第三章 中值定理.导数的应用

第三章 中值定理.导数的应用

§3.1 微分中值定理

1、设a b <，)(x f =

x

1

，则在(),a b 内，使-)(b f )(a f =)('ξf )(a b -成立的ξ有（ ）． A 、一点； B 、有两点 ； C 、不存在； D 、与a 、b 取值有关. 2、123

++=x x y 在),(+∞-∞内有 个零点. 3、验证函数2

11

)(x

x f +=在区间[,]-11上是否满足罗尔定理的条件，若满足，求定理结 论中的数值ξ．

4、不用求出函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程'

f )(x =0有几个实 根，并指出它们所在的区间．

5、验证函数=)(x f ㏑x 在区间],1[e 上满足拉格朗日中值定理的条件，并求定理结论中的 数值ξ．

6、证明不等式|arctan arctan |||x y x y -≤-．

7、证明恒等式=+arcxosx x arcsin 2

π

，)11(≤≤-x ．

§3.2 洛必达法则

1、下列各式正确的是（ ）

A 、lim ()x x x

+→+=01

11； B 、lim()x x e x →∞-=-11；

C 、lim ()x e x +→+=011

D 、lim()x x e x

→∞+=1

1

2、lim ln x x x +

→=0

3、求下列极限

（1）()lim x x x

α

→+-011（α为任何实数）； （2）sin

lim sin x x x →∞2

3 （3）sin lim sin x x x

x x →∞+-； （4）lim ln x x x

→11

．

4、求下列极限

（1）lim cot →∞

x x x ； （2）

x

x x

-→11

1

lim .

§3.3 函数单调性与极值

1、函数x x x f cos 2)(-=在区间

单调增加.

2、函数4

3

384)(x x x f -+=的极大值是 . 3、判定函数()tan ()f x x x x π

π

=--

<<

2

2

的单调性.

4、判定函数x x x x f -++=)1ln()(2的单调性。

5、确定下列函数的单调区间

（1）x

y xe =； （1）)3(3

13

x x y -= 6、证明不等式： 当0>x 时，)1ln(x x +>． 7、证明方程x x =sin 只有一个实根． 8、求下列函数的极值

（1）y x x =+-221； （2）x

e x y -=． （3）y x x x =-++3

2

81261．

§3.4 曲线的凹向与拐点

1、设a x b <<，()0f x <，()0f x ''<，则曲线弧()y f x =在(),a b 内（ ）． A 、沿x 轴正向下降且向上凹 B 、沿x 轴正向下降且向下凹 C 、沿x 轴正向上升且向下凹 D 、沿x 轴正向上升且向下凹

2、 下列函数对应的曲线在定义域内是上凹的是 。

A 、x

y e =； B 、x

y e -=； C 、2

3

y x x =-； D 、sin y x =.

3、曲线x x x y 6242

4+-=的下凹区间是（ ）．

A 、[0，2]

B 、[－2，2]

C 、（－∞，0） D.、[0，+∞]． 4、 曲线sin 1y x =+在(),2ππ内是（ ）．

A 、上凹

B 、下凹

C 、既有上凹，也有下凹

D 、直线 5、0()0f x ''=是点()00,()x f x 为拐点的（ ）条件．

A 、充要

B 、充分

C 、必要

D 、无关 6、求下列曲线的凹向与拐点.

（1）()3

11y x =--； （2）4

3

21y x x =-- ；

（3）()

2ln 11y x =+-．

§3.5 函数的最值及其应用

1、求函数4

3

21y x x =--在区间[-1，1]的最大值、最小值。 2、、求函数].4,4[,593-∈+--=x x x x y 的最大值、最小值．

3、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m 长的墙壁，问应围成怎样的 长方形才能使这间屋的面积最大？

4、圆柱形罐头盒，高度H 与半径R 应怎样配，使同样容积下材料最省？

5、.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例，要将直径为d 的圆木锯成强 度最大的横梁，断面的宽和高应为多少？

6、求内接于抛物线2

1x y -=与x 轴所围图形内的最大矩形的面积. 7、某种产品的总成本C （单位：万元）是产量x （单位：万件）的函数：

3202.004.06100)(x x x x C +-+=，

试问：当生产水平为x ＝10万件时，从降低单位成本角度看，继续提高产量是否得当？