2006年曲阜师范大学高等代数考研真题-考研真题资料
精编版-2006考研数学一真题及答案
2006考研数学一真题及答案一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)0ln(1)lim 1cos x x x x→+=-.(2)微分方程(1)y x y x-'=の通解是 .(3)设∑是锥面z =(01z ≤≤)の下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=の距离z = .(5)设矩阵2112⎛⎫=⎪-⎝⎭A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2=+BA B E ,则B = .(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上の均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出の四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前の字母填在题后の括号内)(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处の增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应の增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<(8)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A)(,)xf x y dy ⎰⎰(B)(,)f x y dy ⎰⎰(C)(,)yf x y dx ⎰⎰(C)(,)f x y dx ⎰⎰(9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 (B)1(1)nn n a ∞=-∑收敛(C)11n n n a a ∞+=∑收敛(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛 (10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下の一个极值点,下列选项正确の是(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=(B)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠(C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=(D)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠(11)设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确の是 (A)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (B)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性无关(C)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (D)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A の第2行加到第1行得B ,再将B の第1列の-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则(A)1-=C P AP(B)1-=C PAP(C)T=C P AP(D)T=C PAP(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有(A)()()P AB P A > (B)()()P A B P B >(C)()()P A B P A = (D)()()P A B P B =(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则(A)12σσ< (B)12σσ>(C)12μμ<(D)12μμ>三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰. (16)(本题满分12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==. 求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之.(2)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. (17)(本题满分12分) 将函数()22xf x x x =+-展开成x の幂级数.(18)(本题满分12分) 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. (1)验证()()0f u f u u'''+=. (2)若()()10,11,f f '==求函数()f u の表达式. (19)(本题满分12分) 设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意の0t >都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内の任意分段光滑の有向简单闭曲线L ,都有(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰.(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩ 有3个线性无关の解,(1)证明方程组系数矩阵A の秩()2r =A . (2)求,a b の值及方程组の通解. (21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A の各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TT=--=-αα是线性方程组0x =A の两个解.(1)求A の特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T=Q AQ A . (22)(本题满分9分)随机变量x の概率密度为()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量(,)X Y の分布函数.(1)求Y の概率密度()Y f y . (2)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分9分)设总体X の概率密度为(,0)F X = 10θθ- 0112x x <<≤<其它,其中θ是未知参数(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X の简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1の个数,求θの最大似然估计.参考答案 一、填空题（1）0ln(1)lim1cos x x x x→+-= 2 .221cos 1,)1ln(x x x x -+ （0x →当时）（2）微分方程(1)y x y x-'=の通解是(0)x y cxe x -=≠，这是变量可分离方程.（3）设∑是锥面1)Z ≤≤の下侧，则23(1)2xdydz ydzdx z dxdy π∑++-=⎰⎰补一个曲面221:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩1上侧,2,3(1)P x Q y R z ===-1236P Q Rx y z∂∂∂++=++=∂∂∂ ∴16dxdydz ∑∑Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（Ω为锥面∑和平面1∑所围区域）6V =（V 为上述圆锥体体积）623ππ=⨯=而123(1)0dydz ydzdx z dxdy ∑⨯++-=⎰⎰（∵在1∑上：1,0z dz ==）（4）,1,0,450x y z d ++==点(2)到平面3的距离d ====(5)设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4,计算出|A -E |=2,因此|B |=2. （6）91 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x ∆为自变量x 在0x 处の增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应の增量与微分.若0>∆x ，则[A]0)(0)(0)(0)(<∆<<<∆<∆<∆<<y dy D dy y C dy y B y dy A()0,()f x f x '>因为则严格单调增加 ()0,()f x f x ''>则是凹的 y dy x ∆<<>∆0,0故又2212211220(8)(,)(cos ,sin )[C](A)(,)(B)(,)x x xf x y d f r r rdr dx f x y dydx f x y dyπθθθ--⎰⎰⎰⎰⎰⎰40设为连续函数,则等于222211220(C)(,)(D)(,)y y ydy f x y dxdy f x y dx --⎰⎰⎰⎰111111111(9)[D]()()(1)()()()2n n n n n n n n n n n n n n n a A a B a a a C a a D a∞=∞∞==∞∞∞+++===-+∑∑∑∑∑∑若级数收敛,则级数收敛收敛收敛收敛也收敛00000000000000000(10)(,)(,)(,)0,(,)(,)0y x y x y x y x y f x y x y x y x y f x y x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x ϕϕϕ'≠=''''≠''''≠≠设与均为可微函数,且已知(,)是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A)若(,)=0,则(,)=0(B)若(,)=0,则(,)0(C)若(,)0,则(,)=0(D)若(,)0,则(,00000000000000000(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0(,)(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)(,)0x x x y y y y y xy x y y x y f x y x y f x y x y f x y x y x y f x y f x y x y x y f x y x y x y f x y λλϕλϕλϕϕϕϕλϕϕ≠+'''⎧+=⎪'''+=⎨⎪'=⎩'''''≠∴=-='''≠)0构造格朗日乘子法函数F=F =F =F =今代入(1)得今00,(,)0[]y f x y D '≠则故选 (11)设1,2,…,s 都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（ ）成立.(A) 若1,2,…,s 线性相关,则A 1,A 2,…,A s 线性相关. (B) 若1,2,…,s 线性相关,则A 1,A 2,…,A s 线性无关. (C) 若1,2,…,s 线性无关,则A 1,A 2,…,A s 线性相关. (D) 若1,2,…,s 线性无关,则A 1,A 2,…,A s 线性无关. 解: (A)本题考の是线性相关性の判断问题,可以用定义解.若1,2,…,s 线性相关,则存在不全为0の数c 1,c 2,…,c s 使得c 11+c 22+…+c s s =0,用A 左乘等式两边,得c 1A 1+c 2A 2+…+c s A s =0,于是A 1,A 2,…,A s 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1.1,2,…,s 线性无关⇔ r(1,2,…,s )=s. 2. r(AB )≤ r(B ). 矩阵(A 1,A 2,…,A s )=A (1,2,…,s),因此 r(A 1,A 2,…,A s )≤ r(1,2,…,s). 由此马上可判断答案应该为(A).(12)设A 是3阶矩阵,将A の第2列加到第1列上得B ,将B の第1列の-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1.(C) C =P T AP . (D) C =PAP T.解: (B)用初等矩阵在乘法中の作用得出B =PA ,1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1（13）根据乘法公式与加法公式有： P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B)P(A ⋃B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A) 应选C （14）依题：).1,0(~),10(~2211N Y N x σμσμ--，,1}1{1111⎭⎬⎫<⎩⎨⎧-=<-σσμμX P X P .1}1{2222⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=<-σσμμY P Y P 因 },1{}1{21<-><-μμY P X P 即 .11222111⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-σσμσσμY P X p 所以.,112121σσσσ<>应选A三、解答题{}22222212120222021(15)(,)1,0,1:011ln(1)ln 21122DD DxyD x y x y x I dxdyx y xydxdy x y r I dxdy d dr r x yr ππππθ-+=+≤≥=++=++===+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰设区域计算二重积分解{}{}{}211112121(16)0,sin (1,2,)(1)lim (2)lim():(1)sin ,01,2sin ,0,lim ,n n n n n n x n n nn n n n n n n n x x x x n x x x x x x n x x x x x x x A π+→∞+→∞+→∞<<===∴<≤≥=≤≥∴=设数列满足求证明存在,并求之计算解因此当时单调减少又有下界，根据准则1,存在递推公式两边取极限得sin ,0A A A =∴=21sin (2)lim(),n x n n n x x ∞→∞原式=为"1"型离散型不能直接用洛必达法则22011sin lim ln()0sin lim()t ttt tt t e t→→=先考虑2323203311(cos sin )1110()0()lim26cos sin sin 1262limlim2262t t t t t t t t t t t t t t ttt tttteeeee →→→⎡⎤⎡⎤--+--+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-=====2(17)()2xf x x x x =+-将函数展开成的幂极数()(2)(1)21x A Bf x x x x x ==+-+-+解:2(1)(2)2,32,3A xB x x x A A ++-====令 11,31,3x B B =-=-=-令)](1[131)21(131)1(131)2(132)(x x x x x f --⨯--⨯=+⨯--⨯= 10001111()(1)(1),132332n n n n n n n n n x x x x ∞∞∞+===⎡⎤=--=+-<⎢⎥⎣⎦∑∑∑（18）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂ （I ）验证()()0f u f u u'''+= （II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式 证：（I）zzf f xy∂∂''==∂∂()22222zxf f xx y ∂'''=+∂+()()22322222x y f f x y x y '''=+++()()2223222222zy x f f yx y x y ∂'''=+∂++同理22220()()0z z f x y f u f u u∂∂''+=+=∂∂'''∴+=代入得成立（II ）令(),;dp p dp du f u p c du u p u'==-=-+⎰⎰则ln ln ,()cp u c f u p u'=-+∴==22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+===由得于是（19）设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=证明：对D 内任意分段光滑の有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.证：把2(,)(,)f tx ty t f x y t -=两边对求导 得：(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty tf x y ''+=- 令 1t =，则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 再令 (,),(,)P yf x y Q xf x y ==-所给曲线积分等于0の充分必要条件为Q Px y∂∂=∂∂ 今(,)(,)x Qf x y xf x y x∂'=--∂(,)(,)y Pf x y yf x y y∂'=+∂ 要求Q Px y∂∂=∂∂成立，只要(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 我们已经证明，Q Px y∂∂∴=∂∂，于是结论成立. (20)已知非齐次线性方程组x 1+x 2+x 3+x 4=-1,4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，ax 1+x 2+3x 3+bx 4=1有3个线性无关の解.① 证明此方程组の系数矩阵A の秩为2. ② 求a,b の值和方程组の通解. 解:① 设1,2,3是方程组の3个线性无关の解,则2-1,3-1是AX =0の两个线性无关の解.于是AX =0の基础解系中解の个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A の行向量是两两线性无关の,所以r(A )≥2.两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组の增广矩阵作初等行变换: 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 (A |)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2→ 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0得同解方程组x 1=2-2x 3+4x 4，x 2=-3+x 3-5x 4，求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0の基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T .得到方程组の通解:(2,-3,0,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(4,-5,0,1)T , c 1,c 2任意.(21) 设3阶实对称矩阵A の各行元素之和都为3,向量1=(-1,2,-1)T ,2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0の解.① 求A の特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得Q T AQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即0=(1,1,1)T 是A の特征向量,特征值为3.又1,2都是AX =0の解说明它们也都是A の特征向量,特征值为0.由于1,2线性无关, 特征值0の重数大于1.于是A の特征值为3,0,0.属于3の特征向量:c0, c ≠0. 属于0の特征向量:c 11+c 22, c 1,c 2不都为0. ② 将0单位化,得0=(33,33,33)T . 对1,2作施密特正交化,の1=(0,-22,22)T ,2=(-36,66,66)T . 作Q =(0,1,2),则Q 是正交矩阵,并且3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 .0 0 0（22）随机变量X の概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=其他,020,4101,21)(x x x f X ，令2X Y =，),(y x F 为二维随机变量）（Y X ,の分布函数. （Ⅰ）求Y の概率密度；（Ⅱ）)4,21(-F 解： （Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<=≤=≤=yy y y y X P y Y P y F Y 4,141,)2(10,)1(0,0)()()(2式式 ⎰⎰=+=≤≤-=-y yy dx dx y X y P 00434121)()1(式； ⎰⎰+=+=≤≤-=-y y dx dx y X y P 00141214121)()2(式. 所以：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<==其他,041,8110,83)()('y yy y y F y f Y Y 这个解法是从分布函数の最基本の概率定义入手，对y 进行适当の讨论即可，在新东方の辅导班里我也经常讲到，是基本题型.（Ⅱ）)4,21(-F )212()22,21()4,21()4,21(2-≤≤-=≤≤--≤=≤-≤=≤-≤=X P X X P X X P Y X P 4121211==⎰--dx . （23）设总体X の概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<=其他,021,110,),(x x x f θθθ，其中θ是未知参数（0<θ<1）.n X X X ,,21为来自总体の简单随机样本，记N 为样本值n x x x ,,21中小于1の个数.求θの最大似然估计.解：对样本n x x x ,,21按照<1或者≥1进行分类：pN p p x x x ,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1.似然函数⎩⎨⎧≥<-=++-其他，,01,,,1,,)1()(2121pn pN pN pN p p N n N x x x x x x L θθθ， 在pN p p x x x ,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1时， )1ln()(ln )(ln θθθ--+=N n N L ，01)(ln =---=θθθθN n N d L d ，所以n N =最大θ.。
2006—数二真题、标准答案及解析
2006—数二真题、标准答案及解析D间断点，则0()x f t dt⎰是（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数 （C ）在0x =间断的奇函数 （D ）在0x =间断的偶函数. 【 】 （9）设函数()g x 可微，1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===，则(1)g 等于（A ）ln31-. （B ）ln3 1.--（C ）ln 2 1.-- （D ）ln 2 1.- 【 】（10）函数212xx xy C eC e xe -=++满足一个微分方程是（A ）23.xy y y xe '''--= （B ）23.x y y y e '''--=（C ）23.xy y y xe '''+-= （D ）23.xy y y e '''+-=（11）设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdrπθθθ⎰⎰等于（A ）0(,).xf x y dy ⎰⎰ （B ）0(,).f x y dy ⎰⎰（C ）0(,).yf x y dx ⎰⎰（D ）0(,).f x y dx ⎰⎰【 】（12）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0yx y ϕ≠. 已知0(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（A ）若0(,)0xf x y '=，则0(,)0yf x y '=.（B ）若0(,)0xf x y '=，则0(,)0yf x y '≠.（C ）若0(,)0xf x y '≠，则0(,)0yf x y '=.（D ）若0(,)0xf x y '≠，则0(,)0yf x y '≠.【 】 （13）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. （C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.【 】（14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，则（A ）1.C PAP -= （B ）1.C PAP -=（C ）.TC P AP = （D ）.TC PAP =三 解答题15．试确定A ，B ，C 的常数值，使得23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.16．arcsin xxe dx e⎰求.17．{}22(,)1,0D x y xy x =+≤≥设区域，221.1DxyI dxdy x y+=++⎰⎰计算二重积分18．{}110,sin (0,1,2,)nn n x x xx n π+<<==设数列满足1lim n x x +→∞证明: (1) 存在,并求极限；211(2)lim()nx n x nx x +→∞计算.19．sin 2cos sin cos .<a <b b b b b a a a a a πππ<++>++证明: 当0时,20 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f =满足等式22220z zx y ∂∂+=∂∂.(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=；(Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式.21 已知曲线L 的方程为221,(0),4x l t y l t ⎧=+≥⎨=-⎩（Ⅰ）讨论L 的凹凸性；（Ⅱ）过点（-1，0）引L 的切线，求切点0(,)x y ，并写出切线的方程；（Ⅲ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.22 已知非齐次线性方程组12341234123414351331x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有个线性无关的解Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =； Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解.23 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TTαα=--=-是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A的特征值与特征向量(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得T Q AQ A .2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）真题解析一、填空题（1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为15y =4sin 11lim lim2cos 55x x x x y x x→∞→∞+==-（2）设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续，则a =132200()1lim ()lim 33x x sm x f x x →→==（3）广义积分22(1)xdx x +∞=+⎰1222222201(1)11110(1)2(1)2(1)22xdx d x x x x +∞+∞+∞+==-⋅=+=+++⎰⎰（4）微分方程(1)y x y x -'=的通解是xy cxe -=)0(≠x （5）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则0x dydx ==e-当x =0时，y =1，又把方程每一项对x 求导，yy y e xe y ''=--01(1)1x x y yyyye y xe ey exe ===''+=-=-=-+(6) 设 A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2.二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x'''>>∆为自变量x在点x 0处的增量，0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>，则[A]（A ）0dy y <<∆ （B ）0y dy <∆< （C ）0y dy ∆<< （D ）0dy y <∆< 由()0()f x f x '>可知严格单调增加()0()f x f x ''>可知是凹的即知（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则 0()xf t dt ⎰是[B]（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数 （C ）在x =0间断的奇函数 （D ）在x =0间断的偶函数（9）设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x eh g +''===则g (1)等于[C]（A ）ln31- （B ）ln31-- （C ）ln 21-- （D ）ln21- ∵ 1()()()g x h x g x e+''=，1(1)12g e+= g (1)=ln 21--（10）函数212xx xy c ec xe -=++满足的一个微分方程是[D]（A ）23xy y y xe '''--= （B ）23x y y y e '''--= （C ）23xy y y xe '''+-= （D ）23xy y y e '''+-=将函数212xx xy c ec xe -=++代入答案中验证即可.（11）设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[C] （A）0(,)xf x y dy⎰ （B）0(,)f x y dy⎰ （C）0(,)yf x y dx⎰ （D）0(,)f x y dx⎰（12）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0,yx y ϕ'≠已知0(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是[D]（A ）若0(,)0,(,)0xyf x y f x y ''==则（B ）若0(,)0,(,)0xyf x y f x y ''=≠则（C ）若0(,)0,(,)0xyf x y f x y ''≠=则（D ）若0(,)0,(,)0xyf x y f x y ''≠≠则(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y F f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕλϕϕ=+'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪'==⎩令今 00000(,)(,)0,(,)y yy f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'代入(1) 得00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''='今00000000(,)0,(,)(,)0(,)0x y xy f x y f x y x y f x y ϕ''''≠∴≠≠则 故选[D](13)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（ ）成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关.(B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关.(C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关.(D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关.解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解. 若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1. α1,α2,…,αs ↵∍◊σ⇔ r(α1,α2,…,αs )=s.2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1. (C) C =P TAP . (D) C =PAP T. 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA ,1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1.0 0 1三、解答题（15）试确定A ，B ，C 的常数值，使23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.解：泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)()()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得 B +1=A ① C +B +12=0 ② 1026B C ++= ③式②-③得120233B B +==-则代入①得 13A = 代入②得 16C = （16）求arcsin xx e dxe ⎰.解：原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dte t =⎰⎰令1arcsin arcsin ()t td t t =-=-+⎰2arcsin arcsin 1(2)2(1)t t udu t t u u -=-+=-+-⎰2arcsin 1t du t u =-+-⎰arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++arcsin arcsin 1ln 2x x x x e e dx C e e ∴=-++⎰.（17）设区域22{(,)||,0}D x y xy x =+≤≥， 计算二重积分2211DxyI dxdy x y+=++⎰⎰.解：用极坐标系2201Dxydxdy x y ⎛⎫= ⎪++⎝⎭⎰⎰11222002ln(1)ln 2122r I d dr r r ππππθ-==+=+⎰⎰.（18）设数列{}nx 满足10x π<<，1sin (1,2,3,)n nx x n +==证明：（1）1lim n n x +→∞存在，并求极限；（2）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.证：（1）212sin ,01,2x x x n =∴<≤≥因此1sin ,{}n nnnx x x x +=≤单调减少有下界()0n x ≥根据准则1，lim nn x A →∞=存在在1sin n nx x +=两边取极限得sin 0A A A =∴=因此1lim 0n n x +→∞=（2）原式21sin lim "1"n x nn n x x ∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭为型离散型不能直接用洛必达法则先考虑22011sin lim lnsin lim t t t t t t t e t →⎡⎤⎢⎥⎣⎦→⎛⎫= ⎪⎝⎭用洛必达法则2011(cos sin )limsin 2t t t t t t t te→-=23233310()0()26cos sin limlim22t t t t t t t t t t tt t e e →→⎡⎤⎡⎤-+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦==3330110()261lim26t t t t ee→⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-==.（19）证明：当0a b π<<<时，1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. 证：令()sin 2cos f x x x x x π=++只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加 ()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+ cos sin x x x π=-+()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<()f x '∴严格单调减少又()cos 0f ππππ'=+= 故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加（严格）()()b a f b f a >>由则 得证（20）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f =满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.（I ）验证()()0f u f u u'''+=；（II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式.证：（I）zzf f xy∂∂''==∂∂()()2223222222zx y f f xx y x y ∂'''=+∂++()()2223222222zy x f f yx y x y ∂'''=+∂++22220()()0z zf x y f u f u u∂∂''+==∂∂'''∴+=代入方程得成立（II ）令(),;,dp p dp du c f u p c p duu p u u'==-=-+=⎰⎰则22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+==∴=由（21）已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点0(,)x y ，并写出切线的方程；（III ）求此切线与L （对应0x x ≤部分）及x 轴所围的平面图形的面积.解：（I ）4222,42,12dx dy dy t t t dt dt dx t t-==-==- 222312110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<> ⎪⎝⎭处(0L t ∴>曲线在处)是凸（II ）切线方程为201(1)y x t⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，设2001xt =+，2004yt t =-，则2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+ ⎪⎝⎭得200000020,(1)(2)001tt t t t t +-=-+=>∴=点为（2，3），切线方程为1y x =+ （III ）设L 的方程()x g y =则()30()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰(2240221t t y x -+==±=±+解出t 得由于（2，3）在L 上，由(23221()y x x g y ===+=得可知(309(1)S y y d y⎡⎤=----⎣⎦⎰33(102)4y dy y=--⎰333322002(10)4(4)214(4)3y y y y =-+-=+⨯⨯-8642213333=+-=-(22)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1， a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)≥2.两个不等式说明r(A)=2.②对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A|β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a4a+b-5 4-2a由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2→ 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0得同解方程组x1=2-2x3+4x4，x2=-3+x3-5x4，求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1)T.得到方程组的通解:(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T, c1,c2任意.(23) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T, α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.①求A的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q TAQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T,即α0=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0. ② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T.对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T, η2=(-36,66,66)T.作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且 3 0 0 Q TAQ =Q -1AQ = 0 0 0 . 0 0 0。
2006考研数学二真题及答案解析
2006年数学（二）考研真题及解答一、填空题（1）曲线4sin 52cos x x yxx的水平渐近线方程为.（2）设函数231sin ,0,(),xt dt xf x xa x在0x 处连续，则a.（3）广义积分22(1)xdxx .（4）微分方程(1)y x y x的通解是.（5）设函数()yy x 由方程1y yxe 确定，则A dy dx= .（6）设矩阵2112A，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A B E，则B = .二、选择题（7）设函数()yf x 具有二阶导数，且()0,()0f x f x ，x 为自变量x 在0x 处的增量，y 与dy分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ，则（A ）0.dy y （B ）0.y dy （C ）0.ydy（D ）0.dyy 【】（8）设()f x 是奇函数，除0x 外处处连续，0x 是其第一类间断点，则0()x f t dt 是（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数（C ）在0x 间断的奇函数（D ）在0x间断的偶函数.【】（9）设函数()g x 可微，1()(),(1)1,(1)2g x h x eh g ，则(1)g 等于（A ）ln31.（B ）ln3 1.（C ）ln 2 1.（D ）ln 2 1.【】（10）函数212xxxyC eC e xe 满足一个微分方程是（A ）23.xy y y xe （B ）23.xy y y e （C ）23.xyyyxe （D ）23.xyyye （11）设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )df r r rdr 等于（A ）22120(,).x xdxf x y dy （B ）22120(,).x dxf x y dy （C ）22120(,).y ydyf x y dx （D ）22120(,).y dyf x y dx 【】（12）设(,)f x y 与(,)x y 均为可微函数，且1(,)0yx y . 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y 下的一个极值点，下列选项正确的是（A ）若00(,)0x f x y ，则00(,)0y f x y . （B ）若00(,)0x f x y ，则00(,)0y f x y . （C ）若00(,)0x f x y ，则00(,)0y f x y . （D ）若00(,)0x f x y ，则00(,)0y f x y .【】（13）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n 矩阵，下列选项正确的是（A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. （C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.【】（14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记11001001P ，则（A ）1.C P AP （B ）1.C PAP （C ）.TC P AP （D ）.TCPAP 三解答题15．试确定A ，B ，C 的常数值，使得23(1)1()xe BxCx Ax o x ，其中3()o x 是当30x x 时比的高阶无穷小。
2006年考研数学二真题答案解析
2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）解析一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为15y =4sin 11lim lim2cos 55x x xx y x x→∞→∞+==-（2）设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续，则a =132200()1lim ()lim 33x x sm x f x x →→== （3）广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰1222222201(1)11110(1)2(1)2(1)22xdx d x x x x +∞+∞+∞+==-⋅=+=+++⎰⎰（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是xy cxe -=)0(≠x（5）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则0x dy dx==e-当x =0时，y =1，又把方程每一项对x 求导，yyy e xe y ''=--01(1)1x x y yyyye y xe ey e xe ===''+=-=-=-+(6) 设A = 2 1 ,2B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量，0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>，则[A]（A ）0dy y <<∆（B ）0y dy <∆<（C ）0y dy ∆<<（D ）0dy y <∆<由()0()f x f x '>可知严格单调增加()0()f x f x ''>可知是凹的即知（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()xf t dt ⎰是[B]（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数（C ）在x =0间断的奇函数 （D ）在x =0间断的偶函数（9）设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C]（A ）ln31- （B ）ln31--（C ）ln 21--（D ）ln21- ∵ 1()()()g x h x g x e+''=，1(1)12g e+= g (1)= ln 21--（10）函数212x x xy c e c xe -=++满足的一个微分方程是[D]（A ）23xy y y xe '''--= （B ）23xy y y e '''--=（C ）23xy y y xe '''+-=（D ）23xy y y e '''+-=将函数212x x xy c e c xe -=++代入答案中验证即可.（11）设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[C]（A ）(,)xf x y dy ⎰（B ）(,)f x y dy ⎰（C ）(,)yf x y dx ⎰（D ）(,)f x y dx ⎰（12）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是[D]（A ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则（B ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则 （C ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 （D ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y F f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕλϕϕ=+'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪'==⎩令 今000000(,)(,)0,(,)y y y f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'代入(1) 得 00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''='今 00000000(,)0,(,)(,)0(,)0x y xy f x y f x y x y f x y ϕ''''≠∴≠≠则 故选[D] (13)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（ ）成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs ↵∍◊σ⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1. (C) C =P TAP . (D) C =PAP T. 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA , 1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1三、解答题（15）试确定A ，B ，C 的常数值，使23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.解：泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得 23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)()()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得B +1=A ①C +B +12=0 ② 1026B C ++= ③ 式②-③得120233B B +==-则 代入①得13A = 代入②得16C = （16）求arcsin xxe dx e ⎰.解：原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dt e t =⎰⎰令1arcsin arcsin ()t td t t =-=-+⎰2arcsin arcsin 1(2)2(1)t t udu t t u u -=-+=-+-⎰2arcsin 1t du t u =-+-⎰arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++arcsin arcsin 1ln 2x x x x e e dx C e e ∴=-++⎰. （17）设区域22{(,)||,0}D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.解：用极坐标系2201D xydxdy x y ⎛⎫=⎪++⎝⎭⎰⎰11222002ln(1)ln 2122r I d dr r r ππππθ-==+=+⎰⎰. （18）设数列{}n x 满足10x π<<，1sin (1,2,3,)n n x x n +==证明：（1）1lim n n x +→∞存在，并求极限；（2）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证：（1）212sin ,01,2x x x n =∴<≤≥因此 1sin ,{}n n n n x x x x +=≤单调减少有下界()0n x ≥根据准则1，lim n n x A →∞=存在在1sin n n x x +=两边取极限得sin 0A A A =∴=因此1lim 0n n x +→∞=（2）原式21sin lim "1"n x n n n x x ∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭为型离散型不能直接用洛必达法则先考虑 22011sin lim lnsin lim t t t t t t t e t →⎡⎤⎢⎥⎣⎦→⎛⎫= ⎪⎝⎭用洛必达法则2011(cos sin )limsin 2t t t t t tt te→-=23233310()0()26cos sin limlim22t t t t t t t t t t tt t ee →→⎡⎤⎡⎤-+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦==3330110()261lim26t t t t ee →⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-==.（19）证明：当0a b π<<<时，1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++. 证：令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-< ()f x '∴严格单调减少又()cos 0f ππππ'=+=故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加（严格）()()b a f b f a >>由则得证（20）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f=满足等式22220z zx y ∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式.证：（I）zzf f xy∂∂''==∂∂()()2223222222zx y f f x x y x y ∂'''=+∂++()()2223222222zy x f f yx y x y ∂'''=+∂++22220()()0z zf x y f u f u u∂∂''+==∂∂'''∴+=代入方程得成立（II ）令(),;,dp p dp du c f u p c p du u p u u'==-=-+=⎰⎰则22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+==∴=由（21）已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （III ）求此切线与L （对应0x x ≤部分）及x 轴所围的平面图形的面积.解：（I ）4222,42,12dx dy dy t t t dt dt dx t t-==-==-222312110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<> ⎪⎝⎭处(0L t ∴>曲线在处)是凸（II ）切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，设2001x t =+，20004y t t =-，则2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+ ⎪⎝⎭得200000020,(1)(2)001t t t t t t +-=-+=>∴=点为（2，3），切线方程为1y x =+（III ）设L 的方程()x g y =则()3()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰(2240221t t y x -+==±=+解出t 得由于（2，3）在L上，由(23221()y x x g y ===+=得可知(309(1)S y y d y ⎡⎤=----⎣⎦⎰33(102)4y dy y =--⎰33332202(10)4(4)214(4)3y y y y =-+-=+⨯⨯-8642213333=+-=-(22)已知非齐次线性方程组x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2. 两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2 → 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0 得同解方程组x 1=2-2x 3+4x 4， x 2=-3+x 3-5x 4，求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T+c 1(-2,1,1,0)T+c 2(4,-5,0,1)T, c 1,c 2任意.(23) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T, α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX =0的解. ① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q TAQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T=(3,3,3)T,即 α0=(1,1,1)T是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0. ② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T. 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T. 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 . 0 0 0。
2006—数一真题、标准答案及解析
2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题一、填空题(1) lim Xln(1 x)X 01 COSX -----------------(2 )微分方程y y(1 x)的通解是__________________ .X(3)设是锥面z x2—y2( 0 z 1)的下侧，贝U xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy(4)点(2,1, 0)到平面3x 4y 5z 0的距离z =(5 )设矩阵A E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA B 2E ,贝U B(6)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则P max{X,Y} 1 = ______________、选择题(7)设函数y f(x)具有二阶导数，且f (x) 0, f (x) 0 ,x为自变量x在x0处的增量, y与dy(A) 0 dx y. (B) 0 y dy(C)y dy 0. (D)dy y 0104d 0f(rcos，rsin )rdr等于(A) 02dx x f (X, y)dy.(B) 0勺x°1x2f(x,y)dy.(C) 0「y1y2f(x,y)dx. (C) ^dy J 7 f(x, y)dx. 【】(9)若级数a n收敛，则级数n 1(A) a n收敛.n 1(C) a n a n 1收敛. (B) ( 1)n a n收敛.n 1(D) 3n 3n 1收敛. 【】分别为f(x)在点X。
处对应的增量与微分，若x 0，则(8)设f(x, y)为连续函数，则(10)设f (x, y)与(x, y)均为可微函数，且y (x, y) 0 •已知(x 0, y 0)是f (x, y)在约束条件(x, y) 0 下的一个极值点，下列选项正确的是 0，则 f y (x 0, y 0) 0 0，则 f y (x 0, y 0) 00，则 f y (x 0, y 0) 00，则 f y (x 0, y 0) 0(A) 若a !, a 2,L , a,线性相关，则 (B) 若a !, a ?丄，a,线性相关，则 (C) 若印，玄2丄，a,线性无关，则(A ) P(A B) P(A). (B )P(A B)P(B). (C ) P(A B) P(A).(D )P(A B)P(B). 【】14 )设随机变量X 服从正态分布N( 1, 212) ， Y 服从正态分布N( 2, 2)，且P{| X1| 1} P{| Y 2| 1},(A ) 1 2.(B ) 1 2.( C )12.(D )1 2.【 】(12 )设A 为3 阶矩阵，将A 的第 2 行加到第 1 行得B ，再将B 的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得C ，记1 10P0 1 0 ，则0 01(A ) CP 1AP.(B ) C PAP 1.(C )C P T AP . (D )C PAP T .【】13)设 A, B 为随机事件，且p(B) 0, p(A|B)1， 则必有(D) 若a !, a ?丄，a,线性无关，则】(A) 若 f x (x 。
2006考研数学(二)真题及参考答案
2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为 .（2）设函数231sin ,0,(),x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a = .（3）广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰.（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则A dy dx== .（6）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A BE =+，则B = . 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则 （A ）0.dy y <<∆ （B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<<（D ）0.dy y <∆<【 】（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()x f t dt ⎰是（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数 （D ）在0x =间断的偶函数. 【 】（9）设函数()g x 可微，1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===，则(1)g 等于（A ）ln 31-. （B ）ln 3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-【 】（10）函数212xxx y C e C e xe -=++满足一个微分方程是（A ）23.xy y y xe '''--= （B ）23.xy y y e '''--=（C ）23.xy y y xe '''+-=（D ）23.xy y y e '''+-=（11）设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（A ）22120(,).x xdx f x y dy -⎰⎰（B ）22120(,).x dx f x y dy -⎰⎰（C ）22120(,).y ydy f x y dx -⎰⎰（D ）22120(,).y dy f x y dx -⎰⎰【 】（12）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.【 】（13）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】（14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1.C P AP -= （B ）1.C PAP -=（C ）.T C P AP =（D ）.TC PAP =三 解答题15．试确定A ，B ，C 的常数值，使得23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.16．arcsin xxe dx e ⎰求. 17．{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥设区域，221.1DxyI dxdy x y +=++⎰⎰计算二重积分 18．{}110,sin (0,1,2,)n n n x x x x n π+<<== 设数列满足1lim n x x +→∞证明: (1) 存在,并求极限；211(2)lim()n x n x nx x +→∞计算. 19．sin 2cos sin cos .<a <b b b b b a a a a a πππ<++>++证明: 当0时, 20 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且()22z fx y=+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=；(Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式. 21 已知曲线L 的方程为221,(0),4x l t y l t⎧=+≥⎨=-⎩（Ⅰ）讨论L 的凹凸性；（Ⅱ）过点（-1，0）引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （Ⅲ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.22 已知非齐次线性方程组12341234123414351331x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有个线性无关的解Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =； Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解.23 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TTαα=--=-是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得TQ AQ A =.真题解析一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为15y =4sin 11lim lim2cos 55x x xx y x x→∞→∞+==-（2）设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续，则a =132200()1lim ()lim 33x x sm x f x x →→==（3）广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰1222222201(1)11110(1)2(1)2(1)22xdx d x x x x +∞+∞+∞+==-⋅=+=+++⎰⎰（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是xy cxe -=)0(≠x（5）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则0x dy dx==e-当x =0时，y =1，又把方程每一项对x 求导，y yy e xe y ''=--01(1)1x x y yyyye y xe ey e xe ===''+=-=-=-+(6) 设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量，0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>，则[A]（A ）0dy y <<∆（B ）0y dy <∆<（C ）0y dy ∆<<（D ）0dy y <∆<由()0()f x f x '>可知严格单调增加()0()f x f x ''>可知是凹的即知（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()xf t dt ⎰是[B]（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数（C ）在x =0间断的奇函数 （D ）在x =0间断的偶函数（9）设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C] （A ）ln 31- （B ）ln 31--（C ）ln 21--（D ）ln 21- ∵ 1()()()g x h x g x e +''=，1(1)12g e+= g (1)= ln 21--（10）函数212x x x y c e c xe -=++满足的一个微分方程是[D] （A ）23x y y y xe '''--= （B ）23x y y y e '''--=（C ）23xy y y xe '''+-=（D ）23xy y y e '''+-=将函数212x x x y c e c xe -=++代入答案中验证即可.（11）设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[C]（A ）2212(,)x xdx f x y dy -⎰⎰（B ）2212(,)x dx f x y dy -⎰⎰（C ）2212(,)y ydy f x y dx -⎰⎰（D ）2212(,)y dy f x y dx -⎰⎰（12）设(,)(,)f xyxy ϕ与均为可微函数，且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是[D]（A ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则（B ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则 （C ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 （D ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y F f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕλϕϕ=+'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪'==⎩令今000000(,)(,)0,(,)y y y f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'代入(1) 得 00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''='今 00000000(,)0,(,)(,)0(,)0x y xy f x y f x y x y f x y ϕ''''≠∴≠≠则 故选[D] (13)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（ ）成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1. (C) C =P TAP . (D) C =PAP T. 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA , 1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1三、解答题（15）试确定A ，B ，C 的常数值，使23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.解：泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得 23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)()()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得B +1=A ①C +B +12=0 ② 1026B C ++= ③ 式②-③得120233B B +==-则 代入①得13A = 代入②得16C = （16）求arcsin xxe dx e ⎰.解：原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dt e t =⎰⎰令21arcsin arcsin ()1t dttd t t t t =-=-+-⎰⎰2222arcsin arcsin 1(2)12(1)1t tdt t udu t u t t u u t t -=-+-==-+--⎰⎰令2arcsin 1t dut u =-+-⎰arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++22arcsin arcsin 111ln 211x x x x x x e e e dx C e e e --∴=-++-+⎰. （17）设区域22{(,)||,0}D x y x y x =+≤≥，计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.解：用极坐标系2201D xydxdy x y ⎛⎫= ⎪++⎝⎭⎰⎰11222002ln(1)ln 2122r I d dr r r ππππθ-==+=+⎰⎰. （18）设数列{}n x 满足10x π<<，1sin (1,2,3,)n n x x n +==证明：（1）1lim n n x +→∞存在，并求极限；（2）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证：（1）212sin ,01,2x x x n =∴<≤≥ 因此 1sin ,{}n n n n x x x x +=≤单调减少有下界()0n x ≥根据准则1，lim n n x A →∞=存在在1sin n n x x +=两边取极限得sin 0A A A =∴=因此1lim 0n n x +→∞=（2）原式21sin lim "1"n x n n n x x ∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭为型 离散型不能直接用洛必达法则先考虑 22011s i n l i m l n 0s i n l i m t t t t t t t e t →⎡⎤⎢⎥⎣⎦→⎛⎫= ⎪⎝⎭用洛必达法则2011(cos sin )limsin 2t t t t t tt te→-=23233310()0()26cos sin limlim22t t t t t t t t t t tt t ee →→⎡⎤⎡⎤-+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦==3330110()261lim26t t t t ee →⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-==.（19）证明：当0a b π<<<时，1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++. 证：令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-< ()f x '∴严格单调减少又()cos 0f ππππ'=+=故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加（严格）()()b a f b f a >>由则得证（20）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且()22Z fx y=+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.（I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式.证：（I ）()()22222222;zx zy f x y f x y xyx yx y∂∂''=+=+∂∂++()()()()22222223222222zx y f x yf x yx x y x y ∂'''=+++∂++()()()()22222223222222zy x f x yf x yy x y x y ∂'''=+++∂++()2222222222()0()()0f x y z zf x yx y x yf u f u u'+∂∂''+=++=∂∂+'''∴+=代入方程得成立（II ）令(),;,dp p dp du c f u p c p du u p u u'==-=-+=⎰⎰则22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+==∴= 由（21）已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （III ）求此切线与L （对应0x x ≤部分）及x 轴所围的平面图形的面积.解：（I ）4222,42,12dx dy dy t t t dt dt dx t t-==-==-222312110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<> ⎪⎝⎭处(0L t ∴>曲线在处)是凸（II ）切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，设2001x t =+，20004y t t =-，则2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+⎪⎝⎭得200000020,(1)(2)001t t t t t t +-=-+=>∴=点为（2，3），切线方程为1y x =+（III ）设L 的方程()x g y =则()3()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰ ()224024241t t y y x y -+==±-=±-+解出t 得由于（2，3）在L 上，由()232241()y x x y g y ===--+=得可知()30944(1)S y y y dy ⎡⎤=-----⎣⎦⎰ 3300(102)44y dy ydy =---⎰⎰3333220002(10)44(4)214(4)3y y yd y y =-+--=+⨯⨯-⎰8642213333=+-=- (22)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1,4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2.② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2.两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2→ 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0得同解方程组x 1=2-2x 3+4x 4，x 2=-3+x 3-5x 4，求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(4,-5,0,1)T , c 1,c 2任意.(23) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T , α2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0的解.① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q T AQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即 α0=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0.② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T . 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T . 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且 3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 .0 0 0。
2006年考研数学三真题及完整解析
2006年考研数学（三）真题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f xf x '=，()21f =，则()2____.f '''=（3）设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z =（4）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞ 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2____.ES =二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ]（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h →=，则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ] （9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ ] （10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ]（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] （12）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. [ ]（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）TC P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［ ］（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有 (A) 12σσ< (B) 12σσ>(C)12μμ< (D) 12μμ> [ ]三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ) ()0lim x g x +→. （16）（本题满分7分） 计算二重积分2d d Dy xy x y -⎰⎰，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.（17）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（18）（本题满分8分）在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.(Ⅰ) 求L 的方程；(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时，确定a 的值. （19）（本题满分10分）求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .（20）（本题满分13分）设4维向量组()()()T T T 1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+ ()T44,4,4,4a α=+，问a为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ；（Ⅲ）求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中E 为3阶单位矩阵.（22）（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数. (Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ； (Ⅱ)Cov(,)X Y ；(Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. （23）（本题满分13分） 设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.（Ⅰ）求θ的矩估计； （Ⅱ）求θ的最大似然估计2006年考研数学（三）真题解析二、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim 1.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭【分析】将其对数恒等化ln eNN =求解.【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim eennn n n n n n n n n n -→∞-++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭，而数列{}(1)n -有界，1lim ln 0n n n →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1lim(1)ln 0nn n n →∞+⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故 ()101lim e 1nn n n -→∞+⎛⎫==⎪⎝⎭.（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()322e .f '''=【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，()()e f x f x '=，两边对x 求导得()()()2e()e f x f x f x f x '''==，两边再对x 求导得 ()()23()2e()2e f x f x f x f x ''''==，又()21f =，故 ()323(2)2e 2e f f '''==.（3）设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d 4d 2d .z x y =-【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为22(1,2)(1,2)(4)84z f x y xx∂'=-⋅=∂，()22(1,2)(1,2)(4)22z f x y y y∂'=-⋅-=-∂，所以 ()()()1,21,21,2d d d 4d 2d z z z x y x y xy⎡⎤∂∂=+=-⎢⎥∂∂⎣⎦. 方法二：对()224z f x y =-微分得()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--，故 ()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-.（4）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B 2 .【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有()2B A E E -= 于是有 4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =.（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=19. 【分析】 利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知，X Y 与具有相同的概率密度1,3()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 0 其他.则 {}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤{}()2120111d 39P X x ⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭⎰.【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则 {}{}{}1max ,11,19S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴.（6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞ 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2 2.ES =【分析】利用样本方差的性质2ES DX =即可. 【详解】因为()d e d 02xx EX xf x x x +∞+∞--∞-∞===⎰⎰， 22222000()d e d e d e 2e d 2xx xx x EX x f x x x x x x x x +∞+∞+∞+∞---+∞--∞-∞====-+⎰⎰⎰⎰2e2e d 2e 2x x xx x +∞-+∞--+∞=-+=-=⎰，所以 ()22202DX EX EX =-=-=，又因2S 是DX 的无偏估计量，所以 22ES DX ==.二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .[ Ａ ]【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h →=，则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在 (C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ C ] 【分析】从()22lim1h f h h→=入手计算(0)f ，利用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -+''的存在性.【详解】由()22lim1h f h h →=知，()20lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续，则()2(0)lim ()lim 0x h f f x f h→→===.令2t h =，则()()22(0)1limlim (0)h t f h f t f f h t++→→-'===.所以(0)f +'存在，故本题选（C ）. （9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ Ｄ ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由1n n a ∞=∑收敛知11n n a ∞+=∑收敛，所以级数112n n n a a ∞+=+∑收敛，故应选(Ｄ). 或利用排除法： 取1(1)nn a n=-，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）； 取1(1)nn a n=-，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确. （10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ Ｂ ] 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解，所以它的通解是[]12()()Y C y x y x =-，故原方程的通解为[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-，故应选(Ｂ).【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：*y y Y =+.其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解，Y 是对应齐次微分方程的通解.（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ Ｄ ]【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠），若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.（12）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. [ A ] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,,,)s B ααα= ，则12(,,,)s A A A AB ααα= .所以，若向量组12,,,s ααα 线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα 也线性相关，故应选(Ａ).（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）TC P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［ Ｂ ］【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得1101101101110,010********1001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 而 1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-< 则必有 (A) 12σσ< (B) 12σσ>(C)12μμ< (D) 12μμ> [ A ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则 12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数，则1211σσ>，即12σσ<.故选(A).三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ) ()0lim x g x +→. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解，此问中含,0∞⋅∞∞型未定式极限；第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果，含∞-∞未定式极限.【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞⎛⎫- ⎪⎪==-+ ⎪⎪⎝⎭sin 11111lim 1arctan arctan y x yxy x x x x y ππ→∞⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪⎪-=-=-⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅱ) ()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x xππ+++→→→--+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ （通分） 22222000112arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x xππππ+++→→→-+-+-+++====（16）（本题满分7分） 计算二重积分2d d Dy xy x y -⎰⎰，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可. 【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数，“先x 后y ”积分较容易，所以1220d d d d yDy xy x y y y xy x -=-⎰⎰⎰⎰()311222002122d d 339y y xy y y y y=--==⎰⎰（17）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<， 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时），故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（18）（本题满分8分）在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.(Ⅰ) 求L 的方程；(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时，确定a 的值. 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定参数. 【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =，则由题设可得 y y ax x '-=，这是一阶线性微分方程，其中1(),()P x Q x ax x=-=，代入通解公式得 ()11d d 2e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰， 又(1)0f =，所以C a =-.故曲线L 的方程为 2y ax ax =-(0)x ≠.(Ⅱ) L 与直线y ax =（>0a ）所围成平面图形如右图所示. 所以()220d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰ ()220482d 33a x x x a =-==⎰，故2a =.（19）（本题满分10分）求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x.【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解】记121(1)()(21)n n n x u x n n -+-=-，则2321121(1)()(1)(21)lim lim (1)()(21)n n n n n n n nx u x n n xx u x n n ++-+→∞→∞-++==--. 所以当21,1x x <<即时，所给幂级数收敛；当1x >时，所给幂级数发散；当1x =±时，所给幂级数为1(1)(1),(21)(21)n nn n n n -----，均收敛， 故所给幂级数的收敛域为[]1,1-在()1,1-内，()12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n nn n x x s x x xs x n n n n -+-∞∞==--===--∑∑，而 12112211211(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞∞--==-'''==-=-+∑∑， 所以 111201()(0)()d d arctan 1xxs x s s t t t x t ''''-===+⎰⎰，又1(0)0s '=，于是 1()arctan s x x '=.同理 11100()(0)()d arctan d xxs x s s t t t t '-==⎰⎰()20201arctan d arctan ln 112xx t t tt x x x t =-=-++⎰， 又 1(0)0s =，所以 ()211()arctan ln 12s x x x x =-+.故 ()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.由于所给幂级数在1x =±处都收敛，且()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+在1x =± 处都连续，所以()s x 在1x =±成立，即()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+，[]1,1x ∈-.（20）（本题满分13分）设4维向量组()()()T T T 1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+ ()T44,4,4,4a α=+，问a为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ；用初等变换求极大线性无关组. 【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ，则312341234(10)12341234a a A a a a a++==+++.于是当0,010A a a ===-即或时，1234,,,αααα线性相关.当0a =时，显然1α是一个极大线性无关组，且2131412,3,4αααααα===； 当10a =-时， 1α2α 3α 4α9234183412741236A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭， 由于此时A 有三阶非零行列式9231834000127--=-≠-，所以123,,ααα为极大线性无关组，且123441230αααααααα+++==---，即.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ；（Ⅲ）求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中E 为3阶单位矩阵.【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ；由TQ AQ =Λ可得到A 和632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T (1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交. 取 11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.再将12,,αββ单位化，得121231211136212,,036111236ββαηηηαββ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪====== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令 []123,,Q ηηη=，则1T QQ -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （Ⅲ）由(Ⅱ)知 T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以T 11111136********121210011136666011111111036222A Q Q ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=Λ=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 666T T T 333222Q A E Q Q A E Q Q AQ E ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 6666633223333022203322E ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭⎝⎭， 则666T 333222A E Q EQ E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（22）（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ) 求Y 的概率密度()Y f y ； (Ⅱ) Cov(,)X Y ；(Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算. 【详解】 （I ） 设Y 的分布函数为()Y F y ，即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤，则 1) 当0y <时，()0Y F y =；2) 当01y ≤<时， ()2()()Y F y P X y P y X y =<=-<<0113d d 244y y x x y -=+=⎰⎰. 3) 当14y ≤<时，()2()()1Y F y P X y P X y =<=-<<101111d d 2442y x x y -=+=+⎰⎰. 4) 当4y ≥，()1Y F y =. 所以3,0181()(),1480,Y Y y y f y F y y y⎧<<⎪⎪⎪'==≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他. （II ） 22232Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX ==--=-，而 02101d d 244x x EX x x -=+=⎰⎰，22022105d d 246x x EX x x -=+=⎰⎰， 3323107d d 248x x EX x x -=+=⎰⎰， 所以 7152Cov(,)8463X Y =-⋅=. (Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X ⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22222P X X P X ⎛⎫⎛⎫=≤--≤≤=-≤≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111d 24x --==⎰. （23）（本题满分13分）设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.（Ⅰ）求θ的矩估计； （Ⅱ）求θ的最大似然估计【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算. 【详解】（Ⅰ）因为()1213(;)d d 1d 2EX xf x x x x x x θθθθ+∞-∞==+-=-⎰⎰⎰， 令 32X θ-=，可得θ的矩估计为 32X θ=- .（Ⅱ）记似然函数为()L θ，则()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅-=- 个个. 两边取对数得ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--，令d ln ()0d 1L N n Nθθθθ-=-=-，解得N n θ= 为θ的最大似然估计.。
2006年考研数学一真题及解析
2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】2.【详解】由等价无穷小替换，0x →时，21ln(1),1cos 2x x x x +-，2002ln(1)limlim 11cos 2x x x x x x x →→+=-=2(2)【答案】xCxe-.【详解】分离变量，(1)dy y x dx x -=⇒(1)dy x dx y x -=⇒1(1)dy dx y x =-⇒1dy dx dxy x =-⎰⎰⎰⇒ln ln y x x c =-+⇒ln ln yx x cee-+=⇒xy Cxe-=(3)【答案】2π【详解】补一个曲面221:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩1,取上侧，则1∑+∑组成的封闭立体Ω满足高斯公式，1()P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy I x y z Ω∑+∑∂∂∂++=++=∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 设,2,3(1)P x Q y R z ===-，则1236P Q Rx y z∂∂∂++=++=∂∂∂∴I =6dxdydz Ω⎰⎰⎰(Ω为锥面∑和平面1∑所围区域)6V =(V 为上述圆锥体体积)注：以下几种解法针对于不同的方法求圆锥体体积V 方法1：I 623ππ=⨯=(高中方法，圆锥的体积公式，这种方法最简便)而123(1)0xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰( 在1∑上：1,0z dz ==)方法2：先二重积分，后定积分.因为1V Sdz =⎰，r =222r x y =+，22r z =，22S r z ππ==，所以1122001133V z dz z πππ===⎰.从而6623I V ππ==⨯=方法3：利用球面坐标.1z =在球坐标下为：1cos ρθ=，1224cos 0006sin I d d d ππϕθϕρϕρ=⎰⎰⎰243002sin cos d d ππϕθϕϕ=⎰⎰2430cos (2)cos d d ππϕθϕ=-⎰⎰422001(2)()cos 2d ππθϕ-=--⎰202d πθπ==⎰方法4：利用柱面坐标.21106rI d dr rdz πθ=⎰⎰⎰216(1)d r rdrπθ=-⎰⎰122300116()23d r r πθ=-⎰202d πθπ==⎰(4)【详解】代入点000(,,)P x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离公式d ===(5)【答案】2【详解】由已知条件2BA B E =+变形得，2BA E B -=⇒()2B A E E -=,两边取行列式,得()244B A E E E -===其中，2110112120111A E ⎡⎤⎡⎤-=-==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，222E 4E ==因此，2422E B A E===-.(6)【答案】19【详解】根据独立性原理：若事件1,,n A A 独立，则{}{}{}{}1212n n P A A A P A P A P A =事件{}{}{}{}max{,}11,111X Y X Y X Y ≤=≤≤=≤≤ ，而随机变量X 与Y 均服从区间[0,3]上的均匀分布，有{}1011133P X dx ≤==⎰和{}1011133P Y dy ≤==⎰.又随机变量X 与Y 相互独立，所以，{}{}{}{}max(,)11,111P x y P x Y P x P Y ≤=≤≤=≤⋅≤1133=⨯19=二、选择题.(7)【答案】A 【详解】方法1：图示法.因为()0,f x '>则()f x 严格单调增加；因为()0,f x ''>则()f x 是凹函数，又0x > ，画2()f x x =的图形结合图形分析，就可以明显得出结论：0dy y << .方法2：用两次拉格朗日中值定理000()()()y dy f x x f x f x x '-=+-- (前两项用拉氏定理)0()()f x f x xξ''=- (再用一次拉氏定理)0()()f x x ηξ=-'' ,其中000,x x x x ξηξ<<+<< 由于()0f x ''>，从而0y dy -> .又由于0()0dy f x x '=> ，故选[]A 方法3：用拉格朗日余项一阶泰勒公式.泰勒公式：000()()()()f x f x f x x x '=+-()20000()()()()2!!n n n f x f x x x x x R n ''+-++-+ ，其中(1)00()()(1)!n nn fx R x x n +=-+.此时n 取1代入，可得20001()()()()()02y dy f x x f x f x x f x ξ'''∆-=+∆--∆=∆>又由0()0dy f x x '=∆>，选()A .O x 0x 0+Δx xyy=f (x )Δydy(8)【答案】()C 【详解】记140(cos ,sin )(,)Dd f r r rdr f x y dxdy πθθθ=⎰⎰⎰⎰，则区域D 的极坐标表示是：01r ≤≤，04πθ≤≤.题目考察极坐标和直角坐标的互化问题，画出积分区间，结合图形可以看出，直角坐标的积分范围(注意y x =与221x y +=在第一象限的交点是2222，）)，于是2:02D y y x ≤≤≤≤所以，原式0(,)ydy f x y dx =.因此选()C (9)【答案】D 【详解】方法1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛因为1nn a ∞=∑收敛，所以11n n a ∞+=∑也收敛，所以11()n n n a a ∞+=+∑收敛，从而112n n n a a ∞+=+∑也收敛.选D.方法2：记n n a =，则1n n a ∞=∑收敛.但11n n n a ∞∞===∑(p 级数，12p =级数发散)；111n n n n a a ∞∞+===∑∑p 级数，1p =级数发散)均发散。
2006考研数二真题及解析
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：1-6小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为(2) 设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续,则a =(3) 广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰(4) 微分方程(1)y x y x-'=的通解是(5) 设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定,则0x dy dx==(6) 设2112A ⎛⎫=⎪- ⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则B = .二、选择题：9-14小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0,f x f x x '''>>为自变量x 在点0x 处的增量,y 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应增量与微分,若0x >,则( ) (A)0dy y << (B)0y dy <<(C)0y dy <<(D)0dy y <<(8) 设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则0()xf t dt ⎰是( )(A)连续的奇函数 (B)连续的偶函数(C)在0x =间断的奇函数(D)在0x =间断的偶函数(9) 设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则(1)g 等于( )(A)ln 31-(B)ln 31--(C)ln 21--(D)ln 21-(10) 函数212x x x y c e c e xe -=++满足的一个微分方程是( ) (A)23xy y y xe '''--= (B)23xy y y e '''--=(C)23x y y y xe '''+-=(D)23xy y y e '''+-=(11) 设(,)f x y 为连续函数,则14(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于( )(A)(,)xf x y dy ⎰(B)(,)f x y dy ⎰(C)(,)yf x y dx ⎰(D)(,)f x y dx ⎰(12) 设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是( )(A)若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则 (B)若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则(C)若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 (D)若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(13) 设12,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是( ) (A)若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性相关. (B)若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性无关.(C)若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性相关. (D)若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性无关.(14) 设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭,则( )(A)1.C P AP -=(B)1.C PAP -= (C).TC P AP =(D).TC PAP =三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)试确定常数,,A B C 的值,使得23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++,其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.(16)(本题满分10分)求arcsin xxe dx e ⎰ (17)(本题满分10分)设区域22{(,)|1,0}D x y x y x =+≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰ (18)(本题满分12分)设数列{}n x 满足10x π<<,1sin (1,2,)n n x x n +==(I) 证明lim n n x →∞存在,并求该极限;(II) 计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. (19)(本题满分10分)证明：当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. (20)(本题满分12分)设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数,且Z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂(I)验证()()0f u f u u'''+=; (II)若(1)0,(1)1f f '==, 求函数()f u 的表达式. (21)(本题满分12分)已知曲线L 的方程221,(0),4x t t y t t⎧=+≥ ⎨=-⎩(I) 讨论L 的凹凸性;(II) 过点(1,0)-引L 的切线,求切点00(,)x y ,并写出切线的方程; (III) 求此切线与L (对应0x x ≤的部分)及x 轴所围成的平面图形的面积. (22)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组1234123412341,4351,31x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解.(I) 证明此方程组系数矩阵A 的秩()2r A =; (Ⅱ) 求,a b 的值及方程组的通解. (23)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TTαα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(I) 求A 的特征值与特征向量;(II) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题 (1)【答案】15y =【详解】 由水平渐近线的定义及无穷小量的性质----“无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量”可知4sin lim lim 52cos x x x x y x x →∞→∞+=-4sin 1lim2cos 5x xx x x→∞+=-10lim 50x →∞+=-15= 0x →时1x为无穷小量,sin x ,cos x 均为有界量. 故,15y =是水平渐近线.(2)【答案】13【详解】按连续性定义,极限值等于函数值,故lim ()x f x →203sin limx x t x →=⎰220sin()lim 3x x x →洛220lim 3x x x→=13= 注：00型未定式,可以采用洛必达法则；等价无穷小量的替换22sin x x(3)【答案】12【详解】222222001111(1)2(1)212xdx dx x x x +∞+∞+∞==-⋅=+++⎰⎰(4) 【答案】xCxe-.【详解】分离变量,(1)dy y x dx x -=⇒(1)dy x dx y x -=⇒1(1)dy dx y x =-⇒1dy dx dx y x=-⎰⎰⎰ ⇒ln ln y x x c =-+ ⇒ln ln y x x ce e -+= ⇒xy Cxe -=(5)【答案】e -【详解】题目考察由方程确定的隐函数在某一点处的导数.在原方程中令0(0)1x y =⇒= .将方程两边对x 求导得y y y e xe y ''=--,令0x =得(0)y e '=-(6) 【答案】 2【详解】由已知条件2BA B E =+变形得,2BA E B -=⇒()2B A E E -=, 两边取行列式, 得()244B A E E E -=== 其中,2110112120111A E ⎡⎤⎡⎤-=-==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 222E 4E == 因此,2422E B A E===-.二、选择题.(7)【答案】A 【详解】方法1： 图示法.因为()0,f x '>则()f x 严格单调增加；因为()0,f x ''> 则()f x 是凹函数,又0x >,画2()f x x =的图形yy结合图形分析,就可以明显得出结论：0dy y <<. 方法2：用两次拉格朗日中值定理000()()()y dy f x x f x f x x '-=+--(前两项用拉氏定理)0()()f x f x x ξ''=- (再用一次拉氏定理)0()()f x x ηξ=-'', 其中000,x x x x ξηξ<<+<<由于()0f x ''>,从而0y dy ->. 又由于0()0dy f x x '=>,故选[]A 方法3： 用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式：000()()()()f x f x f x x x '=+-()20000()()()()2!!n n n f x f x x x x x R n ''+-++-+,其中(1)00()()(1)!n nn fx R x x n +=-+. 此时n 取1代入,可得20001()()()()()02y dy f x x f x f x x f x ξ'''∆-=+∆--∆=∆> 又由0()0dy f x x '=∆>,选()A .(8)【答案】(B ) 【详解】方法1：赋值法特殊选取1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,满足所有条件,则0,0(),0x x x f t dt x x x ≥⎧==⎨-<⎩⎰ . 它是连续的偶函数. 因此,选(B )方法2：显然()f x 在任意区间[],a b 上可积,于是0()()xF x f t dt =⎰记处处连续,又()()()()()s txxxF x f t dt f t dt f s ds F x =----==--==⎰⎰⎰即()F x 为偶函数 . 选 (B ) .(9)【答案】(C )【详解】利用复合函数求导法1()()g x h x e +=两边对x 求导⇒1()()()g x h x g x e +''=将1x =代入上式,⇒1(1)12g e+=⇒1(1)ln 1ln 212g =-=--. 故选(C ).(10)【答案】(C )【详解】题目由二阶线性常系数非齐次方程的通解,反求二阶常系数非齐次微分方程,分两步进行,先求出二阶常系数齐次微分方程的形式,再由特解定常数项.因为212x x x y c e c e xe -=++是某二阶线性常系数非齐次方程的通解,所以该方程对应的齐次方程的特征根为1和-2,于是特征方程为2(1)(2)20λλλλ-+=+-=,对应的齐次微分方程为-20y y y '''+=所以不选(A )与(B ),为了确定是(C )还是(D ),只要将特解x y xe *=代入方程左边,计算得()()-23x y y y e ***'''+=,故选(D ). (11) 【答案】()C【详解】记140(cos ,sin )(,)Dd f r r rdr f x y dxdy πθθθ=⎰⎰⎰⎰,则区域D 的极坐标表示是：01r ≤≤ ,04πθ≤≤. 题目考察极坐标和直角坐标的互化问题,画出积分区间,结合图形可以看出,直角坐标的积分范围（注意 y x = 与 221x y += 在第一象限的交点是22（，）,于是:02D y y x ≤≤≤≤所以,原式0(,)yf x y dx =. 因此选 ()C(12) 【答案】D 【详解】方法1： 化条件极值问题为一元函数极值问题。
2006考研数学二真题及答案解析
( ) 设函数 f (u)在(0, +∞) 内具有二阶导数，= 且 Z f
x2 + y2
满足等式
∂2z ∂x2
+
∂2z ∂y 2
= 0
(I)验证 f ′′(u) + f ′(u) = 0 ; (II)若= f (1) 0= , f ′(1) 1, 求函数 f (u)的表达式 . u
(21)(本题满分 12 分)
增量， y 与 dy 分别为 f (x) 在点 x0 处对应增量与微分，若 x > 0 ，则( )
(A) 0 < dy < y
(B) 0 < y < dy
(C) y < dy < 0
(D) dy < y < 0
x
∫ (8) 设 f (x) 是奇函数，除 x = 0 外处处连续， x = 0 是其第一类间断点，则 f (t)dt 是( ) 0
=1 3
注： 0 型未定式，可以采用洛必达法则；等价无穷小量的替换 sin x2 x2 0
❤
(3)【答案】1 2
【详解】
∫ ∫ +∞ xdx =1 +∞ dx2 =− 1 ⋅ 1 +∞ =1
0 (1+ x2 )2 2 0 (1+ x2 )2 2 1+ x2 0 2
(4) 【答案】 Cxe− x .
(A)连续的奇函数
(C)在 x = 0 间断的奇函数
(B)连续的偶函数
(D)在 x = 0 间断的偶函数
(9) 设函数 g(x) 可微，= h(x) e1+g(x)= , h′(1) 1,= g′(1) 2, 则 g(1) 等于( )
2006年考研数学一真题
（9）若级数 an 收敛，则级数 n1
3
(A) an 收敛 n1
（B） (1)n an 收敛 n1
(C)
anan1 收敛.
n1
(D) an an1 收敛.
n1
2
【分析】 本题主要考查级数收敛的性质和判别法。可以通过举反例或级数的性质来判 定。
【详解】法一：由
n1
an
收敛知
n1
【分析】主要考查考生基本的计算能力。本题 不是封闭曲面，首先想到加一曲面 1 ：
使 1 构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分进行计算即可。
【详解】 令 1 是平面 z 1在锥面 z x2 y2 内的部分取上侧，则
xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy
xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy
y dy f (x0)dx f (x0)x 0 ，故应选(Ａ).
法二： y f (x0 x) f (x0) f ()x, x0 x0 x
因为 f (x) 0 ，所以 f (x) 单调增加，即 f () f (x0) ，又 x 0 ，所以
f ()x f (x0)x 0 ，即 0 dy y .故应选(A).
一元函数
f
(x, y(x)) 的一个极值点，从而 d dx
f (x, y(x))
x x0
0
又
d dx
f
(x, y(x))
f x( x,
y(x))
f y(x,
y(x)) y(x) ，所以
f x( x0 ,
y(x0 ))
f y(x0,
y(x0 )) y(x0 )
0 ，即
2006—数二真题、标准答案及解析
2006—数二真题、标准答案及解析2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）一、填空题（1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为 . （2）设函数231sin ,0,(),x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在x =处连续，则a =.（3）广义积分22(1)xdx x +∞=+⎰.（4）微分方程(1)y x y x -'=的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则0A dydx== .（6）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E=+，则B=. 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则 （A ）0.dy y <<∆ （B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<< （D ）0.dy y <∆< 【 】（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则0()x f t dt⎰是（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数 （C ）在0x =间断的奇函数 （D ）在0x =间断的偶函数. 【 】 （9）设函数()g x 可微，1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===，则(1)g 等于（A ）ln31-. （B ）ln3 1.--（C ）ln 2 1.-- （D ）ln 2 1.- 【 】（10）函数212xx xy C eC e xe -=++满足一个微分方程是（A ）23.xy y y xe '''--= （B ）23.x y y y e '''--=（C ）23.xy y y xe '''+-= （D ）23.xy y y e '''+-=（11）设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdrπθθθ⎰⎰等于（A ）0(,).xf x y dy ⎰⎰ （B ）0(,).f x y dy ⎰⎰（C ）0(,).yf x y dx ⎰⎰（D ）0(,).f x y dx ⎰⎰【 】（12）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0yx y ϕ≠. 已知0(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（A ）若0(,)0xf x y '=，则0(,)0yf x y '=.（B ）若0(,)0xf x y '=，则0(,)0yf x y '≠.（C ）若0(,)0xf x y '≠，则0(,)0yf x y '=.（D ）若0(,)0xf x y '≠，则0(,)0yf x y '≠.【 】 （13）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. （C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.【 】（14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，则（A ）1.C PAP -= （B ）1.C PAP -=（C ）.TC P AP = （D ）.TC PAP =三 解答题15．试确定A ，B ，C 的常数值，使得23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.16．arcsin xxe dx e⎰求.17．{}22(,)1,0D x y xy x =+≤≥设区域，221.1DxyI dxdy x y+=++⎰⎰计算二重积分18．{}110,sin (0,1,2,)nn n x x xx n π+<<==设数列满足1lim n x x +→∞证明: (1) 存在,并求极限；211(2)lim()nx n x nx x +→∞计算.19．sin 2cos sin cos .<a <b b b b b a a a a a πππ<++>++证明: 当0时,20 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f =满足等式22220z zx y ∂∂+=∂∂.(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=；(Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式.21 已知曲线L 的方程为221,(0),4x l t y l t ⎧=+≥⎨=-⎩（Ⅰ）讨论L 的凹凸性；（Ⅱ）过点（-1，0）引L 的切线，求切点0(,)x y ，并写出切线的方程；（Ⅲ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.22 已知非齐次线性方程组12341234123414351331x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有个线性无关的解Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =； Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解.23 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TTαα=--=-是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A的特征值与特征向量(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得T Q AQ A .2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）真题解析一、填空题（1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为15y =4sin 11lim lim2cos 55x x x x y x x→∞→∞+==-（2）设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续，则a =132200()1lim ()lim 33x x sm x f x x →→==（3）广义积分22(1)xdx x +∞=+⎰1222222201(1)11110(1)2(1)2(1)22xdx d x x x x +∞+∞+∞+==-⋅=+=+++⎰⎰（4）微分方程(1)y x y x -'=的通解是xy cxe -=)0(≠x （5）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则0x dydx ==e-当x =0时，y =1，又把方程每一项对x 求导，yy y e xe y ''=--01(1)1x x y yyyye y xe ey exe ===''+=-=-=-+(6) 设 A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2.二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x'''>>∆为自变量x在点x 0处的增量，0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>，则[A]（A ）0dy y <<∆ （B ）0y dy <∆< （C ）0y dy ∆<< （D ）0dy y <∆< 由()0()f x f x '>可知严格单调增加()0()f x f x ''>可知是凹的即知（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则 0()xf t dt ⎰是[B]（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数 （C ）在x =0间断的奇函数 （D ）在x =0间断的偶函数（9）设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x eh g +''===则g (1)等于[C]（A ）ln31- （B ）ln31-- （C ）ln 21-- （D ）ln21- ∵ 1()()()g x h x g x e+''=，1(1)12g e+= g (1)=ln 21--（10）函数212xx xy c ec xe -=++满足的一个微分方程是[D]（A ）23xy y y xe '''--= （B ）23x y y y e '''--= （C ）23xy y y xe '''+-= （D ）23xy y y e '''+-=将函数212xx xy c ec xe -=++代入答案中验证即可.（11）设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[C] （A）0(,)xf x y dy⎰ （B）0(,)f x y dy⎰ （C）0(,)yf x y dx⎰ （D）0(,)f x y dx⎰（12）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0,yx y ϕ'≠已知0(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是[D]（A ）若0(,)0,(,)0xyf x y f x y ''==则（B ）若0(,)0,(,)0xyf x y f x y ''=≠则（C ）若0(,)0,(,)0xyf x y f x y ''≠=则（D ）若0(,)0,(,)0xyf x y f x y ''≠≠则(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y F f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕλϕϕ=+'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪'==⎩令今 00000(,)(,)0,(,)y yy f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'代入(1) 得00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''='今00000000(,)0,(,)(,)0(,)0x y xy f x y f x y x y f x y ϕ''''≠∴≠≠则 故选[D](13)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（ ）成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关.(B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关.(C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关.(D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关.解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解. 若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s.2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1. (C) C =P TAP . (D) C =PAP T. 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA ,1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1.0 0 1三、解答题（15）试确定A ，B ，C 的常数值，使23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.解：泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)()()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得 B +1=A ① C +B +12=0 ② 1026B C ++= ③式②-③得120233B B +==-则代入①得 13A = 代入②得 16C = （16）求arcsin xx e dxe ⎰.解：原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dte t =⎰⎰令1arcsin arcsin ()t td t t =-=-+⎰2arcsin arcsin 1(2)2(1)t t udu t t u u -=-+=-+-⎰2arcsin 1t du t u =-+-⎰arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++arcsin arcsin 1ln 2x x x x e e dx C e e ∴=-++⎰.（17）设区域22{(,)||,0}D x y xy x =+≤≥， 计算二重积分2211DxyI dxdy x y+=++⎰⎰.解：用极坐标系2201Dxydxdy x y ⎛⎫= ⎪++⎝⎭⎰⎰11222002ln(1)ln 2122r I d dr r r ππππθ-==+=+⎰⎰.（18）设数列{}nx 满足10x π<<，1sin (1,2,3,)n nx x n +==证明：（1）1lim n n x +→∞存在，并求极限；（2）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.证：（1）212sin ,01,2x x x n =∴<≤≥因此1sin ,{}n nnnx x x x +=≤单调减少有下界()0n x ≥根据准则1，lim nn x A →∞=存在在1sin n nx x +=两边取极限得sin 0A A A =∴=因此1lim 0n n x +→∞=（2）原式21sin lim "1"n x nn n x x ∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭为型离散型不能直接用洛必达法则先考虑22011sin lim lnsin lim t t t t t t t e t →⎡⎤⎢⎥⎣⎦→⎛⎫= ⎪⎝⎭用洛必达法则2011(cos sin )limsin 2t t t t t t t te→-=23233310()0()26cos sin limlim22t t t t t t t t t t tt t e e →→⎡⎤⎡⎤-+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦==3330110()261lim26t t t t ee→⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-==.（19）证明：当0a b π<<<时，1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. 证：令()sin 2cos f x x x x x π=++只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加 ()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+ cos sin x x x π=-+()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<()f x '∴严格单调减少又()cos 0f ππππ'=+= 故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加（严格）()()b a f b f a >>由则 得证（20）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f =满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.（I ）验证()()0f u f u u'''+=；（II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式.证：（I）zzf f xy∂∂''==∂∂()()2223222222zx y f f xx y x y ∂'''=+∂++()()2223222222zy x f f yx y x y ∂'''=+∂++22220()()0z zf x y f u f u u∂∂''+==∂∂'''∴+=代入方程得成立（II ）令(),;,dp p dp du c f u p c p duu p u u'==-=-+=⎰⎰则22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+==∴=由（21）已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点0(,)x y ，并写出切线的方程；（III ）求此切线与L （对应0x x ≤部分）及x 轴所围的平面图形的面积.解：（I ）4222,42,12dx dy dy t t t dt dt dx t t-==-==- 222312110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<> ⎪⎝⎭处(0L t ∴>曲线在处)是凸（II ）切线方程为201(1)y x t⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，设2001xt =+，2004yt t =-，则2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+ ⎪⎝⎭得200000020,(1)(2)001tt t t t t +-=-+=>∴=点为（2，3），切线方程为1y x =+ （III ）设L 的方程()x g y =则()30()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰(2240221t t y x -+==±=±+解出t 得由于（2，3）在L 上，由(23221()y x x g y ===+=得可知(309(1)S y y d y⎡⎤=----⎣⎦⎰33(102)4y dy y=--⎰333322002(10)4(4)214(4)3y y y y =-+-=+⨯⨯-8642213333=+-=-(22)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1， a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)≥2.两个不等式说明r(A)=2.②对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A|β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a4a+b-5 4-2a由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2→ 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0得同解方程组x1=2-2x3+4x4，x2=-3+x3-5x4，求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1)T.得到方程组的通解:(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T, c1,c2任意.(23) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T, α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.①求A的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q TAQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T,即α0=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0. ② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T.对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T, η2=(-36,66,66)T.作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且 3 0 0 Q TAQ =Q -1AQ = 0 0 0 . 0 0 0。
2006年考研数学一真题与的答案
2006年考研数学一真题一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。
）(1)limx→0xln(1+x)1−cosx= 。
【答案】2。
【解析】等价无穷小代换：当x→0时，l n(1+x)~x,1−cosx~12x2所以limx→0xln(1+x)1−cosx=limx→0x212x2=2综上所述，本题正确答案是2。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)微分方程y′=y(1−x)x的通解为__________。
【答案】y=Cxe−x(x≠0)，C为任意常数。
【解析】原式等价于dyy =1−xxdxdy y =1−xxdx⇒ln|y|=ln|x|−lne x+ln|C|（两边积分）即y=Cxe−x(x≠0)，C为任意常数综上所述，本题正确答案是y=Cxe−x(x≠0)。
【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程(3)设Σ是锥面z=√x2+y2(0≤z≤1)的下侧，则∬xdydz+Σ2ydzdx+3(z−1)dxdy= 。
【答案】2π。
【解析】设Σ1：z =1(x 2+y 2≤1)，取上侧，则∬xdydz +2ydzdx +3(z −1)dxdy =Σ∬xdydz +2ydzdx +3(z −1)dxdyΣ+Σ1−∬xdydz +2ydzdx +Σ13(z −1)dxdy而∬xdydz +2ydzdx +3(z −1)dxdy Σ+Σ1=∭6dvV=6∫dθ2π0∫rdr 10∫dz 1r=2π∬xdydz +2ydzdx +3(z −1)dxdy =Σ1所以∬xdydz +2ydzdx +3(z −1)dxdy = Σ2π综上所述，本题正确答案是2π。
【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算(4)点(2,1,0)到平面3x +4y +5z =0的距离d = 。
【答案】√2。
【解析】点到平面的距离公式：d =|Ax +By +Cz +D|√A 2+B 2+C2其中(x 0,y 0,z 0)为点的坐标，Ax +By +Cz +D =0为平面方程 所以d =|3×2+4×1+5×0+0|√32+42+52=√2综上所述，本题正确答案是√2。
2006年考研数学三真题及解析
2006年考研数学（三）真题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1）()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''=（3）设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z =（4）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______.（6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞ 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2____.ES =二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A)0d y y <<∆.(B)0d y y <∆<.(C)d 0y y ∆<<.(D)d 0y y <∆<.[]（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h→=，则(A)()()000f f -'=且存在(B)()()010f f -'=且存在(C)()()000f f +'=且存在(D)()()010f f +'=且存在[]（9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数(A)1nn a∞=∑收敛.（B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛.(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛.[]（10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -.（Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.（Ｃ）[]12()()C y x y x +.（Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++[]（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=.(B)若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠.(C)若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D)若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.[]（12）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A)若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.(B)若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关.(C)若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D)若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关.[]（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=.（Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =.（Ｄ）TC PAP =.［］（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有(A)12σσ<(B)12σσ>(C)12μμ<(D)12μμ>[]三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求(Ⅰ)()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ)()0lim x g x +→.（16）（本题满分7分）计算二重积分d Dx y ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.（17）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（18）（本题满分8分）在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.(Ⅰ)求L 的方程；(Ⅱ)当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时，确定a 的值.（19）（本题满分10分）求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .（20）（本题满分13分）设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ；（Ⅲ）求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中E 为3阶单位矩阵.（22）（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ；(Ⅱ)Cov(,)X Y ；(Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭.（23）（本题满分13分）设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.（Ⅰ）求θ的矩估计；（Ⅱ）求θ的最大似然估计2006年考研数学（三）真题解析二、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1）()11lim 1.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭【分析】将其对数恒等化ln eNN =求解.【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim eennn n n n n n n n n n -→∞-++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭，而数列{}(1)n-有界，1lim ln 0n n n →∞+⎛⎫=⎪⎝⎭，所以1lim(1)ln 0n n n n →∞+⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故()101lim e 1nn n n -→∞+⎛⎫==⎪⎝⎭.（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()322e .f '''=【分析】利用复合函数求导即可.【详解】由题设知，()()ef x f x '=，两边对x 求导得()()()2e()ef x f x f x f x '''==，两边再对x 求导得()()23()2e ()2ef x f x f x f x ''''==，又()21f =，故()323(2)2e2e f f '''==.（3）设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d 4d 2d .z x y =-【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.【详解】方法一：因为22(1,2)(1,2)(4)84z f x y xx ∂'=-⋅=∂，()22(1,2)(1,2)(4)22z f x y y y∂'=-⋅-=-∂，所以()()()1,21,21,2d d d 4d 2d z z z x y x y xy⎡⎤∂∂=+=-⎢⎥∂∂⎣⎦.方法二：对()224z f x y=-微分得()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--，故()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-.（4）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B 2.【分析】将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有()2B A E E-=于是有4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =.（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=19.【分析】利用X Y 与的独立性及分布计算.【详解】由题设知，X Y 与具有相同的概率密度1,3()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 0 其他.则{}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤{}()2120111d 39P X x ⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭⎰.【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则{}{}{}1max ,11,19S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴.（6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞ 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则22.ES =【分析】利用样本方差的性质2ES DX =即可.【详解】因为()d e d 02xx EX xf x x x +∞+∞--∞-∞===⎰⎰，22222000()d e d e d e 2e d 2xx xx x EX x f x x x x x x x x+∞+∞+∞+∞---+∞--∞-∞====-+⎰⎰⎰⎰2e2e d 2e 2x x xx x +∞-+∞--+∞=-+=-=⎰，所以()22202DX EX EX =-=-=，又因2S 是DX 的无偏估计量，所以22ES DX ==.二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A)0d y y <<∆.(B)0d y y <∆<.(C)d 0y y ∆<<.(D)d 0y y <∆<.[Ａ]【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h →=，则(A)()()000f f -'=且存在(B)()()010f f -'=且存在(C)()()000f f +'=且存在(D)()()010f f +'=且存在[C ]【分析】从()22lim1h f h h→=入手计算(0)f ，利用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -+''的存在性.【详解】由()22lim1h f h h→=知，()20lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续，则()20(0)lim ()lim 0x h f f x f h →→===.令2t h =，则()()22(0)1limlim (0)h t f h f t f f ht++→→-'===.所以(0)f +'存在，故本题选（C ）.（9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数(A)1nn a∞=∑收敛.（B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛.(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛.[Ｄ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】由1n n a ∞=∑收敛知11n n a ∞+=∑收敛，所以级数112n n n a a ∞+=+∑收敛，故应选(Ｄ).或利用排除法：取1(1)nn a n =-，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；取(1)nn a =-.故（Ｄ）项正确.（10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -.（Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.（Ｃ）[]12()()C y x y x +.（Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++[Ｂ]【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解，所以它的通解是[]12()()Y C y x y x =-，故原方程的通解为[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-，故应选(Ｂ).【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：*y y Y =+.其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解，Y 是对应齐次微分方程的通解.（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=.(B)若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠.(C)若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D)若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.[Ｄ]【分析】利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩.消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=,整理得000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠），若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.（12）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A)若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.(B)若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关.(C)若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D)若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关.[A ]【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】记12(,,,)s B ααα= ，则12(,,,)s A A A AB ααα= .所以，若向量组12,,,s ααα 线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα 也线性相关，故应选(Ａ).（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=.（Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =.（Ｄ）TC PAP =.［Ｂ］【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得110110110110010,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，而1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有(A)12σσ<(B)12σσ>(C)12μμ<(D)12μμ>[A]【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.其中()x Φ是标准正态分布的分布函数.又()x Φ是单调不减函数，则1211σσ>，即12σσ<.故选(A).三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求(Ⅰ)()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ)()0lim x g x +→.【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解，此问中含,0∞⋅∞∞型未定式极限；第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果，含∞-∞未定式极限.【详解】(Ⅰ)()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞⎛⎫- ⎪⎪==-+ ⎪⎪⎝⎭sin 11111lim 1arctan arctan y x y xy x x x x y ππ→∞⎛⎫ ⎪⎪-⎪⎪-=-=- ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x x ππ+++→→→--+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（通分）22222000112arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x xππππ+++→→→-+-+-+++===（16）（本题满分7分）计算二重积分d Dx y ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可.【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数，“先x 后y ”积分较容易，所以1d d Dx y y x=⎰⎰()311222002122d d 339y y xy y y y y=--==⎰⎰（17）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【分析】利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<，则()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=.又()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,sin 0x x x π<<>时），故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（18）（本题满分8分）在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.(Ⅰ)求L 的方程；(Ⅱ)当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时，确定a 的值.【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定参数.【详解】(Ⅰ)设曲线L 的方程为()y f x =，则由题设可得y y ax x '-=，这是一阶线性微分方程，其中1(),()P x Q x ax x=-=，代入通解公式得()11d d 2e e d x x x xy ax x C x ax C ax Cx -⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰，又(1)0f =，所以C a =-.故曲线L 的方程为2y ax ax =-(0)x ≠.(Ⅱ)L 与直线y ax =（>0a ）所围成平面图形如右图所示.所以()220d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰()220482d 33a x x x a =-==⎰，故2a =.（19）（本题满分10分）求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解】记121(1)()(21)n n n x u x n n -+-=-，则2321121(1)()(1)(21)lim lim (1)()(21)n n n n n n n nx u x n n x x u x n n ++-+→∞→∞-++==--.所以当21,1x x <<即时，所给幂级数收敛；当1x >时，所给幂级数发散；当1x =±时，所给幂级数为1(1)(1),(21)(21)n nn n n n -----，均收敛，故所给幂级数的收敛域为[]1,1-在()1,1-内，()12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n nn n x x s x x xs x n n n n -+-∞∞==--===--∑∑，而12112211211(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞∞--==-'''==-=-+∑∑，所以11121()(0)()d arctan 1x xs x s s t t t x t''''-===+⎰⎰，又1(0)0s '=，于是1()arctan s x x '=.同理11100()(0)()d arctan d xxs x s s t t t t'-==⎰⎰()20201arctan d arctan ln 112xxt t t t x x x t =-=-++⎰，又1(0)0s =，所以()211()arctan ln 12s x x x x =-+.故()22()2arctan ln 1s x x x x x=-+.()1,1x ∈-.由于所给幂级数在1x =±处都收敛，且()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+在1x =±处都连续，所以()s x 在1x =±成立，即()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+，[]1,1x ∈-.（20）（本题满分13分）设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ；用初等变换求极大线性无关组.【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ，则312341234(10)12341234a a A a a a a++==+++.于是当0,010A a a ===-即或时，1234,,,αααα线性相关.当0a =时，显然1α是一个极大线性无关组，且2131412,3,4αααααα===；当10a =-时，1α2α3α4α9234183412741236A -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭，由于此时A 有三阶非零行列式9231834000127--=-≠-，所以123,,ααα为极大线性无关组，且123441230αααααααα+++==---，即.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ；（Ⅲ）求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中E 为3阶单位矩阵.【分析】由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ；由TQ AQ =Λ可得到A 和632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】(Ⅰ)因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ)因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交.取11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，令[]123,,Q ηηη=，则1T QQ -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得T 300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦.（Ⅲ）由(Ⅱ)知T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以T 31110011101110A Q Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=Λ=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎭.666T T T 333222Q A E Q Q A E Q Q AQ E ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦6666633223333022203322E ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭⎝⎭，则666T333222A E Q EQ E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（22）（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ；(Ⅱ)Cov(,)X Y ；(Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭.【分析】求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】（I ）设Y 的分布函数为()Y F y ，即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤，则1)当0y <时，()0Y F y =；2)当01y ≤<时，(2()()Y F y P X y P X =<=<<01d 4x x =+=⎰.3)当14y ≤<时，(2()()1Y F y P X y P X =<=-<<10111d d 242x x -=+=⎰.4)当4y ≥，()1Y F y =.所以1()()40,Y Y y f y F y y <<⎪'==≤<⎪⎩其他.（II ）22232Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX ==--=-，而02101d d 244x x EX x x -=+=⎰⎰，22022105d d 246x x EX x x -=+=⎰⎰，3323107d d 248x x EX x x -=+=⎰⎰，所以7152Cov(,)8463X Y =-⋅=.(Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X ⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22222P X X P X ⎛⎫⎛⎫=≤--≤≤=-≤≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111d 24x --==⎰.（23）（本题满分13分）设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.（Ⅰ）求θ的矩估计；（Ⅱ）求θ的最大似然估计【分析】利用矩估计法和最大似然估计法计算.【详解】（Ⅰ）因为()1213(;)d d 1d 2EX xf x x x x x x θθθθ+∞-∞==+-=-⎰⎰⎰，令32X θ-=，可得θ的矩估计为32X θ=- .（Ⅱ）记似然函数为()L θ，则()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅-=- 个个.两边取对数得ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--，令d ln()0d1L N n Nθθθθ-=-=-，解得Nnθ=为θ的最大似然估计.。
06年考研数四真题及答案解析
2006年全国硕士研究生入学考试数学（四）一、填空 1．(1)1lim()nn n n-→∞+= 2．设函数()f x 在2x =的某邻域内可导，且()()(2)1f x f x e f '-⋅=，则法(2)f '=3．设函数()f u 可微，且1()2f u '=，则22(4)z f x y =-在点（1，2）处的全微分 (1,2)|dz =4．已知12,a a 为2维列向量，矩阵1212(2,)A a a a a =+-，12(,)B a a =。
若行列式||6A =，则||B =5．设矩阵2112A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B 。
6．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[1,3]上的均匀分布，由{max(,)1}P x y ≤=二、选择7．设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x 为自变量x 在点0x 处的增量y 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x > ，则（ ） （A ）0dy y << （B ）0y dy << （C ）0y dy <<（D ）0dy y <<8．设函数()f x 在0x =处连续，且220()lim 1n f n n→==，则（ ） （A ）(0)0f =且(0)f '存在 （B ）(0)1f =且(0)f '存在 （C ）(0)0f =且(0)f +'存在（D ）(0)1f =且(0)f +'存在9．设函数()f x 与()g x 在[0,1]上连续，且()()f x g x ≤，且对任何(0,1)C ∈（ ） （A ）1122()()c cf t dtg t dt ≥⎰⎰（B ）1122()()c cf t dtg t dt ≤⎰⎰（C ）11()()ccf t dtg t dt ≥⎰⎰（D ）11()()ccf t dtg t dt ≤⎰⎰10．设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解1()y x ，2()y x ，C 为任何常数，则该方程通解是（ ） （A ）12[()()]C y x y x - （B ）112()[()()]y x C y x y x +- （C ）12[()()]C y x y x +（D ）112()[()()]y x C y x y x ++11．设(,)f x y 与(,)G x y 均为可微函数，且(,)0G x y '≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0G x y =下的一个极值点。
2006年考研数学一真题(含解析)
2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题一、填空题 （1）0ln(1)lim1cos x x x x→+=-.（2）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .（3）设∑是锥面z =01z ≤≤）的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰.（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = .（5）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A B E =+，则B =.（6）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则{}max{,}1P X Y ≤= . 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（A ）0.dx y <<∆ （B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<<（D ）0.dy y <∆<【 】（8）设(,)f x y 为连续函数，则1400(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（A）0(,).xf x y dy ⎰⎰（B）00(,).f x y dy ⎰⎰（C）0(,).yf x y dx ⎰⎰（C）00(,).f x y dx ⎰⎰【 】（9）若级数1n n a ∞=∑收敛，则级数（A ）1n n a ∞=∑收敛.（B ）1(1)n n n a ∞=-∑收敛.（C ）11n n n a a ∞+=∑收敛.（D ）112n n n a a ∞+=+∑收敛. 【 】（10）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是 （A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.【 】（11）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】（12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则 （A ）1.C P AP -= （B ）1.C PAP -=（C ）.TC P AP =（D ）.TC PAP = 【 】（13）设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有 （A ）()().P A B P A ⋃> （B ）()().P A B P B ⋃>（C ）()().P A B P A ⋃=（D ）()().P A B P B ⋃= 【 】（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<（A ）1 2.σσ< （B ）1 2.σσ>（C ）1 2.μμ<（D ）1 2.μμ> 【 】三 解答题 15 设区域D=(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy xy+=++⎰⎰ .16 设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<== . 求: (Ⅰ)证明lim n x x →∞存在,并求之 .(Ⅱ)计算211lim nx n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 17 将函数()22x f x x x=+-展开成x 的幂级数.18 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220zz xy∂∂+=∂∂.(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=.(Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式. 19 设在上半平面D=(){},0x y y >内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的t>0都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.20 已知非齐次线性方程组12341234123414351331x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有个线性无关的解 Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A = Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解21 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T Tαα=--=-是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得TQ AQ A =.22 随机变量x 的概率密度为()()21,1021,02,,40,x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩令其他为二维随机变量(X,Y)的分布函数.(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y (Ⅱ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭23 设总体X 的概率密度为()()01,0112010x F X x θθθθ<<⎧⎪=-≤<<<⎨⎪⎩其中是未知参数其它,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,1n x x x 中小于的个数,求θ的最大似然估计.2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题解析一、填空题 （1）0ln(1)lim1cos x x x x→+-= 2 .221cos 1,)1ln(x xx x -+ （0x →当时）（2）微分方程(1)y x y x-'=的通解是(0)x y cxe x -=≠，这是变量可分离方程.（3）设∑是锥面1)Z ≤≤的下侧，则23(1)2xdydz ydzdx z dxdy π∑++-=⎰⎰补一个曲面221:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩1上侧,2,3(1)P x Q y R z ===-1236P Q R xyz∂∂∂++=++=∂∂∂∴16dxdydz ∑∑Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（Ω为锥面∑和平面1∑所围区域）6V =（V 为上述圆锥体体积） 623ππ=⨯=而123(1)0dydz ydzdx z dxdy ∑⨯++-=⎰⎰（∵在1∑上：1,0z dz ==）（4）,1,0,450x y z d ++==点(2)到平面3的距离d ====(5)设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. （6）91二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分.若0>∆x ，则[A]0)(0)(0)(0)(<∆<<<∆<∆<∆<<y dy D dy y C dy y B y dy A()0,()f x f x '>因为则严格单调增加 ()0,()f x f x ''>则是凹的 y dy x ∆<<>∆0,0故又1000(8)(,)(cos ,sin )[C ](A )(,)(B)(,)xf x y d f r r rdr f x y dyf x y dyπθθθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰40设为连续函数,则等于(C )(,)(D )(,)yf x y dxf x y dx ⎰⎰⎰111111111(9)[D ]()()(1)()()()2n n nn n n n n n nn n n n n a A a B a a a C aa D a ∞=∞∞==∞∞∞+++===-+∑∑∑∑∑∑ 若级数收敛,则级数收敛收敛收敛收敛也收敛00000000000000000(10)(,)(,)(,)0,(,)(,)0y x y x y x y x y f x y x y x y x y f x y x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x ϕϕϕ'≠=''''≠''''≠≠设与均为可微函数,且已知(,)是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A)若(,)=0,则(,)=0(B)若(,)=0,则(,)0(C)若(,)0,则(,)=0(D)若(,)0,则(,00000000000000000(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0(,)(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)(,)0x x x y y y y y xyx yyx y f x y x y f x y x y f x y x y x y f x y f x y x y x y f x y x y x y f x y λλϕλϕλϕϕϕϕλϕϕ≠+'''⎧+=⎪'''+=⎨⎪'=⎩'''''≠∴=-='''≠)0构造格朗日乘子法函数F=F =F =F =今代入(1)得今00,(,)0[]y f x y D '≠则故选(11)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（ ）成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0, 用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(12设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1. (C) C =P TAP . (D) C =PAP T.解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA ,1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1（13）根据乘法公式与加法公式有： P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B) P(A ⋃B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A) 应选C （14）依题：).1,0(~),10(~2211N Y N x σμσμ--，,1}1{1111⎭⎬⎫<⎩⎨⎧-=<-σσμμX P X P.1}1{2222⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=<-σσμμY P Y P 因 },1{}1{21<-><-μμY P X P 即 .11222111⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-σσμσσμY P X p 所以.,112121σσσσ<>应选A 三、解答题{}2222221212022221(15)(,)1,0,1:11ln(1)ln 21122DDDxyD x y x y x I dxdyxyxydxdy xyr I dxdy d dr r xyrππππθ-+=+≤≥=++=++===+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰设区域计算二重积分解{}{}{}211112121(16)0,sin (1,2,)(1)lim (2)lim ():(1)sin ,01,2sin ,0,lim ,nn n n n n x n n nn n n n n n n n x x x x n x x x x x x n x x x x x x x A π+→∞+→∞+→∞<<===∴<≤≥=≤≥∴= 设数列满足求证明存在,并求之计算解因此当时单调减少又有下界，根据准则1,存在递推公式两边取极限得sin ,0A A A =∴=21sin (2)lim (),nxnn nx x ∞→∞原式=为"1"型离散型不能直接用洛必达法则22011sin limln()sin lim ()t t t tt t t et→→=先考虑232323311(cos sin )1110()0()lim26cos sin sin 1262limlim2262t t t t t t t t t t t t t t tt ttttte eee e→→→⎡⎤⎡⎤--+--+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-=====2(17)()2x f x x x x=+-将函数展开成的幂极数()(2)(1)21x A B f x x x xx==+-+-+解:2(1)(2)2,32,3A xB x x x A A ++-====令11,31,3x B B =-=-=-令)](1[131)21(131)1(131)2(132)(x x x x x f --⨯--⨯=+⨯--⨯=1001111()(1)(1),132332n n n n nn n n n x x x x ∞∞∞+===⎡⎤=--=+-<⎢⎥⎣⎦∑∑∑（18）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f =满足等式22220z z xy∂∂+=∂∂（I ）验证 ()()0f u f u u'''+=（II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式 证：（I）z z f f x y∂∂''==∂∂()2222222z xf f xxyxy∂'''=+∂++()()22322222xyf f xyxy'''=+++()()2223222222z yxf f yxyxy∂'''=+∂++同理222200()()0z z f xyf u f u u∂∂''+=+=∂∂'''∴+=代入得成立（II ）令(),;dp p dp du f u p c duupu'==-=-+⎰⎰则ln ln ,()c p u c f u p u'=-+∴==22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+===由得于是（19）设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意0t >都有2(,)(,)f t x t y t f x y -=证明：对D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.证：把2(,)(,)f tx ty t f x y t -=两边对求导 得：(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty tf x y ''+=- 令 1t =，则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 再令 (,),(,)P yf x y Q xf x y ==-所给曲线积分等于0的充分必要条件为Q P xy∂∂=∂∂今(,)(,)xQ f x y x f x y x∂'=--∂(,)(,)yP f x y y f x y y∂'=+∂ 要求Q P xy∂∂=∂∂成立，只要(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=-我们已经证明，Q P xy∂∂∴=∂∂，于是结论成立.(20)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2. 两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2 → 0 1 -1 5 -3 . 0 0 0 0 0 得同解方程组 x 1=2-2x 3+4x 4， x 2=-3+x 3-5x 4，求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T .得到方程组的通解:(2,-3,0,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(4,-5,0,1)T , c 1,c 2任意.(21) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T , α2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0的解.① 求A 的特征值和特征向量. ② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q T AQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即 α0=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0. ② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T .对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T .作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且 3 0 0 Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 . 0 0 0（22）随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=其他,020,4101,21)(x x x f X ，令2X Y =，),(y x F 为二维随机变量）（Y X ,的分布函数.（Ⅰ）求Y 的概率密度；（Ⅱ）)4,21(-F解：（Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<=≤=≤=y y y y y XP y Y P y F Y 4,141,)2(10,)1(0,0)()()(2式式 ⎰⎰=+=≤≤-=-yyy dx dx y X y P 00434121)()1(式；⎰⎰+=+=≤≤-=-yy dx dx y X y P 0141214121)()2(式.所以：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<==其他,041,8110,83)()('y y y y y F y f Y Y这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y 进行适当的讨论即可，在新东方的辅导班里我也经常讲到，是基本题型. （Ⅱ）)4,21(-F )212()22,21()4,21()4,21(2-≤≤-=≤≤--≤=≤-≤=≤-≤=X P X X P XX P Y X P 4121211==⎰--dx .（23）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<=其他,021,110,),(x x x f θθθ，其中θ是未知参数（0<θ<1）.n X X X ,,21为来自总体的简单随机样本，记N 为样本值n x x x ,,21中小于1的个数.求θ的最大似然估计.解：对样本n x x x ,,21按照<1或者≥1进行分类：pNp p xxx,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1.似然函数⎩⎨⎧≥<-=++-其他，,01,,,1,,)1()(2121pn pN pN pN p p Nn Nx x x x x x L θθθ，在pNp p xxx,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1时，)1ln()(ln )(ln θθθ--+=N n N L ， 01)(ln =---=θθθθN n N d L d ，所以nN =最大θ.。