二次函数abc符号确定
二次函数图像与abc符号关系课件
目 录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像分析 • 二次函数的abc符号变化对图像的影响 • 实际应用举例 • 总结与思考
01
二次函数的基本概念
二次函数的一般形式
总结词
二次函数的一般形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a, b, c$是常数，且$a neq 0$。
于负半轴。
对二次函数图像与abc符号关系的深入思考
a符号与开口大小的关系
虽然a决定了开口方向，但a的绝对值大小也会影响开口的大小。当|a|越大，开口越宽； 当|a|越小，开口越窄。
b符号与对称性的关系
b的符号和大小决定了抛物线的对称性。当b=0时，抛物线关于y轴对称；当b≠0时，抛物 线关于x=−b/2a对称。
详细描述
在二次函数的一般形式$f(x) = ax^2 + bx + c$中，$a, b, c$分别被称为二次项系数、一次项系数和常数项。它 们的符号决定了函数的开口方向、顶点位置等性质。例如，当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$时，函 数图像开口向下。
二次函数的开口方向与abc符号的关系
04
实际应用举例
利用二次函数解决实际问题
总结词
通过理解二次函数的图像和abc符 号关系，可以解决一些实际问题 。
详细描述
二次函数图像的开口方向、顶点 位置和对称轴等特性，可以帮助 我们解决一些实际问题，例如最 值问题、面积问题等。
二次函数在数学建模中的应用
总结词
二次函数是数学建模中常用的函数之 一，可以用来描述一些实际问题中的 数量关系。
05
总结与思考
二次函数a.b.c的判断
1．如图所示的抛物线是二次函数2y ax bx c =++（a≠0）的图象，则下列结论：①abc ＞0；②b+2a=0；③抛物线与x 轴的另一个交点为（4，0）；④a+c ＞b ；⑤3a+c＜0．其中正确的结论有A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b 2﹣4ac ＞0 ②a ＞0 ③b ＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c ＜0，则其中结论正确的个数是（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个3．已知：二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc ＞0；②2a +b ＜0；③a +b ＜m （am +b ）（m ≠1的实数）；④（a +c ）2＜b 2；⑤a ＞1.其中正确的项是（ ）A ．①⑤B ．①②⑤C ．②⑤D ．①③④4．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③④C ．①②③⑤ D．①②③④⑤ 5．如图为二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，则下列说法：①a ＞0②2a+b=0③a+b+c ＞0④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．二次函数c bx ax y ++=2的图像如图，正确的是（ ）A 、a ＞0B 、b ＜0C 、c ＜0D 、a+b+c ＜07．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其中对称轴为x=﹣1，且过（﹣3，0），下列说法：①abc ＜0，②2a ＜b ，③4a+2b+c=0，④若（﹣5，y 1），（5，y 2）是抛物线上的点，则y 1＜y 2，其中说法正确的有（）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个x8．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④b+2a=0；⑤a+b+c ＜0．其中正确的个数是【 】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点B 坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c ＜0；③ac ＞0；④b 2﹣4ac ＞0．其中正确的结论是【 】A ．①④B ．①③C ．②④D ．①②10的图象如图所示，则下列结论：①abc ＞0； ②2=++c b a ；④b ＞1.其中正确的结论是 （ ）A. ①② C.③④ D.②④11．小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2）1c >；（3）0b >；（4）0a b c ++>；（5）0a b c -+>. 你认为其中正确信息的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个12．如图所示是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过A 点(3，0)，二次函数图象对称轴为直线x=1，给出五个结论：①bc>0；②a+b+c<0；③方程ax 2+bx+c=0的根为x 1= -1，x 2=3；④当x<1时，y 随着x 的增大而增大；⑤4a-2b+c>0其中正确结论是（）A.①②③B ．①③④C ．②③④D.③④⑤ 13．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示．下列结论： ①0abc >；②20a b -<；③420a b c -+<；④22()a c b +<，其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．414．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0），下列结论：①ab<0，②b 2>4a ，③0<a ＋b ＋c<2，④0<b<1，⑤当x>－1时，y>0．其中正确结论的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个15．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图像如图，则下列结论中正确的是（ ）A ．a ＞0B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大C ．c ＜0D ．3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根160<abc ；②a b 20-<<；③( ) A ．1个 B ．4个17．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论正确的是（ ）A ．a ＜0B ．a ﹣b+c ．4ac ﹣b 2＜﹣8a 18x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（ ）A ．abc ＜0B ．2a+b ＜0C ．a ﹣b+c ＜0D ．24ac b 0﹣＜19．如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2﹣4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a ﹣b ＜0；（4）a+b+c ＜0，其中错误的有A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个20．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，3，0）．下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2．其中说法正确的是【 】A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④21．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①c ＜0，②b ＞0，③4a ＋2b ＋c ＞0，④（a ＋c ）2＜b 2，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象开口向上，与 x 轴的交点坐标是（1,0），对称轴x=-1．下列结论中，错误的是A ．abc ＜0B ．b=2aC ．a+b+c=0D ．20=+b a23．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如下图，以下结论正确的是A.0abc> B.方程ax2+bx+c=0有两个实数根分别为-2和6C.a b c-+< D.当4y=时，x的取值只能为024．已知二次函数2y ax bx c=++（0a≠）的图象如图所示，对称轴为直线12x=-，有下列结论：①abc＜0；②2b c+＜0；③4a c+＜2b．（A）0 （B）1 （C）2 （D）325．已知二次函数2(0)y ax bx c a=++≠的图象如图所示，则下列结论：①方程20ax bx c++=的两根之和大于1；②0<+ba；③y随x的增大而增大；④0<+-cba.其中正确的个数（）A．4个B．3个C．2个D．1个26．如图，二次函数2y ax bx c=++（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a－2b＋c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜－1或x＞2．其中正确的个数是A．1 B．2 C．3 D．427．如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．其中正确的命题的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个28．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c=++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c<；②0<abc；③0a b c-+>；④230a b-=；⑤420a b c++>．你认为其中正确的是（）A．①②④B．①③⑤C．②③⑤D．①③④⑤29．二次函数()20y ax bx c a=++≠）图象如图所示，现有下列结论：①b2－4a c＞0②a＞0 ③b＞0 ④c＞0 ⑤4a+2b+c＜0，则其中结论正确的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个30．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有（）xyO 1A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④31．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.432．已知抛物线20y ax bx c a=++≠（）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A．0a＜ B．b＞0 C．0a b c++= D．420a b c+﹣＞33．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c=0；④a：b：c=﹣1：2：3．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．434．二次函数cbxaxy2++=的图像如图所示，则关于此二次函数的下列四个结论①a<0 ②a>0 ③ac4-b2>0 ④ab<0中，正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个35．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2﹣4ac ＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．336．如图，二次函数2y ax bx c=++的图像与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①0ac＜；②0a b+=；③244ac b a-=；④0a b c++＜．其中正确结论的个数是（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 437．二次函数cbxaxy++=2（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线1=x，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①0abc >；②0<+-c b a ；③03<+c a ；④当23x -<<时，0>y 其中正确的是（ ）A ①②B ①④C ②③D ②③④38．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图像的一部分，其对称轴是直线x=－1，且过点(－3,0)，下列说法：①abc ＞0；②2a －b=0；③4a+2b+c ＜0；④若(－5,y 1)，(2.5,y 2)是抛物在线两点，则y 1＞y 2，其中正确的是（）A ．② B．②③ C．②④ D．①②39．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，给出下列说法：①ac ＞0；②b a +2=0；③0=++c b a ；④当1x >时，函数y 随x 的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）40．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点A （3，0），且对称轴为1x =，给出下列四个结论：①；②0bc <；③20a b +=；④0a b c ++=，其中正确结论的序号是___________.（把你认为正确的序号都写上）参考答案1．B。
二次函数a.b.c等的符号的确定
-1 o 1 x
（5）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：
① △＞0 ② △＝0
抛物线与x轴有两个交点； 抛物线与x轴有唯一的公共点；
③ △＜0 抛物线与x轴无交点。
y ox
y ox
y ox
勇攀高峰
1. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：
①abc＞0；② a+b+c＜0 ③ a-b+c＞0 ；
o1 特殊值法
x
y aabb cc 0 0
y=ax2+bx+c 当x 1时 y=a-b+c
y aabbcc0 0 y
y aabbcc00
-1 o
x
y aabbcc00
x=-1
比拼速度
二次函数y ax2 bx c的图象如图，用(< , >或 =)填空: a< 0，b < 0，c > 0，a+b+c< 0，a-b+c> 0， Nhomakorabeay
开口向下
a＜0
数形结合法
x
⑵c决定抛物线与y轴交点（0，c）的位置：
① 图象与y轴交点在y轴正半轴；
c＞0
② 图象过原点
c=0
③ 图象与y轴交点在y轴负半轴
c＜0
y
指出下列二次函数与y轴交点的坐标.
(1) y=x2-8x+7 (2) y=-2x2+9x-17
x
⑶a，b决定抛物线对称轴的位置: 对称轴是直线x =
转化 + 特殊值
根据抛物线y=ax2+bx+c图象位置，你 会判断那些字母或代数式的符号？
判定二次函数中的a,b,c的符号
二次函数：图象位置与a, b, c,(1)a决定抛物线的开口方向：•| .(2)C决定抛物线与尸轴交点的位置，心aDq抛物线交尸轴于；=抛物线交轴于；—0Q.(3)ab决定抛物线对称轴的位置，当儿"同号时Q对称轴在F轴；对称轴为；以片异号匕对称轴在〉轴，简称为•一、通过抛物线的位置判断a, b, c, △的符号.y例1 .根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b 2 -4ac的符号2.看图填空(1) a+ b+ c _____ 0 (2) a—b+ c ______ 0(3) 2a— b ______ 0 (4) 4a+ 2b+ c _______ 0二、通过a, b, c, △的符号判断抛物线的位置：例1 .若，则抛物线y=ax 2 +bx+c的大致图象为（）例2.若a>0, b>0, C>0,A> 0,那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限.例 3.已知二次函数y=ax2+bx+c 且a v 0, a-b+c >0;则一定有b2-4ac 0例4.如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的大致图象是（）BDCA1.若抛物线y=ax2+bx+c开口向上，则直线尸血山经过象限.y2 .二次函数y=ax 2 +bx+c的图象如图所示,则下列条件不正确的是（A、甬* “ > 山匕v 0B、tr - 4ac< 0C、山十&十°D、y（b ac3 .二次函数y=ax 2 +bx+c的图象如图，则点心〃丿在.（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限y4 .二次函数y=ax2 +bx+c与一次函数一在同一坐标系中的图象大致是（5 .二次函数y=ax2+bx+c ''的图象，如图，下列结论①②丄沁③扁十2b十“0④（八其中正确的有（）A 1个B、2个C、3个D、4个16 .已知函数y=ax 2 +bx+c的图象如图所示，关于系数■ ■'有下列不等式①②I、'；：③④⑤r .：■ .■-：■＜：其中正确个数为./ O第\ *r67.已知直线y=ax2+bx+c不经过第一象限，则抛物线F皿人肛一定经过（）A.第一、二、四象限B .第一、二、三象限C•第一、二象限D.第三、四象限8. _如图所示的抛物线是二次函数y = ax2-3x + a2-1的图象，那么a的值是9. _若抛物线y = x2 —bx+ 9的顶点在＜轴上，贝U b的值为____若抛物线y = x2 —bx+ 9的顶点在y轴上，贝U b的值为_____y= ax2+ bx+ c(a工0的图象如图所示，有③占n —F列结论：①abc>0;②a+ b+ c=2；':④bv1.其中正确的结论是(A.①②B .②③C .②④D .③④11. 二次函数y = ax2+ bx+ c(a工0的图象开口向上，图象经过点(-1,2 )和(1,0 )，且与y轴负半轴交于一点，给出以下结论① abcv0；②2a+ b>0；③a + c= 1;④a> 1.其中正确的结论是(A 1个B、2个C、3个D、4个12. 二次函数y = ax2 —2x —1与x轴有交点，贝U k的取值范围______ 。
中考数学常考易错点：3-3-1《二次函数的图象与性质》
二次函数的图象与性质易错清单1.二次函数的图象与系数a,b,c的符号的确定.【例1】(2014·山东烟台)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:① 4a+b=0;② 9a+c>3b;③ 8a+7b+2c>0;④当x>-1时,y的值随x值的增大而增大.其中正确的结论有().A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】根据抛物线的对称轴为直线x=2,则有4a+b=0;观察函数图象得到当x=-3时,函数值小于0,则9a-3b+c<0,即9a+c<3b;由于x=-1时,y=0,则a-b+c=0,易得c=-5a,所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a.再根据抛物线开口向下得a<0,于是有8a+7b+2c>0;由于对称轴为直线x=2,根据二次函数的性质得到当x>2时,y随x的增大而减小.【答案】∵抛物线的对称轴为直线x=2,∴b=-4a,即4a+b=0,所以①正确.∵当x=-3时,y<0,∴9a-3b+c<0,即9a+c<3b.所以②错误.∵抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),∴a-b+c=0.而b=-4a,∴a+4a+c=0,即c=-5a.∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a.∵抛物线开口向下,∴a<0.∴8a+7b+2c>0.所以③正确.∵对称轴为直线x=2,∴当-1<x<2时,y的值随x值的增大而增大,当x>2时,y随x的增大而减小.所以④错误.故选B.【误区纠错】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b 和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由Δ决定,Δ=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;Δ=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;Δ=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.2.二次函数和最值问题【例2】(2014·浙江舟山)当-2≤x≤1时,二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为().【解析】二次函数的最值得分类讨论问题,根据对称轴的位置,分三种情况讨论求解即可.【答案】二次函数的对称轴为直线x=m,①m<-2时,x=-2时二次函数有最大值,此时-(-2-m)2+m2+1=4,解得m=-,与m<-2矛盾,故m值不存在.②当-2≤m≤1时,x=m时,二次函数有最大值,此时,m2+1=4,【误区纠错】本题易错点在于不知分类讨论导致漏解.名师点拨1.掌握二次函数的定义,能利用定义判断二次函数.2.能利用顶点式、交点式、三点式确定二次函数的解析式.3.会利用描点法画二次函数的图象并能说明其性质.4.能利用二次函数解析式中系数确定函数的对称轴、顶点坐标、开口方向与坐标轴的交点坐标等.提分策略1.二次函数的图象与性质的应用.(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法:①配方法;②顶点公式法,顶点坐标为.(2)画抛物线y=ax2+bx+c的草图,要确定五个方面,即①开口方向;②对称轴;③顶点;④与y轴交点;⑤与x轴交点.【例1】(1)用配方法把二次函数y=x2-4x+3变成y=(x-h)2+k的形式;(2)在直角坐标系中画出y=x2-4x+3的图象;(3)若A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=x2-4x+3图象上的两点,且x1<x2<1,请比较y1、y2的大小关系(直接写结果);(4)把方程x2-4x+3=2的根在函数y=x2-4x+3的图象上表示出来.【解析】(1)根据配方法的步骤进行计算.(2)由(1)得出抛物线的对称轴,顶点坐标列表,注意抛物线与x轴、y轴的交点及对称点等特殊点的坐标,不要弄错.(3)开口向上,在抛物线的左边,y随x的增大而减小.(4)抛物线y=x2-4x+3与直线y=2的交点的横坐标即为方程x2-4x+3=2的两根.【答案】(1)y=x2-4x+3=(x2-4x+4)+3-4=(x-2)2-1.(2)由(1)知图象的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-1),列表如下:描点作图如图.(3)y1>y2.(4)如图,点C,D的横坐标x3,x4即为方程x2-4x+3=2的根.2.二次函数的解析式的求法.二次函数的关系式有三种:(1)一般式y=ax2+bx+c;(2)顶点式y=a(x-m)2+n,其中(m,n)为顶点坐标;(3)交点式y=a(x-x1)(x-x2),其中(x1,0),(x2,0)为抛物线与x轴的交点.一般已知三点坐标用一般式求关系式;已知顶点及另一个点坐标用顶点式;已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交点式.【例2】已知抛物线经过点A(-5,0),B(1,0),且顶点的纵坐标为,求二次函数的解析式.【解析】根据题目要求,本题可选用多种方法求关系式.3.二次函数的图象特征与系数的关系的应用.二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)系数的符号与抛物线二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)的图象有着密切的关系,我们可以根据a,b,c的符号判断抛物线的位置,也可以根据抛物线的位置确定a,b,c的符号.抛物线的位置由顶点坐标、开口方向、对称轴的位置确定,顶点所在象限由的符号确定.【例3】(2014·天津)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,有下列结论:①b2-4ac>0;②abc<0;③m>2.其中,正确结论的个数是().A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,进而判断①;先根据抛物线的开口向下可知a<0,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系,然后根据有理数乘法法则判断②;一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,则可转化为ax2+bx+c=m,即可以理解为y=ax2+bx+c和y=m没有交点,即可求出m的取值范围,判断③即可.【答案】①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,故①正确.②∵抛物线的开口向下,∴a<0.∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0.∵对称轴,∴ab<0.∵a<0,∴b>0.∴abc<0,故②正确.③∵一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点.由图可得,m>2,故③正确.故选D.4.二次函数的图象的平移规律的应用.(1)采用由“点”带“形”的方法.图形在平移时,图形上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离,抛物线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决.(2)平移的变化规律可为:①上、下平移:当抛物线y=a(x-h)2+k向上平移m(m>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h)2+k+m;当抛物线y=a(x-h)2+k向下平移m(m>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h)2+k-m.②左、右平移:当抛物线y=a(x-h)2+k向左平移n(n>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h+n)2+k;当抛物线y=a(x-h)2+k向右平移n(n>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h-n)2+k.【例4】(2014·甘肃兰州)把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为().A. y=-2(x+1)2+2B. y=-2(x+1)2-2C. y=-2(x-1)2+2D. y=-2(x-1)2-2【解析】根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律:“左加右减,上加下减.”【答案】把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为y=-2(x-1)2+2,故选C.专项训练一、选择题1. (2014·江苏句容一模)若抛物线y=mx2+(m-3)x-m+2经过原点,则m的值为().A. 0B. 1C. 2D. 32.(2014·辽宁营口模拟)在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是().3. (2014·安徽安庆正月21校联考)抛物线y=ax2+bx-3经过点(2,4),则代数式8a+4b+1的值为().A. 3B. 9C. 15D. -154.(2013·山东德州一模)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论:①abc>0;②a+b+c=2;③④b>1.其中正确的结论是().A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④(第4题)(第5题)5.(2013·山西中考模拟六)若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a,b为常数)的图象如图,则a的值为().6. (2013·浙江湖州中考模拟试卷)函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是().二、填空题7.(2014·安徽安庆正月21校联考)如图,大桥有一段抛物线型的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒.(第7题)8. (2014·甘肃天水模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分.其对称轴为x=-1,且过点(-3,0).下列说法:(1)abc<0;(2)2a-b=0;(3)4a+2b+c=0;(4)若(-5,y1), 是抛物线上两点,则y1>y2.其中说法正确的是.(填序号)(第8题)9.(2014·辽宁大连二模)如图是函数y=x2+bx-1的图象,根据图象提供的信息,确定使-1≤y≤2的自变量x的取值范围是.(第9题)10. (2014·山东德城模拟)如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为B(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是.(第10题)11.(2013·江苏东台实中)已知抛物线与x轴两交点分别是(-1,0),(3,0),另有一点(0,-3)也在图象上,则该抛物线的关系式是.12.(2013·北京龙文教育一模)点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=x2-2x-1的图象上,若x2>x1>1,则y1与y2的大小关系是y1y2.(用“>”“<”或“=”填空)13. (2013·河北一模)如图,抛物线y=ax2+bx与直线y=kx相交于点O(0,0)和A(3,2)两点,则不等式ax2+bx<kx的解集为.(第13题)三、解答题14. (2014·北京平谷区模拟)已知关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0.(1)求证:无论m取任何实数时,方程总有实数根;(2)关于x的二次函数y1=x2-mx+m-1的图象C1经过(k-1,k2-6k+8)和(-k+5,k2-6k+8)两点.①求这个二次函数的解析式;②把①中的抛物线E沿x轴翻折后,再向左平移2个单位,向上平移8个单位得到抛物线.设抛物线C2交x轴于M,N两点(点M在点N的左侧),点P(a,b)为抛物线C2在x轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN≤45°时,直接写出a的取值范围.(第14题)15. (2014·安徽安庆二模)如图,在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=4,P为AC中点,E为边AB 上一动点,F为边BC上一点,且满足条件∠EPF=45°,记四边形PEBF的面积为S1.(1)求证:∠APE=∠CFP;(2)记△CPF的面积为S2,CF=x.①求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围,并求出y的最大值;②在图中作四边形PEBF关于AC的对称图形,若它们关于点P中心对称,求y的值.(第15题)16.(2013·山东德州一模)如图,Rt△ABO的两直角边OA,OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A,B两点的坐标分别为(-3,0),(0,4),抛物线y=+bx+c经过点B,且顶点在直线上.(1)求抛物线对应的函数关系式;(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;(3)若点M是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M 的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标.(第16题)参考答案与解析1. C[解析]将(0,0)代入函数关系式即可.2. D[解析]假设函数在D选项中正确,则m<0,∴-m>0,抛物线的开口向上,顶点的横坐标.所以D正确,别的选项这种假设均不成立.3. C[解析]将点(2,4)代入抛物线方程,得4a+2b-3=4,∴4a+2b=7.∴8a+4b+1=2×7+1=15.4. D[解析]①∵抛物线的开口向上,∴a>0.∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上,∴c<0.∵对称轴为,∴a,b同号,即b>0.∴abc<0.故本结论错误.②当x=1时,函数值为2,∴a+b+c=2.故本结论正确.③∵对称轴,解得.又b>1,∴.故本结论错误.④当x=-1时,函数值<0,即a-b+c<0(1),又a+b+c=2,将a+c=2-b代入(1)式,得2-2b<0,∴b>1.故本结论正确.综上所述,其中正确的结论是②④.5. D[解析]由题意,知a2-2=0,且a>0.6. C[解析]当a>0时,二次函数的图象开口向上,一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限,故A,D不正确;由B,C中二次函数的图象可知,对称轴,且a>0,则b<0,但B中,一次函数a>0,b>0,排除B.7. 36[解析]10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则到达顶点时是18秒,所以通过拱梁部分的桥面OC共需18×2=36秒.8. (1)(2)(4)[解析]其对称轴为x=-1,且过点(-3,0),则另一个交点是(1,0).当x=2时,函数值大于零,即4a+2b+c>0,∴(3)错误,其余的均正确.9.2≤x≤3或-1≤x≤0[解析]把(3,2)代入y=x2+bx-1,得b=-2,当y=-1时,x=-1或x=2,观察可知:使-1 ≤y≤2的自变量x的取值范围是2≤x≤3或-1≤x≤0.10.x<-1或x>3[解析]观察可知抛物线与x轴另一交点为(-1,0),所以不等式ax2+bx+c>0的解集是x<-1或x>3.11.y=x2-2x-3[解析]用待定系数法求二次函数解析式.12.< [解析]先根据函数解析式确定出对称轴为直线x=1,再根据二次函数图象上的点,x>1时,y随x的增大而增大.13. 0<x<3[解析]利用了图象上的点的坐标特征来解一次函数与二次函数的解析式.14. (1)在x2-mx+m-1=0中,Δ=m2-4(m-1)=m2-4m+4=(m-2)2.∵当m取任何值时,(m-2)2≥0,∴无论m取任何实数时,方程总有实数根.(2)①∵抛物线y1=x2-mx+m-1过点(k-1,k2-6k+8)和点(-k+5,k2-6k+8),15. (1)∵∠EPF=45°,∴∠APE+∠FPC=180°-45°=135°.在等腰直角△ABC中,∠PCF=45°,则∠CFP+∠FPC=180°-45°=135°,∴∠APE=∠CFP.(2)①∵∠APE=∠CFP,且∠FCP=∠PAE=45°,在等腰直角△ABC中,AC=AB=4,又P为AC的中点,则AP=CP=2,如图(1),过点P作PH⊥AB于点H,PG⊥BC于点G,(第15题(1))∵E在AB上运动,F在BC上运动,且∠EPF=45°,∴2≤x≤4.②如图(2)所示:(第15题(2))图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称,则阴影部分图形自身关于直线BD对称, 此时EB=BF,即AE=FC,(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5.∴C,D两点的坐标分别是(5,4),(2,0).∴点C和点D在所求抛物线上.。
二次函数符号abc的判定练习
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定方法一、知识点二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号．（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号．二、基础练习1、已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、a+b+c＞02、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤3、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 1/2，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、44、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac＞0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3C、2a-b=0D、当x＞0时，y随x的增大而减小5、已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、46、如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，下面四条信息：（1）b2-4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0．错误的有（）A、2个B、3个C、4个D、1个7、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A、b2-4ac＜0B、abc＜0C、 -b/2a＜-1D、a-b+c＜08、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2-4ac＞0 ②abc＞0 ③8a+c＞0 ④9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（）A、2个 B、3个 C、4个 D、5个9、已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（）A、第一、二、三象限B、第二、三、四象限C 、第一、二、四象限D 、第一、三、四象限10、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图示，则下列结论正确的是（ ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＜0C 、a ＜0，b ＞0，c ＜0，b 2-4ac ＞0D 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＞011、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（ ）A 、ac ＜0B 、a-b+c ＞0C 、b=-4aD 、关于x 的方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=512、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a ，b ，c 满足（ ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0，b 2-4ac ＞0C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＜0D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞013、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论， 其中正确的结论是（ ）A 、abc ＞0B 、b ＞a+cC 、2a-b=0D 、b 2-4ac ＜014、（已知二次函数y=y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ac ＞0；②a-b+c ＜0；③当x ＜0时，y ＜0；④方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有（ ）A 、②③ B 、②④ C 、①③ D 、①④15、如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，在下列选项中错误的是（ ）A 、ac ＜0B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大C 、a+b+c ＞0D 、方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=316、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）A 、ab ＜0B 、ac ＜0C 、当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 增大而减小D 、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax 2+bx+c=0的根17、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A 、a ＞0B 、c ＜0C 、b 2-4ac ＜0D 、a+b+c ＞018、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图示，下列结论①a ，b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=4时，x 的取值只能为0，结论正确的个数有（ ）个． A 、1 B 、2 C 、3 D 、419、二次函数y=-x 2+bx+c 的图象如图所示，下列几个结论：①对称轴为x=2；②当y ≤0时，x ＜0或x ＞4；③函数解析式为y=-x （x-4）；④当x ≤0时， y 随x 的增大而增大．其中正确的结论有（ ）A 、①②③④B 、①②③C 、①③④D 、①③三、能力练习1.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②b ＜a+c ；③2a+b=0；④a+b ＞m （am+b ）（m ≠1的实数）．其中正确的结论有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2.如图，抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=1，下列结论：①b ＜0；②（a+c ）2＞b 2；③2a+b-c ＞0；④3b ＜2c ．其中正确的结论有( )（填上正确结论的序号）．3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则①20a b +>. .C A y x O 图2 O xy-1 1 y 0 11 x-1 图1 ②20a b +<③02b a-< ④20a b -<⑤20a b ->中正确的有( )4、如图，是二次函数 y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b ＞2a ③ax 2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c ＞0． 其中正确的命题是（ ）5、如图7是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断 ① c ＞0；② a +b +c ＜0； ③ 2a －b ＜0；④ b 2+8a ＞4a c 中正确的是（填写序号） ．6、抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图，OA=OC ，则（ ）（A ） ac+1=b; （B ） ab+1=c; （C ）bc+1=a; （D ）以上都不是7、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，那么下列判断不正确的是（ ）(A)abc ＞0； （B ）ac b 42-＞0；(C)2a+b ＞0； （D ）c b a +-24＜08、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则 abc ，ac b 42-，b a +2，c b a ++这四个式子中，值为正数的有（ ）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个9、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1所示，则下列结论中，正确的个数是（ ） ①0<++c b a ；②0>+-c b a ；③0>abc ；④a b 2=A.4B.3C.2D.1图7。
5_3二次函数的图像和性质(a、b、c的符号确定)
学科课题 二次函数的图像和性质 第___课时 教案序号： 主备人 年级 九 备课时间 上课时间 审核人一、教学目标: 1、能利用二次函数的图像和性质确定a 、b 、c 及相关代数式的符号；2、能使用数形结合的数学思想确定函数值或自变量的取值范围；3、进一步体验数形结合的数学方法。
二、教学重点、难点：确定a 、b 、c 的符号.三、教学过程：（一）、情境：已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如下图，有以下5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中准确的结论有 个（二）、探究，小结归纳：1、确定a 、b 、c 的符号(1)二次函数：)0(2≠++=a c bx ax y ， a 的符号由________决定；(2) 2-b a的符号由________决定，结合a 的符号，可确定______的符号； (3)c 的符号由_________________决定，当抛物线与y 轴交点在y 轴的正半轴时，c_____，当抛物线与y 轴交点在y 轴的负半轴时，c______。
(4)确定了a 、b 、c 的符号，易确定abc 的符号。
2、确定类似代数式a+b+c 的符号当x=1时， y=a+b+c 。
所以代数式a+b+c 的符号由__________________________决定；与之类似的还经常出现判断a-b+c 、4a ±2b+c 、9a ±3b+c 等等的符号。
3、、由对称轴x=2b a-的确定值判断a 与b 的关系。
涉及到2a 和b 的代数式时常考虑对称轴x=2b a -的位置情况。
如：2b a-=1能判断出：a = 12-b ，即21+=a b 。
4、与抛物线的对称轴相关的一些值的符号。
抛物线的对称轴为x=2b a-，根据对称性知：取到对称轴距离相等的两个不同的x 值时，y 值相等，即当x=2b a -+m 或x=2b a -－m 时，y 值相等。
二次函数abc判定
合用标准文案3. 〔 2021? 山东威海，第 11 题 3 分〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如图，那么以下说法：2①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当 x=1时， y=2a；④ am+bm+a＞0〔 m≠﹣1〕．其中正确的个数是〔〕A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．解析：由抛物线与y 轴的交点判断 c 与0的关系，尔后依照对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：抛物线与y 轴交于原点， c=0，故①正确；该抛物线的对称轴是：，直线 x=﹣1，故②正确；当 x=1时， y=2a+b+c，∵对称轴是直线 x=﹣1，∴， b=2a，又∵ c=0，∴y=4a，故③错误；2x=m对应的函数值为y=am+bm+c，∵b=2a，2∴am+bm+a＞0〔 m≠﹣1〕．故④正确．应选： C．谈论：此题观察了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕系数符号由抛物线张口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．5. 〔 2021? 山东烟台，第 11 题 3 分〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠ 0〕的局部图象如图，图象过点〔﹣ 1， 0〕，对称轴为直线x=2，以下结论：①4a+b=0；② 9a+c＞3b；③ 8a+7b+2c＞ 0；④当x＞﹣ 1 时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有〔〕A．1 个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数的图象与性质．解答：依照抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，那么有 4a+b=0；观察函数图象获适合x=﹣3时，函数值小于0，那么 9a﹣ 3b+c＜ 0，即 9a+c＜ 3b；由于x=﹣ 1 时，y=0，那么a﹣b+c=0，易得c=﹣5a ，所以 8 +7 +2 =8 ﹣28 ﹣10a=﹣30，再依照抛物线张口向下得＜ 0，于是有 8 +7 +2a b c a a a a a b c＞0；由于对称轴为直线x=2，依照二次函数的性质获适合x＞2时， y 随 x 的增大而减小．解答：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴ b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确；∵当 x=﹣3时， y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；∵抛物线与x 轴的一个交点为〔﹣1， 0〕，∴a﹣b+c=0，而 b=﹣4a，∴ a+4a+c=0，即 c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵抛物线张口向下，∴ a＜0，∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；∵对称轴为直线x=2，∴当﹣ 1＜x＜ 2 时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时， y 随 x 的增大而减小，所以④错误．应选B．谈论：此题观察了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c〔 a≠0〕，二次项系数a 决定抛物线的张口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上张口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的地址，当 a 与 b 同号时〔即ab＞0〕，对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时〔即 ab＜0〕，对称轴在 y 轴右；常数项c 决定抛物线与 y 轴交点．抛物线与 y 轴交于〔0，c〕；抛物线与 x 轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0 时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与 x 轴有1个交点；△=b2﹣4ac ＜0 时，抛物线与x 轴没有交点．27. 〔2021? 山东聊城，第 12 题，3 分〕如图是二次函数y=ax +bx+c〔 a≠ 0〕图象的一局部，x=﹣ 1 是对称轴，有以下判断：①b﹣ 2a=0；② 4a﹣ 2b+c＜ 0；③ a﹣ b+c=﹣ 9a；④假设〔﹣ 3， y1〕，〔， y2〕是抛物线上两点，那么 y1＞y2，其中正确的选项是〔〕A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．解析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要依照图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线的对称轴是直线x=﹣ 1，∴﹣=﹣ 1，b=2a，∴b﹣ 2a=0，∴①正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，和 x 轴的一个交点是〔2， 0〕，∴抛物线和x 轴的另一个交点是〔﹣4， 0〕，∴把 x=﹣ 2 代入得： y=4a﹣ 2b+c＞ 0，∴②错误；∵图象过点〔 2， 0〕，代入抛物线的解析式得：4a+2b+c=0，又∵ b=2a，∴c= ﹣ 4a﹣2b=﹣ 8a，∴a﹣ b+c=a﹣ 2a﹣ 8a=﹣ 9a，∴③正确；∵抛物线和x 轴的交点坐标是〔2， 0〕和〔﹣ 4， 0〕，抛物线的对称轴是直线x=﹣ 1，∴点〔﹣ 3， y1〕关于对称轴的对称点的坐标是〔〔1，y1〕，∵〔， y2〕， 1＜，∴y1＞ y2，∴④正确；即正确的有①③④，应选 B．谈论：此题主要观察了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特别点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程2的ax +bx+c=09. (2021年贵州黔东南9．〔 4 分〕 ) 如图，二次函数y=ax2+bx+c〔 a≠ 0〕的图象如图所示，以下 4 个结论：①a bc ＜ 0；② b＜ a+c；③ 4a+2b+c＞ 0；④ b2﹣ 4ac ＞ 0其中正确结论的有〔〕A．①②③ B．①②④C．①③④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．解析：由抛物线的张口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点得出 c 的值，尔后依照抛物线与 x 轴交点的个数及x=﹣ 1 时，x=2 时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：由二次函数的图象张口向上可得a＞0，依照二次函数的图象与y 轴交于正半轴知： c＞ 0，由对称轴直线 x=2，可得出 b 与 a 异号，即 b＜0，那么 abc＜ 0，故①正确；把 x=﹣ 1代入 y=ax 2+bx+c 得： y=a﹣ b+c，由函数图象可以看出当x=﹣ 1 时，二次函数的值为正，即 a+b+c＞ 0，那么 b＜ a+c，故②选项正确；把 x=2 代入 y=ax 2+bx+c 得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2 时，二次函数的值为负，即 4a+2b+c＜ 0，故③选项错误；由抛物线与 x 轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0 的根的鉴识式 b2﹣ 4ac ＞0，故④ D选项正确；应选 B．谈论：此题观察二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的变换，根的鉴识式的熟练运用．会利用特别值代入法求得特其他式子，如：y=a+b+c， y=4a+2b+c，尔后依照图象判断其值．16．〔 2021? 四川南充，第10 题， 3 分〕二次函数y=ax2+bx+c〔 a≠0〕图象如图，以下结论：①abc ＞0；② 2 +=0；③当≠1 时，+ ＞2+ ；④﹣ + ＞0；⑤假设ax12+bx1=ax22+2，a b m a b am bm a b c bx且 x1≠ x2， x1+x2=2．其中正确的有〔〕A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤解析：依照抛物线张口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣=1，获取b=﹣ 2a＞ 0，即 2a+b=0，由抛物线与y 轴的交点地址获取c＞0，所以 abc＜0；依照二次函数的性质适合x=1时，函数有最大值22a+b+c，那么当 m≠1时， a+b+c＞ am+bm+c，即 a+b＞ am+bm；依照抛物线的对称性获取抛物线与x 轴的另一个交点在〔﹣1，0〕的右侧，那么当 x=﹣1时， y＜0，所以 a﹣ b+c＜0；把 ax122+bx1=ax2 +bx2先移项，再分解因式获取〔x1﹣x2〕 [ a〔x1+x2〕 +b]=0 ，而 x≠ x ，那么 a〔 x +x 〕+b]=0，即x+x =﹣，尔后把b=﹣ 2a代入计算获取x+x =2．12121212解：∵抛物线张口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为性质x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c＞0，∴ abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为性质x=1，∴函数的最大值为a+b+c，22∴当 m≠1时， a+b+c＞ am+bm+c，即 a+b＞ am+bm，所以③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点在〔3， 0〕的左侧，而对称轴为性质x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在〔﹣1， 0〕的右侧∴当 x=﹣1时， y＜0，∴ a﹣b+c＜0，所以④错误；2222﹣ bx2=0，∵ax1+bx1=ax2+bx2，∴ax1+bx1﹣ax2∴a〔 x1+x2〕〔 x1﹣ x2〕+b〔 x1﹣ x2〕=0，优秀文档谈论：此题观察了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕，二次项系数a 决定抛物线的张口方向和大小，当＞ 0 时，抛物线向上张口；当a＜ 0 时，抛物线向下开a口；一次项系数b 和二次项系数a共同决定对称轴的地址，当a与b同号时〔即＞ 0〕，ab对称轴在y 轴左；当a与b异号时〔即＜ 0〕，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与aby 轴交点．抛物线与 y 轴交于〔0， c〕；抛物线与 x 轴交点个数由△决定，△=b2﹣ 4ac＞ 0时，抛物线与 x 轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0 时，抛物线与x 轴没有交点．11．〔 2021?莱芜，第212 题 3 分〕二次函数 y=ax +bx+c 的图象以以下图．以下结论：①a bc ＞ 0；② 2a﹣ b＜ 0；③ 4a﹣2b+c ＜ 0；④〔 a+c〕2＜b2其中正确的个数有〔〕A． 1 B． 2 C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．解析：由抛物线张口方向得 a＜ 0，由抛物线对称轴在y 轴的左侧得 a、 b 同号，即 b＜ 0，由抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方得 c＞ 0，所以 abc＞ 0；依照抛物线对称轴的地址获取﹣1＜﹣＜ 0，那么依照不等式性质即可获取2a﹣ b＜ 0；由于 x=﹣ 2 时，对应的函数值小于0，那么 4a﹣ 2b+c＜ 0；同样当 x=﹣1 时， a﹣b+c＞ 0，x=1 时， a+b+c＜ 0，那么〔 a﹣b+c〕〔 a+b+c〕＜0，利用平方差公式张开获取〔2222．a+c〕﹣ b ＜ 0，即〔 a+c〕＜ b解答：解：∵抛物线张口向下，∴a＜ 0，∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，∴x= ﹣＜ 0，∴b＜ 0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c＞ 0，∴a bc ＞ 0，所以①正确；∵﹣ 1＜﹣＜0，∴2a﹣b＜0，所以②正确；∵当 x=﹣ 2 时， y＜ 0，∴4a﹣2b+c＜0，所以③正确；∵当 x=﹣ 1 时， y＞ 0，∴a﹣ b+c＞0，∵当 x=1 时， y＜ 0，∴a+b+c＜ 0，∴〔 a﹣ b+c〕〔 a+b+c〕＜ 0，即〔 a+c﹣b〕〔 a+c+b〕＜ 0，22应选 D．谈论：此题观察了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 y=ax 2+bx+c〔 a≠ 0〕的图象为抛物线，当 a＞ 0，抛物线张口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与 y 轴的交点坐标为〔 0，c〕；当 b2﹣ 4ac＞ 0，抛物线与 x 轴有两个交点；当b2﹣ 4ac=0，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b2﹣4ac＜ 0，抛物线与 x 轴没有交点．3． (2021 年四川资阳，第 10 题 3 分 ) 二次函数=ax 2++ 〔≠ 0〕的图象如图，给出以下y bx c a四个结论：①4ac﹣b2＜ 0；② 4a+c＜ 2b；③ 3b+2c＜ 0；④m〔am+b〕 +b＜a〔m≠﹣ 1〕，其中正确结论的个数是〔〕A．4个B．3个C．2个D．1个考点：二次函数图象与系数的关系．解析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要依照图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜ 0，∴①正确；∵对称轴是直线x﹣1，和 x 轴的一个交点在点〔0， 0〕和点〔 1，0〕之间，∴抛物线和x 轴的另一个交点在〔﹣3， 0〕和〔﹣ 2， 0〕之间，∴把〔﹣ 2， 0〕代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞ 2b，∴②错误；∵把〔 1， 0〕代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜ 0，∵b=2a，∴3b， 2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线 x=﹣1，∴y=a﹣ b+c 的值最大，2即把〔 m，0〕〔 m≠0〕代入得： y=am+bm+c＜ a﹣ b+c，2∴am+bm+b＜a，即 m〔 am+b〕+b＜ a，∴④正确；即正确的有 3 个，应选 B．谈论：此题主要观察了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特别点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程2的ax +bx+c=0解的方法．同时注意特别点的运用．4． (2021 年天津市，第 12 题 3 分 ) 二次函数y=ax2+bx+c〔a≠ 0〕的图象如图，且关于x 的一元二次方程 ax2+bx+c﹣ m=0没有实数根，有以下结论：①b2﹣4ac＞0；② abc＜0；③ m＞2．其中，正确结论的个数是〔〕A．0B．1C．2D．3考点：二次函数图象与系数的关系．解析：由图象可知二次函数y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点，进而判断①；先依照抛物线的张口向下可知a＜0，由抛物线与y 轴的交点判断 c 与0的关系，依照对称轴在 y 轴右侧得出 b 与0的关系，尔后依据有理数乘法法那么判断②；222一元二次方程ax +bx+c﹣m=0没有实数根，那么可转变成ax +bx+c=m，即可以理解为y=ax +bx+c 和 y=m没有交点，即可求出m的取值范围，判断③即可．解答：解：①∵二次函数=2++ 与x 轴有两个交点，y ax bx c ∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的张口向下，∴a＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴 x=﹣＞0，∴a b＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴a bc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣ m=0没有实数根，∴y=ax2+bx+c 和y=m没有交点，由图可得， m＞2，故③正确．应选 D．谈论：此题主要观察图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的变换，根的鉴识式的熟练运用．8.〔 2021? 孝感，第 12 题 3 分〕抛物线y=ax2+bx+c的极点为D〔﹣ 1，2〕，与x轴的一个交点 A 在点〔﹣3，0〕和〔﹣2，0〕之间，其局部图象如图，那么以下结论：①b2﹣4ac＜0；② a+b+c＜0；③ c﹣ a=2；④方程 ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x 轴的交点专题：数形结合．解析：由抛物线与x 轴有两个交点获取b2﹣4ac＞0；有抛物线极点坐标获取抛物线的对称轴为直线 x=﹣1，那么依照抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点〔0， 0〕和〔 1，0〕之间，所以当x=1时， y＜0，那么 a+b+c＜0；由抛物线的极点为D〔﹣1，2〕得 a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x =﹣=1得 =2，所以﹣ =2；依照二次函数的最大值问题，b ac a当 x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=1 时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0 有两个相等的实数根．解答：解：∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵极点为 D〔﹣1，2〕，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∵抛物线与x 轴的一个交点 A 在点〔﹣3，0〕和〔﹣2，0〕之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点〔0， 0〕和〔 1， 0〕之间，∴当 x=1时， y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的极点为 D〔﹣1，2〕，∴a﹣ b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线 x=﹣=1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即 c﹣ a=2，所以③正确；∵当 x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有 x=1时， ax2+bx+c=2，∴方程 ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．应选 C．谈论：此题观察了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 y=ax2+bx+c〔 a≠0〕的图象为抛物线，当 a＞0，抛物线张口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与 y 轴的交点坐标为〔0，c〕；当 b2﹣4ac＞0，抛物线与 x 轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b2﹣4ac＜0，抛物线与 x 轴没有交点．12.〔 2021? 菏泽第 8 题 3 分〕如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的极点D、F分别在 AC、 BC边上， C、D两点不重合，设 CD的长度为 x，△ ABC与正方形 CDEF重叠局部的面积为 y，那么以以下图象中能表示y 与 x 之间的函数关系的是〔〕优秀文档A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：数形结合．解析：分类谈论：当0＜x≤ 1 时，依照正方形的面积公式获取y=x2；当1＜ x≤2时， ED交 AB于 M， EF交 AB于 N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积获取 y=x2﹣2〔 x﹣1〕2，配方获取 y=﹣〔 x﹣2〕2+2，尔后依照二次函数的性质对各选项进行判断．解答：解：当0＜x≤ 1时， y=x2，当 1＜x ≤2 时，交于，交于，如图，ED AB M EF AB NCD=x，那么 AD=2﹣ x，∵R t △ ABC中， AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2﹣ x，∴EM=x﹣〔2﹣ x〕=2x﹣2，∴S△ ENM=〔2x﹣2〕2=2〔 x﹣1〕2，∴y=x2﹣2〔 x﹣1〕2=﹣ x2+4x﹣2=﹣〔 x﹣2〕2+2，∴y=，应选 A．15. 〔 2021 年山东泰安，第20 题 3 分〕二次函数y=ax2+bx+c〔 a， b，c 为常数，且a≠0〕中的 x 与 y 的局部对应值以下表：X﹣1013y﹣1353以下结论：（1〕ac＜ 0；（2〕当x＞ 1 时，y的值随x值的增大而减小．（3〕 3 是方程ax2+〔b﹣ 1〕x+c=0 的一个根；（4〕当﹣ 1＜x＜ 3 时，ax2+〔b﹣1〕x+c＞ 0．其中正确的个数为〔〕A．4个B．3个C．2个D．1个解析：依照表格数据求出二次函数的对称轴为直线x ，尔后依照二次函数的性质对各小题解析判断即可得解．解：由图表中数据可得出： x=1时，y=5值最大，所以二次函数2y=ax +bx+c 张口向下， a＜0；又 x=0时， y=3，所以 c=3＞0，所以 ac＜0，故〔1〕正确；∵二次函数y=ax2+bx+c 张口向下，且对称轴为x==1.5 ，∴当x＞1.5 时，y的值随x值的增大而减小，故〔2〕错误；2∵x=3时， y=3，∴9a+3b+c=3，∵ c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程 ax +〔b﹣1〕x+c=0的一个根，故〔3〕正确；∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+〔 b﹣1〕x+c=0，∵x=3时，ax2+〔 b﹣1〕x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣ 1＜x＜ 3 时，ax2=〔b﹣ 1〕x+c＞ 0，故〔 4〕正确．应选 B ．谈论： 此题观察了二次函数的性质， 二次函数图象与系数的关系，抛物线与 x 轴的交点，二次函数与不等式，有必然难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的要点．5. 〔 2021? 贵港，第 12 题 3 分〕二次函数 y =ax 2+bx +c 〔 a ≠ 0〕的图象如图，解析以下四个结论：① a bc ＜ 0；② b 2﹣ 4ac ＞0；③ 3a +c ＞ 0；④〔 a +c 〕 2＜ b 2，其中正确的结论有〔〕A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个考点 ： 二次函数图象与系数的关系．解析：①由抛物线的张口方向， 抛物线与 y 轴交点的地址、对称轴即可确定 a 、b 、c 的符号，即得 abc 的符号；②由抛物线与 x 轴有两个交点判断即可；③ 〔﹣ 2〕+2 〔 1〕=6 +3 ＜0，即 2 + ＜ 0；又由于a ＜0，所以 3 + ＜ 0．故错误；ff a ca ca c④将 x =1 代入抛物线解析式获取+ + ＜0，再将x =﹣ 1 代入抛物线解析式获取﹣ +＞0，a b ca b c 两个不等式相乘，依照两数相乘异号得负的取符号法那么及平方差公式变形后，获取〔 a +c 〕2＜b 2，解答：解：①由张口向下，可得 a ＜0，又由抛物线与 y 轴交于正半轴，可得 c ＞ 0，尔后由对称轴在 y 轴左侧，获取 b 与 a 同号，那么可得 b ＜ 0， abc ＞0，故①错误；②由抛物线与 x 轴有两个交点，可得b 2﹣4ac ＞ 0，故②正确；③当 x =﹣ 2 时， y ＜ 0，即 4a ﹣2b +c ＜ 0 〔 1〕当 x =1 时， y ＜ 0，即 a +b +c ＜0 〔 2〕（ 1〕 +〔 2〕× 2 得： 6a +3c ＜0，即 2a +c ＜ 0又∵ a ＜ 0，∴ a +〔 2a +c 〕 =3a +c ＜ 0．故③错误；④∵ x=1时， y=a+b+c＜0， x=﹣1时， y=a﹣ b+c＞0，∴〔 a+b+c〕〔 a﹣ b+c〕＜0，即[ 〔a+c〕+b][ 〔a+c〕﹣b]= 〔a+c〕2﹣b2＜ 0，∴〔 a+c〕2＜b2，故④正确．综上所述，正确的结论有 2 个．应选： B．谈论：此题观察了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c〔 a≠0〕系数符号由抛物线张口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．11. 〔 2021? 广东深圳，第11 题23 分〕二次函数y=ax +bx+c图象如图，以下正确的个数为〔〕①b c＞0；②2a﹣ 3c＜0；③2a+b＞ 0；④a x2+bx+c=0有两个解 x1， x2， x1＞0， x2＜0；⑤a+b+c＞0；⑥当 x＞1时， y 随 x 增大而减小．A．2B．3C．4D．5考点：二次函数图象与系数的关系．解析：依照抛物线张口向上可得a＞0，结合对称轴在y 轴右侧得出b＜0，依照抛物线与y 轴的交点在负半轴可得c＜0，再依据有理数乘法法那么判断①；再由不等式的性质判断②；依照对称轴为直线x=1判断③；依照图象与x 轴的两个交点分别在原点的左右两侧判断④；解答：解：①∵抛物线张口向上，∴a＞0，∵对称轴在y 轴右侧，∴a， b 异号即 b＜0，∵抛物线与y 轴的交点在负半轴，∴c＜0，∴b c＞0，故①正确；②∵ a＞0，c＜0，∴2a﹣ 3c＞0，故②错误；③∵对称轴 x=﹣＜1，a＞0，∴﹣ b＜2a，∴2a+b＞ 0，故③正确；④由图形可知二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点分别在原点的左右两侧，即方程 ax2+bx+c=0有两个解 x1，x2，当 x1＞ x2时， x1＞0， x2＜0，故④正确；⑤由图形可知x=1时， y=a+b+c＜0，故⑤错误；⑥∵ a＞0，对称轴 x=1，∴当 x＞1时， y 随 x 增大而增大，故⑥错误．综上所述，正确的结论是①③④，共 3 个．应选 B．谈论：主要观察图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的性质，会利用对称轴的范围求 2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的变换．14．〔 2021? 齐齐哈尔， 9 题 3 分〕如图，二次函y=ax2+bx+c〔 a≠0〕图象的一局部，对称轴为直线 x=，且经过点〔2，0〕，以下说法：① abc＜0；② a+b=0；③4a+2b+c＜0；④假设〔﹣2，y1〕，〔，y2〕是抛物线上的两点，那么y1＜ y2，其中说法正确的选项是〔〕A．①②④B．③④C．①③④D．①②考点：二次函数图象与系数的关系．解析：①依照抛物线张口方向、对称轴地址、抛物线与y 轴交点地址求得、、的符号；a b c②依照对称轴求出b=﹣ a；③把 x=2代入函数关系式，结合图象判断符号；④求出点〔﹣ 2，y1〕关于直线x=的对称点的坐标，依照对称轴即可判断y1和 y2的大小．解答：解：①∵二次函数的图象张口向下，∴a＜0，∵二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点，∴c＞0，∵对称轴是直线 x=，∴﹣ =，∴b=﹣ a＞0，∴a bc＜0．故①正确；②∵ b=﹣ a∴a+b=0．故②正确；③把 x=2代入 y=ax2+bx+c 得： y=4a+2b+c，∵抛物线经过点〔2， 0〕，∴当 x=2时， y=0，即4a+2b+c=0．故③错误；④∵〔﹣ 2，y1〕关于直线x=的对称点的坐标是〔3，y1〕，又∵当 x＞时， y 随 x 的增大而减小，＜3，∴y1＜ y2．故④错误；综上所述，正确的结论是①②④．应选： A．谈论：此题观察了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象张口向上，当a＜0时，二次函数的图象张口向下．6.〔 2021? 扬州，第 16 题， 3 分〕如图，抛物线y=ax2+bx+c〔a＞ 0〕的对称轴是过点〔 1，0〕且平行于y 轴的直线，假设点P〔4，0〕在该抛物线上，那么4a﹣ 2b+c的值为0．〔第 3 题图〕考点：抛物线与 x 轴的交点解析：依照抛物线的对称性求得与x 轴的另一个交点，代入解析式即可．解答：解：设抛物线与x 轴的另一个交点是，Q∵抛物线的对称轴是过点〔1， 0〕，与x轴的一个交点是P〔4，0〕，∴与 x 轴的另一个交点Q〔﹣2，0〕，把〔﹣ 2， 0〕代入解析式得：0=4a﹣ 2b+c，∴4a﹣ 2b+c=0，故答案为： 0．谈论：此题观察了抛物线的对称性，知道与x 轴的一个交点和对称轴，可以表示出与x 轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是此题的要点．2．〔 2021? 四川省德阳，第24 题 14 分〕如图，抛物线经过点A〔﹣2，0〕、 B〔4，0〕、C〔0，﹣8〕．〔1〕求抛物线的解析式及其极点D的坐标；〔2〕直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右侧的点P，作 y 轴的平行线交x 轴于点 F，交直线 CD于 M，使 PM=EF，央求出点P 的坐标；（3〕将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与〔 2〕中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多考点：二次函数综合题；解一元二次方程- 因式分解法；根的鉴识式；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式．专题：综合题．解析：〔1〕由于抛物线与x 轴的两个交点，抛物线的解析式可设成交点式：y=a〔 x+2〕（x﹣4〕，尔后将点 C的坐标代入即可求出抛物线的解析式，再将该解析式配成极点式，即可获取极点坐标．（2〕先求出直线CD的解析式，再求出点E的坐标，尔后设点P的坐标为〔m，n〕，进而可以用m的代数式表示出 PM、EF，尔后依照 PM=EF建立方程，即可求出 m，进而求出点 P 的坐标．〔3〕先求出点的坐标，尔后设平移后的抛物线的解析式为=x 2﹣ 2 ﹣8+ ，尔后只要考虑M y xc三个临界地址〔①向上平移到与直线EM相切的地址，②向下平移到经过点M的地址，③向下平移到经过点 E 的地址〕所对应的 c 的值，就可以解决问题．解答：解：〔 1〕依照题意可设抛物线的解析式为y=a〔 x+2〕〔 x﹣4〕．∵点 C〔0，﹣8〕在抛物线y=a〔 x+2〕〔x﹣4〕上，∴﹣ 8a=﹣ 8．∴a=1．∴y=〔 x+2〕〔 x﹣4〕=x2﹣2x﹣ 8=〔x﹣ 1〕2﹣9．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8，极点 D的坐标为〔1，﹣9〕．〔2〕如图，设直线 CD的解析式为y=kx+B．∴解得：．∴直线 CD的解析式为y=﹣ x﹣8．当 y=0时，﹣ x﹣8=0，那么有 x=﹣8．∴点 E 的坐标为〔﹣8，0〕．设点 P 的坐标为〔 m， n〕，22那么 PM=〔 m﹣2m﹣8〕﹣〔﹣ m﹣8〕=m﹣ m，EF=m﹣〔﹣8〕=m+8．∵PM=EF，2∴m﹣ m=〔 m+8〕．2整理得： 5m﹣6m﹣ 8=0．∴〔 5m+4〕〔m﹣ 2〕 =0解得： m1=﹣， m2=2．∵点 P 在对称轴 x=1的右侧，∴m=2．此时， n=22﹣2×2﹣8=﹣8．∴点 P 的坐标为〔2，﹣8〕．（3〕当m=2 时，y=﹣ 2﹣ 8=﹣10．∴点 M的坐标为〔2，﹣10〕．设平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8+c，①假设抛物线y=x2﹣2x﹣8+c 与直线 y=﹣ x﹣8相切，那么方程 x2﹣2x﹣8+c=﹣x﹣8即 x2﹣ x+c=0有两个相等的实数根．∴〔﹣ 1〕2﹣4× 1×c=0．∴c=．②假设抛物线y=x2﹣2x﹣8+c 经过点 M，那么有 22﹣ 2× 2﹣ 8+c=﹣10．∴c=﹣2．③假设抛物线y=x2﹣2x﹣8+c 经过点 E，那么有〔﹣ 8〕2﹣ 2×〔﹣ 8〕﹣ 8+c=0．综上所述：要使抛物线与〔 2〕中的线段 EM 总有交点，抛物线向上最多平移个单位长度，向下最多平移 72 个单位长度．谈论： 此题观察了用待定系数法求二次函数的解析式、用待定系数法求一次函数的解析式、解一元二次方程、根的鉴识式、 抛物线与直线的交点问题等知识，而把抛物线与直线相切的问题转变成一元二次方程有两个相等的实数根的问题是解决第三小题的要点，有必然的综合性．8、〔 2021 年内蒙古包头〕 二次函数y ax2bx c的图象与 x 轴交于点 ( 2，0) ( x 1，0)，、且 1x 1 2 ，与 y 轴的正半轴的交点在(0，2) 的下方．以下结论：① 4a 2b c 0 ；②a b 0 ；③ 2a c0 ；④ 2a b 10 ．其中正确结论的个数是个．【答案】 4【解析】 此题观察二次函数图象的画法、鉴识理解， 方程根与系数的关系筀等知识和数形结合能力。
二次函数中的符号问题
y 2
-2
0
1x
18
仔细想一想：
（06.浙江省）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上， 图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴． (以下有(1)、(2)两问，每个考生只须选答一问，若两问都答， 则只以第(2)问计分) 第(1)问：给出四个结论：
④ a+b+c＜0；⑤a-b+c＞0；正确的是
③ ④ ⑤。
y
- o 1x 1
12
练一练：
已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象（a<0）过点
（-2，0）,且满足2a+b=0，下列结论：①abc＞0；
②b2- 4ac＞0；③4a+2b+c＞ 0；④（a+c)2- b2
＜ 0，其中正确的是
。
③
13
归纳知识点：
4、若关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个交点，则a的取值范围
为
。
5、(03武汉)已知抛物线y=ax2+bx+c （a＜0)经过点（－1，
0），且满足4a＋2b＋c＞0．以下结论：①a＋b＞0；②a＋c＞
0；③－a＋b＋c＞0；④b2-2ac>5a2．其中正确的是
。
15
试一试：
已知：抛物线y=ax2+bx+c 中，a>0，a+b+c = 0， 9a+3b+c = 0，请你根据条 件画出草图，并写出几个与 二次函数符号问题有关的正 确结论。
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说一说：
解决二次函数符号问题要抓住哪些要点呢？
九年级数学二次函数中a,b,c符号的确定
九年级数学二次函数中a ，b ，c 符号的确定珠海市第四中学（519015） 邱金龙二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象是抛物线，利用图象来确定a ，b ，c 的符号，是常见的问题，解决的关键是对二次函数的图象和性质的正确理解。
一、a ，b ，c 符号的确定（1）a 符号的确定。
抛物线的开口向上，a ＞0，抛物线的开口向下，a ＜0。
（2）c 符号的确定。
因为x=0时，由c bx ax y ++=2得，y ＝c ，故抛物线与y 轴交点在y 轴的正半轴，c ＞0，抛物线与y 轴交点在y 轴的负半轴，c ＜0，抛物线经过原点，c ＝0。
（3）b 符号的确定。
b 的符号要看对称轴ab x 2-=，再结合a 的符号来确定。
二、应用举例1、二次函数c bx ax y ++=2的图象分别如图所示，试分别判断（A ）（B ）（C ）（D ）图中a ，b ，c 的符号。
分析：（A ）图中，抛物线的开口向上，故a ＞0；抛物线与y 轴的交点P 在y 轴的负半轴，故c ＜0。
对称轴ab x 2-=＞0，而a ＞0，故b ＜0。
（B ）图中，抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点P 在y 轴的正半轴，故c ＞0。
对称轴ab x 2-=＜0，而a ＜0，故b ＜0。
（C ）图中（过程略），a ＞0，c ＞0 ，b ＞0。
（D ）图中（过程略），a ＜0， c ＜0 ，b ＞0。
2、（2004重庆中考题）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则点M （b ，ac ）在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限分析：抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，故c ＞0。
对称轴ab x 2-=＞0，而a ＜0，故b ＞0。
因此，点M （b ，ac ）的横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限，选（D ）。
3、（2004陕西中考题）二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ）A 、ab ＜0B 、bc ＜0C 、.a+b+c ＞0D 、a －b+c ＜0分析：抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，故c ＜0。
二次函数中a、b、c的符号
）
二次函数中的符号问题
y ax bx c(a 0)
2
1
二次函数中的符号问题
（a、b、c、△等符号）
2
回味知识点：
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？ 2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是 （0，c） .
开口方向与a有关
3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是
a、b异号 b=0 简记为：左同右异
对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴 （4）b2-4ac的符号：
由抛物线与x轴的交点个数确定:
与x轴有两个交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0
b2-4ac<0
5
与x轴有一个交点
与x轴无交点
归纳知识点：
6
7
8
9
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
X= - b/2a .
3
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a>0 a<0
（2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定:
交点在x轴上方 交点在x轴下方 经过坐标原点
c>0
c<0
c=0
4
归纳知识点：
（3）b的符号：
由对称轴的位置确定： a、b同号
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数学因规律而不再枯燥， 数学因思维而耐人寻味。
让我们热爱数学吧！
19
课外作业：
1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和 一次函数y2=mx+n的图象，观察 图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围 是________;
二次函数中a,b,c符号确定
对称轴是x=1，下列结论
①abc﹥0
y
②2a+b=0
③b2-4ac﹤0
④4a+2b+c﹥0
⑤ 若 2, y1 ,5, y2
x
是抛物线上两点，
0
则y1﹥y2
正确的有——————（填序号） X=1
• 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分， 图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出 四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；
5个结论
①4ac-b2≥0， ②-3a+c﹤0
X=2
③abc﹤0
④将该函数图像向左平移2个单位后，
所得抛物线解析式是 y ax2 c
⑤m﹤2
正确的有——————（填序号）
象如图所示，有下列5个结论：① abc﹤o
② b ﹤ a+c；③ 4a+2b+c﹥0；④ 2c ﹤ 3b；⑤ a+b ﹤ m(am+b)，（m≠1的实数）其中正确的 结论有（ ）
（m﹥2）无实数根
正确的有——————（填序号）
抛物线 y x 2 ax a 1
（1）无论a取何值，抛物线与x轴有交点
（2）无论a取何值，抛物线过一个定点
如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y 1 x2
2
y 1 x2
y
2
y 3x
O
x
⊙O半径为2
阴影部分的面积=
一次函数 y1 x y
• ③a－b＋c=0；④3a﹥b．
⑤其图像与x轴另一个交点坐标是（1,0）
⑥若点（-4，y1）点（3，y2） 在该函数图像上，则y1 ﹤ y2
二次函数中a、b、c的符号
a控制开口方向，b控制位置，c控制准线位 置。
关于a的符号和含义
a>0
函数开口向上，形如"U"字形。
a<0
函数开口向下，形如"∩"字形。
a=0
所表示的函数变成一条直线。
关于b的符号和含义
b>0
函数图像位于y轴下方。
b<0
函数图像位于y轴上方。
b=0
所表示的函数为横轴。
关于c的符号和含义
二次函数与指数函数的图像 形状和特点。
二次函数与对数函数的图像 形状和特点。
二次函数的几何图形关联
与抛物线的关联
二次函数与抛物线的图像形状和性 质。
与圆的关联
二次函数与圆的图像形状和性质。
与椭圆的关联
二次函数与椭圆的图像形状和性质。
二次函数中a、b、c的符 号
二次函数的概念、表示方法以及a、b、c的符号表示法和含义，以及它们对函 数的图像、开口方向、位置等的影响。
二次函数基础知识
1
如何表示二次函数？
2
二次函数可以用函数的解析式或图像来表示。
3
什么是二次函数？
二次函数是一种形如y=ax^2+bx+c的函数， 其中a、b、c是常数。
二次函数的应用
1 二次函数与实际问题
2 函数最值和极值的求
二次函数在物理、经济等领
解方法
3 变量的范围限制和解
决方法
域中的应用非常广泛。
寻找二次函数的最大值和最
如何确定二次函数中变量的
小值的方法。取Βιβλιοθήκη 范围。二次函数与其他函数的比较
1 与一次函数的比较
2 与指数函数的比较
2.二次函数有关符号的判断
练一练：
1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0； ④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ C ） y A、2个 B、3个
C、4个
D、5个
-1 o
1
x
练一练：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中不正确的是 （ D ） y A、abc＞0 B、b2-4ac＞0
C、2a+b＞0
D、4a-2b
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0； ④（a+c）2＜b2，其中正确的个数是 （ B ） A、4个 B、3个
C、2个
D、1个
y
o
x=1
x
谈谈你的收获? 1 a、b、c、△等符号性质 2 a+b+c的符号 3 a-b+c的符号 4 解信息题技巧`
a>0 b<0 c>0 △>0
o
x
做一做
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△ 的符号： y
a>0 b>0 c=0 △>0
x
o
练一练
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△ 的符号： y
o
a<0 b<0 c>0 △>0
x
你行的!
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△ 的符号： y
二次函数中的符号问题
；
-3
O 1
x
14
难点突破之思维激活
7.下图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，且经过点 （－2，0），则下列结论中正确的个数有（ ） ①a <0; ②b<0; ③c>0; ④抛物线与x轴的另一个交点坐标可能是（1，0）; ⑤抛物线与x轴的另一个交点坐标可能是（4，0）。
y
A.2个
BБайду номын сангаас3个
C.4个
13.根据下列表格的对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26
0.09
y=ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03
不解方程,试判断方程ax2＋bx＋c=0（a≠0，a,b,c 为常数）一个解x的范围是（ ） A．3＜x＜3.23 B.3.23＜x＜3.24 C.3.24＜x＜3.25 D.3.25＜x＜3.26
a、b同号
a、b异号 b=0 简记为：左同右异
由抛物线与x轴的交点个数确定:
与x轴有两个交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0
b2-4ac<0
3
与x轴有一个交点
与x轴无交点
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（5）a+b+c的符号： 由x=1时y的值确定.
（6）a-b+c的符号： 由x=-1时y的值确定.
二次函数中的符号问题
1
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a>0 a<0
（2）c的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定:
二次函数的图像与字母a、b、c的关系
课次教学计划教学过程：一、知识要点二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0． （2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．（4）b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0； 没有交点，b 2-4ac ＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号． （6）由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号．二、基础练习1、已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ D ） A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞02、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ； ②abc ＞0；③2a+b=0； ④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，则正确的结论是（ D ） A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤3、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（21，1），下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是（ C ）1\2\3A 、1B 、2C 、3D 、4任课教师学科 版本 年段 辅导类型 上课时间 学生签名数学北师大初三课题二次函数y=a 2x +bx+c 系数符号的确定方法课次教学目标 掌握二次函数中字母 a 、b 、c 三者与图象之间的关系。
教学策略 教学重点、难点：利用图形的性质与特殊性来确定字母a 、b 、c 三者之间的关系。
4、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（B ）A 、ac ＞0B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3 C 、2a-b=0 D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小5、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，有下列结论： ①abc ＞0，②2b -4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其中正确结论的个数是（A4 ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、（如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a-b ＜0；（4）a+b+c ＜0．你认为其中错误的有（D2） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、1个7、抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（C ） A 、b 2-4ac ＜0 B 、abc ＜0 C 、 -a2b＜-1 D 、a-b+c ＜08、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b 2-4ac ＞0 ②a ＞0 ③b ＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c ＜0，则其中结论正确的个数是（B ）1/2/5 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个9、已知二次函数y=ax 2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（D ） A 、第一、二、三象限 B 、第二、三、四象限 C 、第一、二、四象限 D 、第一、三、四象限10、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（D ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＜0C 、a ＜0，b ＞0，c ＜0，b 2-4ac ＞0D 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＞011、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（B ） A 、ac ＜0 B 、a-b+c ＞0C 、b=-4aD 、关于x 的方程a 2x +bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=512、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a ，b ，c 满足（A ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞0 B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0，2b -4ac ＞0C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，2b -4ac ＜0D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞013、已知二次函数y=2ax +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（B ） A 、abc ＞0 B 、b ＞a+c C 、2a-b=0 D 、2b -4ac ＜014、已知二次函数y=2ax +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①ac ＞0；②a-b+c ＜0；③当x ＜0时，y ＜0；④方程2ax +bx+c=0（a ≠0）有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有（C ） A 、②③ B 、②④ C 、①③ D 、①④15、如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，在下列选项中错误的是（C ） A 、ac ＜0 B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大C 、a+b+c ＞0D 、方程ax 2+bx+c=0的根是1x =-1，2x =316、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论错误的是（B ） A 、ab ＜0 B 、ac ＜0C 、当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 增大而减小D 、二次函数y=2ax +bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程2ax +bx+c=0的根17、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（D ）A 、a ＞0B 、c ＜0C 、b 2-4ac ＜0 D 、a+b+c ＞018、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a ，b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b=0；④当y=4时，x 的取值只能为0，结论正确的个数有（ C ）个．1/2/3A 、1B 、2C 、3D 、4三、能力练习1.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 l －2－2所示，则a 、b 、c 满足（ ） A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 2.已知二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0）且a ＜0，a －b+c ＞0，则一定有（ ）A ．b 2－4ac ＞0B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac ≤03.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－10，则点（b ，ca）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则ac_____0（“＜”“＞”或“=”）第4题图 5．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 1－2－14所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ） A ．ab ＜0 B 、bc ＜0 C ．a+b ＋c ＞0 D ．a －b 十c ＜0四、知识小结：函数二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，图像 a>0a<0y0 xy0 x性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2-，顶点坐标是 （a b 2-，ab ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<a b2-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x 的增大而增大，简记左减右增； （4）抛物线有最低点，当x=ab2-时，y 有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=ab2-，顶点坐标是 （a b 2-，ab ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<ab2-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x的增大而减小，简记左增右减； （4）抛物线有最高点，当x=ab2-时，y 有最大值，例题．已知抛物线c bx ax y ++=2过三点（－1，－1）、（0，－2）、（1，l ）． （1）求抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？五、中考真题回顾： （09佛山）19．（1）请在坐标系中画出二次函数22y x x =-+的大致图象；（2）在同一个坐标系中画出22y x x =-+的图象向上平移两个单位后的图象； （3）直接写出平移后的图象的解析式.注：图中小正方形网格的边长为1.（1）画图（略）注：基本反映图形的特征（如顶点、对称性、变化趋势、平滑）给2分， 满足其中的两至三项给1分，满足一项以下给0分； （2）画图、写解析式（略）注：画图满分2分，同（1）的标准；写解析式2分（无过程不扣分）．（11·佛山）21.如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过A （－1，－1）、B （0，2）、C （1，3）； （1）求二次函数的解析式； （2）画出二次函数的图像；【答案】解：（1）根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－1c ＝2a ＋b ＋c ＝3 ………………2分解得a ＝－1，b ＝2，c ＝2………………4分ab ac y 442-=最小值ab ac y 442-=最大值xy O第19题图xyoABC1所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋2………………5分（2）二次函数的图象如图………………8分 给分要点：顶点、对称、光滑（各1分）（12佛山）22.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数c bx ax y ++=2的解析式； ①y 随x 变化的部分数值规律如下表：②有序数对()0,1-、()4,1、()0,3满足c bx ax y ++=2； ③已知函数c bx ax y ++=2的图象的一部分（如图）． (2)直接写出二次函数c bx ax y ++=2的三个性质．解析：（1）方法一：由 可得：C=3，0=+-c b a ，4=++c b a ，所以1-=a ，2=b ，C=3， 所以二次函数解析式为：322++-=x x y方法二：由②可得：0=+-c b a ，4=++c b a ，039=++c b a ， 解之得：1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y 方法三：由③可得：C=3，0=+-c b a ，12=-ab，解之得：1-=a ，2=b ，C=3， 所以二次函数解析式为：322++-=x x y （三种选其一即可）（2）1、对称轴为1=x ， 2、开口向下 3、与x 轴有2个交点x -1 0 1 2 3 y343xyoABC14、交y轴正半轴考察知识：待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及图像（2013•佛山）24．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．分析：（1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），∴，解得，所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；（3）如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∴PP′=1，阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，∴阴影部分的面积=2．点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．。
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二次函数a、b、c符号的确定一．选择题（共13小题）1．（2013•黔东南州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0C．a＜0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞02．（2013•崇明县一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么a，b，c的符号为（）A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＜0，b＜0，c＞03．（2014•兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（）A．c＞0 B．2a+b=0 C．b2﹣4ac＞0 D．a﹣b+c＞04．（2014•徐汇区一模）已知抛物线y=ax2+3x+（a﹣2），a是常数且a＜0，下列选项中可能是它大致图象的是（）A．B．C ．D．5．（2014•沙湾区模拟）函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法错误的是（）A．a＞0 B．c＞0 C．b2﹣4ac＞0 D．＞06．（2014•邢台一模）抛物线y=ax2+bx+c如图，考查下述结论：①b＜0；②a﹣b+c＞0；③b2＞4ac；④2a+b＜0．正确的有（）A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④7．（2014•兴化市一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）、（0，3），下列结论中错误的是（）A．a bc＜0 B．9a+3b+c=0 C．a﹣b=﹣3 D．4ac﹣b2＜08．（2013•定西）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（2013•滨州）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a﹣2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．410．（2013•邢台一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列条件正确的是（）A．a c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．b＞0 D． a＞0、b＜0、c＞011．（2013•红桥区一模）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．（2013•百色）在反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=mx2+mx的图象大致是图中的（）A．B．C．D．13．（2013•长安区模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＞0；②a﹣b+c＞0；③abc=0；④2a﹣b=0，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．解答题（共2小题）14．（2008•密云县一模）已知抛物线y=ax2+bx+c的一段图象如图所示．（1）确定a、b、c的符号；（2）求a+b+c的取值范围．15．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，（1）判断a，b，c及b2﹣4ac，a﹣b+c的符号；（2）求a+b+c的值；（3）下列结论：①b＜1，②b＜2a，③a＞，④a+c＜1，⑤﹣a﹣b+c＜0．其中正确的有_________，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2013•黔东南州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0C．a＜0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，再结合抛物线的对称轴与y轴的关系判断b与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据抛物线与x轴交点的个数判断b2﹣4ac与0的关系．解答：解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右边，∴a，b异号即b＞0，∵抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0．故选D．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac=0；没有交点，b2﹣4ac＜0．2．（2013•崇明县一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么a，b，c的符号为（）A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＜0，b＜0，c＞0考点：二次函数图象与系数的关系．专题：推理填空题．分析：根据二次函数图象开口向下确定出a为负数，根据对称轴结合a为负数确定出b的正负情况，根据二次函数图象与y轴的交点即可确定出c的正负情况，从而最后得解．解答：解：∵二次函数图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x=﹣＜0，∴b＜0，∵二次函数图象与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴a＜0，b＜0，c＞0．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点与系数的关系是解题的关键．3．（2014•兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（）A．c＞0 B．2a+b=0 C．b2﹣4ac＞0 D．a﹣b+c＞0考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：本题考查二次函数图象的相关知识与函数系数的联系．需要根据图形，逐一判断．解答：解：A、因为二次函数的图象与y轴的交点在y轴的上方，所以c＞0，正确；B、由已知抛物线对称轴是直线x=﹣=1，得2a+b=0，正确；C、由图知二次函数图象与x轴有两个交点，故有b2﹣4ac＞0，正确；D、直线x=﹣1与抛物线交于x轴的下方，即当x=﹣1时，y＜0，即y=ax2+bx+c=a﹣b+c＜0，错误．故选：D．点评：在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．4．（2014•徐汇区一模）已知抛物线y=ax2+3x+（a﹣2），a是常数且a＜0，下列选项中可能是它大致图象的是（）A．B．C．D．考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据抛物线对称轴位置和a，b的关系以及利用图象开口方向与a的关系，得出图象开口向下，对称轴经过x轴正半轴，利用图象与y轴交点和c的符号，进而得出答案．解答：解：∵抛物线y=ax2+3x+（a﹣2），a是常数且a＜0，∴图象开口向下，a﹣2＜0，∴图象与y轴交于负半轴，∵a＜0，b=3，∴抛物线对称轴在y轴右侧．故选：B．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确把握图象对称轴位置与a，b的关系是解题关键．5．（2014•沙湾区模拟）函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法错误的是（）A．a＞0 B．c＞0 C．b2﹣4ac＞0 D．＞0考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线开口向上得到a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，图象与x轴有两个交点得b2﹣4ac ＞0，对称轴在y轴右侧得，则，据此逐一判断即可．解答：解：：A、∵抛物线开口向上，∴a＞0，所以A选项的说法正确；B、∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，所以B选项的说法正确；C、∵抛物线与x轴有两交点，∴b2﹣4ac＞0，y＜0，∴4a+2b+c＜0，所以C选项的说法正确；D、∵对称轴在y轴右侧得，∴，所以D选项的说法错误．故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．6．（2014•邢台一模）抛物线y=ax2+bx+c如图，考查下述结论：①b＜0；②a﹣b+c＞0；③b2＞4ac；④2a+b＜0．正确的有（）A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＞0，c＜0，﹣＞0，b＜0，正确；②由图象知当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，正确；③图象与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac正确；④由图象知，即2a+b=0，本项错误．故选B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：①2个交点，b2﹣4ac＞0；②1个交点，b2﹣4ac=0；③没有交点，b2﹣4ac＜0．（5）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．7．（2014•兴化市一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）、（0，3），下列结论中错误的是（）A．a bc＜0 B．9a+3b+c=0 C．a﹣b=﹣3 D．4ac﹣b2＜0考点：二次函数图象与系数的关系．分析：A、由对称轴可判断ab的符号，再由抛物线与y轴的交点可判断c的符号，从而确定abc的符号；B、观察图象，不能得出x=3时，函数值的符号，所以9a+3b+c不一定等于0；C、将（﹣1，0）、（0，3）分别代入y=ax2+bx+c，即可得出a﹣b=﹣3；D、根据抛物线与x轴的交点个数可判断b2﹣4ac的符号，从而确定4ac﹣b2的符号．解答：解：A、∵抛物线对称轴x=﹣＞0，∴ab＜0，又∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，正确，故本选项不符合题意；B、观察图象，由于没有给出对称轴方程，所以不能得出x=3时，函数值的符号，所以9a+3b+c不一定等于0，即9a+3b+c=0不一定正确，故本选项符合题意；C、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）、（0，3），∴，②代入①，整理，得a﹣b=﹣3，正确，故本选项不符合题意；D、∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，正确，故本选项不符合题意．故选B．点评：本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系：当a＜0，抛物线开口向下；抛物线的对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．8．（2013•定西）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，利用图象将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵由函数图象开口向下可知，a＜0，由函数的对称轴x=﹣＞﹣1，故＜1，∵a＜0，∴b＞2a，所以2a﹣b＜0，①正确；②∵a＜0，对称轴在y轴左侧，a，b同号，图象与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＜0；②正确；③当x=1时，y=a+b+c＜0，③正确；④当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，④错误；⑤当x=2时，y=4a+2b+c＜0，⑤错误；故错误的有2个．故选：B．点评：此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值是解题关键．9．（2013•滨州）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a﹣2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：根据对称轴为x=1可判断出2a+b=0正确，当x=﹣2时，4a﹣2b+c＜0，根据开口方向，以及与y轴交点可得ac＜0，再求出A点坐标，可得当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．解答：解：∵对称轴为x=1，∴x=﹣=1，∴﹣b=2a，∴①2a+b=0，故此选项正确；∵点B坐标为（﹣1，0），∴当x=﹣2时，4a﹣2b+c＜0，故此选项正确；∵图象开口向下，∴a＜0，∵图象与y轴交于正半轴上，∴c＞0，∴ac＜0，故ac＞0错误；∵对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0），∴A点坐标为：（3，0），∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．，故④错误；故选：B．点评：此题主要考查了二次函数与图象的关系，关键掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10．（2013•邢台一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列条件正确的是（）A．a c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．b＞0 D．a＞0、b＜0、c＞0考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由函数图象可得：a＞0，b＜0，c＞0，再结合图象判断各选项．解答：解：由函数图象可得：a＞0，b＜0，c＞0，A、ac＜0，错误；B、b2﹣4ac＜0，错误；C、b＞0，错误；D、a＞0、b＜0、c＞0，正确．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系，重点是从函数图象上得到重要的信息．11．（2013•红桥区一模）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵该函数图象的开口向下，∴a＜0；又对称轴x=﹣＜0，∴b＜0；而该函数图象与y轴交于正半轴，故c＞0，∴abc＞0，正确；②当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0；正确；③根据题意得，对称轴﹣1＜x=﹣＜0，∴2a﹣b＜0，正确；④∵＞2，a＜0，∴4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，正确．故选D．点评：本题考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．12．（2013•百色）在反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=mx2+mx的图象大致是图中的（）A．B．C．D．考点：二次函数图象与系数的关系；反比例函数的性质．分析：根据反比例函数图象的性质确定出m＜0，则二次函数y=mx2+mx的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴，即可得出答案．解答：解：∵反比例函数y=，中，当x＞0时，y随x的增大而增大，∴根据反比例函数的性质可得m＜0；该反比例函数图象经过第二、四象限，∴二次函数y=mx2+mx的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．∴只有A选项符合．故选A．点评：本题考查了二次函数图象、反比例函数图象．利用反比例函数的性质，推知m＜0是解题的关键，体现了数形结合的思想．13．（2013•长安区模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＞0；②a﹣b+c＞0；③abc=0；④2a﹣b=0，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：观察函数图象得到x=1时，y＜0；x=﹣1时，y＞0，所以a+b+c＜0，a﹣b+c＞0，则可对①②进行判断；由于抛物线过原点，所以c=0，可对③进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x=﹣1，即x=﹣=﹣1，则可对④进行判断．解答：解：∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0；所以①错误；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0；所以②正确；∵抛物线过原点，∴c=0，∴abc=0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴x=﹣=﹣1，∴2a﹣b=0，所以④正确．故选C．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．二．解答题（共2小题）14．（2008•密云县一模）已知抛物线y=ax2+bx+c的一段图象如图所示．（1）确定a、b、c的符号；（2）求a+b+c的取值范围．考点：二次函数图象与系数的关系．专题：计算题．分析：（1）根据抛物线开口向上，则a＞0，对称轴在x轴正半轴可知﹣＞0，与y轴交点在y轴负半轴可知c ＜0；（2）再根据抛物线y=ax2+bx+c过点（﹣1，0），（0，﹣1），即可求出a+b+c的取值范围．解答：解：（1）根据抛物线开口向上，则a＞0，∵对称轴在x轴正半轴可知﹣＞0，∴b＜0，又与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，故a＞0，b＜0，c＜0；（2）∵抛物线y=ax2+bx+c过点（﹣1，0），（0，﹣1），∴a﹣b+c=0，c=﹣1，即a﹣b=1，a=b+1，∴a+b+c=b+1+b﹣1=2b，∵b＜0，∴2b＜0，∵a＞0，∴b+1＞0，∴b＞﹣1，2b＞﹣2，故，﹣2＜a+b+c＜0．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系，难度一般，关键是正确获取图象信息进行解题．15．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，（1）判断a，b，c及b2﹣4ac，a﹣b+c的符号；（2）求a+b+c的值；（3）下列结论：①b＜1，②b＜2a，③a＞，④a+c＜1，⑤﹣a﹣b+c＜0．其中正确的有①③④⑤，请说明理由．考点：二次函数图象与系数的关系．分析：（1）根据抛物线的开口向上确定a是正数，对称轴在y轴右侧，确定b＜0；再根据抛物线y轴的负半轴相交确定c是负数，根据抛物线与x轴交于两点，确定b2﹣4ac＞0，根据图象可知x=﹣1时，y＜0，确定＜0；（2）由函数的图象可知当x=1时，y=﹣3，即可得出a+b+c=﹣3；（3）由对称轴x=﹣=得出b=﹣a＜0，即可判定①的结论；由﹣=＜1，＞1，得出b＞2a即可判定②的结论；由x1=﹣1.5，x2=2.5，所以=﹣，因为c=﹣3，a=＞，即可判定③的结论；由a=，c=﹣3，得出a+c=﹣＜1，即可判定④结论；由b=﹣a，得出﹣a﹣b+c=c=﹣3，即可判定⑤的结论．解答：解：（1）∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＜0；∵抛物线与y轴负半轴相交，∴c＜0，∵抛物线与x轴交于两点，∴b2﹣4ac＞0，∵x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0；（2）由函数的图象可知当x=1时，y=﹣3，所以a+b+c=﹣3；（3）∵对称轴x=﹣=∴b=﹣a＜0∴b＜1；故①正确；∵﹣=＜1，∴＞1，∵a＞0，∴b＞2a故②错误；∵x1=﹣1.5，x2=2.5，∴=﹣，∵c=﹣3，∴a=＞，故③正确；∵a=，c=﹣3，∴a+c=﹣＜1，故④正确；∵b=﹣a，∴﹣a﹣b+c=c=﹣3＜0，故⑤正确．故答案为：①③④⑤．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点．。