矩阵与线性代数计算
线性代数与矩阵的运算法则
线性代数与矩阵的运算法则矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学、物理、计算机科学等领域都有广泛的应用。
在矩阵的运算中，我们需要遵循一些规则和法则，以确保计算的准确性和一致性。
本文将介绍线性代数与矩阵的运算法则，并提供相应的例子以便更好地理解。
一、矩阵的加法和减法法则矩阵的加法和减法法则很简单，只需要将相同位置上的元素进行相应的加法或减法即可。
具体表达为：设A和B为两个m×n矩阵，它们的和记作C，差记作D，则有：C = A + B，其中C的元素为C_ij = A_ij + B_ijD = A - B，其中D的元素为D_ij = A_ij - B_ij例如：设A = [2 4 1; 5 7 3]，B = [1 3 2; 6 8 2]则A + B = [2+1 4+3 1+2; 5+6 7+8 3+2] = [3 7 3; 11 15 5]A -B = [2-1 4-3 1-2; 5-6 7-8 3-2] = [1 1 -1; -1 -1 1]二、矩阵的数乘法则矩阵的数乘法则就是将矩阵的每个元素与一个常数相乘。
具体表达为：设A为m×n矩阵，k为实数，则kA表示将A的每个元素都乘以k，即：kA = [kA_ij]例如：设A = [2 4 1; 5 7 3]则2A = [2×2 2×4 2×1; 2×5 2×7 2×3] = [4 8 2; 10 14 6]三、矩阵的乘法法则矩阵的乘法法则相对较为复杂，需要满足一定的条件。
设A为m×n 的矩阵，B为n×p的矩阵，则它们的乘积记作C，C为m×p的矩阵，其中C的元素C_ij由以下公式确定：C_ij = Σ(A_ik × B_kj)，其中k的范围为1到n例如：设A = [2 4 1; 5 7 3]，B = [1 3; 6 8; 2 5]则A × B = [(2×1+4×6+1×2) (2×3+4×8+1×5); (5×1+7×6+3×2)(5×3+7×8+3×5)] = [26 48; 70 90]四、转置矩阵的性质矩阵的转置是指将矩阵的行变为列，列变为行。
线性代数-矩阵的运算
线性代数-矩阵的运算1、矩阵的加减法定义A = (a ij)mxn 、B = (b ij)mxn；是两个同型矩阵（⾏数和列数分别相等），则矩阵A、B和定义为：只有同型矩阵才能进⾏加法计算运算定律交换律：A + B = B + A结合律：（A + B）+ C = A + (B + C)A + O = A = O + A （O为零矩阵）A + （-A） = O （矩阵减法的定义）设：则：2、矩阵的数乘定义数k与矩阵A乘法定义为：记作：kA = (ka ij)mxn;矩阵的加法和数乘运算，称为矩阵的线性运算。
运算定律结合律：(kl)A = k(lA)分配律：k(A+B) = kA + kB;(k + l)A = kA + lA;1A = A;0A = O3、乘法运算定义设A = (aij)mxs、B=(bij)sxn AB的乘发定义为注意：只有当A矩阵的列数等于B矩阵的⾏数，矩阵乘积AB才有意义；且乘积C矩阵的⾏数等于A矩阵的⾏数、C矩阵的列数等于B矩阵的列数。
如：A是(2x3)矩阵,B是(3x4)矩阵，则AB为(2x4)矩阵，BA⽆意义。
运算定律矩阵乘法不满⾜交换律：⼀般AB不等于BA，如果AB = BA，即记作A、B可交换AB = 0 未必 A = O或者 B = O不满⾜消除律，即AB = AC 未必B = C矩阵乘法满⾜下⾯运算律：结合律：(AB)C = A(BC)左分配律：A(B+C) = AB+AC右分配律：(B+C)A = BA+CAk(AB) = (kA)B = A(kB)设A为mxs矩阵，则 I m A = A ，AI s = A（I为单位矩阵）AO=O OA=OA k A l = A k+l (A k)l = A kl (kl皆为⾮负整数)矩阵乘法中，单位矩阵与零矩阵，有类似于数字乘法1，0的作⽤。
4、矩阵的转置定义mxn的矩阵A，⾏列交换后得到nxm的矩阵，称为A的转置矩阵，记作A'。
线性代数矩阵的运算
3 2 1 2
4 ?? 1? ? 1?? 1?
??? 5 6 7 ??
? ?10 2 ? 6?.
??? 2 17 10??
BG
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注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘 .
２、矩阵乘法的运算规律
?1??AB?C ? A?BC ?;
? ? ? ?2?A?B ? C ?? AB ? AC, ?B ? C ?A ? BA? CA;
第二节 矩阵的计算
一、 矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、 矩阵转置 五、方阵的行列式 六、 共轭矩阵 七、矩阵的应用
BG
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一、矩阵的加法
１、定义
?? ? ? 设有两个 m ? n 矩阵
A 与 B 的和记作 A ?
AB，? 规a定ij ,为B
?
bij
, 那么矩阵
?3? ?A?B ? ? A?B ? A? B? （其中 ? 为数）;
注意 矩阵乘积一般不满足交换律
例 设 A ? ?? 1 1 ?? B ? ?? 1 ? 1??
?? 1 ? 1?
?? 1 1 ?
BG
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则
AB ? ??0 ?0
?? a11 ? b11
a12 ? b12 ?
A?
B
?
? ?
a 21 ? ?
b21
a 22 ? b22 ?
?
?
???a m1 ? bm1 a m2 ? bm 2 ?
a1n ? b1n ?? a 2n ? b2n ?
?? a mn ? bmn ???
BG
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《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答
An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解 根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章 矩阵及其运算
线性代数 矩阵及其运算
A22 ...
... ...
An 2 ...
A1n A2n ... Ann
称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊
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27
伴 随 矩 阵 有 如 下 重 要 性 质 ： AA*A*A(detA)E
矩阵运算举例
例 例 1 8 设 A123T， B11 21 3， CAB ，
求 Cn
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例4
如：A 11
11
B
1 1
11
AB O
BA
2 2
22
显然有：AB 0 AB BA
总结:矩阵乘法不满足交换律与消去律.
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18
例5 设
A1 1
2 1
1 1,
求AB与BA
1 2 B1 1
2 3
解
3 0 3
1 3 AB2 6
BA0 3 0 1 7 1
定理2.1 若矩阵A的第i行是零行，则乘积 AB的第i行
a..i.1
... ...
a..is.n......
... bnjs
... ...
cij
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14
例2 计算
2 1
1 8 10
1 3
4 01 3
2 4
051 9
2 5 22 15
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15
例3. 非齐次线性方程组的矩阵表示
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
关于矩阵乘法的注意事项： （1）矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右
矩阵的行数相等； （2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是
A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；
线性代数和矩阵计算方法
线性代数和矩阵计算方法是数学中的重要分支。
它们被广泛应用于数据挖掘、人工智能、信号处理、机器学习、多元统计学、图像处理和计算机视觉等领域。
随着计算机性能的提高和算法的不断改进，已经成为计算机科学和工程学的基础科目和核心技术。
线性代数是一种关于向量空间和线性映射的研究，它的理论基础包括向量、矩阵、行列式和特征值等概念。
矩阵是线性代数的最重要的概念之一，它描述了一组向量之间的关系和变换。
矩阵可用于表示线性方程组、转换坐标系、描述旋转和缩放等变换。
在数学和工程领域，矩阵所代表的线性关系是一种非常有益的工具。
矩阵计算方法是指用计算机进行矩阵乘法、求逆矩阵、特征值和特征向量的计算等算法。
这些算法可以用来解决线性方程组、最小二乘问题、线性规划问题和矩阵微积分等问题。
矩阵计算方法可以通过特殊的硬件或软件实现，并且可以高效地利用计算机的并行计算能力，从而加速计算过程。
矩阵的乘法是矩阵计算方法的核心问题。
矩阵乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
在矩阵乘法中，左边矩阵的每一行与右边矩阵的每一列进行内积，然后将结果相加得到新矩阵的每一个元素。
例如，当左矩阵A是m×n矩阵，右矩阵B是n×p矩阵时，乘积矩阵C是m×p矩阵。
矩阵乘法的可实现方法有很多，例如朴素的方法、Strassen算法和高斯-约旦消元法等。
朴素的方法是最简单的方法，但是它的时间复杂度是O(n3)，因此不适合处理大规模矩阵。
Strassen算法是一种用较少次乘法和加法进行矩阵乘法的算法，它的时间复杂度是O(n2.81)。
高斯-约旦消元法是一种用行变换和初等行变换求解线性方程组的方法，它可以在O(n3)的时间内完成计算。
求矩阵的逆和求矩阵的特征值和特征向量也是矩阵计算中的重要问题。
矩阵的逆是指对于一个n阶方阵A，如果能找到一个n 阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I是n阶单位矩阵，则称矩阵A 是可逆的，B是矩阵A的逆矩阵。
求矩阵的逆可以用高斯-约旦消元法、LU分解和矩阵分块法等方法。
线性代数矩阵的运算
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例5 设列矩阵 X x1, x2 ,, xn T满足 X T X 1,
E为n阶单位矩阵, H E 2XX T ,证明H是对称矩 阵,且HH T E.
证明 HT E 2XX T T ET 2 XX T T
E 2 XX T H , H是对称矩阵.
HHT H 2 E 2XX T 2 E 4XXT 4 XXT XXT E 4XXT 4X XT X XT
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
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证明：
设A = (aij )是一个m s矩阵，B = (bij )是一个s n矩阵，
记 AB C (ci j )mn，BT AT D (di j )nm
由于( AB)T的第i行，第j列的元素为c ji
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则
AB 0 0
0 , 0
BA 2 2
2 , 2
故 AB BA.
方阵的幂
设A是n阶方阵，定义：A1 A，A2 A1A1，
Ak1 Ak A1，其中k为正整数。 注意：Ak Al = Ak+l，(Ak )l = Akl，
但(AB)k = Ak Bk不一定成立。
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a11 a21
a13b31 a23b31
a11b12 a12b22 a13b32
a21b12
a22b22
a23b32
矩阵C是由矩阵A与B按照某种运算得到的，
这就是下面要给出的矩阵乘法。
１、定义
设 A aij 是一个m s 矩阵，B bij 是一个
s n 矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积
12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4.
矩阵的运算与线性方程组练习题及解析
矩阵的运算与线性方程组练习题及解析在线性代数中，矩阵的运算是十分重要的一部分，同时也与线性方程组密切相关。
本文将为大家带来一些关于矩阵的运算和线性方程组的练习题，并给出详细的解析。
1. 矩阵的加法和减法题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，B = [7 8 9; 10 11 12]，计算A +B和A - B。
解析：矩阵的加法和减法的计算规则是对应元素相加或相减。
根据给定的矩阵A和B，我们可以得到如下结果：A +B = [1+7 2+8 3+9; 4+10 5+11 6+12] = [8 10 12; 14 16 18]A -B = [1-7 2-8 3-9; 4-10 5-11 6-12] = [-6 -6 -6; -6 -6 -6]2. 矩阵的乘法题目：已知矩阵A = [1 2; 3 4]，B = [5 6; 7 8]，计算A * B和B * A。
解析：矩阵的乘法的计算规则是将第一个矩阵A的每一行与第二个矩阵B的每一列对应元素相乘，然后将结果相加。
根据给定的矩阵A和B，我们可以得到如下结果：A *B = [1*5+2*7 1*6+2*8; 3*5+4*7 3*6+4*8] = [19 22; 43 50]B * A = [5*1+6*3 5*2+6*4; 7*1+8*3 7*2+8*4] = [23 34; 31 46]3. 矩阵的转置题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵A的转置。
解析：矩阵的转置是将矩阵的行和列交换得到的新矩阵。
根据给定的矩阵A，我们可以得到如下结果：A的转置 = [1 4; 2 5; 3 6]4. 线性方程组的求解题目：已知线性方程组：2x + y = 8x - y = 2解析：我们可以使用矩阵的方法来求解线性方程组。
将方程组的系数构成系数矩阵A，将方程组的常数构成常数矩阵B。
则方程组可以表示为AX = B的形式。
根据给出的方程组，我们可以得到如下结果：A = [2 1; 1 -1]B = [8; 2]为了求解方程组，我们可以使用矩阵的逆来计算X。
矩阵与线性代数
矩阵与线性代数矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学、物理、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍矩阵的定义、基本操作以及与线性代数的关系，帮助读者深入理解矩阵和线性代数的概念。
1. 矩阵的定义矩阵是由数个数排成的矩形阵列，通常用大写字母表示。
一个m行n列的矩阵可以表示为：A = [a_{ij}] (m × n)其中a_{ij}表示矩阵A的第i行第j列的元素。
矩阵的行数和列数分别称为矩阵的行数和列数。
2. 矩阵的基本操作矩阵有一些基本操作，包括矩阵的加法、数乘、乘法等。
2.1 矩阵的加法设A和B为两个同型矩阵（即行数和列数相等），它们的和记作：C = A + B其中C的第i行第j列的元素等于A和B对应位置元素的和。
2.2 矩阵的数乘设A为一个矩阵，k为一个数（实数或复数），它们的数乘记作：B = kA其中B的第i行第j列的元素等于k乘以A的对应位置元素。
2.3 矩阵的乘法设A为一个m行n列的矩阵，B为一个n行p列的矩阵，它们的乘积记作：C = AB其中C为一个m行p列的矩阵，C的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列各元素的乘积之和。
3. 矩阵与线性代数的关系矩阵与线性代数密切相关，线性代数可以通过矩阵来进行表示和求解。
3.1 线性方程组线性方程组是线性代数中的一个重要概念，它可以用矩阵表示。
设有一个线性方程组：AX = B其中A为一个m行n列的矩阵，X和B分别为n行1列的矩阵（即向量），X表示未知量，B表示常数项。
通过对矩阵A进行变换和运算，可以求解出线性方程组的解。
3.2 特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵特有的性质，它们在线性代数中有重要的应用。
设A为一个n阶矩阵，如果存在一个数λ和一个非零向量X，使得：AX = λX则称λ为矩阵A的特征值，X为对应的特征向量。
通过求解特征值和特征向量，可以研究矩阵的性质和变换。
4. 矩阵的应用领域矩阵作为线性代数的基本工具，在各个领域有广泛的应用。
高考数学中的线性代数中的矩阵运算
高考数学中的线性代数中的矩阵运算线性代数作为数学中的一个重要分支，经常在高考数学中出现。
矩阵运算则是线性代数中很重要的一个概念，它蕴含着很多的数学知识，也是高考数学中比较常考的知识点。
一、矩阵的定义和运算矩阵是由$m$行$n$列数排成的矩形数组，用$\boldsymbol{A}$表示，即$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m\times n}$。
矩阵的元素$a_{ij}$表示第$i$行第$j$列的数，矩阵的个数为$m\times n$个。
当矩阵的行数和列数相等时，即$m=n$时，该矩阵被称为方阵；当矩阵的元素全都为零时，该矩阵被称为零矩阵。
在矩阵中，有加法和数乘的运算。
设$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$是两个$m\times n$的矩阵，$k$是一个实数，则有以下定义：1.加法：$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=(a_{ij}+b_{ij})_{m\times n}$2.数乘：$k\boldsymbol{A}=(ka_{ij})_{m\times n}$可以看到，加法和数乘的运算是把矩阵的每个元素进行了相应的运算，使得它们们组成的矩阵整体进行了相应的变形。
二、矩阵乘法和逆矩阵矩阵乘法是矩阵运算中比较重要的一个概念，它描述了两个矩阵的相乘过程。
设$\boldsymbol{A}$是$m\times n$的矩阵，$\boldsymbol{B}$是$n\times p$的矩阵，则$\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$是$m\times p$的矩阵，其中$\boldsymbol{C}$的元素$c_{ij}$由下式决定：$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}=\sum_ {k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$$可以看到，矩阵乘法描述了两个矩阵相乘后每个元素的变换过程，其结果是一个新的矩阵。
线性代数中矩阵的基本概念与运算
线性代数中矩阵的基本概念与运算线性代数是数学中的一个分支，其中矩阵的概念和运算是非常基本的。
本文将简单介绍矩阵的基本概念和运算。
矩阵的基本概念矩阵是一个方形或长方形的数表，其中的数被排列在行和列中。
一个矩阵通常用大写字母来表示，如下所示：$$A =\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}\end{bmatrix}$$其中 $m$ 表示矩阵的行数，$n$ 表示矩阵的列数，$a_{i,j}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。
对于一个 $m \times n$ 的矩阵，我们可以简单地把它看做是$n$ 个列向量的组合，每个列向量是一个 $m$ 维的向量。
也就是说，$A$ 可以被写成如下形式：$$A = [a^{(1)}, a^{(2)}, \cdots, a^{(n)}]$$其中 $a^{(i)}$ 表示矩阵 $A$ 的第 $i$ 列向量。
矩阵的加法和减法两个同规格的矩阵可以进行加法和减法运算。
对于两个 $m\times n$ 的矩阵 $A$ 和 $B$，它们的和可以表示为：$$C = A + B =\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} & \cdots & a_{1,n}+b_{1,n} \\a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} & \cdots & a_{2,n}+b_{2,n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m,1}+b_{m,1} & a_{m,2}+b_{m,2} & \cdots &a_{m,n}+b_{m,n}\end{bmatrix}$$同理，它们的差可以表示为：$$D = A - B =\begin{bmatrix}a_{1,1}-b_{1,1} & a_{1,2}-b_{1,2} & \cdots & a_{1,n}-b_{1,n} \\a_{2,1}-b_{2,1} & a_{2,2}-b_{2,2} & \cdots & a_{2,n}-b_{2,n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m,1}-b_{m,1} & a_{m,2}-b_{m,2} & \cdots & a_{m,n}-b_{m,n}\end{bmatrix}$$需要注意的是，在进行矩阵加法和减法运算时，这些矩阵必须是同规格的，也就是说它们的行数和列数都必须相等。
线性代数第二章,矩阵及其运算
a1n b1
a2n
b2
L L
amn bm
§2 矩阵的运算
一、加法
设 A (ai j )mn ， B (bi j )mn 都是m n 矩阵，则加法定义为
a11 b11
A
B
a21
b21
L
a12 b12 L a22 b22 L
LL
am1 bm1 am2 bm2 L
显然，
AB B A
a22
L
L L L
am1 am2 L
a1n
a11 a21 L
a2n
，记
AT
a12
a22
L
L
L L L
amn
a1n an2 L
则称
AT
A
是
的转置矩阵。
am1
am 2
L
amn
显然，
① ( AT )T A ，② ( A B)T AT BT ，③( A)T AT ，④( AB)T BT AT
2． 即使 Amn ， Bnm ，则Amn Bnm 是m 阶方阵，而Bnm Amn 是n 阶方阵；
3． 如 果 A ， B
都 是n
阶
方
阵
，
例
如
2
A
1
4
2
，
B
2
3
4
6
，则
16
AB
8
32 16
，而BA
0 0
0
0
；
AB BA
综上所述，一般
（即矩阵乘法不满足交换率）。
但是下列性质显然成立：
三、乘法
乘法运算比较复杂，首先看一个例子
设变量t1, t2 到变量 x1, x2 , x3 的线性变换为
线性代数第二章矩阵及其运算
ann 0
0
5. 形如 下面两个矩阵 的方阵称为下三角矩阵(lower triangular matrix)．
a11 0 a21 a22
an1
an2
0 0
0
0
ann
an1
0 a1n
a2n1
a2n
ann1 ann
6. 若方阵 A (aij )n 中 aij a ji , 则称为对称矩阵 (symmetric matrix)． 即
一、线性方程组
定义1 设有 n 个未知数 m 个方程的线性方
程组
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1 ,
a21 x1 a22 x2 L LLL
a2n xn L
b2 ,
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm .
（1）
其中aij 表示第i个方程第j个未知数的系数(coefficient), bi 是第i个方程的常数项(constant)，i=1,2,…，m， j =1,2,…, n.
a11 b11
A
B
a21
b21
L
a12 b12 L a22 b22 L
LL
am1 bm1 am2 bm2 L
L
L
L
L
称为单位阵(unit
matrix),
记作 En ． 0 0 L 1
4. 形如 下面两个矩阵 的方阵称为上三角矩阵(upper triangular matrix)．
a11a12 0 a22
0 0
a1n
a2n
ann
a11 a1n1 a1n
a21
a2n1
0
a11 a12 L a1n
矩阵向量和线性方程组的运算
混合积表示三个向量之间的夹角和旋转方向。如 果混合积为正，则表示逆时针旋转；如果混合积 为负，则表示顺时针旋转。
性质
混合积满足交换律、结合律和分配律。
04
线性方程组
线性方程组的表示
线性方程组
由若干个线性方程组成的方程组， 形式为Ax=b，其中A是矩阵，x 和b是向量。
增广矩阵
将线性方程组的系数和常数项 按顺序排列构成的矩阵。
求解其他未知数。
矩阵求解法
矩阵的逆
对于非奇异矩阵A，存在一个逆矩阵 A^(-1)，使得AA^(-1)=I，其中I为 单位矩阵。
矩阵的转置
将矩阵的行列互换得到的矩阵称为转 置矩阵。
矩阵的行列式
矩阵的行列式等于其所有特征值的乘 积。
矩阵的秩
矩阵的秩等于其最高非零子式的阶数。
05
应用实例
线性方程组的应用场景
向量的叉积
叉积定义
两个向量的叉积定义为垂直于这两个向量平面的一个向量。
几何意义
叉积表示一个向量相对于另一个向量的旋转方向。如果一 个向量与另一个向量叉积为正，则表示顺时针旋转；如果 叉积为负，则表示逆时针旋转。
性质
叉积满足交换律和结合律，但不满足分配律。
向量的混合积
1 2 3
混合积定义
三个向量的混合积定义为由这三个向量构成的平 行六面体的体积。
解决空间几何问题。
03
向量在解析几何中的综合应用
结合向量与矩阵的知识，解决更复杂的几何问题，如轨迹问题、极坐标
与直角坐标的转换等。
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逆矩阵的性质 逆矩阵是唯一的，且逆矩阵与原 矩阵的乘积等于单位矩阵。
03
向量运算
线性代数与矩阵的运算与变换
线性代数与矩阵的运算与变换线性代数是数学中的一个分支，研究了向量空间与线性映射等概念的代数结构。
矩阵是线性代数中的一种重要工具，它可以用来表示线性变换以及解决线性方程组等计算问题。
本文将重点探讨线性代数中的矩阵运算与变换。
一、矩阵的基本定义与运算在线性代数中，矩阵被定义为一个由m行n列所组成的矩形数表。
通常用大写字母来表示矩阵，如A、B等。
矩阵的元素可以是实数或复数。
矩阵的行数与列数分别称为其维数，记作m×n。
矩阵的运算主要包括加法、减法和乘法三种。
矩阵加法定义为对应元素相加，两个矩阵必须具有相同的维数才能进行加法运算。
而矩阵的减法与加法相似，只是将对应元素相减而已。
矩阵的乘法是一种比较复杂的运算，需要满足一定的条件。
矩阵A的列数必须等于矩阵B的行数，才能进行乘法运算。
乘法的结果是一个新的矩阵C，其维数为A的行数与B的列数，记作C=A×B。
乘法运算的定义是，矩阵C的第i行第j列元素等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素乘积的和。
二、矩阵的转置与逆矩阵矩阵的转置是一种基本的矩阵变换操作，定义为将矩阵的行与列对调。
如果矩阵A的维数为m×n，那么其转置矩阵记作Aᵀ，其维数为n×m。
转置矩阵的性质有：(Aᵀ)ᵀ=A，(A+B)ᵀ=Aᵀ+Bᵀ，(kA)ᵀ=kAᵀ等。
逆矩阵是与原矩阵相乘等于单位矩阵的矩阵。
如果对于矩阵A 存在逆矩阵A^(-1)，则称矩阵A可逆。
可逆矩阵的定义要求矩阵A的行列式不为零。
逆矩阵的性质有：(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)，(A^(-1))^(-1)=A，(kA)^(-1)=(1/k)A^(-1)等。
三、矩阵的行变换与列变换矩阵的行变换与列变换是一种重要的矩阵变换操作。
矩阵的行变换包括交换两行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的若干倍等操作。
类似地，矩阵的列变换也有相应的定义。
矩阵的行变换与列变换可以用于解决线性方程组、求解矩阵的秩以及求解矩阵的逆等问题。
西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数 行列式和矩阵运算
例1 设 A 1 1, B 1 2 1 2, 1 1 1 2 1 2
AB BA E, B是A的一个逆矩阵.
例2
设 A 2 1
1 , 0
求A的逆阵.
解
设
B a c
b d
是 A 的逆矩阵,
则 AB 2 1 a b 1 0 1 0 c d 0 1
2a c 2b d 1 0 a b 0 1
|
1 P
|
P*
10 6
0 0 0
1 0 1
0 A11 0 A21 0 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
5 3
A12 0 A12
A22 0 A22
A32 0 A32
而
12
1 1
1 1
A12
1
1 3 , A22 1
1 0, A32 1
3, 2
于是
1 0 1
1 0
0 2n
1 2
4 1
12
1 2
11
2n1 2n2
4 1
12
1 2
4 4
2n1 2n2
2n1 2n2
2 2
2 2n 2 2n1
22nn111 .
三、矩阵多项式
1. 定义
设 (x) = a0 + a1x + ···+ amxm 为 x 的 m 次多
项式，A 为 n 阶方阵，记
(A) = a0 E + a1 A + ···+ am A m ，
0 0 1 1 2 0 0 1 0
2 0 11 0 0 1 4 3 0 0 1
1 2 0 0 1 0
2 1 0 1 3 4.
矩阵与线性变换的性质与应用
矩阵与线性变换的性质与应用矩阵与线性变换是线性代数中的重要概念，它们在数学和应用领域中有着广泛的应用。
本文将介绍矩阵与线性变换的基本性质，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、矩阵的基本性质1. 矩阵的定义矩阵是一个由一定数量的数按照长方阵列排列而成的矩形数表。
一般表示为m×n(m行n列)。
矩阵中的元素可以是实数、复数或者其他代数元素。
2. 矩阵的运算矩阵与矩阵之间有加法和乘法运算。
对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的加法定义为A + B = C，其中C的每个元素等于A和B对应位置上元素的和。
矩阵的乘法定义为A × B = D，其中D的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
3. 矩阵的转置和逆矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
转置后的矩阵记作A^T。
对于方阵A，如果存在一个矩阵B使得A × B = B × A = I（单位矩阵），则称B为A的逆矩阵。
逆矩阵可以用来解线性方程组，求解矩阵的逆矩阵需要满足一定的条件。
二、线性变换的基本性质1. 线性变换的定义线性变换是指保持向量加法和数乘运算的映射。
对于向量空间V中的两个向量u和v，以及标量c，线性变换T必须满足两个性质：T(u + v) = T(u) + T(v)和T(cu) = cT(u)。
2. 线性变换的表示与矩阵每个线性变换都可以由一个矩阵表示。
对于向量空间V中的一组基底B = {b1, b2, ..., bn}，线性变换T定义为T(v) = Av，其中A 是一个由线性变换将基底B中的向量映射到对应的新坐标系中的向量所得到的矩阵。
3. 线性变换的性质线性变换具有以下性质：- 保持原点不变：T(0) = 0- 保持直线性质：对于直线上的点，线性变换后仍然在直线上- 保持比例关系：对于两个向量u和v，如果它们的比例关系为u = cv，那么它们的线性变换后的比例关系为T(u) = cT(v)三、矩阵与线性变换的应用1. 矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量值，可以用来判断矩阵是否可逆以及计算矩阵的逆矩阵。
大学数学易考知识点线性代数中的矩阵运算规则
大学数学易考知识点线性代数中的矩阵运算规则在大学数学中，线性代数是一门重要且基础的课程。
而在线性代数的学习过程中，矩阵运算规则是一个非常关键的知识点。
学好线性代数中的矩阵运算规则，不仅可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的概念，还对于接触更高级的数学课程以及在实际问题中的分析与计算有着重要的作用。
一、矩阵的定义和表示方法矩阵是一种非常重要且灵活的数学工具，它是由一些数按照矩形排列组成的矩形阵列。
在线性代数中，矩阵通常使用大写的字母来表示，例如矩阵A，B，C等。
矩阵的元素可以是实数或复数。
矩阵的行数和列数分别称为矩阵的阶数，用m * n表示，其中m表示行数，n表示列数。
矩阵的表示方法有多种，常见的有行向量的表示方法和列表示方法。
行向量表示方法即将矩阵的元素按照行的顺序排列在一起，用方括号[ ]表示；列表示方法即将矩阵的元素按照列的顺序排列在一起，用方括号( )表示。
例如一个3阶2列的矩阵A可以表示为：A = [a11 a12][a21 a22][a31 a32]二、矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是矩阵运算中的基本运算之一。
对于两个相同阶数的矩阵A和B，它们的和与差的定义如下：矩阵A和B的和记为A + B，其定义为将A和B的对应元素相加而得到的矩阵。
即（A + B）ij = Aij + Bij，其中1<=i<=m，1<=j<=n。
矩阵A和B的差记为A - B，其定义为将A和B的对应元素相减而得到的矩阵。
即（A - B）ij = Aij - Bij，其中1<=i<=m，1<=j<=n。
需要注意的是，进行矩阵的加法和减法运算时，要求两个矩阵的阶数相同，即它们的行数和列数都相等。
否则，加法和减法运算是没有定义的。
三、矩阵的数乘矩阵的数乘是矩阵运算中的另一个基本运算。
给定一个矩阵A和一个数α，其数乘运算的定义如下：矩阵A与数α的乘积记为αA，其定义为将A的每个元素乘以α而得到的矩阵。
线性代数基础矩阵和矩阵的乘法
线性代数基础矩阵和矩阵的乘法引入
前面讲过梯度下降用于线性回归模型的参数确定，如果有矩阵的乘法的加持，我们就可以不用梯度下降法也能求解这个问题。
先来看一个例子，求下面图中两个矩阵的乘。
那怎么做呢？上图中两个矩阵，左边的这个是2×3的矩阵、右边这个是3×2的矩阵，我们可以把右边这个矩阵的第一列抽出来，就变成了2×3的矩阵和一个3×1的列向量的乘法，这就和上一视频讲到的一样了。
如下图，我们就可以得到一个2×1的列向量：
类似的，把右边矩阵的第二列抽出来相乘又得到一个2×1的列向量，然后把这两步得到的列向量拼在一起就得到两个矩阵的乘的结果了。
一般情况
那上面那个特例中，左边是2×3的矩阵、右边是3×2的矩阵。
右边这个矩阵的行数、列数分别和左边矩阵的列数、行数相等，是不是说一般情况也有这种要求呢？我们一起看一下。
对于一般的情况，矩阵和矩阵的乘法的形式如下图：
从上面的图中可知，矩阵A×B，只要求A的列数要等于B的行数，而不一定要求A的行数等于B的列数；得到的结果矩阵C呢，C的行数和A的行数相等、C的列数和B的列数相等。
从前面的示例我们可知，矩阵A和矩阵B的乘，可以简化为矩阵A和矩阵B的列向量的乘，然后再把结果拼成C。
就完成了矩阵与矩阵的乘法。
矩阵和矩阵相乘，化简为矩阵和列向量相乘的过程中，右边的矩阵A会被用o次（即矩阵B的列数）、而矩阵B呢是被拆分成o个列向量来用的。
想想这个事挺有意思的。
再来一个例子
两个2×2的矩阵相乘，运算过程如下图：。
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第三章 矩阵与线性代数计算MATLAB ，即“矩阵实验室”，它是以矩阵为基本运算单元。
因此，本章从最基本的运算单元出发，介绍MATLAB 的命令及其用法。
3.1矩阵的定义由m×n 个元素a ij (i=1,2,…m;j=1,2,…n)排列成的矩形阵称为一个m 行n 列的矩阵,或m×n 阶矩阵，可以简记为A=(a ij ) m×n ，其中的a ij 叫做矩阵的第i 行第j 列元素。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m n m m n n a a a a a a a a a A212222111211当m=n 时，称A 为n 阶方阵，也叫n 阶矩阵；当m=1,n ≥2时，即A 中只有一行时，称A 为行矩阵，或行向量（1维数组）； 当m ≥2,n=1时，即A 中只有一列时，称A 为列矩阵，或列向量； 当m=1,n=1时，即A 中只有一个元素时，称A 为标量或数量（0维数组）。
3.2矩阵的生成1.实数值矩阵输入MATLAB 的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。
当然首要任务是输入待处理的向量或矩阵。
不管是任何矩阵（向量），我们可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。
所有元素处于一方括号（[ ]）内；当矩阵是多维（三维以上），且方括号内的元素是维数较低的矩阵时，会有多重的方括号。
如： 【例3－１】矩阵的生成例。
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]b=[1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9; 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9; 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9] Null_M = [ ] %生成一个空矩阵a =1 2 34 5 67 8 9b =1.0000 1.1000 1.2000 1.3000 1.4000 1.5000 1.60002.0000 2.1000 2.2000 2.3000 2.4000 2.5000 2.60003.0000 3.1000 3.2000 3.3000 3.4000 3.5000 3.60001.7000 1.8000 1.90002.7000 2.8000 2.90003.7000 3.8000 3.9000Null_M =[]2．复数矩阵输入复数矩阵有两种生成方式：【例3－2】a=2.7;b=13/25;C=[1,2*a+i*b,b*sqrt(a); sin(pi/4),a+5*b,3.5+1]C=1.0000 5.4000 + 0.5200i 0.85440.7071 5.3000 4.5000【例3－3】矩阵的生成例。
R=[1 2 3;4 5 6], M=[11 12 13;14 15 16]CN=R+i*MR =1 2 34 5 6M =11 12 1314 15 16CN =1.0000 +11.0000i2.0000 +12.0000i3.0000 +13.0000i4.0000 +14.0000i5.0000 +15.0000i6.0000 +16.0000i3 大矩阵的生成对于大型矩阵，一般创建M文件，以便于修改：【例3－4】用M文件创建大矩阵，文件名为c3e4.mexm=[ 456 468 873 2 579 5521 687 54 488 8 1365 4567 88 98 21 5456 68 4589 654 5 9875488 10 9 6 33 77在MA TLAB命令窗口输入：c3e4;size(exm) %显示exm的大小ans=5 6 %表示exm有5行6列。
4 特殊矩阵的生成命令全零阵函数zeros格式 B = zeros(n) %生成n×n全零阵B = zeros(m,n) %生成m×n全零阵B = zeros([m n]) %生成m×n全零阵B = zeros(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的全零阵命令单位阵函数eye格式Y = eye(n) %生成n×n单位阵Y = eye(m,n) %生成m×n单位阵Y = eye(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的单位阵命令全1阵函数ones格式Y = ones(n) %生成n×n全1阵Y = ones(m,n) %生成m×n全1阵Y = ones([m n]) %生成m×n全1阵Y = ones(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的全1阵命令均匀分布随机矩阵函数rand格式Y = rand(n) %生成n×n随机矩阵，其元素在（0，1）内Y = rand(m,n) %生成m×n随机矩阵Y = rand([m n]) %生成m×n随机矩阵Y = rand(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的随机矩阵【例3－5】产生一个3×4随机矩阵R=rand(3,4)R =0.9501 0.4860 0.4565 0.44470.2311 0.8913 0.0185 0.61540.6068 0.7621 0.8214 0.7919【例3－6】产生一个在区间[10, 20]内均匀分布的4阶随机矩阵a=10;b=20;x=a+(b-a)*rand(4)x =19.2181 19.3547 10.5789 11.388917.3821 19.1690 13.5287 12.027711.7627 14.1027 18.1317 11.987214.0571 18.9365 10.0986 16.0379命令正态分布随机矩阵函数randn格式Y = randn(n) %生成n×n正态分布随机矩阵Y = randn(m,n) %生成m×n正态分布随机矩阵Y = randn([m n]) %生成m×n正态分布随机矩阵Y = randn(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的正态分布随机矩阵【例3－7】产生均值为0.6，方差为0.1的4阶矩阵mu=0.6; sigma=0.1;x=mu+sqrt(sigma)*randn(4)x =0.8311 0.7799 0.1335 1.05650.7827 0.5192 0.5260 0.48900.6127 0.4806 0.6375 0.79710.8141 0.5064 0.6996 0.8527命令产生随机排列函数randperm格式 p = randperm(n) %产生1～n 之间整数的随机排列 【例3－8】整数的随机排列。
randperm(6) ans =3 2 1 54 6命令 产生线性等分向量函数 linspace格式 y = linspace(a,b) %在(a, b)上产生100个线性等分点 y = linspace(a,b,n) %在(a, b)上产生n 个线性等分点 命令 产生对数等分向量 函数 logspace格式 y = logspace(a,b) %在（ ）之间产生50个对数等分向量y = logspace(a,b,n)命令 计算矩阵中元素个数n = numel(a) %返回矩阵A 的元素的个数 命令 产生以输入元素为对角线元素的矩阵 函数 blkdiag格式 out = blkdiag(a,b,c,d,…) %产生以a,b,c,d,…为对角线元素的矩阵 【例3－9】产生以输入元素为对角线元素的矩阵 out = blkdiag(1,2,3,4) out =1 0 0 0 02 0 0 0 03 0 0 0 04 命令 Magic(魔方)矩阵函数 magic格式 M = magic(n) %产生n 阶魔方矩阵 【例3－10】产生3 阶魔方矩阵M=magic(3) M =8 1 6 3 5 74 9 2ba 10,103.3矩阵的加减乘除运算1 加、减运算设u 为一数量，A=(a ij ) m×n 和B=(b ij ) r×s 为两矩阵，则加减运算的规定为：对应元素相加、减，即按线性代数中矩阵的“十”，“一”运算进行。
u±A=(u±a ij ) m×nA±B=( a ij ± b ij ) m×n u*A=(u*a ij ) m×n【例3－11】矩阵的加减运算。
输入：u=9a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0] b=[3 4 5;6 7 8;9 10 2] c=u+a d=a-be=u*a % 和数组运算相同 结果：c = 10 11 12 13 14 15 16 17 9d = -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2e = 9 18 27 36 45 54 63 72 0 2 矩阵的乘及乘方运算设u 为一数量，A=(a ij ) m×l 和B=(b ij ) l×n 为两矩阵， A 的列数l 和B 的行数l 相等，可进行A 与B 的乘法运算。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ml m m l l a a a a a a a a a A212222111211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ln 212222111211b b b b b b b b b B l l n n⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=*=m n m m n n c c c c c c c c c B A C212222111211这里c ij =a i1b 1j +a i2b 2j +…a il b lj =tj lt itb a∑=1它表示C 的第i 行第j 列的元素是A 第i 行的各元分别与B 第j 列的各对应元的乘积的和。
【例3－12】矩阵的乘及乘方运算。
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0] f=[1 2 3] g=f*a h=f.*aa = 1 2 3 4 5 6 7 8 0 g = 30 36 15 ??? Error using ==> .* 3.方阵的求逆单位矩阵：主对角线上的元素都是1，其他各元素都是0的n 阶矩阵与任意n 阶矩阵A 左乘或右乘的乘积仍然是A 自身，即EA=AE=A ，因此我们叫E 为n 阶单位矩阵。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11 E 对满秩方阵A ，存在A -1，使A* A -1= A -1*A=E ；我们称A -1是A 的逆矩阵。
命令 逆 函数 inv格式 Y=inv(X) %求方阵X 的逆矩阵。
【例3－13】求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321A 的逆矩阵A=[1 2 3; 2 2 1; 3 4 3]; Y=inv(A)或Y=A^(-1) 则结果显示为Y =1.0000 3.0000 -2.0000 -1.5000 -3.0000 2.5000 1.0000 1.0000 -1.0000【例3－14】求逆运算。