重庆大学2006年高等代数考研试题

{ } 八、（20 分） C 表示复数域， M n (C) = (aij )n×n aij ∈ C
1．问 M n (C) 关于矩阵的加法与数乘能否作为实数域 R 的线性空间？若能，求出其维数； 2．选定 A ∈ M 2 (C),定义σ A：X → AX − XA ∀X ∈ M（2 C），证明σ A是M（2 C）上的 线
重庆大学 2006 年硕士研究生入学考试试题
科目代码:421 科目名称:高等代数
特特别别提提醒醒考考生生: 答题一律做在答题纸上(包括填空题、选择题、改错题等)，直接做在试题上按零分计。
x1 a L a 一、（10 分）计算行列式： b x2 L b
LLLL
b b L xn
二、（15
分）
a,
b
为何值时，方程组
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性变换； 3．证明：数 0 是σ A 的一个特征值。
九、（15 分）设 A, B 均为 n 阶实对称矩阵，且 B 正定。
1．证明：存在阶可逆矩阵T ，使T ′AT ,T ′BT 同时为对角阵；
2．设
ALeabharlann Baidu
=
2 1
−11,
B
=
2 1
11 求可逆矩阵T ，使T ′AT ,T ′BT 同时为对角阵。
是 R( AB) = R(B) 。
七、（10 分）已知平面上三条不同的直线方程分别为 l1 : ax + 2by + 3c = 0, l2 : bx + 2cy + 3a = 0, l3 : cx + 2ay + 3b = 0 ；证明这三条直线交于一点的充分必要条件是 a + b + c = 0 。
十二（10 分） 设n阶方阵A的特征值全为1。证明：任意自然数k, Ak 相似于A 。
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α1,α 2 ,L,α s 线性表示，证明对任意实数 l ，向量组α1,α 2 ,L,α s ,lβ1 + β2 线性无关。
n 五、（10 分）设 A 为 n 阶方阵， A* 是 A 的伴随矩阵，证明 R( A* ) = 1
0
R( A) = n R( A) = n −1。 R( A) < n −1
六、（10 分）设 A, B 为 n 阶方阵，证明；线性方程组 ABX = 0 与 BX = 0 同解的充分必要条件
2
x1 −
x1 + (2 3ax2
+ + +
x2 − a)x2 (a +
x3 = 2 − (b + 2) = 2b)x3 = −3
3
有惟一解？无解？有无穷解？
无穷解是并求其全部解。
三、（15 分）设 d, n 为正整数，证明 (xd −1) (xn −1) 的充分必要条件为 d n 。
四、（10 分）设向量组α1,α 2 ,L,α s 线性无关，且 β1 可由α1,α 2 ,L,α s 线性表示，而 β2 不能由
十、（10 分）设V 是 n 维欧氏空间，α1,α 2 ,L,α m 是V 的一组标准正交向量，证明：对任意的
∑m
β ∈V ,总有 β 2 ≥ （αi , β )2 。
i=1
十一、（15 分）设 A 是 n 阶反对称阵。 1．证明：1 与-1 不是 A 的特征值。 2．令 B = (E − A)(E + A)−1, 证明：B是正交阵，且 −1不是B的特征值 。