3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件
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量子力学复习题
3.6 算符与力学量的关系（续５）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
F Cn n C d
2 2 n
EX１ 求在能量本征态 n ( x) 量和动能的平均值 Solve
L * n
2 n x sin( ) 下，动 L L
ˆx, p ˆy, p ˆ z 彼此对易，它们有共同的 Ex.1 动量算符 p
本征函数完备系 i pr 3 2 (r ) (2) p e ( r ) 描述的状态中， px , p y , pz 同时有确定值。 在 p
ˆ ,L ˆ2 ] 0 ˆ2 和 L ˆ 对易，即 [ L Ex.2 角动量算符 L z z
( 2a 0 )
2
e
e
i pr cos
r 2 sin drdd
2
(2a0 )
2i
3
2
e
0 1 2
1
r a0
e
i pr cos
r drd cos
2 i pr
p (2a0 )
3
re
0
r a0
[e
i pr
e
]dr
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
思考题 （1）若两个厄米算符有共同本征态，它们是否就彼 此对易。 （2）若两个厄米算符不对易，是否一定就没有共同 本征态。 （3）若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都 同时具有确定值。 ˆ, B ˆ ] =常数，A ˆ 能否有共同本征态。 ˆ 和B （4）若 [ A ˆ 和L ˆ （5）角动量分量 L 能否有共同本征态。 x y
算符对易
(27)
将上式非0式合写，成为:
v v v ˆ × lˆ = i hlˆ l
(28)
另外，定义：角动量平方算符 v2 v2 v2 v2 l = lx + l y + lz (29) v l 2 , l = 0, α = x, y, z 则 (30) α v2 而 l 和 lx , l y , lz 的球坐标表达式以在3.2节中讲过。 3）算符一般性质补充
由于ψ 为任一波函数，所以 FG − GF = 0 即 F , G = 0
n
( FG − GF )ψ
(
= ∑ an ( λn µn − µn λn ) φn = 0
对易
)
逆定理：如果两个算符对易，则这两个算符有组成完 全系的共同本征函数。 两个算符对易的条件可以推广到任一多个算符，逆 定理也是。如果一组算符有共同的本征函数，而且这 些共同本征函数组成完全系，则这组算符中的任何一 个和其余算符对易。反之亦然。
同理
$, p y = ih y
$ z, pz = ih
(6)
(7)
注意(5),(6),(7)左边[ ]表算符乘积交易次序之差（测量 次序不同结果不同） 另外:
$ x, p y = 0
(8)
$ , pz = 0 y
px , p y = 0
2.力学量共同本征函数的例子：
v a) px , p y , pz 互相对易：共同本征函数 ψ p =
1
同时具有确定值 px , p y , pz ,
( 2π h )
3 2
e
i v v p•r h
v2 ˆ b)氢原子的哈密顿 H ，角动量平方算符 L ，角动量子 ψ 分量 Lz 互相对易，共同本征函数： nlm ( r ,θ , ϕ ) ，
算符对易关系_第三章
推导 坐标和动量的测不准关系 角动量的测不准关系
13
●
测不准关系的严格推导
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 设 F 和 G 的对易关系为 [F, G] ik
ˆ ˆˆ ˆˆ FG GF ik
ˆ ˆ ˆ ˆ F F F , G G G ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ FG GF (F F )(G G ) (G G )(F F ) ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ (FG FG FG FG) (GF GF GF GF)
12
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１2 ）
4．测不准关系 引言 由前面讨论表明，两对易力学量算符则同 时有确定值；不对易两力学量算符，一般 来说，不存在共同本征函数，不同时具有 确定值。 两个不对易算符所对应的力学量在某一状 态中究竟不确定到什么程度？即不确定度 是多少？ 测量值 Fn 与平均值 < F > 的偏差的 大小。
ˆ ˆ ˆ ˆ 若 [ F , G] 0 ， 则 F 与 G 对易
ˆ ˆ ˆ ˆ 若 [ F , G] 0 ，则 F 与 G 不对易
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１）
（1）力学量算符的基本对易关系 ˆ ˆ x, y 0 [x , x ] 0 , 1, 2, 3 ˆ ˆ y, z 0 x1 x, x2 y, x3 z ˆ 0 ˆ z, x
测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ ˆ 若算符F 和 G 具有共同的本征函数完全 定 理 ˆ ˆ 系，则 F 和 G 必对易。 ˆ ˆ prove: 设 n 是 F 和 G 的共同本征函数完全系，则
13
●
测不准关系的严格推导
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 设 F 和 G 的对易关系为 [F, G] ik
ˆ ˆˆ ˆˆ FG GF ik
ˆ ˆ ˆ ˆ F F F , G G G ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ FG GF (F F )(G G ) (G G )(F F ) ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ (FG FG FG FG) (GF GF GF GF)
12
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１2 ）
4．测不准关系 引言 由前面讨论表明，两对易力学量算符则同 时有确定值；不对易两力学量算符，一般 来说，不存在共同本征函数，不同时具有 确定值。 两个不对易算符所对应的力学量在某一状 态中究竟不确定到什么程度？即不确定度 是多少？ 测量值 Fn 与平均值 < F > 的偏差的 大小。
ˆ ˆ ˆ ˆ 若 [ F , G] 0 ， 则 F 与 G 对易
ˆ ˆ ˆ ˆ 若 [ F , G] 0 ，则 F 与 G 不对易
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１）
（1）力学量算符的基本对易关系 ˆ ˆ x, y 0 [x , x ] 0 , 1, 2, 3 ˆ ˆ y, z 0 x1 x, x2 y, x3 z ˆ 0 ˆ z, x
测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ ˆ 若算符F 和 G 具有共同的本征函数完全 定 理 ˆ ˆ 系，则 F 和 G 必对易。 ˆ ˆ prove: 设 n 是 F 和 G 的共同本征函数完全系，则
3.7 算符对易关系
ˆ ˆ ˆ ˆ = y[ p z , z p x ] + [ z , x p z ] p y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = yz[ pz , px ]+ y[ pz , z]px + x[z, pz ]py +[z, x]pz py
ˆ ˆ ˆ ˆ = y(−iℏ) px + x(iℏ) py = iℏ[ xpy − ypx ]
证明 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê]
利用 则
[Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ
ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ O,UE = OUE −UEO ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ = OUE −UOE +UOE −UEO
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ = OU −UO E +U OE − EO ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = O,U E +U O, E
对易关系
若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称 与 Û 不对易。 ，则称Ô
如 ： 算 符 例 x ˆ px = −iℏ 不 对 易 。
∂ x ∂
由于
ˆ xpxψ = x(−iℏ ∂∂x )ψ =−iℏx ∂∂xψ
ˆ px xψ = (−iℏ ∂∂x )xψ =−iℏψ −iℏx ∂∂xψ
所以
ˆ ˆ xpxψ − px xψ = iℏψ
(
)
ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ I (ξ ) = ξ A + iB ,ξ A + iB
(
)
) (
) )
ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ = ξ A ,ξ A + ξ A , iB + iB ,ξ A + iB , iB
3.7算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系
§3.6算符的对易 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系 一． 算符的对易关系对易关系(对易式)为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：[]A B B A B A -=, 对易式 (4-5) []A B B A B A+=+, 反对易式 (4-7)若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
1) ˆˆˆˆ[,][,]AB B A =- (4-6a) 2) ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B A C +=+ (4-6b) 3) ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]A BC B A C A B C =+ ，ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B C A C B =+，]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[B A k B k A = (4-6c) 4) [][][]B C A C B A C B A,,,+= (4-6d)5)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,[,]][,[,]][,[,]]0A B C B C A C A B ++=——称为 Jacobi （雅克比恒等式）。
(4-6e)1.坐标算符和动量算符的对易关系算符x ,和ˆx pi x∂=-∂ 不对易 证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂ i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂ i i x x ψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= （3.7.1） 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 （3.7.2） 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -= ， ˆˆz z zpp z i -= （3.7.3） 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系....ppt
用 A 对B 运算。一般说来算符之积不满足交换率：
AB BA
(18)
典型例子：
x,
px
x
px
px
x
i
(d)对易式的代数恒等式：
A,
B
B,
A
A,
B
C
A,
B
A,
C
A,
BC
B
A,
C
A,
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
(19)
AC, B
A
B,
C
A,
C
B
A,
B, C
B,
A, C
C,
2.例：自由粒子，3个自由度：
氢原子中电子，3个自由度：px , py , pz 三个量子
数
Hˆ , lˆ, lz
四n、,l测, m不准关系
1.设 和 的对易关系为
Fˆ Gˆ
FˆGˆ GˆFˆ ikˆ
(37)
令 Fˆ Fˆ F, Gˆ Gˆ G
(38)
则
Fˆ
2
Gˆ
2
k2
(39)
4
如果 k 不为 0 ，则 Fˆ 和 Gˆ 的均方偏差不会同时为 0，
乘积大于某一正数。例如
x,
px
i
则
2
2
2
X
px
4
(40)
证明：令函数
I
Fˆ
iGˆ
2
d
0
其中 为实参数，即分区域为变量变化的整个空间
I Fˆ iGˆ
Fˆ
i
Gˆ
d
Fˆ
pr
(25)
所以，l
, l
AB BA
(18)
典型例子：
x,
px
x
px
px
x
i
(d)对易式的代数恒等式：
A,
B
B,
A
A,
B
C
A,
B
A,
C
A,
BC
B
A,
C
A,
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
(19)
AC, B
A
B,
C
A,
C
B
A,
B, C
B,
A, C
C,
2.例：自由粒子，3个自由度：
氢原子中电子，3个自由度：px , py , pz 三个量子
数
Hˆ , lˆ, lz
四n、,l测, m不准关系
1.设 和 的对易关系为
Fˆ Gˆ
FˆGˆ GˆFˆ ikˆ
(37)
令 Fˆ Fˆ F, Gˆ Gˆ G
(38)
则
Fˆ
2
Gˆ
2
k2
(39)
4
如果 k 不为 0 ，则 Fˆ 和 Gˆ 的均方偏差不会同时为 0，
乘积大于某一正数。例如
x,
px
i
则
2
2
2
X
px
4
(40)
证明：令函数
I
Fˆ
iGˆ
2
d
0
其中 为实参数，即分区域为变量变化的整个空间
I Fˆ iGˆ
Fˆ
i
Gˆ
d
Fˆ
pr
(25)
所以，l
, l
算符对易关系第三章-精品文档
等于零
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y [ p , z p ] y [ p , x p ] [ z , z p ] p [ z , x p ] p z x z z x y z y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y [ p , z ] p y z [ p ,] p [ z , x ] p p x [ z ,] p p z x z x z y z y
0 0 0
, 1 ,2 ,3 [x , x ] 0
x xx , 2 yx , 3 z 1
ˆx, p ˆy] 0 [p ˆy, p ˆz] 0 [p ˆz, p ˆx] 0 [p
, 1 ,2 ,3 ˆ ˆ p , p 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( p p p p ) 1 x , p 2 y , p 3 z
ˆ] 0 ， 则 F ˆ 与G ˆ, G ˆ 对易 若 [F
ˆ与G ˆ 不对易 ˆ] 0 ，则 F ˆ, G 若 [F
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１）
（1）力学量算符的基本对易关系
xˆ , yˆ yˆ , zˆ zˆ , xˆ
1 i s a n o d d p e r m u t a t i o n o fx y z 1 i s a n e v e n p e r m u t a t i o n o fx y z 0o t h e r w i s e
2 ˆ ˆ [L , L ] 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ A ,B ] C B [ A , C ]
4
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
§3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件.
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件测不准关系一、泊松括号 “ [” 1．定义：∧∧∧∧∧∧-=A B B A B A ],[ 2．性质：],[],[∧∧∧∧-=A B B A为常数λλλλ],[],[],[∧∧∧∧∧∧==B A B A B A],[],[],[∧∧∧∧∧∧∧+=+C A B A C B A （1）],[],[],[∧∧∧∧∧∧∧∧∧+=C A B C B A C B A∧∧∧∧∧∧∧∧∧+=B C A C B A C B A ],[],[],[0]],[[]],[,[]],[,[=++∧∧∧∧∧∧∧∧∧B A C A C B C B A计算力学量算符对易式的基本方法有二：一是将对易式作用在任意函数上，进行运算，以求之。
二、量子力学的基本对易式下面我们用第一种方法求出坐标、动量算符之间的对易式。
对于任意函数ψ，有()ψψψψψψψ i i x x i x x i x x i x x i x P P x x x =+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛-∧∧由ψ的任意性，设i P x x =∧∧],[ （2） 同理： i P y y =∧∧],[],[0],[0],[],[====∧∧∧∧∧∧∧∧y x x y z P P P y P x i P z将以上式子写成通式有：αββαδ i P x =∧∧],[ （3）0],[=∧∧βαP P （4） 其中 ⎪⎩⎪⎨⎧≠===βαβαδβααβ1,,,zy x由上可知：动量分量和它所对应的坐标是不对易的，而和它不对应的坐标是对易的；动量各分量之间也是对易的。
力学量都是坐标和动量的函数，知道了坐标和动量之间的对易关系后，就可以得出其他力学之间的对易关系。
三、角动量算符的对易式)(],[],[0]],[],[],[],[00],[],[],[],[],[],[],[],[x y y x yz z x z x z yz z y z x x z z y x y z z y z z x y z y x P y P x i P x i P y i P P x z P z x P z P P P z y P P x z P x P z P P z y P z P y P x P z P z P z P x P y P z P y P x P z P z P y l l ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧-=+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=++-++=+--=--=z l i = （5）同理： x z y l i l l ∧∧∧= ],[ （6） y x z l i l l ∧∧∧= ],[ （7） （5）、（6）和（7）三式可以合写为一个矢量公式∧∧∧=⨯L i L L（8）上式可看作是角动量算符的定义。
量子力学 第三章3.7算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系
ˆ x,x ˆ y ] [z ˆz,x ˆ y ] +[ ˆp ˆp ˆp ˆp ˆz,y ˆx] ˆx,y ˆ x ] [x ˆp ˆp ˆp ˆp =[ z x
ˆ x,x ˆ y +y ˆ[ p ˆ ]p ˆ x ]p ˆz ˆ [x ˆ,p =z
ˆz z ˆy) ˆp ˆp = i ( y
它们只是在态平均的意义上成立所以说某点或某一区域粒子的总能量等于动能与势能之和就没有意义了即在势垒内部粒子动能为负值的说法不成立
研究算符之间的关系以及它们代表的物理量之间的关系
一、算符的对易关系：
对于任意的波函数，
ˆ 对易 ˆ,G 0 F ˆ ,F ˆF ˆ ˆ G ˆ F ˆG G ˆ 不对易 ˆ,G 0 F
ˆ 和G ˆ 有一组共同本征函数 ， 定理1：如果两个算符 F
n
ˆ和 G ˆ 对易。 而且 n组成完全系，则算符 F
ˆ 有一组共同的本征函数 ， ˆ 和G 证明：设有两力学量 F n
ˆ F n n n
展为级数： 。 a n n
n
ˆ G n n n
而 n 组成完全系，即对于任意的波函数 都可按{ n}
ˆ n 也是 即G
②
ˆ 属于 n 的本征函数。 F
而 n 非简并，
ˆ n 与 最多只能差一常数因子，记为 n ，即： 则G n
ˆ G n n n
ˆ 的本征函数，本征值为 n 。 这样 n也是 G
ˆ 有组成完全系的共同的本征函数 n 。 ˆ 和G 所以 F
e2s 1 2 1 1 2 [ 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 ] 2 2 r r r r sin r sin r
ˆ x,x ˆ y +y ˆ[ p ˆ ]p ˆ x ]p ˆz ˆ [x ˆ,p =z
ˆz z ˆy) ˆp ˆp = i ( y
它们只是在态平均的意义上成立所以说某点或某一区域粒子的总能量等于动能与势能之和就没有意义了即在势垒内部粒子动能为负值的说法不成立
研究算符之间的关系以及它们代表的物理量之间的关系
一、算符的对易关系：
对于任意的波函数，
ˆ 对易 ˆ,G 0 F ˆ ,F ˆF ˆ ˆ G ˆ F ˆG G ˆ 不对易 ˆ,G 0 F
ˆ 和G ˆ 有一组共同本征函数 ， 定理1：如果两个算符 F
n
ˆ和 G ˆ 对易。 而且 n组成完全系，则算符 F
ˆ 有一组共同的本征函数 ， ˆ 和G 证明：设有两力学量 F n
ˆ F n n n
展为级数： 。 a n n
n
ˆ G n n n
而 n 组成完全系，即对于任意的波函数 都可按{ n}
ˆ n 也是 即G
②
ˆ 属于 n 的本征函数。 F
而 n 非简并，
ˆ n 与 最多只能差一常数因子，记为 n ，即： 则G n
ˆ G n n n
ˆ 的本征函数，本征值为 n 。 这样 n也是 G
ˆ 有组成完全系的共同的本征函数 n 。 ˆ 和G 所以 F
e2s 1 2 1 1 2 [ 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 ] 2 2 r r r r sin r sin r
算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系
对易 关系
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续２）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
xˆ, yˆ 0
yˆ, zˆ 0
zˆ, xˆ 0
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
2．力学量同时有确定值的条件
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
定理
若算符Fˆ 和 Gˆ 具有共同的本征函数完全 系，则 Fˆ 和 Gˆ 必对易。
prove: 设 n 是 Fˆ 和 Gˆ 的共同本征函数完全系，则
Fˆn nn , Gˆn nn
ห้องสมุดไป่ตู้
[ pˆ y , Lˆy ] 0
y[ pˆz , Lˆy ] [ y, Lˆy ]pˆz z[ pˆ y, Lˆy ] [zˆ, Lˆy ]pˆ y
[ y, Lˆy ] 0 y[ pˆ z , zpˆ x xpˆ z ] [zˆ, zpˆ x xpˆ z ] pˆ y 等于零
y[ pˆ z , zpˆ x ] y[ pˆ z , xpˆ z ] [z, zpˆ x ] pˆ y [z, xpˆ z ] pˆ y
x
ihU
f x
ihf
U x
ihU
f x
ihf
U x
ih
U x
f
U
x
,
Pˆx
ih
U x
特别地，当U x x 代入上对易式，即证得 x, Pˆx ih
同理可证： y, Pˆy ih z, Pˆz ih
3
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续３）
算符的对易关系
确定值：En , l l 1
2
,m
三、力学量完全集
1.要完全确定体系的状态，需要有互相对易的力学量， 通过他们的本征值，这一组完全确定体系状态的力学量， 称为力学量的完全集。其力学量数目一般等于自由度数。
px , p y , pz 氢原子中电子，3个自由度： 三个量子 ˆ ˆ 数 H , l , lz
x a, x px
2 2
2
4
, px
2
2
4a
T
px
2
2
2
8 a
例2）线性谐振子零点能是测不准关系所要求的最小 能量 p2 1 2 2 E x 2 2 2 2 x 2 而 x Nn e H n2 x xdx 0
2.力学量共同本征函数的例子：
a) px , p y , pz 互相对易：共同本征函数 p
1
i 3 2
同时具有确定值 px, py , pz ,
2
e
pr
ˆ ，角动量平方算符 L2 ，角动量子 b)氢原子的哈密顿 H nlm r , , ， 分量 Lz 互相对易，共同本征函数：
又
(33)
(b) 算符的函数
设给定一函数 F x 存在各阶导数，幂级数张开收敛：
F x
n 0
F
n
0
n!
xn
(34)
d ax 如 F x e : F e dx
a
d dx
二、两个算符对易的条件
an d n n n ! dx n 0
2
0
(43)
ˆ 不对易， ˆ,G ˆ 的均方偏差不能同 ˆ,G 当 F k 0 ，则 F 时为0，而者乘积恒大于某一正数。
2
,m
三、力学量完全集
1.要完全确定体系的状态，需要有互相对易的力学量， 通过他们的本征值，这一组完全确定体系状态的力学量， 称为力学量的完全集。其力学量数目一般等于自由度数。
px , p y , pz 氢原子中电子，3个自由度： 三个量子 ˆ ˆ 数 H , l , lz
x a, x px
2 2
2
4
, px
2
2
4a
T
px
2
2
2
8 a
例2）线性谐振子零点能是测不准关系所要求的最小 能量 p2 1 2 2 E x 2 2 2 2 x 2 而 x Nn e H n2 x xdx 0
2.力学量共同本征函数的例子：
a) px , p y , pz 互相对易：共同本征函数 p
1
i 3 2
同时具有确定值 px, py , pz ,
2
e
pr
ˆ ，角动量平方算符 L2 ，角动量子 b)氢原子的哈密顿 H nlm r , , ， 分量 Lz 互相对易，共同本征函数：
又
(33)
(b) 算符的函数
设给定一函数 F x 存在各阶导数，幂级数张开收敛：
F x
n 0
F
n
0
n!
xn
(34)
d ax 如 F x e : F e dx
a
d dx
二、两个算符对易的条件
an d n n n ! dx n 0
2
0
(43)
ˆ 不对易， ˆ,G ˆ 的均方偏差不能同 ˆ,G 当 F k 0 ，则 F 时为0，而者乘积恒大于某一正数。
算符的对易关系 共同本征态函数 测不准关系
因此，
xpx
(n1) 22
不确定关系是量子力学中的基本关系，它反 映了微观粒子波粒二象性。
2021/8/17
23
例2：一维谐振子的不确定关系
【解】 振子的平均能量是 x 0 ，（见4.22式）
p 0 ， （见4.32式）
2021/8/17 又（： 见4.23x式2 n）(n1 2)M
22
px2
n
(n1)M
2
，
（见4.33式）
x x2 x2 x2 (n1)
n
n
2M
p xp x 2np x2 p xp x 2n(n 1 2 )M
16
2. 不确定关系的严格证明 在量子力学中力学量的不确定关系 FG ？
证明： 第1步：设两任意厄米算符 Fˆ , Gˆ的对易关系为
F ˆ,G ˆ iK ˆ——
或厄米算符
F ˆG ˆG ˆF ˆiK ˆ ——Kˆ
为实数
构造态函数
对任意态函数 ，再构造出一个新的任意态 (Fˆ iGˆ) 函数（其中 是实参数），
G (G ˆG)2
所以
：
FG 1 2
K
这就是常见的不确定关系的一般表达式。
例1：坐标和动量的不确定关系
取 Fˆx,G ˆpˆx
xˆ,p ˆxi对比对易关系 F ˆ,G ˆ iK ˆ
2021/8/17
21
得 Kˆ 由公式 FG1 K
2
xpx 2 ，这正是大家所熟悉的不确定关系。具 体的 xpx ? 需要具体来求。
2021/8/17
17
第2步 ——计算态函数内积
I()(F ˆiG ˆ,F ˆiG ˆ)0（被积函数不小于零）
展开为 :
第三章量子力学中的力学量5
算符对易关系、 §3.7 算符对易关系、两算符同时具有确定值的 条件、 条件、测不准关系
（一）两算符对易的物理含义 前面我们已经提到了一些常见算符的对易关系，这些对易关系 前面我们已经提到了一些常见算符的对易关系，这些对易关系 到底有什么物理意义 物理意义？ 到底有什么物理意义？这个问题将在这节课得到阐明 下面给出了一些常见力学量算符之间的对易关系。 下面给出了一些常见力学量算符之间的对易关系。这些对易关 系需要牢记并能够证明。 系需要牢记并能够证明。
px , p y , pz
ˆ ˆ ˆ H , L2 , Lz
两两对易
r 具有完备的共同本征函数系： 具有完备的共同本征函数系： ψ nlm (r ) = Rnl (r )Ylm (θ , ϕ )
同时具有确定值
En , l (l + 1)h 2 , mh
例 3：
ˆ L2 ˆ ˆ = z ,L 定轴转子： 定轴转子： H z 2I
由上面的结论可以看出，算符之间的对易关系可分为两种： 由上面的结论可以看出，算符之间的对易关系可分为两种：相 互对易和不对易。下面我们将看到算符间的对易关系关系直接 互对易和不对易。下面我们将看到算符间的对易关系关系直接 关系到算符表示的力学量是否有可能同时具有确定值。 有可能同时具有确定值 关系到算符表示的力学量是否有可能同时具有确定值。 ˆ ˆ 前面我们已经知道如果某波函数 ψ 是算符 F 和算符 G的共同本 征函数， 同时具有确定的观测值。 征函数，那么力学量 F 和 G 同时具有确定的观测值。确定值就 是它们的本征值 λ 和 µ ，即： ˆ ˆψ Fψ = λψ G = µψ 以上说法的逆也是正确的：如果在状态 ψ 中，力学量 F 有确 以上说法的逆也是正确的： 说法的逆也是正确的 ˆ 的本征函数， 定值， 定值，那么 ψ 必为算符 F 的本征函数，如果同时力学量 G 也 ˆ 的本征函数。 有确定值， 是它们的共 有确定值，那么ψ 也是算符 G 的本征函数。即 ψ 是它们的共 同本征函数。 同本征函数。 结论 两个算符具有共同本征函数和两个算符对应的力学量能够同时 取确定值是等价的。但是需要注意的是， 取确定值是等价的。但是需要注意的是，这并不意味着在任何 状态下两个力学量都能取确定值。 状态下两个力学量都能取确定值。
（一）两算符对易的物理含义 前面我们已经提到了一些常见算符的对易关系，这些对易关系 前面我们已经提到了一些常见算符的对易关系，这些对易关系 到底有什么物理意义 物理意义？ 到底有什么物理意义？这个问题将在这节课得到阐明 下面给出了一些常见力学量算符之间的对易关系。 下面给出了一些常见力学量算符之间的对易关系。这些对易关 系需要牢记并能够证明。 系需要牢记并能够证明。
px , p y , pz
ˆ ˆ ˆ H , L2 , Lz
两两对易
r 具有完备的共同本征函数系： 具有完备的共同本征函数系： ψ nlm (r ) = Rnl (r )Ylm (θ , ϕ )
同时具有确定值
En , l (l + 1)h 2 , mh
例 3：
ˆ L2 ˆ ˆ = z ,L 定轴转子： 定轴转子： H z 2I
由上面的结论可以看出，算符之间的对易关系可分为两种： 由上面的结论可以看出，算符之间的对易关系可分为两种：相 互对易和不对易。下面我们将看到算符间的对易关系关系直接 互对易和不对易。下面我们将看到算符间的对易关系关系直接 关系到算符表示的力学量是否有可能同时具有确定值。 有可能同时具有确定值 关系到算符表示的力学量是否有可能同时具有确定值。 ˆ ˆ 前面我们已经知道如果某波函数 ψ 是算符 F 和算符 G的共同本 征函数， 同时具有确定的观测值。 征函数，那么力学量 F 和 G 同时具有确定的观测值。确定值就 是它们的本征值 λ 和 µ ，即： ˆ ˆψ Fψ = λψ G = µψ 以上说法的逆也是正确的：如果在状态 ψ 中，力学量 F 有确 以上说法的逆也是正确的： 说法的逆也是正确的 ˆ 的本征函数， 定值， 定值，那么 ψ 必为算符 F 的本征函数，如果同时力学量 G 也 ˆ 的本征函数。 有确定值， 是它们的共 有确定值，那么ψ 也是算符 G 的本征函数。即 ψ 是它们的共 同本征函数。 同本征函数。 结论 两个算符具有共同本征函数和两个算符对应的力学量能够同时 取确定值是等价的。但是需要注意的是， 取确定值是等价的。但是需要注意的是，这并不意味着在任何 状态下两个力学量都能取确定值。 状态下两个力学量都能取确定值。
算符对易关系_第三章教材
测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ 具有共同的本征函数完全 ˆ 和G 若算符F 定 理 ˆ 必对易。 ˆ 和G 系，则 F ˆ 和G ˆ 的共同本征函数完全系，则 prove: 设 n 是 F
ˆ ˆ , G F n n n n n n
11
Ex.5
可能同时有确定值。
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续11）
3. 力学量完全集合 （1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的 力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。 Ex.1 三维空间中自由粒子，完全确 ˆ ˆ ˆ p , p , p x y z. 定其状态需要三个两两对易的 力学量： ˆ ,L ˆ2 , L ˆ . Ex.2 氢原子，完全确定其状态也需 H z 要三个两两对易的力学量： 一维谐振子，只需要一个力学 ˆ Ex.3 H 量就可完全确定其状态： （2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度 数相同。 （3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体 系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态 均可用它展开。
ˆ ˆ G ˆF ˆG ˆ ik F 2 ˆ ) d ˆ iG 考虑积分： I ( ) (F ˆ )* ][F ˆ ]d ˆ )* i (G ˆ iG [(F
* ˆ ) (G )* F ˆ ˆ )d i [(F ˆ )* (G ˆ ]d (F ) (F 2
（2 ） 为简单起见，先考虑非简并情况。由（ 1 ）、（ 2 ） ˆ 都是 F ˆ 属于本征值 的本征函数，它 式知，n 和 G n n 们最多相差一个常数因子 n ，即
ˆ ˆ G ˆ ˆ ˆ GF FG n n n n
算符对易关系第三章
[Hˆ , Lˆ2 ] 0 [Hˆ , Lˆz ] 0 [Lˆ2 , Lˆz ] 0
它们有共同的本征函数完备系 { nlm (r, ,) }
在nlm r,, 状态中， 故 H , L2 , Lz 可同时有确定值:
En
es4
2n2 2
,
L2 l(l 1) 2,
征函数完全系
prove: 设 n 是 Fˆ 的本征函数完全系，则
Fˆn nn
（1）
若算符 Fˆ 与 Gˆ 对易，则 FˆGˆ GˆFˆ
FˆGˆn GˆFˆn nGˆn
（2）
为简单起见，先考虑非简并情况。由（1）、（2）
式知，n 和 Gˆn 都是 Fˆ 属于本征值n 的本征函数，它
[x , x ] 0 , 1, 2, 3
x1 x, x2 y, x3 z
pˆ , pˆ 0 , 1, 2, 3 ( pˆ1 pˆ x, pˆ 2 pˆ y, pˆ3 pˆ z )
x, pˆx i
y, pˆ y i
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续１）
（1）力学量算符的基本对易关系
xˆ, yˆ 0
yˆ, zˆ 0
zˆ, xˆ 0
[ pˆ x , pˆ y ] 0
[ pˆ y ,
pˆ z ] 0
[ pˆ z ,
pˆ x ] 0
y[ pˆ z , z] pˆ x yz[ pˆ z , pˆ x ] [z, x]pˆ z pˆ y x[z, pˆ z ] pˆ y
i ypˆ x i xpˆ y
【量子力学】3.7 算符的对易关系 不确定关系
=0
二、对易关系的物理意义
1. 定理：如果两个算符 F^和 G有^ 一组共同的本征
2. 3.
函数，而且组成完备系，则算符
G对^n 易.
和F^
证明：设 Fˆn fnn， Gˆn gnn 当本征函数时 (FˆGˆ GˆFˆ )n gn fnn fngnn 0
FˆGˆ GˆFˆ
即有 Fˆ ,Gˆ 0
一般情况，力学量完全集所包含的力学量 个数等于体系的自由度数。
例:① 三维空间中自由粒子的自由度是3, 完全确 定它的状态需 p^三p个^p力^学量.
x yz
②态氢需原子H^中,3^lr2电个,^lz子相自互由对度易是的3力,完学全量确. 定它的状
三、非对易关系的物理意义----不确定关系
1、不确定关系的严格推导
对易关系的物理意义： 若两算符对易，则两算符存在共同的本征函
数。在其共同本征函数所描写的态中，两算符 表示的力学量同时有确定的值。
推广到两个以上算符： 若一组算符存在共同的本征函数。而且这些
共同本征函数组成完备系，则这组算符中的任 何一个和其余的算符对应。
其逆定理也成立。
如：①动量 P^x, P^y满, P^z足
（1）引
由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值； 若不对易，一般来说，不存在共同本征函数， 不同时具有确定值。
量同时具有确定值。
3.力学量完全集
要完全确定系统所处的状态，需要一组相互对易的 力学量（通常通过它们的本征值），这一组完全确定体 系状态的力学量称之为力学量的完全集合.
（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。
例 1： 三维空间中自由粒子，完全确定其 状态需要三个两两对易的力学量：
二、对易关系的物理意义
1. 定理：如果两个算符 F^和 G有^ 一组共同的本征
2. 3.
函数，而且组成完备系，则算符
G对^n 易.
和F^
证明：设 Fˆn fnn， Gˆn gnn 当本征函数时 (FˆGˆ GˆFˆ )n gn fnn fngnn 0
FˆGˆ GˆFˆ
即有 Fˆ ,Gˆ 0
一般情况，力学量完全集所包含的力学量 个数等于体系的自由度数。
例:① 三维空间中自由粒子的自由度是3, 完全确 定它的状态需 p^三p个^p力^学量.
x yz
②态氢需原子H^中,3^lr2电个,^lz子相自互由对度易是的3力,完学全量确. 定它的状
三、非对易关系的物理意义----不确定关系
1、不确定关系的严格推导
对易关系的物理意义： 若两算符对易，则两算符存在共同的本征函
数。在其共同本征函数所描写的态中，两算符 表示的力学量同时有确定的值。
推广到两个以上算符： 若一组算符存在共同的本征函数。而且这些
共同本征函数组成完备系，则这组算符中的任 何一个和其余的算符对应。
其逆定理也成立。
如：①动量 P^x, P^y满, P^z足
（1）引
由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值； 若不对易，一般来说，不存在共同本征函数， 不同时具有确定值。
量同时具有确定值。
3.力学量完全集
要完全确定系统所处的状态，需要一组相互对易的 力学量（通常通过它们的本征值），这一组完全确定体 系状态的力学量称之为力学量的完全集合.
（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。
例 1： 三维空间中自由粒子，完全确定其 状态需要三个两两对易的力学量：
算符的对易关系
A B A B
(15)
2
2 2 p l 如哈密顿算符 H T U ，而 T 2 r , 2 2 2 r 1 pr i ， A B B A ， r r
A B C A B C
(16)
同理
y, p y i
z , pz i
(6)
(7)
注意(5),(6),(7)左边[ ]表算符乘积交易次序之差（测量 次序不同结果不同）
另外:
x, py 0
(8)
y, pz 0
px , p y 0
称上面三组算符之间对易
则 3）算符一般性质补充
(a) 逆运算
设 A (31) 能够唯一解出 ，则定义算符 A 1 1 (32) 的逆 A 为： A 不是所有算符存在逆算符，如矢量分解，投影算符。
1 AA A A I , A, A 0 1 1 1 AB B A 1 1
2
2.测不准关系的应用例子
例1）隧道效应中的粒子能量 2 ˆ p p ˆ ˆ V ˆ ˆ T E U x H U x (44) 2 2 ˆ与 p ˆ 不对易，所以动能算符与势能算符不对易， 由于 x 所以（44）式应理解为一个态中平均总能量为平均势 能和平均动能之和，注意，求平均值对变量变化的整 a 个区域积分。当粒子在势垒范围内 x 被发现时， 由测不准关系粒子动能就在一定范围内不确定：
(19)
2）角动量算符之间的对易关系
力学量都是坐标和动量的函数，由基本对易关系 量之间的对易关系。
x , p i 和恒等式(19)之一，可以导出其它力学
量子力学 算符之间的对易关系
（29）
K 是一个力学量算符或普通的数。首先定义
F F F , G G G
[ F,G] [F,G] i K
（30） （31）
•
注意， F
,
G
仍为厄米算符，若巧妙设计积分
I ( ) | F i G |2 d 0
（32）
设两个算符
F n an
F及和G Gn有一b个n共，同即的在本n征态函中数可以n 同，时则确必定有
这两个力学量的数值，那么
(F G G F )n (ab ab )n 0
这似乎提醒我们有 (F G G F) 0，但下结论过早，因为
px
,
py
0
p
y
,
p
z
0
p
z
,
p
x
0
坐标算符与动量算符：设 为任意函数
（12） （13）
p
x
x
x
px
ix
x
i (x ) i
x
ix
x
• 比较后可得
x px px x i
1 i
Ylm* L y L z Ylmd
Ylm*
Lz
Ly
Ylm
d
1 i
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第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation 一、算符间的对易关系 (Commutation relation of operators)
ˆ ,L ˆ ]i L ˆ [ L x y z ˆ ˆ ]i L ˆ [ Ly , L z x ˆ ˆ ]i L ˆ [ L , L z x y
ˆ ˆ ˆ [ L , L ] i L , 123 1 εαβγ—列维--斯维塔(j (j=1,2,…) 分别将gj代入前式可得对应于每个gj的一组解
第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
所以相应的波函数
n j ai jni ( j 1, 2,
ˆ y (i p ˆz ) i p ˆz p ˆy p ˆ z (i p ˆy) i p ˆy p ˆz 0 00 p
ˆ ,p ˆ ,p ˆ 2 ] 0,[ L ˆ 2] 0 [L y z
第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
x x x x x x x
ˆ , r 2 ] 0,[ L ˆ ,r 2] 0 0 0 y (i z ) (i z ) y z (i y) i yz 0 [ L y z
2 2 2 ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ 2 ] [L ˆ ˆ ˆ ] [ L ] [ L 又因为 [ L x y z]
ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ x[L ˆ x ] [L ˆx]p ˆx p ˆ y[L ˆ y ] [L ˆ y]p ˆy p ˆ z[L ˆ z ] [L ˆz]p ˆz p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ2] p ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z ]p ˆz [L [ L ] [ L ] p p [ L ] [ L ] p p [ L ] [ L x x x x x x x y x y x y y z x z x
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation
第三章 量子力学中的力学量
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
ˆ 的共同本征函数为: ˆ,G 设: F n
n aini
i 1
sn
^ 的本征函数,本征值为f . 显然:n是 F n ^ 的本征函数,令 为了 也是 G
ˆr ˆ p ˆ 2,角动量算符的对易式: L
ˆ ,L ˆ ] L ˆ L ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [L x y x y Ly Lx ( ypz zp y )( zpx xpz ) ˆ ˆ x xp ˆ z )( yp ˆ z zp ˆ y ) ( yp ˆ x xp ˆ y )( p ˆ z z zp ˆz) i L ( zp z
二、对易关系的物理意义 (Physical Significance of commutation relation) 1,定理1 :如果两个算符F和G有一组共同的本征函数 φn ,而且组成完备系,则算符F和G对易. ˆ g ˆ f , G 证明:设 F n n n n n n
ˆ ˆ ) f g g f 0 ˆ ˆ GF (FG n n n n n n n ˆ ˆ ,[ F ˆ] 0 ˆ ˆ GF ˆ,G 即有 FG
1,基本对易式:
ˆ , p ˆ ] i , [x 1 ( ) 0 ( )
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第三章 量子力学中的力学量
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
ˆ x x ˆ x x xp ,p ( x ) x i x i x i x i
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
一、算符间的对易关系 (Commutation relation of operators) 二、对易关系的物理意义 (Physical significance of commutation relation) 三、非对易关系的物理意义——测不准关系 (Physical significance of commutation relation Uncertainty relation )
i
, sn )
ˆ g ˆ f , G 满足 : F nj n nj nj j nj
^、 ^ 的共同本征函数,本征值分别为f ,g 即: nj 是 F G n j
^属于f 的s 个本征函数 所以: F n n ni ^ 的s 个本征值g 来分类 可按 G n j 一组(fn,gj ) 确定的本征函数nj ,sn 度简并解除.
ˆˆ x p ˆxx ˆ i xp
ˆˆ x p ˆxx ˆ) [ x ˆ, p ˆx] i ( xp
ˆˆx p ˆxx ˆ) x ˆ, p ˆx i ( xp ˆˆy p ˆyy ˆ) [ y ˆ, p ˆy] i ( yp ˆˆ ˆzz ˆz] i ˆ) [ z ˆ, p ( zpz p
第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
②,若 det(Gji g ji ) 0 有重根:则还需再找出 ^、 ^ 对易的力学量,才能确定体系的状态. 与F G ^、G ^ 的本征函数 构成完全系,所以 F ^ 因为 F nj 的共同本征函数也组成完全系. 对易关系的物理意义: 若两算符对易,则两算符存在共同本征 函数.在其共同本征函数所描写的态中, 两算符表示的力学量同时有确定的值.
ˆL ˆ i L ˆ 角动量算符定义: L
第三章 量子力学中的力学量
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
ˆ ,x [ L ˆ ˆ ] i x ˆ ˆ ] i p ˆ 同理可证: [ L , p ˆ2 ˆ [ L , L ] 0, ( x, y, z )
sn
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第三章 量子力学中的力学量
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sn
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
* ˆ * a G dx g a i nj ni i njni dx, j 1, 2,
sn
a G
i 1 i
sn
i 1
又因fn 是无简并的,所以:
ˆ 与 描述同一状态,两者只差一个常数. G n n ˆ g ,即 也是G ˆ的本征函数 G
n n n n
ˆ, F ˆ的共同本征函数 结论 : n是G
第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
n
ˆ G ˆ a g a g 是 G ^ 的本征值 G i ni i ni n
i 1 i 1
sn
sn
* 同时左乘 nj ,积分
* ˆ * a G dx g a i nj ni i njni dx, j 1, 2, i 1 i 1 sn sn
ji
g
i 1
sn
i 1
sn
* ˆ * G G dx , ai ji ji nj ni ji njni dx
(G
i 1
sn
ji
g ji )ai 0 线性齐次方程组
det(Gji g ji ) 0 aij ,( j 1, 2,..., sn )
2,定理2 :如果两个算符F、G对易,则这两个算符有 共同的本征函数,这些本征函数组成完备系. ˆ f GF ˆ ˆ f G ˆ 证明:(1),非简并,设 F n n n n n n
ˆ ˆ ˆ f G ˆ ] 0,GF ˆ ˆ FG ˆ,G ˆ ˆ FG [F n n n ˆ 也是F ˆ 本征值为f 的本征函数 即G n n
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ˆ x , F ( x)] i [ F F ] [p x x
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
ˆ 2 ˆ ˆ2] 0 [ L , r ] 0,[ L ,p [例题]证明(原课件): ˆ , r 2 ] [L ˆ , x2 ] [ L ˆ , y2 ] [L ˆ , z2 ] 解:因为 [L ˆ , x] [L ˆ , x]x y[L ˆ , y] [ L ˆ , y] y z[L ˆ , z] [ L ˆ , z]z x[L ˆ , r 2 ] x[ L ˆ , x] [ L ˆ , x]x y[ L ˆ , y] [ L ˆ , y ] y z[ L ˆ , z] [L ˆ , z ]z [L
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation 一、算符间的对易关系 (Commutation relation of operators)
ˆ ,L ˆ ]i L ˆ [ L x y z ˆ ˆ ]i L ˆ [ Ly , L z x ˆ ˆ ]i L ˆ [ L , L z x y
ˆ ˆ ˆ [ L , L ] i L , 123 1 εαβγ—列维--斯维塔(j (j=1,2,…) 分别将gj代入前式可得对应于每个gj的一组解
第三章 量子力学中的力学量
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
所以相应的波函数
n j ai jni ( j 1, 2,
ˆ y (i p ˆz ) i p ˆz p ˆy p ˆ z (i p ˆy) i p ˆy p ˆz 0 00 p
ˆ ,p ˆ ,p ˆ 2 ] 0,[ L ˆ 2] 0 [L y z
第三章 量子力学中的力学量
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
x x x x x x x
ˆ , r 2 ] 0,[ L ˆ ,r 2] 0 0 0 y (i z ) (i z ) y z (i y) i yz 0 [ L y z
2 2 2 ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ 2 ] [L ˆ ˆ ˆ ] [ L ] [ L 又因为 [ L x y z]
ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ x[L ˆ x ] [L ˆx]p ˆx p ˆ y[L ˆ y ] [L ˆ y]p ˆy p ˆ z[L ˆ z ] [L ˆz]p ˆz p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ ,p ˆ2] p ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z ]p ˆz [L [ L ] [ L ] p p [ L ] [ L ] p p [ L ] [ L x x x x x x x y x y x y y z x z x
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation
第三章 量子力学中的力学量
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
ˆ 的共同本征函数为: ˆ,G 设: F n
n aini
i 1
sn
^ 的本征函数,本征值为f . 显然:n是 F n ^ 的本征函数,令 为了 也是 G
ˆr ˆ p ˆ 2,角动量算符的对易式: L
ˆ ,L ˆ ] L ˆ L ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [L x y x y Ly Lx ( ypz zp y )( zpx xpz ) ˆ ˆ x xp ˆ z )( yp ˆ z zp ˆ y ) ( yp ˆ x xp ˆ y )( p ˆ z z zp ˆz) i L ( zp z
二、对易关系的物理意义 (Physical Significance of commutation relation) 1,定理1 :如果两个算符F和G有一组共同的本征函数 φn ,而且组成完备系,则算符F和G对易. ˆ g ˆ f , G 证明:设 F n n n n n n
ˆ ˆ ) f g g f 0 ˆ ˆ GF (FG n n n n n n n ˆ ˆ ,[ F ˆ] 0 ˆ ˆ GF ˆ,G 即有 FG
1,基本对易式:
ˆ , p ˆ ] i , [x 1 ( ) 0 ( )
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
ˆ x x ˆ x x xp ,p ( x ) x i x i x i x i
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
一、算符间的对易关系 (Commutation relation of operators) 二、对易关系的物理意义 (Physical significance of commutation relation) 三、非对易关系的物理意义——测不准关系 (Physical significance of commutation relation Uncertainty relation )
i
, sn )
ˆ g ˆ f , G 满足 : F nj n nj nj j nj
^、 ^ 的共同本征函数,本征值分别为f ,g 即: nj 是 F G n j
^属于f 的s 个本征函数 所以: F n n ni ^ 的s 个本征值g 来分类 可按 G n j 一组(fn,gj ) 确定的本征函数nj ,sn 度简并解除.
ˆˆ x p ˆxx ˆ i xp
ˆˆ x p ˆxx ˆ) [ x ˆ, p ˆx] i ( xp
ˆˆx p ˆxx ˆ) x ˆ, p ˆx i ( xp ˆˆy p ˆyy ˆ) [ y ˆ, p ˆy] i ( yp ˆˆ ˆzz ˆz] i ˆ) [ z ˆ, p ( zpz p
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
②,若 det(Gji g ji ) 0 有重根:则还需再找出 ^、 ^ 对易的力学量,才能确定体系的状态. 与F G ^、G ^ 的本征函数 构成完全系,所以 F ^ 因为 F nj 的共同本征函数也组成完全系. 对易关系的物理意义: 若两算符对易,则两算符存在共同本征 函数.在其共同本征函数所描写的态中, 两算符表示的力学量同时有确定的值.
ˆL ˆ i L ˆ 角动量算符定义: L
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
ˆ ,x [ L ˆ ˆ ] i x ˆ ˆ ] i p ˆ 同理可证: [ L , p ˆ2 ˆ [ L , L ] 0, ( x, y, z )
sn
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sn
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
* ˆ * a G dx g a i nj ni i njni dx, j 1, 2,
sn
a G
i 1 i
sn
i 1
又因fn 是无简并的,所以:
ˆ 与 描述同一状态,两者只差一个常数. G n n ˆ g ,即 也是G ˆ的本征函数 G
n n n n
ˆ, F ˆ的共同本征函数 结论 : n是G
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
n
ˆ G ˆ a g a g 是 G ^ 的本征值 G i ni i ni n
i 1 i 1
sn
sn
* 同时左乘 nj ,积分
* ˆ * a G dx g a i nj ni i njni dx, j 1, 2, i 1 i 1 sn sn
ji
g
i 1
sn
i 1
sn
* ˆ * G G dx , ai ji ji nj ni ji njni dx
(G
i 1
sn
ji
g ji )ai 0 线性齐次方程组
det(Gji g ji ) 0 aij ,( j 1, 2,..., sn )
2,定理2 :如果两个算符F、G对易,则这两个算符有 共同的本征函数,这些本征函数组成完备系. ˆ f GF ˆ ˆ f G ˆ 证明:(1),非简并,设 F n n n n n n
ˆ ˆ ˆ f G ˆ ] 0,GF ˆ ˆ FG ˆ,G ˆ ˆ FG [F n n n ˆ 也是F ˆ 本征值为f 的本征函数 即G n n
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ˆ x , F ( x)] i [ F F ] [p x x
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§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
ˆ 2 ˆ ˆ2] 0 [ L , r ] 0,[ L ,p [例题]证明(原课件): ˆ , r 2 ] [L ˆ , x2 ] [ L ˆ , y2 ] [L ˆ , z2 ] 解:因为 [L ˆ , x] [L ˆ , x]x y[L ˆ , y] [ L ˆ , y] y z[L ˆ , z] [ L ˆ , z]z x[L ˆ , r 2 ] x[ L ˆ , x] [ L ˆ , x]x y[ L ˆ , y] [ L ˆ , y ] y z[ L ˆ , z] [L ˆ , z ]z [L