差商及插值多项式

f [ x, x0 ,, xn1] f [ x0 , x1 ,, xn ] x xn
可以求得：
f [x, x0]
f ( x) f ( x0 ) x x0
f (x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [x, x0]
f [ x, x0 , x1]
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1] x x1
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3 ( x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
从而
f
[
x0
,
x1
,
x2
]

(
x0

f (x0) x1)( x0

x2
)

(
x1

f (x1) x0 )( x1

x2
)

(
x2

f (x2) x0 )( x2

x1
)
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 )
由性质1立刻可得。
性质3：若f(x)为n 次多项式，则f [x,x0]为关于x 的n1次多项式。
证明：已知
f [x, x0]
f ( x) f ( x0 ) x x0
pn ( x) pn ( x0 ) x x0
由于 x0是 pn (x) pn (x0 ) 0 的根，所以
f [x0, x1, x2 ] f [ x1, x2 , x3 ]
f [x0 , x1, x2 , x3 ]
例 2.2 已知函数 y=f(x) 的如下离散数据(1,0)、(2,2)、 (4,12)、 (5,20)、(6,70)，试求其各阶差商.
解：列差商表计算
x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商
f [ x0 , x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] x0 x2

f ( x0 )

f ( x1 )

f (x2)
( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
pn( x) pn( x0 ) ( x x0 )qn1( x)
故
f [x, x0]
f ( x) f ( x0 ) x x0
pn ( x) x

pn ( x0 x0
)

qn1( x)
类似的可以得到： f [x, x0 , x1] qn2( x)
也就是说，对多项式求一次差商，次数降低一次。
10
22
2
4 12
5
1
5 20
8
1
0
6 70
50
21
5
1
二、Newton 插值多项式
对于区间[a,b]内的离散点 x, x0 , x1, , xn及相应的 函数值 f ( x), f ( x0 ), f ( x1), , f ( xn ) ，计算如下差商：
f [x, x0]
f ( x) f ( x0 ) x x0
f ( x0 ) 2, f ( x1 ) 3.2, f ( x2 ) 4
可以求得
f
[ x0
,
x1 ]

2 3.2 0.1 0.3

1.2 0.2

6
3.2 4 0.8 f [ x1, x2 ] 0.3 0.5 0.2 4
f [x0 , x1, x2 ]
f [x0, x1] f [x1, x2 ] x0 x2
一般地，称k-1 阶差商的一阶差商
f [x0, x1,, xk1, xk ]
f [x0, x1,, xk1] f [x1, x2,, xk ] x0 xk
为f(x)关于点 x0 , x1,, xk 的 k 阶差商。
例如，已知f(x)在 x0 0.1, x1 0.3, x2 0.5 的函数值为：
由 3( x) ( x x0 )( x x1 )( x x2 )
得到 3 ( x) ( x x1 )( x x2 ) ( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 )
3 ( x0 ) ( x0 x1)( x0 x2 ) 3(x1) (x1 x0 )(x1 x2 )
f [ x, x0 , x1]
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1] x x1
f [ x, x0 , x1, x2 ]
f [ x, x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x x2

f [ x, x0 , x1,, xn ]
64 2 0.1 0.5 0.4
5
2.差商的性质
性质1：k 阶差商 f [x0 , x1,, xk1, xk ] 是由函数值
f ( x0 ), f ( x1), , f ( xk ) 的线性组合而成，即
f [ x0 , x1 ,, xk1 , xk ]
k f (xj)
j0 k 1( x j )
其中 k1( x) ( x x0 )( x x1 )( x xk )
以k=2进行证明。由
得到
f [ x0 , x1]
f ( x0 ) f ( x1 ) x0 x1
f [ x1, x2 ]
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
3 ( x0 ) 3 ( x1 ) 3 ( x2 )
2

f (xj)
j0 3 ( x j )
再由数学归纳法可证得：
f [ x0 , x1 ,, xk1 , xk ]
k f (xj)
j0 k 1( x j )
性质2:差商具有对称性,即k阶差商 f[x0 , x1 , … , xk-1 , xk ] 中，任意调换 xi , xj 的次序，其值不变。
f [x, x0 ] f [x0 , x1] ( x x1 ) f [x, x0 , x1]
3.差商的计算
为构造 Newton 插值多项式方便起见，计算差商时， 采用列表的方式进行。
xi yi f [ xi , xi1] f [ xi , xi1, xi2 ] f [ xi , xi1, xi2 , xi3 ]
x0 y0
x1 y1 f [ x0 , x1] x2 y2 f [x1, x2 ] x3 y3 f [x2, x3]