杆件受力变形及其应力分析

第三章　杆件受力变形及其应力分析
§３－１　概 述
一、构件正常工作的基本要求
为了保证机器或工程结构的正常工作，构件必须具有足够的承受载荷的能力（简称承载能力）。

为此，构件必须满足下列基本要求。

１畅足够的强度例如，起重机的钢丝绳在起吊不超过额定重量时不应断裂；齿轮的轮齿正常工作时不应折断等。

可见，所谓足够的强度是指构件具有足够的抵抗破坏的能力。

它是构件首先应满足的要求。

图３－１　构件刚度不够产生的影响２畅足够的刚度在某些情况下，构件受载后虽未破裂，但由于变形过量，
也会使机械不能正常工作。

图３－１所示的传动轴，由于变
形过大，将使轴上齿轮啮合不良，轴颈和轴承产生局部磨损，
从而引起振动和噪声，影响传动精度。

因此，所谓足够的刚
度是指构件具有足够的抵抗弹性变形的能力。

应当指出，也有某些构件反而要求具有一定的弹性变形
能力，如弹簧、仪表中的弹性元件等。

３畅足够的稳定性例如千斤顶中的螺杆等类似的细长直杆，工作时当压力较小时，螺杆保持直线的平衡形式；当压力增大到某一数值时，螺杆就会突然变弯。

这种突然改变原有平衡形式的现象称为失稳。

因此，所谓足够的稳定性是指构件具有足够的保持原有平衡形式的能力。

上述的基本要求均与构件的材料、结构、截面形状和尺寸等有关。

所以，设计时在保证构件正常工作的前提下，还应合理地选择构件的材料和热处理方法，并尽量减小构件的尺寸，以做到材尽其用，减轻重量和降低成本。

二、变形固体及其基本假设
自然界中的一切物体在外力作用下或多或少地总要产生变形。

在本书第二章中，由于物体产生的变形对所研究的问题影响不大，所以在该章中把所有物体均视为刚体。

而在图３－１中，如果轴上任一横截面的形心，其径向位移只要达到０畅０００５l （l 为轴的支承间的距离），尽管此时构件变形很小，但该轴已失去了正常工作的条件。

因为这一微小变形是影响构件能否正常工作的主要因素。

因此，在本章中所研究的一切物体都是变形固体。

在对构件进行强度、刚度和稳定性的计算时，为了便于分析和简化计算，常略去变形固体的
·
75·
一些影响不大的次要性质。

为此，就需对变形固体作如下的假设：１畅均匀连续假设认为构成变形固体的物质毫无空隙地充满其整个几何容积，并且各处具有相同的性质。

２畅各向同性假设认为材料在各个不同的方向具有相同的力学性能。

实践证明，根据上述假设所建立的理论和计算的精度是符合工程要求的。

即使将上述假设用于或有条件地用于某些具有方向性的材料（如轧钢、木材等），也可得到令人满意的结果。

三
、杆件变形的基本形式
图３－２　杆件在机器或工程结构中，构件的形式是多种多样
的，若构件的长度远大于横截面的尺寸，则该构件称
为杆件或杆。

轴线（横截面形心的连线）是直线的杆
称为直杆（图３－２ａ）；轴线是曲线的杆称为曲杆（图３－２ｂ）。

各横截面的形状、尺寸完全相同的杆称为
等截面杆（图３－２ａ），否则为变截面杆（图３－２ｂ）。

工程上比较常见的是等截面直杆，简称等直杆，例如
传动轴、销钉、拉紧的钢丝绳、立柱和梁等。

本章以
等直杆为主要研究对象。

杆件在不同形式外力作用下将产生不同形式的
变形，其中轴向拉伸（图３－３ａ）或压缩（图３－３ｂ）、
剪切（图３－３ｃ）、扭转（图３－３ｄ）与弯曲（图３－３ｅ）是变形的四种基本形式。

其他比较复杂的变
形都是上述几种基本变形的组合。

图３－３　杆件变形的基本形式
·
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§３－２　轴向拉伸和压缩
一、轴向拉伸和压缩的概念
机器和结构物中，很多构件受到拉伸或压缩的作用。

例如图３－４所示悬臂吊车的拉杆、图３－５所示内燃机的连杆，即是杆件受拉伸或压缩的实例。

图３－４　悬臂吊车图３－５　内燃机
这些受力构件的共同特点是：外力（或外力的合力）的作用线与杆的轴线重合。

其主要变形为轴向伸长或缩短（图３－３ａ、ｂ），这种变形形式称为轴向拉伸或压缩，此类杆件称为拉（压）杆。

二、拉伸和压缩时的内力、截面法和轴力
１畅内力的概念
对于所研究的构件来说，其他构件或物体作用于其上的力均为外力。

构件在外力作用下而变形时，其内部各质点之间的相互作用力发生了改变。

这种因外力作用而引起的构件内各质点之间的相互作用力的改变量，称为附加内力，简称为内力。

在一定限度内，内力随外力的增大而增加。

若内力超过了这一限度，则构件将被破坏。

因此，为使构件安全正常地工作，必须研究构件的内力。

２畅截面法和轴力
图３－６所示为一拉杆。

为了确定任一横截面m—m上的内力，假想沿该截面将杆截开成两段。

若弃去右段，保留左段来研究（图３－６ｂ）。

这时，由于左段仍保持平衡，所以在截面m—m 上必然有一个力F（连续分布内力的合力）的作用，它是杆件右段对左段的作用力，是一个内力。

由平衡条件可得
FＮ＝F
若取杆件右段来研究（图３－６ｃ），其结果相同。

若杆件为压杆，仍可得出上述结论。

轴向拉
·95·
伸或压缩时，横截面上的内力F 是一个沿杆件轴线的力，故称为轴力。

显然，轴力可以是拉力（图３－６），也可以是压力。

为便于区别，规定：拉力以正号表示，压力以负号表示。

图３－６　截面法求轴力
综上所述，应用截面法求内力的步骤是：１）在欲求内力的截面处，假想地将杆件截成两
段。

２）留下任一段，在截面上加上内力，以代替弃去
部分对它的作用。

３）运用平衡条件确定内力的大小和方向。

【例3－1】　图３－７ａ所示为一杆沿轴线同时受力F １、F ２、F ３的作用，其作用点分别为A 、C 、B 、求杆各
段的轴力。

解　由于杆上有三个外力，因此在AC 段和BC
段
的横截面上将有不同的轴力。

图３－７　轴受力分析
１）在AC 段内任一横截面１—１处将杆截成两段，取左段研究，将右段对左段的作用以内力F Ｎ１代替（图３－７ｂ）。

由平衡条件知F Ｎ１必沿杆的轴线，方向与F １的方向相反，为拉力。

并由平衡方程
钞X ＝０，F Ｎ１－F １＝０
得　F Ｎ１＝F １＝２ｋＮ
这就是AC 段内任一横截面上的内力。

２）在CB 段内任一横截面２—２处将杆截开，仍取左段研究。

此时因截面２—２上内力F Ｎ２的方向一时不易确定，可将F Ｎ２先设为拉力，如图３－７ｃ所示，再由平衡方程
钞X ＝０，F Ｎ２－F １＋F ２＝０得　
F Ｎ２＝F １－F ２＝（２－３）ｋＮ＝－１ｋＮ结果中的负号说明，该截面上的轴力方向与原设的方向相反，即F Ｎ２为压力，其值为１ｋＮ。

此即
CB 段内任一横截面上的内力。

以上的计算都是选取左段研究，如果选取右段为研究对象，可得到同样的结果。

三、应力的概念、拉（压）杆横截面上的应力
１畅应力概念
在确定了拉（压）杆的内力后，还无法判断杆件的强度是否足够。

例如两根材料相同而粗细不同的拉杆，在同样拉力的作用下，它们的内力相同。

但当拉力逐渐增大时，细杆先被拉断。

·06·
这说明杆件的强度不仅与内力有关，而且还与截面的面积有关。

因此，就需要引入应力的概念。

应力用来描述杆件截面上的分布内力集度，即内力分布的强弱。

如果内力在截面上均匀分布，则单位面积上的内力称为应力。

应力的单位为Ｐａ（帕），１Ｐａ＝１Ｎ／ｍ２。

由于此单位较小，常用ＭＰａ（兆帕）或ＧＰａ（吉帕），１ＭＰａ＝１０６Ｐａ，１ＧＰａ＝１０９Ｐａ。

２畅拉（压
）杆横截面上的应力图３－８　拉伸应力为了研究拉（压）杆横截面上的应力，可先观
察实验现象。

现取一等直杆，在其表面画出许多
与轴线平行的纵线和与它垂直的横线（图
３－８ａ）。

在两端施加一对轴向拉力F 之后，可以发现所有纵向线的伸长都相等，而横向线仍保持
为直线，并仍与纵向线垂直（图３－８ｂ）。

据此现
象可设想杆件由无数纵向纤维所组成，且每根纵
向纤维都受到同样的拉伸。

由此可以得知：杆件
在轴向拉伸时横截面仍保持为平面，内力在横截
面上是均匀分布的，它的方向与横截面垂直。

即横截面上各点的应力大小相等，方向皆垂直于横截面（图３－８ｃ）。

垂直于截面的应力称为正应力，以σ表示。

若拉杆的横截面积为A ，则由以上分析可知，拉杆横截面上的正应力为
σ＝F ＮA （３－１）式中：F Ｎ———横截面的轴力，Ｎ；A ———横截面面积，ｍ２。

对于轴向压缩的杆件，上式同样适用。

由于前面规定了轴力的正负号，F Ｎ有正负之别：拉应
力为正，压应力为负。

四、材料在拉伸和压缩时的力学性质
由经验可知，两根粗细相同，受同样拉力的钢丝和铜丝，钢丝不易拉断，而铜丝易拉断。

这说明不同的材料抵抗破坏的能力是不同的。

因此，构件的强度与材料的力学性质有关。

所以除了要分析构件受力时的应力外，还应了解材料受力时的力学性质。

所谓力学性质，主要是指材料在外力作用下，变形与所受外力之间的关系。

它必须通过各种实验来测定。

下面介绍材料在常温、静载条件下拉伸和压缩时的力学性质。

这里的常温、静载，是指在室温下载荷由零逐渐缓慢地增加。

１畅拉伸试验和应力－应变曲线拉伸试验是研究材料力学性质最常用、最基本的试验。

为了使不同材料的试验结果便于比较，须将材料按国家标准制成标准试件（图３－９）。

试件的两端为装夹部分，标记m 、n 之间的等截面杆段为试验段，其长度L 称为标距，对圆截面试件规定L ＝１０d 或５d 。

d 为试件的直径。

试验时缓慢加载，随着轴向载荷F 的增加，试件被逐渐拉长，试验段的伸长量用ΔL 表示，试验进行到试件断裂为止。

在试验机上一般都有自动绘图装置，能自动绘出载荷F 与伸长ΔL 间的关系曲线（F －ΔL 曲线），称为试件的拉伸图。

低碳钢的拉伸图如图３－１０所示。

拉伸图既与材料的力学性质有关，又与试件的几何尺寸有关。

例如，如果试件做得粗一些，产生相同的伸长所需的拉力就大一些；如果试件的标距长一些，则在同样的拉力作用下，伸长也
·
16·
会大一些。

为了消除试件尺寸的影响，使试验结果能反映材料的性质，将拉力F 除以试件的原横截面积A ，以应力σ＝F ／A 来衡量材料的受力情况；将标距的伸长ΔL 除以标距的原有长度L ，以单位长度的变形（ΔL ／L ）
来衡量材料的变形情况。

图３－
９　拉伸试件图３－１０　低碳钢拉伸图
单位长度的变形称为正应变或线应变，用ε表示，即ε＝ΔL L
（３－２）
正应变是两个长度的比值，为量纲为一的量。

这样就将试件的拉伸图改为以正应力和正应变为坐标的曲线，称为应力－应变曲线或σ－ε曲线。

低碳钢Ｑ２３５的σ－ε曲线如图３－１１所示，
形状与拉伸图（图３－１０）相似。

图３－１１　低碳钢Ｑ２３５的σ－ε曲线２畅低碳钢在拉伸时的力学性质（１）拉伸试验过程的几个阶段低碳钢在工程上应用比较广泛，且拉伸试验时表
现出来的力学性质比较典型。

图３－１１所示为低碳钢Ｑ２３５的σ－ε曲线。

从图中可以看出，拉伸过程大致分为四个阶段。

１）弹性阶段　在OA 段内材料的变形是弹性的。

在该阶段内若将载荷卸掉，使正应力σ逐渐减小到零，相应的应变ε也随之完全消失。

卸掉载荷后能完
全消失的变形称为弹性变形，故称这一阶段为弹性阶段。

OA 为一直线，说明在该阶段内正应力和正应变ε成正比。

A 点所对应的应力称为材料的比例极限，以σｐ表示。

Ｑ２３５钢的比例极限
σｐ≈１９６ＭＰａ。

２）屈服阶段　超过比例极限后，在一个极小阶段内，虽然材料的变形仍然是弹性的，但是应力与应变不再保持线性关系。

当到达B 点时，图线出现一段接近水平线的小锯齿形线段（BC 段），此时应力几乎不增加，而应变却急剧增大，说明材料暂时失去了抵抗变形的能力，这种现象称为屈服。

BC 段称为屈服阶段。

屈服阶段内的最低应力称为屈服强度，用σｓ表示。

Ｑ２３５钢的屈服强度σｓ＝
２３５ＭＰａ。

材料屈服时，试件表面出现与试件轴线约成４５°的线纹，称为滑移线，如图３－１２所示。

３）强化阶段　经过屈服阶段后，曲线又开始上升，表明使材料继续变形需增大拉力，这种现·26·
象称为强化。

强化阶段的最高点D 所对应的应力，称为材料的强度极限，用σｂ表示，它是材料所能承受的最大应力。

Ｑ２３５钢的强度极限σｂ＝３８０ＭＰａ。

４）局部变形阶段　曲线过了D 点又向下弯曲，这是由于从D 点开始，在试件某一局部范围内，横截面显著收缩，产生所谓颈缩现象（图３－１３），使试件继续伸长所需的拉力逐渐变小，直到E
点试件被拉断。

图３－
１２　滑移线图３－１３　颈缩现象
综上所述，在拉伸过程中，材料经过了弹性、屈服、强化和局部变形四个阶段，存在三个特征点，其相应的应力依次为比例极限、
屈服强度和强度极限。

图３－１４　冷作硬化
如果将试件拉伸使其应力超过比例极限，例如在
强化阶段某一点F 逐渐卸载，此时应力应变关系将沿着与直线OA 近乎平行的直线FO １回到O １（图３－１４）。

这说明材料的变形已不能全部消失，其中一部分变形（弹性变形）消失了，残留下来的变形称为塑性变形。

在应变坐标中O １O ２表示材料的弹性应变，OO １表示材料的塑性应变。

如果卸载后再重新加载，则应力和应
变关系将沿着O １FDE 曲线变化直至断裂。

与同样材料
但未经卸载的应力－应变曲线相比，材料的比例极限将得到提高（σ′ｐ＞σｐ），而断裂时的残余变形则减小，这种现象称为冷变形强化或冷作硬化。

工
程上常利用冷作硬化来提高构件（如钢筋、钢丝绳等）在弹性范围内所能承受的最大载荷。

（２）材料的塑性材料能产生塑性变形的性质称为塑性。

工程上常用下列两个指标来衡量材料的塑性：
１）伸长率δ　以试件拉断后的相对伸长来表示，即δ＝L １－L L ×１００％（３－３）
式中，L 和L １分别为试件标距的原长和拉断后的长度。

２）断面收缩率ψ　以试件拉断后断面面积的相对收缩来表示，即ψ＝A －A １A ×１００％（３－４）式中，A 和A １分别为试件的原横截面积和断面面积。

δ和ψ的数值越大，说明材料的塑性越好。

工程上，通常将δ≥５％的材料称为塑性材料，如低合金钢、碳素钢、铜和铝等；将δ＜５％的材料称为脆性材料，如铸铁、混凝土、石料等。

Ｑ２３５钢的δ＝２０％～３０％，ψ＝６０％。

３畅其他材料拉伸时的力学性质其他塑性材料拉伸时的σ－ε曲线与低碳钢有类似之处，但也有显著的区别：有些塑性材料·
36·
（如锰钢、硬铝、退火球墨铸铁等）不像低碳钢有明显的屈服阶段。

对这些没有明显屈服阶段的塑性材料，国家标准规定，取对应于试件产生０畅２％的塑性应变时的应力值为其名义屈服强度，以σ０畅２表示。

脆性材料如铸铁和玻璃钢，受拉时直到断裂变形都很小，没有屈服阶段和颈缩现象，故没有屈服强度，而只有强度极限。

其σ－ε曲线如图３－１５所示。

由图中可以看出，铸铁的σ－ε曲线没有直线部分，不过在实用的应力范围内，曲线的曲率很小，常用直线（图中虚线）代替曲线，即应力与应变近似成正比。

４畅材料压缩时的力学性质为了避免试验时被压弯，金属材料压缩试件制成短圆柱形。

低碳钢压缩时的σ－ε曲线如图３－１６所示。

在屈服阶段以前，压缩曲线和拉伸曲线（图中虚线）基本重合，压缩时的屈服强度与拉伸时的屈服强度基本相同。

但是，随着载荷的增大，试件越压越扁，产生很大的塑性变形而不破裂，
故测不出压缩时的强度极限。

图３－１５　灰口铸铁、玻璃钢拉伸时的σ－
ε曲线图３－１６　低碳钢压缩σ－
ε曲线
图３－１７　铸铁压缩的σ－ε曲线
铸铁压缩时的σ－ε曲线如图３－１７所示，与拉伸时的σ－ε曲线类似，但是其强度极限远高于拉伸时的强度极限（约３～４倍），所以脆性材料宜用作受压构件。

铸铁压缩时的破裂断口与轴线约成４５°。

各种材料在拉伸和压缩时的力学性质可查阅有
关手册。

五、拉（压）杆的强度计算
１畅许用应力和安全系数由前述的试验知道：当应力达到强度极限σｂ时，会引起断裂；当应力达到屈服强度σｓ时，将出现显著
的塑性变形。

显然，构件工作时发生断裂或显著的塑性变形一般都是不允许的。

所以，σｂ和σｓ统称为材
料的极限应力。

对于脆性材料，因没有屈服阶段，断
裂时无明显变形，故以强度极限σｂ为极限应力；对于·46·
塑性材料，因σｓ＜σｂ，则通常以屈服强度σｓ为极限应力。

为了保证构件安全可靠地工作，应使其工作应力，即构件工作时由载荷引起的应力低于材料的极限应力，而且还要留有充分的余地。

这是因为载荷的估计难以准确，计算公式带有一定的近似性，材料也并不像假设的那样绝对均匀等因素的影响。

此外，构件工作时可能遇到意外的超载情况或其他不利的工作条件，要求构件需有必要的强度储备，以保证正常工作。

一般将极限应力除以大于１的系数n ，作为构件工作时所允许的最大应力，称为许用应力，以［σ］表示，系数n 称为安全系数。

对应于屈服强度σｓ的安全系数用n ｓ表示；对应于强度极限σｂ的安全系数用n ｂ表示。

因此，拉（压）杆的许用应力可由下列两式表示：
塑性材料　
［σ］＝σｓn ｓ（３－５）脆性材料　［σ］＝σｂn ｂ
（３－６）应该注意，脆性材料在拉伸和压缩时的强度极限是不相等的，故其许用拉应力和许用压应力也是不相等的。

安全系数取得过小，则构件的强度储备很小，构件工作的安全可靠程度低；若安全系数取得过大，构件工作时安全可靠程度高，但设计出来的构件尺寸过大，这不仅浪费材料，还会造成机器或结构物粗笨。

安全系数的确定取决于诸多因素，如构件的工作条件、制造工艺、载荷和应力计算的准确程度、材料的均匀性等。

各种材料在不同工作条件下的安全系数或许用应力值可从有关规范或设计手册中查到。

一般取n ｓ＝１畅５～２畅０；n ｂ＝２畅５～３畅０。

２畅拉（压）杆的强度条件为了保证拉（压）杆安全可靠地工作，杆内的实际工作应力不得超过材料的许用应力，即
σ＝F ＮA ≤［σ］（３－７）
上式称为拉（压）杆的强度条件。

应用此条件，可以进行下述三方面的强度计算。

（１）强度校核已知杆件的材料、截面尺寸及所承受的载荷。

应用式（３－７）可校核杆件是否满足强度要求。

若σ≤［σ］，则强度足够；若σ＞［σ］，则强度不够。

（２）设计截面尺寸已知杆件承受的载荷及材料的许用应力，把强度条件式（３－７）改写成
A ≥
F Ｎ［σ］由此可确定杆件所需的横截面面积，然后确定截面尺寸。

（３）确定许用载荷已知杆件的截面尺寸和材料的许用应力，可按式（３－７）计算杆件所允许的轴力为
F Ｎ≤A ［σ］从而确定构件或结构的许用载荷。

【例3－2】　图３－１８ａ所示发动机连杆用４０ＭｎＢ制成，［σ］＝２００ＭＰａ，A —A 截面面积最
小，其值为２１８畅９ｍｍ２，F ＝３８ｋＮ，试校核连杆的强度。

·
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解　如图３－１８ｂ所示，应用截面法和平衡条件求得A —A 截面上的轴力为
F Ｎ＝F ＝３８ｋＮ（压力）因连杆各横截面上的轴力相同，所以最大应力发生在横截面面积最小的A —A 截面，根据式
（３－１），其值为σ＝F ＮA ＝３８×１０３２１８畅９×１０－６Ｐａ＝１７３畅６×１０６Ｐａ＝１７３畅６ＭＰａ＜［σ］所以连杆强度足够。

【例3－3】　图３－１９ａ所示为一起重用吊环，其侧臂AB 和AC 各由一矩形截面的锻钢杆制
成，截面尺寸h ／b ＝３，材料的许用应力［σ］＝８０ＭＰａ，吊环的最大起重量F ＝１２００ｋＮ。

试确定锻钢杆的尺寸h 、b 。

图３－１８　发动机连杆图３－１９　起重吊环
解　用截面法沿两侧臂的横截面假想地截开，取上部分研究，其受力如图３－１９ｂ所示。

由于对称关系，两侧臂轴力相等，设为F Ｎ，则由平衡方程钞Y ＝０，F －２F Ｎｃｏｓα＝０得F Ｎ＝F ２ｃｏｓα式中
ｃｏｓα＝９６０９６０２＋４２０２＝０畅９１６２故
F Ｎ＝１２００２×０畅９１６２
ｋＮ＝６５５ｋＮ由式（３－７）得A ≥F Ｎ［σ］＝６５５×１０３Ｎ８０×１０６Ｎ／ｍ２＝８１８８×１０－６ｍ２＝８１８８ｍｍ２因A ＝hb ＝３b ２
，故３b ２≥８１８８ｍｍ２。

则b ≥５２ｍｍ·66·
取b ＝５２ｍｍ，则h ＝３b ＝１５６ｍｍ。

【例3－4】　图３－２０ａ所示支架，在节点B 处受铅垂载荷F 作用，试计算F 的最大允许值
［F ］。

已知杆AB 、BC 的横截面积均为A ＝１００ｍｍ２，许用拉应力［σ＋］＝２００ＭＰａ，许用压应力［σ－］＝１５０ＭＰａ。

解　１）取节点B 为研究对象并画出受力图（图３－２０ｂ
）由平衡方程
图３－２０　支架受力分析
钞X ＝０，F Ｎ２－F Ｎ１ｃｏｓ４５°＝０钞Y ＝０，F Ｎ１ｓｉｎ４５°－F ＝０解得杆AB 、BC 的轴力为
F Ｎ１＝２F （拉力），F Ｎ２＝F （压力）２）确定F 的最大允许值　根据式（３－７）可知F
Ｎ１≤A ［σ＋］将F Ｎ１代入上式得　２F ≤A ［σ＋］
故F ≤A ［σ＋］２＝
１００×１０－６×２００×１０－６２Ｎ＝１４畅１４×１０３Ｎ
同理，由式（３－７）可得F ＝F Ｎ２≤A ［σ－］＝１００×１０－６×１５０×１０６Ｎ＝１５×１０３Ｎ在求得的许用载荷的两个值中，应该取较小值，所以支架的许用载荷［F ］＝１４畅１４ｋＮ。

六、拉（压）杆的变形
杆件在轴向拉伸或压缩时，沿轴线方向伸长或缩短，与此同时，横向尺寸还会缩小或增大，前者称为纵向变形，后者称为横向变形。

如图３－２１所示，设杆件原长为L ，横向尺寸为b ，轴向受力后，杆长变为L １，横向尺寸变为b １，则杆的纵向绝对变形为
图３－２１　拉伸变形ΔL ＝L １－L 横向绝对变形为Δb ＝b １－b 下面主要研究纵向变形的规律。

由前面的实验可知：在比例极限内，正应力与正
应变成正比，即
σ∝ε引进比例系数E ，则σ＝E ε（３－８）此关系式称为胡克定律。

比例系数E 称为材料的弹性模量，其值随材料而异。

因正应变ε是一量纲一的量，所以弹性模量E 与正应力σ有相同的量纲。

E 的常用单位为ＧＰａ或ＭＰａ。

式（３－８）同样适用于轴向压缩。

由于σ＝F Ｎ／A ，ε＝ΔL ／L ，所以式（３－８）又可写成ΔL ＝F ＮL EA （３－９）
上式为胡克定律的变形形式。

·76·
由上式可以看出，弹性模量E 越大，杆的变形越小。

所以，弹性模量是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标。

同时还可以看出，对长度相等、受力相同的杆，EA 越大，杆的变形越小，所以EA 代表杆件抵抗拉伸（或压缩）的能力，称为杆件的抗拉（压
）刚度。

图３－２２　杆件受力分析【例3－5】　如图３－２２所示的杆件，材料的弹性模量
E ＝２００ＧＰａ，已知
F １＝２ｋＮ，F ２＝３ｋＮ，L １＝２畅５ｍ，L ２＝２ｍ，横截面积均为A ＝１０ｃｍ２，求杆的总伸长。

解　AB 段和BC 段的轴力分别为
F Ｎ１＝－１ｋＮ，F Ｎ２＝２ｋＮ由于杆两段的轴力不同，为了计算杆件的总伸长，需先
求出每段杆的轴向变形。

根据式（３－９）可知，AB 与BC 段的轴向变形分别为
ΔL AB ＝F Ｎ１L １EA ，ΔL BC ＝F Ｎ２L ２EA 所以，杆AC 的总伸长为ΔL ＝ΔL A B ＋ΔL B C ＝F Ｎ１L １EA ＋F Ｎ２L ２EA ＝F Ｎ１L １＋F Ｎ２L ２EA ＝－１×１０３×２畅５＋２×１０３
×２２００×１０９×１０×１０－４ｍ＝７５×１０－７ｍ＝７畅５×１０－３ｍｍ
§３－３　剪 切
一、剪切的概念
工程上一些连接件，例如常用的销（图３－２３）、螺栓（图３－２４）、平键等都是主要发生剪切变形的构件，称为剪切构件。

这类构件的受力和变形情况可概括为如图３－２５所示的简图。

其受力特点是：作用于构件两侧面上的横向外力的合力，大小相等，方向相反，作用线相距很近。

在这样外力作用下，其变形特点是：两力间的横截面发生相对错动，这种变形形式称为剪切。

发生相对错动的截面称为剪切面。

图３－２３　销的受力情况
二、剪切的实用计算
为了对构件进行剪切强度计算，必须先计算剪切面上的内力。

现以图３－２４ａ所示的螺栓为·
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图３－２４　螺栓受力情况
例进行分析。

当两块钢板受拉时，螺栓的受力如图３－２４ｂ所示。

若力F 过大，螺栓可能沿剪切面m —m 被剪断。

为了求得剪切面上的内力，运用截面法将螺栓沿剪切面假想截开（图３－２４ｃ），并取其中任一部分研究。

由于任一部分均保持平衡，故在剪切面内必然有与外力F 大小相等、方向相反的内力存在，这个内力称为剪力，以F Ｑ表示。

它是剪切面上分布内力的合力。

由平衡方程式钞F ＝
０得
图３－２５　剪切
F Ｑ＝F 剪力在剪切面上的分布情况是比较复杂的，工程上通常采用以试验、
经验为基础的实用计算法。

在实用计算中，假定剪力在剪切面上均匀分
布。

前面轴向拉伸和压缩一节中，曾用正应力σ表示单位面积上垂直于截
面的内力。

同样，对剪切构件，也可以用单位面积上平行截面的内力来衡
量内力的聚集程度，称为切应力，以τ表示，其单位与正应力一样。

按假定
算出的平均切应力称为名义切应力，一般简称切应力，切应力在剪切面上
的分布如图３－２４ｄ所示。

所以，剪切构件的切应力可按下式计算：
τ＝F ＱA （３－１０）式中：A ———剪切面面积，ｍ２。

为了保证螺栓安全可靠地工作，要求其工作时的切应力不得超过某一许用值。

因此，螺栓的
剪切强度条件为
τ＝F ＱA ≤［τ］（３－１１）式中：［τ］———材料许用切应力，Ｐａ。

式（３－１１）虽然是以螺栓为例得出的，但也适用于其他剪切构件。

实验表明，一般情况下，材料的许用切应力［τ］和许用拉应力［σ］有如下关系：
塑性材料
［τ］＝（０畅６～０畅８）［σ］脆性材料
［τ］＝（０畅８～１畅０）［σ］
三、切应变、剪切胡克定律
在构件的受剪部位，围绕A 点取一直角六面体（图３－２６ａ），将它放大如图３－２６ｂ所示。

剪切变形时，直角六面体左、右两侧面发生相对平行错动，直角六面体变成平行六面体，如图３－２６ｂ虚线所示，原来的直角改变了一微小角度γ，这个直角的改变量γ称为切应变，其单位一般为ｒａｄ（弧度）。

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