【2020年】黑龙江省大庆市高考数学一模试卷(理科)及解析

黑龙江省大庆市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}，则A∩B=的值为（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{0，1，2}D．{1，2} 2．（5分）若复数，则z在复平面内所对应的点位于的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．2 B．5 C．6 D．74．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几伺体的三视图，则此几何体的体积为（）A．2 B．4 C．8 D．125．（5分）执行如图所示的程序语句，则输出的s的值为（）A．B．1 C．D．6．（5分）已知命题p：直线l1：ax+y+1=0与l2：x+ay+1=0平行；命题q：直线l：x+y+a=0与圆x2+y2=1相交所得的弦长为，则命题p是q（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既充分也不必要条件7．（5分）数列{a n}为正项递增等比数列，满足a2+a4=10，a32=16，则等于（）A．﹣45 B．45 C．﹣90 D．908．（5分）若是夹角为60°的两个单位向量，则向量=的夹角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°9．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=16x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f′（x）＜0．若，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b11．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）的图象过点，相邻两个对称中心的距离是，则下列说法不正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）的一条对称轴为C．f（x）的图象向左平移个单位所得图象关于y轴对称D．f（x）在上是减函数12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）﹣ax=0有两个解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）．14．（5分）一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记球O的体积为V1，圆柱内除了球之外的几何体体积记为V2，则的值为．15．（5分）若f（x）=e x lna+e﹣x lnb为奇函数，则的最小值为．16．（5分）已知抛物线C：y2=4x，过其焦点F作一条斜率大于0的直线l，l与抛物线交于M，N两点，且|MF|=3|NF|，则直线l的斜率为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设函数y=f（x）的图象由y=2sin2x+1的图象向左平移个单位得到．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间：（2）在△ABC中，a，b，c，6分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2，b=1，，求a的值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为s n，点（n，s n）在曲线，上=2b n+1，b4=11，{b n}的前5项和为45．数列{b n}满足b n+b n+2（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式恒成立的最大正整数k的值．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥上面ABCD且PA=AB=2．E为PA的中点．（1）求证：PC∥面BDE；（2）求直线DE与平面PBC所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0），其焦距为2，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的右焦点为F，K为x轴上一点，满足，过点K作斜率不为0的直线l交椭圆于P，Q两点，求△FPQ面积s的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=1﹣ax+lnx（1）若不等式f（x）≤0恒成立，则实数a的取值范围；（2）在（1）中，a取最小值时，设函数g（x）=x（1﹣f（x））﹣k（x+2）+2．若函数g（x）在区间上恰有两个零点，求实数k的取值范围；（3）证明不等式：（n∈N*且n≥2）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线，直线l：ρ（cosθ﹣sinθ）=4．（1）将曲线C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线C2，请写出直线l，和曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l1经过点P（1，2）且l1∥l，l1与曲线C2交于点M，N，求|PM|•|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b是任意非零实数．（1）求的最小值（2）若不等式|3a+2b|+|3a﹣2b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x取值范圈．2018年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}，则A∩B=的值为（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{0，1，2}D．{1，2}【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B={﹣1，0，1，2}．故选：A．2．（5分）若复数，则z在复平面内所对应的点位于的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数z在复平面内所对应的点的坐标为（，﹣），位于第四象限．故选：D．3．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．2 B．5 C．6 D．7【解答】解：作出x，y满足对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（2，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×2+1=5．即目标函数z=2x+y的最大值为5．故选：B．4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几伺体的三视图，则此几何体的体积为（）A．2 B．4 C．8 D．12【解答】解：由几何体的三视图得到该几何体是四棱锥S﹣ABCD，其中，四边形ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，PD=3，∴几何体的体积：V===4．故选：B．5．（5分）执行如图所示的程序语句，则输出的s 的值为（ ）A ．B ．1C ．D ．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是S=sin +sin +sin +…+sin 的值，S=sin +sin +sin +…+sin=（sin+sin+sin+…+sin）+…sin +sin=sin+sin=sin+sin=1+．故选：C．6．（5分）已知命题p：直线l1：ax+y+1=0与l2：x+ay+1=0平行；命题q：直线l：x+y+a=0与圆x2+y2=1相交所得的弦长为，则命题p是q（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既充分也不必要条件【解答】解：当a=0时，两直线方程分别为y+1=0，x+1=0，两直线不平行，当a≠0时，若两直线平行，则满足=≠，由=得a2=1，得a=±1，由≠，得a≠1，即a=﹣1，即p：a=﹣1，圆心到直线的距离d=，半径r=1，∵直线l：x+y+a=0与圆x2+y2=1相交所得的弦长为，∴r2=d2+（）2，即1=+，得a2=1，得a=±1，则命题p是q充分不必要条件，故选：A．7．（5分）数列{a n}为正项递增等比数列，满足a2+a4=10，a32=16，则等于（）A．﹣45 B．45 C．﹣90 D．90＞0，公比q＞1．【解答】解：因为{a n}为正项递增等比数列，所以a n＞a n﹣1因为a2+a4=10 ①，且=16=a3•a3=a2•a4②由①②解得a2=2，a4=8．又因为a4=a2•q2，得q=2或q=﹣2（舍）．则得a5=16，a6=32，因为++…+==5=5=5×9=45×2=90，故选：D8．（5分）若是夹角为60°的两个单位向量，则向量=的夹角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【解答】解：根据题意，设、的夹角为θ，又由是夹角为60°的两个单位向量，且=，则•=（+）（﹣+2）=﹣2+22+•=，又由=（+），则||==，=（﹣+2），则||==，则有cosθ==，则θ=60°；故选：B．9．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=16x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由一条渐近线过点，可得=，双曲线的一个焦点（﹣c，0）在抛物线y2=16x的准线x=﹣4上，可得c=4，即有a2+b2=16，解得a=2，b=2，则双曲线的方程为﹣=1．故选：A．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f′（x）＜0．若，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【解答】解：∵当x∈[0，+∞）时，f′（x）＜0，∴当x∈[0，+∞）时，函数f（x）单调递减，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，a=﹣f（ln）=﹣f（﹣ln2）=f（ln2），ln（﹣）＞ln=﹣1，又ln（﹣）＜0，则﹣1＜ln（﹣）＜0，e0.1＞1，0＜ln2＜1，则﹣1＜ln（﹣）＜ln2＜e0.1，则f（ln（﹣））＞f（ln2）＞f（e0.1），即c＜a＜b，故选：C．11．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）的图象过点，相邻两个对称中心的距离是，则下列说法不正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）的一条对称轴为C．f（x）的图象向左平移个单位所得图象关于y轴对称D．f（x）在上是减函数【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）图象相邻两个对称中心的距离是，∴=，∴T==，解得ω=3；又f（x）的图象过点，∴2sin（ω+φ）=2，∴ω+φ=+2kπ，k∈Z；解得φ=+2kπ，k∈Z；令k=0，得φ=，∴f（x）=2sin（3x+）；∴f（x）的最小正周期为T=，A正确；f（）=2sin（3×+）=﹣2为最小值，∴f（x）的一条对称轴为x=，B正确；f（x）的图象向左平移个单位，得函数y=2sin[3（x+）+]=2sin（3x+）=2cos3x，其图象关于y轴对称，C正确；x∈[﹣，]时，3x∈[﹣，]，∴3x+∈[﹣，]时，∴f（x）=2sin（3x+）在上是增函数，D错误．故选：D．12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）﹣ax=0有两个解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：设函数y=f（x）和y=ax，作出函数f（x）的图象如图：要使方程f（x）﹣ax=0有2两个解，即函数y=f（x）和y=ax有2个不同的交点，∵f（﹣2）=5，f（5）=|5+﹣4|=，当y=ax经过点（5，）时，此时a=，当过点（﹣2，5）时，此时a=﹣，当直线y=ax与y=x2+1相切时，∵y′=2x，设切点为（x0，y0），﹣2≤x0≤0，∴=2x0，解得x0=﹣1，当x0=﹣1，此时a=﹣2，结合图象，综上所述a的取值范围为[﹣，﹣2）∪（0，]，故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）6．【解答】解：（2x﹣1）dx=（x2﹣x）=9﹣3=6，∴（2x﹣1）dx=6，故答案为：614．（5分）一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记球O的体积为V1，圆柱内除了球之外的几何体体积记为V2，则的值为2．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r，球O的半径为r，∴球O的体积V1=，圆柱内除了球之外的几何体体积：V2==，∴==2．故答案为：2．15．（5分）若f（x）=e x lna+e﹣x lnb为奇函数，则的最小值为2．【解答】解：f（x）=e x lna+e﹣x lnb为奇函数，可得f（0）=0，即有e0lna+e0lnb=0，即有ln（ab）=0，可得ab=1，（a＞0，b＞0），则≥2=2，当且仅当b=2a=时，等号成立，则的最小值为2．故答案为：2．16．（5分）已知抛物线C：y2=4x，过其焦点F作一条斜率大于0的直线l，l与抛物线交于M，N两点，且|MF|=3|NF|，则直线l的斜率为．【解答】解：抛物线C：y2=4x，焦点F（1，0），准线为x=﹣1，分别过M和N作准线的垂线，垂足分别为C和D，过NH⊥CM，垂足为H，设|NF|=x，则|MF|=3x，由抛物线的定义可知：|NF|=|DH|=x，|MF|=|CM|=3x，∴|HM|=2x，由|MN|=4x，∴∠HMF=60°，则直线MN的倾斜角为60°，则直线l的斜率k=tan60°=，故答案为：．方法二：抛物线C：y2=4x，焦点F（1，0），准线为x=﹣1，设直线MN的斜率为k，则直线MN的方程y=k（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，由|MF|=3|NF|，=3，即（1﹣x1，﹣y1）=3（x2﹣1，y2），x1+3x2=4，整理得：3x2﹣4x2+1=0，解得：x2=，或x2=1（舍去），则x1=3，解得：k=±，由k＞0，则k=故答案为：．方法三：抛物线C：y2=4x，焦点F（1，0），准线为x=﹣1，设直线MN的方程x=mx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），，整理得：y2﹣4my﹣4=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，由|MF|=3|NF|，=3，即（1﹣x1，﹣y1）=3（x2﹣1，y2），﹣y1=3y2，即y1=﹣3y2，解得：y2=﹣，y1=2，∴4m=，则m=，∴直线l的斜率为，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设函数y=f（x）的图象由y=2sin2x+1的图象向左平移个单位得到．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间：（2）在△ABC中，a，b，c，6分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2，b=1，，求a的值．【解答】解：（1）y=2sin2x+1的图象向左平移个单位得到的图象，即．函数最小正周期T=π．令，则，解得，所以y=f（x）的单调增区间是．（2）由题意得：，则有．因为0＜A＜π，所以，．由及b=1得，c=4．根据余弦定理，，所以．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为s n，点（n，s n）在曲线，上=2b n+1，b4=11，{b n}的前5项和为45．数列{b n}满足b n+b n+2（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式恒成立的最大正整数k的值．【解答】解：（1）由已知得：，当n=1时，，当n≥2时，=n+2，当n=1时，符合上式．所以a n=n+2．因为数列{b n}满足b n+b n=2b n+1，所以{b n}为等差数列．设其公差为d．+2则，解得，所以b n=2n+3．（2）由（1）得，=，=，因为，所以{T n}是递增数列．所以，故恒成立只要恒成立．所以k＜9，最大正整数k的值为8．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥上面ABCD且PA=AB=2．E为PA的中点．（1）求证：PC∥面BDE；（2）求直线DE与平面PBC所成角的余弦值．【解答】（1）解：连接CA交BD于O，连接OE，因为ABCD为正方形且AC，BD为对角线，所以O为CA的中点，又E为PA的中点，故OE为△PAC的中位线，所以OE∥PC，而OE⊂面BDE，PC⊄面BDE，故PC∥面BDE．（2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．则B（2，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），E（0，0，1），P（0，0，2），所以，，，设平面PBC的法向量，则即，令z=1，则法向量，设直线DE与平面PBC所成角为θ，则，故直线DE与平面PBC所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0），其焦距为2，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的右焦点为F，K为x轴上一点，满足，过点K作斜率不为0的直线l交椭圆于P，Q两点，求△FPQ面积s的最大值．【解答】解：（1）因为椭圆焦距为2，即2c=2，所以c=1，，所以a=，从而b2=a2﹣c2=1，所以，椭圆的方程为+y2=1．（2）椭圆右焦点F（1，0），由可知K（2，0），直线l过点K（2，0），设直线l的方程为y=k（x﹣2），k≠0，将直线方程与椭圆方程联立得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，由判别式△=（﹣8k2）2﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0解得k2＜．点F（1，0）到直线l的距离为h，则，，=••，=|k|•，=，令t=1+2k2，则1＜t＜2，则S=•=，当时，S取得最大值．此时，，S取得最大值．21．（12分）已知函数f（x）=1﹣ax+lnx（1）若不等式f（x）≤0恒成立，则实数a的取值范围；（2）在（1）中，a取最小值时，设函数g（x）=x（1﹣f（x））﹣k（x+2）+2．若函数g（x）在区间上恰有两个零点，求实数k的取值范围；（3）证明不等式：（n∈N*且n≥2）．【解答】解：（1）由题意知，1﹣ax+lnx≤0恒成立．变形得：．设，则a≥h（x）max．由可知，h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，h（x）在x=1处取得最大值，且h（x）max=h（1）=1．所以a≥h（x）max=1，实数a的取值范围是[1，+∞）．（2）由（1）可知，a≥1，当a=1时，f（x）=1﹣x+lnx，g（x）=x（x﹣lnx）﹣k（x+2）+2=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2，g（x）在区间上恰有两个零点，即关于x的方程x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2=0在区间上恰有两个实数根．整理方程得，，令，．令φ（x）=x2+3x﹣2lnx﹣4，，则，，于是φ'（x）≥0，φ（x）在上单调递增．因为φ（1）=0，当时，φ（x）＜0，从而s'（x）＜0，s（x）单调递减，当x∈（1，8]时，φ（x）＞0，从而s'（x）＞0，s（x）单调递增，，s（1）=1，，因为，所以实数k的取值范围是．证明（3）由（1）可知，当a=1时，有x﹣1≥lnx，当且仅当x=1时取等号．令，则有，其中k∈N*，k≥2．整理得：，当k=2，3，…，n时，，，…，，上面n﹣1个式子累加得：．n∈N*且n≥2，即．命题得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线，直线l：ρ（cosθ﹣sinθ）=4．（1）将曲线C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线C2，请写出直线l，和曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l1经过点P（1，2）且l1∥l，l1与曲线C2交于点M，N，求|PM|•|PN|的值．【解答】解：（1）因为l：ρ（cosθ﹣sinθ）=4，转化为直角坐标方程为：x﹣y=4；设曲线C2上任一点坐标为（x'，y'），则，所以，代入C1方程得：，所以C2的方程为．（2）直线l：x﹣y=4倾斜角为，由题意可知，直线l1的参数方程为（t为参数），联立直线l1和曲线C2的方程得，．设方程的两根为t1，t2，则t1t2=2．由直线参数t的几何意义可知，|PM|•|PN|=|t1t2|=2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b是任意非零实数．（1）求的最小值（2）若不等式|3a+2b|+|3a﹣2b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x取值范圈．【解答】解：（1）因为|3a+2b|+|3a﹣2b|≥|3a+2b+3a﹣2b|=6|a|，当且仅当（3a+2b）（3a﹣2b）≥0时取等号，所以的最小值为6．（2）由题意得：恒成立，结合（Ⅰ）得：|2+x|+|2﹣x|≤6．当x≤﹣2时，﹣x﹣2+2﹣x≤6，解得﹣3≤x≤﹣2；当﹣2＜x≤2时，x+2+2﹣x≤6成立，所以﹣2＜x≤2；当x＞2时，x+2+x﹣2≤6，解得2＜x≤3．综上，实数x的取值范围是[﹣3，3]．。