非线性系统的分析 (3)

第七章 非线性系统的分析
2、饱和特性
输出
k x( t ) y( t ) ka sgn x( t )
输入
x( t ) a x( t ) a
特征：当输入信号超出其线性范 围后，输出信号不再随输入信号 变化而保持恒定。
放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、 功率限制等等。 饱和特性对系统性能的影响： 使系统在大信号作用下开环增益下降，因而降低了 稳态精度。
３、频率响应畸变
非线性系统在输入为正弦函数时，输出为包含一定数 量的高次谐波的非正弦周期函数。
第七章 非线性系统的分析
线性系统分析可用叠加原理，在典型输入信号下系 统分析的结果也适用于其它情况。
非线性系统不能应用叠加原理，没有一种通用的方 法来处理各种非线性问题。 对非线性系统分析研究的重点是： （1）系统是否稳定； （2）有无自持振荡； （3）若存在自持振荡，确定自持振荡的频率和振幅； （4）研究消除或减弱自持振荡的方法。
第七章 非线性系统的分析
用x1、x2描述 二阶系统常微分方程方程的解，也就是 用质点的状态来表示该质点的运动。在物理学中，状态又称 为相。
把由x1—x2所组成的平面坐标系称为相平面，系统的一 个状态则对应于相平面上的一个点。
当t变化时，系统状态在相平面上移动的轨迹称为相轨 迹。
而与不同初始状态对应的一簇相轨迹所组成的图叫做 相平面图。 利用相平面图分析系统性能的方法称为相平面法。
第七章 非线性系统的分析
例 单位反馈系统
G( s ) 5 n 2.236 s( s 1) 0.2236 r ( t ) 1( t )
第七章 非线性系统的分析
奇点 奇点是相平面图上的一类特殊点。所谓奇点， 就是指相轨迹的斜率d x /dx = 0/0为不定值的点， 因此可以有无穷多条相轨迹经过该点。
(t ) 0 ma x( t ) a , x (t ) 0 a x ( t ) ma , x x (t ) a (t ) 0 x ( t ) ma , x (t ) 0 x ( t ) ma , x
第七章 非线性系统的分析
第七章 非线性系统的分析
3、间隙特性（回环） 输入输出之间具有多值关系
输出
输入
k x( t ) a y( t ) k x( t ) a c sgn x( t )
(t ) 0 y (t ) 0 y (t ) 0 y
齿轮传动中的齿隙、铁磁元件的磁滞现象等。 间隙特性对系统性能的影响： 间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动态特性变坏
第七章 非线性系统的分析
二、典型非线性特性
1、死区特性 （不灵敏区特性）
输出
输入
0 y( t ) k x( t ) a sgn x( t )
x( t ) a x( t ) a
特征：当输入信号在零值附近变化时，系统没有输出。当输 入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。 测量、放大元件的不灵敏区；调节器和执行机构的死区 等等。 对系统性能的影响：死区非线性特性导致系统产生稳态 误差，且用提高增量的方法也无法消除。
由于在奇点处，d x /dt =0，dx/dt = 0，这表 示系统处于平衡状态，故奇点亦称为平衡点。
第七章 非线性系统的分析
一、线性二阶系统奇点的类型
线性二阶系统的齐次微分方程为：
2 x 2n x n x 0
随时间t 变化的轨迹， 平面中，绘制 x , x 相平面图是在 x x 称为相轨迹。相轨迹的起点是 。 (0 ( x(0), x ))
第七章 非线性系统的分析
4、继电器特性 理想继电器
输出
输入
输出
具有饱和死区的 单值继电器
输出
输入
输出
输入
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
输入
具有滞环的继电器
具有死区和滞环的继电器 包含有死区、饱和、滞环特 性
第七章 非线性系统的分析
具有死区和滞环的继电器的数学表达式 y
M
a
ma
ma
M
a
x
0 0 y( t ) M sgn x( t ) M M
0 dx 奇点是指 的点。根据奇点附近相轨迹的特征，奇点 dx 0 有不同名称，据此可判断系统运动的性质。
第七章 非线性系统的分析
1、无阻尼运动 ( 0) 二阶系统的极点分布和相平面图如下：
jω
x
λ1 ×
0

0
x
λ2 ×
无阻尼运动时，二阶系统的相平面图是一族同心椭圆，每个 椭圆代表一个简谐运动。在相平面原点有一孤立奇点，称为 中心点。
继电器特性对系统性能的影响
带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对 其他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特 性的综合效果
第七章 非线性系统的分析
三、非线性系统的特点
１、系统的稳定性
非线性系统的稳定性不仅与系统的结构参数有关， 而且与初始状态有关。 ２、系统的自持振荡 非线性系统即使无外界作用，也可能会发生某一 固定振幅和频率的振荡，称为自持振荡。
第七章 非线性系统的分析
7-2 相平面分析法
相平面法是Poincare在1885年首先提出来 的，它是一种求解一、二阶微分方程的图解法。 这种方法的实质是将系统的运动过程形象 地转化为相平面上一个点的移动，通过研究这 个点移动的轨迹，就能获得系统运动规律的全 部信息。 由于它能比较直观、准确、全面地表征系 统的运动状态，因而获得广泛应用。
第七章 非线性系统的分析
设一个二阶系统可以用下列常微分方程来描述：
f ( x, x ) x
令
x1 x
x2 x
二阶系统常微分方程方程的解既可用x与t的 关系来表示，也可用x2与x1的关系来表示。 实际上，看作一个质点的运动方程，则x1(t) 代表质点的位置，x2(t)代表质点的速度。
第七章 非线性系统的分析
2、欠阻尼运动 (0 1)
jω
x
λ1 ×
0

x
λ2
×
系统的自由运动是衰减振荡。相轨迹是对数螺旋线，收敛于 原点。奇点称为稳定焦点。