青岛版2.3.1解直角三角形1
2022年青岛版数学九年级上《解直角三角形》课件(精品)
a
Abຫໍສະໝຸດ C复习导入1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点： 综合法 条件 结论 由因导果
分析法 结论 已知条件 执果索因
情境导入
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C 说A、B都撒谎。那么C在撒谎吗？为什么？
学习目标
1.体会反证法的含义，知道证明一个命 题除用直接证法外，还有间接证法。
图中∠A，∠B，a，b，c即为直角三角形
b
c
的五个元素.
〔1〕边之间的关系
Ca
B
a2 b2 c2 〔勾股定理〕
〔2〕角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
〔3〕边角之间的关系
sinAcoBsa, coAssinBb,
c
c
tan A a , b
tan B b , a
a
交流发现
B
图中∠A，∠B，a，b，c即为
直角三角形的五个元素.
A
思考：利用上面这些关系，必须几 个元素，才能求得其余元素呢？
b
C
两个角 ×
两条边 √ 一边一角 √
两个元素(至少一个是边)
由直角三角形中的元素求出未知元素的过
程，叫做解直角三角形．
精讲点拨
例1 在Rt△ABC 中，∠C=90°，a = 17， c＝ 34．解这个直角三角形
分析：这是直角三角形的两边解直角三角形的问题．
2.了解用反证法证明命题的一般步骤。
实验与探究
1.如果A、B、C三点在同一条直线上， 经过点A、B、C能作出一个圆吗？ 2.为什么过同一直线上的三个点不能作 圆？怎样证明这个结论？
归纳总结
在证明一个命题时,有时先假设命题 不成立,从这样的假设出发,经过推理得出 和条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛 盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即 所求证的命题正确。这种证明方法叫做反 证法。
新青岛版九年级数学上册《解直角三角形(1)》优质课课件
B A b
a C
精讲点拨
例 2 在 RtD ABC 中 ， 已知 C 90 ° . ，c 128 , B 45 ° 解这个直角三角形
分析：这是已知直角三角形的一边一角解直角三角形的问 题．
B A a
b
C
跟踪练习
1．在Rt△ABC中，已知∠C = 90° , a=12, b =24 ． 解这个直角三角形
2．在Rt△ABC 中，∠C = 90 °. (l)已知c = 15 ，∠ B = 60° ，求a ; (2)已知∠A＝45 ° ，a＝24 ，求b , c .
课堂小结
解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边 （ 2）已知一边和一个锐角
2000
10
24
注意：1.数形结合有利于分析问题；
2.选择关系式时，尽量应用原始数据， 使计算更加精确； 3.解直角三角形时，应求出所有未知元素。
B a
A
思考：利用上面这些关系，必须已 知几个元素，才能求得其余元素呢？
b
C
两个角 两条边
× 两个元素(至少一个是边)
√ 一边一角 √
，
由直角三角形中已知的元素求出未知元素 的过程，叫做解直角三角形．
精讲点拨
例1 在Rt△ABC 中，已知∠C=90°，a = 17， c＝ 34．解这个直角三角形
分析：这是已知直角三角形的两边解直角三角形的问题．
（1）边之间的关系 （2）角之间的关系 （3）边角之间的关系
b
c
a b c
2 2
2
C （勾股定理）
a
B
∠A＋∠B＝90°
a sin A cos B , c
b cos A sin B , c
《解直角三角形》教学PPT课件【青岛版九年级数学上册】
c 62.5 A 1615'37''. B 90 A
90 1615'37'' 7344'23''.
例题分析
例2 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5. 解这个直角三角形 .
(3)边角之间的关系:
sin A a , cos A b ,
c
c
tan A a . b
由直角三角形中的已知元素,求出所 有未知元素的过程,叫做解直角三角形.
B
c a
A
b
C
例题分析
例1 在Rt△ABC中，已知∠C=90°，a=17.5，
c= 62.5.解这个直角三角形. 解： a2 b2 c2 ,
如图，在△ABC中，∠ACB=90°， BC=15cm，∠BAC=30°，∠DAC=45°， 求AD.
A
B
C
D
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C
的对边分别是a，b，c.且a+b=4 ，sin A 2 ， 解
这个直角三角形.
2
在山脚C处测得山顶A的仰角为450.沿着坡角为 30 °的斜坡前进300米到达D点，在D点测得山 顶A的仰角为600 ，求山高AB.
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°－∠A=90°－30°=60°.
a
∵sinA=
∴c= a
c
，
5
10.
sin A sin 30
∵ tan B b ， a
∴ b=a·tanB=5 ·tan60°= 5 3 .
青岛版-数学-九年级上册- 解直角三角形的应用(1) 教学设计 (2)
解直角三角形的应用教学目标1.掌握仰角、俯角概念；2.在用解直角三角形的知识解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学数学、用数学的意识和能力.教学重点与难点将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间关系进行解题.教学过程一、知识回顾1.解直角三角形定义；2.解直角三角形用到哪些边角关系？3.如果知道直角三角形的几个元素就可以求其他的元素？有几种情况？二、探究新知（一）新课导入上海东方明珠塔于1994 年10 月1 日建成，在各国广播电视塔的排名榜中，当时其高度列亚洲第一、世界第三．与外滩的“万国建筑博览群”隔江相望．在塔顶俯瞰上海风景，美不胜收．为了测量东方明珠塔的高度，小亮和同学们在距离东方明珠塔200m处的地面上，安放高1.20米的测角仪支架，测得东方明珠塔顶的仰角为‘4860︒.根据测量的结果，小亮画出了一张示意图，其中AB表示东方明珠塔，DC为测角仪支架，DC=1.20m，CB=200m，‘4860︒=∠ADE.利用上述数据，能测出东方明珠塔的高度来吗？（二）概念学习1．概念辨析在测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.在仰角和俯角这两个概念中，必须强调是视线与水平线所夹的角，而不是视线与铅垂线所成的角.小资料：简易测倾器制作为了测量仰角和俯角，如果没有专门的仪器，可以自制一个简易测倾器．如图所示，简易测倾器由铅锤、度盘、支杆和螺检四部分组成，你能与同学合作制作一个简易测倾器吗？试一试．（三）例题分析学生分组讨论以下问题：（1）找出题目中的已知量，未知量，并在图中标示出来。
（2）列出能求出俯角的ABC∆的边角关系。
（3）写出解答过程，同桌互查互纠。
水平线视线视线︶仰角︶俯角铅垂线α:坡i=hl度hl学生分组讨论以下问题：（1）找出题目中的已知量，未知量，并画图中标示出来。
（2）列出能求出AD.AB 的ABC ∆的边角关系。
青岛版初中数学解直角三角形(1)教学案
9．4解直角三角形（一）【教师寄语】：方法是解决问题的手段，掌握一种好的方法会让你受益无穷。
【学习目标】：1、知道直角三角形中五个元素的关系和解直角三角形的概念。
2、会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角比解直角三角形。
3、通过解直角三角形的学习，培养分析问题，解决问题的能力，渗透数形结合的思想。
【重点】：解直角三角形的方法【难点】：三角比在解直角三角形中的灵活运用。
【学习过程】： 一、快乐预习：1、在Rt ∆ABC 中共有几个边元素？几个角元素？请分别写出来。
2、如图，在Rt ∆ABC 中，∠C =︒90，a ，b ，c ，∠A ，∠B 五个元素之间有哪些等量关系呢？ （1）角之间的关系： （2）边之间的关系： （3）角与边之间的关系：3、在Rt △ABC 中，∠C =︒90。
（1） 已知∠A ，∠B ，能求出其它的三个量a ，b ，c 吗？ （2） 已知两条边的长，能求出其它的三个量吗？（3） 已知一角和一边，能求出其它的三个量吗？ 你有什么发现？ 二、合作探究：（1）在Rt ∆ABC 中，已知∠C =︒90，a =17.5，c =62.5。
解这个直角三角形。
（2）在Rt ∆ABC 中，已知∠C =︒90，c =128，∠B =︒52。
解这个直角三角形（边长精确到0.01）。
b三、拓展提高：1、你能概括出什么是解直角三角形吗？解直角三角形时，为什么两个已知元素中至少有一条边？2、直角三角形的解法可以归纳为哪几种情况。
3、在Rt ∆ABC 中，已知∠C =︒90。
（1）已知c =15，∠B =︒60，求a ； （2）已知∠A =︒35，a =24，求b ，c 。
4、如图，已知Rt ⊿ABC 中，斜边BC 上的高AD =4，cosB =54,求AC 的长。
B5、如图，⊿ABC 中，∠C =900，∠B =300，AD 是⊿ABC 的角平分线，若AC =3,求线段AD 的长。
青岛版九年级上册数学《解直角三角形》
《解直角三角形》（第1课时）教案 探究版教学目标 知识与技能1．掌握直角三角形中角与角（两锐角互余）、边与边（勾股定理）、角与边（锐角三角比）之间的关系．2．已知直角三角形的两个元素（至少一个是边），会解直角三角形． 过程与方法通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角比解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．情感与态度渗透数形结合的数学思想，培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯． 教学重点直角三角形的解法． 教学难点锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用． 教学过程 一、情景导入 教师用多媒体出示：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，CBA（1）若AC =h ，BC =l ，你能求出AB 及∠B 吗？ （2）若AC =h ，∠B =α，你能求出AB 及BC 吗？师生活动：师出示问题后，让学生分组讨论尝试求解． 师在学生充分讨论后，给出结论： （1）ABsin ∠B=ACAB=再利用计算器即可求出∠B ；（2）AB =sin sin AC h αα=，BC =tan tan AC hαα=．设计意图：通过具体的问题，引发学生解直角三角形的思考，为引出本节课的内容做好铺垫．二、探究新知 观察与思考（1）在Rt △ABC 中（如图所示），∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ．除直角C 已知外，你会用含有这些字母的等式把其他5个元素之间的关系表示出来吗？与同学交流．c a CB A师生活动：教师引导学生观察示意图，启发学生利用三角比的知识把除∠C 之外的5个元素之间的关系表示出来．最后把学生说出的等式按“角”、“边”、“角与边”加以分类，并进行总结．师总结如下：①角之间的关系：∠A +∠B =90°； ②边之间的关系：222a b c +=； ③角与边之间的关系：sin A =a c ，cos A =bc ，tan A =ab． （2）观察上面的三组等式，你发现在直角三角形中，除直角以外，至少知道几个元素就可以求出其他的未知元素？师生活动：教师应引导学生通过思考和交流，理解在直角三角形中，除直角外知道其中的两个元素（至少一个是边），就可以求出其他三个未知元素，由此引出解直角三角形的概念．在讲解“除直角外知道其中的两个元素（至少一个是边），就可以求出其他三个未知元素”时师可让学生仔细观察②③两组等式，并重点讲解：（1）在②③两组等式中，每个等式中都含有三个量．如果已知其中的两个量，则第三个量可由相应的等式求出，其中②中，三个量都是边，③中的三个量有一个是角，另外两个是边，因而在已知的两个元素中，至少有一个元素是边．“至少有一个”的含义是或者其中一个元素是边，或者两个元素都是边，因此，解直角三角形问题可分为两类：已知两边（两条直角边或一直角边和斜边）解直角三角形，已知一边一锐角（一直角边和对角、一直角边和邻角、斜边和一锐角）解直角三角形．（2）解直角三角形两类问题的理论依据：已知直角三角形两边，根据基本事实“边角边”及“HL”定理，直角三角形被唯一确定，故它的未知元素可求；已知直角三角形一边和一锐角，根据基本事实“角边角”或“角角边”定理，直角三角形也被唯一确定，故它的未知元素可求．师在学生总结的基础上给出解直角三角形的定义：由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．设计意图：通过学生的分组讨论和尝试，提高学生分析问题、归纳结论的能力，为后面的例题讲解做好理论上的铺垫．三、例题精讲例1 在Rt△ABC中，已知∠C=90°，a=17.5，c=62.5．解这个直角三角形．师生活动：师可以让学生独立分析问题，在学生分析的基础上引导学生采用多种方法解决此例．解：方法1 因为a2+b2=c2，所以60b=．由sin A=17.562.5ac==0.28，得∠A≈16°15′37″．所以∠B=90°－∠A=90°－16°15′37″=73°44′23″．方法2因为a2+b2=c2，所以60b=．由tan A=17.560ab=≈0.29，得∠A≈16°15′37″．所以∠B=90°－∠A=90°－16°15′37″=73°44′23″．方法3因为a2+b2=c2，所以60b=．由sin B=6062.5bc==0.96，得∠B≈73°44′23″．所以∠A=90°－∠B=90°－73°44′23″=16°15′37″．设计意图：例1是已知直角三角形的两边解直角三角形的问题.解决的方法有很多，通过本例使学生明确解直角三角形时方法的多样性，培养了学生开放性思维的能力．例2 在Rt△ABC中，已知∠C=90°，c=128，∠B=52°．解这个直角三角形（边长精确到0.01）．师生活动：（1）本例是已知直角三角形的一边和一锐角解直角三角形的问题．在本例的基础上，师可以进一步提出问题“如果已知直角三角形的一条直角边和一个锐角，如何解直角三角形？”在此基础上，师引导学生归纳出解直角三角形的通法．（2）通过本例，师引导学生探求出选择边角关系解直角三角形的两条原则：一是应当选择直接应用题目中已知条件的等式；二是应当尽量选择便于计算的等式．为此应让学生熟悉直角三角形中边角关系式的变形，如由sin A=ac，变形为a=c•sin A，c=sinaA等．解：在Rt△ABC中，由∠C=90°，∠B=52°，得∠A=90°－52°=38°．由sin B=bc，得b=c•sin B=128•sin52°≈100.87；由cos B=ac，得a=c•cos B=128•cos52°≈78.80．规律方法解直角三角形的类型和解法角形的不同类型和相应的解法，为后面的学习做好铺垫．四、课堂练习1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，c=2，则a=______，b=_______．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，c=2，b=1，则a=_______，∠B=______．3．在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）已知c=39，b=36，求a和∠B（精确到1′）；（2）已知a=22.5，b=12，求∠A和∠B（精确到1′）．4．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，a=12，b=24，解这个直角三角形．5．在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）已知c=15，∠B=60°，求a；（2）已知∠A=35°，a=24，求b，c．参考答案：1．1230°．3．（1）a=15，∠B≈67°23′；（2）∠A≈61°56′，∠B≈28°4′．4．c=A≈26°33′54″，∠B≈63°26′6″．5．（1）7.5；（2）b≈34.28；c≈41.84．设计意图：通过练习熟悉解直角三角形的不同类型，巩固解不同类型直角三角形的方法．五、课堂小结1．理解直角三角形中角与角、边与边、角与边之间的关系．2．知道什么是解直角三角形．3．会区别解直角三角形的不同类型，并会选用相应的方法解直角三角形．设计意图：通过课题小结，使学生加深对解直角三角形的理解，增强学生学习的目标性，增强学生解直角三角形的能力．六、目标检测：1．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（）．A．tan=⋅D．sinc a A=⋅b a Aa c B=⋅C．cos=⋅B．sinb c A2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，则b=______，c=_______．3．在△ABC中，∠C=90°，试根据下表中给出的两个数值，填出其他元素的值：4．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，根据下列条件，解直角三角形：（1）AC BC（2）∠A=22.5°，b=12．5．如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠B=30°，CDCA⊥AB，求AD和BC的长度．参考答案：1．C．2．8．3．（1）2，，30°；（2）3，，45°；（3）10，60°，30°；（4）6，45°，45°．4．（1）AB=A=60°，∠B=30°；（2）∠B=67.5°，a≈4.97，c≈12.99．5．AD=9，BC=36．设计意图：通过练习进一步巩固解直角三角形的能力．。
解直角三角形-青岛版九年级数学上册教案
解直角三角形-青岛版九年级数学上册教案
一、教学目标
1.了解直角三角形的基本概念和定理；
2.掌握利用三角函数（正弦、余弦、正切）求解直角三角形的方法；
3.解决直角三角形的实际问题。
二、教学重难点
1.理解三角函数的概念和性质；
2.掌握求解应用题的方法。
三、教学内容和学生活动
1. 直角三角形的定义
学生通过PPT介绍、教师讲解及类比了解直角三角形是什么，并掌握直角三
角形的性质和基本概念；
•定义：一个三角形的其中一个角是90度，则称这个三角形为直角三角形；
•性质：直角三角形的对边为斜边，斜边的两个端点为直角和对角。
•基本概念：斜边、底边、高、角度符号等。
2. 特殊角的三角函数值
学生可以通过PPT演示、动画、练习等方式重点掌握以下角度的三角函数值：0度、30度、45度、60度、90度。
3. 三角函数的概念
•定义：在直角三角形中，正弦值、余弦值、正切值是一个角的三角比，分别表示为sin、cos、tan。
•性质：三角函数值的范围与特点。
4. 三角函数的计算方法
学生通过举例、练习等方式，使用计算器和三角函数表，掌握三角函数的计算方法。
5. 应用题例解
教师通过例题解析的方式，帮助学生理解掌握直角三角形应用题的解法，以确保学生可以应用所学知识解决实际问题。
四、教学方法
1.讲述
2.PPT演示
3.线上互动练习
五、学习评价
1.课堂小测验；
2.作业练习；
3.课后测试。
六、教学后记
通过互动形式将知识点梳理完整并同步，结合实际应用情景，丰富教学方式，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
解直角三角形课件青岛版数学九年级上册(1)
AC
2
由 cos A AD ,得 AD AC cos A 20 cos 60 20 由∠B=45o, CD 10 3 ,得 BD CD 10 3
所以 AB AD DB 10 10 3
跟踪练习
1.在Rt△ABC中,∠C=90o,AC= 2 ,BC = 6 ,解这个
1 30
A 12 4 3
B
CAB 21 60
AB AC 12 cos CAB
BC AC tan CAB 6 3
2.在ABC中,D为BC边上一点,BD 6,AD 14,
CD 12,ACD的面积为30 3,求AB的长
解:如图,作AE CB,交CB的延长线于E, A
1
SACD
CD 2
例2. 在Rt△ABC中，已知∠C=90o,c=128, ∠B=52o.
解这个直角三角形(边长精确到0.01)．
解:在Rt△ABC中，由∠C=90o，∠B=52o，
得∠A=90o-∠B=90o-52o=38o
由 sin B b ，得: b c sin B 128 sin 52 100.87
由
cos
B
ac
c
，得:
a
c
cos
B
128
cos
52
78.80
例3.如图, 在△ABC中,已知∠A=60o,∠B=45o, AC=20.
求AB的长． 解：过点C作CD⊥AB,垂足为点D.
在Rt△ACD中, AC=20,∠A=60o.
由 sin A CD ,得 CD AC sin A 20 sin 60 20 3 10 3
3
3
如图,在△ ABC中,∠A=30o,tanB= 23,AC=2 ,求AB.
青岛版九年级数学上册《第2章解直角三角形》教案设计
-8-
教学目标
【知识与能力】 了解仰角、俯角、方位角、坡角的概念． 【过程与方法】 能根据题意及测量术语绘出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 【情感态度价值观】 认识数学与生产生活的联系，培养数学的应用意识，激发学习的兴趣和求知欲望．
教学重难点
【教学重点】 将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实 际问题解决． 【教学难点】 学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．
-2-
注意：1、sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体；
2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF
3、sinA是线段之间的一个比值；sinA没有单位.其他类同.
讨论：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？
3、尝试练习：
B
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求．∠A、∠B的三个三角比值
教学重难点
【教学重点】 了解直角三角形中锐角三角比的概念. 【教学难点】 会求直角三角形中锐角的三角比.
课前准备
பைடு நூலகம்多媒体课件
教学过程
一、新课导入：
操场里有一个旗杆，小明去测量旗杆高度.小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部， 视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了.你想知道 小明怎样算出的吗？
课前准备
多媒体课件
教学过程
一、寻疑之自主学习 1．仰角：如图 1，从低处观察高处时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角． 2．俯角：如图 1，从高处观察低处时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角． 3．方向角：如图 2，点 A 位于点 O 的北偏西 30°方向；点 B 位于点 O 的南偏东 60°方向．
青岛版初中数学九年级上册《解直角三角形(1)》教学案
青岛版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！青岛版初中数学和你一起共同进步学业有成！2.4 直角三角形（1）学习目标：能利用直角三角形中的边、角关系解直角三角形.学习重点：了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形。
学习难点：灵活选择适当的边角关系式.☆ 预习导航 ☆一、链接：如图，Rt △ABC 中共有六个元素（三个角、三条边），其中∠C=90°，那么其余五个元素（三边a 、b 、c ，两个锐角A 、B ）之间有怎样的关系呢？ 填一填：（1）三边之间的关系： ；_____22=+b a（2）两锐角之间的关系：∠A + ∠B = _____； （3）边角之间的关系： sinA =,cosA =,tanA =. 二、导读：阅读课本49到51 页，并思考以下问题：1．解直角三角形的定义。
任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出末知元素的过程（已知的两个元素中，至少有一个是边），叫做解直角三角形。
2．解直角三角形的所需的工具。
如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°， 其余5个元素之间有以下关系：(1)两锐角互余∠A ＋∠B ＝ (2)三边满足勾股定理a 2＋b 2＝(3)边与角关系sinA ＝ ＝， a c cosA ＝sinB ＝，tanA ＝，tanB ＝。
bc☆合作探究☆1. 在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a=，b=，解这个三角形．33☆归纳反思☆填写下表：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a ,b , c.已知条件已知条件解法一条直角边和一个锐角（a, ∠A）一边一角斜边和一个锐角（c,∠A）两条直角边（a,b）两边斜边和一条直角边（a ,c）提醒：在解直角三角形时，结合已知条件，选择合适的解法（尽量不使用除法计算），可使运算简便。
青岛版九年级上册数学《解直角三角形》PPT教学课件
解： 如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝1， ∴AD＝AB·
2， 42 2
. 44
∴BD＝
AB2 AD2
12
2 2 4
14 , 4
CD＝ AC 2 AD2
(1)a=7.5 (2)b=34.3, c≈41.8
1.直角三角形的边角关系：
（1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °；
（2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ;
（3）角与边之间的关系：
a ，co
c
b
c，
a b
2. 如果知道直角三角形的几个元素就可以求其他的
元素？有几种情况？
两个元素(至少一个是边) 两条边或一边一角
b a
,
∴a
b tanB
20 tan35
28.6.
∵ sinB
b c
,
∴c
b sinB
20 sin35
34.9.
还有别的 解法吗？
总结
在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果 再知道一条边和第三 个元素，那么这个三角形的所有元 素就都可以确定下来.
例5 在R
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
在R
BC
AB cosB
2 1
4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
3.在R
12
5
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精
青岛版数学九年级上册-第二章 解直角三角形 精讲课件
解：（1）在Rt△ABC 中，∠C=90°,∠A=60°
∴ ∠A=30°
∵c=20
∴a=c·sinA=20×sin60°= 10 3
b=c·cosA=20×cos60°=10
（2）在Rt△ABC 中，∠C=90°,∠A=30°
∴∠B=60°
∵b=12 ∴a=b·tanA=12×tan30°=4 3
c=
2
= 10 ·
在Rt△BCD中，∵∠B=45°∴BD=CD=10
AB = AD DB =1010 3
解直角三角形在其它图形中的应用：
例、如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都
在边长为1的小正方形顶点上，则tan∠ACB=（ B）
A. 2 B. 1 C. 2 D.3
3
3
2
A
B
C D
b cos A
=
12 cos 30
=8
3
例2 在Rt△ABC 中，已知∠C=90°，a = 17.5 ，c＝62.5 ．
解这个直角三角形.
B
解：a2 b2 = c2
A
b
C
a
∴ b = c 2 a2 = 63 .52 17 .5 2 = 60 .
由 sin A = a = 17 .5 = 0.28, 得 A = 16 °15'37". c 62.5
由 cos
B
=
a c
,得a
=
c
·cos
B
= 128
·cos
52 °=
78 .80
在Rt△ABC中，∠C=90°。根据下列每小题中所给条件，说
出计算时采用哪个公式？
1. 已知a 、b 求c
《解直角三角形》PPT课件 (公开课获奖)2022年青岛版 (2)
解： 因为函数过A〔－1 ,0〕 ,B〔1,0〕两点 ： 所以设所求的二次函数为y =a(x＋1)(x－1y〕
由条件得： 点M( 0,1 )在抛物线上
x o
所以：a(0 +1)(0 -1) =1
得： a = -1
故所求的抛物线表达式为 y = - (x＋ 1即)：(xy -=1－) x2 +1
解直角三角形〔1〕
学习目标
直角三角形的两个元素〔至||少一边〕 会解直角三角形 .
知识回忆
A
在直角三角形中 ,我们把两个锐角、三条边
称为直角三角形的五个元素. 图中∠A ,∠B ,a ,b ,c即为直角三角形
b
c
的五个元素.
Ca
B
知识回忆
A
在直角三角形中 ,我们把两个锐角、三条边
称为直角三角形的五个元素. 图中∠A ,∠B ,a ,b ,c即为直角三角形
解： 设所求的二次函数为 y =ax2 +bx +c y
将A、B、C三点坐标代入得：
a -b +c =6
16a +4b +c =6 9a +3b +c =2
ox
解得：
a =1, b = -3,
c =2
所以：这个二次函数表达式为：
y =x2 -3x +2
封面 例题
例题选讲
例 3 已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）ຫໍສະໝຸດ 封面 例题小组探究
1、二次函数对称轴为x =2 ,且过〔3 ,2〕、〔 1,10〕两点 ,求二次函数的表达式 .
解：设y =a(x -2)2 -k
2、二次函数极值为2 ,且过〔3 ,1〕、 〔 -1,1〕两点 ,求二次函数的表达式 .
(青岛版)九年级上册数学第二章《解直角三角形》教案：解直角三角形
教学顺序
能用锐角三角函数解直角三角形 直接存在直角三角形的解法 三角函数在解直角三角形中的灵敏运用 指点探求、协作交流 教具 学具 三角板
教员活动
先生活动
激
1、三角比的表示方法
情
导
入
认
出示学习目的
定
目
标
先生口答
终身口述目的， 其他生静听、体会
自学导航
快速高效阅读
派代表说明应用那 两个量可求另外三 个量。
师生互动
1、 在 Rt△ABC 中，∠C＝900,a＝12，c＝24，
解这个直角三角形。
1 题 5 号生板演完
成
拓
2〔1〕题 4 号生板
展
2 在 Rt△ABC 中，∠C＝900，
演完成
应
（1） c＝15，∠B＝600，求 a；
2〔2〕题 3 号生板
用
（2） ∠A＝300，a＝24，求 b，c
演完成
1、2 号生点评、互
改
各组针对出现效果
讨论、剖析
小结：指点生小结
生回忆浅谈收获
板书 课题 设计
2.4 解直角三角形 自学导航
教学 反思
板演
板演
板演
知识单一先生掌握的较好，能灵敏运用。但是边角之间转化先生灵
敏运用不太好。
自
1、在 Rt△ABC 中，共有六个量，三条边
主
a，b，c，三个角∠A，∠B，∠C，其中∠C 是 思索
探
的，其它的五个量都是未知的。
究
（1） ∠A，∠B，能求出其它的三个量 a，b， 探求
c 吗？
（2） 两条边的长，能求出其它的三个量吗？ 试写出解答格式
（3） 一角和一边，能求出其它的三个量吗？
初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料2.4.1解直角三角形1
初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料
课题：解直角三角形（第一课时）
【学习目标】
1、阅读课本，说出什么是解直角三角形，以及解直角三角形的理论依据；
2、总结出解直角三角形的类型，培养数学抽象的能力；
3、与小组同学交流分享你解决解直角三角形问题的方法，。
【学习任务】
灵活运用恰当的方法来解直角三角形。
【学法指导】
先精读教材P49—P51，用红色笔进行勾画,找到解直角三角形所需要的最简条件，总结出解直角三角形的类型，完成导学案的问题。
【情境体验】
解直角三角形
活动1.在Rt△ABC 中，已知∠C = 90°，a = 30，c = 60。
解这个直角三
角形。
（结果保留根号）
【小结】这是已知直角三角形的斜边和一条直角边解决直角三角形的问题。
跟踪训练：在Rt△ABC中，已知∠C = 90°，a = 12，b = 24，解这个直角三角形。
（结果保留根号）
活动2.在Rt△ABC 中，已知∠C = 90°，c = 128，∠B = 60°. 解这个直角三角形。
（结果保留根号）
【小结】这是已知直角三角形的斜边和一锐角解直角三角形的问题.
跟踪训练：在Rt△ABC中，∠C = 90°。
（结果保留根号）
（1）已知c = 15，∠B = 60°，求a；
（2）已知∠A = 30°，a = 24，求b，c。
总结：由问题1与问题2，你能总结一下解直角三角形的两种情况以及解题思路吗？。
青岛版初中数学：解直角三角形(1) 学案
解直角三角形专题（1）【思维导图】关系 特殊锐角三角比解单直角三角形 斜三角形 1.填表：【题组训练】（1-4题/3分，5、6题/5分，总计22分） 得分：1. 在Rt △ABC 中, ∠C=90°，sinA=，则cosB 的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．2. 如图，在平面直角坐标系中，∠α的一边与x 轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点A （1，2），那么sinα的值为（ ）A ．2√55B ．12C ．2D ．√553.如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ∠ABC= .4．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，35A ∠=︒ ， 则直角边BC 的长是（ ）A ．sin35m ︒B ．cos35m ︒C ．sin 35m ︒ D ．cos35m︒5.计算：12cos30°+√22cos45°+sin60°∙cos60°6.在Rt △ABC 中,∠C=90°，如果AB=10,BC=5,求∠A 及AC 的长.【能力提升】（每题6分,总计18分） 得分：1.如图，在△ABC 中，已知∠A=45°，∠B=60°，BC=20，求AB 的长.sinA = sinB = cosA = cosB = tanA =tanB =解直角三角形变式:如图，在△ABC中，已知∠A=45°，∠B=75°，BC=20，求AB的长.▲2. 已知，在△ABC中，AC=1,BC＝2，∠BCA＝135°，求tan A的值．归纳：解斜直角三角形作辅助线的标准：【当堂检测】（每题3分，共计12分）得分：1．已知α是锐角，sinα＝cos60°，则α等于（）A．30° B．45° C．60° D．不能确定 2．如图所示，A，B，C，D均在正方形网格中的格点上，∠BAD,∠CAD 分别用α和β表示．下列四个选项中正确的是（）A．sinα＝cosα B．sinα＝tanαC．sinβ＝cosβ D．sinβ＝tanβ3.在Rt△ABC中，∠B=90°，若2AB=AC,则cosC= .▲4．如图，在 ABC中，CA=CB=4，cosC=41,则tanB=（）A.210B.315C.46D.410【我的疑惑】知识点：计算类：【课后思考】已知，在△ABC中， BC＝2AC，∠BCA＝150°，求tan A的值．。
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b sin B c
b 20 20 c 35.1 sin B sin 35 0.57
你还有其他 方法求出c吗？
在Rt△ABC中，∠C=90°， 根据下列条件解直角三角形： （1）a=3,c= 3√2 （2）∠B=60°, b=3．
（1）b=3,∠A=∠B=45°
B
A
12
C
③cosA
④tanA
12 AC =_______ 13 AB = _______ BC 5 AC =_____=____ 12
5
探究
在图中的Rt△ABC中，
（1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角 三角形的其他元素吗？
B 能 6 α =75° A C
A B 90 B 90 A 90 75
太阳光线
A
10 3
30°
30 30 10 ° ° 5 3
60° 地面
B
10
C 5 D
2
C
6
A 60
B
B 90 A 90 60 30
AB 2 AC 2 2
如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这 个直角三角形（精确到0.1） 解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55° A
b tan B a b 20 20 a 28.6 tan B tan 35 0.70
B
c
温故知新
a b
A
C
a ∠ A 的对边 ∠ A的正弦：sinA = = 斜边 c ∠A的邻边 b = ∠A的余弦： cosA = 斜边 c a ∠A的对边 = ∠A的正切： tanA = ∠A的邻边 b
直角三角形
图 19.3.1
三边之间关系
a2+b2=c2（勾股定理） ∠A+∠B=90º
sin A A的对边 BC A的邻边 AC cos A 斜边 AB 斜边 AB
A的对边 BC A的邻边 AC
锐角之间关系
边角之间关系 (以锐角A为例)
tan A
练习: 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12, AB=13,则有 ①根据勾股定理得: 2-122 13 5 13 BC=_________=______ ②sinA
BC 5 AB 13 =_____=_____
C
a
b
c
B
解三角形。
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系
a b c
2 2
2（勾股定理）
A c
（2）两锐角之间的关系 （3）边角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
b
C
aLeabharlann BA的对边 a sin A 斜边 c
B的对边 b sin B 斜边 c
cos A
A B
140° C
E
cos BDE
BD
50° D
DE cos BDE BD
cos50 520 0.64 520 332.8
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树AB 与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长为 10m,请你求出大树的高. AB的长
B
AB 12, BC 6 3
如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要 在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取 ∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么开挖 点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到 0.1m ） 解： 要使 A、C、E在同一直线
上，则 ∠ABD是 △BDE 的一 个外角 ∴∠BED=∠ABD－ ∠D=90° DE
AC 2.4 cos A cos A 0.4 A 66 AB 6
α A 2.4
C
A B 90 B 90 A 90 66 24
解直角三角形
解直角三角形:在直角三角形中，
由已知元素求未知元素的过程解直角三角形．
A
事实上，在直角三角形的六个元素中， 除直角外，如果再知道两个元素（其 中至少有一个是边），这个三角形就 可以确定下来，这样就可以由已知的 两个元素求出其余的三个元素．叫可
=15°
BC sin A BC AB sin A 6 sin 75 AB AC cos A AC AB cos A 6 cos 75 AB
探究
在图中的Rt△ABC中， （2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6， 你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
B
能
6
AB2 AC 2 BC 2 BC AB2 AC 2 62 2.42 5.5
A的邻边 b 斜边 c
B的邻边 a cos B 斜边 c
A的对边 a tan A A的邻边 b
B的对边 b tan B B的邻边 a
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
解这个直角三角形
AC 2 , BC 6
A
解：
BC 6 tan A 3 AC 2
（2）a=√3 ,c= 6 ∠A=60°
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC 的平分线 AD 4 3 ，解这个直角三角形。
AC 6 3 解：cos CAD AD 4 3 2
A
CAD 30
因为AD平分∠BAC
6
C
4 3
D
CAB 60, B 30