第四章弯曲挠度3-Lu

q
A
B
l
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解:1°建立坐标系。求支座反力。列弯矩方程：
FAy
FBy
1 2
ql
A
M ( x) ql x qx2
q l
Bx
2
2y
2o 梁的挠曲线微分方程为
EIw ql x qx2
2
2
积分 EIw ql x2 qx3 C 2 2 23
ql x3
qx4
EIw
D1=D2=0 因此，梁各段的转角方程和挠度方程为：
AD :
w1
1
Fb( l 2 b2 6 EI
)
Fbx 2 2 EIl
w1
Fb( l 2 b2 ) x Fb
6 EIl
6 EIl
x3
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DB :
w2
2
Fb( l 2 b2 ) 6 EIl
Fb 2 EIl
x2
F 2 EI
EI 2EI
A
Flx 2 Fx 3
w
y
2EI 6 EI
F
Bx
θmax
wmax
l
当 x = l 时：
max
w
xl
Fl 2 2 EI
Fl 3 wmax w xl 3EI
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例2：一简支梁受均布荷载作用，求梁的转角方程 和挠度方程，并确定最大挠度和A、B截面的转角。 设梁的抗弯刚度为EI。
( x a )2
w2
Fb( l 2 b2 )
Fb
x
6 EIl
6 EIl
x3 F 6 EI
( x a )3
当a b时，wmax应在AD段。
F
a
b
由w1 0，x0
l2 b2 。 3
A
x
y
CD l
Bx
wmax
w1
x x0
Fb（l 2
b
） 2
3 2
。
9 3EIl
wc
w1
x
l 2
Fb（3l 2 4b2）。 48EI
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第四章 弯曲变形
—— 梁的挠度计算
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§4-7 梁的变形
θ
p
A
C
w
p
B x
C
θ
y
在平面弯曲情况下，梁的轴线在形心主惯性平
面内弯成一条平面曲线。此曲线称为梁的挠曲线。
当材料在弹性范围时，挠曲线也称为弹性曲线。
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x a )2
C2
EIw 2
Fb 6l
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
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F
边界条件：x = 0 ，w1= 0。 x = l ，w2= 0。
a
b
A
CD
Bx
x
y
l
连续条件：x = a ，w1′= w2′， w1= w2
由连续条件，得：C1= C2， D1= D2
再由边界条件，得：C1= C2= Fb（l2-b2）/ 6l
EIw1
Fb l
x
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EIw1
Fb l
x
F
a
b
EI w 1
EI 1
Fb 2l
x2
C1
A
CD
Bx
x
EIw 1
Fb 6l
x3
C1x
D1
y
l
Fb DB : M ( x ) x F ( x a )
l
EI w 2
Fb l
x
F(
x
a
)
EIw2
EI 2
Fb 2l
x2
F 2
(
0.0625 Fbl 2 。 EI
a
b
A
CD
Bx
x
y
l
因此，受任意荷载的简支梁，只要挠曲线上没有 拐点，均可近似地将梁中点的挠度作为最大挠度。
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总结：
➢挠曲线的微分方程：E I w "= - M (x)
➢数学求解： EIw EI M( x)dx C
1
w
<<1
( x )
1 w2
3 2
1 M(x)
( x) EI z
A y
w M x
EI z
θ
p
C
w
p
C
θ
B x
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O
x
O
x
M
M
y
M<0
w" > 0
M
M
y
M>0
w"< 0
w M x
EI z
Biblioteka Baiduw M x
EI z
—— 挠曲线近似微分方程
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§4-9 用积分法计算梁的挠度与转角
对于等截面梁，EI = 常数。
E I w "= - M (x)
EIw EI M( x )dx C
EIw [ M (x)dx]dx Cx D
式中C, D 由梁支座处的已知位移条件即位 移边界条件确定。
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EIw EI M( x )dx C
θ
p
A
C
w
p
B x
y
C
θ
1、挠度: 梁的截面形心在垂直于轴线方向的线位
移w。
w= w(x)——挠曲线方程(挠度方程)。向下为正.
2、转角：梁的截面绕中性轴转过的角度θ。
小变形时，θ≈tanθ=dw (x)/dx=w'(x)——转角方 程。顺时针为正。
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§4-8 梁的挠曲线近似微分方程
Cx D
2 23 234
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边界条件
x0: w0 xl: w0
q
A
θA
y
wmax θB
Bx
l
得:C ql 3 24 , D 0
w
ql 3
ql
x2
q
x3
24EI 4EI 6 EI
ql 3
ql
w
x
x3
q
x4
24EI 12EI 24EI
5ql 4
wmax
w
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当F作 用 于 梁 中 点C时 ，wmax wc。
当F右 移 至B点 时 ，b 0，x0 0.577l。
wmax的 位 置 距 梁 中 点 仅 0.077l。
令
b2 0,
wmax
Fbl 2 9 3 EI
0.0642 Fbl 2 。 EI
F
wc
Fbl 2 16 EI
EIw [ M(x)dx]dx Cx D
如：
p
A
B
p A
边界条件： wA=0 wB=0
边界条件： wA=0 θA=0
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例1：一悬臂梁在自由端受集中力作用，求梁的 转角方程和挠度方程。并求最大转角和最大挠度。
设梁的抗弯刚度为EI。
F
A
B
l
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x
l 2
384EI
A
x0
ql 3 24EI
B
xl
ql3 24EI
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例3：已知F、EI，求梁的转角方程和挠度方程
及wmax 。
A
解:1°建立坐标系。
F
a
b
CD
Bx
求支座反力。
x
y
l
FAy
Fb l
,
FBy
Fa l
2°分段求出弯矩方程及w′、w。
AD :
M ( x ) Fbx , l
解：
A
1o M( x ) F( l x )
l
2o EIw M ( x ) y
Fl Fx
积分：
EIw' EI Flx Fx2 2 C
EIw Flx2 Fx3 Cx D 2 23
边界条件:
x 0:
w 0 w0
C0
D0
F Bx
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w Flx Fx 2