湖南大学高等代数2005--2009年考研真题

高等代数——2005年真题

一．（20分）证明：数域F 上的一个n 次多项式()f x 能被它的导数整除的充要条件是

()()n

f x a x b =-，(),a b F 其中是中的数.

二．（20分）设120n a a a ≠ ，计算下面的行列式：

12

31111111111111111

1

1

1

1n

a a a a ++++

三．（15分）已知矩阵A PQ =，其中2431P ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21

21Q ⎛⎫

⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭

，Q '，求矩阵2100,A A A 和。

四．（20分）给定线性方程组

23

11213123122232

23

132333

23142434

x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ （1） 当1234,,,a a a a 满足什么条件时，方程组（1）有惟一解？无穷多解？无解？ 五．（20分）设()f

X X

A X '=

是一实二次型，若有实n 维向量1X ,2X 使得()()12f X f X >0,<0，证明：必存在实n 维向量00X ≠使()00f X =。

六．设W 是齐次线性方程组

12345123

5230

0x x x x x x x x x +-+-=⎧⎨+- +=⎩ （2）

的解空间。1.W 中的向量与方程组（2）的系数矩阵的行向量有何关系？2。求W 的一组标

准正交基。

七．（15分）求复矩阵131616576687⎛⎫ ⎪

--- ⎪ ⎪---⎝⎭

的不变因子，初等因子及Jordan 标准形。

八．（10分）设整系数线性方程组

1

n

ij j

i j a x

b ==∑，()1,2,,i n = 对任意整数12,,,n b b b 均

有整数解。证明该方程组的系数矩阵的行列式必为1±。

九．（15分）设,,A B C 为复数域上n 维空间V 的线性变换，AB BA C -=,并且C 可以与

,A B 交换。

1.证明C 的特征子空间是,A B 的不变子空间。

2.证明C 的特征值全为0。

高等代数——2006年真题

一．（20分）设矩阵1114335A x

y -⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪--⎝⎭

，已知A 有三个线性无关的特征向量，λ=2是A 的二重特征根。试求可逆矩阵P ，使得1

P AP -为对角形矩阵。

二．（20分）设()f x 与()g x 互素当且仅当()

n

f x 与()

n g x 互素（其中n 为正整数）。

三．设n

P 为数域P 上全体n 元数组向量所构成的线性空间，证明： （1）存在n

P 的子空间W 使W 中每个非零向量的分量都不是零； （2）满足上述条件的子空间W 必为一维空间。

四．（20分）设U 和V 是n 阶的可逆矩阵，D 是m 阶的可逆矩阵()m n ≤，且

1

1000000D D U U V V --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

。

证明：

111

1000000D D U U V V ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 五．（10分）若把行列式

111,111,11,11,111

n n

n n n n n a a a D a a a ----- =

的第j 列换成()121,,,,1T

n x x x - 后得到的新行列式记为()1,2,,j D j n = ，试证：

12n D D D D +++= 。

六．化()123122313,,262f x x x x x x x x x =-+为标准型，并且写出变换矩阵，问这个二次型

是否正定？ 七．（15分）如果A 是一个非奇异的n 阶实矩阵，那么存在一个正交矩阵P 和一个下三角矩阵Q 使得A QP =。

八．（15分）设12,,,n a a a 都是正数，证明方程组

1122222112211

220

00n n n n

n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨

⎪

⎪+++=⎩ 只有零解。

九．（10分）设()1

211n n n n f x a x a x a ---=+++ ，并且()0f ε=，其中ε是一个n 次单位

根。求行列式：

1231122111322

3

41

n n n n n n n

n n n

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ------

。

高等代数——2007年真题

一．（20分）已知多项式()()()12f x f x f x =，()()()g x m x d x =，其中符号()∂ 表示该多项式的次数，证明：存在多项式()1u x 和()2u x ，使得

()()()()()1221g x u x f x u x f x =+，

且()()()()

,k k u x f x ∂<∂ κ=1,2.

二．（20分）设()

ij A a =是数域K 上的一个n 阶矩阵，且ij i j a a b =-， （1）求A ；

（2）当2n ≥，且1212,a a b b ≠≠时，且齐次线性方程组0AX =的解空间的维数和一组基。 三．（20分）试求解线性方程组

12231

1221

21

n n n n n x x x x x x x x x n +++ +++=⎧⎪+++=⎪⎨

⎪

⎪ +++=+⎩ 四．（20分）设A 为n 阶实对称矩阵，β为常向量，函数