二分法

摘要：用二分法求方程的近似解是《普通高中数学课程标准》的必修内容之一。利用平分区间及无限逼近的数学思想,是对解析性较好的一元函数避开其复杂运算、近似地计算、有效的解题,是一种行之有效的算法。从另一个角度考虑逼近,会收到良好的效果,结果比教材上的结果更加精确。

关键词：二分法；解方程；逼近；算法；优化

一、实验目的和要求

利用二分法原理编程实现方程f(x)=0在区间[a,b]上的近似解

二、实验内容和原理

将函数f(x)用二分区间的方法解方程f(x)=0是一种用无限逼近的数学思想，去解方程，它的依据是：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，且已知函数在两端点的函数f （a ）与f （b ）取异号，即两端点函数值的乘积f(a)*f(b)<0,则函数y=f(x)在区间（a,b ）内至少有一个零点，即至少存在一点c ，使得f(x)=0的解。

（1）计算f(x)在有解区间[a, b]端点处的值。

（2）计算)(x f 在区间中点处的值)(1x f 。

（3）判断若0)(1=x f ,则1x 即是根，否则检验：

①若)(1x f 与)(a f 异号，则知道解位于区间[]1,x a ，

a a x

b ==111,

②若)(1x f 与)(a f 同号，则知道解位于区间，[]b x ,1，

b b x a ==111,

反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：

()()()k k b a b a b a ,,...,,,11

（4）当ε<-++11k k a b ，则)(211k k k b a x +=

+即为根的近似值

二分法的优缺点

优点：二分法计算过程简单, 对)(x f 要求不高（只要连续即可）,程序容易实现;

缺点：可在大范围内求根，该方法收敛较慢,且不能求重根和复根, 其收敛速度仅与一个以 1/2为比值的等比级数相同,一般用于求根的初始近似值,而后在使用其它的求根方法。