实现快速排序。

快速排序的基本思想是选择一个基准元素，将数组分成两个部分，一部分是小于基准元素的，另一部分是大于基准元素的。

然后对这两个部分分别进行递归排序，最终得到有序数组。

在实现快速排序的过程中，可以使用二分法来确定基准元素的位置，从而提高排序的效率。

三、数值计算在数值计算中，二分法可以用来求解方程的根。

具体的实现方法是，首先确定一个区间，然后将区间分成两个部分，根据函数值的符号确定根在哪一部分，然后继续将该部分分成两个子区间，直到找到根或者确定根不存在。

二分法的优点是收敛速度快，但是需要满足一定的条件，例如函数必须是单调的，根必须在区间内等等。

综上所述，二分法是一种非常重要的算法，它可以用来解决许多问题，例如查找、排序、数值计算等。

二分法的原理是将问题分成两个子问题，然后递归地解决这两个子问题，最终得到问题的解。

在实际应用中，需要根据具体的问题选择合适的实现方法，并注意算法的正确性和效率。

二分法解决实际问题的过程

二分法解决实际问题的过程二分法解决实际问题的过程一、引言在计算机科学中，二分法是一种通用的搜索算法，常用于解决实际问题。

它通过将问题分成两个部分，然后确定目标在哪个部分，并继续对该部分进行二分，最终找到目标或确定目标不存在。

本文将探讨二分法解决实际问题的过程，从简单到复杂、由浅入深，帮助读者全面理解这一算法。

二、基本原理1. 概念解释：二分法，也称为二分查找，是一种通过不断将范围缩小一半的方式来查找目标的方法。

它要求待查找的数组或列表是有序的。

2. 基本步骤：- 确定搜索范围：将数组或列表的起始位置和结束位置确定为搜索范围。

- 计算中点：将搜索范围分成两部分，计算中点的索引位置。

- 比较目标值与中点：将目标值与中点进行比较，确定目标可能在哪个部分。

- 缩小搜索范围：根据比较结果，将搜索范围缩小为可能存在目标的部分，并重复上述步骤，直到找到目标或确定目标不存在。

三、简单示例为了更好地理解二分法的过程，在这里我们举一个简单的示例。

假设有一个升序排列的数组，我们需要查找数组中是否存在某个特定的元素。

1. 确定搜索范围：将数组的起始位置设为0，结束位置设为数组长度减1。

2. 计算中点：将起始位置和结束位置相加除以2，得到中点的索引位置。

3. 比较目标值与中点：将目标值与中点位置的元素进行比较。

4. 缩小搜索范围：根据比较结果，如果目标值小于中点位置的元素，则将结束位置更新为中点位置减1；如果目标值大于中点位置的元素，则将起始位置更新为中点位置加1。

重复上述步骤，直到找到目标或确定不存在。

通过这个简单的示例，我们可以看到二分法的基本思路和步骤。

它的时间复杂度为O(log n)，相较于线性搜索的时间复杂度O(n)，二分法在大规模数据中有着显著的优势。

四、应用案例1.查找算法：二分法广泛应用于查找算法中，例如在有序数组中查找指定元素的位置。

2.分析数据：二分法还可以用于分析数据中的特定属性，例如找到最接近某个给定值的元素。

二分法的算法描述

二分法的算法描述
二分法是一种常见的查找算法，它适用于有序数组中查找特定元素的情况。

其基本思想是将有序数组分成两部分，取中间值与目标值进行比较，从而确定目标值所在的部分，不断缩小查找范围直至找到目标值。

具体的算法描述如下：
1. 确定查找范围的左右边界，分别为low和high。

2. 计算中间值mid，即mid = (low + high) / 2。

3. 判断目标值是否等于中间值，如果相等，则查找成功，返回mid。

4. 如果目标值小于中间值，说明目标值在左半部分，将high更新为mid-1，跳转到步骤2。

5. 如果目标值大于中间值，说明目标值在右半部分，将low更新为mid+1，跳转到步骤2。

6. 如果low>high，说明查找失败，返回-1。

在实际的应用中，二分法还可以进行优化，比如使用递归实现，或者使用循环实现，或者在目标值与中间值相等时直接返回，等等。

但无论如何，其基本思想都是分而治之，逐步缩小查找范围，从而提高查找效率。

- 1 -。

二分法解决实际问题的实例

二分法解决实际问题的实例二分法，也称为二分查找，是一种在有序数组中查找特定值的快速算法。

它的基本原理是不断将数组分成两半，然后确定要查找的值可能在哪一半，最终缩小范围直到找到目标值。

二分法在很多实际问题中都有应用，例如在搜索算法中、在计算机科学中、在经济学中等等。

下面我将介绍几个使用。

1.在搜索算法中的应用：二分法在搜索算法中是一个非常高效的算法。

当我们需要在一个非常大的有序数组中查找特定值时，二分法可以大大减少搜索的时间复杂度。

例如，在一个包含10000个整数的数组中查找特定的整数，如果采用顺序查找的话，最坏情况下需要遍历10000次才能找到目标值。

但是如果采用二分法的话，最多只需要log2(10000)≈14次比较就能找到目标值。

2.在计算机科学中的应用：在计算机科学中，二分法经常用来解决一些优化问题。

例如，在寻找最优解、最小值、最大值等问题中，可以利用二分法来加速搜索过程。

比如在图形学中，求解最远距离点对问题时，可以通过二分法来减少搜索的时间复杂度。

另外，在排序算法中，像快速排序、归并排序等算法也都是基于二分法的原理。

3.在经济学中的应用：经济学上也经常使用二分法来解决一些实际问题。

例如在供需平衡问题中，可以通过二分法来确定最终的市场价格。

另外，在利润最大化、成本最小化等优化问题中，二分法也常常被用到。

比如在制造业中，确定最佳的产量和定价策略，可以通过二分法来进行模拟优化计算。

总的来说，二分法是一个非常实用的算法，可以在很多领域中得到应用。

它能够快速定位目标值，减少搜索的时间复杂度，提高程序的效率。

因此，熟练掌握二分法的原理和应用是非常有必要的。

希望以上实例可以帮助读者更好地理解二分法的应用和重要性。

二分法分类

二分法分类
摘要：
一、二分法分类的定义和概念
二、二分法分类的应用领域
三、二分法分类的优势和局限性
四、二分法分类与其他分类方法的比较
五、总结
正文：
二分法分类是一种常见的分类方法，其基本思想是将事物分为两个相互排斥的类别。

这种分类方法简单易行，易于理解和应用，被广泛应用于各个领域。

在科学研究中，二分法分类被用于对现象进行分类和归纳。

例如，在生物学中，物种可以分为动物和植物两大类；在化学中，元素可以分为金属和非金属两大类。

这些分类有助于我们更好地理解事物的本质和规律。

在社会科学中，二分法分类也被广泛应用。

例如，在心理学中，人的性格可以分为内向和外向两大类；在政治学中，政治制度可以分为民主和专制两大类。

这些分类有助于我们更好地理解和分析社会现象。

二分法分类具有很多优势，例如简单易行、易于理解和应用等。

然而，它也存在一些局限性，例如分类结果可能过于简单化、不能很好地反映事物的复杂性等。

与其他分类方法相比，二分法分类的优点在于其简单性和易用性。

但是，
其缺点在于其结果可能过于简单，不能很好地反映事物的复杂性。

因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的分类方法。

总的来说，二分法分类是一种简单易行的分类方法，被广泛应用于各个领域。

二分法

数值计算方法
二分法
二分法又称二分区间法,是求解方程(2.1)的近似根的一种常用的简单方法。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且 f(a)f(b)<0,根据连续函数的性质可知, f(x)= 0在 (a,b)内必有实根,称区间[a,b]为有根区间。为明确起见,假定方程f(x)=0在区间[a,b]内有惟一实根x*。
对值或 ak 与 bk 的差的绝对值是否小于ε来
决定二分区间的次数。
开始输入 a , b,ε
二
分
y
法
算
xb
法
实
现
(a+b)/2 x
f(a) f(x )<0 ?
|b-a|< ε
0 y
输出x 结束
n
x a
n
例２求方程f(x)=x3-x-1=0 在区间[1.0,1.5]内的一个实根, 使误差不超过0.5×10-2。P19
时，f (x) 0 ,故f(x)在[2, 3]上是单调递增函数, 从而f(x)在[2, 3]上有且仅有一根。
给定误差限＝ 0.5×10-3 ,使用二分法时
误差限为
x* xk
1 (b a) 2 k 1
只要取k满足
1 2 k 1
(b a)
1 103 2
即可，亦即
2k 103
k 3 lg 10 9.97 1g 2
二分法的基本思想是: 首先确定有根区间,将区间二等分, 通过判断f(x)的符号, 逐步将有根区间缩小, 直至有根区间足够地小, 便可求出满足精度要求的近似根。
1.1确定有根区间的方法
为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围，称为圈定根或根的隔离。
在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有一定精度要求的初值。

二分法求方程

二分法求方程一、引言在数学中，解方程是一个重要的问题。

对于一些简单的方程，可以通过代数方法来求解。

但是对于一些复杂的方程，代数方法可能无法得到精确解，需要使用数值方法来求解。

本文将介绍二分法求解方程的方法。

二、二分法原理二分法又称折半法，是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。

其基本思想是：将有序数组从中间分开成两部分，如果要查找的元素比中间元素大，则在右半部分继续查找；如果要查找的元素比中间元素小，则在左半部分继续查找；如果要查找的元素恰好等于中间元素，则直接返回。

三、二分法求解方程步骤1. 确定区间首先需要确定一个包含根的区间[a, b]。

通常情况下，可以通过观察函数图像或者利用初值定理来确定一个大致的区间。

2. 求出区间中点将区间[a, b]从中点m=(a+b)/2处划分成两个子区间[a, m]和[m, b]。

3. 判断根所在子区间计算f(m)的值，并与0进行比较。

如果f(m)=0，则m即为方程的解；如果f(m)>0，则根在子区间[a, m]中；如果f(m)<0，则根在子区间[m, b]中。

4. 缩小区间根据上一步的判断结果，将包含根的子区间作为新的搜索区间，重复步骤2和步骤3，直到找到满足精度要求的解。

四、二分法求解方程示例假设要求解方程x^3-2x-5=0在[2, 3]内的一个近似解。

1. 确定区间观察函数图像可知，方程在[2, 3]内有且仅有一个实根。

2. 求出区间中点m=(a+b)/2=2.53. 判断根所在子区间f(m)=m^3-2m-5=-1.875<0，因此根在子区间[m, b]=[2.5, 3]中。

4. 缩小区间重复步骤2和步骤3：m=(a+b)/2=2.75f(m)=m^3-2m-5=1.015625>0，因此根在子区间[a, m]=[2, 2.75]中。

m=(a+b)/2=2.375f(m)=m^3-2m-5=-0.6484375<0，因此根在子区间[m, b]=[2.375, 2.75]中。

求函数零点的方法_二分法

求函数零点的方法_二分法
一、零点及零点存在性定理
零点定义，对于函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)，使得
f(x)=0f(x)=0f(x)=0的实数xxx叫做函数f(x)f(x)f(x)的零点。

换句话说，函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)的零点就是方程
f(x)=0f(x)=0f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)的图像与xxx轴的交点。

零点存在性定理，如果函数f=f(x)f=f(x)f=f(x)在区间
[a,b][a,b][a,b]上的图像是连续的曲线，并且有f(a)⋅
f(b)<0f(a)\cdotf(b)\lt0f(a)⋅f(b)<0，我们就说函数
y=f(x)y=f(x)y=f(x)在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)c\in(a,b)c∈(a,b)使得f(c)=0f(c)=0f(c)=0。

注意：满足该定理是函数存在零点的充分不必要条件。

如果该函数是一个单调函数，那么零点有且仅有一个。

二、二分法求函数零点
利用零点存在定理，可以用来求取函数的零点的近似值。

二分法的基本思想是通过不断地将零点所在的区间一分为二，使得两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法叫做二分法。

二分法的具体计算过程041019124257

唯一性:设 x* ,x* 均是方程的根则
1
2
(
x* x*
1
2
又0
(x* )
(x* )
1
2
1 ,(1 1 ) x2*
x) ( )(x* ,x*1 2 1 20 ,x只1* 有x2x* *
x* ), x* 10 ,
x。*
x*
2
(2)迭代的收敛性:
因 x*
(x* ),xn
x* x* n
(x* )
x* xn 1
取x 0
2
,x 1
2.5,
x
2
1.176,
x3 8.103,4 x 0.07855 , x
2.5, , 是不收敛的。
三、加速收敛（Aitken方法）
设
x是 0
x*
的某个预测值,适用一次迭代得到校正值
x1
(x0 ) ,用微分
中值定理 x1 x*
(x)(x * x ) ,如果 (x) 变化不大,记其近似值为则:
故
方程在区间[2,3]上有根。又n
1 1 ln(b ln2ln
66
,取 n=9,将计算结果列表如下:
n an
bn
02
3
12 22
2 2
1 21 4
xn
2 2 2
1 21 41 8
32
2
1 8
2
1 16
42
1 16
2
1 8
2
3 32
52
3 32
2
1 8
n1
2
a)。如果精度要求
*
x
x
,则要求
1 (b 2n 1

二分法

简单二分法

数值计算二分法

二分法

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二分法的算法描述

二分法、牛顿法、割线法、简易牛顿法

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二分法的具体计算过程041019124257

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