上海大学高等代数历年考研真题

2000 上海大学高等代数

a b b b

c a b b

(一 ) 计算行列式 : c c a b

c c c a

(二 )把二次型 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2x2 x3x3 x4x1 x4用非退化线性替

换化成平方和 .

(三 )A, B 分别为n m 和 m n 矩阵,I n表示 n n 单位矩阵.证明: m n

阶矩阵 X A I

n可逆当且仅当 BA 可逆，可逆时求出 X 的逆.

0B

(四 )设 e1 , e2e n是 n 维线性空间 V n的一组基，对任意 n 个向量

a1, a2a n V n，证明：存在唯一的线性变换A，使得A(e i )a i i , 1 ,n2

(五 )设 A 是n维线性空间 V 的线性变换，求证：V AV A 1(0)当且

仅当若 a1 , a2 a r为AV的一组基则 Aa1 , Aa2Aa r是 A2 (V ) 的一组基.

(六 )设 A为2级实方阵，适合A210

，求证： A 相似于

1 .

0110 (七 )已知 f , g 均为线性空间 V 上线性变换，满足f2 f , g2g 试证：（ 1）f与g有相同的值域fg g, gf f .

（ 2）f与g有相同的核fg f , gf g.

2001 上海大学高等代数

x a2a3a n

a1x a2a n

（一）计算行列式： a1a2x a n

a1a2a3x

（二）设 A 为 3阶非零方阵，且 A20 .

a1

（1）求证：存在a1, a2,a3，b1,b2,b3， A a2b1 b2 b3

a3

（2）求方程组AX0 的基础解系.

（三）用正交的线性替换化二次行f (x1, x2 , x3 )x123x222x324x1x3 4x2 x3为标准形

（四）设 A 为n m 阶实矩阵，且r ( A)m(n m) .若( AA')2aAA'，求证

AA'aE m.

（五）设A是（为奇数）维线性空间V n 1n

上线性变换，若 A0,A 0 n n

求证：存在 a V ，使a Aa Aa, Aa 2

,A , a

n 2n 1n1

为V 的一组

A a A a, a

基，并求 A 在此组基下的矩阵.

（六）设 A 是欧式空间 V 上的对称变换.求证：对任意 a0 ，都有a0 Aa, a0 A 的所有特征值都小于0.

（七）设 B A a

，其中 A 为n阶负定矩阵，a为n维列实向量，

a

为实数 .求证B正定的充分必要条件为a' A 1a0 .

（八）若 A 是正交阵，且 A 特征值为1的重数是 S ，求证：A ( 1)s（ A 为A的行列式）.

2002 上海大学 高等代数

x 1 a a a

a

x 2 a a

A B . （一）计算行列式：若 A 2B a

a x 3

a ，求 A

B A

a a a

x n

（二）设 A 是 n 阶可逆方阵， B

A A .

0 A

（ 1）计算 B k （ K 是整数），

（ 2）假设

（ 三 ）设

1 0 0

A 1 1 0 ， C 为 6 阶方阵，而且 BC

2C E ，求C .

1 1 1

p p p

( n 1) p

p p

( n 1) p

p

A

， A 是 n 阶矩 阵

p

( n 1) p

p p ( n 1) p

p

p

p

（ p 0 ），求 AX 0 的基础解系 .

（四）构造一个 3 阶实对称方阵 A ，使其特征值为 1，1，-1.并且对 应的特征值有特征向量 ， (2, 2,1)

.

(1,1,1)

（五）设向量组 A ： a 1, a 2 ,a 3 a n 的秩为 r （ r n ），则 A 中任意 r 个向

量 线性无 关的充 分必要 条件 为：对 任意向量 a i

, a i , a i ， 若

1

2

r

1

k 1 a i

k 2

a i k

r 1

a i 0 ，则 k 1 , k 2

k r 1 或全为 0 或全不为 0.

1

2

r

1

（六）设 A 为 n 阶正定矩阵， B n

m

为秩为 m 的实矩阵，求证 B ' AB tE

（ t 0 ， E 为单位矩阵）为正定矩阵 .

（七）设 A 为欧式空间 V 上的线性变换，且 A 2

E .

（ 1）求证： A 是 V 上的正交变换的充分必要条件为 A 是 V 上的对称

变换 .

（ 2）设V1 a a V , Aa a ，求证：V V1 V2是直和.

（八）设 A 为n阶实正交矩阵， a1 , a2 , a3a n为 n 维列向量，且线性无

关，若 A Ea1, A Ea2 A Ea n线性无关，则 A 1 .

2003 上海大学高等代数

x a a a

a x a a

（一）计算行列式： A（ A 为n阶矩阵），

a a x a

a a a x

A 2A

B

A A

（1）求A（2）求B

（二）设 A 为 n 2k 1 阶反对称矩阵，求 A .

（三）设 A, B 为n阶整数方阵（A, B 中元素为整数），若 AB E A （ 1）求证：A1，

2 00

（ 2）若B1 2 0，求 A .

232

（四）设A(a1 , a2a n )为 n 阶方阵，r ( A)n 1 ，且a n a1a2a n 1

的解 .

a1a2a n 1a

n，求AX

（五）设 A 是n阶可逆方阵，且 A 每行元素之和为 a ，求证： A k的

每行元素之和为 a k（ k 为正整数）

（六）设 A 为n阶正交矩阵，若.证明：存在正交矩阵 G 使