【学案】【第2章 函数】§2.6 指数与指数函数

§2.6 指数与指数函数

【复习目标】

1.了解指数函数模型的实际背景，知道指数函数是一类重要的函数模型；

2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；

3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。【基础练习】

1．函数(

)

f x）A．(]

,0

-∞B．[)

0,+∞C．()

,0

-∞

2．已知函数()()()

f x x a x b

=--（其中a b

>），若(f

所示，则函数()x

g x a b

=+的图象大致为（

3．若1,0,b b b b

a b a a a a

--

>>+=-

且则的值等于（）

A B．22

-

或C．2-D．2

4．已知()2|1|

x

f x x

=+-，则[(1)]

f f=____________。

5．如图2-6-2，是指数函数：

①x

y a

=，②x

y b

=，③x

y c

=，④x

y d

=的图象，

则a、b、c、d与1的大小关系是。

【典型例题】

例1．求下列各式的值：

（1）[]

14

030.75

3

0.0641216

---

-+-+

（）（）（）

（2）已知

11

223

x x-

+=，求

33

22

2

3

x x

x x

-

-

++

++

的值。

图2-6-2

例2．已知()442

x x

f x =+，x R ∈。 （1）求证：对x R ∀∈，()(1)f x f x +-是定值；（2）求()()()1210001001

10011001f f f +++L 的值。

例3．定义在R 上的函数()f x 满足(4)()f x f x +=，当2≤x ≤6时，||1()(),(4)312x m f x n f -=+=。

(1) 求m , n 的值； (2) 比较2(log )f m 与2(log )f n 的大小。

例4．已知2()()(0,1)1x x a f x a a a a a -=->≠-。（1）判断()f x 的奇偶性；（2）讨论的单调性；

（3）当[1,1]x ∈-时，()f x b ≥恒成立，求b 的取值范围。

§2.6 指数与指数函数参考答案

【基础练习】

1. A

2. A

3. D

4. 5

5. 1b a d c <<<<

【典型例题】

1.（1）14380

；（2）25

2. 解：（1）114444()(1)424242424x x

x x x x

x f x f x --+-=+=+++++⋅42142x x +==+，为定值。 （2）由（1）知：110002999()()()()f f f f +=+3998()()1f f =+==L

1239991000()()()()()500

1001

1001

100110011001

f f f f f ++

++=L 3. 解：(1)由题意知：f(2)＝f(6) ∴(12

)|2-m|+n ＝(12

)|6-m|+n ∴|2-m|＝|6-m| ∴m ＝4 ∴f(x)＝(12

)|x-4|+n

∴f(4)＝(12

)|4-4|+n ＝1+n ＝31 ∴n ＝30 故m ＝4，n ＝30

(2)f(x)的图象关于x ＝4对称，且在(4,+∞)上递减

又|log 2m-4|＝|log 24-4|＝2 |log 2n-4|＝|log 230-4|＝216

30

log 2<, ∴f(log 2m)＜f(log 2n)

4．解：（1）函数定义域为R ，关于原点对称，又()()f x f x -=-

故()f x 为奇函数

（2）当1a >时，210,x a y a ->=为增函数，x y a -=为减函数， 从而x x y a a -=-为增函数，故()f x 为增函数；

当01a <<时，210,x a y a -<=为减函数，x y a -=为增函数， 从而x x y a a -=-为减函数，故()f x 为增函数。

综上，0,1a a >≠时，()f x 在定义域内单调递增。

（3）由⑵知()f x 在R 上为增函数，∴在区间[1,1]-上为增函数。 ∴(1)()(1)f f x f -≤≤ ∴min ()(1)1f x f =-=- ∴要使()f x b ≥在[1,1]-上恒成立，只需1b ≤- 即b 的取值范围为(,1]-∞-。