高中数学复习提升-三角形中的常见结论
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
c C B
A b
a 三角形中的常见结论
以下很多结论都是只有在三角形中才成立的，离开三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
这个前提条件就不一定成立！．．．．．．．．．．．．．
在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。 1、内角和定理：A B C π++=。 2、边角关系：大边对大角，等边对等角，小边对小角，反之亦成立，
即：a b A B >⇔>，a b A B =⇔=，a b A B <⇔<。
3、三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
即：a b c +>，a c b +>，b c a +>
a b c -<，a c b +<，b c a -<
4、三角形的四心：
外心：外接圆圆心，三边中垂线的交点。
内心：内切圆圆心，三内角角平分线的交点。
垂心：三边高线的交点。
重心：三边中线的交点。
重心G 的性质：（1）重心G 是中线的三等分点；
（2）0GA GB GC ++=；
（3）若11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫
⎪⎝⎭
。 等腰三角形中顶角角平分线、底边中线、底边高线三线合一。
等边三角形四心合一。 5、正弦定理：
2sin sin sin a b c R A B C
===（R 为ABC ∆外接圆的半径）。 正弦定理的变形：（1）sin sin a b A B =，sin sin b c B C =，sin sin a c A C
=； （2）sin sin a B b A =，sin sin b A a B =，sin sin a B A b
=； （3）2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =；
（4）sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R
=； （5）::sin :sin :sin a b c A B C =；
（6）2sin sin sin sin a b c a R A B C A ++==++。 正弦定理的用途：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边和另两角；（此种情况一定要注意如何取
6、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-，222
2cos c a b ab C =+- 或222cos 2b c a A bc +-=，222
cos 2a c b B ac
+-=，222cos 2a b c C ab +-=。 余弦定理的用途：（1）已知三边，求三角；
（2）已知两边及其夹角，求另一边和另两角；
（3）判断三角形的形状。
余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
cos 0C >⇔C ∠为锐角⇔222c a b <+
cos 0C =⇔C ∠为直角⇔222c a b =+
cos 0C <⇔C ∠为钝角⇔222c a b >+
7、三角形内的诱导公式：
sin()sin A B C += cos()cos A B C +=- tan()tan A B C +=-
sin
cos 22A B C += cos sin 22A B C += tan cot 22
A B C += 8、对任意三角形ABC ，都有sin 0A >。
9、sin sin A B A B a b >⇔>⇔>，
sin sin A B A B a b =⇔=⇔=，
sin sin A B A B a b <⇔<⇔<。 10、若sin 2sin 2A B =，则A B =或2A B π+=
。 11、sin()0A B A B -=⇔=
12、在ABC ∆中，给定A 、B 的正弦或余弦值，则C 的正弦或余弦有解（即存在）的充要条件是
cos cos 0A B +>。
（也可以用9中的结论来判断） 13、在ABC ∆中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅。
14、在ABC ∆中，A 、B 、C 成等差数列⇔60B =。
15、ABC ∆为正三角形⇔A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列。
16、ABC ∆的面积公式：（1）111222
a b c S ah bh ch ===（a h ，b h ，c h 分别为,,a b c 边上的高） （2）111sin sin sin 222
S ab C bc A ac B ===
D C B
A
17、正余弦定理综合：222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+-
222sin sin sin 2sin sin cos B A C A C B =+-
222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-
18、射影定理：cos cos a b C c B =+
cos cos b a C c A =+
cos cos c a B b A =+
19、角平分线定理：AD 为ABC ∆的角平分线，则 AB BD AC CD
= 20、ABC ∆的面积公式：（1）111222
a b c S ah bh ch ===（a h ，b h ，c h 分别为,,a b c 边上的高） （2）111sin sin sin 222
S ab C bc A ac B === （3）22sin sin sin S R A B C =（R 为ABC ∆外接圆的半径）
（4）4abc S R =
（5
）S =（其中2
a b c p ++=） （6）1()2
S rp r a b c ==++（r 为ABC ∆内切圆的半径） 21、直角三角形中的结论：（1）两锐角互余，即90A B +=。
（2）30角所对的直角边等于斜边的一半。
（3）勾股定理：222
a b c +=。
（4）斜边上的中线等于斜边的一半，外接圆的圆心为斜边的中点，垂心为直角顶
点。
（5）如图可得： Rt ABC Rt ACD Rt CBD ∆∆∆∽∽
（6）由（22AC AD AB =⋅
2BC BD BA =⋅
2CD DA DB =⋅