2011高考中数学“不等式”论文

2011高考中的数学“不等式”

【中图分类号】g623.5 【文献标识码】b 【文章编号】2095-3089 (2012)02-0243-02

1 不等式的性质和应用

此类试题常常会与命题真假的判断、大小的关系、充分必要条件等知识综合考查，主要以选择题或填空题的形式考查。试题难度不大，主要以考查不等式的不等式的基本性质和应用为主，求解过程中注重对相关性质变形形式的理解和应用，同时主义思维的严谨性。

例1、（2011年?浙江）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a ＜1b或b＞1a”的（）

a、充分而不必要条件

b、必要而不充分条件

c、充分必要条件

d、既不充分也不必要条件

解读：问题的论证正面可以推理论证，反面可以用列举反证，对于逻辑关系的判断和分析要注意从题情出发灵活掌握。

突破：对于0＜ab＜1时，如果a＞0，∴b＞0，a＜1b成立，如果a＜0，∴b＞1a成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的充分条件；反之，不妨举反例，若a＝-1，b＝2，结论“a＜1b

或b＞1a”成立，但条件0＜ab＜1不成立，因此“0＜ab＜1”不是“a＜1b或b＞1a”的必要条件，即“0＜ab＜1”是“a＜1b或b ＞1a”的充分而不必要条件。【答案】a

感悟：不等式性质的问题中，除了运用性质推理外，有时用特

殊值可以轻而易举解决问题。

题型二、函数性质和基本不等式的应用

此类题型主要考查函数性质在不等式中的应用和基本不等式的应用，是考试的热点题型，试题难度中等，主要是小题型出现。解题时应注重构造函数模型并运用单调性及数形结合思想，基本不等式的应用要注意等号成立条件。

例2、（2011年?天津）已知a＝5log3.42，b＝5log3.64，c＝

(15)log0.33，则（）

a、a＞b＞c

b、b＞a＞c

c、a＞c＞b

d、c＞a＞b

解读：将a，b，c化为同底的指数式并找中间值，再用函数性质比大小。

突破：c＝5-log0.33＝5log10033。因为32＝log3.422＜

log3.422＝log3.42＜2，0＜log3.64＜1，1＜log1033＝log10093＜log273＝32，所以a＞c＞b。【答案】c

感悟：指数和对数函数的性质的运用是解决这类问题的关键，有时寻找中间值很关键。

题型三、解不等式

此类试题考查形式多样，常与集合、简易逻辑相结合，以选择题、填空题形式出现，难度较小，主要考查对一元二次不等式、不等式组及分式不等式的解法等。有时与导数相结合，属中等难度的题型。

例3、（2011年?辽宁）函数f(x)的定义域为r，f(-1)＝2，对

任意x∈r，f′(x)＞2,则f(x)＞2x+4的解集为（）

a、(-1),1

b、(-1,+∞)

c、(-∞,-1)

d、(-∞,+∞)

解读：关系式f′(x)＞2是其f(x)＞2x+4的求导式，故可利用导数法判断函数g(x)＝f(x)-2x-4的单调性，又因为f(-1)＝2，所以g(-1)＝0，综上可将问题转化为g(x)＞g(-1)问题。

突破:令函数g(x)＝f(x)-2x-4，则g′(x)＝f′(x)-2＞0，因此，g(x)在上是增函数，又因为g(-1)＝f(-1)+2-4＝2+-4＝0。所以，原不等式可化为：g(x)＞g(-1)，由g(x)得单调性，可得x＞-1

【答案】b

感悟：寻找已知和结论之间的联系，有时可以在一些问题求解过程中得以简化。

题型四、简单的线性规划

应用线性规划判断平面区域、求目标函数的最值，常见于选择或填空题，线性规划解决实际应用问题常见于解答题，都是以中档题为主，解决这类问题的关键是灵活应用数形结合思想。

例4、（2011年?湖南）设m＞1，在约束条件y≥x

y mx

x+y1，下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）

a、(1,1+2)

b、(1+2,+∞)

c、(1,3)

d、(3,+∞)

解读：此题在于找准目标函数取得最小值的位置。

突破：依题意，画出简图可行域如右图阴影部分，则当直线

z=x+my过a点时目标函数有最大值，由y=mx与x+y=1求出

a(1m+1,mm+1),代入可得zmax=1m+1+m2m+1=m2+1m+1＜2。又m>1，可求得1＜m＜1+2。

感悟：尽量将图形做准确，借图找出目标函数的最优解的位置非常重要。

题型五、不等式的综合应用

在主观题中，不等式常与函数、三角、向量、数列、解析几何、综合出现，导数、不等式、函数的综合题居多，问题多属于中高档题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高。

例5、（2011年?辽宁）已知函数＝

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设a＞0，证明：当0＜x＜1a时，f(1a+x)＞f(1a-x)；

(3)若函数y=f(x)的图像与x轴交与a，b两点，线段ab中点的横坐标为x0，证明：f′(x0)＜0。

解读：先求函数f(x)的定义域，（1）求导，通过讨论的范围，从而确定函数的单调性；（2）构造函数g(x)＝f(1a+x)-f(1a-x)，利用导数法判断函数g(x)的单调性即可。（3）借助图像及（1）、（2）结果可求证。

突破：（1）f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x) ＝1x-2ax+(2-a)＝-(2x+1)(ax-1)x，若a0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0,+∞)单调增加。

若a＞0，则由f′(x)＝0得x=1a，且当0＜x＜1a时，f′(x)＞0，当x＞1a时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0,1a)单调增加，在(1a,+∞)单调减少。

（2）设函数g(x)＝f(1a+x)-f(1a-x)，则g(x)＝

in(1+ax)-in(1-ax)-2ax，g′(x)＝a1+ax+a1-ax-2a＝

2a3x21-a2x2。

当0＜x＜1a时，g′(x)＞0，而g(0)＝0，所以g(x)＞0。

故当0＜x＜1a时，f(1a+x)＞f(1a-x)。

(4)由（1）可得，当时a0，函数y＝f(x)的图像与x轴至多有一个交点，故a＞0，从而f(x)的最大值为f(1a)，且f(1a)＞0。

不妨设a（x1，0），b(x2,0),0＜x1＜x2,则0＜x1＜1a＜x2，0＜1a-x1＜1a。由（2）得f(2a-x1)＝f(1a+1a-x1)>f(x1)=0。从而x2＞2a-x1，于是x0＝x1+x22＞1a。

由（1）知，f′(x0)＜0。

感悟：导数法是求解函数性质常用的方法，要能够熟练的掌握应用导数法求解函数的单调性、最值、极值等问题常用的步骤和方法，具体问题也要能够将所求问题转化为相应的熟悉问题。利用导数法证明不等式问题，常常是通过构造新函数，通过证明新函数的单调性而实现问题的证明。