二次根式重点难点

二次根式中中考题错解示例

一、在取值范围上只考虑二次根式,不考虑分母 例1(2010·绵阳中考)要使

1

21

3-+

-x x 有意义，则x 应满足（ ）

(A)21≤x ≤3 (B)x ≤3

且x ≠2

1

(C)2

1

＜x ＜3 (D)2

1＜x ≤3

错解:选A.由3-x ≥0且2x -1≥0,可知x ≤3且x ≥12

,即12

≤x ≤3.

错解分析:错解在取值范围上死板地应用二次根式的性质,思维单一,不顾整体.只考虑到二次根式中被开方数的取值范围,不考虑分母,结果扩大了代数式的取值范围,造成了错解.

中,既要考

虑(2x -1)是被开方数,须使其值是非负数,又要考虑

,还

必须使2x -1不为0.综上可知2x -1＞0.

正解: 选D.由3-x ≥0且2x -1＞0,可知x ≤3且x ＞12,即12

＜x ≤3.

二、平方根与算术平方根的概念相混淆

例2（2010·济宁中考）4的算术平方根是（ ） （A ）2 （B ）－2 （C ）±2 （D ）4 错解: 选C.由()2

2±＝4,可知4的算术平方根是±2.

错解分析:错解对算术平方根和平方根的概念模糊不清,误以为一个正数的算术平方根有两个,它们互为相反数.事实上,一个正数的平方根有两个,且互为相反数.另外,正数的那个正的平方根叫算术平方根.因为4的平方根是±2,所以4的算术平方根是2.

正解:选A.

三、不会把非负因式移到根号里面

例3(2010·绵阳中考)下列各式计算正确的是（ ）

（A ）m 2 ·m 3 = m 6 （B ）

33

431163116=⋅= （C ）53232333=+=+ （D ）a a

a a a --=-⋅--=--111

)1(11)1(2（ɑ＜1）

错解: 选A.由23236m m m m ⨯⋅==,可知选A.

错解分析:23235m m m m +⋅==,故选项A 错误.有些同学在D 选项中

不会把非负因式往根号里面移.在(a -中,使被开方数

11a

-＞0,

则必有分子、分母同号.由于分子1是正数,所以分母1-ɑ 必为正数.所以有隐含条件ɑ＜1.另外,要注意把根号外的因式往根号内移时,只有非负因式才能往里移.要把负因式ɑ-1往根号里面移,必须变形为-(1-ɑ),然后把括号前面的负号留在外面.把正因式1-ɑ加平方后移入根号里面.所以a a

a a a --=-⋅--=--111

)1(11)

1(2. 正解:选D.

四、不会比较根式的大小

例4（2010·天津中考）比较2

正确的是（ ） （A ）

2<（B ）2

（C

2<（D 2

错解: 选A.在2(

,因被开方数4＜5＜7,故2

错解分析: 错解在变形2

,比较被开方数4,5,7得到

错误答案A.实际上,

,由于它们不是同次根式,所以不

能直接利用被开方数比较大小.可以这样想,由于在变形2

,根指数2和3的最小公倍数是6,所以可把它们分别六次方:

()2

63

2264,

==6

=125,6

=49.由49＜64＜125,2

也可以把2

:2==

由49＜64＜125,2<<.

正解:选C.

五、不会利用二次根式的非负性

例5（2010·成都中考）若

,x y 为实数，且20x +，

则2

010()+x y 的值为___________．

错解:由

20

x +=,可知x +2与y-3互为相反数,即

x +2+y-3=0,于是()2 010 2 01011+==x y .

错解分析:考

ɑ≥0)的非负性,常与数的绝对值、2a 的性质一起出现.本题因为两个非负数的和为0,所以每一个非负数都为0,即|x +2|＝0,

0,解得x =-2,y=3,则()()

2 010

2 010

321+=-=x y .错

解虽然结果也恰巧是1,但解题过程是错误的.

正解:1.

六、对最简二次根式的条件掌握不牢

例6（2010·湛江中考）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）

(A) ɑ1

2

(B) 4 (C) 3 (D)8

错解:选A.因为选项A中,1

2

的次数是1,小于根指数2,

是最简二次根式.

错解分析:最简二次根式要同时满足两个条件:⑴被开方数不含分母;⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.错解只考虑了以

上第⑵个条件,把被开方数不含分母这个条件忘了.而=,

=被开方数的指数都大于或等于根指数,故也不是最简二次根

式..

正解:选C.