二次根式重点难点
二次根式中中考题错解示例
一、在取值范围上只考虑二次根式,不考虑分母 例1(2010·绵阳中考)要使
1
21
3-+
-x x 有意义，则x 应满足（ ）
(A)21≤x ≤3 (B)x ≤3
且x ≠2
1
(C)2
1
＜x ＜3 (D)2
1＜x ≤3
错解:选A.由3-x ≥0且2x -1≥0,可知x ≤3且x ≥12
,即12
≤x ≤3.
错解分析:错解在取值范围上死板地应用二次根式的性质,思维单一,不顾整体.只考虑到二次根式中被开方数的取值范围,不考虑分母,结果扩大了代数式的取值范围,造成了错解.
中,既要考
虑(2x -1)是被开方数,须使其值是非负数,又要考虑
,还
必须使2x -1不为0.综上可知2x -1＞0.
正解: 选D.由3-x ≥0且2x -1＞0,可知x ≤3且x ＞12,即12
＜x ≤3.
二、平方根与算术平方根的概念相混淆
例2（2010·济宁中考）4的算术平方根是（ ） （A ）2 （B ）－2 （C ）±2 （D ）4 错解: 选C.由()2
2±＝4,可知4的算术平方根是±2.
错解分析:错解对算术平方根和平方根的概念模糊不清,误以为一个正数的算术平方根有两个,它们互为相反数.事实上,一个正数的平方根有两个,且互为相反数.另外,正数的那个正的平方根叫算术平方根.因为4的平方根是±2,所以4的算术平方根是2.
正解:选A.
三、不会把非负因式移到根号里面
例3(2010·绵阳中考)下列各式计算正确的是（ ）
（A ）m 2 ·m 3 = m 6 （B ）
33
431163116=?= （C ）53232333=+=+ （D ）a a
a a a --=-?--=--111
)1(11)1(2（ɑ＜1）
错解: 选A.由23236m m m m ??==,可知选A.
错解分析:23235m m m m +?==,故选项A 错误.有些同学在D 选项中
不会把非负因式往根号里面移.在(a -中,使被开方数
11a
-＞0,
则必有分子、分母同号.由于分子1是正数,所以分母1-ɑ 必为正数.所以有隐含条件ɑ＜1.另外,要注意把根号外的因式往根号内移时,只有非负因式才能往里移.要把负因式ɑ-1往根号里面移,必须变形为-(1-ɑ),然后把括号前面的负号留在外面.把正因式1-ɑ加平方后移入根号里面.所以a a
a a a --=-?--=--111
)1(11)
1(2. 正解:选D.
四、不会比较根式的大小
例4（2010·天津中考）比较2
正确的是（ ） （A ）
2<（B ）2
（C
2<（D 2
错解: 选A.在2(
,因被开方数4＜5＜7,故2
错解分析: 错解在变形2
,比较被开方数4,5,7得到
错误答案A.实际上,
,由于它们不是同次根式,所以不
能直接利用被开方数比较大小.可以这样想,由于在变形2
,根指数2和3的最小公倍数是6,所以可把它们分别六次方:
()2
63
2264,
==6
=125,6
=49.由49＜64＜125,2
也可以把2
:2==
由49＜64＜125,2<<.
正解:选C.
五、不会利用二次根式的非负性
例5（2010·成都中考）若
,x y 为实数，且20x +，
则2
010()+x y 的值为___________．
错解:由
20
x +=,可知x +2与y-3互为相反数,即
x +2+y-3=0,于是()2 010 2 01011+==x y .
错解分析:考
ɑ≥0)的非负性,常与数的绝对值、2a 的性质一起出现.本题因为两个非负数的和为0,所以每一个非负数都为0,即|x +2|＝0,
0,解得x =-2,y=3,则()()
2 010
2 010
321+=-=x y .错
解虽然结果也恰巧是1,但解题过程是错误的.
正解:1.
六、对最简二次根式的条件掌握不牢
例6（2010·湛江中考）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
(A) ɑ1
2
(B) 4 (C) 3 (D)8
错解:选A.因为选项A中,1
2
的次数是1,小于根指数2,
是最简二次根式.
错解分析:最简二次根式要同时满足两个条件:⑴被开方数不含分母;⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.错解只考虑了以
上第⑵个条件,把被开方数不含分母这个条件忘了.而=,
=被开方数的指数都大于或等于根指数,故也不是最简二次根
式..
正解:选C.
二次根式知识点总结材料和习题
二次根式的知识点汇总 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注： 在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根 式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注： 因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：
二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本 身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实 数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的运算 （1）因式的外移和移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算 【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数（即不小于0），a 的结果也是非负数． 2．二次根式的性质 （1） () ()02 ≥=a a a （2）()()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a （3）()0,0≥≥?=? b a b a b a （4） ()0,0>≥=b a b a b a 3．运算法则： （1）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a （2）除法运算： ()0,0>≥= b a b a b a 4．最简的二次根式： （1）被开方数因数是整数，因式是整式． （2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 方法:①单项 a =来确定． ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定． 如 : a 与a - 【经典例题】 例1．判断下列各式，是否是二次根式： ,12,4,,4,27,824233 +--a a a 2,21122 +?? ? ?? < -a a a
例2．计算下列各题： （1） () 2 7 （2）2 43??? ? ?? （3）() 2 23 （4）2 55??? ? ?? （5 （6 例4．把下列各式分母有理化 （1）12 1 （2） 2 33 （3） 12121 （4）50 3 51- 例5．化简 （1）121699?? （2）637? （3）221026- （4） ()()2512-?- 例6．计算 （1）??? ? ??-?32335 （2） ??? ? ??-?56215 （3）??? ? ??-?614123 （4）5433 1 12785??? -
浙教版八下二次根式题型归纳总结
最新浙教版八下二次根式题 型归纳总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
最新浙教版八下二次根式题型归纳总结 - 百度文库1、知识框架 1. 二次根式：式子（≥0 ）叫做二次根式。 2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴ 被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵ 被开方数中不含分母； ⑶ 分母中不含根式。 3. 同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质： （ 1 ）（） 2 = （≥0 ）；（ 2 ） 5. 二次根式的运算： （ 1 ）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式， ? 变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （ 2 ）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （ 3 ）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． = ·（a≥0 ，b≥0 ）；（b≥0 ， a>0 ）． （ 4 ）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律， ? 乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 三、例题讲解 1 、概念与性质
例 1 下列各式 1 ），其中是二次根式的是 _________ （填序号）． 例 2 、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）；（ 2 ） 例 3 、在根式 1) ，最简二次根式是（） A ． 1) 2) B ． 3) 4) C ． 1) 3) D ． 1) 4) 例 4 、已知： 例 5 、已知数 a ， b ，若=b － a ，则 ( ) A. a>b B. a《二次根式》典型例题和练习题之欧阳歌谷创编
《二次根式》分类练习题 欧阳歌谷（2021.02.01） 二次根式的定义： 【例1】下列各 式 其中是二次根式的是_________（填序号）． 举一反三： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、 2、在、、、中是二次根式的个数有 ______个 【例2 有意义，则x 的取值范围是．[来源:学*科* 网Z*X*X*K] 举一反三： 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2x 的取值范围是 3、如果代数式 mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、
第四象限 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 举一反三： 1 2()x y =+，则 x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y= 4x 233x 2+-+-，求 xy 的值 3、当a 取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最小值。 已知a b 是1 2a b + +的值。 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3。 若 17 的整数部分为x ，小数部分为y ，求 y x 1 2+ 的值. 知识点二：二次根式的性质 【例4】若 ()2 240a c -+-=，则= +-c b a ． 举一反三： 1、若 0)1(32=++-n m ，则m n +的值为。 2、已知y x ,为实数，且()0 2312 =-+-y x ，则y x -的值为 （ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2 －4｜＋6 52+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿. 4、若 1 a b -+() 2005 _____________ a b -=。 （公式 )0()(2 ≥=a a a 的运用）
二次根式知识点归纳及题型总结精华版
二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.； 4.积的算术平方根的性质：； 5.商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理；
(3) 乘法公式的推广： 2．二次根式的加减运算 先化简，再运算， 3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3）45++x x (6). （7）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （8）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10< 二次根式专题 题型一：二次根式的概念 【例题1】 当为实数时，下列各式，，， 属于二次根式的有 ________个. 【练一练】 1. 下列式子中二次根式的个数有 （ ） （1） ；（ 2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） （x ＞1） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2. 下列各式① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中二次根式的个数有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 题型二：二次根式的意义（取值范围） 【例题2】 x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1） （2）y=－； 【练一练】 1. 若使二次根式 有意义，则x 的取值范围是 ； 2. 使式子 x 211 -有意义的x 的取值范围为______________________； 3. 代数式x -9有意义时，实数x 的取值范围是__________________； 4. 函数x x y 2 += 的自变量x 的取值范围是_____________________； 5. 函数2 1 -+= x x y 中，自变量x 的取值范围是___________________； 6. 若式子12112+-+-x x 在实数范围内有意义，则x 满足的条件是______________________. x () 2 223,1,,, , x x x x x --y =2+x x 23- 题型三：二次根式的性质（)0 ( ) (2 2≥ = =a a a a a，） 【例题2】 1.计算下列各式： (1)（3）（4） 2.已知a，b，c在数轴上如图所示，化简：． 3.已知a、b 都是实数，且b，化简?＋1的结果是多少？ 【练一练】 1.=________. 若，则______.若=0，则=__________. 2.若，则____________；若，则______________. 3.已知，求的值为____________. 4.若，则化简的结果是__________. 5.已知c b a, ,为三角形的三边，则2 2 2) ( ) ( ) (a c b a c b c b a- + + - - + - += ． 2 3 2() 4 --2 (3.14)π -2) 2 5 2 (-2) 2 ( 2a a- - - 22 x x -+- 2 (1) 1 x x - - 二次根式的化简与计算 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： ? 二次根式 【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数(即不小于0),a 的结果也是非负数. 2.二次根式的性质 （１)()()02≥=a a a （2）() ()() ?????<-=>==00002a a a a a a a (3）()0,0≥≥?=?b a b a b a (4）()0,0>≥=b a b a b a 3.运算法则： （１）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a (2)除法运算：()0,0>≥=b a b a b a 【化简以及分母有理化】 外移：2||a b a b = 内移:a b ， 当0a >时,2a b a b = 当0a <时,2a b a b =- 4．最简的二次根式： （１）被开方数因数是整数,因式是整式. （２)被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化 定义:把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 方法:①单项二次根式:利用a a a ?=来确定. ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定. 如: a b +与a b -，a b a b +-与, a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 例题. 化简：(1)3227a b = ； （2)32418a a ?= ． 例题32 27= . 2 3649y x ＝ ; 同类二次根式 (1)定义: 几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类 二次根式。 (2)判断方法: 注意以下三点： ①都是二次根式,即根指数都是2； ②必须先化成最简二次根式； ③被开方数相同. 【重难点解析】 1．化简二次根式：尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。 如:21223=?= 23 21832=?＝ 32 25052=?＝ 52 2.根号里的数比较大时，使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。 如29482379=??= 2379?，24202553=?＝ 253? ３．根号内有字母或代数式，观察它们所能分解出来的最小偶次数。如: 542 x x x x x =?=、()()()3232111x x x x x x +=++=()()11x x x x ++ 4．单项的分母有理化,可以直接分子分母同时乘以分母再约分。 如：11333333?==? 、 2223233233823233 ?====?? 题型一二次根式的定义 例1、(1) Vf 斥是整数，求自然数n 的值. 题型二二次根式有意义的条件 例2、当x _________ 时，二次根式VTTT 有意义。 例3、已知x 、y 为实数，y= — ,求5x+6y 的值. x-3 例 4、已知 y =厶-3 + 丁3-x + 4 ,求 +8y + 16-的值。 a b I 鼻 1 ] I 1 ! ] I * ； -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 题型三二次根式的性质与化简 例5、已知实数“ b 在数轴上的位置如图所示: 二次根式 试化简 -2ab + b 2 时, 式子 長 3 有意义. 例6、计算 例7、化简求值 (1) 化简：-\a+b\ + yl^c-ay +|/? + c| 力 G 0 (3)若 x 6）当 a<0, b<0 时，-a+2^b~b 可变形为（ ） 题型四最简二次根式 例8、（1）下列式子中，属于最简二次根式的是（ （2）届,J |, 7^7都不是最简二次根式.（ ） 题型五二次根式的乘除法 例10、计算 (1) ( - y/3 + ^2 ) ( y/5 - V3 - A /2 ) 2 ? (A) - (B)-- x x (5)化简(a<0)得( ) a (A) (B) — 4ci (C) —2x (D) 2x (C) — J_a (D)需 例 A. ) 一5 V m< ~4 D ? 一6 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 题型一：判断二次根式 （1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x 、x （x>0）、0、42、-2、1x y +、x y +（x≥0，y ≥0）． （2）在式子()()()230,2,12,20,3,1,2 x x y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 （3）下列各式一定是二次根式的是（ ）A. 7- B. 32m C. 21a + D. a b 题型二：判断二次根式有没有意义 1、写出下列各式有意义的条件: （1）43-x （2）a 83 1- （3）42+m （4）x 1- 2、21 x x --有意义，则 ；3、若x x x x --=--32 32成立，则x 满足_____________。 练习：1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、 x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3） . （5）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （6）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a --=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 二次根式的化简与计算 1 【知识要点】 2 1．定义：一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数 3 式，它们都必须是非负数（即不小于0），a 的结果也是非负数． 4 2．二次根式的性质 5 （1） () ()02 ≥=a a a 6 （2）() ()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a 7 （3）()0,0≥≥?=?b a b a b a 8 （4） ()0,0>≥=b a b a b a 9 3．运算法则： 10 （1）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a 11 （2）除法运算： ()0,0>≥= b a b a b a 12 4．最简的二次根式： 13 （1）被开方数因数是整数，因式是整式． 14 （2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 15 5．分母有理化 16 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 17 方法:①单项 a =来确定． 18 ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定． 19 如: a b +与a b -，a b a b +-与， 20 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 21 练习： 22 1．判断下列各式,是二次根式有_________________. 23 ,12,4,,4,27,824233+--a a a 2,21122+??? ? ? <-a a a 24 2．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ） 25 A ． B ． C ． D ． 26 3. 与最简二次根式是同类二次根式，则m=______． 27 28 4.若1＜x ＜2，则的值为（ ） 29 A ．2x ﹣4 B ．﹣2 C ．4﹣2x D ．2 30 5．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（ ） 31 32 A ．﹣2a+b B ．2a ﹣b C ．﹣b D ．b 33 6．若式子有意义，则x 的取值范围为（ ） 34 A ．x ≥2 B ．x ≠3 C ．x ≥2或x ≠3 D ．x ≥2且x ≠3 35 二次根式知识点总结及常见题型 资料编号:20190802 一、二次根式的定义 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“ ”叫做二次根号,a 叫做被开方数. （1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. （3）形如a m （a ≥0）的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是: a m a m ?=（a ≥0）; （4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质: （1）双重非负性:a ≥0,a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性: () a a =2 （a ≥0）;（主要用于二次根式的计算） （3）转化性:? ??≤-≥==)0() 0(2a a a a a a .（主要用于二次根式的化简） 重要结论: （1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A , A ≥0,2 B ≥0, C ≥0 ∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值. （2） ()() ()? ??≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简. （3）()() ??????=002 2A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4）() B A B A ?=22 ,其中B ≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子 1 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________. 分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2 1 11+ -+-=x x y ,化简:11--y y . 分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴12 1 2100<=++=y ∴ 11 11 1-=--= --y y y y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数x x y 21-= ,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________. 第十六章 二次根式 知识点： 1、二次根式的概念：形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。“”＝ “”，叫做二次根号，简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件：a ≥0； 二次根式没有意义的条件：a 小于0； 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时，12--x 有意义，当x ______时，3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ，则x 的取值范围是______。 例6、（1）当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ （2）当x 是多少时， 2x 在实数范围内有意义？3x 呢？ 3、二次根式的双重非负性： ≥0；a ≥0 。 例1、 已知＋ ＝０，求ｘ，ｙ的值． 例2、 若实数ａ、ｂ满足 ＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿． 例3、 已知实ａ满足，求ａ-2010的值． 例４、 在实数范围内，求代数式 的值． 例5、 设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值． 例6、已知9966 x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 4、二次根式的性质： (3) 例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 （1）9=_____ （2）2(4)-=_____ （3）25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ （4）2(3)- =_____ 例3.（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 是什么数？ （3）2a >a ，则a 是什么数？ 例4.当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0，b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积。 ， 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0，b ＞0) 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 （1）57 （2139（3927 （412 6 例2、化简 （1916?（21681?（3229x y （4）54 精品文档 二次根式 二次根式： 当 ______________ 时，J x +2 + J 1 —2x 有意义。 若.— 1有意义，则 m 的取值范围是 。 m 1 当x __________ 时，J （1 -X $是二次根式。 在实数范围内分解因式： x 4 —9 = ,x 2 —2j2x+2 = 已知\ I. x - 2 = 2 - x ，则x 的取值范围是 。 化简：X 2—2X ， 1 x -1 的结果是 ______________________________ 。 当 w x < 5 时，J （x X j 斗 x -5 = ________________ ° 把a j _*1的根号外的因式移到根号内等于 ______________________ ° 使等式、x 1 x-1 =_x —1「，x ， 1成立的条件是 ____________________ 若a —b +1与J a +2b +4互为相反数，则（ a — b 『°5 = ______________ 在式子石 d 心戸（y"）工2^（ X 却 两,J x 2出,x 中，二次根式有（ A. 2个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 若 2 w a w 3， 则 J （2 ￡ f -J （a d j 等于（ ） -H-* 1.2二次根式的乘除 1. 当 a 兰 0，b w 0 时， _________________________ ° 2. 若J 2m 2 和J 33m _2"都是最简二次根式，则 m= ___________ ,n= ______ 3. 计算：\[3 = ___________________ ; J 36 工 9 = _________ ° 4. 计算： （届 _3厉尸73= ____________ ° 5. 长方形的宽为 3 ，面积为2^6，则长方形的长为 ______________ ° 6. 下列各式不是最简二次根式的是（ A . , a 2 1 B. . 2x 1 ) ■ 2b D. C. 7.已知xy > 0,化简二次根式 ... 0.1y A . , y B.、丐 8.对于所有实数a,b ，下列等式总能成立的是（ ） （T a +V b j=a +b B. J a W a +b C. 扣+2 j A. 10. =a 2 ■ b 2 对于二次根式 x 2 9 ，以下说法中不正确的是（ ） A.它是一个非负数 B.它是一个无理数 C.它是最简二次根式 D. a ■ b 2 =a ■ b D.它的最小值为3 A . 5 ~ 2a B. 1 2a c. 2a - 5 D. 2a -1 能使等式 x _ x 成立的x 的取值范围是( ) A. X = 2 B. X - 0 C. x w 2 D. 计算：J(2a -1 $ + J(1 -2a 2 的值是( A . o B. 4a-2 c. 2-4a D. 若? x - y y 2 -4y 4 =0，求 xy 的值。 x_2 ) 2 -4a 或 4a -2 已知a, b 为实数，且叩a ■ ib -1 "：」1 —b =0，求a 2005 —b 2006的值。 11.计算: 1.1 2. 3. 4. 5. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 15. 18. 19. 21. 25. 2．7二次根式 第1课时二次根式的概念及其化简【学习目标】 1．理解二次根式概念及性质． 2．会用公式ab＝a·b(a≥0，b≥0)，a b＝ a b (a≥0，b>0)进行二次根式的化简运算． 【学习重点】 二次根式乘除法法则． 【学习难点】 二次根式乘除法法则的灵活运用． 学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成． 学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案． 教会学生落实重点． 说明：学生亲自计算，通过观察、猜想，借助计算器验证得出结论，这比教师讲无数遍的效果要好得多，同时也为后面归纳二次根式的基本性质作了很好的引导．情景导入生成问题 观察下列代数式： 5，11，7.2，49 121，（c＋b）（c－b）(其中b＝24，c＝25)． 这些式子都是我们在前面已经学习过的，它们有什么共同特征呢？ 【说明】通过学生观察、总结归纳这些式子的特点，为给二次根式下定义做好准备．【归纳结论】它们都含有开方运算，并且被开方数都是非负数． 一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数． 二次根式有些什么性质呢？让我们一起去研究吧！ 自学互研生成能力 知识模块一二次根式积的算术平方根与商的算术平方根 先阅读教材第41页“做一做”的内容，然后完成下面的问题． 做一做： (1)计算下列各式，你能得到什么猜想？ 4×9＝________，4×9＝________； 4 9＝________，4 9 ＝________； 25 49＝________，25 49 ＝________； (2)根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流． 6×7与6×7，6 7与 6 7 . 【归纳结论】ab＝a·b(a≥0，b≥0)，a b＝ a b (a≥0，b>0)．即积的算术平方根，等于各个因式算术平 方根的积，商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根．注意：a、b的取值范围不能忽略． 知识模块二二次根式的化简 先独立完成下面例1的化简，然后再对照教材第42页例1的规范解答自评自解．例1：化简： (1)81×64；(2)25×6；(3)5 9. 二次根式知识点总结及常见题型 资料编号 :20190802一、二次根式的定义 形如 a （ a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号, a叫做被开方数.（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数. 据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式, 应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“” ; ②被开方数是否为非负数 . 若两个标准都符合, 则是二次根式 ; 若只符合其中一个标准, 则不是二次根式 . （ 3）形如m a（a≥ 0）的式子也是二次根式, 其中m叫做二次根式的系数, 它表示的是 : m a m a （ a ≥0）; （4）根据二次根式有意义的条件, 若二次根式A B 与B A 都有意义,则有A B. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质 : （1）双重非负性 : a ≥0, a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性 : 2 a a （ a ≥0）;（主要用于二次根式的计算） （3）转化性 : a 2 a(a0) a a(a .（主要用于二次根式的化简） 0) 重要结论 : （1）若几个非负数的和为0, 则每个非负数分别等于0.若 A B 2C0 ,则 A 0, B 0,C 0 . 应用与书写规范 : ∵ A B 2C0 , A ≥0,B2≥0, C ≥0 ∴ A 0, B0, C0 . 该性质常与配方法结合求字母的值. （2） A B 2 A B A B A B ;主要用于二次根式的化简. B A A B A2 B A 0 （3）A B, 其中B≥ 0; A2 B A 0 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简: 可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内, 以达到化简的目的. （4） A B 2 A2 B ,其中B≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例 1. 式子1在实数范围内有意义,则x的取值范围是 _________. x1 分析 : 本题考查二次根式有意义的条件, 即被开方数为非负数, 注意分母不能为0.解: 由二次根式有意义的条件可知: x10 ,∴ x 1. 例 2.若 x, y 为实数,且y x11 1y1 x,化简 :. 2y1 分析 : 本题考查二次根式有意义的条件, 且有重要结论 : 若二次根式 A B 与 B A 都有意义 , 则有A B . 解: ∵x 1≥ 0,1 x≥ 0 ∴ x ≥1, x ≤1 ∴ x1 ∴ y0011 1 22 y11y 1 . ∴ 1y1 y 习题 1.如果3a 5 有意义,则实数 a 的取值范围是__________.习题 2.若 y x33x 2 ,则 x y_________. 习题 3.要使代数式 12x有意义 ,则x的最大值是 _________. 习题 4.若函数 y 1 2 x ,则自变量x 的取值范围是__________. x 习题 5.已知 b3a1282a 1 ,则 a b_________. 二次根式 题型一 二次根式的定义 例1、（1）18n -是整数，求自然数n 的值． （2）当x __________时，式子3 1 -x 有意义． 题型二 二次根式有意义的条件 例2、当x 时，二次根式1x +有意义。 例3、已知x 、y 为实数，22991 3 x x y x -+-+=-，求5x+6y 的值． 例4、已知334y x x =-+-+，求 23 8163y y xy ++-的值。 例5、已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示： 试化简( ) ( ) 2 2 223 23 2a b a ab b +- ---+ 例6、计算 （1）() 13218---+ （2）()211111x x x ??-?- ?-+?? （3）已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2 2 22d c ab d c ab +-＝______． 例7、化简求值 （1）化简：() 2 2a a b c a b c -++-++ （2）先化简再求值：2 22 11xy x y x y x y ??-÷ ?-+-??，其中21,21x y =+=- （3）若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝（ ） （A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y （4）若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1 (2-+x x 等于（ ） （A ） x 2 （B ）－x 2 （C ）－2x （D ）2x （5）化简a a 3 -(a ＜0)得（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a （ 6）当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为（ ） （A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a --- 题型四 最简二次根式 例8、（1）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A （2）x 8， 3 1 ，29x +都不是最简二次根式．（ ） 题型五 二次根式的乘除法 例9、已知(m ?=?- ?? ，则有（ ） A ．5＜m ＜6 B ．4＜m ＜5 C ．-5＜m ＜-4 D ．-6＜m ＜-5 例10、计算 （1）（235+-）（235--） （2）（a ＋b a ab b +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）． 二次根式的化简与计算（讲义） ? 课前预习 1. 回顾实数的相关概念，并完成下列各题． （1）二次根式： ①定义：一般地，形如___________的式子叫做二次根式． ②性质： 2=_______（a ≥0=_______（a ≥0）． =_______（a ≥0，b ≥0=______（a ≥0，b ＞0）． ③乘除法则： =_____（a ≥0，b ≥0=_____（a ≥0，b ＞0）． ④加减法则： 先化成最简二次根式，再合并_______________． （2）实数混合运算顺序： 先算__________，再算______，最后算______．同级运算，从左向右进行．如果有括号，先算括号里面的． 2. 成立的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1 B ．x ≥2 C ．1≤x ≤2 D ．x ≤2 ? 知识点睛 1. 二次根式的双重非负性： a ____00． 2. 二次根式双重非负性的常见应用： （120b c +=，则a =______，b =______，c =_____． （2a =______． 3. 实数混合运算处理方法： ①观察________，划________； ②有序操作，依________； ③每步推进一点点． 做运算时往往需要估计工作量 ．．．．．，观察式子结构，巧用公式，可以大大简化运算．4.二次根式与数形结合： 被开方数中出现平方形式，可通过构造直角三角形借助勾股定理 ．．．．．．．．．．．．．解决问题． ?精讲精练 1.若x，y 为实数，且满足10 x-=，则xy=______． 2.若x，y，z 2 (3)20 y x z -++= ，则 =_______． 3.若实数x，y 2210 y y ++=，则x y=_______． 4.若实数a，b (0 b-=，则a2+2b的平方根为________． 5.若实数x，y 满足3 y=，则2xy=________． 6.若实数x，y 满足1 y= =____． 7.已知a，b为一等腰三角形的两边长，且a，b 满足等式4 b =-，则此等腰三角形的周长为______． 8.计算： （1 2 1 3 - ? ? ---+ ? ??? 【二次根式典型题型训练】 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）1 21+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若131 3++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-= -+?--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10< 二．利用二次根式的性质2a =|a |=?? ???<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来 解题 1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ） A.x ≤0 B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0 2.．已知a初二下册二次根式所有题型专题
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