第七章 波动

7. 7
当观察者与波源之间有相对运动时，观察者所测得的频 率不同于波源频率的现象. 以机械波为例，
在静止介质中：
波源的振动频率（恒定） 波在介质中的传播速率（取决于介质的性质，与波源运动无关）
设观察者和波源在同一直线上运动 观察者相对于介质的运动速率
波源相对于介质的运动速率 观察者测得的频率 分别讨论下述三种情况机械波的多普勒效应
x =2m处
0.05 cos p ( 5×2 – 100 t )
0.05 cos ( 100 p t –10 p ) 初相为–10 p
7. 3
现象： 若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元）
上 下
在波动中，各体积元产生不同程度的 弹性形变， 具有 弹性势能
形变最小 振速 最小 时刻波形 未起振的体积元
波传播方向
波速
波长 周期 频率 波速
振动状态完全相同的相邻两质点之间的距离。
波形移过一个波长所需的时间。
周期的倒数。 , 取决于波源振动频率。 单位时间内振动状态（振动相位）的传播速度， 又称相速。机械波速取决于弹性媒质的物理性质。 或
7. 2
波函数变为波线上位于
处质点的
C点的
距原点为
就两种介质波阻的相对大小而言：
波密介质 —— 波阻相对大的介质。 波疏介质 —— 波阻相对小的介质。
波从波疏介质传播到波密介质的界面时，反射波会发生 p 的相位突变， 相当于波长损失了 形成波节。 波从波密介质传播到波疏介质的界面时，反射波不发生 p 的相位突变， 使界面处的合成振动总同向叠加，形成波腹。 下面通过一组动画帮助大家理解： （ 半波损失 ），使界面处的合成振动总是零，
结束选择
请在放映状态下点击你认为是对的答案 x 平面谐波的方程为 y = A cos ω ( t ) u 则 x ω x 和 y 分别代表 u u
（1）振动滞后时间、相位和位移； （2）振动滞后相位、时间和位移； （3）振动位移及滞后时间、相位；
（4）振动滞后相位、振动位移及振 动滞后时间。
结束选择
掌握描述波的特征量的物理意义及其相互关系
掌握波函数的建立方法，理解波函数物理意义
理解波的能量传播特征及能流等概念 理解惠更斯原理，掌握波的叠加原理及相干条 件，会用相干加强和减弱的条件来分析计算相 干问题
理解驻波的形成及多普勒效应的成因
7. 1
振动的传播过程称为波动。 机械振动在介质中的传播过程称为机械波。
r2 r1
l
时
j 2 j 1 2p r2 r1 l
（ 0,1,2, )
)时Biblioteka 合成振动的振幅最大合成振动的振幅最小
A
若 则
当 即
A1
2
A2
2
2 A1 A2 cos (j 2
j1
r2 r1 ) 2p
l
j2
j 1 即两分振动具有相同的初相位
， 称为波程差
取决于两波源到P点的路程差
2p （
则合成振动 的振幅最大
2
A1
A
A2
分别引起 P 点的振动
合振动 2pr1
y1 y2
2pr2
l
)
)
y
y1 + y2
l
A cos (w t + j )
j1
A
A2
2
2 A1 A2 cos ( j 2
r2 r1 ) 2p
l
2pr2 ) 2pr2 )
j
A1 sin ( j 1 A1 cos ( j 1
2pr1 )
l
A2 sin ( j 2 A2 cos ( j 2
由 波 密 介 质 到 波 疏 介 质 界 面 反 射
空气
反 射 界 面 上 总 是 出 现 波 腹
当 形 成 驻 波 时
反 射 界 面 上 总 是 出 现 波 节
玻璃
水 声 源
水 声 源
由 波 疏 介 质 到 波 密 介 质 界 面 反 射
半波损失问题，在下册的波动光学中还将会进一步讨论。
7. 6
波从波疏介质传播到波密介质的界面时，反射波会发生 p 的相位突变， 相当于波长损失了 （ 半波损失 ），使界面处的合成振动总是零，
形成波节。
入射波 反射波
波疏介质
波密介质
将入射波形直接折叠到右方，代表没有相位突变的反射波形 将折叠后的波形作上下翻转，代表有p相位突变的反射波 入、反射波相向传播，任何时刻，两波在界面上引起的振动总是 等大反相位，合成振动总是零（波节）。
能使叠加区域中某些固定地方质点的振动始终加强 （振幅最大），另一些固定地方质点的振动始终相消
或减弱（振幅最小）。 相干波： 能产生干涉现象的波。 相干波源：相干波相应的波源。 相长干涉： 使合振动始终加强的干涉。 相消干涉： 使合振动始终减弱的干涉。
两相干波源的振动方程
y10 y20
A10 cos (w t + j 1) A20 cos (w t + j 2) A1 cos w t + ( j 1 A2 cos w t + ( j 2 A1
产生机械波的必要条件：
波源 作机械振动的物体；
介质
能够传播机械振动的弹性物质。
波源带动弹性介质中与其相邻的质点发生振动，振动相继 传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。 波动现象是介质中各质点运动状态的集体表现，各质点仍 在其各自平衡位置附近作振动。
软绳
软弹簧 软弹簧
在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。 空气中的声波是纵波。液体表面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。
处质点振动的初相
波动方程表示所给定的 时刻波线上各振动质 点相对各自平衡点的位置分布，即该时刻的
时刻的
（1） 给定
，波函数描述波线上给定位置处质点的振动方程。
（2） 给定 ，波函数描述给定时刻的波形图。 （3） ， 都变，波函数描述各时刻波形沿波线传播的行波。
一平面简谐波以波速
沿 x 轴正向传播。
7 - 21 7 - 26
l
2pr1 )
l
l
两相干波源的振动方程
y10 y20
A10 cos (w t + j 1) A20 cos (w t + j 2) A1 cos w t + ( j 1 A2 cos w t + ( j 2 A1
2
A1
A
A2
分别引起 P 点的振动
合振动 2pr1
y1 y2
2pr2
l
)
)
y
y1 + y2
位于
处的 P 点的振动方程为
设 B 点距原点为 P 点振动传到 B 点需时 即 B 点 时刻的振动状态与 P 点 时刻的振动状态相同
得 波函数
y = 0.05 cos p ( 5 x – 100 t ) 波函数 x、y 单位：m , t 单位：s 此波是正向还是反向波，并求 A、n、T、u 及 l ； （1）
抖 动
形变最大 振速 最大
具有振动动能 各体积元以变化的振动速率 上下振动，
。
m 单位：( W· – 2 )
120 kW· – 2 cm 1g· –3 cm
500 kHz 1 500 m· – 1 s
7. 4
过程分解
过程分解
条件：
两列波满足
频率相同 振向相同 相位差恒定
现象： 满足上述条件的两列波，在介质中相遇而叠加时，
注意到三角函数关系
得 这就是驻波的数学表达式，其特点：
（1）波形和能量不沿 轴定向传播。是驻守型的波动，故 称驻波。其数学表达式称驻波函数（方程）。 （2）波线上各点均作简谐振动，振幅最大的（2A）称波腹 （如 B、D、F点 ），波腹位置在 处， 即 腹 ( k = 0, 1, 2, …) （3）振幅为零的（静止），称 波节（如 A、C、E、G点 ）， 波节位置在
波从波密介质传播到波疏介质的界面时，反射波不发生 p 的相位突变， 使界面处的合成振动总是同相位叠加，形成波腹。
反射波
入射波 波密介质
波疏介质
将入射波形直接折叠到右方，代表没有相位突变的反射波形
入、反射波相向传播，任何时刻，两波在界面上引起的振动总是 等大同相位叠加，并能达到 2A 最大振幅值，界面处形成波腹。
处，
节
( k = 0, 1, 2, …) 相邻波节或相邻波腹间距
已知下图实验装置中波源频率为
空气
，仔细调整活塞位置，
木屑
声波源
玻璃管
活塞
直至管中木屑出现驻波图样的分布，测得相邻波腹间距为
管内气体中声波的波长和波速。 由于驻波的相邻波腹距离为 波长 测得
。
则
波速
波从一种介质中传播到另一种介质，在介质分界面上会发生反射。 波阻 —— 介质的密度 与波速 的乘积。
r2 r1
l
) 时
当 即
2p （
r2 r1
l
0,1,2, ) 时
0,1,2,
则合成振动 的振幅最小
波程差为半波长的奇数倍时， 波程差为零或为半波长的偶数倍时， 各质点的振幅最小，干涉相消。 各质点的振幅最大，干涉相长。
两相干波源 2m 同初相， 振动方向 垂直纸面 P
（1）由波程差概念得
（50－45 ）m 5m 5× 2
介质中波动传到的各点，都可以看作能够发射 子波的新波源，在这以后的任意时刻，这些子波 的包络面就是该时刻的波面。
波在向前传播的过程中遇到障碍物(或障碍物中的缝隙)时,波线发生弯曲 并绕过障碍物(或障碍物中的缝隙)的现象称为波的衍射(或绕射) 。 衍射现象可用惠更斯原理的子波包络面概念定性解释。 衍射现象是否显著取决于波长与障碍物(或障碍物中的缝隙)的线度之比。 衍射现象是波动传播过程中的特征之一。